22.1二次函数的图像和性质（基础篇）讲义2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1二次函数的图像和性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 定义： 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 二次函数的性质 （1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴. （2）函数的图像与的符号关系. ①当时抛物线开口向上顶点为其最低点； ②当时抛物线开口向下顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为. 二次函数用配方法可化成： 的形式，其中. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④；⑤. 抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点. ①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下； 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大。 ②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线. 求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：， ∴顶点是，对称轴是直线. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线. （3）抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 抛物线中，的作用 （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. （2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线 ，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧，“左同右异”. （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）： ①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴. 几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 （轴） （0,0） （轴） (0, ) (,0) (,) () 用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：. 直线与抛物线的交点 （1）轴与抛物线得交点为(0, ). （2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). （3）抛物线与轴的交点 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离. （4）平行于轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. （5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点. （6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故 型 习 练 题 列二次函数关系式 1．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 2．如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 3．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长，若鸡场的宽为，养鸡场面积为，则S与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 4．用一段米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 5．如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 二次函数的识别 6．下列函数中属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 7．下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 8．下列函数中，关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 9．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 10．下列各式中，y是x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 根据定义求参数 11．若是关于的二次函数，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．0 12．已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（　　） A． B．0 C． D．3 13．已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（   ） A． B． C． D． 14．若关于的函数是二次函数，则的值为（   ） A． B． C．3 D．无法确定 15．若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 Y=的图像和性质 16．下列四个点，在二次函数的图像上的是（    ） A． B． C． D． 17．二次函数的图象经过下列点中的（   ） A． B． C． D． 18．若二次函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 19．下列关于二次函数的说法正确的是(  ) A．它的图象经过点 B．当时，有最大值为0 C．它的图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 20．若抛物线的开口向上，则的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 Y=+k的图像和性质 21．抛物线，，共有的特征是（   ） A．开口向上 B．随的增大而减小 C．都有最低点 D．对称轴是轴 22．对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A．开口向下 B．与y轴交于点 C．对称轴是 D．当时，y随x的增大而减小 23．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 24．抛物线具有相同的（    ） A．形状大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 25．二次函数的图象不经过的象限为（   ） A．第三象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第一象限、第二象限 D．第一象限、第四象限 Y=的图像和性质 26．已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 27．已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 28．对于二次函数，下列结论错误的是（   ） A．开口向上 B．当时，y随x的增大而增大 C．函数图象与x轴没有公共点 D．函数有最小值 29．抛物线的对称轴是（ ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 30．二次函数的图象顶点坐标是（    ） A． B． C． D． Y=+k的图像和性质 31．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．当时，随增大而增大 D．对称轴是直线 32．抛物线的顶点是（    ） A． B． C． D． 33．已知二次函数，下列说法中错误的是（   ） A．其图象的开口向下 B．函数的最小值为2 C．其图象的对称轴为直线 D．其图象的顶点坐标为 34．对于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．当时，y随x的增大而减小 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线 35．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 二次函数的平移 36．在平面直角坐标系中，保持抛物线不动，若将平面直角坐标系水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的解析式为（    ）． A． B． C． D． 37．把抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 38．抛物线可由抛物线经过怎样的平移得到（    ） A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度 C．向左平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度 39．把抛物线向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到的抛物线表达式为（    ） A． B． C． D． 40．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线（   ） A． B． C． D． 一般式化成顶点式 41．将二次函数改写成顶点式，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 42．将二次函数化成的形式，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 43．若抛物线的顶点与原点的距离为5，则c的值为（    ） A．5 B．9 C．5或13 D．9或13 44．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 45．将二次函数化为的形式，结果为( ) A． B． C． D． 一般式的图像和性质 46．若二次函数的与的部分对应值如下表： 0 1 2 3 3 0 0 3 则抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 47．已知抛物线经过点，则代数式的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2023 D．2022 48．抛物线中，与的部分对应值如表： ．．． 2 5 8 ．．． ．．． 15 15 ．．． 下列结论中，正确的是（    ） A．抛物线开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 49．如图，二次函数的图像与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论中，错误的是（   ） A． B． C． D．当时， 50．二次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 二次函数图像与各项系数符号 51．已知二次函数，若a，b，c满足，则（    ） A． B． C． D． 52．如图，抛物线的对称轴是直线，则以下五个结论中，正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 53．已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 54．二次函数 的图象如图所示，对于下列说法：①，②，③，其中正确的个数有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 55．已知二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 最大值 56．二次函数的最小值为() A．5 B． C．7 D． 57．关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（    ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最小值4 58．关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．最小值4 B．最大值4 C．最小值2 D．最小值3 59．已知二次函数的图像经过点，则代数式有（    ） A．最小值 B．最小值5 C．最大值 D．最大值5 60．已知抛物线，则函数的最小值是（   ） A． B．72 C． D． 待定系数法求解析式 61．如图，若二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 62．若抛物线的顶点坐标为，与轴相交于点，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 63．已知二次函数（，，为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象经过第二、三、四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图象的对称轴是直线 64．已知二次函数的图像经过，则a的值是（   ） A． B． C． D．4 65．已知点在抛物线（m为常数）上，则抛物线一定经过点（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.1二次函数的图像和性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 定义： 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 二次函数的性质 （1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴. （2）函数的图像与的符号关系. ①当时抛物线开口向上顶点为其最低点； ②当时抛物线开口向下顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为. 二次函数用配方法可化成： 的形式，其中. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④；⑤. 抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点. ①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下； 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大。 ②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线. 求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：， ∴顶点是，对称轴是直线. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线. （3）抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 抛物线中，的作用 （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. （2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线 ，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧，“左同右异”. （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）： ①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴. 几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 （轴） （0,0） （轴） (0, ) (,0) (,) () 用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：. 直线与抛物线的交点 （1）轴与抛物线得交点为(0, ). （2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). （3）抛物线与轴的交点 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离. （4）平行于轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. （5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点. （6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故 型 习 练 题 列二次函数关系式 1．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由围栏的全长及垂直于墙面的边长，可得出平行于墙面的边长为米，再利用矩形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式，此题得解，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：围栏的全长为12米，且设垂直于墙面的边长为x米， 平行于墙面的边长为米． 根据题意得：， 故选：C． 2．如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得，正方形的边长为，然后通过面积差即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，正方形的边长为， ∴， 故选：． 3．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长，若鸡场的宽为，养鸡场面积为，则S与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据长方形的面积公式列出函数关系式即可. 【详解】解：设鸡场的宽为． 由题意可得：， ∴. 故选：B 4．用一段米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列函数关系式，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意，矩形的周长为米，矩形的一边长为x米，则另一边长为米，根据矩形的面积列函数关系式即可． 【详解】解：由题意，矩形的周长为米，矩形的一边长为x米，则另一边长为米， ． 故选：D． 5．如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先证明，可说明四边形是正方形，再根据勾股定理可得，则此题可解. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形. ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形. ∵， ∴. 在中，， ∴， 即. 故选：D. 二次函数的识别 6．下列函数中属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、是二次函数，故该选项符合题意； C、不是二次函数，故该选项不符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：B 7．下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的识别，根据二次函数的定义：形如进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数的标准形式为， A：，最高次项为一次，∴不是二次函数，不符合题意； B：，最高次项为二次，∴是二次函数，符合题意； C：，是分式函数，∴不是二次函数，不符合题意； D：，含根号，∴不是二次函数，不符合题意； 故选：B． 8．下列函数中，关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，形如（其中）的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，分母有未知数，不是二次函数； B． ，最高次项次数不为2，不是二次函数； C． ，时最高次项次数不为2，不是二次函数； D． ，符合二次函数的定义，是二次函数； 故选：D． 9．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，是解题的关键．根据二次函数的定义，形如（其中 ）的函数是二次函数．根据二次函数的定义逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．，的最高次数为1，不是二次函数，故A不符合题意； B．，即，的指数为，不是二次函数，故B不符合题意； C．，的最高次数为1，不是二次函数，故C不符合题意； D．，的最高次数为2，且，是二次函数，故D符合题意． 故选：D． 10．下列各式中，y是x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，形如（，且为常数）的函数是二次函数．逐一判断各选项是否符合定义即可． 【详解】A．为一次函数，不符合题意； B．分母有未知数，不是整式，不符合题意； C． 分母有未知数，不是整式，不符合题意； D．中，，，均为常数，且为整式，符合二次函数定义，符合题意． 故选：D． 根据定义求参数 11．若是关于的二次函数，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数，叫做二次函数其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，（a，b，c为常数，）也叫做二次函数的一般形式． 根据二次函数的定义，最高次项必须为二次且系数不为零求解即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴且． 解方程得或． 又∵， ∴． ∴． 故选 ：A． 12．已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（　　） A． B．0 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项次数为2且系数不为零，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴，， ∴，， 解得， 故选：D． 13．已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且，解之即可，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得， 故选：． 14．若关于的函数是二次函数，则的值为（   ） A． B． C．3 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项必须为且系数不为零，由此列方程求解． 【详解】解：∵函数y是二次函数， ∴最高次项为，且系数不为0， 即为项， ∴，解得：， 又∵二次项系数，即， ∴． 故选：A． 15．若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且）可得且，然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵， ． 故选：C． Y=的图像和性质 16．下列四个点，在二次函数的图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图像上点的坐标特征，代入各选项中点的横坐标，求出y值，再将其与点的纵坐标比较后，即可得出结论． 【详解】解：A．当时，， ∴点在函数的图像上，符合题意；选项B不符合题意； C．当时，， ∴点不在函数的图像上，不符合题意； D．当时，， ∴点不在函数的图像上，不符合题意． 故选：A． 17．二次函数的图象经过下列点中的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．将各点横坐标分别代入函数表达式，求出函数值，判断与纵坐标是否相等，若相等，则图象经过该点，否则，不经过． 【详解】A．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； B．，时，，与点的纵坐标相等，在函数图象上； C．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； D．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； 故选：B． 18．若二次函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将点的横坐标代入函数解析式求解纵坐标． 将点的横坐标代入二次函数，计算对应的函数值即为的值． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴将代入解析式得，． 故选：C． 19．下列关于二次函数的说法正确的是(  ) A．它的图象经过点 B．当时，有最大值为0 C．它的图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的基本性质，包括对称轴、最值和增减性．二次函数的二次项系数为正，图像开口向上，对称轴为轴(即)，在对称轴左侧随增大而减小． 【详解】解： ∵二次函数， ∴，图像开口向上，对称轴为． 对于选项A：当时，，∴A错误． 对于选项B：当时，，为最小值，不是最大值，∴B错误． 对于选项C：对称轴为，不是，∴C错误． 对于选项D：当时，随增大而减小，∴D正确． 故选：D． 20．若抛物线的开口向上，则的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，抛物线开口向上时，二次项系数大于零，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线 的开口向上， ∴， ∴， ∴的值可能为3， 故选：D． Y=+k的图像和性质 21．抛物线，，共有的特征是（   ） A．开口向上 B．随的增大而减小 C．都有最低点 D．对称轴是轴 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，通过分析三条抛物线的对称轴，开口方向和增减性，判断共有的特征即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由得，开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，对称轴为轴， 由得，开口向上，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，对称轴为轴， 由知，开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，对称轴为轴， ∴抛物线，，共有的特征是对称轴是轴， 故选：． 22．对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A．开口向下 B．与y轴交于点 C．对称轴是 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，包括开口方向、与y轴交点、对称轴和增减性，通过分析二次函数的系数可以判断各选项 【详解】解：，其中, , ， ，抛物线开口向上，故A错误； 当时，， 与y轴交于点 ，故B错误； 对称轴， 对称轴是，故C正确； ，对称轴为， 当时，随的增大而增大，故D错误， 故选：C 23．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点为，开口向下即可判断． 【详解】解：函数开口向下，顶点为． 故选：B． 24．抛物线具有相同的（    ） A．形状大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】C 【分析】该题主要考查了二次函数的性质．通过分析三个抛物线解析式，比较其开口方向、形状大小、对称轴和顶点坐标的异同点，即可得出答案． 【详解】解：因为抛物线、、均无一次项（即）， 所以对称轴均为（y轴），它们具有相同的对称轴； 而值分别为4、4、，所以形状大小不同； a 的符号分别为正、负、正，所以开口方向不同； 顶点坐标分别为，所以顶点坐标也不同． 故选：C． 25．二次函数的图象不经过的象限为（   ） A．第三象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第一象限、第二象限 D．第一象限、第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了确定抛物线的大致位置，解题的关键是掌握通过求顶点坐标，开口方向，与坐标轴的交点，画出图象判断． 根据二次函数的解析式，由于，抛物线开口向上，且最小值为4，因此始终为正，图象不经过的象限． 【详解】∵ ，， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴， ∴函数值始终为正数， ∴图象经过第一象限和第二象限，但不经过第三象限和第四象限． 故选A． Y=的图像和性质 26．已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握顶点解析式的性质． 根据二次函数的增减性，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，可知函数在处取得最小值，因此抛物线开口向上且对称轴为直线． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， ∴ 二次函数在处有最小值，抛物线开口向上，且对称轴为直线． ∵ 二次函数的标准形式为，其中对称轴为， ∴，且． 选项B中，，对称轴为，，满足条件． 其他选项：A和C对称轴为，不符合；D对称轴为但，开口向下，不满足增减性要求． ∴ 该二次函数的解析式可以是； 故选：B． 27．已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的解析式可知，二次函数的对称轴是，，所以二次函数的开口向上，当时，随的增大而增大，因为点关于对称轴的对称点是，则可知． 【详解】解：二次函数的对称轴是，， 二次函数的开口向上，点关于对称轴的对称点是， 当时，随的增大而增大， ， ． 故选：C． 28．对于二次函数，下列结论错误的是（   ） A．开口向上 B．当时，y随x的增大而增大 C．函数图象与x轴没有公共点 D．函数有最小值 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：由二次函数，得 ，对称轴为， ∴二次函数的开口向上，当时，y随x的增大而增大， 故A，B正确， 当时，函数取得最小值为，D正确, 当时，， ， 即函数图象与x轴只有一个公共点， 故C错误． 故选C． 29．抛物线的对称轴是（ ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式的对称轴为，顶点坐标为是解题的关键． 直接根据顶点式的性质即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线； 故选：D． 30．二次函数的图象顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，解决此题的关键是熟练掌握二次函数的图像性质； 【详解】解：由二次函数的图象性质可知； 顶点坐标为：； 故选：C． Y=+k的图像和性质 31．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．当时，随增大而增大 D．对称轴是直线 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数顶点式的性质，分析开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴，图象开口向下，故A错误； ∴顶点坐标为，故B正确； ∴对称轴为直线，故D错误； ∴当时，由于开口向下，随增大而减小，故C错误； 故选B． 32．抛物线的顶点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式的性质，直接求出顶点坐标即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点是， 故选：． 33．已知二次函数，下列说法中错误的是（   ） A．其图象的开口向下 B．函数的最小值为2 C．其图象的对称轴为直线 D．其图象的顶点坐标为 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点式的性质，判断开口方向、最小值、对称轴和顶点坐标即可． 【详解】解：∵中，， ∴其图象开口向上，故A错误，符合题意； ∵顶点坐标为，且， ∴最小值为2，对称轴为直线，故B、C、D正确，不符合题意． 故选：A． 34．对于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．当时，y随x的增大而减小 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． A、图象的开口向上的说法错误； B、当时，y随x的增大而减小的说法正确； C、当时，y随x的增大而减小的说法错误； D、图象的对称轴是直线的说法错误． 故选：B． 35．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标．根据抛物线顶点式的顶点坐标为 ，直接读取h和k的值． 【详解】解：∵ 抛物线方程为，可化为， ∴ 顶点坐标为． 故答案为：D． 二次函数的平移 36．在平面直角坐标系中，保持抛物线不动，若将平面直角坐标系水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的解析式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，由，由将平面直角坐标系水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度，则相当于把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，据此根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可，解题的关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 【详解】解：由， ∵将平面直角坐标系水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度， ∴相当于把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴该抛物线在新的平面直角坐标系中的解析式为， 故选：． 37．把抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图像的平移，熟记平移规则即可准确求解． 根据函数图像平移的规则“上加下减，左加右减”，先处理向上平移，再处理向右平移． 【详解】解：∵ 向上平移1个单位：， ∴ 再向右平移2个单位：． 故得到的抛物线解析式为 ， 故选：A． 38．抛物线可由抛物线经过怎样的平移得到（    ） A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度 C．向左平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度 【答案】A 【分析】本题考查二次函数平移，解题的关键是熟练掌握“上加下减”的规律，即函数值的变化对应上下平移． 根据函数平移的规律“上加下减”，即函数值上加常数表示向上平移，减常数表示向下平移． 【详解】解：∵ 是由 在函数值上加2得到， ∴ 抛物线向上平移2个单位长度． 故选：A． 39．把抛物线向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到的抛物线表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移． 根据平移规律“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：把抛物线向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到的抛物线表达式为． 故选：A． 40．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的几何变换；掌握二次函数的平移不改变二次项的系数；规则为：左加右减，上加下减是解决本题的突破点．根据规则直接写抛物线的解析式即可． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位，得到， 再向下平移5个单位，得到， 故选：A． 一般式化成顶点式 41．将二次函数改写成顶点式，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查通过配方法将二次函数化为顶点式． 【详解】解：， 故选：C． 42．将二次函数化成的形式，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握和运用配方法是解题的关键． 把右边加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，然后再减去一次项系数的一半的平方，以使式子的值不变，把一般式转化为顶点式． 【详解】解：， 所以； 故选：C． 43．若抛物线的顶点与原点的距离为5，则c的值为（    ） A．5 B．9 C．5或13 D．9或13 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意用c表示出抛物线的顶点坐标是解答此题的关键．先求出抛物线的顶点坐标，再根据勾股定理列方程求解c的值即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 其中, ， ∴顶点横坐标，顶点纵坐标， 即顶点为， ∵顶点到原点的距离为5， ∴， 即， ∴或， 故选：C． 44．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数顶点坐标的求法，通过配方法将二次函数化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：∵ ∴顶点坐标为． 故选：C． 45．将二次函数化为的形式，结果为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数一般式与顶点式的转化，掌握配方法是解题的关键． 由于二次项系数为1，直接使用配方法，加上一次项系数一半的平方，将一般式转化为顶点式． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：D． 一般式的图像和性质 46．若二次函数的与的部分对应值如下表： 0 1 2 3 3 0 0 3 则抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的对称性，根据对称性可求出对称轴为直线，再结合表格中的数据可得答案． 【详解】解：∵当时和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∵当时的函数值为， ∴顶点坐标为， 故选：C． 47．已知抛物线经过点，则代数式的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、代数式求值，将代入得，再将代入原式即可求解． 【详解】解：将代入得： ，即：， 将代入原式得：， 故选：A． 48．抛物线中，与的部分对应值如表： ．．． 2 5 8 ．．． ．．． 15 15 ．．． 下列结论中，正确的是（    ） A．抛物线开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键．利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可． 【详解】解：由题可知抛物线的对称轴为直线 或 ，故选项C错误； ∵对称轴处函数值最大（ 比大），抛物线开口向下，故选项A错误； ∵开口向下， ∴当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小； 选项B中 时不一定减小，故错误； 选项D中 时y随x的增大而增大，正确； 故选：D. 49．如图，二次函数的图像与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论中，错误的是（   ） A． B． C． D．当时， 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次函数的图像与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标． 利用二次函数图像和系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等知识点，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、由抛物线开口向上得，； 与y轴的交点位于y轴的负半轴得，； 对称轴位于y轴的左侧得，a，b的符号相同，即； ∴，故A选项正确，不符合题意； B、由对称轴为直线得，与是对称点， ∴当时，，故B选项正确，不符合题意； C、由对称轴为直线得，， 整理得，即，故C选项错误，符合题意； D、∵对称轴为直线，图象与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴当时，，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 50．二次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，通过代入点A和点B的坐标，可求出a和b的关系及具体值，再代入点C的坐标，得到m与c的关系，从而比较大小． 【详解】解：∵ 图象经过点， ∴ 代入得 ， ∴， ∵ 图象经过点， ∴ 代入得， ∴． 将代入，得， 解得，故B错误； ∴，故C、D错误； ∴ ∵ 图象经过点即， ∴， ∴，故A正确； 故选：A． 二次函数图像与各项系数符号 51．已知二次函数，若a，b，c满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质． 由条件可得，代入另一条件得，故，又因二次函数在处有根（即判别式非负），判别式为 ，所以． 【详解】∵， ∴． 又∵，代入得 ， ∴． ∵二次函数在处有根（即）， ∴判别式， ∴． 综上，且， 故选：D． 52．如图，抛物线的对称轴是直线，则以下五个结论中，正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． ①根据抛物线的开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置来判断即可； ②根据对称轴求解即可； ③根据抛物线与x轴的交点个数求解即可； ④根据轴对称性求出当时的函数值大小即可； ⑤由图可知，当时的函数值为0，所以，再结合，可求得，即可判断． 【详解】解：图象开口向下， ， 图象交轴于正半轴， ， 对称轴是直线， ， ， ， ，故①错； ， ，故②对； 图象与轴两个交点， △，即，故③对； 根据图像可知关于对称的点为， 故图象与轴交点在和3之间，且开口向下， 时，，故④对； 由图象知：时，， ， ，即，故⑤错；共三个对， 故选：C． 53．已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数系数符号的确定．由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴的位置及开口方向可判断的符号，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由抛物线的开口向下知， 与轴的交点在轴的负半轴上， ， 对称轴为， 、同号，即． 故选：D． 54．二次函数 的图象如图所示，对于下列说法：①，②，③，其中正确的个数有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质与解析式的系数的关系．关键是熟悉各项系数与抛物线的各性质的联系． ①由开口方向及对称轴的位置可判断b的符号，根据抛物线与y轴的交点位置可判断c的符号；②由抛物线与x轴的交点个数可判断的符号；③观察当时，对应的函数值，可判断的符号． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，，对称轴， ∴， 故，正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点，∴，正确． ③当时，函数值，即，正确； 正确的有3个， 故选：D． 55．已知二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，开口方向判断的符号，左同右异判断的符号，与轴的交点位置，判断的符号即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于负半轴， ∴； 故选：D． 最大值 56．二次函数的最小值为() A．5 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，由于二次函数开口向上，其最小值在顶点处取得，可通过顶点公式求解． 【详解】解：∵，，， ∴顶点横坐标， 代入函数得， ∴最小值为． 故选：B． 57．关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（    ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最小值4 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题关键．根据二次函数的性质，由于二次项系数为正，函数有最小值，没有最大值；通过求顶点坐标得到最小值为4． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，有最小值，没有最大值； 顶点横坐标， 代入得， ∴最小值为4． 故选：D． 58．关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．最小值4 B．最大值4 C．最小值2 D．最小值3 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为正，函数开口向上，有最小值，最小值在顶点处取得． 【详解】解：∵在中，， ∴函数图像开口向上， ∴二次函数有最小值，最小值为顶点纵坐标4． 故选A． 59．已知二次函数的图像经过点，则代数式有（    ） A．最小值 B．最小值5 C．最大值 D．最大值5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质， 将点代入二次函数得n与m的关系，代入代数式化为关于m的二次函数，配方求最小值． 【详解】将代入得：， 即， ∴， ∴， ∵， ∴，且当时取最小值． 故有最小值． 故选：A． 60．已知抛物线，则函数的最小值是（   ） A． B．72 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，将函数化为一般二次函数形式，根据开口方向判断有最小值，通过求顶点坐标或配方法得到最小值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴抛物线开口向上，有最小值． 顶点横坐标， 代入得 ∴ 函数的最小值为， 故选D 待定系数法求解析式 61．如图，若二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上的点，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．将坐标代入二次函数表达式即可求出a的值，再由二次函数图象开口向上即可得出结果． 【详解】解：把代入函数解析式， 得： 解得， 由图象得：开口向上， ， 故． 故选：A． 62．若抛物线的顶点坐标为，与轴相交于点，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据顶点坐标设抛物线解析式为，再代入点，求出系数，问题得解． 【详解】解：∵抛物线顶点为， ∴设解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴解抛物线析式为． 故选：A 63．已知二次函数（，，为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象经过第二、三、四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据即可判断选项A；根据四个象限内均存在函数图象经过的点，即可判断选项B；根据二次函数的增减性和对称性即可判断选项C、D． 【详解】解：将点，和代入二次函数得： ， 解得， 二次函数的解析式为， ， 函数图象的开口向下，故A选项错误，不符合题意； 当时，， 当时，， 函数图象经过点， 位于第一象限， 函数图象经过点， 位于第三象限， 由表格可知，函数图象经过点， 位于第二象限， 函数图象经过点， 位于第四象限， 这个二次函数的图象经过第一、二、三、四象限，故B选项错误，不符合题意； 对称轴为直线 ， ， 当时，的值随的值增大而增大， 当时，的值随的值增大而减小，故C选项错误，不符合题意； D选项正确，符合题意． 故选：D ． 64．已知二次函数的图像经过，则a的值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 将代入解析式求解． 【详解】解：将代入得． 故选：A． 65．已知点在抛物线（m为常数）上，则抛物线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是先求出的值，再逐一判断各点是否在抛物线上． 先将点代入抛物线解析式求出，得到抛物线解析式，再将选项中的点代入解析式进行验证． 【详解】解：因为点在抛物线上， 所以把代入可得： ，即， 解得． 所以抛物线的解析式为． A、当时，，所以点在抛物线上； B、当时，，所以点不在抛物线上； C、当时，，所以点不在抛物线上； D、当时，，所以点不在抛物线上． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $