专题 5.4 一次函数的图象与性质（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 5.4 一次函数的图象与性质 目 录 一.知识梳理 1 【知识点一】一次函数的图象 2 【知识点二】一次函数的图象的位置 2 【知识点三】一次函数的图象的对称性 2 【知识点四】一次函数的性质 2 【知识点五】一次函数图象的平移 2 二.题型精析 2 （一）基础篇 2 【★题型1】正比例函数图象与性质 3 【★★题型2】正比例函数性质与几何综合 5 【★题型3】一次函数的图象位置 7 【★题型4】一次函数图象的对称性 8 【★题型5】一次函数增减性比较大小 10 【★题型6】一次函数的增减性与参数关系 11 【★题型7】一次函数图象与坐标轴交点 13 （二） 培优篇 14 【★★题型8】一次函数图象与性质综合 14 【★★题型9】一次函数图象性质与几何综合 16 【★★题型10】一次函数图象与性质与规律综合 21 三．同步练习​ 24 【基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 24 【能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 34 一.知识梳理 题号带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】一次函数的图象 一次函数（k,b为常数，且k≠0）可以用直角坐标系中的一条直线来表示，这条直线叫作一次函数的图象。 【知识点二】一次函数的图象的位置 （1）一次函数的图象：一次函数（k,b为常数，且k≠0）可以用直角坐标系中的一条直线来表示，这条直线叫作一次函数的图象。 （2）一次函数图象的位置：是经过原点的一条直线，时，直线经过一三象限，时，直线经过二四象限，直线相对于来说，当时，直线向上平移个单位；当时，直线向下平移个单位。 【知识点三】一次函数的图象的对称性 一次函数（k,b为常数，且k≠0）可以用直角坐标系中的一条直线来表示，这条直线叫作一次函数的图象。 对称类型 k值关系 b值关系 对称函数 关于y轴对称 关于x轴对称 【知识点四】一次函数的性质 一次函数（k,b为常数，且k≠0），当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减大 【知识点五】一次函数图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】正比例函数图象与性质 【例题1】（2025八年级上·上海·专题练习）关于正比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象经过第二、四象限 C．不论x取何值，总有 D．y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的性质，包括图象经过的点、象限分布、函数值符号和增减性，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据正比例函数的图象和性质逐项进行判断即可． 解：A. 当时，，故图象不经过点 ，该选项错误； B. ∵ 正比例函数，比例系数， ∴ 图象经过第一、三象限，不经过第二、四象限，故该选项错误； C. 当时，；当时，，故不一定大于0，该选项错误； D. ∵ ， ∴ 随的增大而增大，故该选项正确； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，随的增大而增大的有 ，随的增大而减小的有 ，图象经过原点的有 ，图象互相平行的是 （填序号）． 【答案】 ③④⑤ ①②⑥ ③⑥ ①⑥ 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，正比例函数的性质，正确掌握一次函数图象的增减性，一次函数的性质，正比例函数的性质是解题的关键． 根据的系数为正数，随的增大而增大，的系数为负数．随的增大而减小，正比例函数图象经过原点，的系数相等的图象互相平行，依次分析①②③④⑤⑥，即可得到答案． 解：①，一次函数，； ②，一次函数，； ③正比例函数，过原点，，； ④，一次函数，； ⑤，一次函数，； ⑥，正比例函数，过原点，． 根据题意得： ∵的系数为正数，随的增大而增大， ∴随的增大而增大的有③④⑤， ∵的系数为负数．随的增大而减小， ∴随的增大而减小的有①②⑥， ∵正比例函数图象经过原点， ∴图象经过原点的有③⑥， ∵的系数相等的图象互相平行， ∴图象相互平行的是①⑥， 故答案为：③④⑤，①②⑥，③⑥，①⑥． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数是正比例函数． （1）若函数关系式中随的增大而减小，求的值； （2）若函数的图象过第一，三象限，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义． （1）先根据正比例函数的定义求出的所有可能值，再结合（1）中描述的函数性质，从可能值中筛选出符合条件的值； （2）先根据正比例函数的定义求出的所有可能值，再结合（2）中描述的函数性质，从可能值中筛选出符合条件的值． 解：（1）解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得：． ∵函数关系式中y随x的增大而减小， ∴， ∴； （2）解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得：． ∵函数的图象过第一、三象限， ∴， ∴． 【★★题型2】正比例函数性质与几何综合 【例题2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边长为4． （1）求点A的坐标； （2）求所在直线的表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，求解正比例函数解析式． （1）过点A作轴于点D，求解，，进一步可得． （2）设直线的表达式是，把点A的坐标代入，进一步求解即可． 解：（1）解：如图，过点A作轴于点D， ∵是边长为4的等边三角形， ∴，， 在中，， ∴． （2）解：设直线的表达式是， 把点A的坐标代入，得， 解得， ∴直线的表达式是． 【变式1】将的正方形网格如图放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上．若直线与正方形有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质．分别确定点A和点C的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得k的取值范围． 解：由题意得：点A的坐标为，点C的坐标为， ∵当正比例函数经过点A时，，当经过点C时， ， ∴直线与正方形有公共点，k的取值范围是， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）已知正比例函数的图象与x轴所成的锐角为，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质．设正比例函数的图象的异于原点的一点的坐标为，然后分两种情况：当时，当时，即可求解． 解：设正比例函数的图象的异于原点的一点的坐标为， 当时， ∵正比例函数的图象与x轴所成的锐角为， ∴正比例函数的图象是第一，三象限的角平分线， ∴， ∴； 当时， ∵正比例函数的图象与x轴所成的锐角为， ∴正比例函数的图象是第二，四象限的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，k的值为． 故答案为： 【★题型3】一次函数的图象位置 【例题3】（25-26八年级上·安徽六安·期中）一次函数的图象经过第一、二、三象限，那么一次函数的图象经过的象限是（    ） A．一，二，三 B．一，三，四 C．二，三，四 D．一，二，四 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，由一次函数 的图象经过第一、二、三象限，可知，进而判断的图象经过的象限． 解：∵ 的图象经过第一、二、三象限， ∴ ， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·青海玉树·期末）正比例函数的图象经过原点和第一、三象限，则直线经过第 象限． 【答案】一，二，四 【分析】本题考查判断直线经过的象限，根据正比例函数的图象经过原点和第一、三象限，得到，再根据直线的解析式，判断直线经过的象限即可． 解：∵正比例函数的图象经过原点和第一、三象限， ∴， ∴，， ∴直线过第一，二，四象限； 故答案为：一，二，四 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，理解题意，再进行分类讨论，然后结合选项的函数图象进行分析，即可作答． 解：依题意，当时， 则是经过第一、三象限的正比例函数，是经过第一、三、四象限的一次函数， 观察四个选项，都不符合上述情况； 依题意，当时， 则是经过第二、四象限的正比例函数，是经过第一、二、三象限的一次函数， 观察四个选项，唯有B选项符合上述情况； 故选：B 【★题型4】一次函数图象的对称性 【例题4】（25-26七年级上·全国·课后作业）若平面直角坐标系中，两点关于过原点的一条直线对称，则这两点就是互为镜面点，这条直线叫镜面直线，如和是以为镜面直线的镜面点．和是一对镜面点，则镜面直线为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．求得线段的中点，然后根据待定系数法即可求得． 解：设直线的解析式为， ∵和， ∴线段的中点为， ∵镜面直线经过原点和， 代入解析式为，得 解得 ∴镜面直线为； 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限．若点A关于x轴的对称点在直线上，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能使解析式成立．再把B点坐标代入可得m的值． 解：∵点在直线上， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·北京·阶段练习）若直线与直线关于直线对称，则、值分别为： ， ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键． 先求出一次函数与y轴交点关于直线的对称点，得到b的值，再求出一次函数与y轴交点关于直线的对称点，代入一次函数，求出k的值即可． 解：对于，当时，， ∴一次函数与y轴交点为， ∵点关于直线的对称点为， 把点代入直线，得： ，解得：， ∴对于，当时，， ∴一次函数与y轴交点为， ∵关于直线的对称点为， 把点代入直线，得： ，解得． 故答案为：； 【★题型5】一次函数增减性比较大小 【例题5】（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知点，，都在直线（c为常数）上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的性质进行求解即可． 解：∵点，，都在直线，且，即y随x的增大而减小， 又， ∴； 故选B． 【变式1】（25-26八年级上·云南丽江·期中）已知点，在一次函数的图象上，则，，0的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较一次函数的值的大小， 通过将点的横坐标代入一次函数解析式，求出对应的纵坐标值，然后比较大小． 解：∵点在函数的图象上上， ∴； ∵点在函数的图象上上， ∴； ∴，， ∴． 故选： D． 【变式2】（24-25八年级上·上海松江·月考）一次函数中，当时，则函数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，熟练掌握由k的符号判断一次函数的增减性是解答的关键．先根据一次函数的解析式判断出其增减性，再求出与时y的值即可． 解：对于一次函数， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∵当时，，当时，， ∴当时，， 故选：B． 【★题型6】一次函数的增减性与参数关系 【例题6】（25-26八年级上·陕西西安·期中）设点和点是直线上的两个点，则 ．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合，即可得出． 解：∵， ∴一次函数具有y随x的增大而减小的性质， ∵， ∴. 故答案为：>． 【变式1】（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）已知正比例函数中，的值随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的性质，熟知时，随的增大而增大是解题关键． 根据正比例函数的性质，当比例系数大于0时，y随x的增大而增大． 解：∵在正比例函数中，y随x的增大而增大， ∴， 解得：． 故选：C 【变式2】（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）已知一次函数． （1）若该函数图象与轴的交点位于轴的正半轴，则的取值范围是 ． （2）当时，函数有最大值，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数，解题关键是熟练掌握如何根据一次函数增减性求参数． （1）根据题意得不等式，解不等式即可得到结论； （2）根据题意得方程，解方程即可得到答案． 解：（1）一次函数的图象与轴的交点位于轴的正半轴， ， 解得：； （2）在一次函数中， ， 随的增大而增大， 当时，函数有最大值， 当时，， 代入得， ， 解得：． 故答案为：①；②． 【★题型7】一次函数图象与坐标轴交点 【例题7】（25-26七年级上·山东济南·期中）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴的交点为 B．的值随的增大而减小 C．它的图象与轴的交点为 D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． 根据一次函数的性质，分别计算与坐标轴的交点、判断增减性和图象所经象限． 解：一次函数为， 当时，， 与 轴交点为 ，选项错误； ， 随的增大而增大，选项错误； 当时，， 解得， 与轴交点为，选项正确； ，， 图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，选项错误． 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期中）一次函数的图象与轴、轴分别交于点，O为坐标原点，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题． 先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式计算． 解：对于一次函数， 当时，，解得 ，所以点的坐标为 ； 当时，，所以点的坐标为 ． 因此 ，， 则的面积为． 故答案为：4． 【变式2】（25-26八年级上·江西吉安·期中）平面直角坐标系内，一次函数经过点和 （1）求，的值； （2）求该直线与坐标轴的交点坐标 【答案】（1），；（2）直线与轴交点坐标为；直线与轴交点坐标为 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，求直线与坐标轴的交点坐标． （1）把点的坐标代入即可求解； （2）分别令，即可求解． 解：（1）解：一次函数经过点，， ，， 解得，； （2）解：当时，， 直线与轴交点坐标为； 当时，， 直线与轴交点坐标为 （2） 培优篇 【★★题型8】一次函数图象与性质综合 【例题8】（25-26八年级上·山东济南·期中）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．与轴交点坐标为 B．若为图象上两点，当时， C．与一次函数的图象平行 D．不会同时经过第一象限和第二象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象性质，包括与坐标轴交点、增减性、平行条件及象限分布．需逐一分析各选项即得． 解：A、∵令，得， ∵， ∴，交点为， 故A错误． B、∵ 函数的斜率是k， 当时y随x增大而增大， 当时y随x增大而减小， 选项B中仅当时成立， 但不恒成立， 故B错误． C、∵ 函数与的斜率均为k， ∴ 两直线平行， 故C正确． D、∵ 当时，函数经过第一、二、三象限； 当时，经过第二、三、四象限， 故可能同时经过第二象限（时）， 故D错误． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）关于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图像过点 B．图像与y轴的交点坐标是 C．y随x的增大而增大 D．图像经过第一、二、三象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数的增减性以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．将和分别代入解析式，即可判断A和B选项，根据一次函数图象与性质，即可判断C和D选项． 解：A、当时，， ∴一次函数的图象不经过点，选项A不符合题意； B、当时，， ∴一次函数的图象与轴的交点为，选项B符合题意； C、∵， ∴随的增大而减小，选项C不符合题意； D、∵，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项D不符合题意． 故选：B． 【变式2】已知：是y关于x的一次函数，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．函数图象与y轴的交点为 C．y随x的增大而增大 D．函数图象经过第一、二、三象限 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据一次函数的图象和性质，以及一次函数图象上点的坐标特征，一次函数解析式系数的几何意义，逐一判断选项，即可． 解：∵，， ∴y值随x值的增大而减小，故C错误，函数图象经过第一、二、四象限，故D错误 当时， ∴函数图象与y轴的交点为，故B正确，当时，，故A错误， 故选：B． 【★★题型9】一次函数图象性质与几何综合 【例题9】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，，将点向上平移3个单位得到点，过点作，如图1． （1）求直线的表达式； （2）如图2，分别作和的角平分线，相交于点， ①求证：； ②求的度数． 【答案】（1）；（2）①见分析；② 【分析】本题考查了一次函数表达式的求解，一次函数图象平移，角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是由角平分线的性质得到角度的关系． （1）先由待定系数法求解直线的表达式，再由向上平移3个单位长度即可得直线的表达式； （2）①根据角平分线的性质，可得，再由平行线的性质可得，再根据三角形内角和性质可得，由此可证； ②根据直角三角形可得，再由三角形内角和性质可得，再由角度相等转化求解度数即可． 解：（1）解：∵在平面直角坐标系中，， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∵点向上平移3个单位得到点，且， ∴， 即直线的表达式为； （2）解：①记与y轴交点为点Q，如图， ∵为的角平分线，为的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， 有， 即， 即， ∵， ∴； ②连接，如图， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 由①可知，， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，动点在轴的负半轴上，连接，将沿所在直线折叠，当点的对应点恰好落在轴上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理的应用，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 在中，，求出，即可求解． 解：∵的图象与轴交于点，与轴交于点， 当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， 设， 连接， ∵与关于对称， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴； 故选：B． 【变式2】如图直线分别交x轴、y轴于点A、B，点O为坐标原点，若以点P，O，B为顶点的三角形与全等，（点P不与点A重合）则点P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的性质，先求解，，结合以点P，O，B为顶点的三角形与全等，分三种情况讨论即可． 解：∵以点P，O，B为顶点的三角形与全等，（点P不与点A重合），分情况如下： ①如图所示： ∵直线分别交x轴、y轴于点A、B， ∴当时，当时，则， 解得：， ∴，， ； ②如图， 此时， ∴； ③如图，当时， 此时， ∴， 故点的坐标为或或． 故答案为：或或 【★★题型10】一次函数图象与性质与规律综合 【例题10】如图，在平面直角坐标系中，都是等腰直角三角形，点都在x轴上，点与原点重合，点都在直线上，点C在y轴上，轴，轴，若点A的横坐标为，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】分别求出，探究规律，利用规律解决问题即可．本题考查等腰直角三角形的性质，一次函数的应用，规律型问题等知识，找规律是关键． 解：由题意，可得， 设，则，解得， ， 设，则，解得， ， 设，则，解得， ， 同法可得的纵坐标为， 点的纵坐标是． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期中）正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点、、和点、、…分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律的横坐标是，纵坐标是是解题的关键．依据题意，利用一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可得出点，，，，的坐标，即可根据正方形的性质得出，，，，的纵坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律点的横坐标是：，再代入即可得出结论． 解：当时，， ∴点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， ∵为正方形， ∴点的坐标为， 同理，可知：点的坐标为， 点的坐标为， ∴的横坐标是：，纵坐标是：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 三．同步练习​ 【基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数图象上各点的坐标一定符合此函数的解析式是解答此题的关键． 先把点代入正比例函数，求出k的值，可得出此函数的解析式，再把各点代入此函数的解析式进行检验即可解答． 解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴正比例函数的解析式为． A．由当时，，则不在正比例函数的图象上，故本选项错误； B．由当时，，则不在正比例函数的图象上，故本选项错误； C．由当时，，则不在正比例函数的图象上，故本选项错误； D．由当时，，则在正比例函数的图象上，故本选项正确． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江西吉安·期中）一次函数的图象如图所示，则一次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据已知得出，进而判断的图象，即可求解． 解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限 ∴， ∴的图象经过一、三、四象限 故选：B． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据轴对称的性质得出k，b的值，然后进行解答即可． 解：∵直线与直线关于轴对称， ∴ ∴一次函数即，的图象不经过第二象限， 故选：B． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）点都在直线上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象性质：当，y随x增大而增大；当时，y将随x的增大而减小．根据可知y随x的增大而减小，根据函数的增减性和x的大小即可判断． 解：∵， ∴y将随x的增大而减小， ∵点都在直线上，且， ∴． 故选：B． 5．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数（）的图象经过点，且随的增大而增大．若点在该函数的图象上，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与性质，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 现将代入解析式，得到，则得到一次函数为，再根据随的增大而增大得，将选项中各点代入函数解析式，验证是否满足即可得到答案． 解：一次函数（）的图象经过点， ∴，即， 又∵随的增大而增大， ∴， 则一次函数为， A、将代入得，解得，不符合题意； B、将代入得，解得，符合题意； C、将代入得，解得，不符合题意； D 、将代入得，解得，不符合题意； 故选：B． 6．（25-26八年级上·安徽六安·期中）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（   ） x 0 1 2 y 6 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握利用描点法画一次函数图象是解题的关键． 在平面直角坐标系中，描点，发现点、、在同一直线上，点不在直线上，据此解答即可． 解：在平面直角坐标系中，表格中各点的位置为： 则表格中点、、在同一直线上，不在直线上， 故选：D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·安徽六安·期中）一个正比例函数图象经过点，则其函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式．根据待定系数法，可得函数解析式． 解：设函数解析式为，将代入函数解析式，得 ． 函数解析式为， 故答案为：． 8．（19-20八年级下·湖南湘西·期末）当时，函数的图像经过 象限． 【答案】一、二、三 【分析】本题考查了一次函数图像与系数的关系：对于（k为常数，），当，，的图像在一、二、三象限；当，，的图像在一、三、四象限；当，，的图像在一、二、四象限；当，，的图像在二、三、四象限． 根据一次函数图像与系数的关系作答即可． 解：由题意可知，，， ∴函数的图像经过一、二、三象限． 故答案为：一、二、三． 9．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）直线与轴的交点坐标为 ，与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点坐标的求法，掌握知识点是解题的关键． 与x轴交点令，与y轴交点令，分别求解即可． 解：当时， ， 解得， 所以与x轴交点坐标为． 当时，， 所以与y轴交点坐标为． 故答案为；． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）若点，在一次函数的图像上，且，则，，m的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图像上点的坐标特征，此类题目只需要根据k的符号确定函数y随x的变化情况，进而求解．由一次函数判断函数值y随自变量x的值增加而增加，即可求解． 解：由题意可知一次函数解析式为： ， 斜率， 函数的增减性为：函数值y随自变量x的值增加而增加， 令，代入函数解析式得， 点在一次函数上， ，也在一次函数上，且， 由一次函数增减性可知，． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，把直线向上平移后得到直线，直线经过点且，直线的关系式是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一次函数及其平移，掌握待定系数法是解题的关键． 设直线的解析式为，然后将点代入解析式中，再利用m，n之间的关系即可得到b的值，进而答案可求． 解：设直线的解析式为， ∵直线经过点点， ． ， ， ∴直线的表达式为． 故答案为：． 12．（22-23八年级下·四川广安·月考）正方形…按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，找到规律是关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征找到规律，由规律解答即可． 解：∵点，， ，， 将，代入得，解得：， ∴一次函数解析式为， ， ， 同理， 则， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26八年级上·全国·期中）已知一次函数（m为常数）． （1）若函数图象经过原点，求m 的值； （2）若函数图象平行于直线，求这个函数图象与 x 轴的交点坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握两直线平行时，相等． （1）令求出m的值即可； （2）根据互相平行的两条直线k值相等求出m的值得出函数解析式，再求出函数图象与x轴的交点坐标即可． 解：（1）解：∵函数的图象经过原点， ∴当时，，即， 解得：； （2）解：∵函数的图象与直线平行， ∴， 解得：， ∴， 把代入得， 解得：， ∴这个函数图象与 x 轴的交点坐标为． 14．（24-25八年级下·湖北·期末）已知一次函数，它的图象经过点和． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）一次函数的图象不经过第 象限，y随x的增大而 ； （3）当时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）y与x之间的函数表达式为：；（2）四，增大；（3）自变量x的取值范围为 【分析】本题主要考查一次函数图形的性质，掌握待定系数法，函数增减性，函数值或自变量值的计算是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数解析式得到函数图象即可求解； （3）根据函数值的范围求自变量的取值范围． 解：（1）解：一次函数，它的图象经过点和， ∴， 解得，， ∴y与x之间的函数表达式为：； （2）解：一次函数解析式为， ∵， ∴一次函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，y随x的增大而增大， 故答案为：四，增大； （3）解：当时，，则，当时，，则， ∴当时，自变量x的取值范围为． 15．（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点； （1）直接写出点B的坐标为___________； （2）求出的面积； （3）在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在或 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得B的坐标； （2）根据题意得出C的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）设，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，用了分类讨论思想和方程思想． 解：（1）解：在中，令，则， ， 故答案为：； （2）解：点， 的面积； （3）解：存在； 设， ， ， ， 或 16．（24-25八年级上·江苏南京·月考）课本P152有段文字：把函数的图像分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图像． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图像沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式? 老师给了以下提示：如图，在函数的图像上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图像沿轴向右平移3个单位长度后得到的图像． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图像沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为（    ） A．        B．        C．        D． 【解决问题】 （2）已知一次函数的图像与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【答案】（1）C；（2） 【分析】本题考查图形变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标“左减右加”；纵坐标“上加下减”．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要弄清楚平移前后的解析式有什么关系． （1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； 解：（1）∵函数的图像沿轴向右平移3个单位长度 ∴ 故选：C. （2）在函数的图像上取两个点，关于x轴对称的点的坐标， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴一次函数的表达式为. 【能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.4 一次函数的图象与性质 目 录 一.知识梳理 1 【知识点一】一次函数的图象 1 【知识点二】一次函数的图象的位置 1 【知识点三】一次函数的图象的对称性 2 【知识点四】一次函数的性质 2 【知识点五】一次函数图象的平移 2 二.题型精析 2 （一）基础篇 2 【★题型1】正比例函数图象与性质 2 【★★题型2】正比例函数性质与几何综合 3 【★题型3】一次函数的图象位置 3 【★题型4】一次函数图象的对称性 4 【★题型5】一次函数增减性比较大小 4 【★题型6】一次函数的增减性与参数关系 5 【★题型7】一次函数图象与坐标轴交点 5 （二） 培优篇 5 【★★题型8】一次函数图象与性质综合 5 【★★题型9】一次函数图象性质与几何综合 6 【★★题型10】一次函数图象与性质与规律综合 7 三．同步练习 8 【基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 8 【能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 11 一.知识梳理 题号带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】一次函数的图象 一次函数（k,b为常数，且k≠0）可以用直角坐标系中的一条直线来表示，这条直线叫作一次函数的图象。 【知识点二】一次函数的图象的位置 （1）一次函数的图象：一次函数（k,b为常数，且k≠0）可以用直角坐标系中的一条直线来表示，这条直线叫作一次函数的图象。 （2）一次函数图象的位置：是经过原点的一条直线，时，直线经过一三象限，时，直线经过二四象限，直线相对于来说，当时，直线向上平移个单位；当时，直线向下平移个单位。 【知识点三】一次函数的图象的对称性 一次函数（k,b为常数，且k≠0）可以用直角坐标系中的一条直线来表示，这条直线叫作一次函数的图象。 对称类型 k值关系 b值关系 对称函数 关于y轴对称 关于x轴对称 【知识点四】一次函数的性质 一次函数（k,b为常数，且k≠0），当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减大 【知识点五】一次函数图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】正比例函数图象与性质 【例题1】（2025八年级上·上海·专题练习）关于正比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象经过第二、四象限 C．不论x取何值，总有 D．y随x的增大而增大 【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，随的增大而增大的有 ，随的增大而减小的有 ，图象经过原点的有 ，图象互相平行的是 （填序号）． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数是正比例函数． （1）若函数关系式中随的增大而减小，求的值； （2）若函数的图象过第一，三象限，求的值． 【★★题型2】正比例函数性质与几何综合 【例题2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边长为4． （1）求点A的坐标； （2）求所在直线的表达式． 【变式1】将的正方形网格如图放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上．若直线与正方形有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）已知正比例函数的图象与x轴所成的锐角为，则k的值为 ． 【★题型3】一次函数的图象位置 【例题3】（25-26八年级上·安徽六安·期中）一次函数的图象经过第一、二、三象限，那么一次函数的图象经过的象限是（    ） A．一，二，三 B．一，三，四 C．二，三，四 D．一，二，四 【变式1】（24-25八年级下·青海玉树·期末）正比例函数的图象经过原点和第一、三象限，则直线经过第 象限． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【★题型4】一次函数图象的对称性 【例题4】（25-26七年级上·全国·课后作业）若平面直角坐标系中，两点关于过原点的一条直线对称，则这两点就是互为镜面点，这条直线叫镜面直线，如和是以为镜面直线的镜面点．和是一对镜面点，则镜面直线为 ． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限．若点A关于x轴的对称点在直线上，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式2】（24-25八年级下·北京·阶段练习）若直线与直线关于直线对称，则、值分别为： ， ． 【★题型5】一次函数增减性比较大小 【例题5】（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知点，，都在直线（c为常数）上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·云南丽江·期中）已知点，在一次函数的图象上，则，，0的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·上海松江·月考）一次函数中，当时，则函数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【★题型6】一次函数的增减性与参数关系 【例题6】（25-26八年级上·陕西西安·期中）设点和点是直线上的两个点，则 ．（填“>”、“<”或“=”） 【变式1】（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）已知正比例函数中，的值随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）已知一次函数． （1）若该函数图象与轴的交点位于轴的正半轴，则的取值范围是 ． （2）当时，函数有最大值，则的值为 ． 【★题型7】一次函数图象与坐标轴交点 【例题7】（25-26七年级上·山东济南·期中）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴的交点为 B．的值随的增大而减小 C．它的图象与轴的交点为 D．它的图象经过第一、二、三象限 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期中）一次函数的图象与轴、轴分别交于点，O为坐标原点，则的面积为 ． 【变式2】（25-26八年级上·江西吉安·期中）平面直角坐标系内，一次函数经过点和 （1）求，的值； （2）求该直线与坐标轴的交点坐标 （2） 培优篇 【★★题型8】一次函数图象与性质综合 【例题8】（25-26八年级上·山东济南·期中）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．与轴交点坐标为 B．若为图象上两点，当时， C．与一次函数的图象平行 D．不会同时经过第一象限和第二象限 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）关于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图像过点 B．图像与y轴的交点坐标是 C．y随x的增大而增大 D．图像经过第一、二、三象限 【变式2】已知：是y关于x的一次函数，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．函数图象与y轴的交点为 C．y随x的增大而增大 D．函数图象经过第一、二、三象限 【★★题型9】一次函数图象性质与几何综合 【例题9】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，，将点向上平移3个单位得到点，过点作，如图1． （1）求直线的表达式； （2）如图2，分别作和的角平分线，相交于点， ①求证：； ②求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，动点在轴的负半轴上，连接，将沿所在直线折叠，当点的对应点恰好落在轴上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图直线分别交x轴、y轴于点A、B，点O为坐标原点，若以点P，O，B为顶点的三角形与全等，（点P不与点A重合）则点P的坐标为 ． 【★★题型10】一次函数图象与性质与规律综合 【例题10】如图，在平面直角坐标系中，都是等腰直角三角形，点都在x轴上，点与原点重合，点都在直线上，点C在y轴上，轴，轴，若点A的横坐标为，则点的纵坐标是 ． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期中）正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点、、和点、、…分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 三．同步练习​ 【基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江西吉安·期中）一次函数的图象如图所示，则一次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）点都在直线上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 5．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数（）的图象经过点，且随的增大而增大．若点在该函数的图象上，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·安徽六安·期中）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（   ） x 0 1 2 y 6 2 A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·安徽六安·期中）一个正比例函数图象经过点，则其函数表达式为 ． 8．（19-20八年级下·湖南湘西·期末）当时，函数的图像经过 象限． 9．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）直线与轴的交点坐标为 ，与轴的交点坐标为 ． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）若点，在一次函数的图像上，且，则，，m的大小关系是 ． 11．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，把直线向上平移后得到直线，直线经过点且，直线的关系式是 ． 12．（22-23八年级下·四川广安·月考）正方形…按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是 ． 三、解答题 13．（25-26八年级上·全国·期中）已知一次函数（m为常数）． （1）若函数图象经过原点，求m 的值； （2）若函数图象平行于直线，求这个函数图象与 x 轴的交点坐标． 14．（24-25八年级下·湖北·期末）已知一次函数，它的图象经过点和． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）一次函数的图象不经过第 象限，y随x的增大而 ； （3）当时，直接写出自变量x的取值范围． 15．（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点； （1）直接写出点B的坐标为___________； （2）求出的面积； （3）在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 16．（24-25八年级上·江苏南京·月考）课本P152有段文字：把函数的图像分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图像． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图像沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式? 老师给了以下提示：如图，在函数的图像上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图像沿轴向右平移3个单位长度后得到的图像． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图像沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为（    ） A．        B．        C．        D． 【解决问题】 （2）已知一次函数的图像与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $