5.5用二次函数解决问题同步练习2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级下册

用二次函数解决问题 一、单选题 1．用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为x（），则窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=2．动点P沿AB从点A向点B移动（点P不与点A，点B重合），过点P作AB的垂线，交折线A-C-B于点Q．记AP=x，△APQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 3．修建隧道能够缩短公路长度，为人们的生活带来很大的便利，隧道的截面形状通常为圆拱形或抛物线形．如图，某隧道的截面为抛物线形，隧道内净宽为，净高为．若以点O为坐标原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则抛物线所对应的表达式为（    ） A． B． C． D． 4．亚运会期间，我市宾馆预订火爆．某宾馆有间标准房，当标准房价格为元时，每天都客满．市场调查表明单间房价在～元之间（含元，元）浮动时，每提高元，日均入住数减少间．如果不考虑其他因素，为使客房的日营业收入最大，宾馆可将标准房价格提高（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，他推出铅球的距离为（   ） A． B． C． D． 6．如图，从某建筑物高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙，离地面，则水流落地点B离墙的距离是（    ） A． B． C． D． 7．据省统计局公布的数据，某省2019年第二个月总值约为7.9亿元人民币，若该省第四个月总值为y亿元人民币，平均每个月增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是   （　　） A． B． C． D． 8．小明同学利用计算机软件绘制函数图象，判断点（m为任意实数）与抛物线（a为常数，）的位置关系，则点P一定不在抛物线上的点的个数是（   ） A．只有1个 B．只有两个 C．只有3个 D．3个以上 9．下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价x（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 10．图1是一张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式．图2中，发球机从中线的端点的正上方处的点发球，乒乓球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点，其高度为，以为原点，所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．记图2中球的落点为点，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图是某隧道截面，由部分抛物线和矩形构成，以矩形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系，抛物线的解析式为，顶点为，且，则点的坐标为 ．    12．赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为．当水面离桥拱顶的高度为时，水面宽度为 ． 13．2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，某零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，销售期间发现，每天的销售利润（元）与售价（元）之间的函数解析式是，且售价的范围是，则销售“冰墩墩”每天的最大利润是 ． 14．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是 ． 15．如图所示的是某广场喷水池喷出的抛物线形水柱的平面图，若水柱喷出的竖直高度与水平距离满足，则水柱的最大高度是 米． 16．某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（万件）将随计划所定的x的值而确定，那么y与x之间的关系式应表示为 ． 三、解答题 17．2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 18．体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图①）．如图②，曲线表示的是落点B离点O最远的一条水流，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的表达式是，求圆形水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 19．用长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，长表示窗框的宽，（铝合金条的宽度忽略不计）． (1)求窗框的透光面积与窗框的宽之间的函数关系式． (2)如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？ (3)当窗框的透光面积不小于时，直接写出x的取值范围． 20．有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面宽，拱顶距离水面．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若水位上升就达到警戒线的位置，求这时水面的宽度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B B C B C C C A 1．C 【分析】根据题意，得，根据矩形的面积公式解答即可． 本题考查了矩形的周长与面积，函数的表达式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为． 故选：C． 2．B 【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当点Q在AC上时，y=×AP×PQ=•x•x•tan∠A=x2（0≤x≤1）； 当点Q在BC上时，如下图所示， y=AP•PQ=x(2−x)tan∠B=−x2+x（1＜x≤2）， ∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下． 观察四个选项，只有B选项符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题关键是注意点Q在BC上这种情况． 3．B 【分析】本题主要考查了求抛物线的表达式，熟练掌握待定系数法求解析式是关键．根据题意得出，，设抛物线的表达式为，把，代入求解即可． 【详解】解：，为， ，， 设抛物线的表达式为， 把，代入得： ，解得：， 抛物线表达式为． 故选：B 4．B 【分析】首先设宾馆可将标准房价格提高x个元，以及客房的日营业收入为y，建立y与x的关系式，并通过二次函数求解最大值．本题考查根据实际问题选择函数类型，通过实际问题，抽象出函数模型，并通二次函数计算最大值，考查对知识的综合运用能力，属于中档题． 【详解】解：设设宾馆可将标准房价格提高x个元，客房的日营业收入为y元，将有间客房空出， 由题意可得： 当，即时，y最大值为． 因此为使客房的日营业收入最大，宾馆可将标准房价格提高元． 故选：B 5．C 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，函数中自变量与函数表达的实际意义；令，计算求解即可求出结果． 【详解】解：令 即 解得：（舍去） ∴推出铅球的距离为； 故选：C． 6．B 【分析】由题意可以知道，用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当时就可以求出x的值，这样就可以求出的值． 【详解】解：设抛物线的解析式为，由题意得： ， ， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：（舍去），， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题时设抛物线的顶点式求解析式是解题的关键． 7．C 【分析】根据平均每个月增长的百分率为，可得第三月的总值为，第四月的总值为，即可解答． 【详解】解：设平均每个月增长的百分率为， ∵第二个月总值约为亿元人民币， ∴第三月的总值为， ∴第四月的总值为， ∴y关于x的函数表达式是：， 故选：C． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题的数量关系是解题的关键． 8．C 【分析】本题考查二次函数上点的坐标，把代入得到， 根据方程解得情况解答即可． 【详解】解：把代入得到： ， 当且时，a不存在， 即或时，点P一定不在抛物线上， 当时，，则，不符合题意， 即时，点P一定不在抛物线上， 故答案为：C． 9．C 【分析】本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义． ①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ③根据利润（售价进价）销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可． 【详解】解：①，y是x的反比例函数，故此选项不符合题意； ②，y是x的正比例函数，故此选项不符合题意； ③，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 故选：C． 10．A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值的方法是关键． 根据题意，，顶点坐标，设二次函数解析式为，运用待定系数法可得二次函数解析式为，根据函数值得到自变量的值，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，顶点坐标， ∴设二次函数解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， 故选：A ． 11． 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握矩形的性质和二次函数的性质是解题的关键． 根据矩形的性质和抛物线的对称性求解． 【详解】由题意得：， 设， 抛物线的对称轴为：直线， 在矩形中，， 、关于对称， ，， 解得， ． 故答案为：． 12．20 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．根据题意可得的纵坐标为，把代入解析式确定的坐标，进而求得的长即可解答． 【详解】解：根据题意的纵坐标为， 把代入，得， ，， ．即水面宽度为． 故答案为：． 13．900元 【分析】本题考查二次函数的实际应用．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 将二次函数一般式改为顶点式．再结合题意可知当时，y有最大值，求出最大值即可． 【详解】解：∵，且， 又∵售价x的范围是， ∴当时，y有最大值，最大值为900， ∴最大利润是900元． 故答案为：900元． 14． 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 先确定抛物线的对称轴方程，再根据抛物线的图象性质可得出结论． 【详解】解：根据函数的图象可得抛物线的对称轴方程为：， ∵函数的开口向下， ∴在时，足球到达最高点， 即足球到达最高点所需的时间是 故答案为： 15．5 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把解析式化为顶点式，顶点的纵坐标的值即为水柱的最大高度． 【详解】解：， ∴水柱的最大高度是5米， 故答案为：5． 16．或 【分析】根据平均增长问题，可得答案． 【详解】解：y与x之间的关系应表示为y＝2（x+1）2． 故答案为：y＝2（x+1）2． 【点睛】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍． 17．(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元 (2)；W的最大值为4500元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）解：由题意得， ， ∵，， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 18．圆形水池半径至少为时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【分析】本题主要考查二次函数的应用．求出函数解析式中时x的值，结合可得最终的x的值，从而得出的长． 【详解】解：当时，， 解得，， ∵， ∴，即． 答：圆形水池半径至少为时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 19．(1) (2)当时，窗框的透光面积最大，最大透光面积是 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质及应用，准确表示窗框的长和宽，进而得到面积函数，再结合二次函数的图像与性质分析是解题的关键． （1）首先根据铝合金条长度与窗框各边的关系求出，建立透光面积与宽的函数关系即可． （２）根据二次函数的图像和性质回答即可； （3）由于，根据二次函数图像与一元二次函数的关系列方程求方程的根，再结合图像即可求解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意可知， ，， ∴． ∴， 即． （2）∵， ∴当时，． 即当时，窗框的透光面积最大，最大透光面积是． （3）当时，即，即， 解方程得， 二次函数开口向上， 所以不等式的解集为． ． 20．(1) (2)米 【分析】此题考查了求抛物线的解析式，二次函数的应用，正确理解题意得到为是解题的关键． （1）由抛物线对称性可知，为，设解析式为，将点B坐标代入求出a即可． （2）根据题意得出点C、D的纵坐标为，代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线对称性可知，为， ∵抛物线顶点在原点， ∴设解析式为，把代⼊得： ∴， ∴． （2）∵水位上升就达到警戒线的位置， ∴点C、D的纵坐标为， 当时， ， 解得：， ∴， ∴米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $用二次函数解决问题 一、单选题 1.用长为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设AB为x(m),则窗框的透光面积 ym2)关于x(m)的函数表达式为() D E A B A.y=x4-B.y=x8-3)C.y=)x8-3刘D.y=38-3刘 2.如图，在△ABC中，AC-BC,∠ACB=90°，AB=2.动点P沿AB从点A向点B移动（点 P不与点A,点B重合)，过点P作AB的垂线，交折线A-CB于点Q.记AP=x,△APQ的 面积为y,则y关于x的函数图象大致是() B B.0.5 2x 0.5 D 0.5 2x 3.修建隧道能够缩短公路长度，为人们的生活带来很大的便利，隧道的截面形状通常为圆 拱形或抛物线形.如图，某隧道的截面为抛物线形，隧道内净宽AB为11m,净高OC为5m, 若以点O为坐标原点，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则抛物线所对应的表达式 答案第1页，共2页 为() y C A A B x $$A . y = - \frac { 1 0 } { 1 2 1 } x ^ { 2 } + 5 B . y = - \frac { 2 0 } { 1 2 1 } x ^ { 2 } + 5$$ $$C . y = - \frac { 1 0 } { 1 1 } x ^ { 2 } + 5$$ $$D . y = - \frac { 2 0 } { 1 1 } x ^ { 2 } +$$ 4.亚运会期间，我市宾馆预订火爆.某宾馆有150间标准房，当标准房价格为100元时，每 天都客满.市场调查表明单间房价在100~200元之间(含100元，200元)浮动时，每提高 10元，日均入住数减少6间.如果不考虑其他因素，为使客房的日营业收入最大，宾馆可将 标准房价格提高() A.100元 B.75元 C.50元 D.25元 5.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离 x(单位：m)之间 的关系是 $$y = - \frac { 1 } { 1 2 } x ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 5 } { 3 } ，$$ ，他推出球的距离为() y x A.2m B.3m C.10m D.12m 6.如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状(抛物线所 在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 $$\frac { 4 0 } { 3 } m ，$$ ，则水流落地点B离 的距离OB是() 答案第1页，共2页 A.2m B.3m C.4m D.5m 7.据省统计局公布的数据，某省2019年第二个月GDP总值约为7.9亿元人民币，若该省 第四个月GDP总值为y亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x,则y关于x的函 数表达式是() A.y=7.9(1+2x B.y=7.91-x2 C.y=7.91+x) D.y=7.9+7.9(1+x)+7.91+x)2 8.小明同学利用计算机软件绘制函数图象，判断点P(m,m+1)(m为任意实数)与抛物线 y=ax-1)(x-2)(a为常数，a≠0)的位置关系，则点P一定不在抛物线上的点的个数 是() A.只有1个 B.只有两个 C.只有3个 D.3个以上 9.下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是() ①面积为l0cm的矩形中，矩形的长y(cm)与宽xcm)的关系； ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积ycm)与圆柱的高x(cm)的关系： ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出(100-2x)件.利润y(元) 与每件售价x(元)的关系。 A.① B.② C.③ D.①③ 10.图1是一张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转 方式.图2中，发球机从中线OB的端点O的正上方0.25m处的A点发球，乒乓球呈抛物线 答案第1页，共2页 在OB正上方飞行，当飞行的水平距离为1m时，达到最高点M,其高度为0.45m,以0为 原点，OB,OA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.记图2中球的落点为点E ,则OE的长为() B 图1 图2 A.2.5m B.2.7m C.2.4m D.2.6m 二、填空题 11.如图是某隧道截面，由部分抛物线和矩形构成，以矩形的顶点A为坐标原点，AB所在 直线为x轴，竖直方向为)轴，建立平面直角坐标系，抛物线的解析式为y=-+2x+c, Γ4 顶点为P,且AD=2,则点C的坐标为一 A D A B主 12.赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为y=- x2.当 25 水面离桥拱顶的高度D0为4m时，水面宽度AB为__m. y本 D B 13.2022年冬奥会吉祥物冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，某零售店“冰墩墩”的销售 答案第1页，共2页 日益火爆，销售期间发现，每天的销售利润y(元)与售价x(元)之间的函数解析式是 y=-x2+80x-700,且售价x的范围是20≤x≤50，则销售“冰墩墩”每天的最大利润 是 14.某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行 的高度h(单位：m)与足球飞行的时间t(单位：s)之间具有二次函数关系，其部分图象 如图所示，则足球到达最高点所需的时间是 ◆h(m) 2.75 0.5 1.1 t(s) 15.如图所示的是某广场喷水池喷出的抛物线形水柱的平面图，若水柱喷出的竖直高度 ym)与水平距离xm)满足y=-x+2x+3,则水柱的最大高度是米。 2 y(m) x(m) 16.某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年 的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（万件)将随计划所定的x的值而确定，那 么y与x之间的关系式应表示为」 三、解答题 17.2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、 B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100 个，B款200个，需花费8000元. (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ 答案第1页，共2页 (2)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元， 销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价a(60≤a≤100)元，W表示该商家销售A款纪念 品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值 18.体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA,A处为喷头向外喷水， 水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图①）.如图②，曲线APB表示的是落 点B离点O最远的一条水流，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的表达式是 9 y=-x2+4x+（x>0),求圆形水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落在 4 池外. ① ② 答案第1页，共2页 19.用19m长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，CD长表示窗框的宽，EF=0.5m(铝 合金条的宽度忽略不计). B G E D H (1)求窗框的透光面积S(m)与窗框的宽x(m)之间的函数关系式， (②)如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？ (3)当窗框的透光面积不小于10m时，直接写出x的取值范围. 20.有一座抛物线形拱桥，在正常水位AB时，水面AB宽24m,拱顶距离水面4m.以抛物 线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 答案第1页，共2页 珠 0 D A B (1)求抛物线的解析式； (2)若水位上升3m就达到警戒线CD的位置，求这时水面CD的宽度. 答案第1页，共2页