5.5用二次函数解决问题 课时提优2025-2026学年苏科版数学九年级下册

苏科版数学九年级下册第五章5.5用二次函数解决问题 课时提优 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1．[2025天津南开·期末，3分]要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，则水管的长为（   ） A．m B．2m C．m D．1m 2．[2025重庆市江津二中·期中，3分]如图所示，某桥从正面观察，上面部分是一条抛物线，若，，以所在直线为轴，抛物线的顶点在轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（　　）    A． B． C． D． 3．[2025北京平谷·期末，3分]加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据、根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（    ） A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟 4．[2025浙江温州·期中，3分]图1是形状为抛物线的某拱形门建筑．如图2，若取拱形门地面上两点A，B的连线为x轴，可以近似地用函数表示（单位：m）．则拱形门底部的宽度大约是（   ） A．95m B．190m C．235m D．285m 5．[2025江西宜春·期中，3分]如图，点在的边上，，设，，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．[2025安徽安庆·期中，3分]彝族年假期期间，某店销售特产苦荞饼，经调查发现每盒苦荞饼售价为20元时，日销售量为500盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加10盒．已知每盒苦荞饼的成本为10元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 7．[2025新疆吐鲁番·期中，3分]如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于轴对称．轴，，最低点在轴上，高，则右轮廓线的函数解析式为(    ) A． B． C． D． 8．[2025天津·期中，3分]某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时，到达最大高度，篮圈距地面，设篮球运行的轨迹为抛物线，如图所示建立的平面直角坐标系．有下列结论：①抛物线的解析时为；②此球不能投中；③若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，则他能成功拦截．其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 9．[2024福建福州一中·期末，3分]某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 10．[2025北京人大附中·期中，3分]使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：）与旋钮的旋转角度x（单位：度）(0°＜x≤90°)近似满足函数关系(a≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　） A．18° B．36° C．41° D．58° 二、填空题（本大题共7小题，共21分） 11．[2025黑龙江绥化·期末，3分]如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18米，设矩形菜园的面积为S，的长为，则S关于x的函数关系式是 ． 12．[2024黑龙江佳木斯·期中，3分]图1是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ． 13．[2025重庆南岸·期末，3分]如图1所示，某乡村准备修建一条100m长的水渠．水渠的过水横截面是如图2所示的矩形．如水渠底面与侧面的修建造价为100元，，则修水渠的总价为 万元（用含t的代数式表示）；为了提高水渠的过水量，要使过水横截面的面积尽可能大，现有资金4万元，当过水横截面面积最大时，水渠的深度为 m． 14．[2024吉林长春·二模，3分]长春公园拟建一个喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜着喷出水柱，经过测量水柱在不同位置到水管的水平距离和对应的竖直高度呈抛物线型，当喷水管离地面3.2米喷水时，水柱在离水管水平距离3米处离地面竖直高度最大，最大高度是5米．此喷水管可以上下调节，喷出的水柱形状不变且随之上下平移，若调节后的落水点（水落到地面的距离）向内平移了1米，则喷水管需要向下平移 米． 15．[2025山西大同·期末，3分]山西作为“小杂粮王国”誉满全国，小米尤为出名，素有“中国小米在山西，山西小米数第一”的美誉．某店铺销售一批箱装小米（如图），每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱．春节期间，为了让利于顾客，该店铺计划降价销售，根据销售经验，单价每降低1元，每天可多销售2箱，则该店铺每天可获得的最大利润为 元． 16．[2025安徽合肥·二模，3分]羽毛球发球时，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点P到球网的水平距离．某次发球后，击出的羽毛球的飞行高度y（单位：）与水平距离x（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： （1）羽毛球飞行的最大高度为 ； （2）已知球网的高度是，接球一方在球过网后且高度不低于时，可以采用“平抽”技术将球快速击打过网，若球发出后水平向前的速度是，接球者在球过网后可以用“平抽”技术的时长为 ．（“平抽”技术：快速平直的回球，球的飞行轨迹低平，速度快．） 17．[2024新疆吐鲁番·期中，3分]如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m. 三、解答题（本大题共6小题，共49分） 18．[2024天津·期中，6分]学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示），设矩形的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD的面积为S平方米． （1）求S与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米? 19．[2025广东·中考真题，6分]如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 20．[2025北京·期中，8分]排球场的长度为，球网在场地中央且高度为．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．    （1）某运动员第一次发球时，测得水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 11 12 竖直高度 2.48 2.72 2.8 2.72 1.82 1.52 ①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系； ②判断该运动员第一次发球能否过网________（填“能”或“不能”）． （2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由． 21．[2025天津和平·期中，9分]如图1，在立柱上竖直安装了一个喷水装置，建立如图2所示的平面直角坐标系，一个单位长度代表长，水流从轴上的喷头喷出，，水流的路线为抛物线（，其中，均为常数）的一部分，当水流到达处时，达到最大高度，此时水流的最高点到喷头的水平距离为． （1）求抛物线的表达式及点的坐标； （2）定义“高差”：当抛物线上的点到喷头的水平距离在时，抛物线上的点到水平地面的距离的最大值与最小值的差叫作到之间的“高差”，记作（单位：）． ①当时，求高差的值； ②若时，总有，请直接写出的取值范围． 22．[2025新疆哈密·期中，9分]某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某种苹果到了收获季节，投入市场销售时，调查市场行情，发现该苹果的销售不会亏本，且该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如表： 销售单价x（元） 10 15 23 28 日销售量y（千克） 200 150 70 m 日销售利润w（元） 400 1050 1050 400 （注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）） （1）求y关于x的函数解析式（要写出x的取值范围）及m的值； （2）根据以上信息，填空：产品的成本单价是　 　元，当销售单价x＝　 　元时，日销售利润w最大，最大值是　 　元； （3）某农户今年共采摘苹果4800千克，该品种苹果的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批苹果？请说明理由 23．[2025北京·期中，11分]行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离为制动距离（单位：），车速为制动时车速（单位：），时间为制动时间（单位：）．为了解某型号汽车的制动性能，在理想状态下对其进行了测试，测得数据如下表： 表1 制动时车速（） 制动时间（） 表2 制动时车速（） 制动距离（） 为观察与之间的关系，建立平面直角坐标系，以为横坐标，为纵坐标，描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接（如图），可以看出，这条曲线像是抛物线的一部分，于是，我们用二次函数来近似地表示与的关系． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： （1）根据表1，当制动时车速为时，制动时间 ； （2）直接写出制动距离（单位：）与制动时车速（单位：）之间的函数关系式； （3）有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，交通事故发生时，现场测得制动距离为，则此车制动时车速是 ，已知该公路限速为，那么在事故发生时，该汽车是 （填“超速行驶”或“正常行驶”）． 参考答案 1．【答案】A 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，把代入，求出函数解析式，进而求出抛物线与轴的交点即可． 【详解】解：如图，以水池中心为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 由题意，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把代入抛物线解析式得， ∴， ∴， ∴当时，， 即水管的长为m， 故此题答案为A． 2．【答案】A 【分析】由题意可得：，，且抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，代入，求解即可． 【详解】解：由题意可得：，，且抛物线的顶点为， 则抛物线解析式为 将代入可得： 解得 即解析式为 故选A 3．【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：由题意知，函数经过点，，， 则， 解得：， ， 最佳加工时间为3.75分钟， 故选B． 4．【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，令，则，求解得到坐标，即可得出答案，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：令，则， 解得：， ∴， ∴， 故选B． 5．【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，等腰三角形的性质，勾股定理；过点作于点，分别在中，用勾股定理表示出，进而得出关于的函数的解析式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，且， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选C． 6．【答案】D 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，审清题意、弄清数量关系是解题的关键． 由“”列出y与x之间的函数表达式即可． 【详解】解：由题知：日销售量为盒，每盒利润为元， 所以y与x之间的函数关系式为． 故选D． 7．【答案】A 【分析】利用关于轴对称，，可得到点坐标为，由，最低点在轴上，则关于直线对称，可得到左边抛物线的顶点的坐标为，于是得到右边抛物线的顶点的坐标为，然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式． 【详解】∵高，，且关于y轴对称， ∴点坐标为， ∵轴，，最低点在轴上， ∴关于直线对称， ∴左边抛物线的顶点的坐标为， ∴右边抛物线的顶点的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得，解得， ∴右轮廓线的函数解析式为L， 故选A． 8．【答案】B 【分析】先根据待定系数法求二次函数的解析式，然后进行计算比较即可解答． 【详解】解：∵当球出手后水平距离为时，到达最大高度， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为：， ∵球出手时离地面高， ∴把代入中得：， 解得：， ∴， 故①正确； 当时，， ∴此球能投中， 故②不正确； 当时，， 故③正确； 综上所述：上列结论，正确的个数是2个， 故选B． 9．【答案】C 【分析】根据题意得到二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故此题答案为C． 10．【答案】C 【分析】根据题意将函数图象补全完整，根据图象即可求得． 【详解】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图， ∴抛物线对称轴在36和54之间，约为41°， ∴旋钮的旋转角度x在36°和54°之间，约为41°时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气． 故选C． 11．【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，由，，再利用面积公式建立二次函数关系式即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴. 12．【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，以为原点，直线为轴，过且平行直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，求出解析式，然后当时，求出的值即可，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】解：如图，以为原点，直线为轴，过且平行直线为轴建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为， 由题意得点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，，解得：， ∴，， ∴. 13．【答案】 1 【分析】底面积和侧面积的总和即为修水渠的总价，设矩形的边，，矩形的面积为，把用表示出来，根据二次函数的性质求出当过水横截面面积最大时关系，最后求出即可求得深度． 【详解】解：依题意，如水渠底面与侧面的修建造价为100元，，则修水渠的总价为元万元， 设矩形的边，，矩形的面积为，依题意得 ， ， 当时，有最大值， 要使过水横截面的面积尽可能大，现有资金4万元，当过水横截面面积最大时， ，即， 水渠的深度为. 14．【答案】1.8 【详解】解：建立平面直角坐标系为： 设与之间的函数表达式为 观察图象可知，顶点坐标为， 代入得 将代入得， ∴解得: ， ∴抛物线的表达式为， 由题意，抛物线与轴相交，令 即， 解之得：(不合题意，舍去)。 ∴原抛物线的落水点为. ∴新抛物线的落水点为即. 设喷水管需要向下平移米， ∴新抛物线的表达式为 ， 将代入得, ， ∴解得: ， 答：喷水管需要向下平移米 15．【答案】1250 【分析】根据：每天的总利润=每个玩具利润×降价后每天的销售数量，可列出y关于x的函数关系式，将函数表达式配方成顶点式，可求出最大利润． 【详解】解：解：设每个玩具售价下降了x元，商场每天的销售利润为y元．降价后商场平均每天可售出箱装小米数量为箱； 由题意得， ∴当时，y有最大值1250． ∴该商场每天获得的利润最大利润是1250元． 16．【答案】2； 【分析】（1）当和当时的函数值相同，则对称轴为直线，据此可得答案； （2）根据对称性可得当时的函数值为，则在羽毛球过网之后到这个过程都可以“平抽”技术，据此根据时间等于路程除以速度即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∵抛物线开口向下， ∴在对称轴处函数有最大值，即此时羽毛球在飞行过程中有最大高度，即. （2）∵对称轴为直线， ∴当和时的函数值相同，即当时的函数值为， ∵， ∴在羽毛球过网之后到这个过程都可以“平抽”技术， ∴接球者在球过网后可以用“平抽”技术的时长为. 17．【答案】 【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为 通过以上条件可设顶点式，其中可通过将A点坐标 代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为 当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出： 解得：   所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了 18．【答案】（1），；（2）AB边的长为9米时，花圃的面积最大为162平方米． 【分析】（1）先用x表示出BC，再根据矩形的面积公式求解关系式，根据限制条件AB＜AD列出不等式求解即可； （2）利用二次函数求最值的方法求解即可． 【详解】解：（1）∵ 四边形ABCD是矩形，AB的长为x米， ∴CD=AB=x（米），AD=BC， ∵矩形除AD边外的三边总长为36米， ∴（米）． ∴． 由题意，， ∴ 即自变量的取值范围是； （2）， ∵－2＜0，且对称轴在的范围内 ， ∴ 当时，S取最大值． 即AB边的长为9米时，花圃的面积最大为162平方米． 19．【答案】该抛物线的表达式为. 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线顶点坐标为，，即， 设该抛物线的表达式为， 将代入得，解得， 该抛物线的表达式为． 20．【答案】（1）①；②能 （2）没出界，见详解 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出二次函数解析式． （1）①利用待定系数法求解即可；②求出当时的的值，判断即可得解； （2）令，则，求解即可． 【详解】（1）解：①由表中数据可得顶点， 设， 把代入得， 解得：， ∴所求函数关系为． ②当时，， 故该运动员第一次发球能过网； （2）解：判断：没有出界． 第二次发球：， 令，则， 解得（舍），， ∵， ∴该运动员此次发球没有出界． 21．【答案】（1）抛物线的表达式为，点的坐标为 （2）①；② 【分析】（1）根据题意知抛物线过点，可得的值，根据对称轴为直线，可确定的值，得到抛物线的表达式，继而可得点D的坐标； （2）①根据“高差”定义可知，当时，有，由（1）知：抛物线的表达式， 结合增减性知当时，取得最小值，当时，取得最大值，可得解；②．理由：根据抛物线最高点为，得当时，取得最大值，再根据题意当时，总有，可得y取得最小值，可得，求解后可得结论． 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线过点， ∴， 又∵当水流到达处时，达到最大高度，此时水流的最高点到喷头的水平距离为， ∴对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线L的表达式：， 即， ∴抛物线最高点D的坐标为； （2）①根据“高差”定义可知，当时，有， ∵抛物线开口向下，在对称轴左侧，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 当时，取得最大值：， ∴高差为； ②．理由： ∵抛物线最高点为， ∴当时，取得最大值， ∵时，总有， ∴y取得最小值：， 当时，得：， 解得：或， ∵抛物线的对称轴为， ∴当时，总有最大值为，最小值为，即． 22．【答案】（1）y＝﹣10x+300（8≤x≤30）；（2）8，19，1210；（3）不能销售完这批苹果，见详解. 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式即可得出最大值； （3）求出在（2）中情况下，即x＝19时的销售量，据此求得40天的总销售量，比较即可得出答案． 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b， 将（10，200）、（15，150）代入，得：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300（8≤x≤30）； （2）设每天销售获得的利润为w， 则w＝（x﹣8）y ＝（x﹣8）（﹣10x+300） ＝﹣10（x﹣19）2+1210， ∵8≤x≤30， ∴当x＝19时，w取得最大值，最大值为1210； 故答案为8，19，1210； （3）由（2）知，当获得最大利润时，定价为19元/千克， 则每天的销售量为y＝﹣10×19+300＝110千克， ∵保质期为40天， ∴总销售量为40×110＝4400， 又∵4400＜4800， ∴不能销售完这批苹果． 23．【答案】（1） （2） （3）；超速行驶 【分析】本题考查正比例函数、二次函数的实际应用． （1）设，将代入得得出，将代入即可求解； （2）根据题意待定系数法求解析式，即可求解； （3）将代入二次函数解析式，即可求解，进而转化单位即可得出是否超速． 【详解】（1）解：观察表1数据可得每增加，增加，符合正比例函数， 设，将代入得 解得：， ∴， 当时，. （2）解： ∵这条曲线像是抛物线的一部分，图象经过原点， ∴设二次函数的表达式为． 选取和代入表达式，得 解得 ∴二次函数的表达式为． （3）解：当时， 解得：（负值舍去）， ∴此车制动时车速是， 当时，， ∴在事故发生时，该汽车是超速行驶 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $