5.5 用二次函数解决问题同步基础练习题 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

5.5 用二次函数解决问题 同步基础练习题 一．选择题 1．如图，一个小球在斜坡上由静止开始向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（米）与时间t（秒）的数据如下表： 时间t/秒 1 2 3 4 … 距离s/米 3 12 27 48 … 则3.5秒时，这个小球滚动的距离s（米）的值为（　　） A．37.5 B．36.75 C．36 D．34.5 2．某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x的变化而变化，y与x之间的关系为（　　） A．y＝2x2 B．y＝2（1+x）2 C．y＝2（1﹣x）2 D．y＝2+2x 3．某果园有10棵苹果树，平均每一棵树可以结200个苹果．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个苹果，现果园增种了x棵苹果树，若苹果总个数为y（个），则下列y与x的关系式中哪一个是正确的（　　） A．y＝（10+x）（200+5x） B．y＝（10+x）（200﹣5x） C．y＝（10﹣x）（200+5x） D．y＝（10﹣x）（200﹣5x） 4．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2．那么飞机着陆后到静止，滑行的距离的值等于该抛物线（　　） A．顶点的横坐标 B．顶点的纵坐标 C．与x轴的右交点的横坐标 D．与y轴交点的纵坐标 5．某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10米长的围栏，准备围成两边靠墙（两墙垂直且足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰直角三角形（两直角边靠墙）、扇形这三种方案，如图所示．最佳方案是（　　） A．方案1 B．方案2 C．方案1或方案2 D．方案3 6．单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x+m）2+k（a＜0）．某运动员进行了两次训练．第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如图．根据上述数据，该运动员竖直高度的最大值为（　　） 第一次训练数据 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 A．23.20cm B．22.75cm C．21.40cm D．23cm 7．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论： ①小球在空中经过的路程是45m； ②小球抛出3秒后，速度越来越快； ③小球抛出3秒时速度为0； ④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．其中正确的是（　　） A．①④ B．①② C．②③④ D．②③ 8．如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高2.2m，与篮圈中心的水平距离为8m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3m．该运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使投中，该运动员应该跳得比刚才投篮时（　　） A．高0.8m B．高0.4m C．低0.8m D．低0.4m 9．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h 0 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球被踢出7s时，距离地面的高度是14m；③足球飞行路线的对称轴是直线；④足球被踢出9s时落地．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　） A．37.5° B．40° C．42.5° D．45° 二．填空题 11．如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为38m，门宽为2m．这个矩形花圃的最大面积是 　 　 ． 12．为庆祝春节，某地一烟花厂特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 　 　 s． 13．生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强；在最适温度时，酶的活性最强；超过一定温度范围，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值y（单位：1U）与温度x（单位：℃）的关系可以近似用二次函数yx2+14x+142来表示，则当温度为最适宜温度时，该种酶的活性值为 　 　 IU． 14．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度AB为20m，顶点M距水面6m（即MO＝6m），小孔顶点N距水面4.5m（即 NC＝4.5m，建立如图所示的平面直角坐标系．当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出大孔的水面宽度EF＝　 　 m． 15．某民房发生火灾．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A，E，F在同一直线上．跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水流正好经过E，F．若点B和点E、点C和点F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移5m，再向左后退　 　 m，恰好把水喷到F处进行灭火． 16．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AD，BC为同一抛物线的一部分，AB，CD都与水平地面平行，当杯子装满水后AB＝4cm，CD＝8cm，液体高度12cm，将杯子绕C倾斜倒出部分液体，当倾斜角∠ABE＝45°时停止转动．如图2所示，此时液面宽度BE为　 　 cm，液面BE到点C所在水平地面的距离是 　 　 cm． 三．解答题 17．已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣2a2+a﹣1． （1）若函数图象经过点（﹣1，1），求a的值； （2）抛物线的顶点可否落在x轴上，请说明理由； （3）若该二次函数图象经过A（m﹣1，k）、B（4a﹣2m，k）两点，当时，求k的范围． 18．某商店经销一种成本为每千克20元的水产品，据市场分析，若按每千克30元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，解答以下问题． （1）当销售单价定价每千克35元时，销售量为 　 　 ，月销售利润为 　 　 ． （2）商店想在月销售成本不超过6000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？ （3）设销售单价为x元，月销售利润为y元，请求出y与x的函数关系，并求出销售单价定为多少时利润最大，最大利润为多少？ 19．篮球是大家平时接触非常多的运动之一，投篮时，球出手后篮球飞行的轨迹可以近似的看作一条抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，投球后，篮球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）． （1）小雷同学想要研究自己的投篮情况：第一次投篮时，记录了篮球的水平距离x（单位：m）．与竖直高度y（单位：m）的几组数据如下： 水平距离x/m 0 0.4 0.8 1.5 2.0 2.4 3.2 4.1 … 竖直高度y/m（保留两位小数） 2.10 2.83 3.43 4.16 4.43 4.50 4.23 3.30 … 第一次的投篮轨迹近似满足函数关系，投篮的出手点高度为　 　 m，当篮球的水平距离为2.8m时，竖直高度为　 　 m； （2）已知篮筐中心位置在水平距离4.2m，竖直高度3m处．当篮球的竖直高度为3m时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差0.1m以内，篮球可以进入篮筐．若小雷第二次的投篮轨迹近似满足函数关系，已知两次投篮只有一次投中，则　 　 投中．（填写“第一次”或“第二次”） （参考数据如下：） 20．根据背景素材，探索解决实际问题． 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1所示，乒乓球台规格约是长为2.7m宽为1.5m的矩形，球网高度约为0.14m．某品牌乒乓球发球机的出球口在桌面中轴线端点O正上方的点P处． 素材二 如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中轴线上的点M处，且球的运动路线是一条形状不变的抛物线，以O为原点，桌面中轴线所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设发球机发球后到落在桌面前的抛物线解析式为y＝﹣0.25（x﹣1）2+0.64． 素材三 如图3所示，若乒乓球落在中轴线点M处后反弹，其运动路线仍是抛物线．当球与O点的水平距离为3.2m时，球的高度为0.42m；当球与O点的水平距离为3.6m时达到最高点，此时球与桌面的距离是hm． 问题解决 任务一：研究乒乓球着落点问题 （1）点M的坐标为 　 　 ； 任务二：研究乒乓球反弹后的最大高度 （2）求h的值； 任务三：研究乒乓球是否出界问题 （3）某运动员想在乒乓球反弹到最高点时挥拍击球，使得球沿直线擦网而过，此时球能落到对方台面上吗？若能，请求出球着落点的坐标；若不能实现，请说明理由． 21．问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0＝t时，其对应的函数值y0＝t，那么我们称该函数为“自对应点函数”，点（t，t）为该函数图象上的一个自对应点．例如：在函数y＝x2中，当x＝1时，y＝1，则我们称函数y＝x2为“自对应点函数”，点（，1）为该函数图象上的一个自对应点．某数学兴趣小组围绕该定义，对反比例函数和二次函数进行了相关探究． （1）对反比例函数进行探究后，得出下列结论： ①是“自对应点函数”； ②是“自对应点函数”，且自对应点是（1，2）： ③是“自对应点函数”，且有两个自对应点． 以上结论中，你认为正确的是　 　 （填写正确结论的序号）； （2）若反比例函数是“自对应点函数”，请直接写出k应满足的条件； （3）对二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线y＝﹣x2+2bx+c的顶点为该函数图象上的一个自对应点，求b，c满足的关系式； （4）某种商品每件的进价为20元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（30﹣x）件，获得利润y元，请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“自对应点函数”，并说明理由；若该函数是“自对应点函数”，请联系以上情境说明该函数自对应点表达的实际意义． 22．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c，经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AB交于点E，设点P的横坐标为m，PE的长为l，请写出l关于m的表达式，当l取最大值时，求出点P的坐标； （3）若点P为抛物线上y轴右侧的一点，连接PB，BC，CE，是否存在点P使得，若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，说明理由． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B D A D A C B 二．填空题 11．200m2． 12．6． 13．240． 14．10． 15．5． 16．5；7． 三．解答题 17．解：（1）把点（﹣1，1）代入抛物线y＝x2﹣2ax﹣2a2+a﹣1得： 1+2a﹣2a2+a﹣1＝1， 解得：a＝1，； （2）不可能，理由如下： 由抛物线y＝x2﹣2ax﹣2a2+a﹣1可得对称轴为直线x＝a， ∴当x＝a时，则有y＝a2﹣2a2﹣2a2+a﹣1＝﹣3a2+a﹣1， ∴顶点坐标为（a，﹣3a2+a﹣1）， 假设抛物线的顶点在x轴上，则有﹣3a2+a﹣1＝0， ∴Δ＝12﹣4×（﹣3）×（﹣1）＝﹣11＜0，方程无解， ∴抛物线的顶点不可能在x轴上； （3）由该二次函数图象经过A（m﹣1，k）、B（4a﹣2m，k）两点，可知：A，B两点关于对称轴对称， ∴， 解得：， 把点A（m﹣1，k），代入抛物线解析式y＝x2﹣2ax﹣2a2+a﹣1得： ， 整理得：， ∴开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，， 当m＝﹣3时，， 当时，， ∴． 18．解：（1）月销售量为500﹣10×（35﹣30）＝450（千克），销售利润为（35﹣20）×450＝6750（元）； 故答案为：450千克，6750元； （2）设应涨价x元．则可列方程： （30+x﹣20）（500﹣10x）＝8000， 解得：x＝10或x＝30， 当x＝10时，销售单价为40元，销售成本为20×[500﹣10（40﹣30）]＝8000（元），舍去． 当x＝30时，销售单价为60元，销售成本为20×[500﹣10（60﹣30）]＝4000（元），符合题意， 答：月销售利润达到8000元，销售单价应为60元； （3）∵月销售利润y＝（30+x﹣20）（500﹣10x）＝﹣10x2+400x+5000＝﹣10（x﹣20）2+9000， ∴当x＝20时，y最大值＝9000， 答：商店要使得月销售利润达到最大，销售单价应为50元，此时利润为9000元． 19．解：（1）令x＝0，则y（0﹣2.4）2+4.5＝﹣2.4+4.5＝2.1； 当x＝2.8时，y（2.8﹣2.4）2+4.5≈4.4， 故答案为：2.1，4.4； （2）在y（x﹣2.4）2+4.5中，令y＝3，则3（x﹣2.4）2+4.5， 解得：x1＝2.42.4+1.857＝4.2974.3，x2＝2.44.2（舍去）； 在y（x﹣2.1）2+4，令y＝3，则3（x﹣2.1）2+4， 解得：x1＝2.12.1+1.549＝3.649≈3.6，x2＝2.14.2（舍去）， ∵且当篮球的竖直高度为3m时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差0.1m以内，篮球可以进入篮筐，篮筐中心位置在水平距离4.2m， ∴第一次投中， 故答案为：第一次． 20．解：（1）当y＝0时，﹣0.25（x﹣1）2+0.64＝0， ∴（x﹣1）2， x﹣1， x1＝2.6，x2＝﹣0.6， ∴M（2.6，0）； 故答案为：（2.6，0）； （2）设反弹后抛物线解析式为y＝a（x﹣3.6）2+h， 由题意得， 解得， ∴y＝﹣0.5（x﹣3.6）2+0.5， ∴h的值为0.5； （3）能．理由如下： 反弹后最高点为（3.6，0.5），球擦网点为（1.35，0.14）， 设过这两点的直线解析式为y＝kx+b，依题意得： ， 解得， ∴y＝0.16x﹣0.076， 令y＝0，得0.16x﹣0.076＝0， 解得x＝0.475， 所以球能落到对方台面上，落球点为（0.475，0）． 21．解：（1）①对于，由于不存在自对应点，所以不是“自对应点函数”，错误； ②对于，代入点（t，t），得t2＝2，解得，所以是“自对应点函数”，自对应点是，错误； ③是“自对应点函数”，且有两个不动点（2，2），（﹣2，﹣2），正确． 故答案为：③． （2）∵反比例函数是“自对应点函数”， ∴代入点（t，t），得， k＝t2， ∵k≠0， ∴k＞0． （3）∵抛物线得顶点坐标为（b，c+b2），抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴根据“自对应点函数”的定义，即可得到b＝c+b2； ∴c＝b﹣b2． （4）根据题意得y＝（x﹣20）（30﹣x）＝﹣x2+50x﹣600， 即y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+50x﹣600， 令x＝﹣x2+50x﹣600， 解得x1＝25，x2＝24， ∴该函数是“自对应点函数”， 自对应点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为24元或25元时，销售总利润与销售单价相等． 22．解：（1）直线y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3． 当y＝0时，x＝3． ∴A（3，0），B（0，3）， 将A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）根据题意得：P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3）， ∴l＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3） ＝﹣m2+3m ＝﹣（m）2， ∵a＝﹣1＜0， ∴开口向下，有最大值． 当m时，l取最大值． 此时P（，）； （3）分两种情况讨论： ①若点P在x轴上方时，如图1， 根据题意得：P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3）， ∴S△PBEPE•xP（﹣m2+2m+3+）•mm（﹣m2+3m）， ， ∴， 解得：，， ②若点P在x轴下方，如图2， ∴， ， ∴， 解得：m（负值舍去）， ∴m的值为或或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/18 22:46:50；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $