专题检测卷(三)锐角三角函数2025-2026学年苏科版九年级数学下册

专题检测卷(三)锐角三角函数 ◎满分:100分 ◎时间:60分钟 姓名： 得分： 一、选择题(每题2分，共16分) 1.如图，点P 的坐标为(3，4)，连接OP，则OP 与x轴正半轴所夹锐角α的余弦值为 ( ) A. B. C. 2.若锐角α满足 且 ，则α的取值范围是 ( ) 3.已知α为锐角，且 则tanα的值为 ( ) A. B. C. D. 4. 如图,在 Rt△ABC 中, D 是AB 的中点,连接CD,过点 D 作DE⊥AC 于点E,则△CDE 的周长为 ( ) 5. 在△ABC 中,∠A、∠B 均为锐角,且( ,则△ABC ( ) A.是等腰三角形 B.是等边三角形 C.是直角三角形 D.至少有一个角是60° 6.(深圳中考)如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF 测得顶端A 的仰角为45°，小军在小明的前面5m 处用高1.5m 的测量仪CD 测得顶端A 的仰角为53°，则电子厂AB 的高度约为(精确到0.1m，参考数据：s ( ) A. 22.9m B. 22.6m C.21.4m D. 23.0m 7.(宜宾中考)如图,在矩形纸片ABCD 中,AB=5,BC=3,将△BCD 沿BD 折叠到△BED 的位置,DE 交AB 于点F,则 cos∠ADF 的值为 ( ) B. C. A. 8.(荆州中考)如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC:BC=1:2,连接AC,过点O作OP∥AB交AC 的延长线于点 P.若点 P 的坐标为(1,1),则tan∠OAP 的值为 ( ) C. D. 3 ·17 二、填空题(每题3分，共30分)7 9.现将一副含45°角和30°角的三角板按如图所示的方式放置，则： 的值为 . 10. 在△ABC 中, .若 sin B=n,则n的取值范围是 . 11.如图所示为某地下车库入口的设计示意图，已知AC⊥CD，坡道AB 的坡比i=1：2.4，AC 的长为7.2米，CD的长为0.4米.按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入.根据所给数据，确定该车库入口的限高，即点 D 到AB 的距离DH 的高度为 米. 12.(绥化中考)定义一种运算：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.例如：当 时， 的值为 . 13.(黔东南中考)如图，校园内有一株枯死的树AB，距树12米处有一栋教学楼CD，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶 D 处，测得点 B 的仰角为45°，点A 的俯角为30°.小青计算后得到如下结论：①AB≈18.9米；②CD≈8.4米；③若直接从点A 处砍伐，树干倒向教学楼CD 方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点A 8米处的树干上砍伐，则不会对教学楼CD 造成危害.其中，正确的结论是 (填序号，参考数据： 14.(湖南中考)如图，图①为《天工开物》记载的用于春捣谷物的工具————“碓”的结构简图，图②为其平面示意图.已知AB⊥CD 于点B,AB 与水平线l相交于点O,OE⊥l.若BC=4分米,OB=12分米，∠BOE=60°，则点C到水平线l 的距离CF 为 分米(结果用含根号的式子表示). 15. 如图,在△ABC 中, P 为边 AC 上一点，则线段BP 长的范围是 . 16.(广元中考)如图，方格纸中的每个小正方形的边长都相等，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD 相交于点 P,则 cos∠APC 的值为 . 17. (深圳中考)如图,在△ABC 中, D 为BC 上一点，且满足 过点 D 作DE⊥AD 交AC 的延长线于点E,则 18.(济宁中考)如图,点A、C、D、B在⊙O上,AC=BC,∠ACB=90°.若 则AD 的长是 . * 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题(共54分) 19.(6分)计算: 20.(6分)在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C的对边, 解这个直角三角形. 21.(8分)某学校门前有一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度DE为6米.现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，如图，旅游车司机A 与斑马线前后两端的视角∠FAE、∠FAD 的大小分别为15°和30°，司机与车头的水平距离BC为1米，与车顶的垂直距离为0.2米. (1)旅游车高多少米? (2)为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离CD 不得小于3米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准(E、D、C、B四点在平行于斑马线的同一直线上)(参考数据： 22. (10分)如图,在△ABC 中, (1) 求边 BA 的长. (2) 若点 D 在边BA 上,且 连接CD.求证:∠BCD=∠B. 学科网（北京）股份有限公司 23.(12分)如图①所示为小丽使用手机自拍杆拍照的图片，她眼睛望向手机屏幕上端的仰角为α，测得前臂与上臂形成的角为β(β=46°),自拍时手机屏幕与上臂平行且手的前臂与自拍杆在同一条直线上.图②是其侧面简化示意图. (1)∠ABC= °. (2) 如图②,测得 BC=90cm,AD=70cm. ①估计仰角α的度数； ②自拍时若小丽头顶与自拍杆端点B 在同一水平线上，且肘部C 正好落在小丽身体长度的黄金分割点上(此黄金分割点靠近头部)，求小丽的身高 ，结果精确到0.1cm，参考数据：sin46°≈ 24.(12分)(广元中考)小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值 叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”.它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征. (1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且 求该介质的折射率. (2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质，如图①，A、B、C、D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A₁D₁D₂A₂对角线的交点O处射入，其折射光线恰好从点C 处射出，如图②.已知α=60°,CD=10cm,求截面ABCD的面积. 参考答案 专题检测卷(三)锐角三角函数 一、1. C 2. B 3. C 4. A 5. D 6. A 7. C 8. C二、9. 11. 2.4 13. ①③④14. (6-2 ) 15. ≤BP≤6 16. ² / 17. 18. 2 三、19. - 2 20. ∵ ∠C=90°,∠A=45°,∴ ∠B=90°-∠A=45°.∴∠B=∠A.∴△ABC 是等腰直角三角形,即a=b.∵a+b=6 ,∴a= 21. (1)由题意,得AB⊥BE,AF∥BE,∴∠FAE=∠AED=15°,∠FAD=∠ADB =30°.∴ ∠EAD =∠FAD - ∠FAE =15°.∴∠AED=∠EAD=15°.∴ DE=AD=6米.在 Rt△ABD 中,∵∠ADB=30°,∴AB= AD=3米.∵司机与车顶的垂直距离 为0.2米,3+0.2=3.2(米),∴ 旅游车高3.2米 (2)在 Rt△ABD中,AD=6米, 3 (米).∵BC=1米,. (米).∵4.19>3，∴该旅游车停车符合上述安全标准 22.(1)过点A 作AH⊥BC,垂足为 H.在 Rt△ACH 中,∠ACB=45°,∴∠HAC=90°-∠C=45°.∴∠HAC=∠ACB.∴AH=CH.在Rt△ABH中, ∴ BH=2AH. i设AH=x,则CH=x,BH=2x.∵BC=BH+CH=12,∴2x+x=12,解得x=4.∴AH=4,BH=8.在 Rt△ABH 中,由勾股定理,得BA= (2) 过点 D 作DG⊥BC,垂足为G.∵AH⊥BC,∴∠DGC=∠AHC=90°.∴ DG∥AH.∴BDBA= ∴CG=BC-BG=6.∴ BG=CG.∴ DG 是线段BC 的垂直平分线.∴BD=CD.∴∠BCD=∠B 23. (1)134 (2)①如图,过点B 作BE⊥CD,交CD 的延长线于点E，过点D作DF⊥AB，交AB 的延长线于点 F，则易得四边形BFDE为矩形.∴ BE=DF.在 Rt△BEC 中,∵ BE=BC·sinβ=BC·sin46°≈90×0.72=64.8(cm),∴ DF=BE=64.8cm.在Rt△ADF中, 估计仰角α的度数为22°② 在 Rt△BEC中,CE=BC·cosβ=BC·cos46°≈90×0.69=62.1(cm).∵自拍时小丽头顶与自拍杆端点B 在同一水平线上，∴CE 的长度为小丽的身高中黄金分割点与头顶之间的长度.设小丽的身高为 xcm.∵C 正好落在小丽身体长度的黄金分割点上(此黄金分割点靠近头部)， 解得x≈162.3.∴ 小丽的身高约为162.3cm 24. (1)如图,在 Rt△ABC 中, 设 ∴由勾股定理，得 折射率为 (2)由题意,得α=60°,折射率为 四边形 ABCD 是矩形,O 是AD 的中点,∴ AD=2OD,∠D=90°. 由题意,易得∠OCD =β. 在 Rt△ODC 中, 设 ,则OC=3x cm.由勾股定理，得 = ∴截面ABCD的面积为 第 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $