精品解析：广东省湛江市第二十一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

湛江市第二十一中学2025-2026学年第一学期12月高一月考 数学 考试时间：120分钟 ，满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 设集合，则集合的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（ ） A B. C. D. 5. 已知函数是定义域为的偶函数，且，若对任意的、，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在一个有限的资源和空间环境下，某种生物的数量与时间（单位：天）的关系式为：，其中，为正常数．已知该种生物数量为，时，所对应的时间分别为，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. 4 C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. “”的否定为“” B. 若函数的定义域为，则“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件 C. 函数在区间上的值域为 D. 用二分法求方程在区间内的实根，下一个有根区间是 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则的最大值为－2 B. 若，则的最小值是 C. 若，且，则最小值是9 D. 若正实数，满足，则最小值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间是______． 13. 若，是真命题，则实数的取值范围是_______．（结果用集合表示） 14. 已知幂函数在上递减，则不等式的解集为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，，. （1）求，； （2）若，求的取值范围. 16. 化简求值： （1） （2） 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）作出函数的图象； （2）写出函数单调递增区间，并写出函数在区间上的最值； （3）求函数在上的解析式． 18. 当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前年，设备维护成本共万元.每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前x年的总盈利额为y万元. （1）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围； （2）使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种. 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理?并说明理由. 19. 已知定义在上的函数图象关于原点对称. （1）求解析式； （2）判断并用定义证明的单调性； （3）解不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市第二十一中学2025-2026学年第一学期12月高一月考 数学 考试时间：120分钟 ，满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 设集合，则集合的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 对于集合的子集个数，由于中元素个数较少，故可以直接枚举出每个子集，或者根据知识点：若集合中有个元素，则子集的个数为，进行求解． 【详解】集合中元素的个数为2，故子集的个数为 个， 分别为，，和． 故选：C． 【点睛】本题考查知识点：若集合中有个元素，则子集的个数为，非空子集有个，非空真子集有个． 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据具体函数有意义，可得关于的不等式，解之即可得函数的定义域. 【详解】由函数有意义， 等价于，解得， 可得函数的定义域为. 故选：A. 3. 已知且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质或取特殊值判断各选项即可. 【详解】解：对于A选项，取，满足且，但不成立，故错误； 对于B选项，因为，，所以由不等式性质得，故正确； 对于C选项，当时，，不满足，故错误； 对于D选项，取，则，不满足，故错误. 故选：B 4. 设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐一分析各选项的指数型函数图象或对数型函数图象得到参数情况，进而得到另一个函数图象性质即可判断得解. 【详解】对A，函数单调递增，且图象与y轴相交于x轴下方， 所以且， 所以函数单调递增且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故A错误； 对B，函数单调递增，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递增，且图象为向上平移个单位得到，故B正确； 对C，函数单调递减，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递减，且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故C错误； 对D，函数单调递减，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递减，故D错误. 故选：B 5. 已知函数是定义域为的偶函数，且，若对任意的、，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的单调性，由偶函数的性质得出，分、两种情况解不等式即可得其解集. 【详解】因为函数是定义域为的偶函数，且，则， 对任意的、，且，都有成立， 不妨设，则，即， 所以函数在上为增函数，故该函数在上为减函数， 当时，由得，解得； 当时，由得，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 6. 函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，即可判断的单调性，结合对数型复合函数的单调性，得到，解得即可. 【详解】设，则， 且，为减函数， 若函数在区间上是减函数， 则需是增函数且时恒成立， ，解得，即的取值范围是. 故选：D. 7. 在一个有限的资源和空间环境下，某种生物的数量与时间（单位：天）的关系式为：，其中，为正常数．已知该种生物数量为，时，所对应的时间分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接代入得到指数方程，两式相除即可得到答案. 【详解】由代入化简得①，由得②， ①和②相除得，则． 故选：C． 8. 若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合参数讨论，即可判断最小值，从而可求参数范围. 【详解】当时，单调递增，所以， 当时，， 显然当时，在上单调递增， 因此有， 此时函数没有最小值，不合题意； 当时，函数，存最小值，符合题意； 当时，在上单调递减，最小值， 在上值域为，要满足函数存在最小值， 则只需要. 综上可得：实数a的取值范围为， 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. 4 C. 不等式的解集为 D. 不等式解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，可得为一元二次方程的两个根，且，进而由韦达定理可得，即可判断A；再代入BCD求解判断即可. 【详解】由题意，为一元二次方程的两个根，且， 故，即，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由，则，即，解得，故C正确； 对于D，由，则， 即，解得或，故D错误. 故选：ABC. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. “”的否定为“” B. 若函数的定义域为，则“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件 C. 函数在区间上的值域为 D. 用二分法求方程在区间内的实根，下一个有根区间是 【答案】BCD 【解析】 【详解】由全称命题的否定结构可判断A，由奇函数的定义可判断B，分离常数，通过函数单调性可判断C，由二分法操作原理可判断D. A选项，“”的否定为“”，A选项错误. B选项，函数的定义域为，当时，如是偶函数. 当为奇函数，则，所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件，B选项正确. C选项，函数，可知：在区间上单调递减， 所以值域为，C选项正确. D选项，令， 方程在区间上有实数解，， 所以下一个有根区间是选项正确. 故选：BCD. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则的最大值为－2 B. 若，则的最小值是 C. 若，且，则的最小值是9 D. 若正实数，满足，则的最小值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，负化正利用基本不等式求解判断；对B，利用的单调性求解判断；对C，利用基本不等式构造的二次不等式求解判断；对D，利用“1”的代换化简后利用基本不等式求解判断. 【详解】对于A：若，则， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：令，则， 由于在上单调递增，故，故B错误； 对于C：因为，，且， 令，则，解得，所以， 当且仅当时取等号，故选项C正确； 对于D，因为正实数，满足， 则， 当且仅当，即，时取等号，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别分析内外层函数的单调性，由此可得的单调递增区间. 【详解】函数的定义域为， ∵在上单调递增，在上单调递增， ∴在上单调递增， 所以的单调递增区间是， 故答案为：. 13. 若，是真命题，则实数的取值范围是_______．（结果用集合表示） 【答案】 【解析】 【分析】讨论k是否等于0，结合判别式列出不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知，是真命题， 当时，即有恒成立，符合题意； 当时，则需满足，解得， 综合得实数的取值范围是， 故答案为： 14. 已知幂函数在上递减，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数定义可构造方程求得的值，结合单调性可确定的最终结果；根据奇偶性定义可得的奇偶性，结合定义域和单调性可得自变量大小关系，解不等式即可求得结果. 【详解】为幂函数，，解得：或； 当时，在上单调递增，不合题意； 当时，上单调递减，符合题意； 综上所述：； 的定义域为，， 为定义在上的偶函数，故，， 由且， 解得：或， 的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，，. （1）求，； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）求得集合，再根据交集、并集及补集的定义求解即可； （2）由题意可得，分、分别求解即可 【小问1详解】 因为集合，， 所以， ，或，或. 【小问2详解】 当时，，解得，满足，故； 当时，由，得：或，解得或， 综上，实数的取值范围为. 16. 化简求值： （1） （2） 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】（1）利用指数的运算性质即可求得答案； （2）利用换底公式、对数运算性质即可求得答案. 【小问1详解】 【小问2详解】 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）作出函数的图象； （2）写出函数的单调递增区间，并写出函数在区间上的最值； （3）求函数在上的解析式． 【答案】（1）作图见解析； （2）单调增区间为和，在区间上的最大值为4，最小值为； （3）. 【解析】 【分析】（1）先画出时的图像，再根据奇函数图像关于原点对称画出时的图像即可； （2）由图像得出单调区间，根据单调性来求最值即可； （3）根据奇函数的性质求出函数的解析式. 【小问1详解】 【小问2详解】 由函数图象，可得单调增区间为和. 所以在区间上递增，上递减， 所以当时，在区间上取得最大值， 由于是奇函数，所以， ，， 所以当时，在区间上取得最小值， 综上，在区间上的最大值为4，最小值为. 【小问3详解】 当时，所以， 又因为是奇函数，所以，所以， 所以. 18. 当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前年，设备维护成本共万元.每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前x年的总盈利额为y万元. （1）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围； （2）使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种. 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理?并说明理由. 【答案】（1）； （2）方案二更合理，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据销售总收入和成本，列出函数关系式即可； （2）利用二次函数的性质求出方案一的总盈利，结合基本不等式求出方案二的总盈利，然后比较，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意，. 【小问2详解】 方案一：总盈利额， 当时，， 若此时处理掉智能机器人，总盈利为万元； 方案二：年平均盈利额（万元）， 当且仅当时，年平均盈利额最大，若此时处理掉智能机器人， 总盈利为万元. 两方案总利润都是13200万元，但方案二用时更短，则方案二更合理. 19. 已知定义在上的函数图象关于原点对称. （1）求的解析式； （2）判断并用定义证明的单调性； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由关于原点对称可得，再结合关于原点对称，计算即可； （2）借助定义法证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. 【小问1详解】 由题意可得，即， 又关于原点对称，故，故， 即，此时有， 故关于原点对称，故， 即的解析式为； 【小问2详解】 在上单调递增；证明如下： 令，则 ， 由，则，，， 故，即在上单调递增； 【小问3详解】 由题意可得为奇函数，则有， 又因为在上单调递增，则有，解得， 所以原不等式的解集为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $