专题10 期末复习之解答压轴题（考情分析+大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学七年级上册期末易错点重难点培优专题复习

该初中数学讲义通过表格系统梳理解答压轴题七大考点，涵盖数轴动点、角的旋转等核心内容，结合框架图呈现知识脉络，明确复习目标与考察形式，突出分类讨论、模型转化等重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层设计与方法创新，如数轴动点题用列表法梳理讨论场景，角的旋转问题通过画轨迹图突破分类难点，培养几何直观与推理意识。例题变式题梯度分明，基础生可掌握纠错技巧，优生能深入探究开放题型，助力教师实施精准教学与学生自主复习。

专题10 解答压轴题 期末考点 复习目标 考察形式 1.数轴动态与动点综合 1.掌握动点位置代数式表示； 2.运用距离公式列方程； 3.具备分类讨论（运动方向/阶段）能力 1.压轴题核心，仅解答题（最后1-2题）； 2.难度：压轴，常结合游戏、操作情境； 3.创新题高频：融入实际操作或多局动态场景 2.绝对值综合应用 1.理解几何意义与非负性； 2.掌握含参绝对值方程/多结论判断； 3.运用分类讨论化简表达式 1.覆盖压轴：绝对值最值； 2.难度：压轴，创新题偶见误差情境 3.一元一次方程情境应用 1.提炼分段计费/方案选择等量关系； 2.掌握间接设元技巧； 3.能比较最优方案 1.高频解答题； 2.难度：压轴，情境贴近生活（套餐、购票）； 3.创新题常见：多方案优化对比 4.线段与角动态探究 1.运用中点/角平分线性质； 2.掌握折叠/旋转的等量关系； 3.具备开放型问题探究能力 1.解答题压轴； 2.难度：压轴，常结合动态操作； 3.创新题存在性探究 5.规律探究（数字/图形） 1.从特殊到一般归纳通项； 2.掌握代数式列写与验证； 3.具备类比迁移能力 1.解答题； 2.难度：压轴，多以图形拼接、数阵形式呈现； 3.创新题高频：跨情境规律迁移 6.新定义与跨学科融合 1.理解新定义规则并转化； 2.掌握跨学科数据转化（物理/体育）；3.运用有理数运算解决实际问题 1.解答题压轴； 2.难度：压轴，跨学科情境为创新点； 7.综合实践探究 1.拆解题干规则与目标； 2.分步推理并验证结论； 3.具备模型迁移能力 1.压轴解答题（最后1题）；2.难度：压轴，多含分层探究（基础-拓广）；3.创新题必考：结合进位制、月历等情境 【易错题型】 【题型1】一元一次方程与数轴动点综合题 1.易错点总结 动点位置代数式列写错误（混淆运动方向与符号，如向左运动误写为“”） 两点间距离公式应用遗漏绝对值（直接写，忽略的情况） 分类讨论不全面（遗漏“相遇前/后”“动点在起点左侧/右侧”等场景） 解方程后未验证解的合理性（时间或位置超出数轴实际范围） 2.纠错技巧 第一步：固定列写规则（起点为，向右运动：；向左运动：），写完后代入验证是否等于起点 第二步：强制使用距离公式，避免符号错误 第三步：用“列表法”梳理讨论情况（如下表），确保无遗漏： 讨论场景 等量关系依据 动点P、Q相遇 P在Q左侧且距离为 P在Q右侧且距离为 第四步：解方程后双重验证（，位置符合数轴情境），不符合则说明该情况不存在 【例题1】.（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）探究与发现：表示a与b之差的绝对值，实际上也可理解为a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离． (1)如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，则数轴上点B表示的数； (2)若，求的值． (3)拓展与延伸：在（1）的基础上，解决下列问题：动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为2； (4)数轴上还有一点C所对应的数为30，动点P和Q同时从点O和点B出发分别以每秒5个单位长度和每秒10个单位长度的速度向C点运动，当一个点到达C点，运动停止．设运动时间为秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为4． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·陕西延安·月考）【问题背景】已知数轴上两点之间的距离可以用右侧的点所表示的数减去左侧的点所表示的数来计算．如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且满足，．动点P从点A出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向负半轴运动，同时动点Q从点B出发，以2个单位/秒的速度沿数轴向负半轴运动． 【问题再现】（1）求A、B两点之间的距离； 【问题推广】（2）经过几秒后，P、Q两点相距4个单位长度，并求此时点Q所表示的数； 【拓展提升】（3）设点P运动的时间为t秒（），若在运动过程中，动点P始终保持原速度原方向；当Q到达原点O时，立即返回，以原速度沿数轴向正半轴运动，当t为何值时，点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍． 【变式题1-2】.（24-25七年级上·广东佛山·月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，请同学们解决下面有关数轴的问题： (1)如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． ①______，______； ②将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为______； (2)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为．例如，5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则的最小值______． ②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______． ③当______时，取得最小值． (3)数轴上点C、D表示的数分别为4、． ①动点P从D出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒P与C的距离是2个单位长度． ②在①的条件下，动点P出发的同时，动点Q从C出发，沿着数轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动，经过______秒，点Q到点D的距离是点P到点C距离的2倍？ 【变式题1-3】.（25-26七年级上·重庆开州·月考）数轴上有两个重要结论，如果数轴上的点表示的数分别为，那么：①它们之间的距离为；②它们中点所表示的数为．如图所示，数轴上有三个点对应的数分别为，其中，满足． (1)______，______； (2)若数轴上有两个动点分别从两点同时出发，沿数轴向右匀速运动，点速度为单位长度/秒，点速度为单位长度/秒，若运动时间为秒，运动过程中，是否存在线段的中点到点的距离为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； (3)在（）的条件下，另外两个动点分别和同时出发，且始终保持，（点在的左边，点在的左边），当点运动到点时，线段立即以相同的速度返回，当点再次运动到点时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段和重叠部分为的一半，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【题型2】角的动态旋转综合题 1.易错点总结 忽略旋转方向差异（顺时针/逆时针），导致角度表达式符号错误 未分情况讨论旋转后的位置关系（如射线重合、超出原角范围） 角度计算时单位混淆（如将“度”与“分”直接运算） 未验证旋转时间的取值范围 2.纠错技巧 第一步：标注旋转方向符号，用含的代数式表示角度时明确符号 第二步：应用余补角性质前，验证角的存在性 第三步：通过“画动态轨迹图”梳理分类情况，确保覆盖“旋转中”“旋转后重合”“旋转超出”三种场景 第四步：计算后验证角度范围，不符合则舍去 第五步：统一单位（若题目含“分”，先转化为“度”：） 【例题2】.（25-26七年级上·陕西西安·月考）问题提出 如图，点O为直线上一点，将一副直角三角尺按图中方式放在点O处，使边，落在直线上，，． （1）如图1，的度数为______． 问题探究 （2）如图2，三角尺固定不动，将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针旋转，在旋转过程中，两块三角板都在直线的上方．设运动时间为t秒．t为何值时，平分． 问题解决 （3）如图3，若在三角尺开始绕点O以每秒的速度顺时针旋转的同时，三角尺也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，三角尺和三角尺始终在直线的上方．在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·广东清远·月考）综合运用： 数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，数轴上的点A 表示的数为a，B 表示的数为b，且 点C在线段上，图1中有3条线段，分别是线段、线段、线段．若其中一条线段是另一条线段的一半，则称点C是线段的等分点． 【问题解决】 （1） ①点A、B 表示的数分别是_______、_______； ②若点C是线段的等分点，请求出此时线段的长． 【方法迁移】 （2）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，射线在的内部，图中共有3 个角：， 和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的一半，则称射线是的“等分线”． ①如图3， 若，且射线绕点P从位置开始， 以每秒的速度逆时针旋转，旋转的时间为t 秒，当与成时停止旋转．当t为何值时，射线是的“等分线”． ②在①的条件下，射线从位置开始绕点P 以每秒的速度逆时针旋转，并与 同时停止，请直接写出当射线是的“等分线”时t的值． 【变式题2-2】.（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，在内部有两条射线，平分． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，若与互余，（1）问中结论是否仍然成立，并说明理由． (3)在（2）的条件下，如图3，从与重合处开始，绕着点O旋转，若，且满足，求的度数． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒， ①当旋转_______秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图所示，当旋转时，则的度数为_______． 【题型3】数轴动态探究与情境融合题 1.期末考点总结 核心考点：数轴三要素、有理数与数轴的对应关系、两点间距离公式（）、动态问题中的分类讨论思想 关联考点：正负数的实际意义、代数式表示动点位置 2.解题技巧 第一步：构建数轴模型，标注初始已知点、单位长度，明确动点运动方向（左/右）、速度及起始位置 第二步：用含时间的代数式表示动点位置（向右：初始数；向左：初始数） 第三步：结合实际操作情境列等量关系，分阶段讨论（相遇前/后、不同运动周期），验证解的非负性 【例题3】.（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）数学兴趣小组在纸面上画一条数轴，进行折叠数轴的探究活动，根据活动过程，完成填空． 主题 折叠数轴，探究对应点的关系 活动一 将数轴上表示的点记为点A，表示1的点记为点B，折叠纸面，使点A与B重合． （1）折叠前，点A与B的距离是 个单位长度，折痕与数轴的交点表示的数是 ． 活动二 将数轴上表示的点记为点C，表示8的点记为点D，M，N是数轴上两点（点M在点N的左侧）．折叠纸面，使点C与D重合． （2）折叠前，点C与D的距离是 个单位长度，折痕与数轴的交点表示的数是 ． （3）折叠前M，N两点之间的距离为2026，折叠后M，N两点重合，则点M表示的数是 ，点N表示的数是 ． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·广西南宁·期中）请根据图1中A，B两点的位置，回答问题： (1)分别写出它们所表示的有理数：A：______；B：______ (2)观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是______． (3)若将数轴折叠，使得点A与表示数的点重合，则点B与表示数______的点重合． (4)若数轴上M，N两点之间的距离为2024（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是______、______． (5)《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完．如图2，求的值． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·山东临沂·期中）舟岱跨海大桥建成于2021年，全长26千米，桥梁主跨径创外海桥梁世界之最．舟岱跨海大桥上三座索塔可以抽象为A，B，C三个点，A与B，B与C之间的距离均为千米，如图所示．若以点B为原点，向右为正方向，取1千米为单位长度画数轴，那么请解决以下问题： (1)A、C两点在数轴上所表示的数分别是________、________，它们互为（   ）； A．倒数  B．相反数 (2)道路养护车甲从A点出发，沿着数轴向左行驶，速度为50千米/小时．同时，道路养护车乙从C点出发，向右行驶，速度为60千米/小时． ①当行驶t小时时，甲车和乙车在数轴上表示的数分别是多少？试用代数式表示； ②当分钟时，甲、乙两车同时停止，试求出两车的距离． (3)在（2）②的条件下，将甲、乙两车停止时的位置标上记号，分别用P、Q表示．养护车丙进行协助工作，沿着数轴方向，自左向右行驶．若养护车丙在数轴上所表示的数为x，问：x与P、Q两点距离之和最小时，对应的x应满足的条件为________． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·浙江温州·期中）小阳计划用无人机跟拍自己骑行，完成一段视频拍摄． 素材一 自行车始终以的速度匀速运动． 无人机具有以下三种运动模式，各模式下均为匀速运动（忽略加减速过程）： 跟随模式：无人机位于目标后方60米处，以的速度同步跟随． 动能模式：无人机以的速度向前运动． 升降模式：无人机以的速度垂直上升或下降． 素材二 如图，以O为原点，自行车前进方向为正方向，1米为单位长度建立数轴．无人机在数轴上表示的点的位置开始执行拍摄流程． 无人机拍摄流程： ①无人机由“跟随模式”切换至“动能模式”，超越自行车到达点O； ②在O点垂直上升100米到达悬停点，悬停并垂直向下拍摄，可拍摄到地面一个半径为R的圆形区域．无人机到达悬停点时，自行车刚好进入拍摄区域； ③当自行车刚好离开拍摄区域时，无人机立即垂直下降100米； ④无人机降落后，立即切换至“动能模式”追赶自行车，最终恢复到“跟随模式”． (1)开始执行拍摄流程时，自行车在数轴上表示的数为______，经过t秒，自行车在数轴上表示的数为______（用含t的代数式表示）． (2)流程①和②中，无人机从数轴上的位置运动至悬停点用时多少秒？圆形拍摄区域的半径R为多少米？ (3)流程③和④中，在无人机开始下降时计时，经过多少秒无人机能重新追上自行车并恢复到“跟随模式”？ 【题型4】一元一次方程的情境化方案优化题 1.期末考点总结 核心考点：一元一次方程的解法、间接设元技巧、分段计费/方案选择的等量关系 情境载体：电话套餐、外卖会员优惠、景区门票购票方案等生活场景 2.解题技巧 第一步：圈画关键信息（“不超过”“满减”“分段计费标准”），确定核心等量关系（总费用=基础费用+超额费用） 第二步：设未知数（复杂场景设“超过部分数量”为），列一元一次方程 第三步：计算不同方案的总费用，比较得出最优方案，注意单位统一与实际意义验证 【例题4】.（2025七年级上·全国·专题练习）国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如下是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据信息，解答下列问题： 票价 成人：每张元 学生：按成人票五折优惠 团体票（人以上含人）：按成人票6折优惠 大人门票是每张元，学生门票是5折优惠，我们一共人，共需元 爸爸，等一下，我算算换一种方式买票是否可以省钱？ (1)明明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱？ (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的个家长共人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·全国·期末）【项目式学习】广东早茶是流行于广东省的民间饮食习俗，以饮茶搭配广式点心为核心形式．某数学兴趣小组利用周末对某早茶店点心的制作与销售进行了研究． 项目主题：广东早茶点心的制作与销售 素材1 广东早茶点心的品种繁多，该店顾客最推荐的两类是虾饺皇与叉烧包． 素材2 虾饺皇每份原价30元，叉烧包每份原价20元． 素材3 门店下单优惠方案：每购买2份虾饺皇，免费赠送1份叉烧包． 网上下单优惠方案：网上下单的用户全单打9折销售并立即赠送1张优惠券．优惠券满1400元（含1400元）立减210元，且当次折后可用．（网上优惠券门店下单不可用） 问题解决 任务1 ①若该店每份虾饺皇包含虾饺3个，今天的第一位用户点单虾饺皇m份，则一共包含虾饺______个． ②该店某天下午以“门店下单”的方式售出（含免费赠送）叉烧包20份，虾饺皇20份．请计算本单点心的销售额． 任务2 某班正筹备秋游计划，计划订购虾饺皇和叉烧包两款点心，计划订购叉烧包20份，虾饺皇x份（）．在不考虑其他因素的影响下，请分别求出两种下单方式所需费用（用x表示即可）．并求出当订购虾饺皇的数量是多少份时，两种下单方式的总费用相同？ 【变式题4-2】.（25-26七年级上·广东梅州·月考）周末，数学老师带同学们去某市博物馆参观，在坐车途中，数学老师和大家玩游戏．数学老师说：“我们刚刚学习完一元一次方程，现在我们就用一元一次方程来解决一些数学应用题吧．” 【基础闯关】 （1）小明和爸爸下围棋，一共下了8局，规定：爸爸赢一盘记2分，小明赢一盘记6分，每盘都分出了胜负，比赛结束后，爸爸说：“我的得分比你的得分多2分．”请你帮小明判断爸爸的说法是否正确，并给出理由． 【能力闯关】 （2）我们将要到达的博物馆内有售文创用品，博物馆有以下两种优惠方案： 方案一 可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多可使用3张，未满100元的部分不得使用代金券 方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券 例：某次消费120元，使用代金券后，实际花费（元）． 假如小明消费了元． ①若使用代金券，实际花费______元（用含x的代数式表示）． ②选择哪种方案更省钱？ 【拓展闯关】 （3）在参观完博物馆后，所有人员乘客车返回相距的酒店，客车的行驶速度为，同时，酒店工作人员小李开着小轿车以的速度从酒店出发，前去迎接，数学老师在两车相遇后换乘小李的小轿车，和小李立刻返回酒店先为大家办理入住手续（车辆掉头、数学老师下车和上车的时间忽略不计），在两车行驶过程中，求客车行驶多长时间时两车相距． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·四川成都·期中）某地天然气收费方案如下： 阶梯 年用气量 价格 补充说明 第一阶梯 （含400）的部分 3元/ 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限将分别增加，，同时，第二、三阶梯年用气量的下限随着调整，每一阶梯的价格保持不变 第二阶梯 （含800）的部分 4元/ 第三阶梯 以上的部分 5元/ (1)某家庭当年用气量为 ．若该家庭人口为3人，则需缴纳燃气费用_______元；若该家庭人口为4人，则需缴纳燃气费用_______元． (2)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人，某年甲、乙两户年用气量之和为 ，甲户年用气量大于乙户年用气量．设甲用户年用气量为 ，请用 x 分别表示甲、乙两户需缴纳的燃气费． (3)某公司共有22名员工，员工宿舍有3人间和4人间两种类型的房间可供选择，且员工所选择的房间必须住满．结算天然气费用时，将每间宿舍视作一户家庭，按上表的收费标准进行收费．假定每名员工的年用气量为 ，要使该公司员工宿舍当年缴纳总天然气费用最低，则3人间的房间数为多少？ 【题型5】线段动态折叠与中点综合探究题 1.期末考点总结 核心考点：线段中点性质（）、线段和差运算、折叠问题的全等性（折叠后对应线段相等） 命题特点：结合纸棒折叠、线段平移等动态操作，考查几何直观能力 2.解题技巧 第一步：绘制线段示意图，标注已知长度、中点位置及折叠重合的线段 第二步：设未知线段长度为，利用中点性质或折叠全等关系列方程 第三步：分情况讨论折叠位置（在线段上/延长线上），排除负长度解 【例题5】.（25-26七年级上·浙江金华·期中）数轴是分析问题的工具，如图1，小浩在草稿纸上画了一条数轴进行如下探究： (1)如图1，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合． (2)若折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合，此时，数轴上有两点（点在的左侧）经折叠后也重合且它们之间距离为个单位，则两点表示的数分别是________和______．（用含的代数式表示） (3)如图2，在数轴上剪下表示和4的两点间的一段纸带，并把纸带两端分别朝纸带的中间处折叠，使表示和4的两点的重合处与原点的距离为个单位，求两条折痕处对应的点所表示的数．（用含的代数式表示） 【变式题5-1】.（25-26七年级上·安徽安庆·月考）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，以单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．点运动到点时停止，此时点也随之停止．设运动的时间为秒．问： (1)动点从点运动至点需要多少时间？ (2)、两点相遇时，求出相遇点所对应的数是多少； (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·江西南昌·月考）数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．如图1，数轴上的点表示数，点表示数，点在点的右侧．已知，满足 (1) ， ； (2)如图2，动点，分别从点，处同时向右移动，点的速度为4个单位长度/秒，点的速度为2个单位长度/秒，设运动时间为秒． ①当 ，点，重合； ②在运动过程中，当点是线段中点时，求运动时间； (3)如图3，点是中点，动点，分别从点，处同时向右移动，若点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度/秒，设运动时间为秒．在运动过程中，试判断的值能否是定值？如果是定值，求此时，的数量关系． 【变式题5-3】.（25-26六年级上·上海奉贤·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 小智在纸面上画出了一条数轴，对其作出了以下探究： (1)探究一：数轴上表示整数的点称为整点 ①在数轴上，表示和5.9的两个点之间有___________个整点． ②若小智在数轴上放置了一根长为2025个单位长度的木棒，那么这个木棒盖住的整点个数为___________个． (2)探究二：小智在学习绝对值的几何意义时，注意到，其几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离．更一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离可以表示为． ③的几何意义是表示数的点到______________． ④小智在数轴上任取一个点表示有理数，当这个点在数轴上移动时，的最小值为_________；的最小值为_______________； (3)探究三：小智将纸面折叠，使得数轴上表示的点与表示11的点重合． ⑤此时，表示3的点与表示_______________的点重合 ⑥若折叠后数轴上的两点也重合，且两点之间的距离为4040（点在点的左侧），则点所表示的数是多少？ 【题型6】线段与角的开放型探究题（存在性问题） 1.期末考点总结 核心考点：线段与角的和差运算、中点与角平分线性质、开放型问题的多解分析 命题形式：“是否存在某点/射线使条件成立”，考查探究与推理能力 2.解题技巧 第一步：假设存在满足条件的点/射线，绘制示意图标注相关元素 第二步：利用中点/角平分线性质设元，列线段或角度和差方程 第三步：求解方程，判断解的合理性（线段正长度、角度在之间），存在则写出结果，不存在说明理由 【例题6】.（24-25七年级下·四川乐山·期中）、两点在数轴上，点表示的数是，点在原点的右边且与点相距个单位． (1)求出点表示的数，画一条数轴并在数轴上标出点和点； (2)若点以个单位每秒的速度向右运动，同时点以个单位每秒的速度向左移动，经过多长时间、两点相距个单位长度？ (3)、从初始位置分别以个单位每秒和个单位每秒同时向右运动，是否存在的值，使秒后点到原点的距离与点到原点的距离相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2，，射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻t（秒），使得的度数是？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ②当t的值为多少时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 【变式题6-2】.（24-25七年级上·陕西西安·月考）如图1，已知，射线以每秒的速度，从射线开始逆时针向射线旋转，到达射线之后又以同样的速度顺时针返回，直到到达射线停止，同时射线从射线开始，以每秒的速度顺时针向射线旋转，直到到达各自的目的地才停止．设旋转时间为t秒． (1)当秒时，求出的度数． (2)在运动过程中，当射线未到达射线时，达到，求t的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）初一年级开设了丰富多彩的社团活动课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒、研究数轴上的动点问题：如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，和，佳佳把两根木棒放在数轴上，使点与点重合，点与点重合，点在点的左边，点在点的左边，且．木棒从点B开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动：木棒PQ同时从点A开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，当点运动到时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当线段时，求值： (3)点为木棒上一定点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点到点的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长． 【题型7】材料阅读与新定义创新题 1.期末考点总结 核心考点：新定义规则的理解与迁移、有理数运算、代数式化简 命题特点：自定义运算符号（如），考查规则应用与转化能力 2.解题技巧 第一步：精读新定义规则，明确运算顺序与基础运算类型 第二步：代入具体数值或代数式，严格遵循规则转化为常规运算 第三步：若含参数，结合条件判断参数取值范围，验证结果符合定义要求 【例题7】.（25-26七年级上·山东德州·期中）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有数数0表示的点）的距离，叫做这个有理数的绝对值．例如：，它表示数轴上有理数2表示的点到原点0的距离，从数轴上容易发现，有理数2表示的点到原点0的距离是2个单位长度，即（如图1）． 同样的，数轴上表示和表示的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图2）．    以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法，请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： 任务一： (1)请根据以上阅读列式并计算（不必在卷面上画数轴）：求数轴上表示2的点和表示的点之间的距离． 任务二： (2)根据绝对值的意义求字母的值： ①若，则表示的有理数是____________． ②若，求所表示的有理数． 分析：根据绝对值的意义，“”指数轴上表示的点到表示____________的点的距离是4个单位长度，表示的有理数是____________． 任务三： (3)设点在数轴上表示的有理数是，借助数轴解答下列问题：    ①当取整数____________时，的值最小，最小值是____________； ②若，则所表示的有理数是____________；③若，则所表示的有理数是____________． 【变式题7-1】.（2025七年级上·广东深圳·专题练习）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【定义】一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．如图所示； 【初步理解】 ①若点表示的数是，表示的数是6，点的一次跳跃点表示的数是______，关于点的二次跳跃点表示的数是______，线段的长度为______． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，求出线段的长度． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·湖南长沙·月考）定义：若关于x的多项式，且有关于x的多项式．则称为的“原生多项式”，为的“共生多项式”．例如：若“原生多项式”，则“共生多项式”为． (1)①求多项式的“共生多项式”为______． ②若三项式的“共生多项式”为，则为______． (2)已知，若其“共生多项式”的解比关于x的方程的解大1，求a的值． (3)已知关于x的多项式的“共生多项式”为，的“共生多项式”为．无论t为何值，关于x的方程与方程的解都相等，求m，n的值． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是． 阅读并解决相应问题，问题发现： 对于数轴上的三个点，给出如下定义：若点到点的距离是点到点的距离的倍（为正整数），则称点是两个点的“整距点”，记为：． (1)初步体会：如图：若，且点在数轴上对应的数是，则 ． (2)类比探究： 如图：点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒，若，求出的值； (3)拓展延伸： 如图：点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动的时间为秒，在运动的过程中，若存在数轴上点满足：，点到点的距离记为，点到点的距离记为，且，求所有符合条件的的值． 【题型8】综合实践探究题 1.期末考点总结 核心考点：分步探究与逻辑推理能力、从特殊到一般的规律归纳、情境模型迁移应用、题干规则解读与转化 关联思想：数形结合、分类讨论、类比推理，侧重知识应用与创新思维 2.解题技巧 第一步：拆解题干，提炼核心规则、已知条件与探究目标，明确各小问逻辑关联 第二步：从特殊值入手（如具体日期、分割次数），计算验证初步规律 第三步：紧扣模型本质（如面积求和、数阵规律），类比迁移推导一般结论 第四步：按“规则应用→推导过程→结论验证”分步书写，确保逻辑连贯 【例题8】.（25-26七年级上·河南安阳·期中）综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，图形①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，图形②的面积是图形①面积的一半，图形③的面积是图形②面积的一半……依此类推． (1)根据图1填写下表： 图形 ① ② ③ ④ … ⑦ 面积 … (2)计算：；（请写出计算过程） (3)类比：小华在计算时利用了正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割（如图2），把正方形的面积四等分，阴影部分的面积为；第2次分割（如图3），把上次分割图中空白部分的面积四等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割（如图4），把上次分割图中空白部分的面积四等分，阴影部分的面积之和为…… ①第n次分割后，空白部分的面积是 ； ②请直接写出的值． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·山西朔州·期中）综合与实践 如图①是年月份的月历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． 【初步分析】 （1）计算图①中的结果为______；将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为______． 【数学思考】 （2）小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． =（ ） ______． 所以的值均为______． 【拓广探究】 （3）同学们利用小乐的方法，借助图①中的月历，在月历中用“Z型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·福建龙岩·期中）实践与活动． 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢n进一”就是n进制，n进制的基数为n．为了区分不同的进位制，常在数的右下角表明基数，例如就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材1 十进制数，记作：234．七进制数，记作：．各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数． 素材2 将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如：   素材3 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．二进制的四则运算规则如下： 加法：，，， 减法：，，， （同一数位不够减时，向高一位借1当2） 解决问题 任务1 探究不同进位制的数之间的转换并写出解题过程． （1）将数转化成十进制数的值为多少？ （2）将数转化成二进制数的值为多少？ 任务2 探究进位制数的加法运算并写出解题过程． （3）（       ） （4）（        ）． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·湖北武汉·期中）问题背景：如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置对应的数分别是，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）． 实践操作：甲、乙两人同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果移动棋子（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），移动规则如下：①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度；②若乙赢，则乙将白棋向左移动2个单位长度，同时甲将黑棋向左移动1个单位长度：③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度．前四局的部分手势情况如下表： 局次 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪刀 布 布 乙的手势 石头 布 石头 （1）从起始位置开始，第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是_______，________； （2）第三局结束时黑棋在数轴上的位置所对应的数为_______，此时，黑棋和白棋间的距离为________个单位长度； （3）若第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是4，则乙第四局的手势是___________，在前四局中，数轴上黑棋和白棋间的最小距离为___________个单位长度． 迁移拓展：在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置对应的数分别是，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）． 甲、乙两人同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果移动棋子（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），移动规则如下： ①若甲赢，则甲将黑棋向右移动3个单位，同时乙将白棋向右移动1个单位长度； ②若乙赢，则甲将黑棋向左移动1个单位，同时乙将白棋向左移动3个单位长度； ③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位，同时乙将白棋向左移动1个单位长度． （4）游戏开始时，黑白棋子间的距离表示为___________；若甲赢，则黑棋所在位置表示的数为___________，白棋所在位置表示的数为___________；若乙赢，则黑棋所在位置表示的数为___________，白棋所在位置表示的数为___________；若平局，则黑棋所在位置表示的数为___________，白棋所在位置表示的数为___________；进行若干局后，若，两棋能否正好相遇，直接写出所需的最少局数___________．（不需要说明理由） 同步练习 1．（25-26七年级上·吉林四平·月考）如图，在数轴上点对应的数是，点对应的数是，两动点、同时从原点出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向点运动；点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，到达点后停留秒，再从点沿数轴向右到达点后停止运动．设点的运动时间为秒． (1)在点从点向点运动的过程中，点表示的数为___________（用含的代数式表示）； (2)当时，求点与点之间的距离； (3)在运动过程中，当点与点重合时，求的值； (4)在点停止运动之前，当点与点之间的距离为时，直接写出的值． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期中）阅读下列材料，解答问题： 材料一：如果一个两位数的个位上的数字是b，十位上的数字是a，那么我们可以把这个两位数记为，．同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如_______． 材料二：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若能被3整除，试说明：这个三位数也能被3整除． 解：根据题意，得这个三位数为． 因为能被3整除，能被3整除， 所以这个三位数能被3整除． (1)补充材料一：______． (2)【能力提升】依据材料二请说明：能被11整除； (3)【类比拓展】判断一个三位整数能否被7整除，只需看去掉这个数的末位数字后，所得到的数与此末尾数字5倍的和能否被7整除，如果这个和能被7整除．则原数就能被7整除．你能解释其中的道理吗? 3．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础．小海在草稿纸上画了一条数轴，如图是数轴的一部分（不完整），并利用折叠进行下列的操作探究： (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与_________表示的点重合；表示的点与_________表示的点重合； (2)操作二：折叠纸面，若使5表示的点与表示的点重合： ①设折痕处对应的点记为C，则C点表示的数是_________； ②表示的点与_________表示的点重合； ③数轴上从左往右有A、B两点，表示的数分别为a和b，若折叠后A，B两点重合，且A，B两点的距离为4050，求a，b的值． 4．（25-26七年级上·江西赣州·月考）项目主题：“火锅里的数学”——确定最省钱的付款方案 项目背景：火锅文化源远流长，现存最早的火锅器具是商周时期的青铜“温鼎”，在汉代曹操《四时食制》中就有记载“五熟釜”，是分格火锅的雏形．寒冷的天气，大家围在一起吃上一顿热气腾腾的火锅成为不少家庭的选择，小超与家人计划去季季红吃火锅． 数据收集：火锅店，推出以下两种优惠方式并规定两种优惠方式不能同时享受： 方式一 使用美团支付，在美团购买100元代金券，每张70元，每次消费最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方式二 现场支付，除锅底不打折外，其余菜品全部a折． 问题解决：小超点了260元菜品，其中包含一份40元锅底，使用方式二买单支付了194元． (1)根据题意，若用方式一买单，应付款 元； a的值为 ； (2)若小超点了280元菜品，其中包含一份40元锅底，则应选哪种购买方式更优惠？ (3)当小超一家点了多少元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等？ 5．（25-26七年级上·山东临沂·期中）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”．当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点P、Q在数轴上分别表示有理数p、q，P、Q两点之间的距离表示为．阅读以上材料，回答以下问题： 如图，在数轴上有A、B两点，A、B两点所表示的有理数分别是和，其中k为最大的负整数． (1)求A、B两点之间的距离； (2)若动点P、Q分别从A、B两点同时出发，相向而行，点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为4个单位/秒，运动t秒后，用含t的代数式分别表示点P和点Q在数轴上所表示的数； (3)在（2）的条件下，t为何值时，并求此时的． 6．（2025七年级上·重庆·专题练习）将一个数轴弯折成如图所示的样子，我们称这样的数轴为“过山车数轴”，在这个数轴上每个点对应的数就是把数轴拉直后对应的数． 规定：（线段的长度）为两点在拉直后的数轴上的距离． 点表示的数是，点表示的数是，则． (1)若为“过山车数轴”上一点且，请直接写出点表示的数． (2)定义：在“过山车数轴”的上坡阶段（从到或从到），点运动的速度是点在水平路线上运动速度的一半；在下坡阶段（从到或从到），点运动的速度是点在水平路线上运动速度的倍．动点从点出发以每秒个单位的速度向右运动，经过点，点，点，到点后立即以原速度沿反方向运动，回到点时停止．在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，经过点，点，点后继续运动．点停止运动时，点也停止运动．设点运动的时间为秒，问： ①点在第 秒时回到点． ②点和点在第 秒时重合． ③当 时，． 7．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知在数轴上所表示的数分别为，且． (1)___________，___________； (2)①有一个玩具火车如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．则玩具火车的长为___________个单位长度； ②如图所示，将第①题中的玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，直接写出此时点所表示的数． (3)在（）的条件下，当火车以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点和点从出发，分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为，是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值；若不存在，请说明理由． 8．（25-26七年级上·四川达州·期中）将一副直角三角板按如图①摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转． (1)如图②，当____时，平分，此时____． (2)继续旋转三角板，使得，同时在直线的右侧，如图③，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动． ①当____时，； ②请直接写出在旋转过程中与之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 解答压轴题 期末考点 复习目标 考察形式 1.数轴动态与动点综合 1.掌握动点位置代数式表示； 2.运用距离公式列方程； 3.具备分类讨论（运动方向/阶段）能力 1.压轴题核心，仅解答题（最后1-2题）； 2.难度：压轴，常结合游戏、操作情境； 3.创新题高频：融入实际操作或多局动态场景 2.绝对值综合应用 1.理解几何意义与非负性； 2.掌握含参绝对值方程/多结论判断； 3.运用分类讨论化简表达式 1.覆盖压轴：绝对值最值； 2.难度：压轴，创新题偶见误差情境 3.一元一次方程情境应用 1.提炼分段计费/方案选择等量关系； 2.掌握间接设元技巧； 3.能比较最优方案 1.高频解答题； 2.难度：压轴，情境贴近生活（套餐、购票）； 3.创新题常见：多方案优化对比 4.线段与角动态探究 1.运用中点/角平分线性质； 2.掌握折叠/旋转的等量关系； 3.具备开放型问题探究能力 1.解答题压轴； 2.难度：压轴，常结合动态操作； 3.创新题存在性探究 5.规律探究（数字/图形） 1.从特殊到一般归纳通项； 2.掌握代数式列写与验证； 3.具备类比迁移能力 1.解答题； 2.难度：压轴，多以图形拼接、数阵形式呈现； 3.创新题高频：跨情境规律迁移 6.新定义与跨学科融合 1.理解新定义规则并转化； 2.掌握跨学科数据转化（物理/体育）；3.运用有理数运算解决实际问题 1.解答题压轴； 2.难度：压轴，跨学科情境为创新点； 7.综合实践探究 1.拆解题干规则与目标； 2.分步推理并验证结论； 3.具备模型迁移能力 1.压轴解答题（最后1题）；2.难度：压轴，多含分层探究（基础-拓广）；3.创新题必考：结合进位制、月历等情境 【易错题型】 【题型1】一元一次方程与数轴动点综合题 1.易错点总结 动点位置代数式列写错误（混淆运动方向与符号，如向左运动误写为“”） 两点间距离公式应用遗漏绝对值（直接写，忽略的情况） 分类讨论不全面（遗漏“相遇前/后”“动点在起点左侧/右侧”等场景） 解方程后未验证解的合理性（时间或位置超出数轴实际范围） 2.纠错技巧 第一步：固定列写规则（起点为，向右运动：；向左运动：），写完后代入验证是否等于起点 第二步：强制使用距离公式，避免符号错误 第三步：用“列表法”梳理讨论情况（如下表），确保无遗漏： 讨论场景 等量关系依据 动点P、Q相遇 P在Q左侧且距离为 P在Q右侧且距离为 第四步：解方程后双重验证（，位置符合数轴情境），不符合则说明该情况不存在 【例题1】.（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）探究与发现：表示a与b之差的绝对值，实际上也可理解为a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离． (1)如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，则数轴上点B表示的数； (2)若，求的值． (3)拓展与延伸：在（1）的基础上，解决下列问题：动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为2； (4)数轴上还有一点C所对应的数为30，动点P和Q同时从点O和点B出发分别以每秒5个单位长度和每秒10个单位长度的速度向C点运动，当一个点到达C点，运动停止．设运动时间为秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为4． 【答案】(1) (2)6或10 (3)当t为秒或2秒时，A，P两点之间的距离为2 (4)当t为或秒时，P，Q之间的距离为4 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，解题的关键是运用分类讨论的思想去解决问题． （1）利用数轴上两点间的距离公式，找出点B表示的数； （2）利用绝对值的定义（绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离），去掉绝对值符号； （3）找准等量关系，正确列出一元一次方程； （4）分两种情况，找出关于t的一元一次方程． 【详解】（1）解：数轴上点B表示的数． 答：数轴上点B表示的数为． （2）∵， ∴或， ∴或． 答：x的值为6或10． （3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为5t， 依题意得：， 即或， 解得：或． 答：当t为秒或2秒时，A，P两点之间的距离为2． （4）P到达C点时间：（秒）， Q到达C点时间：（秒）． 点P表示的数为，点Q表示的数为， 依题意得：， 即或， 解得：或； 答：当t为秒或秒时，P，Q之间的距离为4． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·陕西延安·月考）【问题背景】已知数轴上两点之间的距离可以用右侧的点所表示的数减去左侧的点所表示的数来计算．如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且满足，．动点P从点A出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向负半轴运动，同时动点Q从点B出发，以2个单位/秒的速度沿数轴向负半轴运动． 【问题再现】（1）求A、B两点之间的距离； 【问题推广】（2）经过几秒后，P、Q两点相距4个单位长度，并求此时点Q所表示的数； 【拓展提升】（3）设点P运动的时间为t秒（），若在运动过程中，动点P始终保持原速度原方向；当Q到达原点O时，立即返回，以原速度沿数轴向正半轴运动，当t为何值时，点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍． 【答案】（1）16；（2）经过12秒或20秒后，P、Q两点相距4个单位长度．点Q所表示的数为或；（3）当s或s时，点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用， （1）先求出a，b，再根据两点之间的距离得出答案； （2）先表示出点P，Q表示的数，再根据P、Q两点相距4个单位长度得出两个方程，求出解； （3）先分两种情况：当时，当时，可得点Q表示的数，再根据点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍得出方程，再求出解． 【详解】解：（1）根据题意，，解得， 又因为，即， 解得． 所以A、B两点之间的距离为； （2）设运动时间为秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 又因为P、Q两点相距4个单位长度， 所以或， 解得或． 所以经过12秒或20秒后，P、Q两点相距4个单位长度． 当时，点Q所表示的数为， 当时，点Q所表示的数为， 所以此时点Q所表示的数为或； （3）根据题意可知，点P表示的数为，且点Q运动到原点O的时间为． 当时，点Q表示的数为， 当时，点Q表示的数为， 又因为点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍， 所以或， 解得或． 综上所述，当s或s时，点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍． 【变式题1-2】.（24-25七年级上·广东佛山·月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，请同学们解决下面有关数轴的问题： (1)如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． ①______，______； ②将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为______； (2)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为．例如，5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则的最小值______． ②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______． ③当______时，取得最小值． (3)数轴上点C、D表示的数分别为4、． ①动点P从D出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒P与C的距离是2个单位长度． ②在①的条件下，动点P出发的同时，动点Q从C出发，沿着数轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动，经过______秒，点Q到点D的距离是点P到点C距离的2倍？ 【答案】(1)①，② (2)①②③ (3)① 经过秒或秒 ②或 【分析】（1）①利用平方和绝对值的非负性求得的值；②折线与数轴的交点为重合两点的中点，利用数轴上两点间的距离找到中点所表示的数，进而可求得与B点重合的点所表示的数； （2）①利用绝对值的几何意义进行求解；②利用绝对值的几何意义进行求解；③利用绝对值的几何意义进行求解； （3）① 秒点表示的数为，根据P与C的距离是2个单位长度，列方程求解即可②运动秒后，点表示的数为，点表示的数为 ．依题意列方程，求得符合题意的解即可． 【详解】（1）解：① ， 解得 ，， 故答案为：，； ②点与表示的点重合，则此两点间的距离为， ∵折线与数轴的交点为这两个点的中点， ∴中点与A的距离为， ∴中点表示的数为， 点B与中点的距离为， 则与B点重合的点表示的数为． 故答案为：5； （2）解：① 表示数轴上点到与的距离之和， 当 时，该和最小，为． 故答案为； ② 表示点到与的距离之和等于， ∵， ∴当时等式恒成立， 整数有 ， 和为 故答案为：； ③ 表示点到2，3，4三点的距离之和， 由绝对值几何意义，当 时该和最小． 故答案为：； （3）解：① 由题意，运动 秒点表示的数为， P与C的距离是2个单位长度， 则， 解得 或 ， 即 或 ． 答：经过秒或秒，P与C的距离是2个单位长度； ② 运动秒后，点表示的数为，点表示的数为 ．依题意： 当 时，， 得 ， ， ； 当 时， ， 得 ， ， ； 当 时， ， 得 ， ， （舍）． 故答案为：或． 【点睛】本题考查绝对值的非负性、数轴折叠对称点、绝对值的几何意义、解方程，掌握相关知识是解决问题的关键． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·重庆开州·月考）数轴上有两个重要结论，如果数轴上的点表示的数分别为，那么：①它们之间的距离为；②它们中点所表示的数为．如图所示，数轴上有三个点对应的数分别为，其中，满足． (1)______，______； (2)若数轴上有两个动点分别从两点同时出发，沿数轴向右匀速运动，点速度为单位长度/秒，点速度为单位长度/秒，若运动时间为秒，运动过程中，是否存在线段的中点到点的距离为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； (3)在（）的条件下，另外两个动点分别和同时出发，且始终保持，（点在的左边，点在的左边），当点运动到点时，线段立即以相同的速度返回，当点再次运动到点时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段和重叠部分为的一半，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，的值为或 (3)存在，的值为或或或 【分析】（）利用非负数的性质解答即可求解； （）由题意可得运动秒后，点对应的数为，点对应的数为，即得点对应的数为，再根据题意列出方程即可求解； （）分两种情况：线段向右运动和线段重叠，线段向左运动和线段重叠，根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：存在，理由如下： 由题意可得，运动秒后，点对应的数为，点对应的数为， ∵点是线段的中点， ∴点对应的数为， ∵到点的距离为， ∴， 解得或， ∴存在的值为或，使得线段的中点到点的距离为； （3）解：存在，理由如下： 由题意可得，向右运动秒，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∵， ∴， 当线段第一次重叠时，若点表示的数比点表示的数大， 则， 解得； 若点表示的数比点表示的数大， 则， 解得； 当重合时，， 解得， ∴点返回时对应的数为，点返回时对应的数为， 当线段第二次重叠时，若点表示的数比点表示的数大， 则， 解得； 若点表示的数比点表示的数大， 则， 解得； 综上，在整个运动过程中，存在使两条线段和重叠部分为的一半，的值为或或或． 【题型2】角的动态旋转综合题 1.易错点总结 忽略旋转方向差异（顺时针/逆时针），导致角度表达式符号错误 未分情况讨论旋转后的位置关系（如射线重合、超出原角范围） 角度计算时单位混淆（如将“度”与“分”直接运算） 未验证旋转时间的取值范围 2.纠错技巧 第一步：标注旋转方向符号，用含的代数式表示角度时明确符号 第二步：应用余补角性质前，验证角的存在性 第三步：通过“画动态轨迹图”梳理分类情况，确保覆盖“旋转中”“旋转后重合”“旋转超出”三种场景 第四步：计算后验证角度范围，不符合则舍去 第五步：统一单位（若题目含“分”，先转化为“度”：） 【例题2】.（25-26七年级上·陕西西安·月考）问题提出 如图，点O为直线上一点，将一副直角三角尺按图中方式放在点O处，使边，落在直线上，，． （1）如图1，的度数为______． 问题探究 （2）如图2，三角尺固定不动，将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针旋转，在旋转过程中，两块三角板都在直线的上方．设运动时间为t秒．t为何值时，平分． 问题解决 （3）如图3，若在三角尺开始绕点O以每秒的速度顺时针旋转的同时，三角尺也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，三角尺和三角尺始终在直线的上方．在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（3）7或9.4 【分析】本题主要考查邻补角的定义、角平分线的性质和旋转过程中角度的和差关系，解题的关键是熟悉角度和差关系，并应用动态的思想解决问题． （1）利用邻补角的定义求解即可． （2）根据角平分线的定义，再得出旋转角，再除以转动速度即可； （3）当在左侧时，在旋转过程中，和；当在右侧时，在旋转过程中，和 ，根据题意分别列出方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可知：点O，A，C三点共线，且， ∴ （2）当边平分时， ∵， ∴， ∴旋转角为：， ∴（秒）； （3）存在，理由是： 当在左侧时， 在旋转过程中，， ， 当， ∴， 解得：； 当在右侧时， 在旋转过程中， ， ， ， ， 综上：的值为7秒或9.4秒． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·广东清远·月考）综合运用： 数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，数轴上的点A 表示的数为a，B 表示的数为b，且 点C在线段上，图1中有3条线段，分别是线段、线段、线段．若其中一条线段是另一条线段的一半，则称点C是线段的等分点． 【问题解决】 （1） ①点A、B 表示的数分别是_______、_______； ②若点C是线段的等分点，请求出此时线段的长． 【方法迁移】 （2）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，射线在的内部，图中共有3 个角：， 和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的一半，则称射线是的“等分线”． ①如图3， 若，且射线绕点P从位置开始， 以每秒的速度逆时针旋转，旋转的时间为t 秒，当与成时停止旋转．当t为何值时，射线是的“等分线”． ②在①的条件下，射线从位置开始绕点P 以每秒的速度逆时针旋转，并与 同时停止，请直接写出当射线是的“等分线”时t的值． 【答案】（1）①，9；②；（2）①当，3，4，9时，射线是的“等分线”．②或或． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，角的和差计算，线段的和差计算等知识． （1）①根据非负数的性质即可求出答案；②根据等分点的定义分情况进行解答即可；（2）①根据射线是的“等分线”分情况进行解答即可；②根据射线是的“等分线”分情况进行解答即可． 【详解】（1）①，， ∴，， 解得，， 故答案为：，9； ②由①可知，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，则， 综上可知，若点C是线段的等分点，线段的长为． （2）①当，即，解得， 当，即，解得， 当，即，解得， 当时，，此时， 即，解得， 综上可知，当，3，4，9时，射线是的“等分线”． ②依题意有：在的外部， ∴，， 当时，如图所示： ， 解得； 当时， ， 解得； 当时， ， 解得． 在的外部，当时，若， 即 解得， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴当射线是的“等分线”时的值为或或． 【变式题2-2】.（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，在内部有两条射线，平分． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，若与互余，（1）问中结论是否仍然成立，并说明理由． (3)在（2）的条件下，如图3，从与重合处开始，绕着点O旋转，若，且满足，求的度数． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据题意以及角平分线的定义求解即可； （2）设，根据与互余可得，进而可知，，然后结合角平分线的定义，即可证明结论； （3）设，易得，结合（2）可知，然后分在右侧和在左侧两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ； （2）解：成立，理由如下： 设， 与互余， ， ， ， 平分， ， ， 即（1）问结论成立； （3）解：设， ， ， ∵平分， ∴， ∵从与重合处开始，绕着点O旋转， ∴， 当在右侧时，如下图， ，， ， ， ， ，解得， ； 当在左侧时，如下图， ，， ， ， ， ，解得， ． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度计算、角平分线的定义、余角等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用分情况讨论的思想分析问题． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒， ①当旋转_______秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图所示，当旋转时，则的度数为_______． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的特点，根据角平分线的定义进行计算，是解题的关键． （1）根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到= ，求出的度数即可； （2）①根据旋转的特点和、旋转的速度，结合的度数，即可求得结果； ②根据、旋转的速度，结合、的度数，即可求出结果； （3）根据题意得到，，根据平角的定义得到，根据角平分线的定义，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， = ， ． 的度数为． （2）∵从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为， ∵ 与第一次重合的时间为：()； 故答案为：． ② ，， 与第一次从相遇到分开所经历的时间为：()． （3）旋转时，，， ， ， ． 则的度数为 故答案为：． 【题型3】数轴动态探究与情境融合题 1.期末考点总结 核心考点：数轴三要素、有理数与数轴的对应关系、两点间距离公式（）、动态问题中的分类讨论思想 关联考点：正负数的实际意义、代数式表示动点位置 2.解题技巧 第一步：构建数轴模型，标注初始已知点、单位长度，明确动点运动方向（左/右）、速度及起始位置 第二步：用含时间的代数式表示动点位置（向右：初始数；向左：初始数） 第三步：结合实际操作情境列等量关系，分阶段讨论（相遇前/后、不同运动周期），验证解的非负性 【例题3】.（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）数学兴趣小组在纸面上画一条数轴，进行折叠数轴的探究活动，根据活动过程，完成填空． 主题 折叠数轴，探究对应点的关系 活动一 将数轴上表示的点记为点A，表示1的点记为点B，折叠纸面，使点A与B重合． （1）折叠前，点A与B的距离是 个单位长度，折痕与数轴的交点表示的数是 ． 活动二 将数轴上表示的点记为点C，表示8的点记为点D，M，N是数轴上两点（点M在点N的左侧）．折叠纸面，使点C与D重合． （2）折叠前，点C与D的距离是 个单位长度，折痕与数轴的交点表示的数是 ． （3）折叠前M，N两点之间的距离为2026，折叠后M，N两点重合，则点M表示的数是 ，点N表示的数是 ． 【答案】（1）2；0；（2）10，3；（3）；1016 【分析】本题主要考查的是数轴的认识，数轴上两点之间的距离，有理数加法，减法，除法的应用． （1）直接利用两点之间的距离公式求解点A与B的距离，由折痕与数轴的交点到点A与B的距离相等可得结论. （2）直接利用两点之间的距离公式求解点A与B的距离，由折痕与数轴的交点到点A与B的距离相等可得结论. （3）依据M、N两点之间的距离为2026，并且M、N两点经折叠后重合，N点表示的数比M点表示的数大，进一步即可得到点M，N表示的数． 【详解】解：活动一：（1）∵数轴上表示的点记为点A，表示1的点记为点B， ∴折叠前，点A与B的距离是个单位长度，折痕与数轴的交点表示的数是． 活动二：（2）∵数轴上表示的点记为点C，表示8的点记为点D， ∴折叠前，点C与D的距离是个单位长度， ∵折叠纸面，使点C与D重合， ∴折痕与数轴的交点表示的数是. （3）∵折叠前M，N两点之间的距离为2026， ∴， ∴折叠后M，N两点重合，则点M表示的数是，点N表示的数是. 【变式题3-1】.（25-26七年级上·广西南宁·期中）请根据图1中A，B两点的位置，回答问题： (1)分别写出它们所表示的有理数：A：______；B：______ (2)观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是______． (3)若将数轴折叠，使得点A与表示数的点重合，则点B与表示数______的点重合． (4)若数轴上M，N两点之间的距离为2024（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是______、______． (5)《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完．如图2，求的值． 【答案】(1)1， (2)5或 (3)1.5 (4)， (5) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，图形类规律探究，一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）根据点在数轴位置写出即可； （2）有两种情况，在点A的左侧或在点A的右侧； （3）先找出折合点的对应的数，然后再利用数轴上两点间距离计算即可； （4）直接利用数轴上两点间距离计算即可； （5）根据图形找规律找规律，然后进行计算． 【详解】（1）解：点A表示的数是：1，点，B表示的数是：． 故答案为：1，； （2）∵， ∴点A的距离为4的点表示的数是：5或． 故答案为：5或； （3）∵点A点与表示的点重合， ∴， ∴折合点表示的数是：， 设与点B重合的点表示的数为x，由题意得， ， ∴， ∴点B点与数1.5表示的点重合． 故答案为：1.5； （4）∵， ， ， 又∵M在N的左侧 ∴M，N两点表示的数分别是，； （5）根据图形可知，． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·山东临沂·期中）舟岱跨海大桥建成于2021年，全长26千米，桥梁主跨径创外海桥梁世界之最．舟岱跨海大桥上三座索塔可以抽象为A，B，C三个点，A与B，B与C之间的距离均为千米，如图所示．若以点B为原点，向右为正方向，取1千米为单位长度画数轴，那么请解决以下问题： (1)A、C两点在数轴上所表示的数分别是________、________，它们互为（   ）； A．倒数  B．相反数 (2)道路养护车甲从A点出发，沿着数轴向左行驶，速度为50千米/小时．同时，道路养护车乙从C点出发，向右行驶，速度为60千米/小时． ①当行驶t小时时，甲车和乙车在数轴上表示的数分别是多少？试用代数式表示； ②当分钟时，甲、乙两车同时停止，试求出两车的距离． (3)在（2）②的条件下，将甲、乙两车停止时的位置标上记号，分别用P、Q表示．养护车丙进行协助工作，沿着数轴方向，自左向右行驶．若养护车丙在数轴上所表示的数为x，问：x与P、Q两点距离之和最小时，对应的x应满足的条件为________． 【答案】(1)，，B (2)①甲车表示的数为：，乙车表示的数为：；②千米 (3) 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间的距离公式，相反数的定义，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据A与B，B与C之间的距离均为千米，即可求解； （2）①根 据 数 轴 上 两点间的距离公式，即可求解；②将分钟代入①中 的 式 子，分 别 求 出甲车、乙车在数轴上表示的数，最后根据数轴上两点间的距离公式，即可求解； （3）根据绝对值的意义即可求解． 【详解】（1）解：以点B为原点，向右为正方向，取1千米为单位长度画数轴， 所表示的数分别是、，它们是一对相反数， 故答案为：、，B； （2）①甲车表示的数为：, 乙车表示的数为：； ②当分钟时， 甲表示的数为：， 乙表示的数为：， （千米）； （3）甲车在数轴上表示的数为：，乙车在数轴上表示的数为：， 之和最小时，对应的x应满足的条件为， 故答案为：． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·浙江温州·期中）小阳计划用无人机跟拍自己骑行，完成一段视频拍摄． 素材一 自行车始终以的速度匀速运动． 无人机具有以下三种运动模式，各模式下均为匀速运动（忽略加减速过程）： 跟随模式：无人机位于目标后方60米处，以的速度同步跟随． 动能模式：无人机以的速度向前运动． 升降模式：无人机以的速度垂直上升或下降． 素材二 如图，以O为原点，自行车前进方向为正方向，1米为单位长度建立数轴．无人机在数轴上表示的点的位置开始执行拍摄流程． 无人机拍摄流程： ①无人机由“跟随模式”切换至“动能模式”，超越自行车到达点O； ②在O点垂直上升100米到达悬停点，悬停并垂直向下拍摄，可拍摄到地面一个半径为R的圆形区域．无人机到达悬停点时，自行车刚好进入拍摄区域； ③当自行车刚好离开拍摄区域时，无人机立即垂直下降100米； ④无人机降落后，立即切换至“动能模式”追赶自行车，最终恢复到“跟随模式”． (1)开始执行拍摄流程时，自行车在数轴上表示的数为______，经过t秒，自行车在数轴上表示的数为______（用含t的代数式表示）． (2)流程①和②中，无人机从数轴上的位置运动至悬停点用时多少秒？圆形拍摄区域的半径R为多少米？ (3)流程③和④中，在无人机开始下降时计时，经过多少秒无人机能重新追上自行车并恢复到“跟随模式”？ 【答案】(1)， (2)无人机到达悬停点用时40 秒，圆形拍摄区域的半径米 (3)经过28秒无人机能重新追上自行车并恢复到“跟随模式” 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用． （1）根据题意无人机的位置与题目设定的要求求出即可； （2）分别根据路程与速度求出相应的时间，利用无人机计算出时间，得出自行车运动的路程，根据题意得出区域半径； （3）设出追赶的时间，下降的高度与速度都已知，结合跟随模式的要求列出方程，求出时间，两个时间的和即为所求． 【详解】（1）自行车的初始位置与t秒后的位置： 无人机初始在数轴处，“跟随模式”下无人机位于自行车后方60米， 因此自行车初始位置为：； 秒后的位置：自行车速度为，沿正方向匀速运动，故位置为初始位置加移动距离：， 故答案为：，； （2）无人机到悬停点的用时与拍摄半径R无人机到悬停点的总用时： 流程①从到O点：距离300米，动能模式速度，用时秒； 流程②点垂直上升100米：升降模式速度，用时秒； 总用时：秒； 当无人机到达悬停点用时40秒，此时自行车的位置为：，故米； （3）∵无人机开始下降时自行车位置为40， 无人机下降100米用时秒，此过程中自行车移动距离为米，故自行车位置变为：， 经过x秒恢复到跟随模式无人机在自行车后方60米，无人机位置（动能模式）：，自行车位置：， 得到， ， ， 总用时为下降的20秒+追赶的8秒秒． 【题型4】一元一次方程的情境化方案优化题 1.期末考点总结 核心考点：一元一次方程的解法、间接设元技巧、分段计费/方案选择的等量关系 情境载体：电话套餐、外卖会员优惠、景区门票购票方案等生活场景 2.解题技巧 第一步：圈画关键信息（“不超过”“满减”“分段计费标准”），确定核心等量关系（总费用=基础费用+超额费用） 第二步：设未知数（复杂场景设“超过部分数量”为），列一元一次方程 第三步：计算不同方案的总费用，比较得出最优方案，注意单位统一与实际意义验证 【例题4】.（2025七年级上·全国·专题练习）国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如下是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据信息，解答下列问题： 票价 成人：每张元 学生：按成人票五折优惠 团体票（人以上含人）：按成人票6折优惠 大人门票是每张元，学生门票是5折优惠，我们一共人，共需元 爸爸，等一下，我算算换一种方式买票是否可以省钱？ (1)明明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱？ (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的个家长共人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)学生人数为4人，成人人数为8人 (2)购团体票更省钱，理由见解析 (3)买人的团体票，再买4张学生票 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设成人人数为x人，则学生人数为人，由题中所给的票价单可得出关于x的一元一次方程，解此方程即可得出成人与学生各有多少人数； （2）已知购个人票的价钱，再算出购团体票的价钱，哪个更低哪个就更省钱； （3）由第二问可知购团体票要比购个人票便宜，再算出购张团体票和4张学生票的价钱与全部购团体票的价钱比较，即可得最省的购票方案． 【详解】（1）解：设成人人数为x人，则学生人数为人，则： 由题中所给的票价单可得：， 解得， 学生人数为人，成人人数为8人， 答：学生人数为4人，成人人数为8人． （2）解：如果买团体票，按人计算，共需费用： 元， ， ∴购团体票更省钱． （3）解：需要分三种情况， ①若成人和学生分开买票，费用：（元）， ②若购买团体票，费用：（元）， ③人全部买团体票，费用：（元）， ∵， 最省的购票方案为：买人的团体票，再买4张学生票． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·全国·期末）【项目式学习】广东早茶是流行于广东省的民间饮食习俗，以饮茶搭配广式点心为核心形式．某数学兴趣小组利用周末对某早茶店点心的制作与销售进行了研究． 项目主题：广东早茶点心的制作与销售 素材1 广东早茶点心的品种繁多，该店顾客最推荐的两类是虾饺皇与叉烧包． 素材2 虾饺皇每份原价30元，叉烧包每份原价20元． 素材3 门店下单优惠方案：每购买2份虾饺皇，免费赠送1份叉烧包． 网上下单优惠方案：网上下单的用户全单打9折销售并立即赠送1张优惠券．优惠券满1400元（含1400元）立减210元，且当次折后可用．（网上优惠券门店下单不可用） 问题解决 任务1 ①若该店每份虾饺皇包含虾饺3个，今天的第一位用户点单虾饺皇m份，则一共包含虾饺______个． ②该店某天下午以“门店下单”的方式售出（含免费赠送）叉烧包20份，虾饺皇20份．请计算本单点心的销售额． 任务2 某班正筹备秋游计划，计划订购虾饺皇和叉烧包两款点心，计划订购叉烧包20份，虾饺皇x份（）．在不考虑其他因素的影响下，请分别求出两种下单方式所需费用（用x表示即可）．并求出当订购虾饺皇的数量是多少份时，两种下单方式的总费用相同？ 【答案】任务1①：；②：800元；任务2：门店下单费用为元，网上下单费用为元，当虾饺皇50份时费用相同． 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用． 任务1：①根据该店每份虾饺皇包含虾饺3个，第一位用户点单虾饺皇m份，直接列式即可．②把两种食品的销售额相加即可． 任务2：由计划订购叉烧包20份，虾饺皇x份（），可得叉烧包不需要付钱，可得门店下单的费用为：（元），网上下单时，费用超过元，可得网上下单费用为元，再进一步建立方程求解即可． 【详解】解：任务1：①该店每份虾饺皇包含虾饺3个，今天的第一位用户点单虾饺皇m份，则一共包含虾饺个． ②：由题意可得：， ∴本单点心的销售额为元． 任务2：门店下单：因为订购虾饺皇份，且，所以根据“每购买2份虾饺皇，免费赠送1份叉烧包”的规则，可免费获赠的叉烧包份数为份， 因为，所以计划订购的20份叉烧包全部免费， 故总费用为元； 所以门店下单的费用为：（元）， 网上下单：订单原价为元， 因为，所以原价元， 因为，所以满足“满1400元立减210元”的优惠券使用条件， ∴网上下单费用为元， ∴， 解得：， 综上：门店下单费用为元，网上下单费用为元，当虾饺皇50份时费用相同． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·广东梅州·月考）周末，数学老师带同学们去某市博物馆参观，在坐车途中，数学老师和大家玩游戏．数学老师说：“我们刚刚学习完一元一次方程，现在我们就用一元一次方程来解决一些数学应用题吧．” 【基础闯关】 （1）小明和爸爸下围棋，一共下了8局，规定：爸爸赢一盘记2分，小明赢一盘记6分，每盘都分出了胜负，比赛结束后，爸爸说：“我的得分比你的得分多2分．”请你帮小明判断爸爸的说法是否正确，并给出理由． 【能力闯关】 （2）我们将要到达的博物馆内有售文创用品，博物馆有以下两种优惠方案： 方案一 可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多可使用3张，未满100元的部分不得使用代金券 方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券 例：某次消费120元，使用代金券后，实际花费（元）． 假如小明消费了元． ①若使用代金券，实际花费______元（用含x的代数式表示）． ②选择哪种方案更省钱？ 【拓展闯关】 （3）在参观完博物馆后，所有人员乘客车返回相距的酒店，客车的行驶速度为，同时，酒店工作人员小李开着小轿车以的速度从酒店出发，前去迎接，数学老师在两车相遇后换乘小李的小轿车，和小李立刻返回酒店先为大家办理入住手续（车辆掉头、数学老师下车和上车的时间忽略不计），在两车行驶过程中，求客车行驶多长时间时两车相距． 【答案】（1）爸爸的说法不正确，理由见解析；（2）①，②答案见解析；（3）客车行驶或或时两车相距． 【分析】（1）设小明赢盘，则爸爸赢盘．得方程，根据方程解的整数性质判断即可． （2）①根据题意，实际花费元，计算即可． ②根据题意，方案二的实际花费为元，结合，解得，后分类计算解答即可． （3）根据题意，相遇前，设客车从出发到两车相距行驶的时间为． 根据题意，得，解答即可；相遇后，设两车相遇所需时间为，根据题意，得，解得．设在两车相遇之后到两车相距时所需时间为．根据题意，得，解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，方案问题，相遇问题，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设小明赢盘，则爸爸赢盘． 所以，解得， 因为不是正整数， 所以爸爸的说法不正确． （2）①解：根据题意，得实际花费元， 故答案为：． ②解：根据题意，使用方案二的实际花费为元， 故时，解得， 当时，选择方案一更省钱； 当时，费用一样； 当时，选择方案二更省钱． （3）①在两车相遇之前，设客车从出发到两车相距行驶的时间为． 根据题意，得，解得． ②设两车相遇所需时间为，根据题意，得，所以． 设在两车相遇之后到两车相距时所需时间为． 根据题意，得，解得， 所以此时客车行驶的时间为． ③当轿车到达酒店，客车距离酒店， 此时 综上所述，客车行驶或或时两车相距． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·四川成都·期中）某地天然气收费方案如下： 阶梯 年用气量 价格 补充说明 第一阶梯 （含400）的部分 3元/ 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限将分别增加，，同时，第二、三阶梯年用气量的下限随着调整，每一阶梯的价格保持不变 第二阶梯 （含800）的部分 4元/ 第三阶梯 以上的部分 5元/ (1)某家庭当年用气量为 ．若该家庭人口为3人，则需缴纳燃气费用_______元；若该家庭人口为4人，则需缴纳燃气费用_______元． (2)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人，某年甲、乙两户年用气量之和为 ，甲户年用气量大于乙户年用气量．设甲用户年用气量为 ，请用 x 分别表示甲、乙两户需缴纳的燃气费． (3)某公司共有22名员工，员工宿舍有3人间和4人间两种类型的房间可供选择，且员工所选择的房间必须住满．结算天然气费用时，将每间宿舍视作一户家庭，按上表的收费标准进行收费．假定每名员工的年用气量为 ，要使该公司员工宿舍当年缴纳总天然气费用最低，则3人间的房间数为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，甲、乙两户年用气量分别是元，元，当时，甲、乙两户年用气量分别是元，元． (3)3人间的房间数为 【分析】本题考查一元一次方程的应用．理解阶梯收费的计算方法是解决本题的关键． （1）若该家庭人口为3人，需要缴纳费用为：超过400立方米的立方数；若该家庭人口为4人，需要缴纳费用为：； （2）设甲户年用气量为，则乙户年用气量为(，根据甲户年用气量大于乙户年用气量可得甲户年用气量超过，那么乙户年用气量不足，分两种情况进而列出代数式即可； （3）设3人间有间，则4人间有间．根据为正整数，可得可能的整数值，那么可得3人间房间数和4人间房间数，根据用气标准得到3人间的年用气量和4人间的年用气量，进而判断出不同情况下的付费情况，比较后可得费用最低的宿舍分配方案． 【详解】（1）解：∵某家庭当年用气量为．该家庭人口为3人， ∴需缴纳燃气费用：(元)． ∵某家庭当年用气量为．该家庭人口为4人， ∴需缴纳燃气费用：(元)． （2）解：设甲用户的用气量为，则乙用户的用气量为． ∵甲户年用气量大于乙户年用气量， ， 解得：． ， 当时， ∴甲户年用气量为：元， 乙用户的用气量为：元， 当时， ∴甲户年用气量为：元， 乙用户的用气量为：元， 答：当时，甲、乙两户年用气量分别是元，元，当时，甲、乙两户年用气量分别是元，元． （3）解：设3人间有间，则4人间有间． ∵为正整数， ∴或． ∴人间有4间或1间． 一个3人间用气量为：， 一个4人间用气量为：． ①3人间2间，4人间4间． 需缴纳燃气费用：(元)． ②3人间6间，4人间1间． 需缴纳燃气费用：(元)． ， ∴要使该公司员工宿舍当年总天然气费最低，则3人间的房间数为6间． 【题型5】线段动态折叠与中点综合探究题 1.期末考点总结 核心考点：线段中点性质（）、线段和差运算、折叠问题的全等性（折叠后对应线段相等） 命题特点：结合纸棒折叠、线段平移等动态操作，考查几何直观能力 2.解题技巧 第一步：绘制线段示意图，标注已知长度、中点位置及折叠重合的线段 第二步：设未知线段长度为，利用中点性质或折叠全等关系列方程 第三步：分情况讨论折叠位置（在线段上/延长线上），排除负长度解 【例题5】.（25-26七年级上·浙江金华·期中）数轴是分析问题的工具，如图1，小浩在草稿纸上画了一条数轴进行如下探究： (1)如图1，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合． (2)若折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合，此时，数轴上有两点（点在的左侧）经折叠后也重合且它们之间距离为个单位，则两点表示的数分别是________和______．（用含的代数式表示） (3)如图2，在数轴上剪下表示和4的两点间的一段纸带，并把纸带两端分别朝纸带的中间处折叠，使表示和4的两点的重合处与原点的距离为个单位，求两条折痕处对应的点所表示的数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)2 (2)； (3)和或和 【分析】本题主要考查了数轴、列代数式及两点间的距离，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． （1）根据对称性找到折痕的点为原点，可以得出与2重合； （2）根据对称性找到折痕的点为，再结合两点之间的距离为个单位长度即可解决问题； （3）根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上表示1的点与表示的点重合， ∴折痕为原点， 表示的点与2表示的点重合， 故答案为：2； （2）解：∵， ∴折痕表示的点为， ∵点在的左侧，且两点之间的距离为个单位长度， ∴点、点分别表示的数为和； 故答案为：和； （3）解：由题知， ∵折叠后表示和4的两点的重合处与原点的距离为个单位， 则当重合处在原点左侧时，重合处表示的数为， ，， ∴两条折痕处对应的点所表示的数为和； 当重合处在原点右侧时，重合处表示的数为， ，， ∴两条折痕处对应的点所表示的数为和， 综上所述，两条折痕处对应的点所表示的数为和或和． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·安徽安庆·月考）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，以单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．点运动到点时停止，此时点也随之停止．设运动的时间为秒．问： (1)动点从点运动至点需要多少时间？ (2)、两点相遇时，求出相遇点所对应的数是多少； (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】(1)需要15秒 (2)相遇点所对应的数是 (3)的值为、或时 【分析】（1）由路程、速度、时间三者关系分两段求出各段时间，再相加求出总时间为即可； （2）根据相遇时、的时间相等列方程求解即可； （3）分、两点相遇前和相遇后两种情况求解即可． 【详解】（1）解：（1）点运动至点时，所需时间（秒）； （2）（2）由题可知，、两点相遇在线段上于处，设， 则， 解得， 故相遇点所对应的数是； （3）（3）、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等有种可能： ①动点在上，动点在上，则：，解得：， ②动点在上，动点在上，则：，解得：， ③动点在上，动点在上，则：，解得：， ④动点在上，动点在上，则：，解得：， ∵点运动到点时停止，此时点也随之停止， ∴舍去； 综上所述：的值为、或． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·江西南昌·月考）数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．如图1，数轴上的点表示数，点表示数，点在点的右侧．已知，满足 (1) ， ； (2)如图2，动点，分别从点，处同时向右移动，点的速度为4个单位长度/秒，点的速度为2个单位长度/秒，设运动时间为秒． ①当 ，点，重合； ②在运动过程中，当点是线段中点时，求运动时间； (3)如图3，点是中点，动点，分别从点，处同时向右移动，若点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度/秒，设运动时间为秒．在运动过程中，试判断的值能否是定值？如果是定值，求此时，的数量关系． 【答案】(1)；16 (2) (3)是定值， 【分析】本题考查一元一次方程的应用，整式的加减运算，数轴，非负数的性质，绝对值和偶次方的非负性，掌握分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可解答； （2）①由题意得：点表示的数为，点表示的数为，列方程求解即可； ②由题意得：点表示的数为，点表示的数为，当为中点时，则，据此列方程求解即可； （3）分情况讨论，①当点在的左侧时，②当点与重合时，③当点在的右侧时，表示出即可解答． 【详解】（1）解：、满足． ，， ，， 故答案为：；16． （2）解：①由题意得：点表示的数为，点表示的数为， 当点、重合时，即， 解得， 当，点、重合， 故答案为：12； ②由题意得：点表示的数为，点表示的数为， 当为中点时，，如图， 即， 解得； （3）解：，为中点， ， 点表示的数为：， ①当点在的左侧时，如图， ， ，， 代数式的值会随的增大而增大，不可能为定值； ②当点与重合时，，、的关系无法确定该代数式的值； ③当点在的右侧时，如图， ， 当时，代数式的值与无关， 综上，当点运动到点右侧且时，的值是定值48． 【变式题5-3】.（25-26六年级上·上海奉贤·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 小智在纸面上画出了一条数轴，对其作出了以下探究： (1)探究一：数轴上表示整数的点称为整点 ①在数轴上，表示和5.9的两个点之间有___________个整点． ②若小智在数轴上放置了一根长为2025个单位长度的木棒，那么这个木棒盖住的整点个数为___________个． (2)探究二：小智在学习绝对值的几何意义时，注意到，其几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离．更一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离可以表示为． ③的几何意义是表示数的点到______________． ④小智在数轴上任取一个点表示有理数，当这个点在数轴上移动时，的最小值为_________；的最小值为_______________； (3)探究三：小智将纸面折叠，使得数轴上表示的点与表示11的点重合． ⑤此时，表示3的点与表示_______________的点重合 ⑥若折叠后数轴上的两点也重合，且两点之间的距离为4040（点在点的左侧），则点所表示的数是多少？ 【答案】(1)①；②或 (2)③表示数和数的点的距离之和；④，； (3)⑤7；⑥2025 【分析】本题考查了由数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，数轴的折叠问题等知识点． （1）①在数轴上即可数出整点的个数；②分两种情况求解即可，木棒起点在整点上或木棒起点不在整点上； （2）根据绝对值的几何意义分别求解即可； （3）先确定折痕点对应的数为，⑤表示3的点到折痕点的距离为，，则表示3的点与表示的点重合， ⑥由题意得，点到折痕点的距离为，而点A在点B的左侧，则点B所表示的数是． 【详解】（1）解：①在数轴上，表示和5.9的两个点之间有，共个整点， 故答案为：； ②若一根长为2025个单位长度的木棒起点在整点上，则覆盖个整点；若一根长为2025个单位长度的木棒起点不在整点上，则覆盖个整点， ∴这个木棒盖住的整点个数为或个， 故答案为：或； （2）解：③，则几何意义是表示数的点到表示数和数的点的距离之和； 故答案为：表示数和数的点的距离之和； ④，几何意义是表示数的点到表示数和数的点的距离之和， 当或时，则， 当时，则， ∴的最小值为； ，几何意义是数的点到表示数和数和表示数的点的距离之和， ∴同上由绝对值的几何意义可得，当时，其距离之和最小为， 故答案为：，； （3）解：∵小智将纸面折叠，使得数轴上表示的点与表示11的点重合， ∴折痕点对应的数为， ⑤表示3的点到折痕点的距离为， ∴表示3的点与表示的点重合， 故答案为：； ⑥由题意得，点到折痕点的距离为， ∵点A在点B的左侧， ∴点B所表示的数是． 【题型6】线段与角的开放型探究题（存在性问题） 1.期末考点总结 核心考点：线段与角的和差运算、中点与角平分线性质、开放型问题的多解分析 命题形式：“是否存在某点/射线使条件成立”，考查探究与推理能力 2.解题技巧 第一步：假设存在满足条件的点/射线，绘制示意图标注相关元素 第二步：利用中点/角平分线性质设元，列线段或角度和差方程 第三步：求解方程，判断解的合理性（线段正长度、角度在之间），存在则写出结果，不存在说明理由 【例题6】.（24-25七年级下·四川乐山·期中）、两点在数轴上，点表示的数是，点在原点的右边且与点相距个单位． (1)求出点表示的数，画一条数轴并在数轴上标出点和点； (2)若点以个单位每秒的速度向右运动，同时点以个单位每秒的速度向左移动，经过多长时间、两点相距个单位长度？ (3)、从初始位置分别以个单位每秒和个单位每秒同时向右运动，是否存在的值，使秒后点到原点的距离与点到原点的距离相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，表示点和点见解析 (2)秒 (3)存在，秒 【分析】本题主要考查了数轴上的点与距离、一元一次方程的应用、绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上点的位置表示及两点距离的计算方法是解题的关键． （1）根据点的数和、的距离，结合点的位置，计算点的数，再绘制数轴标注两点． （2）设运动时间为秒，表示秒后、的位置，根据两点相距个单位长度列绝对值方程，分情况求解． （3）表示秒后、到原点的距离，根据距离相等列绝对值方程，分情况求解． 【详解】（1）解：点表示的数：， 在数轴上标出点和点，如图， （2）解：设经过秒，、相距个单位长度．则秒后，的位置：；的位置：．由题意可得 ， 解得或 舍去， ∴经过秒、两点相距个单位长度； （3）解：秒后，到原点距离：，到原点距离：． 由题意可得， ∴或， 当时，解得（舍去）， 当时，解得． ∴存在时，点到原点的距离与点到原点的距离相等． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2，，射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻t（秒），使得的度数是？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ②当t的值为多少时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 【答案】(1)； (2)①20秒或25秒；②或或或30． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，几何图形中角度的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想． （1）根据题意，； （2）①根据题意将用t表示，在射线转动过程中，与重合前，进而可得，与重合后继续转动，则，令，建立方程即可求得t； ②分四种情况讨论：一是是的伴随线，二是是的伴随线，三是是的伴随线，四是是的伴随线，进而用含t的代数式表示出，根据伴随线的定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图2，，射线是射线的伴随线， 则， ∵的度数是，射线是射线的伴随线， ∴， ∵射线是的平分线， ∴， 则的度数是． 故答案为：； （2）解：射线与重合时，， ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， ； 若在相遇之后，则， ； 所以，综上所述，当或25时，的度数是． ②相遇之前： （i）如图1，是的伴随线时， 则， 即， ； （ii）如图2，是的伴随线时， 则， 即， ． 相遇之后： （iii）如图3，是的伴随线时， 则， 即， ； （iv）如图4， 是的伴随线时，则， 即， ， 所以，综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 【变式题6-2】.（24-25七年级上·陕西西安·月考）如图1，已知，射线以每秒的速度，从射线开始逆时针向射线旋转，到达射线之后又以同样的速度顺时针返回，直到到达射线停止，同时射线从射线开始，以每秒的速度顺时针向射线旋转，直到到达各自的目的地才停止．设旋转时间为t秒． (1)当秒时，求出的度数． (2)在运动过程中，当射线未到达射线时，达到，求t的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6或14 (3)存在，运动时间t的值为秒或12秒或20秒时，射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线 【分析】本题考查了角平分线的意义，角的和差，一元一次方程的应用等知识，分类讨论、数形结合是解题的关键． （1）当秒时，，的度数，由即可求解； （2）结合题意用t表示，的度数，分射线与射线重合之前，与射线与射线重合之后，两种情况建立方程求解，即可求得t的值； （3）分三种情况：当时，射线平分；当时，射线平分；当时，射线平分；表示出相关角，利用角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：当秒时，，， ∵， ∴ ； （2）解：当运动t秒，且当射线未到达射线时， 当射线重合时，则； ，； 射线与射线重合之前， 有， ∴， 解得：； 射线与射线重合之后， 有， ∴， 解得：； 综上所述，或； （3）解：存在； 当射线首次相遇时，则有， 解得：； 当射线重合时，则； 当射线与重合后返回，与重合时，则有， 解得：； 此时两射线同时到达终点； 当时，射线平分，如图； 则； ∵，， ∴； ∴， 解得：； 当时，射线平分，如图； 则； ∵，， ∴； ∴， 解得：； 当时，射线平分，如图； 则； ∵，， ∴， 解得：； 综上，当运动时间t的值为秒或12秒或20秒时，射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）初一年级开设了丰富多彩的社团活动课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒、研究数轴上的动点问题：如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，和，佳佳把两根木棒放在数轴上，使点与点重合，点与点重合，点在点的左边，点在点的左边，且．木棒从点B开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动：木棒PQ同时从点A开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，当点运动到时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当线段时，求值： (3)点为木棒上一定点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点到点的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，定值为8，持续总时长为3秒 【分析】（1）先用t表示出经t秒，各动点表示的数，再求出时N、P两点表示的数，再求出； （2）先用表示出、，再根据，列出关于的方程，再令，则方程变为关于的方程，然后分、、三种情况讨论，分别求出，再求出的． （3）根据D是木棒上一定点，设D到P的距离为a（），则D到Q的距离就是．再表示出D表示的数，从而可表示出、，进而得出，然后用含有、的式子表示出、，从而可表示出点到点的距离之和，令，从而可转化为关于的方程，再分、、三种情况讨论，找出点到点的距离之和为定值时的范围即可求解． 【详解】（1）解：数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，和， 当时， ∵Q与A重合， ∴Q点表示数为， ∵P在Q左边，且， ∴P点表示的数为​， ∵N与B重合， ∴N点表示的数为， ∵M在N左边，且， ∴M点表示的数为， 经t秒， ∵木棒速度为每秒3个单位向右， ∴此时点Q表示的数为， 点P表示的数为， ∵木棒速度为每秒1个单位向右， ∴此时点N表示的数为， 点M表示的数为， 当时， 此时点P表示的数为， 点N表示的数为， ∴线段的长度为； （2）经t秒，各动点表示的数如下：步骤1：写出各点关于t的表达式 点P表示的数为， 点M表示的数为， 点Q表示的数为， 点N表示的数为， P和M都向右运动，但P速度更快，所以P会逐渐追上甚至超过M． 同样，Q比N快，也会追上N． 所以我们先不假设顺序，直接用绝对值表示： ， ， 根据题意： ∵， ∴， 令，则方程变为： ， 我们分情况讨论右边绝对值内的符号： 情况1：（即）， 此时，，， 方程化为：， 解得：， ∴， ，成立； 情况2：（即） 此时，，， 方程化为： 解得：， ， ∵， ∴， ∴， ， 在范围内，故符合； 情况3：（即） 此时，，方程化为： ， 解得：， 但不满足，此情况不符合， 当点Q运动到C时，两根木棒立即同时停止运动， 此时Q点表示的数为， 解得：， 所以t的取值范围是：， 或都在范围内， 综上，或； （3）∵D是木棒上一定点， ∴它相对于P和Q的位置是固定的． 设D到P的距离为a（）， 则D到Q的距离就是． 由于木棒整体向右运动， D表示的数为：， (因为D在P右侧a单位，固定) ， ∵D在上，， ∴， ∴， ∵D表示的数为， M表示的数为， N表示的数为， ∴， ， ∴点到点的距离之和为， 令， 则点到点的距离之和为， 当时，， 当时，， 当时，， 因此，当且仅当， 即时， 点到点的距离之和为定值： ， 此时， 解得：， 这个范围的长度为： 秒． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上点的平移（动点问题），列代数式，动点问题（一元一次方程的应用）等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【题型7】材料阅读与新定义创新题 1.期末考点总结 核心考点：新定义规则的理解与迁移、有理数运算、代数式化简 命题特点：自定义运算符号（如），考查规则应用与转化能力 2.解题技巧 第一步：精读新定义规则，明确运算顺序与基础运算类型 第二步：代入具体数值或代数式，严格遵循规则转化为常规运算 第三步：若含参数，结合条件判断参数取值范围，验证结果符合定义要求 【例题7】.（25-26七年级上·山东德州·期中）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有数数0表示的点）的距离，叫做这个有理数的绝对值．例如：，它表示数轴上有理数2表示的点到原点0的距离，从数轴上容易发现，有理数2表示的点到原点0的距离是2个单位长度，即（如图1）． 同样的，数轴上表示和表示的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图2）．    以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法，请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： 任务一： (1)请根据以上阅读列式并计算（不必在卷面上画数轴）：求数轴上表示2的点和表示的点之间的距离． 任务二： (2)根据绝对值的意义求字母的值： ①若，则表示的有理数是____________． ②若，求所表示的有理数． 分析：根据绝对值的意义，“”指数轴上表示的点到表示____________的点的距离是4个单位长度，表示的有理数是____________． 任务三： (3)设点在数轴上表示的有理数是，借助数轴解答下列问题：    ①当取整数____________时，的值最小，最小值是____________； ②若，则所表示的有理数是____________；③若，则所表示的有理数是____________． 【答案】(1)9个单位长度 (2)①1或5；②，3或 (3)①、、、、、，5；②或6；③ 【分析】此题主要考查了数轴上两点间的距离的求法，以及相反数和绝对值的含义和求法，熟练掌握数形结合是解题关键． （1）数轴上表示和表示的两个有理数之间的距离可以用表示，，，即可求出． （2）①数轴上表示的点到表示3的点的距离是2个单位长度，有两个值；②数轴上表示必的点到表示的点的距离是4个单位长度，必有两个值，计算即可； （3）①指数轴上表示必的点到表示4和的两点的距离的和，据此求解即可；②指数轴上表示的点到表示4和的两点的距离的和等于9，据此求解即可；③指数轴上表示必的点到表示2和的两点的距离相等，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ∴数轴上表示2的点和表示的点之间的距离为9个单位长度； （2）解：①由题意得，表示的点到表示3的点的距离是2个单位长度， ∴或， 故答案为：1或5； ②由题意得，表示的点到表示的点的距离是4个单位长度， ∴或， 故答案为：，3或； （3）解：①由题意得，指数轴上表示的点到表示4和的两点的距离和， 取与4之间（包含和4），的值最小； 最小值是， 故答案为：、、、、、，5； ②当点在和4之间时，， 点表示的数不在和4之间， 当点在左边时，，， 当点在4右边时，，， ∴的值是或6， 故答案为：或6； ③由题意得，表示数轴上点到2表示的点的距离与到表示的点的距离相等， ∵2到的距离是5个单位长度， ∴， ∴，， ∴的值是， 故答案为：． 【变式题7-1】.（2025七年级上·广东深圳·专题练习）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【定义】一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．如图所示； 【初步理解】 ①若点表示的数是，表示的数是6，点的一次跳跃点表示的数是______，关于点的二次跳跃点表示的数是______，线段的长度为______． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，求出线段的长度． 【答案】①3；9；；②的值不发生变化，，理由见解析；③． 【分析】本题利用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． ①由数轴可得点表示的数是3，结合题意并根据数轴上两点之间的距离公式得出，进而即可得出表示的数，最后再由数轴上两点之间的距离公式计算即可得解； ②由题意可得点表示的数是，再分两种情况：若，若，分别计算即可得解； ③由题意可得一次跳跃点表示的数是，结合，点与点位于点P的两侧，得出点P是中点，由此计算即可得解． 【详解】解：①由数轴可得，点表示的数是3， ∵P表示的数是6， ∴， ∴， ∴表示的数， ∴线段的长度为； 故答案为：3；9；． ②的值不发生变化，，理由如下： 由题意可得：点表示的数是， 若，如图所示： ∵， ∴，即点表示的数是． ∴； 若，如图所示： ，点与点位于点P的两侧， ． ，即点表示的数是． ； 综上所述，的值不发生变化，． ③∵点表示有理数， ∴一次跳跃点表示的数是． ，点与点位于点的两侧， ∴点P是的中点． ∵点P表示的数是p， 点表示的数是， ． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·湖南长沙·月考）定义：若关于x的多项式，且有关于x的多项式．则称为的“原生多项式”，为的“共生多项式”．例如：若“原生多项式”，则“共生多项式”为． (1)①求多项式的“共生多项式”为______． ②若三项式的“共生多项式”为，则为______． (2)已知，若其“共生多项式”的解比关于x的方程的解大1，求a的值． (3)已知关于x的多项式的“共生多项式”为，的“共生多项式”为．无论t为何值，关于x的方程与方程的解都相等，求m，n的值． 【答案】(1)①；② (2)a的值为 (3) 【分析】本题考查整式的新定义下的运算，整式的化简，解一元一次方程，多项式的项与系数，掌握知识点是解题的关键． （1）①根据“共生多项式”定义，多项式每一项的系数乘次数，次数减1；提取的三次项和一次项，计算对应“共生多项式”的二次项和常数项，常数项对应项为0，即可解答．②根据“共生多项式”定义逆向推导，多项式每一项的系数除以次数加1，次数加1；提取的二次项、一次项和常数项，计算对应f(x)的三次项、二次项和一次项，得到三项式，即可解答． （2）先求出，得到，解得，解方程，得，根据题意列方程，得到，解得，即可解答． （3）先求出，得到，则，继而求出，得到，则，根据题意列恒等式，得到 ，推导出，，解得，，即可解答． 【详解】（1）解：①∵，根据“共生多项式”定义： 项对应：， 项对应：， 常数项对应：0， ∴ 故答案为：； ②已知，根据“共生多项式”定义逆向推导： 项对应的项为：， 项对应的项为：， 常数项1对应的项为：， 因此． 故答案为：． （2）解：∵的“共生多项式”为， ∵， ∵， ∴， 解得， 解方程，得， 根据题意列方程，得， 解得． 答：a的值为． （3）解：∵的“共生多项式”为， ∴， ∵， ∴ ， ， ∵的“共生多项式”为， 化简， ∴， ∵， ∴， ， ， ， 根据题意列恒等式，得， 交叉相乘得， 利用恒成立，比较系数得：，， 解得，， 答：． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是． 阅读并解决相应问题，问题发现： 对于数轴上的三个点，给出如下定义：若点到点的距离是点到点的距离的倍（为正整数），则称点是两个点的“整距点”，记为：． (1)初步体会：如图：若，且点在数轴上对应的数是，则 ． (2)类比探究： 如图：点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒，若，求出的值； (3)拓展延伸： 如图：点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动的时间为秒，在运动的过程中，若存在数轴上点满足：，点到点的距离记为，点到点的距离记为，且，求所有符合条件的的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（）根据数轴上两点间距离公式求出和，再根据“整距点”的定义解答即可求解； （））由题意得，运动时间为秒后，点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，即得，，再根据“整距点”的定义列出方程解答即可求解； （）由题意得，运动时间为秒后，点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，设点在数轴上对应的数是，  根据“整距点”的定义可得，解得或，再分两种情况列出方程解答即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，运动时间为秒后，点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是， ∴，， ∵，     ∴ 即或， 解得或； （3）解：由题意得，运动时间为秒后，点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是， 设点在数轴上对应的数是，   ∵ ∴， 即或， 解得或， ∴点在数轴上对应的数是或， ①当点在数轴上对应的数是时， 则，， ∵， ∴， 解得或； ②当点在数轴上对应的数是时， 则，， ∵， ∴， 解得或； 综上所述，的值为或或或． 【题型8】综合实践探究题 1.期末考点总结 核心考点：分步探究与逻辑推理能力、从特殊到一般的规律归纳、情境模型迁移应用、题干规则解读与转化 关联思想：数形结合、分类讨论、类比推理，侧重知识应用与创新思维 2.解题技巧 第一步：拆解题干，提炼核心规则、已知条件与探究目标，明确各小问逻辑关联 第二步：从特殊值入手（如具体日期、分割次数），计算验证初步规律 第三步：紧扣模型本质（如面积求和、数阵规律），类比迁移推导一般结论 第四步：按“规则应用→推导过程→结论验证”分步书写，确保逻辑连贯 【例题8】.（25-26七年级上·河南安阳·期中）综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，图形①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，图形②的面积是图形①面积的一半，图形③的面积是图形②面积的一半……依此类推． (1)根据图1填写下表： 图形 ① ② ③ ④ … ⑦ 面积 … (2)计算：；（请写出计算过程） (3)类比：小华在计算时利用了正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割（如图2），把正方形的面积四等分，阴影部分的面积为；第2次分割（如图3），把上次分割图中空白部分的面积四等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割（如图4），把上次分割图中空白部分的面积四等分，阴影部分的面积之和为…… ①第n次分割后，空白部分的面积是 ； ②请直接写出的值． 【答案】(1)；． (2) (3)①；② 【分析】本题考查了有理数的乘方、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据图1分别求出部分①⑦的面积，再根据阴影部分的面积等于部分⑥的面积的一半即可得； （2）将转化为，再去括号，计算即可得； （3）①根据第次分割后，空白部分的面积归纳类推出一般规律，由此即可得； ②分别计算图形中阴影部分的面积以及空白部分的面积，得出第n次分割后，阴影部分的面积和为，空白部分的面积是，由此可得答案． 【详解】（1）解：由图1可知，①的面积为， ②的面积为， ③的面积为， ④的面积为， ⑤的面积为， ⑥的面积为， ⑦的面积为， 故答案为：；． （2）解： ． （3）解：由图2可知，第1次分割后，空白部分的面积为， 第2次分割后，空白部分的面积为， 第3次分割后，空白部分的面积为， 归纳类推得：第次分割后，空白部分的面积是， 故答案为：． ②根据第n次分割阴影部分的面积和为，则空白部分的面积为：， ∴ 两边同时除以3，得： 【变式题8-1】.（25-26七年级上·山西朔州·期中）综合与实践 如图①是年月份的月历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． 【初步分析】 （1）计算图①中的结果为______；将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为______． 【数学思考】 （2）小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． =（ ） ______． 所以的值均为______． 【拓广探究】 （3）同学们利用小乐的方法，借助图①中的月历，在月历中用“Z型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）0，0；（2），，0，0；（3）的值均为0，见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索,整式加减的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据所给算式计算即可； （2）先得出，再代入计算即可求解； （3）先按框出，再计算后得出结论． 【详解】（1）解：； 将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0． 故答案为：0，0； （2）设，则，，． ． 所以的值均为0． 故答案为：，，0，0； （3）如图， ，，，， 将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·福建龙岩·期中）实践与活动． 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢n进一”就是n进制，n进制的基数为n．为了区分不同的进位制，常在数的右下角表明基数，例如就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材1 十进制数，记作：234．七进制数，记作：．各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数． 素材2 将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如：   素材3 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．二进制的四则运算规则如下： 加法：，，， 减法：，，， （同一数位不够减时，向高一位借1当2） 解决问题 任务1 探究不同进位制的数之间的转换并写出解题过程． （1）将数转化成十进制数的值为多少？ （2）将数转化成二进制数的值为多少？ 任务2 探究进位制数的加法运算并写出解题过程． （3）（       ） （4）（        ）． 【答案】（1）89；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了数的进制，含乘方的有理数的混合运算，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意进行计算即可得解； （2）根据题意进行计算即可得解； （3）根据二进制的算法计算即可得解； （4）类比二进制的算法计算即可得解． 【详解】解：（1）； 故答案为：89； （2）， ∴数转化成二进制数的值； 故答案为：； （3） ； 故答案为： （4） ． 故答案为：． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·湖北武汉·期中）问题背景：如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置对应的数分别是，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）． 实践操作：甲、乙两人同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果移动棋子（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），移动规则如下：①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度；②若乙赢，则乙将白棋向左移动2个单位长度，同时甲将黑棋向左移动1个单位长度：③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度．前四局的部分手势情况如下表： 局次 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪刀 布 布 乙的手势 石头 布 石头 （1）从起始位置开始，第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是_______，________； （2）第三局结束时黑棋在数轴上的位置所对应的数为_______，此时，黑棋和白棋间的距离为________个单位长度； （3）若第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是4，则乙第四局的手势是___________，在前四局中，数轴上黑棋和白棋间的最小距离为___________个单位长度． 迁移拓展：在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置对应的数分别是，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）． 甲、乙两人同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果移动棋子（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），移动规则如下： ①若甲赢，则甲将黑棋向右移动3个单位，同时乙将白棋向右移动1个单位长度； ②若乙赢，则甲将黑棋向左移动1个单位，同时乙将白棋向左移动3个单位长度； ③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位，同时乙将白棋向左移动1个单位长度． （4）游戏开始时，黑白棋子间的距离表示为___________；若甲赢，则黑棋所在位置表示的数为___________，白棋所在位置表示的数为___________；若乙赢，则黑棋所在位置表示的数为___________，白棋所在位置表示的数为___________；若平局，则黑棋所在位置表示的数为___________，白棋所在位置表示的数为___________；进行若干局后，若，两棋能否正好相遇，直接写出所需的最少局数___________．（不需要说明理由） 【答案】（1），；（2），；（3）剪刀，5；（4），，，，，，，若，两棋能正好相遇，5 【分析】本题考查了数轴上点的移动，有理数的加减运算，数轴上两点间的距离，整式加减的应用等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先确定第一局平局，则依据题意列式计算即可； （2）按照规则求出第三局结束后黑白棋在数轴上的位置，即可求出黑白棋之间的距离； （3）先确定第四局是乙赢，即可确定乙的手势，再分别求出每一局结束后黑白棋之间的距离，再比较大小即可； （4）由数轴上两点间的距离公式即可填空；然后分析确定每局中，甲乙之间的距离一定减少2，即可确定两棋正好相遇所需的最少局数． 【详解】解：（1）第一局平局，则黑棋在数轴上的位置所对应的数为，白棋在数轴上的位置所对应的数为， 故答案为：，； （2）第二局甲胜，则黑棋在数轴上的位置所对应的数为，白棋在数轴上的位置所对应的数为；第三局甲胜，则黑棋在数轴上的位置所对应的数为，白棋在数轴上的位置所对应的数为， ∴此时黑棋和白旗间的距离为， 故答案为：，； （3）∵第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是4，而第三局白棋在数轴上的位置所对应的数为， ∴白棋向左移动2个单位长度， ∴第四局乙胜， 而甲的手势是布， ∴乙第四局的手势是剪刀； 第一局中，数轴上黑棋和白棋间的距离为；第二局中，数轴上黑棋和白棋间的距离为；第三局中，数轴上黑棋和白棋间的距离为；第四局中，数轴上黑棋和白棋间的距离为； ∴在前四局中，数轴上黑棋和白棋间的最小距离为个单位长度， 故答案为：剪刀，5； （4）游戏开始时，黑白棋子间的距离表示为；若甲赢，则黑棋所在位置表示的数为，白棋所在位置表示的数为；若乙嬴，则黑棋所在位置表示的数为，白棋所在位置表示的数为；若平局，则黑棋所在位置表示的数为，白棋所在位置表示的数为； 由题意得，开始时， 若甲赢，则黑白棋相距，则距离减少2； 若乙赢，则黑白棋相距，则距离减少2； 若平局，则黑白棋相距，则距离减少2； ∴每局中，甲乙之间的距离一定减少2， ∵， ∴两棋能正好相遇，所需的最少局数为， 故答案为：，，，，，，，5． 同步练习 1．（25-26七年级上·吉林四平·月考）如图，在数轴上点对应的数是，点对应的数是，两动点、同时从原点出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向点运动；点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，到达点后停留秒，再从点沿数轴向右到达点后停止运动．设点的运动时间为秒． (1)在点从点向点运动的过程中，点表示的数为___________（用含的代数式表示）； (2)当时，求点与点之间的距离； (3)在运动过程中，当点与点重合时，求的值； (4)在点停止运动之前，当点与点之间的距离为时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)的值为或或． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，列代数式，一元一次方程的实际应用，数轴上两点间的距离公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出代数式即可； （）由题意可得点表示的数为，当时，点表示的数为，点表示的数为，然后通过数轴上两点间的距离公式即可求解； （）由（）（）得，点表示的数为，点表示的数为，则当点与点重合时，，然后求出的值即可； （）分为当从向运动时，，当在点停留时，，当没有追到前，，当追到后，几种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵点到达点需要秒，再停留秒，然后往点运动， ∴点从向运动的过程中，点表示的数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得点表示的数为， 当时，点表示的数为，点表示的数为， ∴点与点之间的距离为； （3）解：由（）（）得，点表示的数为，点表示的数为， ∴当点与点重合时，， 解得：； （4）解：由题意得点到达点需要（秒）； 当从向运动时，， ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得：，不符合题意； 当在点停留时，， ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得：，符合题意； 当没有追到前，， ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得：，符合题意； 当追到后，， ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得：，符合题意； 综上可得：的值为或或． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期中）阅读下列材料，解答问题： 材料一：如果一个两位数的个位上的数字是b，十位上的数字是a，那么我们可以把这个两位数记为，．同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如_______． 材料二：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若能被3整除，试说明：这个三位数也能被3整除． 解：根据题意，得这个三位数为． 因为能被3整除，能被3整除， 所以这个三位数能被3整除． (1)补充材料一：______． (2)【能力提升】依据材料二请说明：能被11整除； (3)【类比拓展】判断一个三位整数能否被7整除，只需看去掉这个数的末位数字后，所得到的数与此末尾数字5倍的和能否被7整除，如果这个和能被7整除．则原数就能被7整除．你能解释其中的道理吗? 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查整式加减的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （3）设一个三位整数为，去掉该三位数的末尾数字后所得的数为，所以所得到的数与此末尾数字5倍的和为，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为； （2）解：由题意得：， ∴， ∵，且a、c是正整数， ∴能被11整除； （3）解：设一个三位整数为，去掉该三位数的末尾数字后所得的数为，所以所得到的数与此末尾数字5倍的和为， ∴， ∵能被7整除，且能被7整除， ∴该三位数能被7整除． 3．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础．小海在草稿纸上画了一条数轴，如图是数轴的一部分（不完整），并利用折叠进行下列的操作探究： (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与_________表示的点重合；表示的点与_________表示的点重合； (2)操作二：折叠纸面，若使5表示的点与表示的点重合： ①设折痕处对应的点记为C，则C点表示的数是_________； ②表示的点与_________表示的点重合； ③数轴上从左往右有A、B两点，表示的数分别为a和b，若折叠后A，B两点重合，且A，B两点的距离为4050，求a，b的值． 【答案】(1)6；2025 (2)①1；②3；③； 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，折叠的性质，熟知数轴的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可知数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称，由此即可得到答案； （2）①根据折叠的性质求解即可； ②据折叠的性质求解即可； ③根据结合A、B关于1对称进行求解即可． 【详解】（1）解：∵1表示的点与表示的点重合， ∴数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称， ∴数轴上数表示的点与数6表示的点重合；表示的点与2025表示的点重合； 故答案为：6；2025； （2）解：①∵5表示的点与表示的点重合， ∴数轴上数5表示的点与数表示的点关于数1表示的点对称， ∴C点表示的数是1． 故答案为：1； ②∵折痕C点表示的数是1， ∴表示的点与3表示的点重合； 故答案为：3； ③∵折痕C点表示的数是1，， ∴点A、B到1的距离均为2025， 又∵A在B的左侧， ∴A点表示的数是，B表示的数是． 4．（25-26七年级上·江西赣州·月考）项目主题：“火锅里的数学”——确定最省钱的付款方案 项目背景：火锅文化源远流长，现存最早的火锅器具是商周时期的青铜“温鼎”，在汉代曹操《四时食制》中就有记载“五熟釜”，是分格火锅的雏形．寒冷的天气，大家围在一起吃上一顿热气腾腾的火锅成为不少家庭的选择，小超与家人计划去季季红吃火锅． 数据收集：火锅店，推出以下两种优惠方式并规定两种优惠方式不能同时享受： 方式一 使用美团支付，在美团购买100元代金券，每张70元，每次消费最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方式二 现场支付，除锅底不打折外，其余菜品全部a折． 问题解决：小超点了260元菜品，其中包含一份40元锅底，使用方式二买单支付了194元． (1)根据题意，若用方式一买单，应付款 元； a的值为 ； (2)若小超点了280元菜品，其中包含一份40元锅底，则应选哪种购买方式更优惠？ (3)当小超一家点了多少元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等？ 【答案】(1)200；7 (2)方式二 (3)140元，240元或340元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据优惠方式一计算即可；根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）根据优惠方式一和方式二分别计算买单支付的金额，再比较大小即可得出结论； （3）设小超一家点了元菜品，其中，分4种情况讨论：①；②；③；④，根据题意列出方程，求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：用方式一买单，可以购买2张100元代金券，再额外支付60元，应付款（元）； 根据题意，得， 解得； 故答案为：200；7； （2）解：选方式一买单，可以购买2张100元代金券，再额外支付80元， 则应付款（元）； 选方式二买单，应付款（元）； ∵， ∴应选方式二更优惠； （3）解：设小超一家点了元菜品，其中， 用方式二买单，则应付款元， ①当时， 用方式一应付款元， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）； ②当时， 用方式一买单，可以购买1张100元代金券，再额外支付元， 应付款元， 根据题意，得， 解得； ③当时， 用方式一买单，可以购买2张100元代金券，再额外支付元， 应付款元， 根据题意，得， 解得； ④当时， 用方式一买单，可以购买3张100元代金券，再额外支付元， 应付款元， 根据题意，得， 解得； 答：当小超一家点了140元，240元或340元菜品时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等． 5．（25-26七年级上·山东临沂·期中）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”．当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点P、Q在数轴上分别表示有理数p、q，P、Q两点之间的距离表示为．阅读以上材料，回答以下问题： 如图，在数轴上有A、B两点，A、B两点所表示的有理数分别是和，其中k为最大的负整数． (1)求A、B两点之间的距离； (2)若动点P、Q分别从A、B两点同时出发，相向而行，点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为4个单位/秒，运动t秒后，用含t的代数式分别表示点P和点Q在数轴上所表示的数； (3)在（2）的条件下，t为何值时，并求此时的． 【答案】(1)14 (2)点P表示的数是，点Q表示的数是； (3)或时，；当时，；当时， 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离、绝对值方程、整式的加减运算及代数式的值，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得，则有，，然后根据数轴上两点距离可进行求解； （2）由（1）知，点A所表示的数是，点B所表示的数是8，由题意得，，然后根据数轴上有理数的表示可进行求解； （3）由（2）得，点Q表示的数为，点P表示的数为，则有，然后可得或，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵k为最大的负整数， ∴， ∴，， ∴； （2）解：由（1）知，点A所表示的数是，点B所表示的数是8， 根据题意可得，，， 所以t秒后点P表示的数是， t秒后点Q表示的数是； （3）解：由（2）得，点Q表示的数为，点P表示的数为， ∴， ∵， ∴或， ∴或， 当时，点P表示的数：，点B表示的数：8， 所以， 当时，点P表示的数：，点B表示的数：8， 所以， 综上所述当时，；当时，． 6．（2025七年级上·重庆·专题练习）将一个数轴弯折成如图所示的样子，我们称这样的数轴为“过山车数轴”，在这个数轴上每个点对应的数就是把数轴拉直后对应的数． 规定：（线段的长度）为两点在拉直后的数轴上的距离． 点表示的数是，点表示的数是，则． (1)若为“过山车数轴”上一点且，请直接写出点表示的数． (2)定义：在“过山车数轴”的上坡阶段（从到或从到），点运动的速度是点在水平路线上运动速度的一半；在下坡阶段（从到或从到），点运动的速度是点在水平路线上运动速度的倍．动点从点出发以每秒个单位的速度向右运动，经过点，点，点，到点后立即以原速度沿反方向运动，回到点时停止．在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，经过点，点，点后继续运动．点停止运动时，点也停止运动．设点运动的时间为秒，问： ①点在第 秒时回到点． ②点和点在第 秒时重合． ③当 时，． 【答案】(1)或 (2)①；②或；③或或或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （）设点表示的数为，分点在点左侧和右侧两种情况，利用数轴上两点间距离公式列出方程解答即可； （）①由题意可得点从点到点的时间为秒，从点到点的时间为，从点到点的时间为秒，从点到点的时间为秒，从点到点的时间为秒，从点到点的时间为秒，从点到点的时间为秒，从点到点的时间为秒，再相加即可求解； ②由①可知，点从点到点的时间为秒，到点的时间为秒，到点的时间为秒，到点的时间为秒，再返回到点的时间为秒，返回到点的时间为秒，返回到点的时间为，返回到点的时间为秒，又由题意可得，点从点到点的时间为秒，到点的时间为秒，到点的时间为秒，到点的时间为秒，进而可知当点向右运动时，与点在线段上相遇；当点向左运动时，与点在点间相遇，分别列出方程解答即可求解； ③当点和点重合时，有，此时或；当点是线段的中点时，有，进而可得或，综上即可求解． 【详解】（1）解：设点表示的数为， 当点在点左侧时，则， 解得； 当点在点右侧时，则， 解得； 综上，点表示的数为或； （2）解：①点从点到点的时间为秒，从点到点的时间为，从点到点的时间为秒，从点到点的时间为秒，从点到点的时间为秒，从点到点的时间为秒，从点到点的时间为秒，从点到点的时间为秒， ∴总的时间为秒， 即点在第秒时回到点， 故答案为：； ②由①可知，点从点到点的时间为秒，到点的时间为秒，到点的时间为秒，到点的时间为秒，再返回到点的时间为秒，返回到点的时间为秒，返回到点的时间为，返回到点的时间为秒， 又由题意可得，点从点到点的时间为秒，到点的时间为秒，到点的时间为秒，到点的时间为秒， ∴当点向右运动时，与点在线段上相遇， 则有， 解得； 当点向左运动时，与点在点间相遇， 则由， 解得； 综上，点和点在或秒时重合， 故答案为：或； ③当点和点重合时，有，此时或； 当点在线段上且点是线段的中点时，有， 则， 解得； 当点在之间且点是线段的中点时，有， 则， 解得； 综上，当或或或时，， 故答案为：或或或． 7．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知在数轴上所表示的数分别为，且． (1)___________，___________； (2)①有一个玩具火车如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．则玩具火车的长为___________个单位长度； ②如图所示，将第①题中的玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，直接写出此时点所表示的数． (3)在（）的条件下，当火车以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点和点从出发，分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为，是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②或 (3)存在，使得的值与它们的运动时间无关，定值为 【分析】（）根据非负数的性质解答即可； （）①由数轴上两点间距离公式的，又由题意可得，进而即可求解；②设点表示的数为，则点表示的数为，由题意可知两点只能在点的右侧， 即只能向右运动，再根据题意列出方程解答即可求解； （）设运动时间为，分所表示的数为和所表示的数为两种情况，利用数轴上两点间距离公式分别表示出和，进而表示出，再根据的值与它们的运动时间无关求出的值即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：①由（）知，，， ∴， 又由题意可得，， ∴， 即玩具火车的长为个单位长度， 故答案为：； ②设点表示的数为，则点表示的数为， ∵点在的右侧，当时，可知， ∴两点只能在点的右侧， ∴只能向右运动，即， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∴点所表示的数为或； （3）解：存在，使得的值与它们的运动时间无关，定值为，理由如下： 设运动时间为， 分两种情况：①当所表示的数为时，则点表示的数为，如图， ∴ 运动时，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， ∴，， ∴， 当的值与它们的运动时间无关时，则， 解得，此时定值为； ②当所表示的数为时，则点表示的数为，如图， ∴ 运动时，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， ∴，， ∴， 当的值与它们的运动时间无关时，则， 解得，此时定值为； 综上，存在，使得的值与它们的运动时间无关，定值为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，整式的加减无关型问题，理解题意是解题的关键． 8．（25-26七年级上·四川达州·期中）将一副直角三角板按如图①摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转． (1)如图②，当____时，平分，此时____． (2)继续旋转三角板，使得，同时在直线的右侧，如图③，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动． ①当____时，； ②请直接写出在旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析 (3)①或12；② 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系、用代数式表示旋转过程中的角是解题的关键． （1）先由角平分线定义求出的度数，结合旋转速度算时间；再利用，通过角的和差求． （2）用表示和，通过角的差得到，再推导其与的数量关系． （3）①用表示和，结合列绝对值方程求解；②用表示旋的角度和，推导数量关系即可． 【详解】（1）解：∵，且平分， ， ∵三角板的旋转速度是每秒， ， 又∵，， ； （2）解：，理由如下： 由旋转可知，且， ， 又∵， ； （3）解：①由旋转可知，，且， ， ∵， ∴， ，即， 当时， 解得； 当时， 解得． ∴当或12时，； ②由旋转可知，，，， ∴转动的角度为，， ， 又∵，即， ． 学科网（北京）股份有限公司 $