河南省九师联盟2026届高三上学期12月联考数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区战内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数，三角函数，解三角形，平面向量，复数，数 列，立体几何，解析几何。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合A={x∈Z1og2x<3},B={x∈Zx(5-x)>0},则CB= A.{1,2,3,4)》 B.(3,5,6,7} C.{4,5,6,7) D.{5,6,7) 2.若复数z满足(1一)z=2一3i,则在复平面内x所对应的点位于 A第一象限 B.第二象限 C,第三象限 D.第四象限 3.已知双曲线兰-斧-1（®>0，b>0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为 A3x士y=0 B.√2x士y=0 C.x士√2y=0 D.x土3y=0 4.已知p:0<a<1,q:a3<a,则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.已知tan(a十B)=-l,osP=号，则sin2a= A员 8号 c-品 n-是 6.已知项数为m的等差数列{an}的前3项的和为18，最后3项的和为249，所有项的和为979，则m= A.20 B.22 C.23 D.25 1n(x+1),x≥0， 7.已知f(x)= 则f(x)>x十2-e的解集为 ln(1一x),x<0, A.(e,+o∞) B.(e-1,十o∞) C.(-o∞，e-1) D.(-∞，e) 【12月高三联考专版·数学第1页（共4页）】 H 8.如图，正六棱柱ABCDEF-A1B1CD,E,F1的所有棱长均为1，以A为球心，2为半径的球面与该六棱 柱的各面的交线的总长度为 A.(1+√5)x B4, C2t D.x 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.如图，在正三棱锥P-ABC中，D,E为棱PC上的两个三等分点(E在D的上方)，PA⊥BD,PA=2, M,F分别为AB,AC的中点，则 A.AP⊥PC B.ME∥平面BDF C三棱锥P-ABC的体积为号 D.三棱锥P-ABC的表面积为6十2√3 10.已知函数f(x)=Acos(aux十p)(A>0,w>0,lp<受)的部分图象如图所 示，将f(x)的图象向右平移爱个单位长度，得到函数g(x)的图象，则 A.tan(p+Ar)=-√3 B.直线x=π为g(x)图象的一条对称轴 Cg(x)在[一-登一晋]上单调递诚 D.函数g(x)(x∈（臣：受）)恰有2个极值点 11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线L与C交于A,B两点，|AB引=4√2，|AF|- |BF=4,D(x0,4)为AB的中点，P为C上一点，则 A直线L的斜率为1 B.p=4 C|PD+|PF列的最小值为号 D.△ABF的面积为14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(1,m),b=(1,w3),若a在b上的投影向量为2b,则m= 13.已知圆C过点A(3,-1)且与圆E:(x十1)2+(y-3)2=5相切于点B(1,2),则圆C的方程为 |3*-1|,x≤1， 14.已知函数f(x) logg(-),> 若函数F(x)=2尸(x)一mf(x)+2m一6有7个零点，则 实数m的取值范围为 【12月高三联考专版·数学第2页（共4页）】 H 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos2A十cos2B-cos2C=1-sin Asin B. (1)求角C; (2)若c=3,求△ABC的周长的最大值. 16.(本小题满分15分) 在数列{an}中，a1=1,nan+1=3(n十1)an (1)求{an)的通项公式； (2)记{a.)的前n项和为S若6，=4S,-4s+1-求，}的前n项和T… 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，△PAD为等边三角形，∠BAD=60°，平面 PAD⊥平面ABCD,E为棱AB的中点，N为棱PC上一点（不含端点），AC∩DE=M,AD=4. (1)若CN=2NP,证明：MN∥平面PAD; (②)是香存在N,使得平面DEN与平面PAC的夹角的余弦值为零？若 存在，求出器的值若不存在，说明理由。 【12月高三联考专版·数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 如图，已知椭圆E荐+芳=1(o>6>0)过A(-3,1),P0,2)两点，直线：x=-4与x轴交于点B。 (1)求E的方程； (2)过B的直线交E于C,D两点(C在D的左侧)，直线AC,AD分别交直线L于N,M两点，直线 AC,AD的斜率分别为k1,k2, （1)证明：k1十2为定值； (I)记△CDN和△BCM的面积分别为S1,S2,求受的取值范围， 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=xhx-号m2-x十1(m∈R). (1)若m=1,求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)若g(x)=f(x)(f(x)为f(x)的导函数)，求函数g(x)在区间[1，e]上的最大值； (3)若函数f(x)有两个极值点x1,x2,证明：x1x2>e2. 【12月高三联考专版·数学第4页（共4页）】一 H 高三数学参考答案、提示及评分细则 1.D由1og2x<3,得0<x<8,所以A={1,2,3,4,5,6,7},由x(5-x)>0,得0<x<5,所以B={1,2,3,4},所以4B ={5,6,7.故选D. 2D由(1-D:=2-31得=1号-2在复平面内：对位点的坐标为（号，一合），位于第四象限故述D aC由题意得。亚-厅，化简，得6一区，所以该双面线的蒲近线方程为y=士云，即y=士方4，所以士E)=0 a 故选C 4.A若0<a<1,则a3-a=a(a2-1)<0,所以a3<a,故p是q的充分条件；若a3<a,则a<-1,或0<a<1,所以p是 q的不必要条件，所以p是q的充分不必要条件.故选A 5.A由tan(a+B)=-1,得a+B-一平+kx(k∈Z0,所以a=-平-计kr(k∈Z),所以sin2a=sim-受-29+2km) =-6ms29=1-20osg产务放选八 6.B由题意得a1十a2十a3=18,am十am-1十am-2=249,由等差数列的性质，得3(a1十am)=267,所以a1十am=89,由a 十a十…十a=979,得ma,寸a）=979,即9=979，解得m=22.故选B. 2 7.C当x≥0时，得ln(x+1)>x十2-e,整理得ln(x+1)-(x+1)>1-e,令t=1+x≥1，g(t)=lnt-t,则g'(t)= }-1=子<0，所以g(0在[1，十∞)上单调速减，又g⊙=1-e,所以当1时g0≥-e的解集为1,0.所以 t 当x≥0时，ln(x+1)>x+2-e的解集为[0，e-1);当x<0时，得ln(1-x)>x+2-e,由1-x>1,得ln(1-x)>0, 易知x+2-e<0,此时不等式f(x)>x+2-e的解集为（一∞，0）.综上所述，不等式f(x)>x+2一e的解集为 (-o∞，e-1).故选C. 8.B连接AC,AE,AC,AE,A1C1,A1E,AD,因为正六棱柱ABCDEF-A1B1CD1EF1的各 棱长均为1，易求AC=AC1=AE=5,AD=AC1=AE=2,易证AA1⊥平面 ABCDEF,AC⊥平面CDDC,AE⊥平面EDDE,所以球面与侧面ABB1A,侧面 BCCB1,侧面AFFA,侧面EFFE,底面ABCDEF均无交线，与侧面CDD1C的交线是以 C为圆心，1为半径的圆弧，与侧面DEED,的交线是以E为圆心1为半径的圆孤，与上A“ 底面的交线为以A为圆心，W为半径，圆心角为的圆弧，如图所示，故总交线长为受×1十 音×1+音×5=元放选B 9.ACD因为三棱锥P-ABC为正三棱锥，则PA⊥BC,又PA⊥BD,BC,BDC平面PBC, BC∩BD=B,所以PA⊥平面PBC,又PCC平面PBC,所以AP⊥PC,故A正确：连接MC 交BF于N,连接DN,易品=1，器=2，放DN与ME不平行，所以ME/平面BDF 不成立，故B错误：易证PA,PB,PC两两垂直，所以三棱锥的休积为了×2×2X2×2 号，表面积为6+2,3，放CD正确.故选ACD. 1c由了)圆象，g1)的网类T=[资-音门=导所以w=停=日1（高）=0，得 os(3x3+9)=0,所以9吾=受+x(k∈ZD,所以g-ξ+k版(k∈D,又p<受，所以g=-吾，又f(0) 1,即Acos(-5)=1,所以A=2.所以f(x)=2cos(3x-5),g(x)=f(x-）=2sin3x.所以tan(g+Ax)= tan(-号+2x)=一3，故A正确：g(x)=0,所以直线x=元不是g(x)图象的对称轴，故B错误：当x∈ [一受。吾]时，3xe[一平，-x],因为y=2sinx在[-平，-元]上单调递减，所以g)在[-登-号]上单调递 减，故C正确：由3x=受十饭(k∈Z),得x=吾+经(k∈Z),所以函数g(x)(x∈（危，受）)仅有一个极值点，放D 错误.故选AC 1.ABC设A(an),B(2),AF=号+，BF=专+，由AF-BF=4,得m-a=4,又AB= 【12月高三联考专版·数学参考答案第1页（共4页）】 H 42,即√(0一2)+(y-y2)=42,所以(y一2)2=16，所以y-2=4,或1一=一4.若一=4，则1 率为1，设1的方程为x3y+,由{)p,得y22M=0,所以△=4p+8p1>0,十为2 -20,义2=4，所以2p=8,所以p=4:若y-=-4,则1的斜率为-1，设1的方程为x=-y十m,由 =2m得y+2py一2m=0,所以△=4g+8pm>01十%=-2p,又当22=4，所以-2p=8,所以=-4 x=-y+, 2 (合，故1的斜率为1，b=4,放AB正确：由y十=8,9=一81，得一为=64十32=4，得1=一号，放1的方程 为x=y一号，可得。=号，所以PD+PF的最小值为号+专=号+2=号，故C正确：点F到L的距离为 26+引-2，所△A那的酒积等于号×万×2华-放D结误做选A √2 4 12号 由题意知6=一6，所以品-号所以中0=含解得m-得 4 3 13.(x-9)'+(y)-由题意知圆心C为直线BE与线段AB的中垂线的交点，易求这两条直线分别为y 合+号=号号二者的交点为(9，).即C(9,),所以√(9-3)+（侣+1）-1放所求 圆的方程为（一9）+(》-器 14.(3,4)函数F(x)有7个零点，等价于方程2(x)一mf(x)十21一6=0有7个相异实根，画出f(x)的图象，如图 所示.令f(x)=t,则原方程变为2-一mt十2m一6=0，由图可知该方程必有两个实根h,t2,且0<<1,1≤<2，令 g(0)0, 2m-6>0, g(1)≤0， g(t)=212-mt+21-6,则g(2)>0,即 2-m十2m-6≤0，解得3<m<4. 8-2m+2m-6>0, 婴1， m≠4， y 15.解：(1)因为cos2A+cos2B-cos2C=1-sin Asin B, 所以1-sinA+1-sinB-(1-sin2C)=1-sin Asin B,即sinA+sinB-sinC=sin Asin B,…2分 由正弦定理，得a2十b-2=ab,… …4分 所以cosC=+6B-c_L 2ab 2， 6分 又Ce(0,x),所以C=子 7分 (2)因为c=3,所以a2+=9+ab,… 8分 所以(a+b)=9+3ab6长9+3()， 10分 所以(a十b)2≤36，所以a+b≤6，当且仅当a=b=3时等号成立， 12分 所以△ABC的周长的最大值为9.… 13分 16.解：(1)因为a+1=3(n十1)a,所以m=3Xa n+1 2分 又孕=1，所以{头是以1为首项，3为公比的等比数列， 3分 所以%=1X31,所以a。=nX31.… 4分 (2)由(1)得Sn=1×3°+2×3+3×32+…+n×3-1,① 所以3Sn=1×31+2×32+3×33+…+n×3,②… 6分 由①一②，得 -2S=1+3+3++31-X3=-X=(号-)×3号 8分 所以8=2”×3+子 10分 【12月高三联考专版·数学参考答案第2页（共4页）】 H 所以4Sm一1=(2-1)×3"， 所以6=2-DX=2-DX3=[2-x2+x3]: (n+1)×3” …12分 所以T=(3）+(X)+()十+)x 1 (2+1)X3+中」 -[片石十点石点衣点++m+x】 =12一(8m+4)·3币： 15分 17.(1)证明：由题意知AE∥CD,AB=CD,E是AB的中点， 所以AE=CD,△ABn△CDM,所以器-是=2， 2分 又CN=2NP,即S-2,所以分-器所以MN/PA. 4分 又PAC平面PAD,MN平面PAD,所以MN∥平面PAD.… …5分 (2)解：取AD的中点O,连接OP,OB,则OP⊥AD,OB⊥AD, 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,OPC平面PAD, 所以OP⊥平面ABCD,又OBC平面ABCD,所以OP⊥OB.…6分 所以直线OA,OB,OP两两垂直，故以O为原点，直线OA,OB,OP分别为x轴，y轴， 之轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0),C(一4,25,0)，D(一2,0,0)， P(0,0,23),E(1,5,0),所以AC=(-6,23,0),PA=(2,0,-25),D2= 1 (3,3,0),CP=(4,-23,25),D元=(-2,25,0).…. …7分 Ae--花个 设平面PAC的-个法向量为m=(,则m:文0即 -6x+25y=0,令x1 E B m.PA=0,2x-23x=0, =1,解得x=√3，y=3,所以m=(5,3,1),… …9分 设C成=入C币=(4以，-25x,25)(0<X<1),所以D=D元+C亦=(4纵-2,25(1-A),25), ∫n·DE=0, 设平面DEN的一个法向量为n=(a,b,c),则 n.D=0, 即3a+/56=0, (4-2)a+25(1-A)b+25λc=0 令a=入，解得b=-√3x,c=4 5 所以n=(入，-3x,4这 …11分 因为平面DEN与平面PAC的夹角的余弦值为零。 4-11λ m·n 所以|cos(m,n)|=Tm·Tn可 |4-11a 13 13，… 13分 13 45入 2+3+ /13/372-40A+16 解得入=号，或入=0（舍）， 所以存在点N.使得平面DEN与平面PAC的夹角的余弦值为零，此时>-兰 …15分 014 )解：将点A(一3,1D,F(0,2)代人E的方程，得是十存=1， =1, …2分 a 所以a=25,6=2所以E的方程为号+兰=1. …4分 （2②1)证明：由题意得B(一4,0)，设BC的方程为y=十4)，与E的方程联立，得荒+少 1 4 化简，得(3k2+1)x2+24k2x+48k2-12=0,… 5分 由△=242k-4(3k2+1)(48k2-12)>0,得k2<1, 设C(),D(2),则0十=3a=412 3k2+11 6分 所以k1十=义-+当-k(十4)-11(22十4)-1_k(西+3)+k-1+k(2+3)+k-1 x1+3x2+3 x+3 x2+3 +3 x2+3 =2k+(k-1)(1。 1 （x+3+x2+3 ）=2k+(k-1)· x1+2+6 x1x2+3(01十x2)+9 …8分 24k2 =2k+ (k-1D(-3+6 48k2-12 =2k+(k=)(626k）=2k-2(k-1D=2, 72k2 3k2+1 3k+7+9 3k2-3 【12月高三联考专版·数学参考答案第3页（共4页）】 H 所以k1十k2为定值，且定值为2.… 10分 (iⅱ)解：直线AC的方程为y-1=k1(x+3),令x=一4，得y=1-k1,故N(-4,1-k1), 同理M(-4,1一2)，记M,N的纵坐标分别为yM,yw,则yM+yw=2-(k1十k2), …11分 由(1)得w+yw=2-(k1+)=0,所以|w|=|yw|, 所以S1=S△BDN-S△CN=- 1w(+4)-21n+4)=合1w(m-a), S=1rl(+40, x1+4 13分 由方程<3k+1Dx+24x+48-12=0(2<1D,得x1=一2448C2,=-24十/48互 2(3k2+1) 2(3k2+1) …14分 -24k2+/481-k)-24k2-481-k) 2/481-k) 所以号 2(3k2+1) 2(3k2+1) 2(3k+1) 23(1-k) -24k2-V481b5+4 …15分 -48(1-b2)+8-√3(1-)+2 2(3k2+1) 2(3k+1) 2-∈(0,43+6]： 即号的取值范围为(0,43+6]. …………………… 17分 19.(1)解：当m=1时，f()=hx-号2-x十1，则f(x)=lhx十1-x-1=lnx-,…1分 所以f1)=-1,f1)=-2-1+1=-2, …2分 切线方程为y叶7三（工1)，即为2红十2y1=0。 (2)解：由题意得g(x)=lnx一mx,g'(x)=1m延， …5分 ①当m≤。时，因为x∈[1，e],所以g(x)≥0， 所以函数g(x)在[1，e]上单调递增，则g(x)mx=g(e)=1一me; …6分 @当1<<e,即。<m<1时，gx)在(1，品)上单调递增，在（分e)上单调递减，则g)=g(）=-1nm 1… …7分 ③当0<≤1，即m≥1时，x∈[1，e],g(x)<0,函数g(x)在[1，e]上单调递减，g(x)m=g(1)=一m 综上，当m<。时，g(x)=g(e)=1-me;当。<m<1时，g(x)=g()=-lhm-1:当m≥1时，g(x)= g(1)=-.…9分 (3)证明：要证x1x2>e,只需证lnx1+lnx2>2. 若f(x)有两个极值点x1,,不妨设0<<2，即f(x)有两个零点，又f(x)=lnx一mx, 所以五是方程了()=0的两个不同实银，即出。侧解得h边。 …11分 x十x2 由品-0得n一hm一方，所以血n4=h十n x2一x x1十2 12分 所以1na十ln=n-hx)(+x) (1+会)h x2一x1 一1 设1=，则>1，ln十n=f,l.… t-1 13分 要证n1十1nn>2,即证D血2，>1，所以当>1时，有1n>2 ……… t-1 t+1 14分 设函数h()=1n12里，≥1，则Kc)=1-2+1)2-D==D t+1 (t+1) 1(1+1)≥0， 所以h(t)在(1，十∞)上单调递增. …15分 又h(1)=0,因此h(t)≥h(1)=0. 所以当1时，恒有1nt>2,所以n十n>2成立，即>e2. t+1 17分 【12月高三联考专版·数学参考答案第4页（共4页）】 H