第10讲：函数的表示方法【知识梳理+9个题型归纳+方法总结】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2025-2026年高一数学上学期常考题型归纳 【第10讲：函数的表示方法】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、求函数解析式的常用方法（选择性必修一核心方法，附教材例题） 1.待定系数法（已知函数类型，如一次、二次函数） 适用场景：明确函数为一次函数（）、二次函数（）等具体类型，已知函数过定点或特定函数值。 核心思路：设出函数通式→代入已知条件列方程组→解方程组求系数。 教材例题（人教版选择性必修一P8例3改编）：已知一次函数满足，，求。 解：设，代入条件得方程组： 两式相加消去：，代入得，故。 注意点：二次函数需标注，若解得，则函数退化为一次函数（需单独说明）。 2.换元法（含复合结构，如形式） 适用场景：函数表达式含复杂代数式（如根号、一次多项式嵌套，例：）。 核心思路：设（复杂代数式）→解出（用表示）→代入原式得→替换为（标注定义域）。 教材例题（人教版选择性必修一P9练习T4）：已知，求。 解：设，则，代入原式： 化简： 因可取全体实数（），故。 3.配凑法（代数式可直接变形为“括号内结构”） 适用场景：等式右边可配凑成左边“”中括号内的形式（例：）。 核心思路：利用代数公式（完全平方、平方差等）将右边配凑为含“括号内式子”的形式→直接替换得。 教材级示例：已知，求。 解：配凑右边（利用完全平方公式）： 设（，因），故，即。 4.方程组法（含与或） 适用场景：已知等式含与（或），可通过替换变量联立方程消元。 教材例题（人教版选择性必修一P10习题T7）：已知，求。 解：第一步，用替换原式中的，得： 第二步，联立原方程与新方程： 第三步，消元求解：得： 化简：。 二、抽象函数求解析式（选择性必修一重点：赋值法） 适用场景：仅已知函数性质（如、），无具体函数类型，定义域为或正实数。 核心思路：令取特殊值（如、、）→利用性质推导解析式。 教材例题（人教版选择性必修一P11拓广探索T12）：已知对任意，，且，求。 解：①求：令，则： ②递推关系：令，则： ③推导解析式： 对整数：； 对有理数（）：； 故对任意，（满足所有给定性质）。 注意点：赋值需覆盖定义域关键值（0、1、相反数等），确保解析式满足“所有已知性质”（不可遗漏条件）。 三、分段函数（选择性必修一核心：解析式与求值） 1.分段函数的解析式表示 定义：定义域被划分为若干互斥区间，每个区间对应唯一函数表达式，形式为： 2.分段函数的求值与简单最值（结合高考真题基础题） 求值步骤： ①判断自变量所属区间（关键：明确分段点归属，如归“”还是“”）； ②代入对应区间的函数表达式计算。 高考真题示例（2024·浙江学考）：已知分段函数，求。 解：①求内层：因，代入： ②求外层：因，代入： 故。 简单最值（选择性必修一要求）： 步骤：①分段求各区间内的最值（一次函数用端点值，二次函数用顶点/端点值）；②比较各区间最值，确定全局最值。 示例（如上真题函数）： 当时，（开口向上，顶点在），最小值为，最大值为； 当时，（单调递增），故； 综上，全局最小值为，无全局最大值。 四、选择性必修一常考结论（高频考点） 1.解析式求解结论： 待定系数法：若未明确“二次函数”，需验证（例：“过”，可能为一次函数）； 换元法：必标注定义域（例：中，换元后，故定义域为）。 2.抽象函数结论： 若对任意成立，则是正比例函数（），且满足、（奇函数）； 若且，则（一次函数）或（选择性必修一阶段重点关注一次函数）。 3.分段函数结论： 分段函数是“一个函数”，非多个函数，解析式需满足“区间互斥性”（无重叠）与“定义域完整性”（无遗漏）； 求值时“先判区间，再代公式”，分段点（如）需严格按定义归属区间（不可随意代入）； 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：待定系数法求解析式】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式 (1)已知是一次函数，且，求的解析式； (2)已知是二次函数，且满足． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果； （2）利用待定系数法，即可求得答案． 【详解】（1）设，则， ，解得，或， 或． （2）由题意设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得， 所以． 【例题2】（25-26高三上·陕西渭南·开学考试）已知是一次函数且，则的解析式 . 【答案】 【分析】由题意设，利用待定系数法求解. 【详解】是一次函数，下设， 由，则， 化简可得：， 由对应系数相等可知，，解得， 则. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，求的解析式． 【答案】 【分析】根据题意设二次函数的解析式.由得 ； ，得；以及.即可得出解析式. 【详解】设 . 由，得 得；① 设的根为， 则， 所以② 又由已知得.③ 由①②③解得， 所以． 【相似题2】（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【解题策略】 一、适用场景 已知函数具体类型（一次、二次、正比例、反比例等），且已知函数过定点或特定函数值。 二、解题步骤（共4步，附示例） 示例：已知一次函数满足，，求。 步骤1：定函数类型，写标准通式 根据函数类型，设含待定系数的通式（标注系数限制）： 一次函数：（为斜率，为截距）； 二次函数：； 正比例函数：。 示例中为一次函数，设。 步骤2：用已知条件，列方程组 将已知函数值（或定点）代入通式，列关于待定系数的方程组： 示例中，即，即，得： 步骤3：解方程组，求待定系数 通过消元法（代入/加减）解方程组，得系数值： 示例中，两式相加消去：，代入得。 步骤4：代回通式，写解析式 将求得的系数代入通式，得到最终函数解析式： 示例中，。 三、常考函数通式（规范版） 函数类型 标准通式（含系数限制） 一次函数 二次函数 正比例函数 反比例函数 四、易错点（核心提醒） 1.漏标系数限制（如一次函数漏写，二次函数漏写）； 2.代入函数值时计算错误（如将错算为）； 3.解方程组后未验证（可将系数代回原条件，如示例中，符合已知 【题型二：配凑法求函数解析式】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）若，则函数 ． 【答案】 【分析】利用配凑法求解函数的解析式即可. 【详解】函数，又的值域为. 所以， 故答案为：. 【例题2】（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足：对任意非零实数，都有，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】先整理，进而利用换元法求解即可. 【详解】由， 令，得， 所以的解析式为． 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）若，则函数 ． 【答案】， 【分析】利用换元法，令，利用基本不等式求出的取值范围，最终求出函数解析式； 【详解】，即 令， 当时，由基本不等式得， 当时，，由基本不等式得，即， ， 则，， ，， ，. 故答案为：， 【相似题2】（2025高一·全国·专题练习）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先配方，再利用整体法求函数的解析式即可. 【详解】由， 而， 所以． 故选：D． 【解题策略】 一、配凑法核心步骤（基础框架） 1.观察结构：识别已知表达式中，右边与左边括号内的关联（如，则需配凑成含的形式）； 2.公式辅助：利用代数公式（完全平方、立方差/和等）将变形，凑出“的多项式”； 3.替换定义：令，则化为关于的表达式， 4.确定定义域：根据的取值范围，标注的定义域，最终替换为。 二、补充：立方差/和公式（配凑关键公式） 1.核心公式（规范书写） 立方差公式： 立方和公式： （适用场景：已知表达式含“立方项+一次项”，且左边括号内为形式） 三、含立方公式的配凑示例（选择性必修一难度） 示例1：用立方差公式配凑 已知，求。 1.观察关联：左边括号内为，右边需凑； 2.用立方差/和公式展开目标项： ； 3.配凑右边表达式： 对比与，得： ； 4.替换与定义域：令（），则，故（）。 示例2：用立方和公式配凑 已知，求。 1.观察关联：左边括号内为，右边凑； 2.展开目标项： ； 3.配凑右边： ； 4.替换：令（），则（）。 四、配凑法（含立方公式）常考注意事项 1.公式记忆准确：立方差/和公式中“中间项符号”：差公式中间为“”，和公式中间为“”，避免符号错误； 2.先定“目标形式”：若左边括号内为，先写出的展开式，再对比右边拆项/补项，勿盲目变形； 3.定义域同步：若有取值限制（如），需根据范围确定定义域（如）。 ）。 【题型三：换元法求函数解析式】 例题精选 【例题1】（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数，则 ． 【答案】 【分析】由换元法，即可求解. 【详解】利用换元法即可得到答案． 令，则， ， ∴函数的解析式为． 故答案为：． 【例题2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用换元法求得，进而求得. 【详解】设，则，所以，故． 故答案为： 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·河南商丘·期中）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法求得函数解析式，进而求出函数的值域. 【详解】设，则，则， 因此，， 所以函数的值域为. 故选：C 【相似题2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则 ． 【答案】（且） 【分析】运用换元法求解即可. 【详解】由于，（且）， 则， 所以,且，所以（且）． 故答案为：（且）． 【解题策略】 一、核心适用场景 已知函数为复合结构（如），且是可解出的代数式（如一次多项式、根号式，例：、）。 二、五步解题步骤（附规范示例） 步骤1：设新元，锁定复合内层 令（为原函数中“嵌套的复杂代数式”），明确与的对应关系。 示例：已知，设。 步骤2：用表示，确定的取值范围 1.从中解出，得到（是关于的代数式）； 2.根据原函数中的定义域，推导的取值范围（即的定义域，必写！）。 示例：由，得，故； 因，故（的范围为）。 步骤3：代入原函数，化简得 将代入原函数，替换所有，化简后得到仅含的表达式。 示例：将代入： 步骤4：替换变量，确定 将中的替换为，同时附上步骤2中求得的定义域（保证函数等价）。 示例：（定义域：）。 步骤5：验证（可选，确保正确性） 取原函数中任意值，分别计算“原函数值”与“所求对应值”，验证是否相等。 示例：取（原函数中）： 原函数：； 所求：，相等（验证正确）。 三、常考易错点 1.漏求的取值范围：如例中忽略，误写（定义域），导致函数不等价； 2.代入化简错误：展开时漏项（如错写），需严格按完全平方公式计算； 3.变量替换遗漏：最终结果写为，未换成（函数自变量符号不影响，但需按要求写）。 【题型四：方程组法求函数解析式】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是一切非零实数，且满足，则的表达式为 . 【答案】 【分析】用替换，联立解得. 【详解】由得， 联立两式解得. 故答案为：. 【例题2】（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则 . 【答案】 【分析】通过两次赋值将替换成和将替换成，构造方程组求解即可； 【详解】由，① 将替换成，可得：，② 再将①中替换成：，可得：，③ ①②相减可得：，④ ③④相加可得：， 所以， 故答案为： 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立方程组求出的解析式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，联立消去，得， 而，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：A 【相似题2】（24-25高三上·安徽合肥·期中）已知函数对任意满足，则 . 【答案】 【分析】采用方程组法消去，得出的解析式即可. 【详解】因为，以代替得： ， 得：. 故答案为：. 【解题策略】 一、核心适用场景 已知函数等式中含与（或与），通过替换变量构造第二个方程，联立消元求解。 二、四步解题流程（附公式规范） 步骤1：识别等式结构，确定替换方式 若等式含和：用替换原式中所有； 若等式含和（）：用替换原式中所有。 步骤2：构造第二个方程 将替换后的式子整理为含和对称函数（如）的等式，与原等式构成方程组。 示例：原等式，用替换得： 步骤3：联立方程组，消元求解 设原方程为方程①，替换后方程为方程②； 用加减消元法或代入消元法消去对称函数（如），解出。 示例演算： 联立方程组： 消去：②×2-①，得： 化简左边：；右边：，故： 步骤4：验证解析式（可选，确保正确） 将求得的代入原等式，检查左右两边是否相等。 示例验证：将代入①： 左边：，与右边相等，解析式有效。 三、典型例题（教材级） 例题1：含与 已知（），求。 解： 1.用替换，得方程②：； 2.联立： 3.消元：①+②×2，得，故（）。 四、常考提醒 1.替换变量时需“全替换”：原式中所有均需替换为或，不可遗漏； 2.含时，需标注（定义域限制）； 3.消元时注意符号运算，避免计算错误（建议分步展开等式）。 【题型五：抽象函数求函数解析式】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据题设，进行赋值即可求解. 【详解】是定义在上的函数，， 且对任意，，恒成立， 令，得， 则， 此时， 而， 则，满足题意， 所以. 故答案为：. 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，满足，且对任意的正整数，都有，求的解析式． 【答案】，． 【分析】不妨令，，则有，分别令，，…，，然后通过累加法求得函数解析式． 【详解】由，，， 不妨令，，则有， 又，故①． 分别令①式中的，，…，， 得，，…，， 将上述各式相加得， 则，     所以，． 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）函数满足，，且，则 . 【答案】 【分析】令，求出，令，求出，令，求出，再令，可求出的关系，再利用累加法结合等差数列前项和公式即可得解． 【详解】令，则，所以． 令，则，所以． 令，，则，所以． 令，，则， 所以． 当时，， 则 ． 当时，上式也成立，所以， 所以． 【相似题2】（2024高一·全国·专题练习）已知函数，对，都有恒成立，且．求的解析式； 【答案】 【分析】根据条件，通过赋值，，得到，再令，即可求出结果. 【详解】令，，则， 又因为，所以， 令，则，所以． 【解题策略】 一、核心适用场景 已知函数仅满足特定性质（如和差型、乘积型），无具体函数类型，定义域常为或正实数，通过赋值法推导解析式。 二、四步解题流程（附公式规范） 步骤1：识别函数性质类型，确定赋值方向 性质类型 常见形式 优先赋值对象 和差型 ；； 乘积型 （） ； 步骤2：赋特殊值，求关键函数值（如、） 通过赋“0、1、相反数”等特殊值，推导函数在关键节点的取值，为后续推广铺垫。 示例（和差型）：已知对任意成立，求： 令，，代入性质得： 步骤3：递推/推广到一般，推导解析式 对和差型：赋（或已知函数值的点），递推整数、有理数对应的函数值，推广到全体定义域； 对乘积型：赋（或），结合关键值推导解析式。 示例（和差型推导）：已知且，求： 1.赋，得递推关系： 2.对整数：； 3.对有理数（）： 令，得，递推得； 4.推广到全体：（满足原性质）。 步骤4：验证解析式，确保符合原性质 将推导的解析式代入原性质，检查左右两边是否恒等。 验证示例：将代入： 左边：； 右边：，左右相等，解析式有效。 三、典型例题（教材级） 例题1：乘积型抽象函数 已知对任意，，且，求（）。 解： 1.求：令，，得（舍去，因）； 2.赋（）：； 3.设（乘积型常为幂函数，选择性必修一重点），代入： 4.验证：，符合性质，故（）。 四、常考提醒 1.赋值需“循序渐进”：先求、，再推整数、有理数，避免直接赋复杂值； 2.定义域限制不可忽略：如乘积型若定义域为，不可赋； 3.解析式需“符合性质本质”：和差型抽象函数（定义域）多为正比例函数，乘积型（）多为幂函数，可作为推导方向参考； 4.特殊情况需排除：如求时，若与已知（如）矛盾，需舍去该解。 【题型六：求分段函数的解析式或求函数的值】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)解不等式． 【答案】(1)1 (2)或2 (3) 【分析】（1）由分段函数解析式先求，再求， （2）分，两种情况，由结合分段函数解析式列方程求即可， （3）分，两种情况，由结合分段函数解析式列不等式求其解集. 【详解】（1）因为，， 所以，因为， 所以， （2）当时，，又，所以， 当时，，又， 所以，故， 综上，的值为或2 （3）当时，，所以， 当时，，所以， 综上，原不等式的解集为. 【例题2】（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数，若，则 ． 【答案】0 【分析】根据求得的值，再代入求值即可. 【详解】因为，所以，解得，则， 所以. 故答案为：0. 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，． (1)在同一坐标系中画出函数的图象； (2)定义：对作出函数的图象，并求函数的解析式，写出的值域（不需要证明）． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，，的值域为 【分析】（1）已知，为以为顶点，开口向下的抛物线，作出相应图象. （2）令，分段讨论得出和，结合图象和已知条件讨论得出，作出函数图象，根据图象得出的值域. 【详解】（1）已知，为以为顶点，开口向下的抛物线. 所以图象如图所示． （2）令，即， 当时，，得； 当时，，得； 则当时，； 当时，； 当时，． 图象法表示的图象如图． 由图象可知，和时函数取得最大值，即， 所以的值域为． 【相似题2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【答案】(1)， (2)或1或 (3)作图见解析， 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集. 【详解】（1）因为， 所以，． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示：    当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 【解题策略】 一、求分段函数解析式的解题步骤 核心逻辑：按定义域分段，逐段求解析式，整合标注区间 1.步骤1：确定定义域分段与分界点 根据题干给出的定义域划分依据（如“”与“”，为常数），明确各区间的分界点（如、），确保区间互斥且覆盖整个定义域。 2.步骤2：逐段分析函数类型并设解析式 针对每个区间，根据已知条件（如“该段为一次函数”“该段过定点”“该段为二次函数且顶点为”）设对应解析式： 一次函数段：设； 二次函数段：设（顶点式）或（一般式）； 常函数段：设（为常数）。 3.步骤3：利用已知条件求各段解析式参数 将该区间内的已知条件（如定点坐标、函数值、斜率）代入所设解析式，列方程（组）求解参数（如或）。 示例：已知分段函数在时为一次函数，且过、，设，代入得： 4.步骤4：整合各段解析式，规范标注区间 用“大括号”统一书写各段解析式，明确标注每段对应的定义域区间，确保格式规范。 示例整合：若时解析式为，则完整分段函数为： 二、求分段函数值的解题步骤（含复合求值） 核心逻辑：先判区间，再代公式；复合求值，由内到外 1.单一层级求值（求） 步骤1：判断所属的定义域区间（对比分界点，如对应“”，对应“”）； 步骤2：找到该区间对应的函数解析式； 步骤3：将代入解析式计算，得到。 示例：对上述，求： ，代入得。 2.复合层级求值（求） 步骤1：先求内层函数值（按“单一层级求值”步骤操作）； 步骤2：判断内层结果所属的定义域区间； 步骤3：将代入对应区间的解析式，计算得到。 示例：对上述，求： ①求内层：，代入得； ②求外层：，代入得，故。 三、常考提醒 1.定义域区间需满足“互斥性”（无重叠，如“”与“”无交集）和“完整性”（覆盖所有的取值，不遗漏）； 2.分界点（如）仅归属一个区间（通常归属左区间“”，具体以题干为准），不可重复代入； 3.复合求值时，需严格“由内到外”分步判断区间，避免直接将代入外层解析式（如求，不可直接用代入外层）； 4.解析式参数求解后，建议代入已知条件验证（如一次函数过，代入，验证正确）。 【题型七：根据函数图像选择函数解析式】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·江西抚州·阶段练习）在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为， 函数的定义域为， 函数与的定义域均为， 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 【例题2】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）函数的部分图像如图（粗实曲线），则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】由函数图像知道定义域，从而求出参数的值，再代入点即可求出的值. 【详解】由函数图像可知，函数定义域， 即的解集为，也就是即的解为, ∴，∴，∴， ∵函数图像经过点，∴，∴. 故选：B. 相似练习 【相似题1】（21-22高一上·浙江嘉兴·期中）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数解析式符合该图象特征的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象的两条渐近线结合为正可得正确的选项. 【详解】对于，故其图象的渐近线为，， 而，结合图象可得，故A不符合； 对于，故其图象的渐近线为，， 而，结合图象可知D符合； 对于，因为，故其图象的渐近线为，， 结合图象可知B不符合； 对于，因为，故其图象的渐近线为，， 结合图象可知C不符合； 故选：D. 【相似题2】（21-22高一上·河北衡水·期中）函数的图象如图，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象可得的定义域及函数过点，可求出的值， 进而得出的解析式，然后解绝对值不等式即可. 【详解】由图可知，的定义域的定义域为，且经过点， 而，解得，所以. 所以，解得. 所以， 所以不等式，得， 即，等价于， 解得， 综上，所求不等式的解集为. 故选：D. 【解题策略】 一、核心适用场景 已知函数图像（含分段特征，如多段直线、抛物线），通过图像提取分段区间、函数类型、特殊点等信息，确定或选择对应的函数解析式（重点：一次函数、二次函数）。 二、五步解题流程（附规范表达） 步骤1：观察图像，确定分段区间 操作：找出图像中“函数表达式变化的分界点”（即分段点，记为），将定义域划分为互不重叠的区间（如、、）。 关键：明确分段点的“归属”（如图像中处实心点属左区间，空心点属右区间）。 步骤2：判断各区间的函数类型 根据图像形状匹配选择性必修一核心函数类型： 图像特征 函数类型 解析式通式（规范形式） 直线（含射线、线段） 一次函数（或常函数） ；常函数（） 抛物线（开口向上/向下） 二次函数 顶点式；一般式 步骤3：提取图像中的“特殊点坐标” 必选点：①分段点（如处的函数值）；②与坐标轴交点（时的，时的）；③二次函数的顶点（）、对称点。 要求：每段函数至少提取2个（一次函数）或3个（二次函数）不重合的特殊点，记为。 步骤4：代入特殊点，求各段解析式参数 Case1：一次函数段（） 代入2个特殊点、，列方程组： 解方程组得、，确定该段解析式。 Case2：二次函数段（优先用顶点式） 若已知顶点，设，代入1个非顶点特殊点，解方程： 得后确定该段解析式。 步骤5：验证解析式与图像一致性 操作：取各段区间内的“非特殊点”代入解析式，检查计算结果与图像上的函数值是否一致；同时验证分段点处的函数值是否匹配（如左段的函数值与右段的极限值是否符合图像）。 三、典型示例（选择性必修一难度） 已知图像特征： 当时，图像为过、的直线； 当时，图像为顶点且过的抛物线。 按步骤求解析式： 1.分段区间：、； 2.函数类型：左段一次函数，右段二次函数（顶点式）； 3.特殊点：左段、；右段、； 4.求参数： 左段：设，代入得，故； 右段：设，代入得，故； 5.验证：取（左段），（与图像一致）；取（右段），（与图像一致）。 【题型八：由分段函数值域求参数范围】 例题精选 【例题1】（2024·北京西城·一模）已知函数若存在最小值，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用二次函数的性质求得的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可. 【详解】当时，， 故当时，有最小值为； 当时，单调递减，所以，由题意存在最小值， 则，解得，即c的最大值为. 故选：A. 【例题2】【多选】（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ）. A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】求出函数在的值域，可知函数在上的值域包含，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 当时，，即函数在的值域为， 由于函数的值域为， 则函数在上的值域包含， 所以，，解得， 故选：AB. 相似练习 【相似题1】（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，分，与讨论，结合一次函数与二次函数的值域列出不等式，即可得到结果. 【详解】当时，， 当时，， 若， 则时，， 则在上单调递减，在上单调递增，则， 此时要满足函数的值域为，则，解得； 若，则当时，； 当时，，满足函数的值域为； 若，则时，， 则在上单调递增，则， 此时要满足函数的值域为，则，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为： 【相似题2】（23-24高二下·山东青岛·期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 【答案】A 【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围；综合所有情况即可得到的最大值. 【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意； 当时，， 当时，，又时，， 存在最小值，满足题意； 当时，在，上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，解得：，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，不等式无解； 综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为. 故选：A. 【解题策略】 1.分段求域：针对含参数的分段函数，按定义域区间拆分，结合每段函数的单调性、最值（如一次函数单调性、二次函数对称轴与区间关系），分别求出各段的值域（需保留参数表达式）。 2.关联全局：根据目标全局值域，明确两段值域需满足的两个核心条件——①每段值域均为全局值域的子集（无“超值”部分）；②两段值域的并集等于全局值域（无“漏值”部分），据此列出含参数的不等式。 3.求解验证：解不等式得到参数初步范围后，必须代入参数端点值验证，检查此时分段函数的全局值域是否完全符合目标（避免端点处“超值”或“漏值”），最终确定参数范围。 【题型九：作出具体的函数图像】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）给定函数，，． (1)在同一坐标系中画出，的图象； (2)，用表示，中的最大者，记为．例如，当时，，请分别用图象法和解析法表示函数． 【答案】(1)图象见解析； (2)图象见解析，. 【分析】（1）根据函数，的解析式即可作出图象. （2）由（1）中图象，结合的定义作出图象并求出函数解析式. 【详解】（1）画出函数，的图象，如图： （2）结合（1）中图象及的定义，用图象法表示，如图： 由，得或， 当或时，，当时，， 所以函数的解析式为. 【例题2】（24-25高一上·广东广州·期中）给定函数. 0 1 2 3 (1)计算列表中函数值，并通过列表—描点—连线的方式，在同一直角坐标系中画出函数的图像； (2)表示中的较大者，记为，结合图像写出函数的解析式，并求的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2)，最小值是1. 【分析】（1）计算函数值填写表格，然后描点，连线得图象； （2）由（1）中图象得出的表达式，并利用图象得最小值． 【详解】（1） 0 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 1 0 1 4 9 16 25 作图如下： （2）由（1）中图象可得， 的最小值是． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）把函数写出分段函数形式，并在答题卡上画出该函数的图象，写上该函数的定义域与值域（不需要过程） （2）给定函数． （i）在答题卡上的同一个坐标系画出函数的图象；    （ii），用表示中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数． 【答案】（1），图象见解析；（2）（i）图象见解析；（ii）图象见解析，. 【分析】（1）去掉绝对值，得到分段函数，并画出函数的图象，由图象可写出函数的定义域和值域； （2）（i）分析出的图象特征，画出函数图象； （ii）在（i）基础上，画出的图象，并根据图象写出解析式. 【详解】（1）， 该函数的图象如下：    由图象可知，定义域为R，值域为； （2）（i）为一次函数，其图象为一条直线，经过点， 为二次函数，其图象为抛物线，开口向上，顶点坐标为， 故在答题卡上的同一个坐标系画出函数的图象，如下：    （ii）的图象如下：    解析法表示为. 【相似题2】（2024高一·全国·专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．如，，令． (1)记，求的解析式，并在坐标系中作出函数的图象； (2)结合（1）中的图象，解不等式直接写出结果； 【答案】(1)，作图见解析 (2)或 【分析】（1）根据定义化简函数式即可，描点画图象； （2）由于函数图象在每区间段上单调，可分段求出端点，数形结合即可求. 【详解】（1）， 其图象如下： （2）当，，此时 无解， 当，令，则；令，则（舍去）， 当，令，则（舍去）；令，则， 结合图象可知：满足的的范围为或， 故不等式的解为或. 课后针对训练 一、单选题 1．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏南京·期中）若函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数，则（      ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江杭州·期中）若函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏·期中）已知实数，函数若，则a的值为（    ） A．1 B． C． D．或 二、多选题 6．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．的定义域为 C． D．存在是无理数， 7．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（    ） A． B．方程有三个解 C．当时，有 D．函数有最大值为，无最小值 8．（24-25高一上·福建南平·期中）下列说法正确的是（ ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知一次函数满足，则 D．定义在上的函数满足，则 三、填空题 9．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知函数，则 ，若，则a的取值范围是 . 10．（23-24高一上·云南曲靖·期中）设. （1）当时，的最小值是 ； （2）若是的最小值，则a的取值范围是 . 四、解答题 11．（24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数． (1)求，，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求时，的值域． 12．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知函数，，函数，其中 (1)若的解集为，求的值； (2)若， （i）求使得成立的的取值范围； （ii）求在区间上的最大值． 13．（24-25高一上·四川眉山·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式. 14．（23-24高一上·云南昭通·期中）（1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求． 15．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）已知是一次函数，且满足，求； （2）已知，求； （3）已知函数，求； 16．（24-25高一上·福建福州·期中）已知 (1)求出的函数解析式 (2)若是一次函数，，用表示和的最大者，求的解析式 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B D B BCD ABD AD 1．D 【分析】根据分段函数的值域为，结合分段函数性质，列出相应的不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意知当时，， 故要使函数的值域为， 需满足，解得， 故的取值范围是， 故选：D 2．B 【分析】分两种情况分别解不等式即可. 【详解】当时，由，即所以，解得； 当时，由，即所以，解得； 综上，实数的取值范围是. 故选：B 3．B 【分析】利用给定的分段函数，代入求值即可. 【详解】依题意，. 故选：B 4．D 【分析】利用函数图象求得函数定义域，利用函数值可得出其解析式，代入计算即求得函数值. 【详解】根据函数图象可知和不在函数的定义域内， 因此和是方程的两根，可得， 又易知，可得， 即，所以. 故选：D 5．B 【分析】对a分类讨论判断出，在分段函数的区间段，代入求出函数值，解方程求出 【详解】解：①当时，，， 由， 得， 解得，不满足，故舍去; ②当时，，， 由， 得， 解得满足， 故 故选：B. 6．BCD 【分析】根据函数解析式即可得值域、定义域，即可判断AB；可知，代入运算即可判断C；举反例判断D即可. 【详解】因为函数， 所以的定义域为，值城为，故A错误；B正确； 因为，所以，故C正确； 例如取，则，故D正确； 故选：BCD. 7．ABD 【分析】根据题意求出函数，再对选项逐个判断即可. 【详解】当，即或时，， 当，即时，， 则， 对于A，，故A正确； 对于B，当或时，令，解得， 当时，令，解得，方程有三个解，故B正确； 对于C，当或时，令，解得或， 当时，令，解得或， 综上所述，当时，有，故C错误； 对于D，当或时，令，无最小值， 当时，， 综上，函数有最大值为2，无最小值，故D正确. 故选：ABD. 8．AD 【分析】直接求出的表达式，可判断A选项；利用换元法可判断B选项；利用待定系数法可判断C选项；利用方程组法可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则，A对； 对于B选项，若，令，则且， 所以，，故，B错； 对于C选项，因为一次函数满足，设， 则， 所以，，解得或， 因此，或，C错； 对于D选项，定义在上的函数满足①， 可得②， 由①②可得，D对. 故选：AD. 9． 【分析】利用分段函数解析式求，进而求即可；设，根据分段函数的解析式，求出时，的取值范围，进而在分情况讨论求出的范围即可. 【详解】根据分段函数解析式有：，； 令，则，原式化为 当时，有，即，解得，即； 当时，有，即，所以，即. 若， 当时，有，即，解得； 当时，有，显然此时无解； 若， 当时，有，即，解得； 当时，有，，解得 综上所述：若，则a的取值范围是：. 故答案为：； 10． 【分析】（1）分和两种情况讨论，结合二次函数的性质与基本不等式可得最小值； （2）对a进行分类讨论，结合（1）的结论可得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，由二次函数的性质可知； 当时，，当且仅当时等号成立，即最小值为2， 因为，所以的最小值为； （2）①当时， 当，由二次函数的性质可知： ，不满足是的最小值，故舍去； ②当时， 当时，由二次函数的性质可知：， 由（1）知当时，的最小值为，若是的最小值， 则，解得. 故答案为：；. 11．(1)，， (2)或1或 (3)图象见解析， 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式易求时，的值域. 【详解】（1）因为， 所以，， . （2）当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴或（舍）. 综上所述，m的值为或1或. （3）函数的图象，如图所示： 当，， 当，， 综上所述：结合图象可得的值域为. 12．(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由已知，利用韦达定理，即可求得的值； （2）（i）对当时和时，进行分类讨论，由此求得的取值范围；（ii）由（i）可知，分，进行讨论，得到． 【详解】（1）依题意得，为方程的两个根， 则，即，此时不等式的解集恰为符合题意； （2）（i）因为，又，则， ①当时，，所以，解得； ②当时，，所以， 因为，，，所以， 所以无解，         综上所述：的取值范围是；         （ii）由（i）可知：，     当时，，所以，所以；     当时，的对称轴为，所以， 且，，所以， 令，，所以，         综上． 13．（1）或；（2）；（3），. 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，设，结合题意即可求解； （2）设，利用换元法求解析式即可； （3）由题意得，利用方程组法可得，再利用换元法求解析式即可. 【详解】（1）因为为一次函数，可设. 所以. 所以，解得或. 所以或. （2）设，则，，即， 所以， 所以． （3）由①， 用代替，得②， 得：， 即，. 令，则，. 则：，. 所以，. 14．（1）；（2） 【分析】（1）法一，令，得到，代入即可求解；法二，根据条件，通过配凑，即可求解； （2）设，根据条件，建立方程，即可求解. 【详解】（1）法一，设，则，得到， 所以，故. 解法二：因为， 所以. （2）设， 则， 又因为， 所以，解得， 所以． 15．（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据已知设，结合已知得到多项式相等求参数，即可得解析式； （2）利用函数关系，列方程组求解析式即可； （3）根据解析式，讨论的取值，进而写出的分段函数形式. 【详解】（1）令，又， 所以， 所以，故； （2）由题设，联立， 所以，则，故； （3）由题设，时，时，时， 所以. 16．(1) (2)； 【分析】（1）代入给定条件建立方程组，利用待定系数法求解解析式即可. （2）利用待定系数法求出解析式，再结合题意建立不等式组确定的范围，再求解的解析式即可. 【详解】（1）因为， 所以，，解得，， 则，故的函数解析式为. （2）由题意得是一次函数，设， 因为，所以，， 解得，则，令， 解得，令，解得， 而用表示和的最大者， 故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高一数学上学期常考题型归纳 【第10讲:函数的表示方法】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、求函数解析式的常用方法(选择性必修一核心方法,附教材例题) 1.待定系数法(已知函数类型,如一次、二次函数) 适用场景:明确函数为一次函数()、二次函数()等具体类型,已知函数过定点或特定函数值。 核心思路:设出函数通式 代入已知条件列方程组 解方程组求系数。 教材例题(人教版选择性必修一P8例3改编):已知一次函数满足,,求。 解:设,代入条件得方程组: 两式相加消去:,代入得,故。 注意点:二次函数需标注,若解得,则函数退化为一次函数(需单独说明)。 2.换元法(含复合结构,如形式) 适用场景:函数表达式含复杂代数式(如根号、一次多项式嵌套,例:)。 核心思路:设(复杂代数式) 解出(用表示) 代入原式得 替换为(标注定义域)。 教材例题(人教版选择性必修一P9练习T4):已知,求。 解:设,则,代入原式: 化简: 因可取全体实数(),故。 3.配凑法(代数式可直接变形为“括号内结构”) 适用场景:等式右边可配凑成左边“”中括号内的形式(例:)。 核心思路:利用代数公式(完全平方、平方差等)将右边配凑为含“括号内式子”的形式 直接替换得。 教材级示例:已知,求。 解:配凑右边(利用完全平方公式): 设(,因),故,即。 4.方程组法(含与或) 适用场景:已知等式含与(或),可通过替换变量联立方程消元。 教材例题(人教版选择性必修一P10习题T7):已知,求。 解:第一步,用替换原式中的,得: 第二步,联立原方程与新方程: 第三步,消元求解:得: 化简:。 二、抽象函数求解析式(选择性必修一重点:赋值法) 适用场景:仅已知函数性质(如、),无具体函数类型,定义域为或正实数。 核心思路:令取特殊值(如、、) 利用性质推导解析式。 教材例题(人教版选择性必修一P11拓广探索T12):已知对任意,,且,求。 解:①求:令,则: ②递推关系:令,则: ③推导解析式: 对整数:; 对有理数():; 故对任意,(满足所有给定性质)。 注意点:赋值需覆盖定义域关键值(0、1、相反数等),确保解析式满足“所有已知性质”(不可遗漏条件)。 三、分段函数(选择性必修一核心:解析式与求值) 1.分段函数的解析式表示 定义:定义域被划分为若干互斥区间,每个区间对应唯一函数表达式,形式为: 2.分段函数的求值与简单最值(结合高考真题基础题) 求值步骤: ①判断自变量所属区间(关键:明确分段点归属,如归“”还是“”); ②代入对应区间的函数表达式计算。 高考真题示例(2024 浙江学考):已知分段函数,求。 解:①求内层:因,代入: ②求外层:因,代入: 故。 简单最值(选择性必修一要求): 步骤:①分段求各区间内的最值(一次函数用端点值,二次函数用顶点/端点值);②比较各区间最值,确定全局最值。 示例(如上真题函数): 当时,(开口向上,顶点在),最小值为,最大值为; 当时,(单调递增),故; 综上,全局最小值为,无全局最大值。 四、选择性必修一常考结论(高频考点) 1.解析式求解结论: 待定系数法:若未明确“二次函数”,需验证(例:“过”,可能为一次函数); 换元法:必标注定义域(例:中,换元后,故定义域为)。 2.抽象函数结论: 若对任意成立,则是正比例函数(),且满足、(奇函数); 若且,则(一次函数)或(选择性必修一阶段重点关注一次函数)。 3.分段函数结论: 分段函数是“一个函数”,非多个函数,解析式需满足“区间互斥性”(无重叠)与“定义域完整性”(无遗漏); 求值时“先判区间,再代公式”,分段点(如)需严格按定义归属区间(不可随意代入); 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一:待定系数法求解析式】 例题精选 【例题1】(25-26高一上 全国 课堂例题)求下列函数的解析式 (1)已知是一次函数,且,求的解析式; (2)已知是二次函数,且满足. 【例题2】(25-26高三上 陕西渭南 开学考试)已知是一次函数且,则的解析式 . 相似练习 【相似题1】(2025高三 全国 专题练习)设二次函数满足,且其图象在轴上的截距为1,在轴上截得的线段长为,求的解析式. 【相似题2】(24-25高一上 福建福州 期中)若函数是二次函数,满足,则=( ) A. B. C. D. 【解题策略】 一、适用场景 已知函数具体类型(一次、二次、正比例、反比例等),且已知函数过定点或特定函数值。 二、解题步骤(共4步,附示例) 示例:已知一次函数满足,,求。 步骤1:定函数类型,写标准通式 根据函数类型,设含待定系数的通式(标注系数限制): 一次函数:(为斜率,为截距); 二次函数:; 正比例函数:。 示例中为一次函数,设。 步骤2:用已知条件,列方程组 将已知函数值(或定点)代入通式,列关于待定系数的方程组: 示例中,即,即,得: 步骤3:解方程组,求待定系数 通过消元法(代入/加减)解方程组,得系数值: 示例中,两式相加消去:,代入得。 步骤4:代回通式,写解析式 将求得的系数代入通式,得到最终函数解析式: 示例中,。 三、常考函数通式(规范版) 函数类型 标准通式(含系数限制) 一次函数 二次函数 正比例函数 反比例函数 四、易错点(核心提醒) 1.漏标系数限制(如一次函数漏写,二次函数漏写); 2.代入函数值时计算错误(如将错算为); 3.解方程组后未验证(可将系数代回原条件,如示例中,符合已知 【题型二:配凑法求函数解析式】 例题精选 【例题1】(2025高三 全国 专题练习)若,则函数 . 【例题2】(2025高一 全国 专题练习)已知函数满足:对任意非零实数,都有,则的解析式为 . 相似练习 【相似题1】(2025高三 全国 专题练习)若,则函数 . 【相似题2】(2025高一 全国 专题练习)若函数,则( ) A. B. C. D. 【解题策略】 一、配凑法核心步骤(基础框架) 1.观察结构:识别已知表达式中,右边与左边括号内的关联(如,则需配凑成含的形式); 2.公式辅助:利用代数公式(完全平方、立方差/和等)将变形,凑出“的多项式”; 3.替换定义:令,则化为关于的表达式, 4.确定定义域:根据的取值范围,标注的定义域,最终替换为。 二、补充:立方差/和公式(配凑关键公式) 1.核心公式(规范书写) 立方差公式: 立方和公式: (适用场景:已知表达式含“立方项+一次项”,且左边括号内为形式) 三、含立方公式的配凑示例(选择性必修一难度) 示例1:用立方差公式配凑 已知,求。 1.观察关联:左边括号内为,右边需凑; 2.用立方差/和公式展开目标项: ; 3.配凑右边表达式: 对比与,得: ; 4.替换与定义域:令(),则,故()。 示例2:用立方和公式配凑 已知,求。 1.观察关联:左边括号内为,右边凑; 2.展开目标项: ; 3.配凑右边: ; 4.替换:令(),则()。 四、配凑法(含立方公式)常考注意事项 1.公式记忆准确:立方差/和公式中“中间项符号”:差公式中间为“”,和公式中间为“”,避免符号错误; 2.先定“目标形式”:若左边括号内为,先写出的展开式,再对比右边拆项/补项,勿盲目变形; 3.定义域同步:若有取值限制(如),需根据范围确定定义域(如)。 )。 【题型三:换元法求函数解析式】 例题精选 【例题1】(23-24高一上 江苏盐城 期中)若函数,则 . 【例题2】(24-25高一上 安徽亳州 阶段练习)已知,则 . 相似练习 【相似题1】(23-24高一上 河南商丘 期中)已知,则函数的值域为( ) A. B. C. D. 【相似题2】(24-25高一上 全国 课后作业)已知函数,则 . 【解题策略】 一、核心适用场景 已知函数为复合结构(如),且是可解出的代数式(如一次多项式、根号式,例:、)。 二、五步解题步骤(附规范示例) 步骤1:设新元,锁定复合内层 令(为原函数中“嵌套的复杂代数式”),明确与的对应关系。 示例:已知,设。 步骤2:用表示,确定的取值范围 1.从中解出,得到(是关于的代数式); 2.根据原函数中的定义域,推导的取值范围(即的定义域,必写!)。 示例:由,得,故; 因,故(的范围为)。 步骤3:代入原函数,化简得 将代入原函数,替换所有,化简后得到仅含的表达式。 示例:将代入: 步骤4:替换变量,确定 将中的替换为,同时附上步骤2中求得的定义域(保证函数等价)。 示例:(定义域:)。 步骤5:验证(可选,确保正确性) 取原函数中任意值,分别计算“原函数值”与“所求对应值”,验证是否相等。 示例:取(原函数中): 原函数:; 所求:,相等(验证正确)。 三、常考易错点 1.漏求的取值范围:如例中忽略,误写(定义域),导致函数不等价; 2.代入化简错误:展开时漏项(如错写),需严格按完全平方公式计算; 3.变量替换遗漏:最终结果写为,未换成(函数自变量符号不影响,但需按要求写)。 【题型四:方程组法求函数解析式】 例题精选 【例题1】(2025高三 全国 专题练习)已知函数的定义域是一切非零实数,且满足,则的表达式为 . 【例题2】(24-25高三上 辽宁 期末)已知函数满足,则 . 相似练习 【相似题1】(24-25高一上 广东 期中)的定义域为,满足,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【相似题2】(24-25高三上 安徽合肥 期中)已知函数对任意满足,则 . 【解题策略】 一、核心适用场景 已知函数等式中含与(或与),通过替换变量构造第二个方程,联立消元求解。 二、四步解题流程(附公式规范) 步骤1:识别等式结构,确定替换方式 若等式含和:用替换原式中所有; 若等式含和():用替换原式中所有。 步骤2:构造第二个方程 将替换后的式子整理为含和对称函数(如)的等式,与原等式构成方程组。 示例:原等式,用替换得: 步骤3:联立方程组,消元求解 设原方程为方程①,替换后方程为方程②; 用加减消元法或代入消元法消去对称函数(如),解出。 示例演算: 联立方程组: 消去:② 2-①,得: 化简左边:;右边:,故: 步骤4:验证解析式(可选,确保正确) 将求得的代入原等式,检查左右两边是否相等。 示例验证:将代入①: 左边:,与右边相等,解析式有效。 三、典型例题(教材级) 例题1:含与 已知(),求。 解: 1.用替换,得方程②:; 2.联立: 3.消元:①+② 2,得,故()。 四、常考提醒 1.替换变量时需“全替换”:原式中所有均需替换为或,不可遗漏; 2.含时,需标注(定义域限制); 3.消元时注意符号运算,避免计算错误(建议分步展开等式)。 【题型五:抽象函数求函数解析式】 例题精选 【例题1】(2025高三 全国 专题练习)设是定义在上的函数,,且满足对任意,,等式恒成立,则的解析式为 . 【例题2】(2025高三 全国 专题练习)设是定义在上的函数,满足,且对任意的正整数,都有,求的解析式. 相似练习 【相似题1】(2025高三 全国 专题练习)函数满足,,且,则 . 【相似题2】(2024高一 全国 专题练习)已知函数,对,都有恒成立,且.求的解析式; 【解题策略】 一、核心适用场景 已知函数仅满足特定性质(如和差型、乘积型),无具体函数类型,定义域常为或正实数,通过赋值法推导解析式。 二、四步解题流程(附公式规范) 步骤1:识别函数性质类型,确定赋值方向 性质类型 常见形式 优先赋值对象 和差型 ;; 乘积型 () ; 步骤2:赋特殊值,求关键函数值(如、) 通过赋“0、1、相反数”等特殊值,推导函数在关键节点的取值,为后续推广铺垫。 示例(和差型):已知对任意成立,求: 令,,代入性质得: 步骤3:递推/推广到一般,推导解析式 对和差型:赋(或已知函数值的点),递推整数、有理数对应的函数值,推广到全体定义域; 对乘积型:赋(或),结合关键值推导解析式。 示例(和差型推导):已知且,求: 1.赋,得递推关系: 2.对整数:; 3.对有理数(): 令,得,递推得; 4.推广到全体:(满足原性质)。 步骤4:验证解析式,确保符合原性质 将推导的解析式代入原性质,检查左右两边是否恒等。 验证示例:将代入: 左边:; 右边:,左右相等,解析式有效。 三、典型例题(教材级) 例题1:乘积型抽象函数 已知对任意,,且,求()。 解: 1.求:令,,得(舍去,因); 2.赋():; 3.设(乘积型常为幂函数,选择性必修一重点),代入: 4.验证:,符合性质,故()。 四、常考提醒 1.赋值需“循序渐进”:先求、,再推整数、有理数,避免直接赋复杂值; 2.定义域限制不可忽略:如乘积型若定义域为,不可赋; 3.解析式需“符合性质本质”:和差型抽象函数(定义域)多为正比例函数,乘积型()多为幂函数,可作为推导方向参考; 4.特殊情况需排除:如求时,若与已知(如)矛盾,需舍去该解。 【题型六:求分段函数的解析式或求函数的值】 例题精选 【例题1】(25-26高一上 黑龙江牡丹江 阶段练习)已知 (1)求的值; (2)若,求的值; (3)解不等式. 【例题2】(25-26高一上 全国 课前预习)已知函数,若,则 . 相似练习 【相似题1】(25-26高一上 全国 课后作业)已知函数,. (1)在同一坐标系中画出函数的图象; (2)定义:对作出函数的图象,并求函数的解析式,写出的值域(不需要证明). 【相似题2】(25-26高一上 全国 单元测试)已知函数 (1)求,的值; (2)若,求的值; (3)作出函数的大致图象,并求的解集. 【解题策略】 一、求分段函数解析式的解题步骤 核心逻辑:按定义域分段,逐段求解析式,整合标注区间 1.步骤1:确定定义域分段与分界点 根据题干给出的定义域划分依据(如“”与“”,为常数),明确各区间的分界点(如、),确保区间互斥且覆盖整个定义域。 2.步骤2:逐段分析函数类型并设解析式 针对每个区间,根据已知条件(如“该段为一次函数”“该段过定点”“该段为二次函数且顶点为”)设对应解析式: 一次函数段:设; 二次函数段:设(顶点式)或(一般式); 常函数段:设(为常数)。 3.步骤3:利用已知条件求各段解析式参数 将该区间内的已知条件(如定点坐标、函数值、斜率)代入所设解析式,列方程(组)求解参数(如或)。 示例:已知分段函数在时为一次函数,且过、,设,代入得: 4.步骤4:整合各段解析式,规范标注区间 用“大括号”统一书写各段解析式,明确标注每段对应的定义域区间,确保格式规范。 示例整合:若时解析式为,则完整分段函数为: 二、求分段函数值的解题步骤(含复合求值) 核心逻辑:先判区间,再代公式;复合求值,由内到外 1.单一层级求值(求) 步骤1:判断所属的定义域区间(对比分界点,如对应“”,对应“”); 步骤2:找到该区间对应的函数解析式; 步骤3:将代入解析式计算,得到。 示例:对上述,求: ,代入得。 2.复合层级求值(求) 步骤1:先求内层函数值(按“单一层级求值”步骤操作); 步骤2:判断内层结果所属的定义域区间; 步骤3:将代入对应区间的解析式,计算得到。 示例:对上述,求: ①求内层:,代入得; ②求外层:,代入得,故。 三、常考提醒 1.定义域区间需满足“互斥性”(无重叠,如“”与“”无交集)和“完整性”(覆盖所有的取值,不遗漏); 2.分界点(如)仅归属一个区间(通常归属左区间“”,具体以题干为准),不可重复代入; 3.复合求值时,需严格“由内到外”分步判断区间,避免直接将代入外层解析式(如求,不可直接用代入外层); 4.解析式参数求解后,建议代入已知条件验证(如一次函数过,代入,验证正确)。 【题型七:根据函数图像选择函数解析式】 例题精选 【例题1】(24-25高一上 江西抚州 阶段练习)在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图,其对应的函数可能是( ) A. B. C. D. 【例题2】(24-25高三上 贵州贵阳 阶段练习)函数的部分图像如图(粗实曲线),则( ) A.8 B.6 C.4 D.2 【相似题1】(21-22高一上 浙江嘉兴 期中)已知某函数的部分图象如图所示,则下列函数解析式符合该图象特征的是( ) A. B. C. D. 【相似题2】(21-22高一上 河北衡水 期中)函数的图象如图,则的解集为( ) A. B. C. D. 【解题策略】 一、核心适用场景 已知函数图像(含分段特征,如多段直线、抛物线),通过图像提取分段区间、函数类型、特殊点等信息,确定或选择对应的函数解析式(重点:一次函数、二次函数)。 二、五步解题流程(附规范表达) 步骤1:观察图像,确定分段区间 操作:找出图像中“函数表达式变化的分界点”(即分段点,记为),将定义域划分为互不重叠的区间(如、、)。 关键:明确分段点的“归属”(如图像中处实心点属左区间,空心点属右区间)。 步骤2:判断各区间的函数类型 根据图像形状匹配选择性必修一核心函数类型: 图像特征 函数类型 解析式通式(规范形式) 直线(含射线、线段) 一次函数(或常函数) ;常函数() 抛物线(开口向上/向下) 二次函数 顶点式;一般式 步骤3:提取图像中的“特殊点坐标” 必选点:①分段点(如处的函数值);②与坐标轴交点(时的,时的);③二次函数的顶点()、对称点。 要求:每段函数至少提取2个(一次函数)或3个(二次函数)不重合的特殊点,记为。 步骤4:代入特殊点,求各段解析式参数 Case1:一次函数段() 代入2个特殊点、,列方程组: 解方程组得、,确定该段解析式。 Case2:二次函数段(优先用顶点式) 若已知顶点,设,代入1个非顶点特殊点,解方程: 得后确定该段解析式。 步骤5:验证解析式与图像一致性 操作:取各段区间内的“非特殊点”代入解析式,检查计算结果与图像上的函数值是否一致;同时验证分段点处的函数值是否匹配(如左段的函数值与右段的极限值是否符合图像)。 三、典型示例(选择性必修一难度) 已知图像特征: 当时,图像为过、的直线; 当时,图像为顶点且过的抛物线。 按步骤求解析式: 1.分段区间:、; 2.函数类型:左段一次函数,右段二次函数(顶点式); 3.特殊点:左段、;右段、; 4.求参数: 左段:设,代入得,故; 右段:设,代入得,故; 5.验证:取(左段),(与图像一致);取(右段),(与图像一致)。 【题型八:由分段函数值域求参数范围】 例题精选 【例题1】(2024 北京西城 一模)已知函数若存在最小值,则的最大值为( ) A. B. C. D. 【例题2】【多选】(24-25高一上 江苏淮安 期中)已知函数的值域为,那么的取值可以是( ). A. B. C. D. 相似练习 【相似题1】(24-25高三上 上海虹口 阶段练习)若,则实数的取值范围是 . 【相似题2】(23-24高二下 山东青岛 期末)设函数,若存在最小值,则的最大值为( ) A.1 B. C. D.- 【解题策略】 1.分段求域:针对含参数的分段函数,按定义域区间拆分,结合每段函数的单调性、最值(如一次函数单调性、二次函数对称轴与区间关系),分别求出各段的值域(需保留参数表达式)。 2.关联全局:根据目标全局值域,明确两段值域需满足的两个核心条件——①每段值域均为全局值域的子集(无“超值”部分);②两段值域的并集等于全局值域(无“漏值”部分),据此列出含参数的不等式。 3.求解验证:解不等式得到参数初步范围后,必须代入参数端点值验证,检查此时分段函数的全局值域是否完全符合目标(避免端点处“超值”或“漏值”),最终确定参数范围。 【题型九:作出具体的函数图像】 例题精选 【例题1】(2025高三 全国 专题练习)给定函数,,. (1)在同一坐标系中画出,的图象; (2),用表示,中的最大者,记为.例如,当时,,请分别用图象法和解析法表示函数. 【例题2】(24-25高一上 广东广州 期中)给定函数. 0 1 2 3 (1)计算列表中函数值,并通过列表—描点—连线的方式,在同一直角坐标系中画出函数的图像; (2)表示中的较大者,记为,结合图像写出函数的解析式,并求的最小值. 相似练习 【相似题1】(24-25高一上 贵州贵阳 期中)(1)把函数写出分段函数形式,并在答题卡上画出该函数的图象,写上该函数的定义域与值域(不需要过程) (2)给定函数. (i)在答题卡上的同一个坐标系画出函数的图象; (ii),用表示中的较小者,记为,请分别用图象法和解析法表示函数. 【相似题2】(2024高一 全国 专题练习)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的美誉,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过x的最大整数,则称为高斯函数.如,,令. (1)记,求的解析式,并在坐标系中作出函数的图象; (2)结合(1)中的图象,解不等式直接写出结果; 课后针对训练 一、单选题 1.(23-24高一上 福建泉州 期中)已知函数的值域为,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.(23-24高一上 江苏南京 期中)若函数,若,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.(24-25高一上 广东江门 期中)已知函数,则( ) A. B. C. D. 4.(24-25高一上 浙江杭州 期中)若函数的部分图象如图所示,则( ) A. B. C. D. 5.(24-25高一上 江苏 期中)已知实数,函数若,则a的值为( ) A.1 B. C. D.或 二、多选题 6.(24-25高一上 广东佛山 阶段练习)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,是解析数论的创始人之一,以其命名的函数,称为狄利克雷函数,则关于,下列说法正确的是( ) A.的值域为 B.的定义域为 C. D.存在是无理数, 7.(24-25高一上 辽宁沈阳 阶段练习)对任意两个实数,定义,若,下列关于函数的说法正确的是( ) A. B.方程有三个解 C.当时,有 D.函数有最大值为,无最小值 8.(24-25高一上 福建南平 期中)下列说法正确的是( ) A.已知,则 B.已知,则 C.已知一次函数满足,则 D.定义在上的函数满足,则 三、填空题 9.(24-25高一上 江苏宿迁 期中)已知函数,则 ,若,则a的取值范围是 . 10.(23-24高一上 云南曲靖 期中)设. (1)当时,的最小值是 ; (2)若是的最小值,则a的取值范围是 . 四、解答题 11.(24-25高一上 广东惠州 期中)已知函数. (1)求,,的值; (2)若,求的值; (3)作出函数的大致图象,并求时,的值域. 12.(24-25高一上 福建莆田 期中)已知函数,,函数,其中 (1)若的解集为,求的值; (2)若, (i)求使得成立的的取值范围; (ii)求在区间上的最大值. 13.(24-25高一上 四川眉山 期中)(1)已知是一次函数,且,求的解析式; (2)已知,求函数的解析式; (3)已知函数满足,求函数的解析式. 14.(23-24高一上 云南昭通 期中)(1)已知,求; (2)已知为二次函数,且,求. 15.(24-25高一上 浙江杭州 期中)(1)已知是一次函数,且满足,求; (2)已知,求; (3)已知函数,求; 16.(24-25高一上 福建福州 期中)已知 (1)求出的函数解析式 (2)若是一次函数,,用表示和的最大者,求的解析式 1 学科网(北京)股份有限公司 $