27.1 反比例函数 教学设计 2025-2026学年冀教版（2012）数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数概念，通过复习函数定义、已学的一次函数及正比例函数y=kx（k≠0），搭建新旧知识联系，以正比例函数为支架引入反比例函数学习。 特色在于从圆柱形水桶容积、自行车行驶等实际问题抽象数量关系，培养数学眼光，通过问题探究引导学生自主总结表达式特征，发展推理意识，例题与训练结合概念辨析与实际应用，强化模型意识，助力学生提升抽象能力，为教师提供清晰探究式教学路径。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 27.1反比例函数 教学目标 1.理解并掌握反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式，能判断一个给定的函数是否是反比例函数. 2.经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，逐渐得出并理解理解反比例函数的概念. 3.理解常量和变量之间的辩证关系，体验数学来源于生活，激发学生学习数学的热情和兴趣 教学重难点 教学重点： 了解并掌握反比例函数的概念，能够利用概念判断一个函数是否是反比例函数，也能根据问题中的已知条件确定反比例函数的表达式. 教学难点： 了解并掌握反比例函数的概念，能根据题中的已知条件确定反比例函数的表达式. 教学过程 一、新课导入 1.什么是函数？ 一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定x的一个值，就有相应地确定y的一个值，那么我们说y是x的函数. 2.我们学过的函数有哪些？ 一次函数、正比例函数 3.什么是正比例函数？ 一般地，把形如y=kx（k≠0）这样的函数叫做正比例函数，其中两个变量y与x之间具有正比例函数关系. 二、问题探究： 1.要制作容积为15700cm3的圆柱形水桶,水桶的底面积为Scm2，高为hcm，Sh= ，用s表示h的函数表达为 . 2.y与x的乘积为2，用x表示y的函数表达式为 3.自行车运动员在长为10000m的路段上进行骑车训练，行驶全程所用时间为ts，行驶的平均速度为v m/s，则vt= ，用v表示t的函数表达式为 三、新知讲解 sh=15700 vt=10000 xy=2 思考1:观察以上三个表达式，它们在形式上有什么共同特征？ 等式的左边是两个变量的乘积，右边是一个常数 总结：当两个变量的乘积为常数k时，则这两个变量成反比例. 思考2:观察以上三个表达式，它们在形式上有什么共同特征？ 等式的左边是一个变量，右边是一个分式 总结：这些表达式都形如 的形式，其中k为常数 sh=15700 vt=10000 xy=2 思考3：以上两组表达式有什么关系？ 两个变量之间一个变量随着另一个变量的变化而变化. 思考4：请列举出几个具有这种特征的例子 当压力F一定时，压强P和受力面积S之间的关系可以表示为 当电压U一定时，电流I和电阻R之间的关系可以表示为 5.概念 一般地，如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成（k为常数，且k≠0）的形式，那么称y为x的反比例函数，k称为比例系数. 和h=15700S-1 相等吗？ 相等，所以 想一想 在反比例函数 (k≠0）中，自变量x的取值范围是什么呢？ 因变量y的取值范围是什么呢？ 因为反比例函数 的右边是一个分式，当x=0时， 分式无意义，所以x≠0，因为k≠0，所以分式的值不为0，所以y≠0. 总结：在反比例函数 (k≠0）中，自变量x的取值是不为0的实数，因变量y的取值也是不为0的实数. 例题精讲 例1. 写出下列问题中y与x之间的函数关系式，指出其中的 正比例函数和反比例函数，并写出它的比例系数k. （1）y与x互为相反数 解因为y+x=0，即y=-x，所以y是x的正比例函数，比例系数k=-1 （2）y与x互为负倒数 解因为xy=-1，即 所以y是x的反比例函数，比例系数为-1 （3）y与2x的积等于a（a为常数，且a≠0） 解因为2xy=a，即 所以y是x的反比例函数，比例系数k= 例2.已知y是x的反比例函数，当x=4时，y=6 （1）写出这个反比例函数的表达式 解设反比例函数表达式为 （k≠0） 将x=4，y=6代入得，k=24 所以，表达式为 （2）当x=-2时，求y的值 解将x=-2代入 得，y=-12 四、基础训练 已知 （1）当m为何值时，y是x的正比例函数 解 （1）∵y是x的正比例函数 ∴m2-5=1且m-2≠0 ∴m= （2）当m为何值时，y是x的反比例函数 （2）∵y是x的反比例函数 ∴m2-5=1且m-2≠0 ∴m=-2 总结 作业 1.基础作业：习题A组1、2题 2.能力提升作业：习题B组第2提 3.拓展作业：列举生活中有反比 例函数关系的实例. 学科网（北京）股份有限公司 $