精品解析：四川省成都市天府第四中学校2025-2026学年九年级上学期期中数学测试题

四川省成都市天府第四中学校2025-2026学年九年级上学期期中数学测试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一.选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 根据表格中的信息，估计一元二次方程（a、b、c为常数，）的一个解x的范围为（ ） A. B. C. D. 2. 数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 黄球 C. 红球 D. 白球 3. 如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在对角线上，已知，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，AB与CD交于点，且．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如果点 、、 在反比例函数 （） 的图象上，那么（     ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，E是上一点，，，，连接．若，则下列结论中错误的是（ ） A. 平分 B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 8. 若，则______． 9. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 10. 一个直四棱柱的三视图及有关数据（单位：cm）如图所示，它的俯视图是菱形，则这个直四棱柱的侧面积为_______． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则______． 12. 如图，在中，点是边上一点，，点在的延长线上，，连结交于点，那么=____． 三.解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种． （1）小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液里，结果变红的概率是多少？ （2）小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 15. 如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 16. 年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米是其两腿迈出的步长之差厘米的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： （1）求与之间的函数表达式； （2）当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米? （3）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米，直接写出其两腿迈出的步长之差最多是多少． 17. 在  中，，，延长至点D，使，E为线段上一点，，延长交于点F． （1）过点A作的平行线交的延长线于点G，求的值； （2）在上取点M，使，求的值； （3）求的度数． B卷（共50分） 一.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 18. 若，其中，则的值为______． 19. 小航和小珂玩猜数字游戏时，把小航猜的数字记为x，小珂猜的数字记为y，且x，y是，1，2，4四个数其中的某一个，若在平面直角坐标系中，点恰好落在直线上，则称小航和小珂“心有灵犀”，则小航和小珂“心有灵犀”的概率为______． 20. 反比例函数的图象如图所示．若轴，且的面积为3，则k的值为______． 21. 已知，且，则化简_____． 22. 在矩形 中，，，P 为 边上的中点，F 为 边上的动点且不与端点重合，连接  ，过 P 作交 边于 E ，连接 ，连接 ，O 为中点，Q 为  中点，连接  ．则的取值范围为_________． 二.解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 23. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． （1）当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，交轴于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若为反比例函数图象上的一点，当时，求点的坐标； （3）在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． 25. 如图，在 中，，D 为直线 上一点（不与 A 、 C 重合），将线段绕点 B 逆时针旋转 得到线段  ，连接 ． （1）如图 1，若 D 在边上，，作于点 G，，求的长； （2）如图 2，若 D 在边上，连接  ，延长 交 于 F ，求证：； （3）如图 3，若 D 在边上，连接  ，延长 交 于 F ，M 为射线 上一点，连接 ，使得 ，连接，当 为直角三角形时，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省成都市天府第四中学校2025-2026学年九年级上学期期中数学测试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一.选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 根据表格中的信息，估计一元二次方程（a、b、c为常数，）的一个解x的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应该在与之间，从表中选择合适的数据即可． 【详解】解：由表中数据得： 当时，， 当时，， 使方程成立的一个解应该在与之间， ． 故选C 【点睛】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键． 2. 数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 黄球 C. 红球 D. 白球 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到三种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该球的频率稳定在左右，即抽到该球的概率为， ∵抽到白球的概率为，抽到黄球的概率为，抽到红球的概率为， ∴该球的颜色最有可能是黄球， 故选：B． 3. 如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在对角线上，已知，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形内角和定理和等边对等角，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后由矩形得到，，进而利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴． 故选：B． 4. 如图，AB与CD交于点，且．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行线得到相似三角形，并根据相似三角形的性质求解． 先根据平行线证明与相似，再由已知条件得出相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出的值． 【详解】， ， ， 已知，设，则， ， 与的相似比为， 根据相似三角形面积比等于相似比的平方， ． 故选：C． 5. 如果点 、、 在反比例函数 （） 的图象上，那么（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的函数值计算与大小比较，熟练掌握反比例函数的表达式代入求值及正数、负数的大小比较规则是解题的关键． 先根据反比例函数表达式计算各点的函数值，再结合比较函数值大小． 【详解】解：∵ 反比例函数为， ∴，，． ∵， ∴，即 ， ∴． 故选：C． 6. 关于x的一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解．熟练掌握、是的两根，则是解题的关键． 先根据题意得到一元二次方程的解为，再根据根与系数关系得到，从而可对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根， ∴一元二次方程的解为， ∴， ∴， ∴， ∴，，，故A、B、C正确，不符合题意； ∵，故D错误，符合题意； 故选：D． 7. 如图，E是上一点，，，，连接．若，则下列结论中错误的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，过点E作于点F，首先得出，得到，等量代换得到，即可判断A；结合即可得到，即可判断D；根据同角的余角相等得到，等量代换得到，然后根据角平分线的性质定理得到，，即可得到，进而判断C；首先得到，证明出，得到，然后等量代换得到，即可判断B； 【详解】解：如图所示，过点E作于点F ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴平分，故A正确； 又∵ ∴，故D正确； ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴，故C正确； ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，即 ∴，故B错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 8. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由得，设，代入化简即可． 本题考查了比例的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由得， 设， ． 故答案为：． 9. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握知识点是解题的关键．根据，解一元一次不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 10. 一个直四棱柱的三视图及有关数据（单位：cm）如图所示，它的俯视图是菱形，则这个直四棱柱的侧面积为_______． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查直四棱柱侧面积的计算，掌握先由三视图确定底面菱形的边长，再利用侧面积公式计算是解题的关键． 先根据三视图确定直四棱柱的底面菱形的边长，再结合直四棱柱的高，计算侧面积． 【详解】解：由主视图、左视图和俯视图可知，底面菱形的对角线长分别为和， 根据菱形的性质，边长为， 直四棱柱的高为，侧面积为底面周长乘以高，即． 故答案为：80． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线，勾股定理，中点坐标，求反比例函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．在中，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，利用勾股定理得到，则，再结合中点坐标公式，得到，根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出值． 【详解】解：在中，点C为的中点，， ， 点B的坐标为， ， ， ， 点C的坐标为，即， 反比例函数的图象经过点C， ， 故答案为：12． 12. 如图，在中，点是边上一点，，点在的延长线上，，连结交于点，那么=____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例的常用结论，相似三角形的判定和性质定理．过点作得出，再根据已知条件和比例的性质用参数表示线段从而得出线段的比值 ．正确做出辅助线是解题关键 ． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 设， 则， ∴， ∴ ． 故答案为： ． 三.解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解方程即可； （2）根据公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：移项得， 因式分解得， 所以或， 解得：； 【小问2详解】 解：去括号得， 移项合并同类项得， ， 根据求根公式得， 解得． 14. 酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种． （1）小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液里，结果变红的概率是多少？ （2）小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式即可解题； （2）运用树状图列出所有可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可． 【小问1详解】 解：总溶液4瓶，其中碱性溶液2瓶（氢氧化钠和氢氧化钙），酚酞变红需溶液碱性， 故结果变红的概率是； 【小问2详解】 解：溶液标记为A（盐酸，酸性）、B（硝酸钾，中性）、C（氢氧化钠，碱性）、D（氢氧化钙，碱性），小明和小亮各选1瓶不同溶液，所有等可能结果列表如下： 小明 小亮 A B C D A —— B —— C —— D —— 总共有12种等可能结果， 变红溶液为C和D，不变色溶液为A和B， 一瓶变红一瓶不变色的结果有：，共8种。 ∴概率为． 15. 如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得及是解题的关键． （1）由，，证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质证明，则四边形是矩形； （2）由菱形的性质得，由矩形的性质得，则6，，所以，则． 【小问1详解】 证明：∵的中点为E， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线与相交于点O， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∴6， ∴， ∴， ∴菱形的面积为96． 16. 年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米是其两腿迈出的步长之差厘米的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： （1）求与之间的函数表达式； （2）当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米? （3）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米，直接写出其两腿迈出的步长之差最多是多少． 【答案】（1） （2）当某人迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米 （3）某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米时，迈出的步长之差最多是厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解反比例函数解析式即可． （2）代入到解析式中，求得，即可求解． （3）根据题意可得，求解即可得出结果． 【小问1详解】 解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，反比例函数图象过点， ， ， ． 【小问2详解】 解：当时，， 当某人迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米． 【小问3详解】 解：大圆圈的半径不小于米， ， 即：， ， 某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米时，迈出的步长之差最多是厘米． 17. 在  中，，，延长至点D，使，E为线段上一点，，延长交于点F． （1）过点A作的平行线交的延长线于点G，求的值； （2）在上取点M，使，求的值； （3）求的度数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，三角形的外角的定义及性质，相似三角形的判定与性质综合，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先证明是等腰直角三角形，设，从而可求得，再根据，分别求得，，然后证明，列出比例式，由此可求得，再根据，求得，从而可求得； （2）由（1）得是等腰直角三角形，从而可得．设，则，，．再利用等腰直角三角形分别求得．，从而可求得，再求得，根据，求得，从而可求得，再求； （3）先证明，从而可得，再根据平行线的性质可得，从而可利用三角形的外角的性质求得． 【小问1详解】 解：由（1）得是等腰直角三角形． 不妨设， 则， ∵， ∴，， ∵交的延长线于点G， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 过点E作于点N，如图， 由（1）得是等腰直角三角形， ∴． 设，则，，． 在等腰直角三角形中，． 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 过点A作的平行线交的延长线于点G， 则，， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． B卷（共50分） 一.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 18. 若，其中，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，由可得，，因为，把整体代入，即可得到答案．得到从而等量代换是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为： 19. 小航和小珂玩猜数字游戏时，把小航猜的数字记为x，小珂猜的数字记为y，且x，y是，1，2，4四个数其中的某一个，若在平面直角坐标系中，点恰好落在直线上，则称小航和小珂“心有灵犀”，则小航和小珂“心有灵犀”的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率．通过列举所有可能的点，并检查哪些点满足直线方程，从而确定符合条件的情况数，再计算概率． 【详解】解：由题意，和均从集合中取值，因此所有可能的点共有种情况． 点在直线上，需满足． 分别代入的值计算： 当时，，但6不在集合中，不符合； 当时，，4在集合中，符合； 当时，，3不在集合中，不符合； 当时，，1在集合中，符合． 因此，符合条件的点有和，共2种情况． ∴概率为． 故答案为：． 20. 反比例函数的图象如图所示．若轴，且的面积为3，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，连接，推导出 ，然后根据反比例函数性质的几何意义即可求得． 【详解】解：连接，   ∵轴， ， ∴， ， ∵反比例函数在第二象限， ∴， ， 故答案为：． 21. 已知，且，则化简_____． 【答案】 【解析】 【分析】由，即，且可知可看做方程的两不相等的实数根，继而知，且，将其代入到原式可得答案． 【详解】解：，即，且 可看做方程的两不相等的实数根， 则 则原式 【点睛】主要考查方程的解、韦达定理、二次根式的化简求值等知识点，根据满足的等式判断出可看做方程的两不相等的实数根且是解题的关键． 22. 在矩形 中，，，P 为 边上的中点，F 为 边上的动点且不与端点重合，连接  ，过 P 作交 边于 E ，连接 ，连接 ，O 为中点，Q 为  中点，连接  ．则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、二次函数最值问题、中位线性质定理等内容，过点E作于点，则四边形是矩形，得，，由点P是的中点得，设，证明，得，，连接，则点为中点，取的中点，则，，证明是直角三角形，得，可求得的最小值为，当F与D重合时，的值为3，由F不与D重合，故可得的取值范围． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 过点E作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∵点P是的中点， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴，即, ∴ ∴， ∴； 连接，则点为中点，取的中点，连接，， 则，，，， ∴，即是直角三角形， ∴， ∴当时，有最小值， 当F与D重合时，的值为3， 由题，F不与D重合， ∴． 二.解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 23. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． （1）当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，点B在的垂直平分线上 （2）当时，的长度等于 （3）存在，当时，使得的面积等于 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． (1)先求出，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； (2)先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； (3)先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ∵B在的垂直平分线上， ， ， 解得， ∴当时，点B在的垂直平分线上； 【小问2详解】 ∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得， ， 即 解得，， 舍去 ∴当时，的长度等于； 【小问3详解】 由题意得，， 的面积等于， ， ， 化简得 或 舍去， ∴当时，使得的面积等于． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，交轴于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若为反比例函数图象上的一点，当时，求点的坐标； （3）在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）代入得，得,代入，求出a值即得； （2）可得点，得,取中点S，连接,则，,取点S关于点O的对称点，当时，求出解析式，联立得，解得（符合），得；取点Q关于点S的对称点，当时，求出解析式，联立得，解得，得；即得点的坐标为或或或； （3）求出，得，，由，得，根据与相似，，得，得，得；或，得，得；即得点的坐标或． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 取中点S，连接， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴点P到的距离是点O到距离的2倍， 取点S关于点O的对称点， 当时， 设解析式为， ∴， ∴， ∴， 联立得， ∴（舍去）， ∴； 取点Q关于点S的对称点N， ∵，， ∴， 当时，设解析式为， ∴， ∴， ∴， 联立得， ∴（舍去）， ∴； ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵中，时，，时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与相似，， ∴， ∴， ∴， ∴； 或， ∴， ∴， ∴； ∴点的坐标或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与三角形面积综合，同底三角形面积与高的关系，相似三角形性质，分类讨论，是解题的关键． 25. 如图，在 中，，D 为直线 上一点（不与 A 、 C 重合），将线段绕点 B 逆时针旋转 得到线段  ，连接 ． （1）如图 1，若 D 在边上，，作于点 G，，求的长； （2）如图 2，若 D 在边上，连接  ，延长 交 于 F ，求证：； （3）如图 3，若 D 在边上，连接  ，延长 交 于 F ，M 为射线 上一点，连接 ，使得 ，连接，当 为直角三角形时，请直接写出此时的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）由题易得是等边三角形，所以可求出，再结合旋转的性质以及等边三角形的判定和性质即可得解； （2）作射线交的延长线于点H，使，过点C作交于点K，先证，再证，所以，进而即可得证； （3）以为边向上侧作等边，易证，可证出，所以，进而得到，然后证，再证，可得，，最后分类讨论，根据特殊角找出边的关系求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，过点D作于点G， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵线段绕点B逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2，作射线交的延长线于点H，使，过点C作交于点K， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：以为边向上侧作等边，连接，连接， 则，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴点A为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ①当时， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $