精品解析：福建省莆田市秀屿区毓英中学2025-2026学年八年级上学期12月份月考数学试卷

2025－2026学年上学期八年级第二次综合素养展示数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫作轴对称图形，这条直线叫做对称轴．据此逐项分析即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 将用提公因式法因式分解，应提出的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键. 观察多项式，发现两项均含有公因式，因此直接提取该公因式即可. 【详解】原式为. 寻找公因式：两项中均含有因式. 提取公因式：将提出，剩余部分为，即分解结果为. 故选：C． 3. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，4 B. 2，3，6 C. 6，6，12 D. 4，6，8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟记任意两边之和大于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，逐项判断即可． 【详解】A．，不能组成三角形，故A不符合题意； B．，不能组成三角形，故B不符合题意； C．，不能组成三角形，故C不符合题意； D．，能组成三角形，故D符合题意． 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项和同底数幂的除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：A．，故A符合题意； B．，故B不符合题意； C．，故C不符合题意； D．，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项和同底数幂的除法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键． 5. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义．熟记因式分解的定义是解答本题的关键． 根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解”逐项判断即可． 【详解】解：A．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形符合因式分解的定义，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 一个等腰三角形两边长分别为6，3，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 15或18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义、三角形的三边关系的应用等知识点，分类讨论是解本题的关键．分两种情况讨论：①当3为底时，其它两边都为6，②当3为腰时，其它两边为3和6，再结合三角形的三边关系作答即可． 【详解】解：①当3为底时，其它两边都为6， 由，则3、6、6可以构成三角形，此时三角形的周长为； ②当3为腰时，其它两边为3和6， ∵， ∴不能构成三角形，故舍去， ∴这个等腰三角形的周长为15． 故选B． 7. 如图，D在上，E在上，且，则在下列条件：①；②；③．其中能判定的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形判定的定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，， ①若添加，可用判定； ②若添加，可用判定； ③若添加，可用判定； 因此，综上所述，能判定的有3个． 故选：D． 8. 如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式以及通过图形面积验证公式的方法是解题的关键．通过分别计算图1和图2中阴影部分的面积，再根据面积相等来验证公式． 【详解】解：图1中阴影部分是边长为的正方形，其面积为， 图2中，阴影部分面积为（因为图2中阴影部分可看作大正方形减去2个长方形后，再加上边长为b的正方形的面积）， 因为图1和图2阴影部分面积相等，所以． 故选：A． 9. 的三边，，满足，则是（ ） A. 等边三角形 B. 腰与底不等的等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定，直角三角形的判定和等腰三角形的判定，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键． 方程两边乘2，再移项后分组得出，求出且且，求出，再根据等边三角形的判定得出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 且且， 即， 所以是等边三角形， 故选：． 10. 博士最近有一个新爱好——密码编译，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，和常数分别对应下列字母或汉字：脑、动、W、M、开、筋、O、爱，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 动脑筋 B. 爱动脑筋M C. W爱动脑筋 D. 爱开动脑筋 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用提公因式，平方差公式将式子因式分解，再根据题中的密码编译可得到密码信息是：爱开动脑筋，从而得到答案． 【详解】解： ∵对应的密码是开，对应的密码是动，对应的密码是脑，对应的密码是筋，而3是常数，它对应的密码是爱， ∴合起来的密码信息可能是：爱开动脑筋， 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂的运算，根据零指数幂的运算规则即可求解，掌握零指数幂的运算规则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，与点关于轴对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征．关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，由此即可求的值． 【详解】解：∵与点关于轴对称， ∴点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴， 故答案为∶． 13. 分解因式：x2-16= ________________． 【答案】（x-4）（x+4） 【解析】 【分析】利用平方差公式进行分解即可 【详解】解：x2-16=（x-4）（x+4） 故答案为（x-4）（x+4） 14. 已知面积为的长方形一边长为，另一边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式．根据长方形面积公式，另一边长等于面积除以已知边长，即可解答． 【详解】解：另一边长为：． 故答案为 15. 若，，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．利用幂的运算法则，将 转化为 ，再分别计算和的值即可求解． 【详解】解：已知 ，， 则 ， ， 所以 ． 故答案为：． 16. 如图，在中，，于点，于点，与交于点，连接，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是_________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质定理和线段垂直平分线的性质，由于点E，于点D，得，则，而，则，所以，即可证明，则，可判断①；过点作于点，于点，证明，得可得平分从而判断②；分别证明是等腰直角三角形，可证，得进而得到，再证明即可判断③；延长到点，使，连接，，证明得证明是等边三角形，进一步判断④． 【详解】解：①∵于点E，于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ②过点作于点，于点， ∵ ∴ 又 ∴， ∴ ∴平分 又 所以，； ③， ∵ ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ 同理可得：是等腰直角三角形， ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴，故③错误； ④延长到点，使，连接，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴垂直平分， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式运算法则，进行计算即可； （2）根据单项式乘多项式运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 18. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查提公因式法及公式法因式分解，因式分解是重要知识点，必须熟练掌握． （1）提取公因式，因式分解即可； （2）提取公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，点E，F在AB上，. 求证：. 【答案】 证明：因为AE＝BF， 所以，AE＋EF＝BF＋EF， 即AF＝BE， 在△ADF和△BCE中， 所以，． 【解析】 【分析】先将AE=BF转化为AF＝BE，再利用SAS证明两个三角形全等． 【详解】略 【点睛】用SAS证明两三角形全等． 20. 先化简，再求值：，其中. 【答案】-4 【解析】 【分析】原式利用平方差公式，多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 当时，原式= 【点睛】考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21. 甲、乙两位同学分解因式时，甲看错了b，分解结果为，乙看错了a，分解结果为，请写出多项式正确的分解结果． 【答案】． 【解析】 【分析】根据题意可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项的系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，代入原多项式进行因式分解，即可解答． 【详解】解：，理由如下： 甲看错了b，分解结果为， ． 乙看错了a，分解结果为， ． ． 【点睛】本题主要考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等求出a、b的值，是解题关键． 22. 某中学为了帮助在校师生妥善安放篮球，在一块长为米、宽为米的小篮球场的边缘修建长方形的篮筐和一个正方形的安全督察岗，其余面积（阴影面积）进行塑胶场地的修复． （1）请用m、n表示阴影面积．（结果化为最简） （2）如果修复费用为200元/平方米，已知米，米，那么修复完毕的塑胶场地需要费用多少元？ 【答案】（1）平方米 （2）修复完毕的塑胶场地需要费用66000元 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式的实际应用，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）利用大长方形的面积减去2块空白部分的面积即可； （2）将已知数值代入（1）中所得代数式中计算，然后再与200相乘即可． 【小问1详解】 解： （平方米）， 即阴影面积为平方米； 【小问2详解】 解：当，时， ， 则（元）， 答：修复完毕的塑胶场地需要费用66000元． 23. 定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： （1）判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． （2）判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． （3）已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 【答案】（1） ， 是“双一次可分解式”； （2） ， 是“双一次可分解式”； （3） 【解析】 【分析】本题考查多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）把用完全平方公式进行因式分解即可； （2）把多项式变形为，提公因式即可； （3）根据常数项，设另一个因式为，则，解得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据常数项，设另一个因式为，则， ，， 解得：， 则． 24. （1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab＋(a－b)2，所以4×ab＋(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)试用勾股定理解决以下问题： 如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ． (3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(a－2b)2=a2－4ab＋4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段． 【答案】 （1）证明：S梯形ABCD=，S梯形ABCD= ∴a2＋ab＋b2=2×ab＋c2 即a2＋b2=c2； （2）； （3）由此可画出的图形如下： 【解析】 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高； （3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形． 【详解】（1）略 （2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4， ∴斜边为=5， ∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4＝×5×h， ∴h＝ 故答案为； （3）∵图形面积为：（a−2b）2＝a2−4ab＋4b2， ∴边长为a−2b 【点睛】此题考查了勾股定理的证明，勾股定理，多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型，此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果． 25. 如图，直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足（a−t）2＋|b−t|＝0（t＞0）． （1）证明：OB＝OC； （2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，F是CE的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：∠OAF的大小不变； （3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM＝NB′，连接MN交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，当t ＝2时，求点Q的坐标． 【答案】 （1）证明：（a−t）2＋|b−t|＝0（t＞0）， ，即， 点B坐标为（a，0），点C坐标为（0，b）， ， 故结论得证． （2）证明：如图所示：延长至点，使，连接、， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在与中， ． ，， ， ， 为等腰直角三角形． ，故∠OAF的大小不变． （3）点坐标为（，）． 【解析】 【分析】（1）利用绝对值以及平方的非负性求出B、C的坐标，利用坐标表示边长，即可证明结论． （2）延长至点，使，连接、，利用条件先证明，再根据全等三角形性质，进一步证明，最后综合条件得到为等腰直角三角形，进而得到∠OAF为，是个定值，即可证得结论成立． （3）先连接、、、，过作交轴于，利用平行关系和边相等证明，然后通过全等三角形性质进一步证明，再根据角与角之间的关系，求出 ，得到为等腰直角三角形，最后利用等腰三角形的性质，即可求出点坐标． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接、、、，过作交轴于． 如下图所示： 和关于轴对称，在轴上． ， ， ， ， ． ， ， ， ， 在和中， ． ， 又， ， 垂直平分， ， 在和中， ． ，． ， 故． ，． 为等腰直角三角形． ． 故点坐标为（，）． 【点睛】本题主要是考查了对称点的坐标关系以及利用坐标求解几何图形，熟练掌握垂直平分线、平行线以及等腰三角形、全等三角形的判定和性质，是解决本题的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年上学期八年级第二次综合素养展示数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将用提公因式法因式分解，应提出的公因式是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，4 B. 2，3，6 C. 6，6，12 D. 4，6，8 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个等腰三角形两边长分别为6，3，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 15或18 7. 如图，D在上，E在上，且，则在下列条件：①；②；③．其中能判定的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 8. 如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（ ） A. B. C. D. 9. 的三边，，满足，则是（ ） A. 等边三角形 B. 腰与底不等的等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 10. 博士最近有一个新爱好——密码编译，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，和常数分别对应下列字母或汉字：脑、动、W、M、开、筋、O、爱，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 动脑筋 B. 爱动脑筋M C. W爱动脑筋 D. 爱开动脑筋 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：___________． 12. 在平面直角坐标系中，与点关于轴对称，则的值为______． 13. 分解因式：x2-16= ________________． 14. 已知面积为的长方形一边长为，另一边长为______． 15. 若，，则的值为_____________． 16. 如图，在中，，于点，于点，与交于点，连接，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是_________． 三、解答题（9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 因式分解： （1）； （2）． 19. 如图，点E，F在AB上，. 求证：. 20. 先化简，再求值：，其中. 21. 甲、乙两位同学分解因式时，甲看错了b，分解结果为，乙看错了a，分解结果为，请写出多项式正确的分解结果． 22. 某中学为了帮助在校师生妥善安放篮球，在一块长为米、宽为米的小篮球场的边缘修建长方形的篮筐和一个正方形的安全督察岗，其余面积（阴影面积）进行塑胶场地的修复． （1）请用m、n表示阴影面积．（结果化为最简） （2）如果修复费用为200元/平方米，已知米，米，那么修复完毕的塑胶场地需要费用多少元？ 23. 定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： （1）判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． （2）判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． （3）已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 24. （1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab＋(a－b)2，所以4×ab＋(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)试用勾股定理解决以下问题： 如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ． (3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(a－2b)2=a2－4ab＋4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段． 25. 如图，直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足（a−t）2＋|b−t|＝0（t＞0）． （1）证明：OB＝OC； （2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，F是CE的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：∠OAF的大小不变； （3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM＝NB′，连接MN交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，当t ＝2时，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $