精品解析：四川省达州市第一中学校2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试卷

达一中高2025级2025年秋季第二次月考 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合..若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（   ） A. 或 B. 或 C. D. 3 已知，则（ ） A 50 B. 48 C. 26 D. 29 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，，则的图象大致是（ ） A B. C. D. 6. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义域为的函数单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数a，b满足，，则（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（    ） A. 命题“”否定是“” B. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 C. 若，则“”的充分不必要条件是“” D. “”是“”的充分不必要条件 10. 已知函数，且，则（    ） A. b＝1 B. 是减函数 C. 函数的值域为 D. 不等式的解集为 11. 用表示不小于最小整数，例如，，．已知，则（   ） A. B. 为奇函数 C. 的值域为 D. 方程所有根的和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知：关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为__________. 13. 函数（且）的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则_________． 14. 当时，函数（，且）的图象恒在函数的图象下方，则a的取值范围为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 令，. （1）分别求和； （2）若，且，求. 16. 已知函数，，. （1）当时，解不等式； （2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （3）若对任意，任意，使得不等式成立，求实数的取值范围. 17. 某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）． （1）求利润的函数解析式； （2）当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）解不等式； （3）若在区间上的最小值为，求的值． 19. 已知函数，其中且. （1）若的图象过点，求实数的值； （2）若方程有两个实数根，且，求实数的取值范围； （3）若，，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达一中高2025级2025年秋季第二次月考 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合..若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合中交集的运算法则求解即可. 【详解】集合.. ， . 故选：C 2. 命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（   ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式恒成立进行求解． 【详解】因为“，”为真命题，即恒成立， 则，即，解得， 故选：C. 3. 已知，则（ ） A. 50 B. 48 C. 26 D. 29 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法，令即可求解. 详解】解：令，则． 故选：A. 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 5. 已知函数，，则的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出时，，可排除A、B、D． 【详解】令，则，所以， ，故可排除A、B、D． 故选：C． 6. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式和可得． 【详解】由题意得：，解得：， 由，解得：， 故函数的定义域是， 故选：C. 7. 已知定义域为的函数单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次函数和反比例函数的单调性，列出不等式求解即可. 【详解】由题意在上单调递增，则解得． 故选：D． 8. 已知实数a，b满足，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式，对数的运算法则及指数函数与对数函数的单调性判定即可. 【详解】易知在上单调递增，且， 故， 即 ， 又在R上单调递增，且时有， 所以时有， 故，可排除C、D. 令 ， 故 ， 即有，所以， 即，即，故 ，故. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（    ） A. 命题“”的否定是“” B. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 C. 若，则“”充分不必要条件是“” D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据命题的否定即可判断A；利用根的判别式即可判断B；根据充分条件和必要条件的概念及不等式的性质可判断CD 【详解】对于A，命题“”的否定是“”，故A正确； 对于B，∵命题“，”为假命题， 则关于x的方程无实数根， 故，解得，故B正确； 对于C，∵可得；但当，时，有； ∴“若，则是的必要不充分条件，故C错误； 对于D，当“”时，则“”成立；但当“”时，“或”； 故“”是“”的充分不必要条件，故D正确． 故选：ABD. 10. 已知函数，且，则（    ） A. b＝1 B. 是减函数 C. 函数的值域为 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由求出可判断A；利用可判断B；利用分离常数法求值域可判断C；利用单调性和奇偶性可判断D． 【详解】，解得，A正确； ，是上的单调递增函数，B错误； ∵，∴，，， ∴，∴的值域为，C正确； 的定义域为，∵，∴为奇函数， ∵， ∴，即， 解集为，D正确． 故选：ACD． 11. 用表示不小于的最小整数，例如，，．已知，则（   ） A. B. 为奇函数 C. 的值域为 D. 方程所有根的和为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用新函数的定义直接计算可判定A，利用特殊值可判定B，分区间结合定义可判定C，分类讨论解方程可判定D. 【详解】对于A，易知，故A正确； 对于B，因为，且， 即，所以函数不是奇函数，故B错误； 对于C，由定义不妨设时，则， 可得，所以的值域为，故C错误； 对于D，，因为，即，解得， 当时，满足方程，即是方程的根； 当时，，故，解得， 故方程所有根的和为，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知：关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法，得到，且，从而得所求不等式等价于，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 则方程的两根为和，且， 所以，得到，且， 由，得到，即， 即，解得，所以不等式的解集为， 故答案为：. 13. 函数（且）图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则_________． 【答案】27 【解析】 【分析】根据对数函数的性质求得定点A的坐标，再据此求出的表达式，最后再求的值即可． 【详解】由题意，，则，函数恒过的定点A为， 设，∵过A点，∴，解得， ∴，∴． 故答案为：27． 14. 当时，函数（，且）的图象恒在函数的图象下方，则a的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，得当时不等式恒成立，即，令，，分类讨论和两种情况，并在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，由图像得到关于a的不等式，解不等式得解 【详解】由题意，得当时不等式恒成立，即， 令，，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象， 当时，如图所示， 由图可知，，恒成立，故不满足题意； 当时，如图所示， 由图可知，要，恒成立， 需，即，解得，故 综上可知： a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图像在 上方即可)； ③讨论最值或恒成立 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 令，. （1）分别求和； （2）若，且，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数与对数运算性质可得P，Q. （2），且，利用对数换底公式可得，，代入解出即可得出. 【小问1详解】 解： . . 【小问2详解】 解：，且， ∴，， ∴，可得， ∴. 16. 已知函数，，. （1）当时，解不等式； （2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （3）若对任意，任意，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）把代入解析式，解一元二次不等式即可；（2）把问题转化为求在恒成立，令，，当，成立；当，只需，求解即可得解；（3）把问题转化，，对于，对称轴， ；对于，对称轴，对称轴与区间端点值的大小进行讨论即可得出结论. 【详解】解：（1）时，， 令， 得：， 解得：， 所以的解集为：； （2）若对任意，都有成立， 即在恒成立， 令，， ， 即时， 和轴无交点，开口向上，符合题意， 时，解得：或， 只需， 解得：， 又或， 得； 综上：实数的取值范围是； （3）若对任意，任意，使得不等式成立， 即只需满足，， ，对称轴， 在递减，在递增， ∴， ， 对称轴， ① ， 即时，在递增， 恒成立； ② ， 即时， 在递减，在递增， ，， ∴ ， 故：； ③ ， 即时，在递减， ，， ∴， 解得：， 综上：实数的取值范围为：. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 17. 某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）． （1）求利润的函数解析式； （2）当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元 【解析】 【分析】（1）结合题意，利用分段函数模型求出解析式即可； （2）当时，由基本不等式求解；当时，由二次函数的性质求解，综合可得答案. 【小问1详解】 由题意，， 即； 【小问2详解】 当时，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最大值52； 当时，， 所以当时，取得最大值，最大值为， 所以当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元． 18. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）解不等式； （3）若在区间上的最小值为，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质即可求解； （2）结合函数的单调性及奇偶性即可求解； （3）令，可得，求出t的范围进一步再对m分类讨论，即可求得的最小值，结合题意即可得m的值． 【小问1详解】 是定义域为上的奇函数， ，，，， 此时，， 经检验，符合题意． 【小问2详解】 ，为增函数，为减函数， 是在上单调递增的奇函数， 由可得， ，即， 或， 不等式的解集为或． 【小问3详解】 ，， ， 令，，， ， 当时，当时，，则（舍去）； 当时，当时，，解得，符合要求； 综上所述，或． 19. 已知函数，其中且. （1）若的图象过点，求实数的值； （2）若方程有两个实数根，且，求实数的取值范围； （3）若，，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入点的坐标，即可求出参数的值； （2）利用换底公式化方程为，利用换元法及韦达定理得，根据解出的范围； （3）根据指数与对数的关系得到、，从而得到，再设，，即可得到，再求出的取值范围，即可求出的最小值，从而得解. 【小问1详解】 因图象过点， 所以，即， 所以，即，解得. 【小问2详解】 因为，则， 因为且，所以， 可化为，整理得， 所以原式可化为， 令，则有， 所以， 所以方程有两个根， 设为、，且，， 所以，， 则， 又因为， 所以， 因为，所以， 所以，即， ，，， ，， 又因为，所以. 【小问3详解】 因为，所以， 又，得到， 所以， 设，，所以， 又，当且仅当取等号， 所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以， 所以，又在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以当时取得最大值，即，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $