5.1.2 比的基本性质 （2）导学案 2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学下册

该初中数学导学案聚焦“比的基本性质（2）”，通过牛奶营养成分标签、地形分布统计图等现实情境导入，引导学生从两项比的化简过渡到三项比的概念及连比求法，搭建旧知到新知的学习支架。 资料以情境化学习和分层习题为特色，结合生活实例帮助学生抽象数学对象培养抽象能力，通过基础化简、实际应用等习题梯度设计发展应用意识，助力学生用数学思维解决问题，提升学习效率。

5.1.2 比的基本性质（2） （沪教版2024） 一、学习目标 1.熟练掌握比的基本性质； 2.运用比的基本性质求三个数的连比，化简三项的比. 二、课前预习 预习课本 P7-8 “比的基本性质” 1. 三项比的基本性质是：________________________________________； 【详解】a:b:c=am:bm:cm=(a÷n):(b÷n):(c÷n) (b≠0,c≠0,m≠0,n≠0). 2.化简下列两个数的比 (1)a: b = 12:18 = ________________； 【详解】a: b = 12:18 =2:3 (2) b : c = = ________________； 【详解】b : c = = 3:4 (3) 思考由（1）(2)的结果可知a:b:c=____________________ 【详解】a:b:c= 2：3：4 2. 尝试判断：“3:4:6” 是否为最简整数比？为什么？ 【详解】3:4:6是最简整数比，因三个数除了1之外没有公因数了. 4.思考：若要化简 “6:8:12”，能否运用比的基本性质？ 尝试化简：6:8:12 = ________________. 【详解】6:8:12 =3:4:6 5.已知 a:b = 2:3，b:c = 3:4，直接写出 a:b:c = ________________； 【详解】 a:b:c = 2:3:4 6. 已知 m:n = 1:2，n:p = 4:5，两个比中 “n” 的份数分别是 2 和 4，尝试将 “m:n 化为 “m:n = （ ）:4”，再写出 m:n:p = ________________； 【详解】 m:n=2:4，m:n:p = 2:4:5 三、课堂学习 1.“三项的比”的概念 如图，是一个牛奶营养成分的标签，100克的牛奶里的部分配料成分有蛋白质2.7克，脂肪3.3克，碳水化合物（乳糖）13.0克。 说明：蛋白质、脂肪、碳水化合物的比为：2.7 : 3.3 : 13.0 可拆分成： 蛋白质：脂肪=________ 脂肪：碳水化合物=________ 蛋白质：碳水化合物=________ 【详解】蛋白质：脂肪=2.7 : 3.3 =9:11； 脂肪：碳水化合物=3.3:13.0=33:130 蛋白质：碳水化合物=2.7:13.0=27:130 像这样的比叫做三项的比。 如图，是我国地形分布的扇形统计图，从图中可以看出， 平原、山地、高原三种地形的面积之比为：______________ 可化为整数比：________________ 【详解】平原：山地：高原=12%：33.3%：26.0%=120:333:260 2. 如何求三项的连比 例1根据下列条件求三项的比 (1)已知a:b=2:3,b:c=3:5.求a:b:c; (2)已知a:b=2:3,b:c=4:5.求a:b:c. 【详解】 （1）a:b:c=2:3:5 （2）a:b=2:3=8:12,b:c=4:5=12:15 总结：由“两两之比”转化为“三项连比”最关键的是让“b”的份数一样多。 3. 化简含有三项的比 两项比的基本性质可推广得到三项比的基本性质： a:b:c=am : bm : cm=(a÷n) : (b÷n) : (c÷n) (b≠0,c≠0,m≠0,n≠0). 归纳： 比的各个项同时乘或除以一个不为零的数，比值不变。 例2小华的妈妈今天摄入的五谷杂粮、肉类、蔬菜大约分别为400g250g、350 g.求小华的妈妈今天五谷杂粮、肉类、蔬菜的摄入量之比. 解：400g:250g:350 g =400:250:350 =(400÷50):(250÷50):(350÷50)（三项比的基本性质） =8:5:7. 答：五谷杂粮、肉类、蔬菜的摄入量之比8:5:7. 4. 设参数K，列方程解有关比的问题 例3 某校六年级共有144名学生，且男生、女生的人数之比是5:7.男生有多少人? 解：设男生人数为5k,女生人数7k, 由题意得：5k+7k=144 k=12 5k=60(人) 答：男生有60人。 例4已知甲、乙、丙三数之和为99,甲数与乙数比是3:2,乙数与丙数的比是5:4.甲、乙、丙三数各是多少? 分析：由两两之比求出甲：乙：丙=15:10:8 再设参数k,列方程求k. 解：因为甲数与乙数比是3:2,乙数与丙数的比是5:4， 所以甲：乙：丙=15:10:8 设甲数为15k,乙数为10k，丙数为8k. 由题意得15k+10k+8k=99 ∴k=3 ∴15k=45,10k=30,8k=24 答：甲乙丙三个数分别为45、30、24. 四、课堂练习 1.把下列各比化为最简整数比： (1)1.5L:720 mL; (2)15:30:40; 解：(1)1.5L:720 mL=1500mL:720mL=25:12 (2)15:30:40=3:6:8; (3)::46; (4)15 min:1.5h:1h 15 min. 解：(3)::46=3:2:276; (4)15 min:1.5h:1h 15 min=15min：90min：75min=1:6:5 2.利用下列已知条件，求a:b:c. (1)a:b=5:3,b:c=2:3; (2)a:b=4:5,b:c=7:9. 解：(1)∵a:b=5:3=10:6,b:c=2:3=6:9,∴a:b:c=10:6:9; (4)∵a:b=4:5=28:35,b:c=7:9=35:45,∴a:b:c=28:35:45; 3.一个纸箱，测量得到它的长为60 cm,宽为40cm,高为90 cm求它的长、宽、高之比，并化为最简整数比. 解：60:40:90=6:4:9 答：长、宽、高之比为6:4:9. 课堂小结 4、 课后练习 1.填空题： （1）化简 30:45:60，先找三个数的最大公因数___，再同时除以它，结果是______； 解：化简 30:45:60，先找三个数的最大公因数15，再同时除以它，结果是2:3:4； （2）化简，先找分母的最小公倍数___，再同时乘它，转化为整数比_____ 解：化简，先找分母的最小公倍数12，再同时乘它，转化为整数比4:3:2. （3）已知 a:b = 2:3，b:c = 3:6，中间量b 的份数为 3，所以a:b:c = _______； 解：已知 a:b = 2:3，b:c = 3:6，中间量b 的份数为 3，所以a:b:c = 2:3:6； （4）化简 0.1:0.05:0.2，先同时乘____转化为整数比_____，再化简为_____。 解：化简 0.1:0.05:0.2，先同时乘100转化为整数比10:5:20，再化简为2:1:4. 2.化简下列含有三个项的比 （1）24:36:48 （2） （3）0.3:0.6:0.9 （4）1.2 吨：800 千克：500 千克 解：（1）24:36:48 =2:3:4 （2） =4:3:5 （3）0.3:0.6:0.9 =3:6:9=1:2:3 （4）1.2 吨：800 千克：500 千克=1200千克：800千克：500千克=12:8:5. 3.求下列三个数的连比： （1）已知 x:y = 1:2，y:z = 2:3，求 x:y:z； （2）已知 m:n = 3:4，n:p = 6:8，求 m:n:p； （3）已知 a:b = 5:7，b:c = 14:15，求 a:b:c。 解：（1）因为x:y = 1:2，y:z = 2:3，所以 x:y:z=1:2:3； （2）因为 m:n = 3:4=9:12，n:p = 6:8=12:16，所以m:n:p=9:12:16； （3）因为 a:b = 5:7=10:14，b:c = 14:15，所以 a:b:c=10:14:15. 5. 一个三角形三条边的长度比是 6:8:10，已知周长是 24 厘米，求三条边的实际长度； 解：设三条边长为6k,8k,10k, 由题意得，6k+8k+10k=24 ∴k=1 ∴6k=6,8k=8,10k=10 答：三条边长为6厘米，8厘米，10厘米. 6. 调配一种营养液，水、肥料、微量元素的比是 10:2:1，现有水 500 毫升，需加入肥料和微量元素各多少毫升？ 解：设需加入肥料和微量元素分别为x毫升，y毫升 由题意得，10:2=500：x，10:1=500：y. 分别解之得，x=100,y=50 答：需加入肥料100毫升，加入微量元素50毫升。 五、课后练习 1.填空： （1）化简 18:27:36，结果是______；化简，结果是_____； 解：化简 18:27:36，结果是2:3:4；化简，结果是6:4:3； （2）已知 m:n = 3:5，n:p = 10:15，m:n:p = _______； 解：已知 m:n = 3:5，n:p = 10:15，m:n:p =6:10:15； （3）0.25:0.5:1 化简后是_________；3 米：60 厘米：1.2 米化简后是________； 解：0.25:0.5:1 化简后是1:2:4；3 米：60 厘米：1.2 米化简后是5:1:2； （4）已知 a:b = 4:6，b:c = 9:12，a:b:c =________。 解：已知 a:b = 4:6，b:c = 9:12，a:b:c =12:18:24=2：3:4 2.化简下列三个项的比： （1）36:54:72 （2） （3）1.5:2.5:3.5 （4）2 小时：30 分钟：1 小时 20 分钟 解：（1）36:54:72 =2:3:4 =6:3:2 1.5:2.5:3.5 =3:5:7 （4）2 小时：30 分钟：1 小时 20 分钟=120分钟：30分钟：80分钟=12:3:8 3.求连比并解决问题： （1）已知 x:y = 2:5，y:z = 10:15，求 x:y:z，若 x = 8，求 z； 解；（1）因为 x:y = 2:5，y:z = 10:15， 所以 x:y=4:10， 所以 x:y:z=4：10:15. 若x=8,则z=30. （2） 一个长方体的长、宽、高的比是 3:2:1，棱长总和是 48 厘米，求体积。 解：（2）设长、宽、高分别为3x,2x,x 由题意得4（3x+2x+x）=48 解之得，x=2 所以长、宽、高分别为,6,4,2， 所以体积为6×4×2=48立方厘米 答：体积为48立方厘米. 4.用水泥、沙子、石子按 2:3:5 的比配制混凝土，现有水泥 10 吨，沙子 12 吨，石子 20 吨，哪种材料先用完？剩余材料各多少吨？ 解：因为2:3:5=8:12:20 所以沙子和石子先用完，此时水泥还剩2吨。 5.甲、乙、丙三人的工作效率比是 2:3:4，若三人合作完成一项工作需 6 天，单独做甲需多少天？ 解：设甲、乙、丙三人的工作效率分别为2x,3x,4x, 由题意得，6（2x+3x+4x）=1 解之得，x= 所以甲的工作效率为，所以甲单独完成这项工作需要27天。 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.2 比的基本性质（2） （沪教版2024） 一、学习目标 1.熟练掌握比的基本性质； 2.运用比的基本性质求三个数的连比，化简三项的比. 二、课前预习 预习课本 P7-8 “比的基本性质” 1.三项比的基本性质是：________________________________________； 2.化简下列两个数的比 (1)a: b = 12:18 = ________________； (2) b : c = = ________________； (3) 思考由（1）(2)的结果可知a:b:c=____________________ 2.尝试判断：“3:4:6” 是否为最简整数比？为什么？ 4.思考：若要化简 “6:8:12”，能否运用比的基本性质？ 尝试化简：6:8:12 = ________________. 5.已知 a:b = 2:3，b:c = 3:4，直接写出 a:b:c = ________________； 6. 已知 m:n = 1:2，n:p = 4:5，两个比中 “n” 的份数分别是 2 和 4，尝试将 “m:n 化为 “m:n = （ ）:4”，再写出 m:n:p = ________________； 三、课堂学习 1.“三项的比”的概念 如图，是一个牛奶营养成分的标签，100克的牛奶里的部分配料成分有蛋白质2.7克，脂肪3.3克，碳水化合物（乳糖）13.0克。 说明：蛋白质、脂肪、碳水化合物的比为：2.7 : 3.3 : 13.0 可拆分成： 蛋白质：脂肪=________ 脂肪：碳水化合物=________ 蛋白质：碳水化合物=________ 像这样的比叫做三项的比。 如图，是我国地形分布的扇形统计图，从图中可以看出， 平原、山地、高原三种地形的面积之比为：______________ 可化为整数比：________________ 2. 如何求三项的连比 例1根据下列条件求三项的比 (1)已知a:b=2:3,b:c=3:5.求a:b:c; (2)已知a:b=2:3,b:c=4:5.求a:b:c. 3. 化简含有三项的比 两项比的基本性质可推广得到三项比的基本性质： a:b:c=am : bm : cm=(a÷n) : (b÷n) : (c÷n) (b≠0,c≠0,m≠0,n≠0). 归纳： 比的各个项同时乘或除以一个不为零的数，比值不变。 例2小华的妈妈今天摄入的五谷杂粮、肉类、蔬菜大约分别为400g250g、350 g.求小华的妈妈今天五谷杂粮、肉类、蔬菜的摄入量之比. 4. 设参数K，列方程解有关比的问题 例3 某校六年级共有144名学生，且男生、女生的人数之比是5:7.男生有多少人? 例4已知甲、乙、丙三数之和为99,甲数与乙数比是3:2,乙数与丙数的比是5:4.甲、乙、丙三数各是多少? 四、课堂练习 1.把下列各比化为最简整数比： (1)1.5L:720 mL; (2)15:30:40; (3)::46; (4)15 min:1.5h:1h 15 min. 2.利用下列已知条件，求a:b:c. (1)a:b=5:3,b:c=2:3; (2)a:b=4:5,b:c=7:9. 3.一个纸箱，测量得到它的长为60 cm,宽为40cm,高为90 cm求它的长、宽、高之比，并化为最简整数比. 课堂小结 4、 课后练习 1.填空题： （1）化简 30:45:60，先找三个数的最大公因数___，再同时除以它，结果是______； （2） 化简，先找分母的最小公倍数___，再同时乘它，转化为整数比_____ （3） 已知 a:b = 2:3，b:c = 3:6，中间量b 的份数为 3，所以a:b:c = _______； （4） 化简 0.1:0.05:0.2，先同时乘____转化为整数比_____，再化简为_____。 2.化简下列含有三个项的比 （1）24:36:48 （2） （3）0.3:0.6:0.9 （4）1.2 吨：800 千克：500 千克 3.求下列三个数的连比： （1）已知 x:y = 1:2，y:z = 2:3，求 x:y:z； （2）已知 m:n = 3:4，n:p = 6:8，求 m:n:p； （3）已知 a:b = 5:7，b:c = 14:15，求 a:b:c。 5. 一个三角形三条边的长度比是 6:8:10，已知周长是 24 厘米，求三条边的实际长度； 6. 调配一种营养液，水、肥料、微量元素的比是 10:2:1，现有水 500 毫升，需加入肥料和微量元素各多少毫升？ 五、课后练习 1.填空： （1）化简 18:27:36，结果是______；化简，结果是_____； （2）已知 m:n = 3:5，n:p = 10:15，m:n:p = _______； （3）0.25:0.5:1 化简后是_________；3 米：60 厘米：1.2 米化简后是________； （4）已知 a:b = 4:6，b:c = 9:12，a:b:c =________。 2.化简下列三个项的比： （1）36:54:72 （2） （3）1.5:2.5:3.5 （4）2 小时：30 分钟：1 小时 20 分钟 3.求连比并解决问题： （1）已知 x:y = 2:5，y:z = 10:15，求 x:y:z，若 x = 8，求 z； （2） 一个长方体的长、宽、高的比是 3:2:1，棱长总和是 48 厘米，求体积。 4.用水泥、沙子、石子按 2:3:5 的比配制混凝土，现有水泥 10 吨，沙子 12 吨，石子 20 吨，哪种材料先用完？剩余材料各多少吨？ 5.甲、乙、丙三人的工作效率比是 2:3:4，若三人合作完成一项工作需 6 天，单独做甲需多少天？ 学科网（北京）股份有限公司 $