第一章因式分解全题型期末考试通关训练2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

第一章因式分解全题型期末考试通关训练 考点一：因式分解的概念、因式分解与整式乘法的关系 1．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．若多项式可分解为则 ， ． 3．若多项式因式分解的结果为，则，的值分别为（   ） A．， B．，3 C．2， D．2，3 4．下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是 ． 5．【数学活动】 计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： ．    李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律． 请你试着回答下面的问题： （1）计算：________；________；________． 【方法感悟】 （2）若，求的值． 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【学以致用】 （3）若可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是，，求第三个因式． 考点二、提公因式法因式分解 6．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 7．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 8．已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 9．如图，长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2，则的值为（   ） A．12 B．21 C．8 D．49 10．把多项式分解因式得（    ） A． B． C． D． 11．多项式的最大公因式是 ． 12．多项式4（x﹣y）3﹣6（y﹣x）2的公因式是 ． 13．已知，，则多项式的值为 14．计算：等于 ． 15．因式分解： (1) (2) 16．阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如：，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：．像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．利用分组分解法解决下面的问题： （1）分解因式：； （2）的三边，，满足，判断的形状． 考点三：运用平法差公式因式分解 17．下列多项式能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 18．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（    ） （1）   （2）   （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以11就是一个“智慧数”．下面4个数中不是“智慧数”的是（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 20．分解因式： （1） ； （2） ； （3） ． 21．下列各式中，分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 22．分解因式： ． 23．因式分解： (1) (2) (3)； (4) 24．因式分解： (1)； (2)． 考点四：运用完全平方公式因式分解 25．下列多项式中，是完全平方式的为（   ） A． B． C． D． 26．多项式加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是①，②，③，④中的（   ） A．② B．①③ C．②④ D．①②③④ 27．因式分解： (1) (2) (3) 28．若能用完全平方公式因式分解，则n的值为 ． 29．已知满足，，，则的值为 ． 30．仔细阅读下面例题，解答问题： 阅读材料：若，求m、n的值． 解：∵， ∴ ， ∴且， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则________， ________； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 考点五：综合运用提公因式法和公式法因式分解 31．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 32．下列多项式不能用公式法因式分解的是（　　） A． B． C． D． 33．将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 34．如果a，b，c是三角形的三边长，那么代数式的值是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 35．分解因式： ． 36．分解因式 ． 37．分解因式及利用因式分解计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断哪个选项的变形是将多项式化为整式乘积的形式． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个整式积的形式， 选项A、右边是，是和的形式，不是积的形式，故不是分解因式， 选项B、右边是，含有和的形式，不是乘积的形式，故不是分解因式， 选项C、右边是，是整式积的形式，且左边等于右边，故是分解因式， 选项D、右边是，但左边，故不是分解因式， 故选：C． 2． 【分析】本题考查了因式分解的相关知识，注意是解答本题的关键． 根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：多项式可以被分解为， ， ，， 故答案为： ，． 3．C 【分析】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法，解题的关键是将因式分解的结果展开． 根据题意得到，可得m、n的值． 【详解】解：∵ ∴ ∴，， 故选：C． 4．④ 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：①中不是整式，它不是因式分解； ②是乘法运算，它不是因式分解； ③中等号左边是单项式，它不是因式分解； ④符合因式分解的定义，它是因式分解． 故答案为：④． 5．（1）；； ；（2），过程见解析；（3）第三个因式为 【分析】本题考查了多项式乘法与因式分解的应用； （1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）根据题意进行计算即可求解； （3）根据题意按照（2）中的方法，设第三个因式为，根据多项式的乘法即可求解． 【详解】解：（1）； ； 故答案为：；；． （2）选择霖霖的解题思路： ∵， ∴， ∴， ∴； 选择欣欣的解题思路： ， ∴， ∴， ∴； 选择丞丞的解题思路： ∵的一个解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； （3）∵可以因式分解为三个因式乘积的形式，其中两个因式分别是，， 设第三个因式为， ∴` ∴，， ∴第三个因式为． 6．C 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的．熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 系数 6、、的最大公因数为 3， 字母 a 的指数最小值为 2， 字母 b 的指数最小值为 2， ∴ 公因式为 ． 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了公因式．确定公因式的系数，取各项系数的最大公因数；确定字母及字母的指数，取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各相同字母的指数取其指数最低的，由此确定公因式即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故选：D． 8．A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、因式分解的应用和三角形三边关系的应用，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键． 通过因式分解给定方程，得出只有符合三角形三边关系，进而即可判断． 【详解】解：由题意得， ∴或， ∴或． ∵是的三边长， ∴由三角形三边关系，（两边之和大于第三边）， ∴不成立， ∴只有成立， ∴是等腰三角形． 故选：A． 9．A 【分析】此题考查因式分解的应用，根据题意得到，代入所求代数式因式分解后的因式中计算即可 【详解】解：∵长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2， ∴， ∴， 故选：A 10．A 【分析】本题考查了利用提公因式法进行多项式因式分解，先通过变形将多项式中互为相反数的因式化为相同形式，再提取公因式，最后对剩余部分继续分解因式，再分析各选项的正误即可． 【详解】解： ． 故选：A． 11． 【分析】本题考查的是公因式的含义，找出多项式中各项的系数最大公约数和字母部分的最低次幂，确定最大公因式． 【详解】解：多项式中，各项系数分别为6和，最大公约数为 2； 字母部分的最低次幂为 ，的最低次幂为， 因此最大公因式为． 故答案为：． 12．2（x﹣y）2． 【分析】根据公因式的定义，即找出两个整式中的公共因数和公共因式即可． 【详解】4（x﹣y）3﹣6（y﹣x）2＝2（x﹣y）2（2x﹣2y﹣3） ∴多项式4（x﹣y）3﹣6（y﹣x）2的公因式是2（x﹣y）2 故答案为：2（x﹣y）2． 【点睛】此题考查公因式的定义，分别得出两式公共的因数以及公共的因式是解题的关键．同时，还应注意（x-y）2=（y-x）2，即互为相反数的两数的平方相同． 13． 【分析】本题考查因式分解和代数式求值．将多项式分解为含有，的式子，再将，代入整理后的式子求解，即可解题． 【详解】解： ， ，， 原式， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查的是幂的运算性质，解题的关键是逆用同底数幂的乘法法则以及使用提取公因式法进行计算． 根据逆用同底数幂的乘法法则以及使用提取公因式法进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】本题考查了分解因式．分解因式时，首先观察各项有没有公因式，如果有公因式的先提取公因式，然后再按照平方差公式或者完全平方公式分解．分解因式一定要分解到不能再分解为止．熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）直接提取公因式即可； （2）提取公因式再化简即可得出答案． 【详解】（1） ； （2） 16．（1）；（2）等腰三角形，见解析 【分析】（1）应用分组分解法，把分解因式即可． （2）先因式分解，再求a，b，c的关系，判断三角形的形状． 【详解】解：（1）； （2）由，可得， 即， ∵在中，，， ，， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查分组分解法及三角形形状的判定，正确分组是求解本题的关键． 17．C 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握和是解答本题的关键． 公式法因式分解指使用平方差公式或完全平方公式．选项C符合完全平方公式，其他选项均无法用公式法分解． 【详解】解： 选项A： 为平方和，无法用公式法因式分解； 选项B：，无法用公式法因式分解； 选项C：，符合完全平方公式，能用公式法因式分解； 选项D：，使用提公因式法，无法公式法因式分解． 故选C． 18．B 【分析】本题考查了因式分解中的公式法，具体包括平方差公式和完全平方公式．依次对每个多项式进行判断是否符合公式特征，从而确定能分解的个数． 【详解】解：（1），符合题意； （2）不能运用公式法分解因式，不符合题意； （3），符合题意； （4）不能运用公式法分解因式，不符合题意． ∴能运用公式法分解因式的有2个． 故选：B． 19．B 【分析】本题考查了平方差公式分解因式的应用，牢记是解题的关键．设k是正整数，证明除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，即可得答案． 【详解】解：设k是正整数， ∵， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，A，C选项都是智慧数，不符合题意； ∵， ∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以D选项是智慧数，不符合题意， B选项2026不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意． 故选：B． 20． 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和乘法公式是解答本题的关键． 利用提公因式法解答即可； 利用平方差公式解答即可； 利用完全平方公式解答即可． 【详解】解：； ； ． 故答案为：；；． 21．B 【分析】本题考查因式分解的方法，因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），掌握相关知识是解决问题的关键．分别对每个选项按照因式分解的方法和定义进行分析，判断其是否正确． 【详解】解：A、，该选项因式分解不彻底，错误； B、，因式分解正确； C、，该选项因式分解后漏项，错误； D、该选项原式右边不是几个整式积的形式，不符合因式分解的定义，错误． 故选：B． 22． 【分析】本题考查了因式分解，包括平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键． 根据平方差公式进行因式分解即可 ． 【详解】解：． 故答案为： ． 23．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可； （2）原式先提取“”，再运用完全平方公式进行因式分解即可； （3）原式运用完全平方公式进行因式分解即可； （4）原式两次运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ． 24．(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用提公因式法和公式法进行因式分解，准确计算是解题的关键． （1）先用提公因式法，再用平方差公式进行分解； （2）先用平方差公式，再用完全平方公式分解即可； 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 25．A 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，根据完全平方公式分别转化为完全平方式的形式即可求解． 【详解】A选项=，是完全平方式，符合题意 B选项=，不是完全平方式，不合题意误 C选项=，不是完全平方式，不合题意 D选项=，不是完全平方式，不合题意 故选：A 26．C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 本题根据完全平方公式，分析原式与完全平方公式结构的差异，得出结论，即可解决确定多项式成为完全平方式所需添加项的问题． 【详解】解：①加上后，多项式为，是平方差不是完全平方，不符合题意； ②加上后，多项式为，是完全平方，符合题意； ③加上后，多项式为，不是完全平方，不符合题意； ④加上后，多项式为，是完全平方，符合题意； 综上，加上②或④能成为完全平方． 故选：C． 27．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． （1）先根据平方差公式分解因式，再计算两括号里的加减，最后提取公因式即可； （2）先计算多项式的乘法，再根据完全平方公式分解因式即可； （3）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 28．或 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】∵能用完全平方公式因式分解为， ∴， 解得：或． 故答案为：或 29． 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解，代数式求值，由，，，可得，则，，，然后代入求值即可，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 故答案为：． 30．(1)1，0 (2)4 (3)11 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，三角形三边关系，根据三角形三边的关系得到c的范围，熟练掌握是解题的关键． （1）根据配方法和非负数的性质求解； （2）根据配方法和非负数的性质求出，，代入代数式求值即可； （3）根据配方法和非负数的性质求出：，，根据三角形三边的关系得到c的范围，根据c是正整数得到c的值，从而得到周长的值． 【详解】（1）解：∵， ， ∴，， ∴，， 故答案为：1，0； （2）解：∵， ， 即， 则，， 解得，， ； （3）解：∵， ， ， 则，， 解得，， ∵， 即，且c是正整数， ∴， 即三角形三边分别为1，5，5， ∴的周长为． 31．D 【分析】本题考查公式法因式分解，主要利用平方差公式 或完全平方公式 ，检查各选项是否符合公式形式即可． 【详解】解：选项 A∶ ，两个平方项的符号不一致，不符合完全平方公式，也无法直接应用平方差公式，不能用公式法分解． 选项B∶，整理为，两个平方项的符号不一致，不符合完全平方公式，也无法直接应用平方差公式，不能用公式法分解． 选项C∶，仅为两个平方项相加，不符合平方差公式或完全平方公式，不能用公式法分解． 选项D∶，可改写为，符合平方差公式，，能用公式法分解． 故选D． 32．C 【分析】本题考查了整式的因式分解．A、B选项考虑利用完全平方公式分解，C、D选项考虑利用平方差公式分解． 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、不是平方差的形式，不能运用公式法因式分解，故选项C符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：C． 33．C 【分析】本题考查了公式法因式分解． 利用完全平方公式和平方差公式进行解答． 【详解】解： ． 故选：C． 34．A 【分析】本题考查了三角形三边关系，把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．解决本题的关键是熟练运用完全平方公式和平分差公式进行因式分解． 【详解】解： ∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，， ∴，即的值是负数． 故选：A． 35． 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为： 36． 【分析】本题考查了因式分解等知识，因式分解一般步骤为“一提二套三检查”，据此先提公因式，再利用公式法即可分解． 【详解】解：． 故答案为： 37．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是因式分解，利用因式分解进行计算． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先整理，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （4）直接利用完全平方公式进行简便计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $