精品解析：陕西省延安市志丹县保安中学教育集团2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025～2026学年度第一学期第二次阶段性作业 八年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的值是（ ）． A. B. 5 C. 1 D. 2. 《国语·楚语》中记载：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．中国建筑布局一般都是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力．下列建筑物的简图中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 4. 化简（ ） A. B. C. D. 5. 老师在课堂上布置了如下所示的题目，小亮马上发现其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（    ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 一个三角形的面积为，若它的一边长为，则这个边上的高为（ ）． A. B. C. D. 7. 对于任何正整数，多项式的值都能（ ） A. 都能被整除 B. 都能被整除 C. 都能被整除 D. 都能被8整除 8. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，连接，，，，点A，E，B在同一条直线上，点C，B，D在同一条直线上，则阴影部分的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：________． 10. 已知，，为正整数，则的结果为______．（用含的代数式表示） 11. 某农户租两块土地种植沃柑，第一块是边长为的正方形，第二块是长为，宽为的长方形，则第二块比第一块的面积多了______． 12. 如图，，，于点，则的长为_____． 13. 已知是完全平方式，则m为___________． 14. 如图，在中，，，的面积为6，D、E、F分别是、、边上的动点，连接，，，则的最小值是______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 分解因式：． 16. 计算： 17. 简便运算：． 18. 如图，在四边形中，请使用尺规作图法在四边形内作一点P，使点P到边的距离等于点P到边的距离，且点P到点C，B的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，连接AE，CF，且AE＝CF，BF＝BE．求证：△ABC是等腰三角形． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 若，且． （1）求的值； （2）求的值． 22. 小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 23. 如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为米，宽为米，小正方形的边长为b米． （1）求剩余铁皮（阴影部分）的面积． （2）当时，求剩余铁皮的面积． 24. 如图，在与中，点D在上，且，，延长至点F，使得，连接交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如分解因式：． 材料2：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： （1）根据材料1将因式分解； （2）结合材料1和材料2，将因式分解． 26. 综合与实践 【阅读材料】著名数学家华罗庚曾经说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微．”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．比如在学习“整式的乘法”时，由图①可得等式． 【实践操作】如图②是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线等分成块小长方形． （）将其中块小长方形置于一个边长为的正方形框内，摆放如图③所示．用两种不同的方法表示空白部分的面积，可得到的等式为________________； （2）如图④，将块小长方形拼成一个回形正方形．用两种不同的方法表示空白部分的面积，可得到的等式为______； 【直接应用】 （3）已知：，，求的值； 【知识迁移】 （4）为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图⑤，校园内有一个正方形场地，在其内部划分了一个正方形区域，两个正方形的面积和为．连接，，，学校计划在阴影部分（，）摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．若两个正方形的边长分别为，，，请求出摆放花卉场地的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期第二次阶段性作业 八年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的值是（ ）． A. B. 5 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查含有乘方的实数的混合运算与零次幂，掌握好对应的运算法则是解题关键． 根据含有乘方的实数混合运算法则，先算乘方，后算乘除，最后算加减．根据指数运算规则，任何非零数的零次幂等于1，负号表示取相反数，求得结果． 【详解】∵ ， ∴ . 故选：D． 2. 《国语·楚语》中记载：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．中国建筑布局一般都是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力．下列建筑物的简图中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别； 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得：A、C、D均能找到一条直线，使得直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，不符合题意； B不是轴对称图形，符合题意． 故选：B． 3. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了公因式，找出系数和字母部分的最大公约数即可． 【详解】解：多项式的公因式为． 故选：A． 4. 化简（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式混合运算，涉及积的乘方运算、单项式乘以单项式运算，熟记整式相关运算法则是解决问题的关键． 先由积的乘方运算法则计算平方部分，再与剩余部分相乘，利用单项式乘以单项式运算法则计算即可得到答案，在运算过程中注意符号处理． 【详解】解：， 故选：C． 5. 老师在课堂上布置了如下所示的题目，小亮马上发现其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（    ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用公式法进行因式分解，根据平方差公式的结构特征计算判断即可． 【详解】解：①； ②不能用平方差公式因式分解； ③； ④， 综上所述，第②道题错误， 故选：B． 6. 一个三角形的面积为，若它的一边长为，则这个边上的高为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的除法运算．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵三角形的面积为，它的一边长为， ∴这个边上的高为： ， 故选：A． 7. 对于任何正整数，多项式的值都能（ ） A. 都能被整除 B. 都能被整除 C. 都能被整除 D. 都能被8整除 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握解答的方法是关键； 通过平方差公式分解多项式，得到表达式含有因子8，因此对于任何正整数x，其值都能被8整除． 【详解】解：∵ ， ∴ 对于任何正整数x，该多项式的值都是8的倍数，因此都能被8整除 故选：D. 8. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，连接，，，，点A，E，B在同一条直线上，点C，B，D在同一条直线上，则阴影部分的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，设，，则，，再利用三角形面积公式分别用代数式表示两个阴影三角形的面积和，再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：设，，则，， 所以 ． 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：________． 【答案】（2a＋3b）（y﹣z） 【解析】 【分析】先调整符号，然后提公因式即可． 【详解】解：， =， =． 故答案为． 【点睛】本题考查提公因式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键． 10. 已知，，为正整数，则的结果为______．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及涉及同底数幂的乘法与幂的乘方运算，熟记幂的运算法则是解决问题的关键． 利用同底数幂的乘法运算的逆运算，将分解为，再代入已知条件和即可得到答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 11. 某农户租两块土地种植沃柑，第一块是边长为的正方形，第二块是长为，宽为的长方形，则第二块比第一块的面积多了______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式混合运算的应用，先根据面积公式求出第二块的面积和第一块的面积，再相减即可，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， ， ， ∴第二块比第一块的面积多了， 故答案为：． 12. 如图，，，于点，则的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 根据可得，求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：3． 13. 已知是完全平方式，则m为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键．利用完全平方式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴． 故答案为． 14. 如图，在中，，，的面积为6，D、E、F分别是、、边上的动点，连接，，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-路径最短问题，垂线段最短，两点之间，线段最短，如图，作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接，，推出，可得M、C、N共线，由，，可知F、E、M、N共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接，， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当F、E、M、N共线时，且时，的值最小，最小值， ∵， ∴， ∵，的面积为6， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 分解因式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项等知识；利用同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项的知识计算即可． 【详解】解： ． 17. 简便运算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，把原式化为，再计算即可． 【详解】解： ． 18. 如图，在四边形中，请使用尺规作图法在四边形内作一点P，使点P到边的距离等于点P到边的距离，且点P到点C，B的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质及作角平分线，线段的垂直平分线的性质以及作线段的垂直平分线，由到和的距离相等可得点在角平分线上，作角平分线，由点P到点C，B的距离相等可得在线段的垂直平分线上，再作线段的垂直平分线，则角平分线与线段垂直平分线的交点符合要求． 【详解】解：如图，作角平分线，作线段的垂直平分线，两线交于点，则点即为所求． 19. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，连接AE，CF，且AE＝CF，BF＝BE．求证：△ABC是等腰三角形． 【答案】证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°， 在Rt△ABE和Rt△CBF中 ， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）， ∴AB＝CB， ∴△ABC是等腰三角形． 【解析】 【分析】求出∠CBF=90°，根据全等三角形的判定定理推出Rt△ABE≌Rt△CBF，根据全等三角形的性质得出AB=CB，再根据等腰三角形的判定推出即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和全等三角形的性质和判定，解决本题的关键是要熟练掌握等腰三角形的判定和全等三角形的性质和判定. 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．根据整式混合运算法则进行化简，再将数据代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 21. 若，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是多项式的乘法，因式分解，求解代数式的值． （1）由条件可得，再把代入进一步求解即可． （2）把分解因式，再进一步整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 把代入可得， ∴． 【小问2详解】 解：． 22. 小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式相乘的法则． （1）利用多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）设被遮住的一次项系数为，利用多项式乘多项式的法则展开，利用不含一次项得出，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知： ； 【小问2详解】 解：设被遮住的一次项系数为， 即， 因为这个题目的正确答案是不含一次项的， 所以，所以， 所以被遮住的一次项系数为． 23. 如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为米，宽为米，小正方形的边长为b米． （1）求剩余铁皮（阴影部分）的面积． （2）当时，求剩余铁皮的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式运算的应用： （1）用长方形的面积减去正方形的面积，进行求解即可； （2）将代入（1）中的结果中，进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为； 【小问2详解】 当时，； 答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为． 24. 如图，在与中，点D在上，且，，延长至点F，使得，连接交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）先证明，然后根据证明即可； （2）由（1）得，那么，进而得出，证明，则，即可求解． 【小问1详解】 证明： ∵， 即， ， 在和中， ． 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 25. 材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如分解因式：． 材料2：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： （1）根据材料1将因式分解； （2）结合材料1和材料2，将因式分解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用配方法和换元法进行因式分解及平方差公式的应用． （1）使用配方法先在式子中将原式中的常数项3变形为，使式子出现完全平方式，前三项符合完全平方式，再根据平方差公式进一步分解即可； （2）用换元法设，原式变为，先展开式子，再用配方法，最后根据平方差公式进一步分解，最终将代回原式即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：令， 则 ． 26. 综合与实践 【阅读材料】著名数学家华罗庚曾经说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微．”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．比如在学习“整式的乘法”时，由图①可得等式． 【实践操作】如图②是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线等分成块小长方形． （）将其中块小长方形置于一个边长为的正方形框内，摆放如图③所示．用两种不同的方法表示空白部分的面积，可得到的等式为________________； （2）如图④，将块小长方形拼成一个回形正方形．用两种不同的方法表示空白部分的面积，可得到的等式为______； 【直接应用】 （3）已知：，，求的值； 【知识迁移】 （4）为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图⑤，校园内有一个正方形场地，在其内部划分了一个正方形区域，两个正方形的面积和为．连接，，，学校计划在阴影部分（，）摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．若两个正方形的边长分别为，，，请求出摆放花卉场地的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式的几何背景，一元二次方程的解法，正方形的性质，熟练掌握完全平方式是解答关键． （1）根据正方形和长方形的面积公式来求解； （2）根据正方形和长方形的面积公式来求解； （3）利用（2）的结果来求解； （4）观察图形，可得，．进而根据完全平方公式求得，进而根据求解． 【详解】解：（1）解：空白正方形的边长为， 方法一：空白部分的面积为：； 方法二：空白部分的面积为：， 可得到的等式为：． 故答案为：． （2）解：空白处正方形的边长为，外面正方形的边长为， 方法一：空白部分面积为， 方法二：， 可得到的等式为：． 故答案为： ． （3）． （4）观察图形，可得，． 所以，所以． 因为，所以． 所以． 因为，，所以． 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $