江西期末考试专题复习探究型问题之“折叠问题”课件-2024-2025学年北师大版九年级数学上册

探究型问题之“折叠问题” 的解题策略 一、创设情境 折叠中的数学 轴对称图形的定义中——如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能相互重合，这个图形就叫做轴对称图形。 方法点拨：①折痕所在直线（即对称轴）两侧的图形是全等图形；②对应点的连线被折痕所在直线即对称轴）垂直平分。 3 操作:如图，将矩形ABCD沿PE折叠，使点D落在边BC上的F处，当点F在BC边上移动时，折痕两端点也随之移动，若限定点P,E分别在AD,CD边上移动，且AB=3,AD=5，则F点可移动的最大距离为_______． 探究型问题之“折叠问题” A B D C E P F A B D C （E） P F （P） 3 3 3 5 5 4 1 2 A B C D F E 透过现象看本质: 折叠 轴对称 实质 轴对称性质： A D E F 1.图形的全等性：折叠前后的图形是全等形. 2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分. 由折叠可得： 1.△AFE≌△ADE 2.AE是DF的中垂线 探究型问题之“折叠问题” 题型一：三角形中的折叠问题 例 1 、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边 AB=6 ㎝， BC=8 ㎝。现将直角边 AB 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AC 上，且与 AE 重合，求 BD 的长． A B C D E 6 8 x 8-x x 6 4 ∴ BD=3 ∵DE²＋CE²=CD² ∴ X²＋4²=(8-X)² X²＋16=64-16X+X² 16X=48 X=3 在Rt△CDE中，利用勾股定理，列出方程 例2:已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反比例函数 的图象与AC边交于点E． 请探索：是否存在这样的点 F，使得将△CEF沿EF对折 后，C点恰好落在OB上？ 若存在，求出点F的坐标； 若不存在，请说明理由． N M (4, ) （ ,3） 探究型问题之“折叠问题” 把条件集中到一Rt△中，根据勾股定理得方程。 寻找相似三角形，根据相似比得方程。 探究型问题之“折叠问题” 例3：如图1，在长方形纸片ABCD中， ，其中 ≥1，将它沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.设 ，其中0＜n≤1． 如图2，当 （即M点与D点重合）， =2时，则 = ； 如图3，当 （即M为AD的中点）， 的值发生变化时，求证：EP=AE+DP； (3)如图1，当 （AB=2AD）， 的值发生变化时， 的值是否发生变化？说明理由． 延长PM交EA延长线于G，则△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG.∴EP=EG=EA+AG=EA+DP. 连接BM交EF于Q,过F作FH⊥AB于H,∵EF⊥BM , ∴ ∠ABM=∠EFH,∴△EFH∽ΔMBA ∴ 的值不发生变化. H G Q 折叠问题多奇观， 对称图形是关键。 折痕毕竟两个点， 分清动点不动点。 不通想想用转换， 题中线索轮番上。 直角顶点过直线， 全等相似作垂线。 特殊角应特殊看， 直角三角形中见。 勾股定理勾股数， 聚集条件方程添。 看见连线对应点， 不忘垂直平分线。 其实折痕这条线， 还是夹角平分线。 这时想到对角线， 菱形可能会出现。 折叠问题千千万， 不如我们脑子赞！ 折叠问题口诀 A B D C E P F 将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F，�边CD折叠后与AD边交于点H． （1）如果P为AB边的中点，探究△ PBE的三边之比和△AHP的周长. （2）若P为AB边上任意一点，能求得△APH的周长吗? 练一练 探究型问题之“折叠问题” 将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F，�边CD折叠后与AD边交于点H． （1）如果P为AB边的中点，探究△PBE的三边之比h和△AHP的周长 可得△PBE的三边之比3:4:5. 练一练 探究型问题之“折叠问题” 由PB²＋BE²＝PE²得： a²＋x²＝(2a－x)² 可得△AHP的周长＝ 设BE为x 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F，�边CD折叠后与AD边交于点H．(2)若P为AB边上任意一点，能求得△ APH周长吗? 1．贯彻从特殊到一般，从一般到特殊的数学思想。 2．在“变“过程中的“不变”。 △PBE∽△HAP 练一练 探究型问题之“折叠问题” 将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F，�边CD折叠后与AD边交于点H． （3）如果P为AB边的中点，有哪些三角形相似呢?梯形DCEF和梯形BAEF面积之比是多少? △PBE∽△HAP∽△HQF 可求出梯形DCEF的面积: 由△CME∽△CBP 由△FNE≌ △CBP 练一练 探究型问题之“折叠问题” 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 解题策略：重结果——“叠”． 心得：先标等量，再构造方程。 折叠问题中构造方程的方法： （2）寻找相似三角形，根据相似比得方程。 （1）把条件集中到一Rt△中，根据勾股定理得方程。 探究型问题之“折叠问题” 反思小结 重结果 折叠问题 折 叠 程过重 利用Rt△ 利用相似 方程思想 轴对称 全等性 对称性 质本 精髓 探究型问题之“折叠问题” Thanks! Lavf58.46.101 $$