精品解析：福建省厦门外国语学校2025届高三8月月考数学试题

厦门外国语学校2025届高三8月份暑期辅导效果反馈 数学学科 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分．限时时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案：在试卷上做答无效． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁和平整． 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题. 【详解】命题“”为全称量词命题， 其否定为：. 故选：A 2. 已知，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，即可根据集合间关系求解. 【详解】由得，由可得， 故，其它都不正确. 故选：B 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合不等式的性质分充分性、必要性两方面进行说明即可求解. 【详解】若，则函数单调递增，所以，充分性成立； 当时，，满足，但，不满足必要性； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据符号法则将不等式转化为两个不等式组，结合图象即可解出． 【详解】原不等式等价于或，结合的图象可得， 或，解得或或． 故选：D． 5. 若函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用求导，将函数在给定区间上为增函数转化为不等式在上恒成立问题，即求出二次函数在上的最大值即得. 【详解】由可得， 因在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立， 而函数在上单调递减，则， 故，即a的取值范围是. 故选：A. 6. 中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（ ）（附：） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和8000时的比值即可求解. 【详解】由题意可得，当时，， 当时，， 所以 ， 所以的增长率约为. 故选：D 7. 已知是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，求导，可得在上的单调性，将a，b，c变形整理，结合单调性，即可得答案. 【详解】由于比较，，大小， 即比较，，大小即可. 设函数，则， 因为，所以， 所以在上是增函数，且， ，， 则，所以， 故选：A 8. 函数与函数公切线的斜率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先设切点分别为，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算值即可. 【详解】设切点分别为， 且导数为， 所以切斜方程为既为， 也为， 所以， 且， 所以， 所以或， 所以公切线的斜率为或. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数上设不同切点并求切线方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分数分． 9. 已知是奇函数，是偶函数，则函数的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，即可得解. 【详解】解：因为是奇函数，是偶函数， 所以， 则， 所以函数为偶函数， 则函数的大致图象可能为AC. 故选：AC. 10. 函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象关于轴对称 B. 在上单调递减 C. 的值域为 D. 若，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用偶函数的定义可判断A；根据定义域可判断B；根据的范围求出的值域可判断C；根据的单调性可得，且，解不等式求出的范围可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，，所以为偶函数， 图象关于轴对称，故A正确； 对于B，因为函数的定义域为，所以在上不具备单调性， 故B错误； 对于C，当时，， 又因为为偶函数，所以，故C错误； 对于D，当时，，所以在单调递减， 又因为为偶函数，若，则，且， 解得，则的取值范围为，故D正确. 故选：AD. 11. 数学有时候也能很可爱，如题图所示是小D同学发现的一种曲线，因形如小恐龙，因此命名为小恐龙曲线.对于小恐龙曲线，下列说法正确的是（ ） A. 该曲线与最多存在3个交点 B. 如果曲线如题图所示(x轴向右为正方向，y轴向上为正方向)，则 C. 存在一个，使得这条曲线是偶函数的图像 D. 时，该曲线中的部分可以表示为y关于x的某一函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】AB项，转化为三次方程根的个数问题研究；C项，举特例说明存在值使曲线是偶函数的图象；D项，令，由零点存在性定理说明方程至少两根，对应值不唯一即可说明不是的函数. 【详解】A项，曲线方程， 令，得关于的一元三次方程， 令，则， 最多两根，即函数最多两个极值点， 即方程最多有三个实根，故A正确； B项，若曲线如题图所示，则存在，使得与曲线图象有三个交点， 即存在，关于的方程有三个实根. 令，则， 假设，，都有，即单调递增， 则方程在最多有一个实根，与题图矛盾，假设错误. 故，B正确； C项，当时，曲线即函数的图象， 设，，定义域关于原点对称. 且，所以是偶函数. 故存在，使得曲线是偶函数的图象，故C正确： D项，当时，曲线方程为. 令，得， 令，则， 由零点存在性定理知至少两根，则对应的值不唯一，不符合函数定义，故D错误； 故选：ABC. 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】令，可得，进而代值计算即可. 【详解】令，则，即，则， 所以. 故答案为：. 13. 奇函数满足，当时，，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由题意借助赋值法可得函数的周期性，结合函数解析式与对称性计算即可得解. 【详解】由题意，得，在中， 以替换，得， 以替换式中的，得， 所以，所以4为函数的一个周期， 所以. 故答案为：1. 14. 对于集合子集，定义的“特征数列”为，，，，其中，其余项均为0，例如子集的“特征数列”为0，1，1，0，0，，0． （1）子集的“特征数列”的前四项和等于______； （2）若的子集的“特征数列”，，，满足，，，的子集的“特征数列”为，，，，满足，，，则的元素个数为______． 【答案】 ①. 3 ②. 33或34 【解析】 【分析】（1）根据“特征数列”定义写出子集的“特征数列”再求解即可； （2）根据所给信息直接写出P，Q的“特征数列”分析即可 【详解】（1）子集的“特征数列”为1，0，1，1，1，0，0，…，0，所以． （2）P的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，…，1，0， Q的“特征数列”满足，且，或，故为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，0，1或1，0，1，1，0，1，…，0，1，1， 则，或.考虑P，Q的“特征数列”周期的最小公倍数为6，一个周期内的元素个数为2，且共，故的元素共或，即33或34个． 故答案为：3,33或34. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知幂函数的图象不经过原点． （1）求的值； （2）若，试比较与的大小． 【答案】（1）0 （2）当时，；当时. 【解析】 【分析】（1）幂函数的定义和图象的性质得到方程和不等式，即可解得结果； （2）由（1）得到函数解析，然后写出函数的单调区间.讨论，由幂函数的图象及函数单调性得到结论. 【小问1详解】 ∵函数为不经过原点的幂函数， ∴，∴. 小问2详解】 由（1）得， ∴函数在上单调递减，在上单调递减. 当时，，此时； 当时，令，函数为开口向上的二次函数，且函数判别式， ∴，即当时，，此时. 综上，当时，；当时，. 16. 已知函数，其中． （1）若时，求函数在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分，，三种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，，则， 而，则， 所以函数在处的切线方程为. 【小问2详解】 由，， 则， 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，，此时， 则函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 17. 已知定义在的函数 （1）若在取得极值，求的值； （2）若为单调函数，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求导得，根据，代入计算求出值并验证即可； （2）转化为或在上恒成立，再分离参数并求出右边最值即可. 【小问1详解】 ，， 若在取得极值，则，即， 即，解得. 此时，， ，， 令， 即，因为，则， 解得，则， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则在取得极大值，符合题意， 故. 【小问2详解】 若为单调函数，则或在上恒成立，且在有限点处取得， 当恒成立时，则在上恒成立， 因，则，则， 即在上恒成立， 设，则，，则在上恒成立， 则在上单调递减，则， 则，经验证当时，此时不是常数函数，符合题意； 当恒成立时，分离参数得在上恒成立， 同理设，因为在上单调递减，且时，， 则无实数解，舍去. 综上所述，. 18. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）设全集，，. （i）求实数的值； （ii）记集合，求中元素的个数. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用换元法与导数可求得集合，进而可求； （2）（i）由已知可得，所以，利用可得，可求解；（ii），由题意可得有两个实数，满足，进而可得结论. 【小问1详解】 由题意知，， 解得， 所以， 当时，， 设，则，，令，， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 可得， 所以. 【小问2详解】 （i）因为，所以，可得， 因为且， 可得， 所以，解得. （ii）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 因为，， 而， 所以由的图象可知，有且只有两个实数，满足， 可得或，解得或， 所以方程有两个解， 即中元素的个数为. 19. 微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下: 如果函数在闭区间上连续，在开区间可导，导数为，那么在开区间内至少存在一点，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数. （1）若，求函数在上“拉格朗日中值点”； （2）若，求证:函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于； （3）若，且，求证:. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，解得即可； （2）不妨设，，，则，求出函数的导函数，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明，再结合拉格朗日中值定理证明即可； （3）由拉格朗日中值定理可知只需证明，即证明在上单调递减，求出导函数，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可得证. 【小问1详解】 当时，则， 因为为函数在上的“拉格朗日中值点， 则， 即，解得 【小问2详解】 当时， 不妨设，，，则， 又，令， 则， 又，所以恒成立， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值， 所以，所以， 由拉格朗日中值定理可知必存在使得， 即，又，所以， 即函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于； 【小问3详解】 当时， 由拉格朗日中值定理知，存在和， 使得，， 所以只需证明，即证明在上单调递减， 又， 令， 则， 令， 则， 当时， 令，，则，则在上单调递增， 又，， 所以存在使得， 所以当时，则，即单调递增， 当时，则，即单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值， 所以 ， 所以，所以在上单调递减， 即在上单调递减，命题得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门外国语学校2025届高三8月份暑期辅导效果反馈 数学学科 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分．限时时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案：在试卷上做答无效． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁和平整． 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列选项中正确的是（ ） A B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式解集为（ ） A. B. C D. 5. 若函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 中国5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（ ）（附：） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 函数与函数公切线的斜率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分数分． 9. 已知是奇函数，是偶函数，则函数的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 函数，下列结论正确是（ ） A. 图象关于轴对称 B. 在上单调递减 C. 的值域为 D. 若，则的取值范围为 11. 数学有时候也能很可爱，如题图所示是小D同学发现的一种曲线，因形如小恐龙，因此命名为小恐龙曲线.对于小恐龙曲线，下列说法正确的是（ ） A. 该曲线与最多存在3个交点 B. 如果曲线如题图所示(x轴向右为正方向，y轴向上为正方向)，则 C. 存在一个，使得这条曲线是偶函数的图像 D. 时，该曲线中的部分可以表示为y关于x的某一函数 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数，则___________． 13. 奇函数满足，当时，，则__________. 14. 对于集合的子集，定义的“特征数列”为，，，，其中，其余项均为0，例如子集的“特征数列”为0，1，1，0，0，，0． （1）子集的“特征数列”的前四项和等于______； （2）若的子集的“特征数列”，，，满足，，，的子集的“特征数列”为，，，，满足，，，则的元素个数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知幂函数的图象不经过原点． （1）求的值； （2）若，试比较与的大小． 16. 已知函数，其中． （1）若时，求函数在处切线方程； （2）当时，求函数的单调区间． 17. 已知定义在的函数 （1）若在取得极值，求的值； （2）若为单调函数，求的取值范围． 18. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）设全集，，. （i）求实数的值； （ii）记集合，求中元素的个数. 19. 微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下: 如果函数在闭区间上连续，在开区间可导，导数为，那么在开区间内至少存在一点，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数. （1）若，求函数在上的“拉格朗日中值点”； （2）若，求证:函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于； （3）若，且，求证:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $