精品解析：云南省楚雄彝族自治州部分学校2025-2026学年高二上学期12月期中数学试题

数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. -3 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】令，求得对应的即可 【详解】令，得，即在轴上的截距为. 故选：C. 2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线定义和方程即可得解. 【详解】由题意知，所以焦点到准线的距离为3. 故选：B. 3. 已知，，，为空间中四点，为坐标原点，若且，，，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理得到，进而得到，根据待定系数法求解即可. 【详解】由题意可知，若，，，四点共面，则，， 即， 所以， 又，所以，，， 可得，即，所以. 故选：A. 4. 过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由过点的切线与垂直求其方程. 【详解】圆圆心为，因为点在圆上，且， 所以所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为. 故选：D. 5. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据离心率求出即可求渐近线方程. 【详解】由双曲线的离心率为，得， 所以，又双曲线的渐近线方程为，所以渐近线方程为，即． 故选:A． 6. 若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做向量在基底下的斜坐标.已知空间向量在基底下的斜坐标为，则在基底下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，设在基底下的斜坐标为，则，化简并联立，可得x，y，z的值，即可得答案. 【详解】由空间向量在基底下的斜坐标为，得， 设在基底下的斜坐标为， 则， 所以，解得， 所以空间向量在基底下的斜坐标为. 故选：C. 7. 已知双曲线，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 设，，，，根据的中点的坐标，利用点差法表示出斜率，从而得到关于、的关系式，再求离心率. 【详解】斜率为2的直线与双曲线，相交于，两点， 设，，，， 则，①； ，②， ①②得， 则， 弦中点坐标为， ，， 直线的斜率为2， ， ， . 则. 故选：. 【点睛】本题考查了双曲线的方程与性质，利用“设而不求”方法以及点差法的应用求直线的斜率是解答本题的关键，属于中档题. 8. 已知，直线与的交点在圆上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线过定点以及垂直关系确定点在以为直径的圆上，进而根据两圆的位置关系即可求解. 【详解】由直线，的方程知直线过定点，直线过定点， 又，所以，即，所以点在以为直径的圆上， 的中点,, 故在圆上，又在圆上，所以圆与圆有交点， 即，又，所以，即的取值范围是． 故选:D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若点和点关于直线对称，则（ ） A. 的中点坐标为 B. C. 直线的斜率为1 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意可知直线为的垂直平分线，由两直线垂直的关系表式计算可判断得出结论. 【详解】易知的中点坐标为，则点在直线上， 所以，解得， 所以直线的斜率为. 又因为，所以， 解得. 故选：ABD 10. 已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若是直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据是直角三角形，分类讨论得出即可求解. 【详解】由题意知， 若，令，得，所以，故A正确； 若，则，又，所以，故D正确； 当点为的上顶点或下顶点时，，又，所以，故B正确. 故选:ABD. 11. 如图，在正四棱锥中，，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线和所成角的余弦值是 C. 点到直线的距离是 D. 点到平面的距离是2 【答案】ABC 【解析】 【分析】连接，利用中位线、正四棱锥的性质判断A；过作，交延长线于，若为中点，连接，先证为平行四边形，由异面直线定义确定直线和所成角的平面角，再求其余弦值判断B；中求各边长，余弦定理求，进而求点到直线的距离判断C；证面，等体积法有求点面距离判断D. 【详解】A：连接，分别为，的中点，即为中位线，则， 由为正四棱锥，故为正方形，则，所以，对； B：过作，交延长线于，若为中点，连接， 又，即，则为平行四边形，故，， 而且，故且，即为平行四边形， 所以且，故直线和所成角，即为或其补角， 及正四棱锥的性质知：侧面为等边三角形，底面为正方形，且棱长均为， 所以，， ，故直线和所成角的余弦值是，对； C：中，又，则， 所以，则， 所以，故， 所以点到直线的距离是，对； D：由上分析知：，若为底面中心，则为中点，， 连接，交为，则，则， 又，，面， 所以面，即面，易知：， 令到平面的距离为，则， 由，则中上的高为，故， 由，，则， 所以，错. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解即可． 【详解】由， ，解得． 故答案为：． 13. 已知点是抛物线上任意一点，若点到抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的定义转化，再结合图像，利用数形结合分析的最小值. 【详解】如图所示，抛物线的焦点为，准线方程为，过点作，交直线于点， 由抛物线的定义可知，，所以当在线段上时，取得最小值，. 故答案为： 14. 已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的基本性质，和椭圆离心率的定义，利用向量共线，求出点的坐标，进而求出离心率. 【详解】设椭圆的焦距为，设，所以，因为，所以，即，即， 因为点在椭圆上，所以，所以，所以的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）直线的方程为，利用平行线间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 易知直线斜率为，因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以，直线的方程为，即. 【小问2详解】 直线，设直线的方程为， 因为直线与直线之间的距离为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 因此直线的方程为或. 16. 已知抛物线的焦点为F，点（其中）在抛物线C上，． （1）求和的值； （2）为坐标原点，过点的直线与抛物线交于另一点，，求直线的方程． 【答案】（1）p的值为2，t的值为4． （2）． 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义结合点在抛物线上即可求解； （2）法一：设B点的坐标为，通过，列出等式求解即可； 法二：设直线方程为，联立抛物线方程，由，结合韦达定理求解； 【小问1详解】 由抛物线定义及，知，解得． 将点的坐标代入抛物线C的方程，得， 又，所以，故p的值为2，t的值为4． 【小问2详解】 法一：设B点的坐标为， 因为，A点的坐标为（4，4），所以， 解得或（舍去）． 所以B点的坐标为（4，－4），所以直线的方程为． 法二：由题知的斜率不为零，设直线的方程为，整理得． 设点A，B的坐标分别为， 联立方程，得， 所以． 因为，所以，解得或． 当时，直线的方程为，经过原点O不合题意； 当时，直线的方程为，满足题意， 故直线的方程为． 17. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，平面平面. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质得平面，进而得，再根据即可结合证明平面，最后证明结论； （2）分别取的中点，连结，进而证明对应的垂直关系，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【小问1详解】 证明：因为四边形是正方形，所以. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 又平面PAD，所以， 又平面， 所以平面， 又平面PCD，所以平面平面PCD. 【小问2详解】 解：分别取的中点，连结， 因为，所以，且， 因为四边形ABCD是正方形，分别是的中点， 所以， 所以四边形是平行四边形，， 又平面平面， 所以，即， 又，所以， 以点为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则， . 设为平面的一个法向量，则 令，得，所以. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知圆经过点，且与圆相切于原点. （1）求圆的标准方程； （2）若直线不同时为0与圆交于两点，当取得最小值时，与圆交于两点，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先判断出与圆外切，从而得三点共线，则有圆心在直线，用待定系数法求解即可； （2）先求出直线恒过点，从而得当时，取最小值，即可求出直线的方程，再利用直线与圆相交时的弦长公式求解即可. 【小问1详解】 解：因为圆与图相切，且点在圆的外部， 所以圆与圆外切， 则三点共线， 图， 化为标准形式为：， 所以圆心， 故圆心在直线上， 设圆的标准方程为， 又圆过原点，则， 圆经过点，则，解得， 故圆的标准方程为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，圆圆心坐标为， 由直线，化为， 所以直线恒过点， 易知点在圆的内部， 设点到直线的距离为，则， 要使取得最小值，则取得最大值，所以， 此时，所以， 则直线的方程为，即. 又圆心到直线的距离， 所以. 19. 已知椭圆经过点与点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于异于的，两点，且. ①证明：直线过定点； ②求的面积的最大值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可； （2）①设直线方程，联立方程组，利用条件，结合韦达定理，表示出直线方程即可得到结果；②由①的结论，设直线方程为，联立方程组，结合韦达定理，表示出的面积，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 设椭圆为， 因为椭圆经过点与点， 所以，解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①由（1）知，椭圆方程为， 设，不妨令在轴上方， 则， 假设直线斜率不存在，设直线方程为， 联立方程，可得， 所以解得或（舍去）， 所以直线方程为； 假设斜率存在，设直线方程为， 联立方程，得， 所以，， 由， 可得， 解得或， 所以直线方程为或， 所以直线恒过或（舍去）， 综上，直线恒过定点. ②由上述可知，当直线斜率不存在时，， 设定点为点，则， 所以； 当直线斜率存在时，，则设方程为， 联立得， 则，， 所以， 设，则， 所以， 由函数在上单调递增知， 所以，当且仅当，即时取等， 故的面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. -3 B. C. D. 3 2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 3. 已知，，，为空间中四点，为坐标原点，若且，，，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 4. 过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做向量在基底下的斜坐标.已知空间向量在基底下的斜坐标为，则在基底下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线，斜率为2直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B. C. D. 3 8. 已知，直线与的交点在圆上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若点和点关于直线对称，则（ ） A. 的中点坐标为 B. C. 直线的斜率为1 D. 10. 已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若是直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正四棱锥中，，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线和所成角余弦值是 C. 点到直线的距离是 D. 点到平面的距离是2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则_____. 13. 已知点是抛物线上任意一点，若点到抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是______. 14. 已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间距离为，求直线的方程. 16. 已知抛物线的焦点为F，点（其中）在抛物线C上，． （1）求和的值； （2）为坐标原点，过点的直线与抛物线交于另一点，，求直线的方程． 17. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，平面平面. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知圆经过点，且与圆相切于原点. （1）求圆的标准方程； （2）若直线不同时为0与圆交于两点，当取得最小值时，与圆交于两点，求的值. 19. 已知椭圆经过点与点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于异于的，两点，且. ①证明：直线过定点； ②求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $