精品解析：安徽省六安市金寨县 部分校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

金寨部分学校联考2025－2026学年上学期九年级12月月考试卷 数　学 本卷共23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若点是反比例函数图象上一点，则此函数图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A. B. C. D. 4. 已知二次函数（为常数，且），给出如下结论： 函数图象一定经过第二、三、四象限； 函数图象一定不经过第一象限； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 野外考察队根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 9. 如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2）是图象的最低点，那么a的值为（　　） A. B. 2 C. D. 10. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，点A在线段上，在的同侧作等腰直角和等腰直角，其中，与分别交于点．求： （1）_____； （2）若，则_____． 12. 如图，在中，，，，，分别为，的中点，为边上动点，为直角三角形，点在的上方，且，． （1）若点与点重合，则的长是_____； （2）点运动过程中的最小值为_____． 13. 已知直线，相邻的两条平行直线间的距离均为，矩形的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，，则_____． 14. 已知，那么_______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与y轴交于点C． （1）求这个抛物线的表达式； （2）如果点D是抛物线位于第三象限上一点，交x轴于点E，且E为的中点． ①求D点坐标； ②点P在x轴上，如果，求点P的坐标． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题： （1）画出关于轴的轴对称图形； （2）以点为位似中心，在第一象限中画出，使得与位似，且相似比为． 18. 已知：如图，，连接，任作一条直线l，使，设l分别交于点P，Q，R，S． （1）若，，求的值； （2）求证：． 19. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点）． （1）以点C为旋转中心将顺时针旋转，得到（点A，B的对应点分别为，），画出； （2）在给定的网格中，以点O为位似中心将放大为原来的2倍，得到（点A，B，C的对应点分别为，，），画出． 20. 已知：中，点E是边上一点，交于点F，． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当为钝角时，是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明． 21. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线过点，y的最大值为9，点A在x轴正半轴上，点A向右平移2个单位得到点B，过点A，B作x轴的垂线分别交抛物线于点D，C，设A的坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若与的面积分别记作，，当时，求的值； （3）若以A，B，C，D为顶点的四边形的面积记作S． ①当时，求S的最大值； ②当时，直接写出时t的值． 22. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （参考数据：）． （1）求点P到地面的高度； （2）当挖掘机挖到地面上的点Q时，，求． 23. 如图，在菱形中，为边延长线上一点，连接分别交和于和两点． （1）求证：； （2）求证：； （3）已知，．求当该菱形改变为正方形，其余条件不变时正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金寨部分学校联考2025－2026学年上学期九年级12月月考试卷 数　学 本卷共23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若点是反比例函数图象上一点，则此函数图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征；只要点在函数的图象上，则点的坐标一定满足函数的解析式．反之，只要点的坐标满足函数解析式，则点就一定在函数的图象上． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴， ∵， ， ，， ∴只有点在反比例函数图象上． 故选：A． 2. 抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数的平移规律是解题关键．根据“左加右减，上加下减”，求解平移后的解析式即可． 【详解】解：抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线是， 故选：A． 3. 如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正五边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线． 连接，，由正五边形的性质可得的度数，根据圆周角定理可得的度数，由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4. 已知二次函数（为常数，且），给出如下结论： 函数图象一定经过第二、三、四象限； 函数图象一定不经过第一象限； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可，确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点位置是解题的关键． 【详解】由可知， ∵， ∴开口向下，与轴交点在负半轴， ∵对称轴为直线， ∴顶点在第二或第三象限， 故说法错误，说法正确， 当时，随的增大而增大或减小，此说法错误； 当时，随的增大而减小，此说法正确； 故正确， 故选：． 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，设 则 再代入分式求值即可. 【详解】解： ，设 故选： 【点睛】本题考查的是分式的值，掌握设辅助参数的方法求解分式的值是解题的关键. 6. 将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，即可得到答案． 【详解】解：从左边看是两个长方形，上面的长方形靠左，下面的长方形靠右， 故选C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形就是左视图． 7. 若关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整理成一般式后，根据方程有两个相等的实数根，可得△=0，得到关于a的方程，解方程即可得． 【详解】解：x(x+1)+ax=0， ∴x2+(a+1)x=0， 由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2-4×1×0=0， 解得：a1=a2=-1， 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 8. 野外考察队根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，推导与之比等于所对应的海拔差之比是解题关键．画出示意图分别求得与、与的海拔差，求比值即可． 【详解】解：经过线段且垂直海平面的平面截面图如下， 其中垂直海平面，垂直于点D，垂直于点E， 则点的海拔为，点的海拔为，点的海拔为， ∴，，， 图可知与的海拔差为， 与的海拔差为， ∵， 则． 故选：B． 9. 如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2）是图象的最低点，那么a的值为（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由A、C关于BD对称，推出NA=NC，推出AN+MN=NC+MN，推出当M、N、C共线时，y的值最小，连接MC，由图象可知MC=2，就可以求出正方形的边长，再求a的值即可． 【详解】解：如图，连接AC交BD于点O，连接NC，连接MC交BD于点N′． ∵四边形ABCD是正方形， ∴O是BD的中点， ∵点M是AB的中点， ∴N′是△ABC的重心， ∴N′O=BO， ∴N′D=BD， ∵A、C关于BD对称， ∴NA=NC， ∴AN+MN=NC+MN， ∵当M、N、C共线时，y的值最小， ∴y的值最小就是MC的长， ∴MC=2， 设正方形的边长为m，则BM=m， 在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC2=BC2+MB2， ∴20=m2+（m）2， ∴m=4(负值已舍)， ∴BD=4， ∴a=N′D=BD=×4＝， 故选：A． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到正方形的性质，重心的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键． 10. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绕点按逆时针方向旋转后得到，可得，然后根据可以求出的度数． 【详解】∵绕点按逆时针方向旋转后得到 ∴ 又∵ ∴ 【点睛】本题考查的是对于旋转角的理解，能利用定义从图形中准确的找出旋转角是关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，点A在线段上，在的同侧作等腰直角和等腰直角，其中，与分别交于点．求： （1）_____； （2）若，则_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）通过两边成比例，夹角相等来证可得，据此即可求解； （2）证得，可进一步证，结合条件可得，均是三边比例为的直角三角形，设，则，根据即可求解． 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟记定理内容，寻找几何条件证相似是解题关键． 【详解】解：（1）由题意得：，，，，， ， ， ∴ ； 故答案为：； （2）∵ ， ， ， ， 即：， ， ， ， ，， ， ，均是三边比例为的直角三角形， 即 设，则， 则 ， 解得： ， 故答案为：． 12. 如图，在中，，，，，分别为，的中点，为边上动点，为直角三角形，点在的上方，且，． （1）若点与点重合，则的长是_____； （2）点运动过程中的最小值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）当点与点重合，与重合，根据勾股定理及为的中点，可求的长度，由为直角三角形，，可求的长度， （2）当点与点重合时，设点的位置为，由，可得，求得，从而确定点的运动轨迹，根据点到直线距离垂线段最短，求出的最小值． 【详解】解：（1）根据题意作图，当点与点重合时， ，，， ， 点为的中点， ， 又，， ， ， 故答案为：； （2）当点与点重合时，设此时点的位置为，点的位置为，连接点、， ， ，， ，即， ， ， 又， 点的运动轨迹在直线上， 分别过、作直线、的垂线，垂足分别为、，的长度即为的最小值， ， ， ， ，解得：， ， 故点运动过程中的最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形内的三角函数，相似三角形的判定与性质，点到直线距离垂线段最短，解题的关键是： （1）熟练应用勾股定理及三角函数进行求值， （2）通过相似三角形的判定与性质，确定点的运动轨迹． 13. 已知直线，相邻的两条平行直线间的距离均为，矩形的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，求正切；取点，求出与的长度，在中，求即可． 【详解】解：如下图，设与的交点为， ，相邻的两条平行直线间的距离均为， ，， ，矩形的四个顶点分别在这四条直线上， ， 在中，， 则， 故答案为： 14. 已知，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，掌握内项之积等于外项之积成为解题的关键． 依据可得，再代入代数式化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．分别把各角的三角函数值代入原式，再由实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解： ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与y轴交于点C． （1）求这个抛物线的表达式； （2）如果点D是抛物线位于第三象限上一点，交x轴于点E，且E为的中点． ①求D点坐标； ②点P在x轴上，如果，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）①，②或 【解析】 【分析】（1）将点和代入，求出a和b的值即可； （2）①先求出点C的坐标，设点D的坐标为，根据点E为的中点可求出t的值，即可求出点D的坐标；②分两种情况进行讨论，当点P在点A左侧时和当点P在点A右侧时，画出辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形对应边相等即可进行解答． 【小问1详解】 解：将点和代入得： ，解得， ∴这个抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 ①把代入得：， ∴， ∵D是抛物线位于第三象限上一点， ∴设点D的坐标为，， ∵点E在x轴上，且E为的中点， ∴，解得：，（舍）， ∴， ∴点D的坐标为； ②∵点E为的中点，，， ∴， 当点P在点A左侧时，延长交x轴于点F， 设直线的表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 把代入得：，解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点P在点A右侧时，延长交x轴于点F，连接， 同理可得：，， ∴， ∵，， ∴轴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， 综上：点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式和一次函数解析式、全等三角形的形的性质，注意图形与坐标之间的联系，巧妙的依据已知条件构建全等三角形是解题关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题： （1）画出关于轴的轴对称图形； （2）以点为位似中心，在第一象限中画出，使得与位似，且相似比为． 【答案】（1） 如图所示，即为所求图形； （2）即为所求作图形． 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，位似图形的性质及作图，掌握作图方法是关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据位似图形的性质作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据相似比为，得到， 在平面直角坐标系中描点，连线即可作图， 18. 已知：如图，，连接，任作一条直线l，使，设l分别交于点P，Q，R，S． （1）若，，求的值； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， 又由（1）知， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质： （1）证明，得，代入数据计算即可； （2）根据相似三角形的性质定理可得到，，得出，进而可证出． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 19. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点）． （1）以点C为旋转中心将顺时针旋转，得到（点A，B的对应点分别为，），画出； （2）在给定的网格中，以点O为位似中心将放大为原来的2倍，得到（点A，B，C的对应点分别为，，），画出． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 如图所示，即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了画旋转图形，以及画位似图形，熟练掌握旋转和位似的性质是解答本题的关键． （1）先画出点A，B的对应点分别为，，然后连接即可； （2）先画出点A，B，C的对应点分别为，，，然后连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知：中，点E是边上一点，交于点F，． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当为钝角时，是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明． 【答案】（1）证明：∵平行四边形中，， ∴平行四边形是矩形． ∴． 又∵， ∴． ∴． （2） 成立 ， 证明：在上取点G，连接，使， ∴． ∵， ∴． 又， ∴． 又， ∴． ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据判定平行四边形是矩形，得到，结合，得到， 得到． （2）作，交于点G，得到，根据与，得到，结合，得到， 得到 ，即得． 本题主要考查了平行四边形，矩形，相似三角形．熟练掌握平行四边形性质，矩形的判定和性质，相似三角形判定和性质，添加辅助线构造相似三角形，等腰三角形性质，是解决问题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线过点，y的最大值为9，点A在x轴正半轴上，点A向右平移2个单位得到点B，过点A，B作x轴的垂线分别交抛物线于点D，C，设A的坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若与的面积分别记作，，当时，求的值； （3）若以A，B，C，D为顶点的四边形的面积记作S． ①当时，求S的最大值； ②当时，直接写出时t的值． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为 （2）当时， （3）①当时，S有最大值16；②或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据抛物线过点和，可以求出对称轴，然后利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据点A的坐标，可以表示点D的坐标为，点E的坐标为，然后根据求出结果即可； （3）①根据求出解析式，配方找到最大值即可；②根据分两种情况求出解析式，令求出t值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点和， 则对称轴为， 设解析式为，把，代入得： ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：设A的坐标为，则点B的坐标为， 又∵过点A，B作x轴的垂线分别交抛物线于点D，C， ∴点D的坐标为，点E的坐标为，即， ∴； 【小问3详解】 ①解： ， ∴当时，最大，最大为； ②令，则， 解得：（舍去）或； 当时， ， 令，则， 解得：； 综上所述，或． 22. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （参考数据：）． （1）求点P到地面的高度； （2）当挖掘机挖到地面上的点Q时，，求． 【答案】（1）点到地面的高度为； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，延长交于，易知四边形为矩形，则，，进而可求得答案； （2）由（1）可知，四边形为矩形，则，求得进而可得,据此求解可得答案． 【小问1详解】 解：过点作于H，延长交于， 则四边形为矩形， ∴，， 则， ∴点到地面的高度：， 即点到地面的高度为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形为矩形， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴． 23. 如图，在菱形中，为边延长线上一点，连接分别交和于和两点． （1）求证：； （2）求证：； （3）已知，．求当该菱形改变为正方形，其余条件不变时正方形的边长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ，， 又， ， ； （2） 证明：四边形是菱形， ，， ， ， 又， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）只需证明即可得到． （2）想证明，通过观察为比例中项，只需证明，即可到得答案． （3）根据学过的知识，出现比例中项的只有在三角形相似这个章节，所以只要证明即可到得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 该菱形改变为正方形时， 由（2）知：， ，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在中，由勾股定理可得正方的边长． 【点睛】本题考查了三角形全等、相似的内容，熟练掌握三角形全等及相似的证明方法是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $