精品解析：河南省南阳市桐柏县方树泉中学教育集团2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025年秋期桐柏县方树泉中学教育集团第二次学情调研 八年级数学 一、选择题（30分） 1. 在实数 ，0，，，，，（相邻两个6之间1的个数逐次加1）中，无理数有（   ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是（ ） A. 3 B. 6 C. 3或6 D. 9 3. 在中，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知点A，B在格点上，点C也在格点上，若为等腰三角形，则图中符合条件的点C有（ ） A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个 5. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 6. 下列命题的逆命题为真命题的是（ ） A. 等边三角形是锐角三角形 B. 如果两个角是直角，那么它们相等 C. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 D. 对顶角相等 7. 四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 8. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，分别是和的平分线，过点E作交于D，交于F，若，，则的周长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 10. 如图，三角形中，于，于，且，与相交于点，下列结论中：①；②；③；④若平分，则，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（15分） 11. 展开后不含的一次项，的值___________． 12. 已知，，则__________． 13. 如图，中，，分别以，，为边长向外作正方形，三个正方形面积分别为，若，则__________． 14. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点F，已知，，则的长为______． 15. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于，交于，的垂直平分线交于，交于，则的长为_____． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2） 17. （1）因式分解：． （2）先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，于点E，于点F，求证：． 19. 求证:对于任意自然数n，(n+7)2-(n-5)2都能被24整除. 20. 已知：如图，在中，于点，是上一点，连接交于点，，． （1）求证： （2）若，求的长． 21. 阅读材料：运用完全平方公式法分解因式是把形如的多项式分解为．某些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关的运算或解题． 如：求二次三项式的最小值． 解：原式 ． 的最小值为3． 请根据阅读材料解决下列问题： （1）若代数式是完全平方式，则常数的值为___________． （2）求多项式的最小值． （3）已知等腰三角形的三边长都是正整数，且满足，求的周长． 22. 如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米． （1）求梯子的顶端到地面的距离的长． （2）如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么B将向外移动多少米？ 23. 实践与探究 点和线是最基本的图形，点、线运动带来的动态几何问题是常见的热点题型之一．解这类题目要“以静制动”，把动态问题变为静态问题来解．一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变． 为了培养学生的数学思维与探究能力，在数学实践与探究课上，王老师让同学们以“图形的运动”为主题开展数学学习活动． 在中，，，点D是直线上的一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接． （1）操作发现 ①当点D在线段上时，如图1．请你直接写出与的位置关系______； ②请写出线段、、的数量关系，并进行证明． （2）猜想论证 当点D在直线上运动时，如图2，点D在射线上．请写出线段、、的数量关系______； （3）拓展延伸 如图3，点D在射线上．若，，请求出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期桐柏县方树泉中学教育集团第二次学情调研 八年级数学 一、选择题（30分） 1. 在实数 ，0，，，，，（相邻两个6之间1的个数逐次加1）中，无理数有（   ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，注意常见无理数如π、开方开不尽的数及有规律但不循环的小数．根据无理数的定义（无限不循环小数），判断每个数是否为无理数． 【详解】解：是无限不循环小数，是无理数； 0是整数，是有理数； 是开方开不尽的数，是无理数； 是有限小数，是有理数； 是整数，是有理数； 是分数，是有理数； （相邻两个6之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，是无理数。 ∴ 无理数有、、，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的识别，注意常见无理数如π、开方开不尽的数及有规律但不循环的小数． 2. 已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是（ ） A. 3 B. 6 C. 3或6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系是解决问题的关键．分两种情况进行讨论：①当腰长是3时，则底边长为9，不符合构成三角形的条件，②当底边为3时，则腰长为6，符合构成三角形的条件，由此可得该等腰三角形的腰长． 【详解】解：等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3， 有以下两种情况： ①当腰长是3时，则底边长为：， 此时该等腰三角形的三边为：3，3，9， ，不符合构成三角形的条件； ②当底边为3时，则腰长为：， 此时该等腰三角形的三边为：6，6，3， ，符合构成三角形的条件， 综上所述：该等腰三角形的腰长为6， 故选：． 3. 在中，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理，判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断． 根据勾股定理逆定理即可判断A、D，根据三角形内角和定理即可判断B，C． 【详解】解：A、由设， ∴，而， ∴，故不是直角三角形，本选项符合题意； B、，得，故是直角三角形，本选项不符合题意； C、由设，由三角形内角和定理可得：， ∴， 解得：， ∴，故是直角三角形，本选项不符合题意； D、由得到，符合勾股定理逆定理，故是直角三角形，本选项不符合题意；． 故选A． 4. 正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知点A，B在格点上，点C也在格点上，若为等腰三角形，则图中符合条件的点C有（ ） A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法． 根据等腰三角形的定义判断即可． 【详解】解：如图，满足条件点C有8种情形． 故选：C． 5. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先根据角平分线的性质可得，再根据求解即可得． 【详解】解：是的平分线，且， ， ， ， ，即， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 6. 下列命题的逆命题为真命题的是（ ） A. 等边三角形是锐角三角形 B. 如果两个角是直角，那么它们相等 C. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 D. 对顶角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假、逆命题，涉及垂直平分线判定定理、等边三角形的定义、对顶角等，熟知相关知识是解答的关键．先写出各选项中命题的逆命题，再根据相关知识可判断选项C的逆命题是线段垂直平分线的判定定理，成立． 【详解】解：A、逆命题：锐角三角形是等边三角形，假命题（反例：锐角等腰三角形非等边），故选项A不符合题意； B、逆命题：相等的角是直角，假命题（反例：角相等非直角），故选项B不符合题意； C、逆命题：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，真命题（垂直平分线判定定理），故选项C符合题意； D、逆命题：相等的角是对顶角，假命题（反例：等腰三角形底角相等，非对顶角），故选项D不符合题意； 故选：C． 7. 四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，全等三角形的性质，正确得出阴影部分的面积等于大正方形的面积个全等直角三角形的面积是解题的关键． 根据阴影部分的面积等于大正方形的面积个全等直角三角形的面积进行列式计算，即可作答． 【详解】解：观察图形，得出阴影部分的面积等于大正方形的面积个全等直角三角形的面积 即阴影部分的面积等于， 故选：C 8. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，在中，，分别是和的平分线，过点E作交于D，交于F，若，，则的周长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线定义可得，，根据平行线的性质可得，，等量代换得到，，然后根据等角对等边求出，，再利用三角形的周长公式，等量代换求出答案即可． 【详解】解：∵、分别是和的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等角对等边，求得，是解答此题的关键． 10. 如图，三角形中，于，于，且，与相交于点，下列结论中：①；②；③；④若平分，则，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由角边角证明，其性质得，结论①，③正确；由垂直的定义和四边形的内角和等于求出，证明结论②正确；由角平分线概念，线段等量代换综合证明，结论④正确，进而即可得解． 【详解】解：，， ，， ，， 在和中， ， ， 结论①，③正确； ，， ， 结论②正确， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， 结论正确； 综合所述，正确的结论有4个， 故选：． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分等相关知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决此题的关键． 二、填空题（15分） 11. 展开后不含的一次项，的值___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘积不含某项求字母的值，把原式按照多项式乘法展开，合并同类项后令的系数为即可得到的值． 【详解】解： ， ∵原式中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知，，则__________． 【答案】120 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，代数式求值，通过因式分解，将所求表达式提取公因式，化为，然后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，中，，分别以，，为边长向外作正方形，三个正方形面积分别为，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用，根据正方形的面积公式结合勾股定理计算即可求出． 【详解】解：分别以，，为边长向外作正方形， ，，． ， ． ， ． 故答案为:． 14. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点F，已知，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，根据作图得到平分，进而得到点到的距离相等均为的长，再根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：根据作图得：平分， ∴点到的距离相等， ∵， ∴， ∴点到的距离均为的长， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于，交于，的垂直平分线交于，交于，则的长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．连接、，根据线段的垂直平分线的性质证明，得到，同理，，得到，得到答案． 【详解】解：如图，连接、， ，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 同理，， 是等边三角形， ， 故答案为：2． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据各自的运算法计算即可． （1）先计算幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，最后合并同类项即可． （2）先利用积的乘法的逆运算计算，然后再计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. （1）因式分解：． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式将括号内展开，再合并同类项，再计算除法，最后代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时，原式． 18. 如图，于点E，于点F，求证：． 【答案】 证明：如解图，连接， 在和中，， ∴， ∴，即平分， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 连接，先由证明，则得到平分，再由角平分线性质定理求证即可． 【详解】略 19. 求证:对于任意自然数n，(n+7)2-(n-5)2都能被24整除. 【答案】 证明： =24(n+1)， ∴能被24整除. 【解析】 【分析】把所给式子利用平方差公式展开，看因数里有没有24即可． 【详解】略 20. 已知：如图，在中，于点，是上一点，连接交于点，，． （1）求证： （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴ （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）利用，得，从而证得，再利用三角形全等得，从而求得，利用勾股定理求得，再利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， ； ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴． 21. 阅读材料：运用完全平方公式法分解因式是把形如的多项式分解为．某些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关的运算或解题． 如：求二次三项式的最小值． 解：原式 ． 的最小值为3． 请根据阅读材料解决下列问题： （1）若代数式是完全平方式，则常数的值为___________． （2）求多项式的最小值． （3）已知等腰三角形的三边长都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】（1） （2）8 （3）10 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、利用配方法因式分解及等腰三角形的定义，熟练掌握配方法是解题关键． （1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法把配凑成，由此即可得； （3）将配凑成，利用完全平方公式求解即可得周长． 【小问1详解】 解： ， ， 解得 ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：原式 ． ， ． 多项式 的最小值是 8 ． 【小问3详解】 解： ， ． ． 则 ， 解得 ． 为等腰三角形， 或 ． 由三角形的三边关系，得 ，故 ． 三边分别为 2，4，4 ． 的周长为 ． 22. 如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米． （1）求梯子的顶端到地面的距离的长． （2）如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么B将向外移动多少米？ 【答案】（1） （2）B向外移动米 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用及勾股定理在直角三角形中的正确运用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）在中，利用勾股定理即可求出的长． （2）根据题意有米，再利用勾股定理得到米，最后根据即可获得答案． 【小问1详解】 解：在中，米，米， ∴米． 【小问2详解】 解：∵米，米， ∴米， 在中，米，米， ∴米． ∴米． 故B向外移动米． 23. 实践与探究 点和线是最基本的图形，点、线运动带来的动态几何问题是常见的热点题型之一．解这类题目要“以静制动”，把动态问题变为静态问题来解．一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变． 为了培养学生的数学思维与探究能力，在数学实践与探究课上，王老师让同学们以“图形的运动”为主题开展数学学习活动． 在中，，，点D是直线上的一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接． （1）操作发现 ①当点D在线段上时，如图1．请你直接写出与的位置关系______； ②请写出线段、、的数量关系，并进行证明． （2）猜想论证 当点D在直线上运动时，如图2，点D在射线上．请写出线段、、的数量关系______； （3）拓展延伸 如图3，点D在射线上．若，，请求出的面积． 【答案】（1）①； ②，证明如下： ， ， ， ． （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键． （1）①先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得； ②根据全等三角形的性质可得，由此即可得； （2）先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得； （3）连接，先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后证出，利用三角形的面积公式求解即可得． 【小问1详解】 解：①∵在中，，， ，， 由旋转的性质得：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②略 【小问2详解】 解：由旋转的性质得：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵，， ， 由旋转的性质得：， ，即， 在和中， ， ， ，， ，即， 则的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $