精品解析：贵州省遵义市第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

遵义市第二中学2024－2025学期高2026届第一次月考数学 （试卷满分：150分 试题量：19） 一、单选题（本题共8小题总分40分） 1. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ） A. ①是棱台，②不是圆台 B. ②是圆台，③是棱锥 C. ③是棱锥，④是棱台 D. ③是棱锥，④是棱柱 4. 如图，在中，，点是的中点.设，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 6. 在直角梯形ABCD中，，，且，，.在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分以AB所在直线为轴，将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 方程在上的解的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，且，，，则球O的表面积为（ ） A. 16π B. 32π C. D. 二、多选题（本题共3小题总分18分） 9. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 10. 已知函数的一个零点到一条对称轴的最小距离为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 是函数的一条对称轴 C. 的对称中心为 D. 在的值域为 11. 如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥.设，点分别为棱的中点，为线段上的动点.下列说法正确的是（ ） A. 在翻折过程中存在某个位置，使 B. 当时，与平面所成角的正弦值为 C. 在翻折过程中，三棱锥体积的最大值为2 D. 当时，的最小值为 三、填空题（本题共3小题总分15分） 12. 已知向量，且，则__________. 13. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为，则该棱台的体积为______. 14. 已知，若只有5个不同的实根，则实数a的取值范围是___________. 四、解答题（本题共5小题总分77分） 15. 已知，，分别为的三个内角，，的对边，且. （1）求角； （2）若，的面积. 16. 如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． （1）求证：； （2）求证：平面． 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市建设的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）若从成绩位于区间[80，90）和[90，100]的答卷中，采用分层随机抽样，抽取7份，再从这7份中随机抽取两份，求这两份答卷的成绩都落在[80，90）的概率； （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正切值； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 在中，对应的边分别为，. （1）求角的大小； （2）奥古斯丁·路易斯·柯西是法国著名的数学家，他在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等，其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.下列为三维柯西不等式： ， 其中，当且仅当时等号成立，在（1）的条件下，若. ①求的最小值； ②若是内一点，过点作的垂线，垂足分别为，设的面积为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第二中学2024－2025学期高2026届第一次月考数学 （试卷满分：150分 试题量：19） 一、单选题（本题共8小题总分40分） 1. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】先求解出集合，然后求解出的子集个数. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 所以的子集个数为8. 故选：C. 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数及复数的除法运算即可求解． 【详解】， 故选：C． 3. 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ） A. ①是棱台，②不是圆台 B. ②是圆台，③是棱锥 C. ③是棱锥，④是棱台 D. ③是棱锥，④是棱柱 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台、圆台的概念与几何特征即可判断. 【详解】对于A：①不是棱台，因为侧面不都是平行四边形，故A错误； 对于B：②不是圆台，因为上下底面不平行，故B错误； 对于C：④是棱柱，故C错误； 对于D：③是棱锥，④是棱柱，故D正确. 故选：D 4. 如图，在中，，点是的中点.设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理得到. 【详解】因为，所以， 故. 故选：A 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数同增异减的原则，判定内外函数的单调性即可得到答案. 【详解】内函数，其在上单调递增， 而外函数在上单调递减， 则根据复合函数单调性“同增异减”的原则知的单调递减区间为， 故选：B. 6. 在直角梯形ABCD中，，，且，，.在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分以AB所在直线为轴，将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定旋转一周形成的旋转体的形状，结合圆台侧面积公式以及球的表面积公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知阴影部分以AB所在直线为轴，旋转一周形成的旋转体为一个圆台挖去半个球， 其中圆台的上下底面半径为2和5，高为4，母线长为， 挖去半球的半径为2， 故形成的旋转体的表面积为， 故选：B 7. 方程在上的解的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】令，利用两角和的正弦公式和辅助角工具进行化简，再结合三角函数的图象和周期性，确定在上的零点的个数，即方程在上的解的个数. 【详解】令， 则 ，其中， 则，即， 因此，符合题意， 因为，， 由三角函数的图象和周期性可知，在上的零点的个数为2， 即方程在上的解的个数为2， 故选：B． 8. 三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，且，，，则球O的表面积为（ ） A. 16π B. 32π C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先证明平面，再利用正弦定理和勾股定理即可求出外接球半径，再利用球的表面积公式即可得到答案. 【详解】，， ，平面，平面， 作出的外接圆圆心，设其外接圆半径为，， 则， 则根据正弦定理有，则， 在图中作出外接球球心，设外接球半径为， 则，平面，因为，则为中点，则， 平面，平面，则， 同理，则四边形为矩形，则， 在中，由勾股定理得，即， 则球O的表面积为. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的关键是求出的外接圆半径，再作出图形，利用勾股定理即可求出外接球半径的平方，再利用球的表面积公式即可得到答案. 二、多选题（本题共3小题总分18分） 9. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，根据条件可得与可能有平行、相交或；对于B，根据条件结合线与线位置关系即可得解；对于C，由垂直于同一条直线的两个平面平行即可得解；对于D，先由和得，再由结合面面垂直判定定理即可得解. 【详解】对于A，若，，则可能或与相交或，故A错误； 对于B，若，，，则或与异面，故B错误； 对于C，若，，即平面和垂直于同一条直线，则，故C正确； 对于D，若，，则，又， 则存在使得，所以， 所以由面面垂直判定定理得，故D正确. 故选：CD. 10. 已知函数的一个零点到一条对称轴的最小距离为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 是函数的一条对称轴 C. 的对称中心为 D. 在的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】零点到一条对称轴的最小距离为四分之一个周期，据此求出,再由周期的计算公式求出，由此可知的表达式，进而可求的对称轴、对称中心，及时的值域. 【详解】对于A，由题意得，则， 所以，故正确； 对于B，时，，故B错误； 对于C，由，解得， 所以函数的对称中心为，故C正确； 对于D，时，， 所以当，即时，， 当，即时，， 所以，故正确. 故选：. 11. 如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥.设，点分别为棱的中点，为线段上的动点.下列说法正确的是（ ） A. 在翻折过程中存在某个位置，使 B. 当时，与平面所成角的正弦值为 C. 在翻折过程中，三棱锥体积的最大值为2 D. 当时，的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于，由平面平面，证明；对于B，当时平面，是直线与平面所成的角，利用三角形边长求正弦值即可；对于C，当三棱锥体积取得最大值时，是三棱锥的高，由求值即可；对于D，将沿旋转，得到，使其与在同一平面内且在内，当三点共线时， 的最小值为，利用余弦定理求解. 【详解】对于：当平面平面时，， 证明如下：因为平面平面，平面平面， ，平面，则平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于B：当时，等腰直角中，点为棱的中点，有， ，平面，则平面， 平面，有平面平面，由A选项知平面， 所以是直线与平面所成的角； 由，有，，，， ，则，故B错误； 对于C：当三棱锥体积取得最大值时，平面平面， 即是三棱锥的高，，故C正确； 对于D：当时，因为为的中点，所以，则， 又因为的中点，所以， 又，所以，所以， 如图将沿旋转，得到，使其与在同一平面内且在内， 则当三点共线时，最小，即的最小值为， 在中，， 则， 所以在中，由余弦定理得， 所以的最小值为，故D正确， 故选：ACD. 【点睛】方法点睛： ‌立体几何中的翻折问题通常涉及将一个平面图形按照特定要求折叠成三维空间图形，进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化，解决这类问题需要掌握以下技巧： 1. 同时画出折前和折后的图形：在解决问题时，同时画出折前和折后的图形有助于理解翻折过程和图形变化，这对于判断线段和角度的关系非常关键. 2. 寻找不变量：在翻折过程中，有些量是不变的，如角度和距离，注意这些不变量可以帮助简化问题. 3. 利用‌空间向量：空间向量是一个有效的工具，适用于解决立体几何中的探索性问题，通过坐标运算，可以简化“是否存在”这类问题的解决过程. 4. 将空间问题转化为平面几何问题：通过截面、展开、射影等手段，可以将空间中分散的条件集中在同一平面上，从而更容易解决问题. 三、填空题（本题共3小题总分15分） 12. 已知向量，且，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】先算出的坐标，然后由向量的数量积公式列方程即可求解. 【详解】因为向量， 所以， 而，所以，解得. 故答案为：4. 13. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为，则该棱台的体积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】取正棱台的轴截面，利用勾股定理得到高，然后求体积即可. 【详解】 如图，截取棱台过侧棱的轴截面，为侧棱，， 则，，，， 所以，即棱台的高为1， 棱台的体积=. 故答案为：. 14. 已知，若只有5个不同的实根，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，本题转化为中x的解的个数为5，作出函数图象，根据嵌套函数的性质一一分析即可. 【详解】令，本题转化为中x的解的个数为5. ，当时，令，解得或， ，当时，令，解得， 则作出的图象,如下图所示， 当时，有两个根，，，则有1个实数根， 当时，有3个根，时有两个根， 故共有3个或4个根，故舍去； 当时，此时有3个根，，，， 有1个根，有1个根， 时，有1个根，不合题意； 时，有2个根，不合题意； 时，有3个根， 此时满足题意共5个根的情况，而，则； 当时，有两个根，，， 有1个根，有1个根，共有两个根，不合题意舍去； 当时，有1个根，，此时共1个根，舍去. 综上所述：实数a的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以形助数和以数解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法．运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择． 四、解答题（本题共5小题总分77分） 15. 已知，，分别为的三个内角，，的对边，且. （1）求角； （2）若，的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知根据余弦定理求解，然后根据特殊角的函数值求解即可； （2）结合完全平方和公式利用余弦定理求得，然后代入三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由余弦定理， 所以，又，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 因为，由已知得，故，故， 所以. 16. 如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． （1）求证：； （2）求证：平面． 【答案】（1）证明: 连接，交于点，因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面； 又因为平面，所以 （2）证明： 取的中点，连接，， 又为的中点，有，， 已知，， 则有，，四边形为平行四边形， 有，即有， 平面，平面，所以平面． 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，由题意，通过证明平面可完成证明； （2）取的中点，连接，，通过证明可完成证明. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市建设的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）若从成绩位于区间[80，90）和[90，100]的答卷中，采用分层随机抽样，抽取7份，再从这7份中随机抽取两份，求这两份答卷的成绩都落在[80，90）的概率； （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1求的值. （2）根据分层抽样的概念，古典概型概率公式求解即可. （3）根据加权平均数与方差公式计算即可． 【小问1详解】 由题意，解得：. 【小问2详解】 由题可知，成绩在区间的频数为：； 成绩在区间的频数为：. 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为，成绩在的频数为. 再从这7份答卷中随机抽取两份，这两份答卷的成绩都落在的概率为：. 【小问3详解】 因为落在与的频率比为， 所以，． 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正切值； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） ∵平面，平面，∴， 又四边形是矩形，∴， ∵，∴平面， ∵平面，∴， 又是的中点，，∴， ∵，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明，再利用线面垂直的判定定理即可证明平面； （2）根据题意可得异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，利用线面垂直可证为直角三角形，求的正切值即可； （3）利用等体积法求解点到平面的距离，直线与平面所成角为，，即可求解直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵底面是矩形，∴， ∴异面直线与所成角即为直线与直线所成的角， 由（1）得平面，∴平面， ∵平面，∴，∴为直角三角形， 又是的中点，，∴， ∴在中，即为异面直线与所成角，故， ∴异面直线与所成角的正切值为. 【小问3详解】 解：取中点为，连接，， 在中，分别为线段的中点，故， ∵平面，∴平面， ∴， 由（1）得平面，∵平面，∴， ∵，∴，又，∴, ∴， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得：， 故， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 在中，对应的边分别为，. （1）求角的大小； （2）奥古斯丁·路易斯·柯西是法国著名的数学家，他在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等，其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.下列为三维柯西不等式： ， 其中，当且仅当时等号成立，在（1）的条件下，若. ①求的最小值； ②若是内一点，过点作的垂线，垂足分别为，设的面积为，求的最小值. 【答案】（1）； （2）①108；②. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换求解. （2）①化简为，由三维柯西不等式求解；②由三维柯西不等式有求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理， 得，而， 则，即， 整理得，即，又， 于是，又，所以. 【小问2详解】 ①由正弦定理得， 由柯西不等式得 ， 当且仅当，即为正三角形时取等号， 所以的最小值为108. ②. 又， ，由三维柯西不等式 得， 当且仅当，即时等号成立， 因此， 由余弦定理，得，则， ，令，则， 由，得，当且仅当时等号成立， 则，即，函数， 则当，即时，，， 所以当时，取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $