精品解析：江苏省苏州市虎丘区苏州高新区实验初级中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025~2026学年第一学期初二数学现场作业 一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分） 1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A. 1，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 3. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 若与最简二次根式能合并，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 若，，则的值用a，b可以表示为（　　） A. B. C. D. 6. 如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（ ） A. 4 B. C. 7 D. 7. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. 5 D. 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 化简：_____． 10. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 11. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 12. 若，，则的值是______． 13. 如图，长方形E的长是宽的2倍，图中所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为5、23、10，则正方形D的面积为______． 14. 关于的方程的解为正数，则的取值范围为______． 15. 如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处，当三角形为直角三角形时，的长为______． 16. 如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是______． 三、解答题（共9小题，共60分） 17. 计算 （1）； （2） 18. 将下列多项式分解因式： （1） （2） 19. 解下列方程 （1） （2） 20. 如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．求证： （1）△ACD≌△BEC； （2）CF⊥DE． 21. 城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地．如图，，米，米，米，试求阴影部分的面积． 22. 如图，四边形为正方形，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为点，延长交线段于点，若，求的长． 23. 某大型超市花6000元购进甲、乙两种商品共220件，其中甲种商品每件25元，乙种商品每件30元． （1）求甲、乙两种商品各购进多少件？ （2）A公司决定花1500元从该超市购买甲商品为员工发福利，B公司决定花1900元从该超市购买乙商品为员工发福利，其中甲商品的售价比乙商品的售价便宜8元，若两个公司购买的商品数量刚好一样，则超市能从这次销售中获利多少元？ 24. 阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 如：； 再如：． 解决下列问题： （1）分式是_______（填“真分式”或“假分式”）； （2）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． （3）把分式化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程． 25. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为___________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）的最大值是___________； （4）已知正数满足，则___________． 【选做题】（不计入总分） 26. 如图1，在中，，求的长． 小明的思路：如图2，作于点，在的延长线上取点，使得，连接，易得，为等腰三角形，由和，易得，为等腰三角形，依据已知条件可得和的长． 解决下列问题： （1）图2中，___________，___________； （2）在中，的对边分别为．如图3，当时，用含式子表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期初二数学现场作业 一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分） 1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A. 1，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是指三个正整数，且满足．根据定义，逐项判断即可． 【详解】解：∵勾股数需为正整数且满足． A：，不是正整数，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； B：、、不是正整数，不是“勾股数”故此选项不符合题意； C：，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； D：，是“勾股数”，故此选项符合题意． 故选D． 2. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；根据二次根式的乘法、除法、加减法法则进行计算即可求解． 【详解】∵选项A：，正确； 选项B：，错误； 选项C：，因为根式加减不能直接合并，且数值不相等，错误； 选项D：，错误． ∴正确的是A． 故选：A． 3. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简分式的定义，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查各选项的分子和分母是否有公因式，能否约分，即可判断． 【详解】解： A：，不是最简分式； B：，不是最简分式； C：，不是最简分式； D：，是最简分式， 故选：D． 4. 若与最简二次根式能合并，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 5. 若，，则的值用a，b可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是关键．将化为分数形式，利用二次根式的性质进行化简，并结合给定的a和b表示即可． 【详解】解：，， ． 故选：C． 6. 如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（ ） A. 4 B. C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解和多项式的乘法．根据题意可将变为的形式，再根据题意进行判断即可． 【详解】解：由题意得， 二次三项式在整数范围内可因式分解为， ， ， 故选：C． 7. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接，利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图，连接，则， ∵，， ∴在中，由勾股定理得： ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，求出DE的长是解答的关键． 8. 如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 阴影部分的面积为． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 化简：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数，分式分母不为0是解题的关键．根据二次根式和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意，得且， 且， 故答案为：且． 11. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 12. 若，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解及代数式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键；将所求代数式因式分解后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：由已知，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，长方形E的长是宽的2倍，图中所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为5、23、10，则正方形D的面积为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解答本题的关键是掌握利用勾股定理求线段长的思路与方法．设正方形的面积为，首先根据长方形的长是宽的2倍，得出长方形的长的平方是长方形的宽的平方的4倍，长方形的宽的平方为，然后结合图形，利用勾股定理得到关于的一元一次方程，解这个方程求出的值，即可求解． 【详解】解：设正方形的面积为， 长方形的长是宽的2倍， 长方形的长的平方是长方形的宽的平方的4倍， 正方形、、、的面积依次为5、23、10、， 根据图形得：， 解得：， 正方形的面积为3， 故答案为：3 14. 关于的方程的解为正数，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，含字母系数的分式方程的解：先去分母，再移项，合并同类项，用含有a的代数式表示x，然后根据，且，求出解即可． 【详解】解：即， 去分母，得， 移项，合并同类项，得． ∵这个分式方程的解是正数， ∴，且， 即，且， 解得，且． 故答案为：且． 15. 如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处，当三角形为直角三角形时，的长为______． 【答案】3或6 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，当为直角三角形，有两种情况：①当点落在矩形内部，即时，连接，结合矩形性质、勾股定理求得，再根据折叠性质得到点、、共线，，，求得，设，则，再根据勾股定理即可得解；②当点落在边上，即时，证明四边形是正方形即可得解． 【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况： ①当点落在矩形内部，即时，如下图，连接， 矩形中，，， 在中，，， ， 把沿着折叠，使点落在点处， ， ， 点、、共线， 根据折叠性质可得：，， ， 设，则， 中，， ， 解得， ； ②当点落在边上，即时，如下图： 由折叠性质得：，， 四边形是正方形， ， 此时符合题意． 故答案为：3或6． 16. 如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出≌，得出，进而判断出≌，得出，即可判断出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小． 【详解】如图， 在正方形ABCD中，，，， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ， 取AD的中点O，连接OF、OC， 则， 在中，， 根据三角形的三边关系，， 当O、F、C三点共线时，CF的长度最小， 最小值， 故答案为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系等，综合性较强，有一定的难度，确定出CF最小时点F的位置是解题关键． 三、解答题（共9小题，共60分） 17. 计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，二次根式的加减计算，掌握相应的运算法则是关键． （1）先化简二次根式，后合并同类项即可； （2）先化简二次根式，计算零指数幂，负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 将下列多项式分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解； （1）先提公因式，再根据平方差公式因式分解，即可求解； （2）先提公因式，再根据完全平方公式因式分解即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 19. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解方法，注意最后一定要检验． （1）将分式方程化为整式方程，然后求解，最后检验，即可求解； （2）将分式方程化为整式方程，然后求解，最后检验，即可求解． 【小问1详解】 解：， 去分母可得，， 去括号可得，， 移项可得，， 系数化为1可得，， 经检验，是分式方程的解； 【小问2详解】 解：， 去分母可得，， 去括号可得，， 移项可得，， 系数化为1可得，， 经检验，时，，则是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 20. 如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．求证： （1）△ACD≌△BEC； （2）CF⊥DE． 【答案】 证明：（1）， ， 在和中 ， （2）， ， 又平分， ． 【解析】 【分析】（1）根据平行线性质求出，根据推出即可． （2）根据全等三角形性质推出，根据等腰三角形性质求出即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质的应用，解题的关键是：注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 21. 城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地．如图，，米，米，米，试求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为平方米 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是关键． 根据题意，运用勾股定理得到，运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，由面积公式计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴米， 在中，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ （平方米）， ∴阴影部分的面积为平方米． 22. 如图，四边形为正方形，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为点，延长交线段于点，若，求的长． 【答案】2 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握相关性质是解题的关键． 连接，由正方形的性质得，，由点是的中点，得，由折叠得，，，则，，可证明，则，根据勾股定理列方程得，求得． 【详解】解：如图，连接，   ∵四边形是正方形， ，， ∵点是的中点， ， 由折叠得，，， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ，解得， 的长度为2． 23. 某大型超市花6000元购进甲、乙两种商品共220件，其中甲种商品每件25元，乙种商品每件30元． （1）求甲、乙两种商品各购进多少件？ （2）A公司决定花1500元从该超市购买甲商品为员工发福利，B公司决定花1900元从该超市购买乙商品为员工发福利，其中甲商品的售价比乙商品的售价便宜8元，若两个公司购买的商品数量刚好一样，则超市能从这次销售中获利多少元？ 【答案】（1）甲、乙两种商品各购进120、100件 （2）650元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，找到等量关系是解题的关键． （1）设设甲种商品购进件，根据题意建立一元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设设甲商品的售价元，根据题意列分式方程即可求解． 【小问1详解】 解：设甲种商品购进件，则 解得 答：甲、乙两种商品各购进120、100件； 【小问2详解】 解：设甲商品的售价元，则 解得 经检验，是原分式方程的解． 超市能从这次销售中获利为． 答：超市能从这次销售中获利650元． 24. 阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 如：； 再如：． 解决下列问题： （1）分式是_______（填“真分式”或“假分式”）； （2）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． （3）把分式化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程． 【答案】（1）假 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减法、分式的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由假分式的定义即可判断得解； （2）依据题意得，结合题意可得从而求出结果； （3）根据题意化简即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意，∵当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”， ∴分式是假分式． 故答案为：假； 【小问2详解】 由题意得：， 分式的值为整数， ． 或； 【小问3详解】 ． 25. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为___________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）的最大值是___________； （4）已知正数满足，则___________． 【答案】（1）13；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了数形结合思想、勾股定理的几何应用以及三角形三边关系，将代数式转化为几何图形中的线段长度（直角三角形斜边），利用三角形三边关系变形规则解题是关键． （1）和对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最短得为最小值； （2）和对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最短得为最小值； （3）和对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最长得为最大值； （4）和对应直角三角形直角边，通过构造直角三角形，结合勾股定理解方程求解即可． 【详解】解：（1）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，点在的上方，且，点在的下方，且， 则， ∴代数式表示， ∵， ∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为13； （2）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，点在的上方，且，点在的下方，且， 则， ∴代数式表示， ∵， ∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在 中，由勾股定理得：， 即的最小值为； （3）构造，如图所示： 过点作，交延长线于点， 则， 设， 则，， ∴代数式表示， ∵， ∴的最大值为的长， 即代数式的最大值为的长， 在 中，由勾股定理得：， 即的最大值为； （4）构造于，如图所示： 设，则， ， 设，则， ∴， 解得：， ∴． ∴方程的解是． 故答案为：． 【选做题】（不计入总分） 26. 如图1，在中，，求的长． 小明的思路：如图2，作于点，在的延长线上取点，使得，连接，易得，为等腰三角形，由和，易得，为等腰三角形，依据已知条件可得和的长． 解决下列问题： （1）图2中，___________，___________； （2）在中，的对边分别为．如图3，当时，用含式子表示． 【答案】（1）4； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么． （1）作于点，在的延长线上取点，使得，连接，根据垂直平分线的性质得到，根据题意、三角形内角和定理得到，根据勾股定理计算即可； （2）作于点，在的延长线上取点，使得，连接，则是边的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到，根据题意、三角形内角和定理得到，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：如图2，作于点，在的延长线上取点，使得，连接， 则是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴在直角和直角中， 由勾股定理得到：，即， 解得：， 故答案是：4； ； 【小问2详解】 解：作于点，在的延长线上取点，使得，连接， 则是边的垂直平分线， ， 根据题意得， ， ， ， ， ， ， 又， ∴， ， 由题意得， ， 在中，， 在中，， ， 即， 整理得，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $