专题06 平面向量的数量积与综合应用5大题型（专题专练）（上海专用） 2026年高考数学二轮复习讲练测

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06平面向量的数量积与综合应用 目录 第一部分考向速递洞察考向，感知前沿 第二部分题型归纳梳理题型，突破重难 题型01平面向量数量积重 题型02平面向量在函数、不等式中的应用 题型03平面向量在三角函数中的应用 题型04平面向量在解析几何中的应用难 题型05平面向量与其他知识的综合 第三部分分层突破固本培优，精准提分 A组·基础保分练 B组·重难提升练 NO.1 考向速递 新考法 教材在推导向量的数量积的坐标表示公式“a·b=xx2+yy2（其中a=(x,y),b=(x2,y2))”的 过程中，运用了以下哪些结论作为推理的依据() ①向量坐标的定义： ②向量数量积的定义； ③向量数量积的交换律； ④向量数量积对数乘的结合律； ⑤向量数量积对加法的分配律. A.①③④ B.②④⑤ C.①②③⑤ D.①②③④⑤ 【答案】D 【解析】在坐标系中，元，j是x轴，y轴上的单位向量， 1135 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 i.i=1,j.j=1,i.j=ji=0 则a=i+y1,6=x,i+y,j,故a=(y),i=(2), a-i=(xi+y小x,i+y) =xxi+xij+xyj+y =xX2+1y2 则在推导过程中，运用了向量坐标的定义； 向量数量积的定义向量数量积的交换律；向量数量积对 数乘的结合律；向量数量积对加法的分配律 故选：D 2.新情境以直角坐标系的x轴为x轴，x轴绕原点0逆时针旋转45°作为y轴，得到平面斜坐标系x0y， 点P的斜坐标定义为：“若0p=x,C+y,(其中g、6分别为与斜坐标系的x轴，y轴同方向的单位向量)， 则点P的坐标为(x,”若直角坐标系中E(-1,0),F(1,0),且动点M(x,y满足MF=ME,则点M在 斜坐标系中的轨迹方程为() A.x-v2y=0 B.x+2y=0 C.2x-y=0 D.√2x+y=0 【答案】D 【解析】因为F(-1,0),F1,0),则ME=(-1-x,-y)=（-1-x)+(-y)e, ME,=(1-x,-y)=(1-x)e+(-y)e2, 所以丽=[-1-列+-列8可-1-+-2+21--× 2 丽--8+n@可-1-++21--9 因为ME=ME, 所以1-P+2-1*-+-+2I-列* 化简得√2x+y=0 故选：D 2/35 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 新定义 已知，不共线，当OP=x吧+y吧时，称有序实数对(x,y)为点P的广义坐标，若点A、 B的广义坐标分别为x,y),（x2,y2),对于下列命题： ①线段4B的中点的广义坐标为十五，+少】 、22 ②线段AB的长度为Vx-x)2+(y-为2； ③向量OA平行于向量OB的充要条件为xy2=x2: ④向量OA垂直于向量OB的充要条件为xx,+y2=0;所有真命题的序号为 【答案】①③ 【解析】由题意：0A=xe+e,0B=x,+ye2, 对于①：设M为AB中点， 所以om-o+o丽-+y++%4)-5+当生"g, 2 2 所以线段AB的中点M的广义坐标为 +2y+y2 故①正确： 2 2 对于②，因为AB=0B-0A=xg+6-xg-y6=(x-x)e+(-)6, 所以a=x-x)e+-e=-x2e+2x-x,-8-6+y-y'e, 当向量e,e,是相互垂直的单位向量时， A,B两点间的距离为Vx-x)+(以-y,)，否则距离不为x-x)子+(-，)，②错误： 对于③：向量OA平行于向量OB,即oA=0B,1∈R, 即xg+y6,=元(x,+y,2), 则xy2=x2乃，故③正确； 对于④：向量OA垂直于向量OB, 即0A0B=(x%+99+9)=0, 则xx8+(x+xy)日eg+6=0, 42 化简可得x2+yy2+(xy2+x)ee2=0, 故④不一定成立； 故答案为：①③. 3/35 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 NO.2 题型归纳 数型 01平面向量数量积 1. ABC中，BC=6,若B在BC上的投影为BC 则CA.CB= 3 【答案】24 【解析】如图所示，过点A作AD⊥BC于点D, 因为向量B在BC上的投影为BC,可得BD=}BC,所以CD=2CB, 3 3 3 又因为BC=6,则C.CB=2C5.CB=2cB-2×36=24 3 3 故答案为：24 2.中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形ABCDEFGH,如图所示，若 AB=2,则AC.AE= H B 【答案】8+4V2 【解析】连接CE,因为正八边形ABCDEFGH的每一个内角都是135°，且AB=BC=2, 4/35 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 所以AC2=AB2+BC2-2AB.BC.cos135°=8+4V2, 由正八边形的对称性知AC⊥CE,且∠CAE=45°，所以AE=√2AC, 测c亚-cw5=5adx9-845, 故答案为：8+4√万 3.如图，在边长为3的正方形ABCD中，DE=2EC,若P为线段BE上的动点，则AP.DP的最小值 为 E B 【答案】 27 8 【解析】解：在正方形中，建立如图所示坐标系， D C B 由正方形边长为3且DE=2EC, 可得A(0,0),B(3,0,D0,3,E2,3, 设BP=1BE=（-元，32)，1∈[0,1，则P(3-,32), 则AP=(3-2,3),DP=(3-2,32-3), 5/35 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题4PDP=3-刀+33-3=10m15m+9=10无-+2 8 故当入=2时，PDP取得最小值为8· 27 4 故答案为： 27 6 4.设2eR,在如图所示的平行六面体48CD-48CD中，∠A4B=∠A4D=∠BD-了，4=2， AB=AD=1,点M是棱CD的中点，A,N=元A,D,,若AM.CN=2,则元的值为 D M A 【容案】月 【解析】A,N=入A,D,=入AD, AM-AD+DM-AD+44+74B. CN =AN-AC=AA+A N-AB-AD A4+AD:-AB-AD=A4+(-1)AD-AB, 所以W-(而++号4+-0-到=2 0+(-刂-6++(2-0.-砺+丽瓜+号(2-刂0-丽=2 由∠A4B=∠A4D=∠BAD-=骨M=2,AB=AD=1, 可得12×分-小-11×分442-小xx2x写2x1x*2×3-11*3×1=2. 2 22 22 22 2-+号=2，天-月 盛答案为：昌 5.知图，C是以AB为直径的半圆0（不含端点）上一动点，∠DCB=5,且DC=CB.若B=2,则 OC.OD的取值范围是. 6/35 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】L,2] 【解析】 D A B 设∠B0C=20,则0∈0，元 ,作DE⊥OE交OC的延长线于点E 由余弦定理BC2=1+1-2cos20=2-2cos20=4sin20 所以BC=2sin0,即DC=2sin0 ∠0CB=-20-元-0.因为∠DCB=,所以∠DCE=0 2 2 所以CE=DC·cos0=2sin0cos0=sin20 所以0C.0D=0C.0E=1×(1+sin20)=1+sin20e(1,2] 故答案为：1,2] 题型 02平面向量在函数、不等式中的应用 6.已知平面向量a,乃，c满足=1，=2，(a-列c=0且a6=0.记平面向量d在a,方向上的数 量投影分别为x,y,向量ā-ā在c方向上的数量投影为z,则对任意满足条件的向量c,代数式 x2+y2+z2的最小值是 【答案】204 【解析】令ā=(1,0)，b=(0,2),c=(m,n,因为a-bc=0,故1，-2)(m,n=0,m-2n=0, 7/35 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 令c=2n,n),平面向量d在a,b方向上的投影分别为x,y, 设d=(x,y),，则：d-a=(x-l,y),d-ac=2nx-1)+y,=V5n, 从而：z (a-@e_2x+mwy-2n,故2x+y±5z=2 d 5 n 由柯西不等式可得2x+y-5z=2≤2+12+(-5V2+y2+z 205,当且仅当2-1.5 化简得x2+y2+2≥4=2， x y z 21 即x= 2即Ψ智明：2+，(+x辨‘各毙通一=三 5 故答案为：5 7.已知=2，=4，a与的夹角为6 (1)若a/b,求a.b; (2)若a1万，且(a+6)[(t-1)a-2bs16,求实数t的取值范围. 【答案】(1)-8或8.(2[-3,4] 【解析】(1)若a/b,则a与的夹角为0=π或6=0， 所以ā.6=a5cos0=-8或8. (2)若a⊥b,则ab=0, a+b[(t-1刂ā-2b]=tt-1)a2-2b2=4(t-刂-32=4r2-41-32, 所以(a+b)[(t-1)a-26]≤16可得：42-41-32≤16， 所以2-t-12≤0，解得：-3≤1≤4. 实数1的取值范围为[-3,4 8。在平面直角坐标系0，中，起点为坐标原点的向量ā，5满无同-=1，且a-万=方 c=(m,l-m,d=(m,l-m(m,n∈R).若存在向量a、五，对于任意实数m,n,不等式a-c+6-d≥T成 立，则实数T的最大值为」 【答案】1+√2 【解析】设ā=OA,b=OB,c=OC,d=OD,则点A、B在单位圆上，点C、D在直线x+y-1=0上， 8/35 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a,b的夹角为 r，如图所示。 3· ' M 根据m、的任意性，即求点A、B到直线x+y一1=0距离之和的最小值， 即AE+BF(点E、F分别是点A、B在直线x+y-1=0上的射影点)： 同时根据ā，b的存在性，问题转化为求AE+AF的最大值. 设AB的中点为M,设点M、O在直线x+y-1=0上射影点分别为N、O', 则4E+|BF2MN≤2M0+lo0D=2x5+ )=1+√2， 22 当且仅当点M、O、0'依次在一条直线上时，等号成立， 所以T≤1+√2，即所求实数T的最大值是1+√2. 故答案为：1+√2 1,x>0 9.已知函数f(x)={0,x=0,向量ā，6，c是平面内三个不同的单位向量，且满足 -1,x<0 fa.b+fb.c+(c.a)=2,则a+b+c的取值范围为 【答案】N5,1+2 1,x>0 【解析】因为f(a.b)+f石c+f(ca)=2,又f(x)= 0,x=0, -1,x<0 所以fa.b,f6·c,f(ca)中一定有两个1，一个0， 不妨设fa.b)=0,f(6c=1,f(ca)=1, 则a.6=0,b.c>0,ca>0,根据a1b, 9/35 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 不妨设a=(1,0),b=(0,,c=(cos0,sin0),0e[0,2π， [a.c=cos0>0 c.b=sin0>0 所0引 a+b+=(1+cos0,1+sin0), 所以l6+6+d=+co0P+1+sin0-5+22sm0+到 因引所9+可任) 所以3+2sn0+母到5,3+2] 所以a+i+de5,1+2] 故答案为： (5,1+2 题型（ 03平面向量在三角函数中的应用 10.已知f(x)=V3sin(ox+p)(o>0,0<p<2π)，函数y=f(x)的部分图像如图所示，已知点A、D为 y=f(x)的图像与x轴的交点，其中D 行0京8、C分别为y=f)的图俊的最底点和最低点，且 BDC)B，则p V 3 3 【答案】 5π 6 【解折】因为D店0小，且o>0,可知的最小正周期T-石 10/35 专题06 平面向量的数量积与综合应用 目录 第一部分 考向速递 洞察考向，感知前沿 第二部分 题型归纳 梳理题型，突破重难 题型01平面向量数量积 题型02平面向量在函数、不等式中的应用 题型03平面向量在三角函数中的应用 题型04平面向量在解析几何中的应用 题型05平面向量与其他知识的综合 第三部分 分层突破 固本培优，精准提分 A组·基础保分练 B组·重难提升练 1.教材在推导向量的数量积的坐标表示公式“ （其中）”的过程中，运用了以下哪些结论作为推理的依据（    ） ① 向量坐标的定义； ② 向量数量积的定义； ③ 向量数量积的交换律； ④ 向量数量积对数乘的结合律； ⑤ 向量数量积对加法的分配律． A．①③④ B．②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 2.以直角坐标系的轴为轴，轴绕原点O逆时针旋转作为轴，得到平面斜坐标系，点的斜坐标定义为：“若（其中、分别为与斜坐标系的轴，轴同方向的单位向量），则点的坐标为”.若直角坐标系中，，且动点满足，则点在斜坐标系中的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知，不共线，当时，称有序实数对为点的广义坐标，若点、的广义坐标分别为，，对于下列命题： ①线段的中点的广义坐标为； ②线段的长度为； ③向量平行于向量的充要条件为； ④向量垂直于向量的充要条件为；所有真命题的序号为 . 01平面向量数量积 1．中，，若在上的投影为．则 ．    2．中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形，如图所示，若，则 ； 3．如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 4．设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为 . 5．如图，是以为直径的半圆 （不含端点）上一动点，，且．若，则的取值范围是 ． 02平面向量在函数、不等式中的应用 6．已知平面向量，，满足，，且．记平面向量在，方向上的数量投影分别为，，向量在方向上的数量投影为，则对任意满足条件的向量，代数式的最小值是 ． 7．已知，，与的夹角为. (1)若，求； (2)若，且，求实数的取值范围. 8．在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且， （）．若存在向量、，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为 ． 9． 已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的取值范围为 . 03平面向量在三角函数中的应用 10．已知，函数的部分图像如图所示，已知点A、为的图像与轴的交点，其中，点、分别为的图像的最高点和最低点，且，则 . 11．对于函数，其中. 在锐角中，若，，求的面积. 12．设函数，其中向量，，，. (1)求函数的最大值及相应的值； (2)将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的. 13．已知，其中，. (1)若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间； (2)设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求 04平面向量在解析几何中的应用 14．已知双曲线，点，点A、B分别在双曲线的左、右两支上，则向量、的夹角（   ） A．有最大值，但无最小值 B．无最大值，但有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 15．已知直角坐标平面内有三个定点，，，动点满足．若，则点横坐标的取值范围是 ． 16．已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 ． 17．已知焦点在轴上的椭圆，椭圆的左，右焦点分别为，，现将横轴的正半轴沿逆时针方向旋转，旋转后的直线与椭圆的交点为，设旋转角为，，. (1)若的取值范围为，求关于的函数解析式，并写出在的最值； (2)记，若，且椭圆的离心率为，求的取值范围. 05平面向量与其他知识的综合 18．高一学生将质量为20kg的物体用两根绳子悬挂起来，如图（1）（2），两根绳子与铅垂线的夹角分别为45°和30°，则拉力与大小的比值为 . 19．在集合中任取一个偶数和一个奇数构成一个以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是 ． 20．已知、、、、五个点，满足（），（），则的最小值为 21．如图，为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为θ．已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同． (1)当求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N）． (2)若每根绳子可承受的最大拉力为2牛，则当时，此降落伞能否安全使用？ 1．在中，，为中点，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（    ）. A． B． C． D． 3．设，是两个单位向量，向量，且，则 . 4．如图所示，两块斜边长均等于的直角三角板拼在一起，则的值为 .    5．在中，，为边上的点，且，设，则= ． 6．在平面直角坐标系中，单位圆上三点满足：点坐标为并且，在上的投影向量为，则 . 7．双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则 . 8．在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为 ． 9．已知且，若向量满足，则的最大值是 . 10．已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 11．如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 12．在直角中，，，为边上的点且，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 13．若“向量列”满足，则（   ） A．是等比数列，是等比数列B．是等比数列，不是等比数列 C．不是等比数列，是等比数列D．不是等比数列，不是等比数列 14．如图，已知是半圆O的直径，直径长为2，点均在半圆O上，且都不与点重合，四点依次按照逆时针方向排列. 若CD的长为，则的取值范围为 ． 15．已知向量，，，为直线上的一个动点，当取最小值时，向量的坐标为 . 16．已知A，B是平面内两个定点，且，点集.若M，，则向量、夹角的余弦值的取值范围是 ． 17．如图，中，，，，点是线段一个动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的取值范围为 .    18．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知点，，则的最大值为 ． 19．对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中，则 20．在一个平面内，一质点O受三个力、、的作用保持平衡，其中与的夹角为，与的夹角为. （1）若，，牛，求力、的大小； （2）若，求与满足的关系. 21．已知向量，.设. (1)求函数的最小正周期以及单调增区间； (2)在中，角、、所对的边分别为、、.若，，的面积为，求边的长. 22．已知椭圆． (1)若，求椭圆的离心率； (2)设为椭圆的左右顶点，若椭圆上一点E的纵坐标为1，且，求m的值. 23．已知向量.令. (1)化简； (2)当时，求方程的解集； (3)已知集合，D是函数和定义域的交集且，判断元素与集合P的关系，并说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $