精品解析：陕西省商洛市商南县金丝峡初级中学，金丝峡镇梁家湾九年制学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

八年级数学模拟考试卷 （时间：120分钟 分数：120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下面各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列定理中，有逆定理的是（ ） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 两个全等三角形的面积相等 D. 平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 3. 计算（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. a2＋a＝a3 B. （ab）2＝ab2 C. a5÷a2＝a3 D. a5・a2＝a10 5. 若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x－4，则长方体的体积为( ) A. 3x3－4x2 B. 6x2－8x C. 6x3－8x2 D. 6x3－8x 6. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（　　） A. 36° B. 54° C. 18° D. 64° 7. 如图，在中，的垂直平分线分别与边交于点D，E．若与的周长分别是和，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点M在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，N是线段上一动点．当的长最小时，，则的长为（ ） A. 10 B. 13 C. 16 D. 无法确定 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 等腰三角形的一个外角为，则它的顶角为________________． 10. 若实数、满足等式，且m，n恰好是等腰三角形的两条边的边长，则的周长是_____________． 11. 若代数式有意义，则的取值范围是______． 12. 若的乘积中不含项，则的值是__________． 13. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，P是△ABC内一点，且∠ACP=∠PBC，则∠BPC的度数为______． 三、解答题（共81分） 14. 用简便方法计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠ABC，∠ADC=∠ACD，若∠BAC=63°，试求∠ADC的度数． 16. 如图，，，点在上，且．求证：． 17. 先化简，再求值． （1），其中，． （2），其中． 18. 在平面直角坐标系中，点A，B，C都在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，的位置如图所示， （1）在图中画出关于y轴对称的； （2）的顶点A关于y轴对称的点的坐标为________，的顶点关于x轴对称的点的坐标为________． 19. 老师在黑板上布置了一道题： 已知x＝－2，求式子(2x－y)(2x＋y)＋(2x－y)(y－4x)＋2y(y－3x)的值． 小亮和小新展开了下面的讨论： 小亮：只知道x的值，没有告诉y的值，这道题不能做； 小新：这道题与y的值无关，可以求解； 根据上述说法，你认为谁说的正确？为什么？ 20. 如图，“中国海监50”于上午11时30分在南海海域A处巡逻，观测到岛礁B在北偏东60°，该船以每小时10海里的速度向正东航行到C处，观测岛礁B在北偏东30°，继续向正东航行到D处时，再观测到岛礁B在北偏西30°，当海监船到达C处时恰与岛礁B相距20海里，请你分别确定“中国海监50”从A处到达C处和D处所用的时间． 21. 如图，E是的平分线上一点，，C、D是垂足，连接CD交OE于点F，若 (1)求证: 是等边三角形: (2)若EF=5，求线段OE的长， 22. 如图，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由点A向点C运动（点P与点A，C不重合），Q是的延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向的延长线方向运动（点Q不与点B重合），连接，交于点D． （1）当时，求的长； （2）求证：在运动过程中，D是线段的中点． 23. 如图，要在公路m，n之间的S区域修建一座电视信号发射塔P．按照设计要求，发射塔P到区域S内的两个城镇A，B的距离相等，到两条公路m，n的距离也相等．发射塔P应建在什么位置？请在图上标出它的位置． 24. 如图，是等边三角形，于，为边中线，、相交于点，连接． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若，求的长． 25. 在中，已知点在上，且，点在的延长线上，且． （1）如图①，若，，求的度数； （2）试求与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学模拟考试卷 （时间：120分钟 分数：120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下面各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、∵5＋6＝11，∴不能组成三角形，故A选项错误； B、∵8＋8＝16，∴不能组成三角形，故B选项错误； C、∵5＋4＜10，∴不能组成三角形，故C选项错误； D、∵6＋9＞14，∴能组成三角形，故D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键． 2. 下列定理中，有逆定理的是（ ） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 两个全等三角形的面积相等 D. 平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查逆定理的定义；判断每个定理的逆命题是否成立，若成立则有逆定理. 【详解】解：A、其逆命题为“相等的角是对顶角”，可举“等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故A不符合题意； B、其逆命题为“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，可举“大小不一样的等边三角形所有的角都相等，但不是全等三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故B不符合题意； C、其逆命题为“面积相等的两个三角形是全等三角形”，可举“面积相同，但形状不一样的两个三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故C不符合题意； D、其逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，逆命题成立，有逆定理，故D符合题意. 故选：D. 3. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握单项式与多项式相乘等于单项式与多项式的每一个项相乘是解题的关键． 根据单项式与多项式相乘的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选B． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. a2＋a＝a3 B. （ab）2＝ab2 C. a5÷a2＝a3 D. a5・a2＝a10 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂相除、同底数幂相乘的法则分别计算即可． 【详解】解：A．与a不是同类项，不能合并，故该项错误； B．，故该项错误； C．，该项正确； D．，该项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查整式的运算，掌握合并同类项、积的乘方、同底数幂相除、同底数幂相乘的法则是解题的关键． 5. 若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x－4，则长方体的体积为( ) A. 3x3－4x2 B. 6x2－8x C. 6x3－8x2 D. 6x3－8x 【答案】C 【解析】 【分析】根据长方体的体积=长×宽×高列式计算即可. 【详解】∵一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x－4， ∴长方体的体积为：2x·x·（3x－4）=6x3－8x2. 故选C. 【点睛】本题考查了整式乘法的应用，根据长方体的体积=长×宽×高正确列出算式是解决问题的关键. 6. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（　　） A. 36° B. 54° C. 18° D. 64° 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数． 【详解】解：∵AB=AC，∠ABC=72°， ∴∠ABC=∠ACB=72°， ∴∠A=36°， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB=90° ∴∠ABD=90°-36°=54°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般． 7. 如图，在中，的垂直平分线分别与边交于点D，E．若与的周长分别是和，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式即可得． 【详解】解：∵的垂直平分线分别与边交于点D，E， ∴， ∵与的周长分别是和， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，点M在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，N是线段上一动点．当的长最小时，，则的长为（ ） A. 10 B. 13 C. 16 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质，作点M关于直线的对称点G，过点G作于点N，交于点P，由轴对称的性质可得，即，由垂线段最短可知，的最小值为，由等边三角形的性质可得，推出，由含角直角三角形的性质可得，推出，计算出即可得解． 【详解】解：如图，作点M关于直线的对称点G，过点G作于点N，交于点P， 则， ∴， ∵， ∴由垂线段最短可知，的最小值为， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等边三角形， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 等腰三角形的一个外角为，则它的顶角为________________． 【答案】130° 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角定义；分两类讨论：外角是等腰三角形顶角的外角；外角是等腰三角形底角的外角，再根据三角形内角和定理判断是否成立. 【详解】解：①当外角为等腰三角形顶角的外角时，顶角为； ②当外角为等腰三角形底角的外角时，底角为，则另一个底角也为130°，此时，故舍去． 故答案为：130° 10. 若实数、满足等式，且m，n恰好是等腰三角形的两条边的边长，则的周长是_____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查绝对值的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系；根据绝对值的非负性，由等式求出m和n的值，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系确定三角形的边长，最后计算周长. 【详解】解：∵，，且， ∴， 解得：，， ∵是等腰三角形，且m，n是两条边的边长， ∴分两种情况讨论： ①当腰长为2时，三角形三边为2，2，4， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况不成立； ②当腰长为4时，三角形三边为2，4，4， 满足三角形三边关系，周长为． 故答案为：10. 11. 若代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有意义的条件，熟练掌握有意义时，是解题的关键，据此作答即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 若的乘积中不含项，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先用多项式乘以多项式法则展开，再由展开后不含x3项，得到关于m的一元一次方程，解之即可． 【详解】解： =mx4-2mx3-mx2-3x3+6x2+3x = mx4-(-2m-3)x3+(-m+6)x2+3x ∵展开后不含x3项， ∴-2m-3=0， ∴m= 【点睛】本题考查多项式乘以多项式法则，一元一次方程的应用． 13. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，P是△ABC内一点，且∠ACP=∠PBC，则∠BPC的度数为______． 【答案】115°##115度 【解析】 【分析】由已知条件根据三角形的内角和定理和等边对等角的性质，求得∠ABC=∠ACB=65°，再根据∠ACP=∠PBC和三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵AB=AC，∠A=50°， ∴∠ACB=∠ABC=65°， ∵∠PBC=∠PCA， ∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠PCA+∠PCB）=180°-∠ACB=115°． 故答案为：115°． 【点睛】本题综合考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质．对相等的角进行等量代换转化为一个角是解答本题的关键． 三、解答题（共81分） 14. 用简便方法计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算； （1）依据整式乘除法法则计算即可； （2）运用平方差公式和完全平方公式计算即可； （3）运用平方差公式和乘法分配律进行简便计算即可； （4）运用完全平方公式进行简便计算即可. 【小问1详解】 解： . 【小问2详解】 解： . 【小问3详解】 解： . 【小问4详解】 解： . 15. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠ABC，∠ADC=∠ACD，若∠BAC=63°，试求∠ADC的度数． 【答案】∠ADC =78° 【解析】 【分析】设∠BAD＝∠ABC＝α，根据外角的性质得到∠ADC＝∠B+∠BAD＝2α，于是得到∠ADC＝∠ACD＝2α，根据三角形的内角和列方程即可得到结论． 【详解】设∠BAD＝∠ABC＝α． ∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝2α，∴∠ADC＝∠ACD＝2α． ∵∠BAC＝63°，∴63°+α+2α＝180°，解得：α＝39°，∴∠ADC＝2α＝78°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角的性质，知道根据三角形的内角和列方程是解题的关键． 16. 如图，，，点在上，且．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． 【解析】 【分析】由题意易得，进而可证，然后问题可求证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 17. 先化简，再求值． （1），其中，． （2），其中． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查整式的化简求值，熟知其运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式和完全平方公式化简，再合并同类项，最后代入求值即可； （2）先计算整式的乘法，再合并同类项，最后代入求值即可． 【小问1详解】 解：原式 ， 当，时，原式； 【小问2详解】 解：原式 ， 当时，原式． 18. 在平面直角坐标系中，点A，B，C都在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，的位置如图所示， （1）在图中画出关于y轴对称的； （2）的顶点A关于y轴对称的点的坐标为________，的顶点关于x轴对称的点的坐标为________． 【答案】（1） 关于y轴对称的，如图所示： （2）， 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，点的坐标； （1）根据轴对称的性质画出即可； （2）根据坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标的特点，即可解答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，结合网格图，可知， ∵关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴ 故答案为：，. 19. 老师在黑板上布置了一道题： 已知x＝－2，求式子(2x－y)(2x＋y)＋(2x－y)(y－4x)＋2y(y－3x)的值． 小亮和小新展开了下面的讨论： 小亮：只知道x的值，没有告诉y的值，这道题不能做； 小新：这道题与y的值无关，可以求解； 根据上述说法，你认为谁说的正确？为什么？ 【答案】 解： ， ∴这道题与y的值无关，可以求解， ∴小新的说法正确． 【解析】 【分析】根据平方差公式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简即可得到答案． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平方差公式，多项式乘以多项式，多项式乘以单项式，熟知整式的相关计算法则是解题的关键，注意去括号的时候的符号问题． 20. 如图，“中国海监50”于上午11时30分在南海海域A处巡逻，观测到岛礁B在北偏东60°，该船以每小时10海里的速度向正东航行到C处，观测岛礁B在北偏东30°，继续向正东航行到D处时，再观测到岛礁B在北偏西30°，当海监船到达C处时恰与岛礁B相距20海里，请你分别确定“中国海监50”从A处到达C处和D处所用的时间． 【答案】A点到达C点所用的时间为2小时；从A点到达D点所用的时间为4小时. 【解析】 【分析】根据题意推出∠BAC＝∠CBA＝30°，推出AC＝BC＝20，然后根据船航行的速度，即可推出从A点到C点用了多长时间，即可推出到达C点的具体时间，根据D点观测海岛在北偏西30°方向，即可推出△BCD为等边三角形，即BC＝CD＝BD＝20，即可推出C点到达D点船所用的时间，即可推出船到达D点的时间． 【详解】解：∵在A处观测海岛B在北偏东60°方向， ∴∠BAC＝30°， ∵C点观测海岛B在北偏东30°方向， ∴∠BCD＝60°， ∴∠BAC＝∠CBA＝30°， ∴AC＝BC ∵D点观测海岛B在北偏西30°方向， ∴∠BDC＝60°， ∴∠BCD＝60°， ∴∠CBD＝60°， ∴△BCD为等边三角形， ∴BC＝BD， ∵BC＝20海里， ∴BC＝AC＝CD＝20(海里)， ∵船以每小时10海里的速度从A点航行到C处，又以同样的速度继续航行到D处， ∴船从A点到达C点所用的时间为：20÷10＝2(小时)，船从C点到达D点所用的时间为：20÷10＝2(小时)，船从A点到达D点所用的时间为：4(小时)． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与性质、外角的性质、余角的性质等知识点，关键在于通过求相关角的度数，推出相关边的关系，熟练运用航程、时间、速度的关系式，认真地进行计算． 21. 如图，E是的平分线上一点，，C、D是垂足，连接CD交OE于点F，若 (1)求证: 是等边三角形: (2)若EF=5，求线段OE的长， 【答案】 （1）证明：∵点E是的平分线上一点，，垂足分别是C、D， ， 在与中，， ， ， ， 是等边三角形； （2）20. 【解析】 【分析】(1) 根据角平分线的性质得出DE= CE，然后根据HL证得，得出，由，证得是等边三角形； (2)根据三线合一的性质得出，进而证得，然后根据30°的直角三角形的性质即可求得OE的长. 【详解】(1)略 (2)是等边三角形，OF是的平分线， ， ， ， ， ， ， . 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，30°的直角三角形的性质等，熟练掌握性质和定理是解题的关键. 22. 如图，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由点A向点C运动（点P与点A，C不重合），Q是的延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向的延长线方向运动（点Q不与点B重合），连接，交于点D． （1）当时，求的长； （2）求证：在运动过程中，D是线段的中点． 【答案】（1） （2） 证明：如图所示，过点P作，交于点F， ∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴在运动过程中，D是线段的中点. 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，含直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定； （1）点P与点Q同时以相同的速度运动，设，则，由推出，根据列方程求解即可； （2）过点P作，交于点F，先证明是等边三角形，得到 再由得到，即可证明得到，即可得证. 【小问1详解】 解：∵点P与点Q同时以相同的速度运动， ∴设，则， ∵是边长为6的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得： ∴. 【小问2详解】 略 23. 如图，要在公路m，n之间的S区域修建一座电视信号发射塔P．按照设计要求，发射塔P到区域S内的两个城镇A，B的距离相等，到两条公路m，n的距离也相等．发射塔P应建在什么位置？请在图上标出它的位置． 【答案】 解：分别作出公路夹角的角平分线和线段的中垂线，他们的交点为，则点就是修建发射塔的位置． 【解析】 【分析】本题考查的是利用尺规作角的平分线，作线段的垂直平分线，理解题意，再确定作图目的是解题的关键． 由线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，所以发射塔在线段的垂直平分线上，再利用尺规作线段的垂直平分线，由角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以发射塔在两条公路夹角的角平分线上，再利用尺规作公路夹角的角平分线，则这两条线的交点即为点，从而可得答案． 【详解】略 24. 如图，是等边三角形，于，为边中线，、相交于点，连接． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若，求的长． 【答案】（1） 等边三角形，理由如下： 在等边中，，， ，， ， 又为边上的中线， ， ， 又， 是等边三角形； （2）2 【解析】 【分析】该题主要考查了等边三角形的判定及其性质，直角三角形的性质；解决本题的关键是熟练掌握等边三角形的判定及其性质，直角三角形的性质． （1）由等边三角形的性质可得，，可得出，由为边上的中线，得出，从而得出，再由等边三角形的判定可得结论； （2）先证明，再由可得，再求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：、分别是的中线， ，， ， ， ， ， ∴． 25. 在中，已知点在上，且，点在的延长线上，且． （1）如图①，若，，求的度数； （2）试求与的数量关系． 【答案】（1） （2） ，理由如下： 在中，设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角的和差运算，通过角的和差运算，建立与的数量关系是解题关键． （1）根据、，先由等腰三角形性质得，再由可得，进而求得，再由结合外角性质可求得的度数． （2）设，，则，由得，进而得到，再根据得到，将和相加后求出，与比较即可得出结果． 【小问1详解】 解：在中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 答：的度数为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $