2026年吉林省长春市中考数学复习专题（第23题）-动点问题

2026年吉林省长春市中考数学复习专题（第23题） -动点问题 类型一：隐圆 1(2025年吉林省长春七十二中中考数学二模).如图，在△ABC中， ∠ABC=90°，AB=3,AC=5,点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿AC向终点 C匀速运动(P不与A、C重合)，连结PB,过点C作CQ⊥射线BP于点Q.设点P的运 动时间为t. ◇ (1)PC= (用含t的代数式表示)； (2)当点Q在△ABC内部时，求t的取值范围； (3)连结AQ,则AQ的最小值为； (④当an∠PCQ=2时，直接写出1的值. 【答案】(1)5-2t a0品 (3)R13-2 品号 【详解】(1)解：，点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿AC向终点C匀速运动(P 不与A、C重合)， PC=5-2t, 故答案为：5-2t: (2)当点Q在AC上时，与点P重合，此时BP⊥AC, 试卷第1页，共66页 P(O B ∠ABC=90°，AB=3,AC=5, :BC=VAC2-AB2=4, -5x=ABBC=号AC-PB, :PB=AB.BC_12 AC 5 AP=AB-PB=9 9 5=9, “=20 当点在△ABC内部时，1的取值范围是0<t< 10 (3).∠CQB=90, ·点Q在以BC为直径的半圆上运动， C 取BC的中点O,连接AO交半圆于点Q,此时AQ最小， :A0=AB+B0=V13, ÷AQ=AO-OQ=13-2. ∴AQ的最小值为13-2： 试卷第2页，共66页 故答案为：13-2： (4)当点Q在三角形ABC内部时， D Q A B 过点A作AD⊥PB于点D, 则an∠ncQ=tan∠Dap=2 DP=x,AD=2x,PQ=y,CQ=2y, :∠ADB=∠CQB=90°，∠ABD=∠BCQ, ÷△ADB一△BQC, AD_AB_BD BO BC CO' 2x_x+y+BQ_3 BQ 2y 4 B08xy 22 3 2x+x+ 22 812 3x+3x=32, 3 x29 25 AP=DP+AD2=5x-9 5 ÷APs3 3 “t -10 当点Q在三角形ABC外部时， 试卷第3页，共66页 B 过点A作AN⊥QB于点N,同理可得AP=3, 33 综上所述，1的值为10,2 2.(2025年吉林省长春市朝阳区中考第二次模拟)如图，在平行四边形ABCD中， 4 AD=5AB=9,sinA=行·过点D作DE⊥AB于点E,点P是边AB上的动点（点P不与点 PO E重合)，连结DP,过点D作DQ⊥DP,过点C作CQ⊥DQ于点Q,连结. D E P B E (备用图) (I)线段DE的长为 ； (2)当A、D、Q三点共线时，求线段AP的长： PO (3)连接PC,若经过边CD的中点.求证：四边形DPCQ是矩形： (4)连接AQ,线段AQ的最大值是，此时线段AP的长是」 【答案】(1)DE=4 碍 (3)见解析 (4)4 试卷第4页，共66页 【详解】(I)解：在Rt△ADE中，sinA=DE AD *AD=5,sin A=4 5=5，解得：DE=4 4 DE 故答案为4. (2)解：DE=4,AD-5, AE=VAD2-DE2=3 C0s∠A=AE、3 AD-5' 如图：当A、D、Q三点共线时， D ~DQ⊥DP, ÷∠ADP=90°， A即点=3 C0s∠A=AD、3 25 AP-5' 解得：AP= 3 25 故答案为： 3 (3)解：如图： A DQ⊥DP,CQ⊥DQ, .DP CQ, ∴∠PDC=∠PCD, 试卷第5页，共66页 O是CD的中点， .OC=OD, :∠DOP=∠COQ, ÷△DOP≌△COQASA, .DP=CQ, DPCQ “四边形DPCQ是平行四边形， DQ⊥DP 四边形DPCQ是矩形. (4)解：在口ABCD中，AB=9, CD=AB=9,AB‖CD, 如图： CQ⊥DQ :点Q在以CD的中点为圆心，以0D=CD=号为半径的圆上运动， 当A、O、Q三点共线时，AQ有最大值， 如图：过O作OF⊥AB,则四边形DEFO是矩形， EF=OD=号，OE=DE=4 AF=AE+EF=3+9=15 2-2 A0=OF+AF=4+罗= AQ=A0+0Q=17+9 2+2 =13, 线段AQ的最大值是13： 如图：设圆O与DP相交于点G,过G作GH⊥OD,则DE‖HG, 试卷第6页，共66页 AB CD, ·∠DOG=∠OAF, sin∠D0G=sin∠OAF=OF=4=8 15 A07i7,c0s∠D0G=cs∠OAF=A 2-15 2 A0-17 17 2 sin∠DOG= HG 0G' cos∠D0G=OH 0G' 8HG 15OH .17- 9,17-9,解得：HG= 36 0H=135 2 17, 34 .DH=OD-OH= 9135_18 23434 DE HG, ·∠EDP=∠HGD, 18 tan∠EDP=tan∠HGD=DH_34=1 HG 36 4’ 17 tan∠EDp=EP-1 DE-4' EP_1 4=4解得：EP=1, ÷AP=AE+EP=3+1=4. 3.(2025年吉林省长春市汽开实验学校中考数学二模)如图，在△ABC中， AB=AC=10,BC=12,点P在线段BC上从点B向终点C运动，点O为线段AB中点.作 点B关于直线OP的对称点B,连结OB,PB. (I)求tan∠B的值： 试卷第7页，共66页 (2)当△OBP是等腰三角形时，求BP的值； (3)当四边形OBPB与△ABC重叠部分为四边形时，求BP的取值范围； (4)直接写出线段PB与△ABC的一边平行时BP的长. 【格我灯哈 (2)BP=5或6或 6 (3)3<BP<6 (4)BP=1或5 【详解】(1)解：如图1， D 图1 作AD⊥BC于D, AB=AC, :.BD=-BC=6, AD=AB2-BD=102-62=8, .tan B=AD_4 BD3 (2):O是AB的中点， :OB=1AB=5, 当BP=OB=5时，△OBP是等腰三角形， 如图2-1， 当BP=PC=6时， :O是AB的中点， OP是△BCA的中位线， 试卷第8页，共66页 OP=AC=1AB=OB, ∴△OBP是等腰三角形， P B 图2-1 图2-2 如图2-2， 当BP=OP时，可得△POB一△ABC, BPOB AB BC BP=5 1012 25 “Bp 6, 综上所述： BP=5或6或2 6 (3)如图3-1， P B' 图3-1 图3-2 当点B在BC上时， BP=0Bc0sB=5×3=3, 如图3-2， 当点B在AC上时， OB=OA=OB, ·点B在以O为圆心的圆上， ·∠ABB=BBC=90°， “BP=BP, 可得CP=BP=6, 试卷第9页，共66页 3<BP<6; (4)如图4-1， BPV D 图4-1 当PB‖AC时，设OB交BC于I,作OD⊥BC于D,作BW⊥AC于W, ·∠IPB=∠C, "∠C=∠B=∠B, ·∠IPB=∠B=∠B=∠C, ∴△IPB~△ABC,∠OID=∠PIB=∠BAC, IP_BP AB BC A5ae-=号ACBw=号BChc得， BW=12×8-48 105 ÷sinA=BW=24 AB-251 OD 8 .01= 2 4=25 sin∠DIO sin A246' 25 *IP=B'I=0B'-OI=0B-01=5-25=5 661 5 ·6PB, 10-12 ∴PB=1, BP=1, 如图4-2， 试卷第10页，共66页2026年吉林省长春市中考数学复习专题（第23题） 动点问题 类型一：隐圆 1(2025年吉林省长春七十二中中考数学二模).如图，在△ABC中， ∠ABC=90°，AB=3,AC=5,点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿AC向终点C 匀速运动(P不与A、C重合)，连结PB,过点C作CQ⊥射线BP于点Q.设点P的运动 时间为t. (1)PC= (用含t的代数式表示)： (2)当点Q在△ABC内部时，求t的取值范围； (3)连结AQ,则AQ的最小值为； (④)当tan∠PCQ=。时，直接写出t的值. 试卷第6页，共17页 2.(2025年吉林省长春市朝阳区中考第二次模拟)如图，在平行四边形ABCD中， MD=54B=9simA-；过点D作DBE1AB于点B,点P是边AB上的动点（点P不与点g重 合)，连结DP,过点D作DQ⊥DP,过点C作CQ LDQ于点Q,连结PO. D A B E (备用图) (I)线段DE的长为 (2)当A、D、Q三点共线时，求线段AP的长： (3)连接PC,若PO经过边CD的中点.求证：四边形DPCQ是矩形； (4)连接AQ,线段AQ的最大值是，此时线段AP的长是 试卷第6页，共17页 3.(2025年吉林省长春市汽开实验学校中考数学二模)如图，在△ABC中， AB=AC=10,BC=12,点P在线段BC上从点B向终点C运动，点0为线段AB中点.作 点B关于直线OP的对称点B,连结0B,PB· (I)求tan∠B的值； (2)当△OBP是等腰三角形时，求BP的值； (3)当四边形OBPB与△ABC重叠部分为四边形时，求BP的取值范围； (④直接写出线段PB2与△ABC的一边平行时BP的长， 试卷第6页，共17页 4.(2025年吉林省长春市第一O八学校九年级5月中考模拟)如图，在矩形ABCD中， BC=2AB=4,动点P在AD边上运动，连结CP,过点D作DG⊥CP,垂足为点E,交 AC于点F,与矩形ABCD的边交于点G BG (1)AC= (2)当点A、E两点之间的距离最小时，求AE的最小值： (3)当DG将矩形ABCD的面积分割成3：5的两个部分时，求DP的长； (4)当△CDF为等腰三角形时，直接写出DP的长. 试卷第6页，共17页 类型二：瓜豆模型 5.(2025年吉林省长春市中考数学)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4, 点D为边AC的中点，点E为边AB上一动点，连接DB.将线段DE绕点E顺时针旋转45·得 到线段EF C (I)线段AB的长为_-： (2)当EF‖AC时，求AE的长； (3)当点F在边BC上时，求证：△ADE兰△BEF; (4)当点E到BC的距离是点F到BC距离的2倍时，直接写出AE的长. 试卷第6页，共17页 6.(2025年吉林省长春市朝阳区二模)如图，在平行四边形ABCD中，AB=5,AD=3, 对角线BD⊥AD,点P在边AB上，点Q在边CD上，且BP=DQ,连结PO交BD于点O, 以PO为底边作等腰直角三角形PQM,使点A,M在直线PO的同侧 D M P B (1)求证：D0=B0 (2)求五边形BCOMP面积的最小值. (3)连结DM,直接写出DM的最小值 (4)连结DM,当点M在∠ABD内部，且点M到∠ABD的某条边的距离等于DM的最小值时， 直接写出BP的长. 试卷第6页，共17页 7.(吉林省长春高新技术产业开发区慧谷学校2024-2025学年九年级下学期6月中考模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=8,AE=3,点P沿AB-BC运动，将点P绕点E 逆时针旋转90。得到点Q, E D Ae 备用图 (I)EP平分矩形面积时，求BP的长： (2)E、Q、C三点共线时，求AP的长： (3)CQ的最小值为，点Q的路径长为 (4)当点O在四边形内部时，四边形PBCO面积的最大值为，此时线段AP的长为 试卷第6页，共17页 8.(2025年吉林省长春市中考二模)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,点E是边 AD的中点，点P是边AB上的动点（点P不与点A重合），PE的延长线与CD的延长线交于 点Q,以PO为斜边向下作等腰直角△PQM,连结CM, E B (I)求证：△APE≌△DQE: (2)当E、M、C三点共线时，求线段AP的长： (3)线段CM的长度的最小值是 (4)当点M落在矩形ABCD的内部时，四边形PBCM面积的最大值是 此时线段 AP的长度是 试卷第6页，共17页 9.(2025年吉林省长春市东北师范大学附属中学明珠学校中考四模)如图，在矩形ABCD中， AD=4,AB=V3,点E是AD边上一点，且AE=1,连接BE,以BE为腰在BE右侧作 等腰直角△BEP,且∠EBF=90·,点P在边BC上，连接PE,将线段PE绕点P顺时针 旋转90。得到线段P四，连接EQ,FQ· (I)点F到BC的距离为 (2)通过分析，可知△EFQ∽△EBP(不需证明)，由此可得tanZEFO= (3)当线段FQ与边BC有交点时，设交点为K,若点K将线段FQ分为1：2的两部分，求此时 BP的长 (4)当点Q恰好落在矩形的边所在直线上时，直接写出BP的长.（写出两个即可） 试卷第6页，共17页 10.(2025年吉林省长春市力旺实验初级中学中考最后一次模拟)己知在矩形ABCD中， AB=5,BC=55,以AB为边向右作等边三角形△ABF,点P为BC边上一点，连接 AP,将线段AP绕点A逆时针旋转60°，线段AP的对应线段为AQ,连结FQ. (I)求证：BP=FQ: (2)当点Q落在AD边上时，求BP的长度； (3)连接DQ,则线段DQ的长度范围是 ； ④当SAADO=-SAFO时，直接写出线段BP的长度. 试卷第6页，共17页