二次函数的图像与性质、二次函数的最值、由二次函数图像判断代数式正负复习讲义-2025-2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学讲义以二次函数三大核心考点为框架，通过表格呈现考点目录，系统梳理图像与性质、最值、代数式正负判断等知识。知识点解析分点列出对称轴、顶点坐标、增减性等要点，构建从基础概念到综合应用的递进脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，例题涵盖选择、填空、解答等题型，变式题针对易错点强化，如由抛物线图像判断a、b、c符号的推理题，培养推理意识与几何直观。课后提升训练综合应用知识，基础学生巩固方法，优秀学生深化思维，助力教师实施精准教学与学生自主复习。

二次函数的图像与性质、二次函数的最值、由二次函数图像判断代数式正负复习讲义 二次函数的图像与性质、二次函数的最值、由二次函数图像判断代数式正负复习讲义 考点目录 二次函数的图像与性质 二次函数的最值 由二次函数图像判断代数式正负 考点一 二次函数的图像与性质 【知识点解析】 已知二次函数 1.对称轴与顶点坐标 （1）对称轴. （2）顶点. 2.与坐标轴的交点 （1）令，得函数与轴得交点. （2）令，得函数与轴得交点与. 2.二次函数的增减性 （1）若，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大.当时，函数取得最小值. （2）若，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.当时，函数取得最大值. 3. 二次函数的对称性：已知点， 在二次函数上， （1）若点在二次函数图像上，则点也在函数图像上； （2）若点，满足，有； 若，且，则，，则； 若，且，则，，则. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）对于二次函数的图象下列叙述正确的是（    ） A．开口向下 B．顶点坐标 C．当时，y随x增大而减小 D．函数的最小值是2 【答案】D 【详解】解：∵ 是顶点式，其中 ，，， ∴ ，开口向上，故A错误； 顶点坐标为 ，故B错误； 对称轴为 ，开口向上，∴当 时， 随 增大而增大，故C错误； 当 时， 有最小值 ，故D正确． ∴选D． 例2．（25-26九年级上·山西朔州·月考）抛物线和的对称轴之间的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为， ∴两条对称轴之间的距离为． 故选：C． 例3．（25-26九年级上·吉林长春·月考）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为轴， 由二次函数图象与性质可知，抛物线上的点到对称轴距离越近值越大， 点，，到对称轴的距离为、、， ， ， 故选：C． 例4．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）已知点， 在函数图像上，则 ．（填“”、“”或“”） 【答案】< 【详解】解：由函数（），点在图像上，代入得；点在图像上，代入得， 因为，所以，即； 故答案为<． 例5．（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知二次函数图像上有两个不同的点 ，，则 ． 【答案】 【详解】解：对于二次函数，对称轴为轴， 点 ，纵坐标相等， 点、关于轴对称， ， 故答案为：． 例6．（25-26九年级上·广西柳州·月考）已知二次函数，当时，则x的取值范围 ． 【答案】 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴抛物线开口向下，且当时，y有最大值，且． 当时，， 解得：，， ∵函数图象开口向下，对称轴为直线，在对称轴左侧y随着x的增大而增大， 在对称轴右侧y随着x的增大而减小， ∴当时，结合函数图象可得出x的取值范围是． 故答案为：． 例7．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）在平面直角坐标系中，抛物线 (1)求这个二次函数的顶点坐标； (2)点、均在此抛物线上，若，则 （填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】(1) (2)＜ 【详解】（1）解：∵， ∴顶点． （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵点、均在此抛物线上，且， ∴， 故答案为：<． 例8．（25-26九年级上·河南南阳·月考）把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． (1) ； ； ； (2)指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值． 【答案】(1)，， (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，最大值为 【详解】（1）解：由题意，将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到的图象， ∴； ∴，，； （2）∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，当时，函数有最大值为． 变式1．（25-26九年级上·湖南永州·月考）二次函数图象的顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 二次函数的顶点坐标为， ∴的图象的顶点坐标为， 故选：D． 变式2．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．该图象顶点是 B．图象与x轴有两个交点 C．当时，有最大值为2 D．图象与y轴交点是 【答案】D 【详解】解：∵二次函数为， ∴顶点坐标为， 故选项A不符合题意； 令 ，得 ， 即， 此时无实数解， ∴图象与x轴无交点， 故选项B不符合题意；； ∵二次函数为的， ∴抛物线开口向上，当时，有最小值为2，不是最大值， 故选项C不符合题意； 令，得， ∴ 与y轴交点为， 故选项D符合题意； 故选：D． 变式3．（25-26九年级上·河北唐山·月考）已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线， 所以抛物线上的点离对称轴越近，则其纵坐标越大． 又∵，，， 且， ∴． 故选：B． 变式4．（25-26九年级上·辽宁锦州·月考）抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【详解】解：二次函数顶点式为 ，顶点坐标为，比较给定函数，可得，，因此顶点坐标为． 故答案为：． 变式5．（25-26九年级上·山东青岛·月考）抛物线上有两点、，若，则 【答案】 【详解】解：抛物线的二次项系数， 抛物线开口向下， 对称轴为，， 两点均在对称轴右侧， 随的增大而减小， ． 故答案为：． 变式6．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知抛物线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 在对称轴左侧，即时，随的增大而减小． ∵ 当时，随的增大而减小， ∴ ． 故答案为：． 变式7．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知二次函数的图象与y轴交点为． (1)求a的值． (2)求该二次函数图象的对称轴和y的最大值． 【答案】(1) (2)直线和4 【详解】（1）解：函数图象与y轴交点为， ， 解得； （2）由（1）得， 配方得， ， ， 所以该二次函数图象的对称轴为，y的最大值为． 变式8．（25-26九年级上·贵州黔西·期中）如图所示，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； (2)该抛物线可由抛物线向___________平移___________个单位得到； (3)当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)见解析 (2)上；4 (3) 【详解】（1）解：∵抛物线线解析式为， 该抛物线的顶点坐标为，开口向下， 令，则，即该抛物线经过点和点， 令，则，即该抛物线经过点和， ∴此抛物线的大致图象如下图所示： （2）解：抛物线可由抛物线向上平移4个单位可得到． 故答案为：上，4． （3）解：∵抛物解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当，且时，函数有最小值，最小值为， 又∵顶点坐标为，即当时，函数有最大值，最大值为4， ∴当时，． 考点二 二次函数的最值 【知识点解析】 1.已知二次函数. （1）若，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大.当时，函数取得最小值. （2）若，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.当时，函数取得最大值. 2.已知二次函数,. （1）若，则函数在上随的增大而增大，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值. （2）若，则函数在上随的增大而减小，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值. （3）若，则函数在上随的增大而减小，在上随的增大而增大，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值. （4）若，则函数在上随的增大而减小，在上随的增大而增大，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值. ※对于情况（3）和（4），本质上是讨论哪个自变量距离对称轴更远. ※开口向下时，讨论思路相同 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）点在二次函数上，当时，，当时，，求的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 点 在二次函数上，且当 时 ， ∴ 函数在 处取得最大值，故顶点为，对称轴为 ， ∵ 当 时 ，且函数开口向下， ∴ 在 时，， 设函数顶点式为 ， 则当时，， 即 ， ∵ 且（因）， ∴ 该不等式恒成立， ∴ ， 故 t 的取值范围为， 故选：C． 例2．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）已知，，当时，的最大值与最小值的差为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴函数图象开口向上，对称轴为， ∴当时，有最小值，最小值为2， ∵，，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴的最大值与最小值的差为． 故选：B． 例3．（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知抛物线的图象开口向下，顶点坐标为，那么该抛物线有（    ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴该抛物线有最大值． 故选：B 例4．（25-26九年级上·山东威海·月考）已知二次函数，当时，y的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：二次函数可化为顶点式： ， 故对称轴为直线，顶点坐标为，且二次项系数，抛物线开口向上． 当时，最小值在处，即最小值为． 当时，； 当时，． 比较得，最大值为， 因此的取值范围为． 故答案为． 例5．（25-26九年级上·浙江温州·期中）当时，二次函数的最大值为 ． 【答案】 【详解】二次函数的二次项系数， 因此抛物线开口向下， 顶点横坐标为， 由于，顶点不在区间内，且当时，随的增大而减小， 故在时取得最大值， 代入计算得． 故答案为：． 例6．（25-26九年级上·吉林长春·期中）二次函数，当自变量时，函数的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：二次函数 配方得 ，顶点坐标为 ， ∵二次项系数为负， ∴抛物线开口向下， ∵自变量取值范围为 ， ∴顶点 不在内，且当时，y随x的增大而减小， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 故答案为：． 变式1．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）已知抛物线，该函数的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：∵抛物线 中 ， ∴开口向上，有最小值， 顶点横坐标 ， 代入得 ， ∴最小值为 ， 故选 ：A． 变式2．（25-26九年级上·山东烟台·期中）在直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点和，则这个二次函数有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最小值2 D．最小值 【答案】A 【详解】解：二次函数为常数）的图象经过点和， 该函数图象的对称轴为直线， ， ， 该函数解析式为， ， 该函数图象的开口向上， 当时，该二次函数有最小值． 故选：． 变式3．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（   ） A．或5 B．或5 C．或7 D．或7 【答案】A 【详解】解：∵， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵二次函数在的范围内的最大值为4， ∴或， 当时，， 整理得， 解得或， 当时，即 ，此时最大值在右端点， ∴， 解得：， 当时，此时最大值在左端点， ∴， 综上可知，实数的值为或5， 故选：A． 变式4．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）已知抛物线，当，抛物线的最小值为，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为，开口向上． ∵当时，抛物线的最小值为， 当时，y随x的增大而增大， ∴，y取得最小值， ∴， 解得，不满足． 当时，，y取得最小值， ∴， 解得或，均不满足． 当时，y随x的增大而减小， ∴，y取得最小值， ∴． 解得，满足． 综上，． 故答案为：． 变式5．（25-26九年级上·河北保定·期中）高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离与时间的函数关系式为，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 s，才能停下来． 【答案】3 【详解】解：， ∵， ∴当时，s取最大值， 故汽车最多要滑行，才能停下来． 故答案为：3． 变式6．（25-26九年级上·河南平顶山·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数且）． （1）该抛物线的对称轴为直线 ； （2）当时，的最小值是，此时的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：（1）抛物线 中，，， 对称轴为． 故答案为：． （2）∵抛物线开口向上，对称轴在内， ∴最小值在顶点处， 即当时，， ∵最小值为， ∴， 解得：， ∴函数解析式为， ∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为． 故答案为：7 考点三 由二次函数图像判断代数式正负 【知识点解析】 1.对于二次函数 （1）开口方向由决定，当时，开口向上，当时，开口向下. （2）对称轴由和决定，对称轴，当对称轴小于0时，同号，当对称轴大于0时，异号，对称轴等于0时，.（口诀：左同右异） （3）与轴的交点由决定，当时，二次函数与轴交于正半轴，当时，二次函数与轴交于负半轴，当时，二次函数与轴交于原点. 2.二次函数图像与系数的关系: 对于二次函数 （1）特殊值 当时，； 当时，. 当时，； 当时，. 当时，； 当时，. ※若提及与的关系或者与的关系，应利用对称轴配凑出、、之间的关系. （2）交点问题 若，则二次函数与轴有2个交点. 若，则二次函数与轴有1个交点. 若，则二次函数与轴没有交点. （3）对称轴问题 若已知，则二次函数对称轴. （4）最值问题 若对称轴且开口向下，则. 若对称轴且开口向上，则. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示是抛物线（）的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程有两个不相等的实根．其中正确结论的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于结论①：从图象中可知，抛物线的对称轴为直线，其中，， 故由对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点在和之间， 故当时，，选项正确； 对于结论②：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴， 由图象可知，抛物线开口向下，故， ∴，选项错误； 对于结论③：∵， ∴，， ∴， ∴，选项正确； 对于选项④：由图象可知，抛物线上的点的纵坐标的最大值为n，根据抛物线的对称性和增减性，必存在两个不同的x，使得， 选项正确， ∴正确的选项有3个， 故选：C． 例2．（25-26九年级上·湖北黄石·月考）如图，二次函数图象对称轴是直线，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察函数的图象，得出开口方向向下， 即， ∵对称轴是直线， ∴， 即， 故A选项不符合题意； 由得， 故B选项符合题意； 观察函数的图象，得出函数图象与轴的交点有两个， 即对应一元二次方程的， 故C选项不符合题意； 观察函数图象，得当时，则函数图象交于y轴的正半轴， 即 ∵对称轴是直线， ∴与关于直线对称， ∴当时， 故D选项不符合题意； 故选：B． 例3．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①②（m为任意实数）③④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有 ． 【答案】②③ 【详解】解：由题意，抛物线开口向下， ． 又抛物线的对称轴是直线， ． 又抛物线交轴正半轴， 当时，． ，故①不正确． 由题意，当时，取最大值为， 对于抛物线上任意的点对应的函数值都． 对于任意实数，当时，． ，故②正确． 由图象可得，当时，， 又， ，故③正确． 由题意抛物线为， ，故④错误． 综上，正确的有②③． 故答案为：②③． 例4．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ． 【答案】②③④ 【详解】解：①：∵抛物线开口向下， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∵二次函数与轴正半轴， ∴， ∴，故①错误； ②：∵二次函数的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故②正确； ③：由抛物线图像可知：当时，二次函数最大值为， ∴当取全体实数时，， ∴，即，故③正确； ④：联立， 化简得， ∴或， 即点的横坐标为， ∵， ∴， ∵点在轴下方且横坐标小于， ∴， ∵， ∴，即， 解得，故④正确； 综上，正确的有：②③④． 故答案为：②③④． 变式1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤若m为任意实数，则．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 抛物线的对称轴直线为， ∴， ，故①正确； 抛物线的对称轴直线为， 且抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 方程的两个根是，，故②正确； 当时，， ， ，即，故③错误； 由于抛物线开口向下，且与x轴两交点的坐标为与， 结合图象可知，当时，，故④错误； 由得， 当时，抛物线最大值为， 当时，， 则对于任意实数m，总有，故⑤正确， 综上所述，正确的应该为①②⑤， 故答案为：C． 变式2．（25-26九年级上·广东·期中）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③一元二次方程没有实数根；④．其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵图象与x轴的一个交点在，之间， ∴图象与x轴另一交点在，之间， ∴时，， 即， 故①正确，符合题意． ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴时，， 故②正确，符合题意． ∵的最大函数值为， ∴有实数根， 故③错误，不合题意． ∵抛物线顶点坐标为， ∴在处取得最大值， ∴， ∴， 故④正确，符合题意． 故选：C． 变式3．（25-26九年级上·广东潮州·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，有下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤对任意实数m，不等式总成立． 其中正确的结论有 填序号 【答案】①③⑤ 【详解】解：①∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴ ， ∴，故①正确； ②根据图形可得二次函数图象与x轴有两个交点， ∴，故②错误； ③∵ ∴ ∴，故③正确； ④由图可得，当时，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴当时，，即，故④错误； ⑤当时，取最小值， ∴， ∴，故⑤正确； 故答案为：①③⑤． 变式4．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论： ①； ②； ③； ④当点C坐标为时，抛物线顶点； ⑤若点是抛物线上第一象限上的动点，当最大时，． 其中正确的有 ．（只填序号） 【答案】①②⑤ 【详解】解：①由条件可知：对称轴为直线，即，得到，故①正确，符合题意； ②当时，， 由图象可得，故②正确，符合题意； ③抛物线开口向下，交轴的正半轴于点， ，，， 故，③错误，不符合题意； ④根据题意可设二次函数解析式为， 把代入可得， 解得， ， 当时，， 即抛物线顶点，故④错误，不符合题意； ⑤根据，可设函数解析式为， 将点代入， 可得 ， ， 如图，过点作轴交于点， 设直线，过点，， 则 解得：， 直线 ， 直线． 由条件可知：， ， ， 当时，的面积最大， 故⑤正确，符合题意； 故答案为：①②⑤． 课后提升训练 1．（25-26九年级上·湖北荆门·月考）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是 B．开口向下，对称轴为直线，顶点坐标是 C．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是 D．开口向下，对称轴为直线，顶点坐标是 【答案】B 【详解】解：∵ 抛物线方程为， ∴，开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为． 故选：B． 2．（25-26九年级上·河南周口·月考）函数的最大值和最小值分别是（   ） A．4和 B．和 C．5和 D．5和 【答案】C 【详解】解：， ， ∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值， ， 时，是最大值， ∴函数的最大值为5，最小值为． 故选：C． 3．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）已知二次函数部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示，那么关于它的图象的一些性质，下列判断正确的是（    ） A．该函数图象的开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．抛物线的对称轴为 D．当时， 【答案】B 【详解】解：∵点和的纵坐标相同， ∴对称轴为， 由表格数据可知，点在抛物线上，故该抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为，代入点， ， ∴， ∴解析式为， 、由，开口向下，原选项错误，不符合题意； 、当时，随增大而减小，原选项正确，符合题意； 、由，得对称轴为，原选项错误，不符合题意； 、当时，，故错误； 故选：． 4．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）已知二次函数（）的图象如图所示，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵抛物线开口向上， ， ∵抛物线的对称轴位于y轴的右侧， ∴，即； ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴；，故A、B选项错误，不符合题意； 由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴， ∵， ∴，即，故C选项正确，符合题意； 由图可知，当时，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 5．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（    ） A．或5 B．或5 C．或7 D．或7 【答案】A 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，为最高点， ①当时，抛物线随的增大而增大， ∴当，即，函数有最大值4， ∴， 解得，或（舍去，） ∴； ②当时，抛物线随的增大而减小， ∴当时，即函数有最大值4， ∴， 解得，或（舍去） ∴； 综上，的值为或5， 故选A． 6．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，是二次函数的图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，现有下列说法：①；②；③方程有两个不相等的实数根：④若，是抛物线上两点，则，其中说法正确的是（   ）． A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：对于①②， ∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故①②正确； 对于③，此方程可以看作抛物线与直线的交点，结合图象可知，抛物线与直线有两个交点，因此方程有两个不相等的实数根，故③正确； 对于④，抛物线开口向上，函数有最小值，且离对称轴直线越近，值越小． ，， ∵， ∴点离对称轴更近， ∴，故④正确． 故选：D． 7．（25-26九年级上·山西忻州·月考）二次函数的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：函数是顶点形式，顶点坐标为， 由于二次项系数，抛物线开口向上， 因此函数在顶点处取得最小值，最小值为． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）经过点的抛物线的对称轴是直线，其顶点在直线上．当时，此时抛物线的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，顶点在直线上， 当时，， ∴该抛物线的顶点坐标是， 设该抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴该抛物线的解析式是， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知抛物线，当时，的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴函数最大值为3， 将代入得， 将代入得， ∴当时，， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）二次函数，其图象经过点，则下列说法： ①该函数图象过点； ②； ③若点在该函数图象上，则也在该函数图象上； ④当时，y只有3个整数值，则或； 其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【详解】解：当时，， ∴该函数图象过点，故①正确； ∵二次函数，其图象经过点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故②错误； ∵二次函数的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 即点在该函数图象上，则也在该函数图象上，故③正确； ∵， ∴， 当时，， 当时， ∵当时，y只有3个整数值，1，2，3，且图象经过点， ∴， ∴； 当时， ∵当时，y只有3个整数值，3，4，5，且图象经过点， ∴， ∴， 综上所述，当时，y只有3个整数值，则或，故④正确； 故答案为：①③④． 11．（25-26九年级上·四川南充·期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（m为任意实数）；③；④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有 ． 【答案】②③/③② 【详解】解：由题意，抛物线开口向下， ． 又抛物线的对称轴是直线， ． 又抛物线交轴正半轴， 当时，． ，故①不正确． 由题意，当时，取最大值为， 对于抛物线上任意的点对应的函数值都． 对于任意实数，当时，． ，故②正确． 由图象可得，当时，， 又， ，故③正确． 由题意抛物线为， ，故④错误． 综上，正确的有②③． 故答案为：②③． 12．（25-26九年级上·山东泰安·期中）当时，二次函数的最大值为8，则b的值为 ． 【答案】或 【详解】解：二次函数 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ． 若时函数值为8，即 ， 整理得 ， 解得 或 ． 若 时函数值为8，即 ， 整理得 ， 解得 或 ． 验证各b值对应的区间： 当 时，左端点函数值为 ，不符合； 当 时，右端点函数值为 ，不符合； 当 时，左端点函数值为 ，右端点函数值为 ，符合； 当 时，右端点函数值为 ，左端点函数值为 ，符合． 故b的值为或． 故答案为：或． 13．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数图象如图所示，抛物线顶点为，与y轴、x轴分别交于点B和点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)根据图象直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为． （2）解：解方程得，， 抛物线与x轴的交点坐标为，， 当时，x的取值范围为． 14．（25-26九年级上·山东泰安·期中）已知：二次函数． (1)将化成的形式； (2)求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)对称轴：直线，顶点为 (3) 【详解】（1）解： ； （2）由（1）知，且， ∴开口向上，对称轴为直线，顶点； （3）∵中，，对称轴为直线， ， ∴当时，， 又∵顶点为：， ∴当时，函数y的取值范围为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数的图像与性质、二次函数的最值、由二次函数图像判断代数式正负复习讲义 二次函数的图像与性质、二次函数的最值、由二次函数图像判断代数式正负复习讲义 考点目录 二次函数的图像与性质 二次函数的最值 由二次函数图像判断代数式正负 考点一 二次函数的图像与性质 【知识点解析】 已知二次函数 1.对称轴与顶点坐标 （1）对称轴. （2）顶点. 2.与坐标轴的交点 （1）令，得函数与轴得交点. （2）令，得函数与轴得交点与. 2.二次函数的增减性 （1）若，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大.当时，函数取得最小值. （2）若，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.当时，函数取得最大值. 3. 二次函数的对称性：已知点， 在二次函数上， （1）若点在二次函数图像上，则点也在函数图像上； （2）若点，满足，有； 若，且，则，，则； 若，且，则，，则. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）对于二次函数的图象下列叙述正确的是（    ） A．开口向下 B．顶点坐标 C．当时，y随x增大而减小 D．函数的最小值是2 例2．（25-26九年级上·山西朔州·月考）抛物线和的对称轴之间的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（25-26九年级上·吉林长春·月考）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 例4．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）已知点， 在函数图像上，则 ．（填“”、“”或“”） 例5．（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知二次函数图像上有两个不同的点 ，，则 ． 例6．（25-26九年级上·广西柳州·月考）已知二次函数，当时，则x的取值范围 ． 例7．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）在平面直角坐标系中，抛物线 (1)求这个二次函数的顶点坐标； (2)点、均在此抛物线上，若，则 （填“＞”、“＝”或“＜”）． 例8．（25-26九年级上·河南南阳·月考）把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． (1) ； ； ； (2)指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值． 变式1．（25-26九年级上·湖南永州·月考）二次函数图象的顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．该图象顶点是 B．图象与x轴有两个交点 C．当时，有最大值为2 D．图象与y轴交点是 变式3．（25-26九年级上·河北唐山·月考）已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 变式4．（25-26九年级上·辽宁锦州·月考）抛物线的顶点坐标为 ． 变式5．（25-26九年级上·山东青岛·月考）抛物线上有两点、，若，则 变式6．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知抛物线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ． 变式7．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知二次函数的图象与y轴交点为． (1)求a的值． (2)求该二次函数图象的对称轴和y的最大值． 变式8．（25-26九年级上·贵州黔西·期中）如图所示，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； (2)该抛物线可由抛物线向___________平移___________个单位得到； (3)当时，的取值范围是___________． 考点二 二次函数的最值 【知识点解析】 1.已知二次函数. （1）若，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大.当时，函数取得最小值. （2）若，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.当时，函数取得最大值. 2.已知二次函数,. （1）若，则函数在上随的增大而增大，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值. （2）若，则函数在上随的增大而减小，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值. （3）若，则函数在上随的增大而减小，在上随的增大而增大，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值. （4）若，则函数在上随的增大而减小，在上随的增大而增大，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值. ※对于情况（3）和（4），本质上是讨论哪个自变量距离对称轴更远. ※开口向下时，讨论思路相同 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）点在二次函数上，当时，，当时，，求的取值范围（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）已知，，当时，的最大值与最小值的差为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 例3．（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知抛物线的图象开口向下，顶点坐标为，那么该抛物线有（    ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 例4．（25-26九年级上·山东威海·月考）已知二次函数，当时，y的取值范围为 ． 例5．（25-26九年级上·浙江温州·期中）当时，二次函数的最大值为 ． 例6．（25-26九年级上·吉林长春·期中）二次函数，当自变量时，函数的最大值为 ． 变式1．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）已知抛物线，该函数的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 变式2．（25-26九年级上·山东烟台·期中）在直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点和，则这个二次函数有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最小值2 D．最小值 变式3．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（   ） A．或5 B．或5 C．或7 D．或7 变式4．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）已知抛物线，当，抛物线的最小值为，则的值为 ． 变式5．（25-26九年级上·河北保定·期中）高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离与时间的函数关系式为，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 s，才能停下来． 变式6．（25-26九年级上·河南平顶山·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数且）． （1）该抛物线的对称轴为直线 ； （2）当时，的最小值是，此时的最大值为 ． 考点三 由二次函数图像判断代数式正负 【知识点解析】 1.对于二次函数 （1）开口方向由决定，当时，开口向上，当时，开口向下. （2）对称轴由和决定，对称轴，当对称轴小于0时，同号，当对称轴大于0时，异号，对称轴等于0时，.（口诀：左同右异） （3）与轴的交点由决定，当时，二次函数与轴交于正半轴，当时，二次函数与轴交于负半轴，当时，二次函数与轴交于原点. 2.二次函数图像与系数的关系: 对于二次函数 （1）特殊值 当时，； 当时，. 当时，； 当时，. 当时，； 当时，. ※若提及与的关系或者与的关系，应利用对称轴配凑出、、之间的关系. （2）交点问题 若，则二次函数与轴有2个交点. 若，则二次函数与轴有1个交点. 若，则二次函数与轴没有交点. （3）对称轴问题 若已知，则二次函数对称轴. （4）最值问题 若对称轴且开口向下，则. 若对称轴且开口向上，则. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示是抛物线（）的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程有两个不相等的实根．其中正确结论的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．（25-26九年级上·湖北黄石·月考）如图，二次函数图象对称轴是直线，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①②（m为任意实数）③④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有 ． 例4．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ． 变式1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤若m为任意实数，则．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（25-26九年级上·广东·期中）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③一元二次方程没有实数根；④．其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3．（25-26九年级上·广东潮州·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，有下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤对任意实数m，不等式总成立． 其中正确的结论有 填序号 变式4．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论： ①； ②； ③； ④当点C坐标为时，抛物线顶点； ⑤若点是抛物线上第一象限上的动点，当最大时，． 其中正确的有 ．（只填序号） 课后提升训练 1．（25-26九年级上·湖北荆门·月考）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是 B．开口向下，对称轴为直线，顶点坐标是 C．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是 D．开口向下，对称轴为直线，顶点坐标是 2．（25-26九年级上·河南周口·月考）函数的最大值和最小值分别是（   ） A．4和 B．和 C．5和 D．5和 3．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）已知二次函数部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示，那么关于它的图象的一些性质，下列判断正确的是（    ） A．该函数图象的开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．抛物线的对称轴为 D．当时， 4．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）已知二次函数（）的图象如图所示，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（    ） A．或5 B．或5 C．或7 D．或7 6．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，是二次函数的图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，现有下列说法：①；②；③方程有两个不相等的实数根：④若，是抛物线上两点，则，其中说法正确的是（   ）． A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 7．（25-26九年级上·山西忻州·月考）二次函数的最小值为 ． 8．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）经过点的抛物线的对称轴是直线，其顶点在直线上．当时，此时抛物线的最大值为 ． 9．（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知抛物线，当时，的取值范围为 ． 10．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）二次函数，其图象经过点，则下列说法： ①该函数图象过点； ②； ③若点在该函数图象上，则也在该函数图象上； ④当时，y只有3个整数值，则或； 其中正确的是 （填序号）． 11．（25-26九年级上·四川南充·期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（m为任意实数）；③；④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有 ． 12．（25-26九年级上·山东泰安·期中）当时，二次函数的最大值为8，则b的值为 ． 13．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数图象如图所示，抛物线顶点为，与y轴、x轴分别交于点B和点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)根据图象直接写出当时，x的取值范围． 14．（25-26九年级上·山东泰安·期中）已知：二次函数． (1)将化成的形式； (2)求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)当时，直接写出的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $