第22章 二次函数：线段最值问题、将军饮马问题、面积问题 讲义-2025-2026学年人教版九年级数学上册

二次函数：线段最值问题、将军饮马问题、面积问题讲义 二次函数：线段最值问题、将军饮马问题、面积问题讲义 考点目录 二次函数与线段最值问题 二次函数与将军饮马问题 二次函数与三角形面积问题 二次函数与四边形面积问题 考点一 二次函数与线段最值问题 【知识点解析】 1.解析式的求解：待定系数法 (1)一次函数解析式y=x+b(k≠0)； (2)二次函数解析式：y=ax2+bxr+c(k≠0). 2.交点的求解： (1)函数与x轴的交点：令y为0，求x; (2)函数与y轴的交点：令x为0，求y; (3)两个函数的交点：联立两个函数解方程得交点. 3.平面直角坐标系中距离的表示： (1)与x轴平行的线段长度：若A(x,乃)，B(x2,),AB=2-x: (2)与y轴平行的线段长度：若A(,y,),B(x,y2),AB=y2- (3)任意两点之间线段长度：若A(x,小，B(x,),AB=Vx2-x)+(y2-y)2; 4.求点到斜线的距离，可利用等面积法进行转换. 5.利用二次函数求最值 求二次函数y=ax2+bx+c(a>0)，当m≤x≤n的最值. (1)若对称轴x=-b ≤m,函数在m≤x≤n上y随x的增大而增大. 2a 当x=m时，函数取得最小值am2+bm+c; 当x=n时，函数取得最大值an2+bn+c. 二次函数：线段最值问题、将军饮马问题、面积问题讲义 (2)若对称轴x=-b之n,函数在m≤r≤n上y随X的塔大而减小 2a 当x=n时，函数取得最小值an2+bn+c; 当x=m时，函数取得最大值am2+bm+c （国)若对移锥瓜≤会5，手载在m≤≤一名上y诺的销大面减人在名≤三a上y聪的始大面大 b 2a 2a 当=b时，函数取得最小值a22+b6Y 2a +c; 2a 则当x=n时，函数取得最大值an2+bn+c; m,则当x=m时，函数取得最大值am2+bm+c. 本质上是讨论自变量的端点谁离对称轴更远！ 【例题分析】 考向一 垂线段的最值问题 例1.(25-26九年级上·北京·阶段练习)在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=x2+bx+c经过两个不同的点(0，a和 (2a,a. (1)求b(用含a的代数式表示)： (2)过点P(a,0)作x轴的垂线交抛物线于点N, ①若a=2,求PN的长； ②若PN的长随OP长的增大而增大，求a的取值范围， 【答案】(1)b=-2a (2)02:②a<0或0<as}或a≥1 2 a=c① 【详解】(1)解：由题意得， a=4a2+2ab+c②' 由①得，c=a, 把c=a代入②，得a=4a2+2ab+a, ∴.4a2+2ab=0, 即2a2a+b=0, 二次函数：线段最值问题、将军饮马问题、面积问题讲义 :点(0，a和(2a,a)是不同的点， .a≠0， .2a+b=0, .b=-2a; (2)解：①当a=2时，b=-2×2=-4,点P(2,0), :抛物线的解析式为y=x2-4x+2, 把x=2代入y=x2-4x+2,得y=4-8+2=-2, 点N(2,-2, PN=0-(-2=2; ②：b=-2a,c=a, 抛物线的解析式为y=x2-2c+a, 把x=a代入y=x2-2+a,得y=a2-2a2+a=-a2+a, :N(a,-a2+a), pw=0-(-a2+a=a2-a, -11 设w=a2-a,则函数图像的对称轴为直线x=- 2x12' 画出函数图像如下： WA 4 2 -3-2-1o23a -12 2 由函数图像可知，当a<0或0<as.或a≥1时，w随OP长的增大而增大， a的取值范围为a<0或0<a≤。或a≥1. 例2.(2526九年级上重庆阶段练习)如图，抛物线y=ar2+x+c过，B6,0,C0,8)三点，点P是抛物线上 3 动点. 二次函数：线段最值问题、将军饮马问题、面积问题讲义 B B (1)试求抛物线的表达式： (2)如图，当P在第一象限时，过点P作PNy轴并交BC于点N,作PM∥x轴并交抛物线的对称轴于点M,若 PM=2PN,求点P的坐标； ③)当点P运动到使∠PAB=)∠ABC时，请直接写出P点的坐标. 2 【答案】0)抛物线解析式为y=-x+名x+8 3 (2)P(3,7) (3)P点的坐标为 917) 【详解】1)解：抛物线=a+子+e过点16,0，C08。 2 36a+二×6+c=0 3 c=8 1 a=- 解得 3, c=8 +8, “抛物线解析式为y=-1x 3 1 2 ②解：y=+x+8车x2) 3 3 3 :抛物线的对称轴为直线x=1, 设直线BC:y=kx+b(k≠0)， B(6,0),C(0,8)在y=kx+b(k≠0)上， b=8 6k+8=0 b=8 解得 4, k=- 3 4 二次函数：线段最值问题、将军饮马问题、面积问题讲义 ·直线BC为：y= 3r+8, 4 由点P是第一象限内抛物线7=+号+8上的肉点，点P的横单标是m,且1<■<6，设Pm有+号：8 2 3 3 3 :PN∥y轴，PM∥x轴，抛物线的对称轴为直线x=1,直线BC为：y=- 3+8, -+a+8 3 .PN=- 1 m2+2m,PM=m-1, 3 2 :PM =-PN 3 21 .m-1= m2+2m, 33 3 解得m1=3,m2=- 2 (舍去)， 1 2 当m=3时，-。m2+m+8=7, 3 3 .P(3,7); 1 2 (3)解：：抛物线y=-二x2+二x+8的对称轴为直线x=1,A-4,0),B(6,0),C(0,8), 3 3 A、B两点关于直线x=1成轴对称，设点C(0,8)关于直线x=1的对称点为D(x,8), .x+0=1, 2 X0=2, 点C(0,8关于直线x=1的对称点为D(2,8), :A、B两点关于直线x=1成轴对称，点C(0,8)关于直线x=1的对称点为D(2,8),连接AC,AD,BD, :.ABC与aBAD关于直线x=1成轴对称， ∴.∠ABC=∠BAD, 过点A作AP平分∠BAD交抛物线于点P,交BD于点H,测∠PB=B4D=∠4BC,点P为所求的点， 6 二次函数：线段最值问题、将军饮马问题、面积问题讲义 A. 0 B A-4,0),B6,0),D2,8), .AB=4+6=10,AD=V2+4)2+82-10, :AB=AD, :AP平分∠BAD交抛物线于点P,交BD于点H, .AH⊥BD,HD=HB, .B6,0),D(2,8), :H6+20+8) 即H(4,4), 设直线AP为：y=mx+n, :直线AP为：y=mx+n过H(4,4),A-4,0, [0=4m+n 4=4m+n 1 m=- 解得2， n=2 2, 1 直线AP为：y= 联立直线4P为y+2与抛物线解析式为y=?x+3x+8得， 1 y=2+2 1 2 y=- 5x2+x+8 3 3 9 x= 2 x=-4 解得 或 17 y= y=0 (舍去)， 4 6 二次函数：线段最值问题、将军饮马问题、面积问题讲义 8: 同理，作点C,D,H关于x轴的对称点C',D,H, ∠ABC'=∠ABC,C'0,-8,D'（2,-8,H'(4,-4), 设直线AP'的解析式为y=r+e(∫≠0)， -4f+e=0 4f+e=-4' f=- 解得 1e=-2 :.直线AP的解析式为y=-二x-2, 2 1 y= 联立方程组得， 2t2 12,2 y=一 +3r+8 整理得，2x2-7x-60=0, 15 x1= 解得， x2=-4 (不符合题意，舍去)， = 23’=0 4 r货》 综上所述，P点的坐标为 917 (15_23 24或2,4 变式1.(25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习)如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(α，b,c为 常数，a≠0)与x轴相交于A,B两点，其中点A的坐标为-3,0)，且点(2,5)在抛物线y=ax2+bx+c上. x=-1 (1)求抛物线的解析式及顶点坐标： (2)点C为抛物线与y轴的交点： ①点P在抛物线上，且S.Poc=4S。Boc,求点P点坐标； ②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值. > 二次函数：线段最值问题、将军饮马问题、面积问题讲义 【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2+2x-3,顶点坐标为(-1，-4) (2①点P的坐标为4,2D或(4,5)；②0D最大值为4 9 【详解】(1)解：：抛物线的对称轴为x=-1,点A坐标为-3,0)，与(2,5)在抛物线上， 9a-3b+c=0 {4a+2b+c=5. b -=-1 2a a=1 解得b=2. c=-3 .抛物线的解析式为y=x2+2x-3. :y=x2+2x-3=(x+12-4, 顶点坐标为(-1，-4). (2)解：①抛物线的解析式为y=x2+2x-3, 令x=0,则y=-3, 抛物线与y轴交点坐标为(0，-3). .0C=3. 设点P坐标为x,x2+2x-3, :S.poc =4S.Boc, 1 .二×3×|x=4×二×3×1. 21 2 |x=4,x=±4. 当x=4时， x2+2x-3=16+8-3=21, 当x=-4时， x2+2x-3=16-8-3=5. .点P的坐标为(4,2)或(4,5). ②设直线AC的解析式为y=kx+1, 将A(-3,0),C(0,-3)代入， 二次函数：线段最值问题、将军饮马问题、面积问题讲义 -3k+t=0 得 t=-3 「k=-1 解得 t=-3 直线AC的解析式为y=-x-3. 设点Q坐标为(x,-x-3)(-3≤x≤0)， 则点D坐标为x,x2+2x-3. 200---42x---3-( 当时，Q0有爱大鱼 4 变式2.(2526九年级上江苏苏州阶段练习)已知二次函数y=3x+bx+c图象与y轴交于点40,3，与r轴交 于点B和C(4,0)(点B在点C的左侧)，点P是该图象位于第一象限的一动点. y B (备用图) (1)求该二次函数的表达式： (②)过点P作PH∥y轴，交AC于点H,当点P在何处时，HP的值最大，最大值是多少？ 【答案】0)y=-2x+9x+3 4 4 HP的最大值为3 【详解】(1)解：把40,3引，C(40)代入y=-2x+hx+c, 4 9 b= c=3 4 -12+46+c=0'解得 得 c=3 9 该二次函数的表达式为y三 4x+3 (2)解：设直线AC解析式为y=x+n, 0 二次函数：线段最值问题、将军饮马问题、面积问题讲义 将40，)，C(4,0)代入，得=3 n=3 4h+n=0’解 k= 则直线4C解析式为y=- 4+3. 设P-+}+),0<m<4,则n+ 4 4 +m+3-3m HP=-3 9 4m+3 m2+3m=-3m-2}2+3,0<m<4, 3 4 4 当m=2时，HP取得最大值，最大值为3， 3,9 9 9 当m=2时，-m2+2m+3=-3+2+3= 4 4 2 2 。9 P22 。9 P为2时，HP的最大值为3. 考向二 点到直线距离的最值问题 例1.(24-25八年级下·浙江金华阶段练习)如图，己知抛物线y=-x2-2x+3与x轴相交于A,B两点（点B在点A 的左侧)，与y轴交于点C. B (I)求点A,B,C的坐标. (2)在抛物线的对称轴1上是否存在点M,使得△AMC的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明 理由 (3)若点P是直线BC上方抛物线上的一点，求点P到直线BC距离的最大值. 【答案】(1)A1,0),B(-3,0),C(0,3) (2)M(-1,2 392 8 【详解】(1)解：在y=-x2-2x+3中，当x=0时，y=3,当y=0时，-x2-2x+3=0,解得x=-3或x=1, A1,0,B(-3,0,C(0,3: 10二次函数：线段最值问题、将军饮马问题、面积问题讲义 二次函数：线段最值问题、将军饮马问题、面积问题讲义 考点目录 二次函数与线段最值问题 二次函数与将军饮马问题 二次函数与三角形面积问题 二次函数与四边形面积问题 考点一 二次函数与线段最值问题 【知识点解析】 1.解析式的求解：待定系数法 （1）一次函数解析式：； （2）二次函数解析式：. 2.交点的求解： （1）函数与轴的交点：令为0，求； （2）函数与轴的交点：令为0，求； （3）两个函数的交点：联立两个函数解方程得交点. 3.平面直角坐标系中距离的表示： （1）与轴平行的线段长度：若，，； （2）与轴平行的线段长度：若，，； （3）任意两点之间线段长度：若，，； 4.求点到斜线的距离，可利用等面积法进行转换. 5.利用二次函数求最值 求二次函数，当的最值. （1）若对称轴，函数在上随的增大而增大. 当时，函数取得最小值； 当时，函数取得最大值. （2）若对称轴，函数在上随的增大而减小. 当时，函数取得最小值； 当时，函数取得最大值. （3）若对称轴，函数在上随的增大而减小，在上随的增大而增大. 当时，函数取得最小值； 若，则当时，函数取得最大值； 若，则当时，函数取得最大值. 本质上是讨论自变量的端点谁离对称轴更远！ 【例题分析】 考向一 垂线段的最值问题 例1．（25-26九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过两个不同的点和． (1)求（用含的代数式表示）； (2)过点作轴的垂线交抛物线于点， ①若，求的长； ②若的长随长的增大而增大，求的取值范围． 例2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，抛物线过三点，点是抛物线上动点． (1)试求抛物线的表达式； (2)如图，当在第一象限时，过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点的坐标； (3)当点P运动到使时，请直接写出点的坐标． 变式1．（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且，求点P点坐标； ②设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 变式2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点B和（点B在点C的左侧），点P是该图象位于第一象限的一动点． (1)求该二次函数的表达式； (2)过点P作轴，交于点H，当点P在何处时，的值最大，最大值是多少？ 考向二 点到直线距离的最值问题 例1．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，，的坐标． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是直线上方抛物线上的一点，求点到直线距离的最大值． 例2．（2025·广东广州·模拟预测）如图①，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B、C，将直线绕点A逆时针旋转，所得直线与x 轴交于点D． (1)求直线的函数解析式； (2)如图②，若点P是直线上方抛物线上的一个动点， ①当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标和最大距离； ②当点P到直线的距离为时，求的值． 变式1．（2025·江苏淮安·二模）已知二次函数的图像与轴交于点，顶点为点．直线的表达式为：． (1)填空：________；（用含的式子表示） (2)若该二次函数图像与轴的另一个交点为，与直线交于、两点．点为二次函数图像上任意一点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点． ①若点是线段的中点，求点的坐标； ②设、的纵坐标分别为、，若，则的取值范围是_________； (3)若平移该二次函数图像，使其顶点落在直线上．设抛物线与直线的另一个交点为，点在直线l上方的二次函数图像上，求点到直线距离的最大值． 变式2．（24-25八年级下·重庆江北·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上一动点，过点作交轴于点，点为轴上一动点，点为直线上一动点，当取最大值时，求点的坐标以及此时的最小值； (3)如图2，平移该抛物线，平移后的抛物线的顶点坐标为．点是抛物线上一点且位于第一象限，若点到轴的距离是它到直线距离的倍，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 考点二 二次函数与将军饮马问题 【知识点解析】 1.点关于直线对称： （1）点关于轴的对称点； （2）点关于轴的对称点； （3）点关于直线的对称点； （4）点关于直线的对称点. 2.将军饮马问题的处理思路 （1）已知、为直线同侧的两个定点，为直线上一动点.求的最小值. ①求关于直线的对称点. ②为所求的最小值. ③求直线与的交点为所求. （2）已知、为直线异侧的两个定点，为直线上一动点.求的最大值. ①求关于直线的对称点. ②为所求的最大值. ③求直线与的交点为所求. 2.解题时需注意题目求最值的大小还是取得最值时动点的坐标！ 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为 (1)求m的值及抛物线的顶点坐标． (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． 例2．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标及的周长． 例3．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其中，． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在直线上方抛物线上找一点 Q，使三角形面积最大，求面积最大时 Q 的坐标及最大面积； (3)在抛物线的对称轴上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，在对称轴上找一点 N，使最大．写出点 M、点 N 的坐标； 变式1．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点和，与y轴交于点C，抛物线上有一动点P，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接，作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在一点P，使得以点B、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)对称轴上有一动点M，抛物线上有一点，当周长最小时，求出点M的坐标． 变式2．（25-26九年级上·贵州黔西·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为，B点在y轴上．是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线和二次函数的图象交于D、E两点． (1)求m的值及这个二次函数的解析式； (2)若点P的横坐标为2，求的面积； (3)当时，求线段的最大值； (4)当的值最小时，直接写出点P的坐标． 变式3．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若P点是抛物线对称轴上的一点，求点P的坐标，使值最小； (3)若M是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点M的坐标． 考点三 二次函数与三角形面积问题 【知识点解析】 1. 已知， （1）若，即线段与轴垂直，则. （2）若，即线段与轴平行，则. （3）若且， ①过做轴交于点，则. ②过做轴交于点，则. （4）割补法 注意：方法(3)中的两种方法称为铅垂法，相比前两组方法要多求的解析式. 【例题分析】 例1．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知：直线与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求面积的最大值； 例2．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，已知抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； 例3．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）如图，抛物线与轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式；写出其顶点坐标； (2)设（）中的抛物线上有一个动点，当点在该抛物线上滑动到什么位置时，满足，并求出此时点的坐标． 变式1．（2025·山东日照·模拟预测）平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作交直线于，求的最大值以及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得与的面积之比为，请直接写出满足条件的所有点的横坐标，并写出其中一个横坐标的求解过程． 变式2．（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，已知抛物线经过、两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点Q为抛物线上一点，若，求出此时点Q的坐标． 变式3．（2025·湖北武汉·模拟预测）平面直角坐标系中，已知抛物线，点在抛物线上，过点A的直线l与抛物线有唯一公共点，与x轴交于点B． (1)求直线l的解析式； (2)如图（1），点C在第二象限内抛物线上，若，求点C的横坐标； (3)如图（2），设直线l与y轴交于点D，过点的直线与抛物线交于M，N两点（M在N左侧），过点N且平行于的直线与直线交于点Q，求面积的最小值． 考点四 二次函数与四边形面积问题 【知识点解析】 1.割补法：对于任意一个四边形，可连接对角线将四边形分割为两个三角形，分别求分割后两个三角形的面积，累加可得四边形的面积. 2.几种特殊四边形的面积 （1）平行四边形的面积=底×高； （2）梯形的面积=（上底+下底）×高； （3）菱形的面积=底×高=对角线长度×对角线长度； （4）矩形的面积=长×宽； （5）对于平行四边形、菱形、矩形与正方形，连接对角线求出一个三角形的面积，再利用平行四边形的对称性得四边形面积. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）拋物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且与y轴交于点C． (1)如图①，求点A，B，C的坐标； (2)点D是抛物线上x轴下方一点，点E位于第一象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为8，求点E的横坐标； (3)如图②，直线与抛物线交于M，N两点，点P坐标为，连接，分别与抛物线交于E，F两点，连接，求证：直线过定点． 例2．（25-26九年级上·广东·期中）已知，如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左方），与轴相交于点，直线经过点、． (1)求的长度； (2)点为直线下方抛物线上一点，当四边形面积最大时，求点的坐标． 例3．（2024·上海·模拟预测）如图，抛物线过点，点P在抛物线上，且横坐标为m，抛物线P、Q之间的部分（包括P、Q点）图象记为M． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，求图象M最高点与最低点纵坐标的差． (3)点B坐标为，以为对角线构造平行四边形，轴，过C作x轴的垂线l，直线l将平行四边形的面积分成的两部分．当时，求平行四边形的面积． 变式1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1抛物线与轴交于点，与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图2，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点E、F为第四象限拋物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，求点的坐标． 变式2．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，，与轴交于另一点，抛物线的顶点为． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接、、，求； (3)在该抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·广东惠州·阶段练习）已知抛物线交x轴于两点．交y轴于点． (1)求该抛物线的表达式和对称轴． (2)设点P是抛物线的顶点，求四边形的面积． 课后提升训练 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为时，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 2．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C，连接． (1)求b，c的值； (2)连接，过点O作交于D，记的面积分别为，求的值； (3)过点A作的垂线交抛物线于点P，求线段的长． 3．（25-26九年级上·重庆潼南·阶段练习）已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求a的值和点B的坐标； (2)如图1，点P为直线上方抛物线上的一点，过点P作轴交AC于点Q，再过点P作于点H，求最大值时点P的坐标以及此时周长的最大值． 4．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，已知抛物线经过点、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N．若点M的横坐标为m．请用m的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，连接、，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 5．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点和，交y轴于点 C，轴，交抛物线于点 D． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上是否存在一点Q，连接，，使 ，若存在，请直接写出点 Q 的横坐标；若不存在，请说明理由． 6．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，抛物线交x轴于点A，，交y轴于点C，对称轴为直线，点D是第四象限内抛物线上一点，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)求四边形面积的最大值，并求出此时点D的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $