精品解析：山东省临沂市平邑县地方镇第一初级中学2024-2025学年九年级上学年数学期中自测试卷

山东省临沂市平邑县地方镇第一初级中学2024-2025学年九年级上学年数学期中自测试卷 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 萌萌将如图所示的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，所拼成的多边形中为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断． 【详解】A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意. 故选：B． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分能够完全重合． 2. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，根据题意把常数项2移项后，应在左右两边分别同时加上一次项系数的一半的平方，即可求出答案． 【详解】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 故选：A． 3. 把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（1，3）， ∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是 ∴所得抛物线解析式是． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化更简便． 4. 如图，是的弦，是的切线，A为切点，经过圆心O，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余，熟知切线的性质和圆周角定理是解答的关键． 连接，根据切线性质得到，再根据圆周角定理得到，然后利用直角三角形的两个锐角互余，求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，A为切点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( ) A. x(x－1)＝2070 B. x(x＋1)＝2070 C. 2x(x＋1)＝2070 D. ＝2070 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人， ∴全班共送：（x﹣1）x=2070， 故选A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找等量关系是解决问题的关键． 6. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据旋转的性质得到，再利用求得，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：将绕点A按逆时针方向旋转得到， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查根据二次函数图象判断各项系数和式子的符号，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案． 【详解】A．抛物线开口向下， ，故本选项错误； B．抛物线的对称轴在轴左侧， ， ，故本选项错误； C．抛物线与y轴的交点在正半轴上， ，故本选项错误； D．抛物线与x轴的两个交点， ，故本选项正确． 故选：D． 8. 如图，已知，点P是射线上一动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线AM于点C、D，下列结论：①；②；③当时，；④当点P运动时，的数量关系不变．其中正确结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分的定义等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 直接利用平行线的性质判断①；先求出的度数，然后利用角平分线的定义可得，即可判断②；利用平行线的性质和可证，然后结合角平分线定义可得，即可判断③；利用平行线的性质可得，，结合可得，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， 故②正确； ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又，， ∴， 故③正确； ∵， ∴，， 又， ∴， ∴， 故④正确． 故选：D． 9. 如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（ ） A. 2.5 B. 2 C. 3.5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】连接DE，取AD的中点G，连接EG，先由等腰三角形“三线合一“性质，证得AD⊥BC，BD=CD，再由E是AB的中点，G是AD的中点，求出S△EGD=3，然后证△EGP≌△FDP（AAS），得GP=CP=1.5，从而得DG=3，即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定理即可求出PE长． 【详解】解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG， ∵AB=AC，AD平分与BC相交于点D， ∴AD⊥BC，BD=CD， ∴S△ABD==12， ∵E是AB的中点， ∴S△AED==6， ∵G是AD的中点， ∴S△EGD==3， ∵E是AB的中点，G是AD的中点， ∴EGBC，EG=BD=CD， ∴∠EGP=∠FDP=90°， ∵F是CD的中点， ∴DF=CD， ∴EG=DF， ∵∠EPG=∠FPD， ∴△EGP≌△FDP（AAS）， ∴GP=PD=1.5， ∴GD=3， ∵S△EGD==3，即， ∴EG=2， 在Rt△EGP中，由勾股定理，得 PE==2.5， 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键． 10. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像可以知道，进而得出的正负，求出一次函数经过的象限，进而得出答案. 【详解】解：根据图像可得： ， ， 故经过一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D. 【点睛】本题考查的二次函数图像与的关系，进而得出系数的正负值，再根据一次函数性质求出答案即可. 11. 若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（ ） A. 3或5 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】分及两种情况考虑：当时，由一次函数图象与x轴只有一个交点，可得出符合题意；当时，由二次函数图象与x轴只有一个交点结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，综上即可得出结论． 【详解】解：①当，即时，， 令，， 解得， ∴此时函数的图象与x轴只有一个交点， ②当时， ∵二次函数的图象与x轴只有一个交点， ∴， 解得． 综上所述，当图象与x轴有且只有一个交点时，m的值为3或5． 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，分及两种情况考虑是解题的关键． 12. 如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　 　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．根据二次函数的性质可得，，，即可判断结论①；由处的函数值可判断结论②；由处函数值可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离等于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴，， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线， ∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为， 由函数图象可得时，， ∴，故②正确； 时，， ， ，即，故③错误； ∵对称轴是直线， ∴若，即时，故④正确． 综上所述，正确的选项是①②④，共3个． 故选： C． 二、填空题（每题3分，共21分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 14. 若关于x的方程的一个根是3，则另一个根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握若方程的两个实数根分别为、，则，．设方程的另一个根为，得到，即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则， 解得：， 故答案为：． 15. 抛物线，当时，的取值范围是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】先把二次函数化为顶点式的形式，得出其顶点坐标，利用二次函数增减性进而可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，其顶点坐标为 ∴当时，； ∵， ∴当时，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数顶点坐标及图象性质，根据题意由二次函数一般式求出顶点坐标及利用增减性求最值是解决本题的关键． 16. 如图，在中，是边上一点，，若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，以及三角形内角和定理的应用，根据题意等边对等角得出，根据平行线的性质可得，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，进而根据，即可求解；熟练掌握平行四边形的性质是本题解题关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 17. 若点，是二次函数的图象上的两点，则____（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小．根据二次函数的性质，抛物线开口向上，图象的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：二次函数， ，对称轴为直线， ∴抛物线的开口向上，图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴； 故答案为：． 18. 如图，在中，，．，与延长线、、延长线相切，切点分别为、、，则点到圆心的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】作于H，连接、，如图，设的半径为r，设，则，利用勾股定理得到，，解方程组求出x、y,则可计算出，根据切线的性质，，，利用三角形面积公式得到，,然后解方程求出r，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：作于H，连接、、，如图， 设的半径为r， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，，（负值舍去） ∴， ∵与边及的延长线分别相切于点， ∴， ∵， ∴，解得． 即的半径为． 又，且 ∴， ∵， ∴， 在中，， 故答案为： 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了三角形面积公式以及勾股定理． 19. 如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，，得出为等腰直角三角形，即可得出． 【详解】解：∵， ∴，． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵是的切线， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理，得出． 三、解答题（共63分） 20. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解答本题的关键． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用配方法解方程． 【小问1详解】 解：， 整理得， 移项得， 因式分解得， 解得，． 【小问2详解】 解：， 移项得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解可得解； （2）利用因式分解法求解可得解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ∴，． 22. 如图，点，的坐标分别为、，将绕点按逆时针方向旋转，得到（点和点对应，点和点对应）． （1）画出旋转后的，并写出点的坐标为_____． （2）连接，则的度数为_____． 【答案】（1） 即为所求， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画旋转图形，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，确定点的坐标等内容，解题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据旋转的性质，确定三角形的对应点，然后连接各顶点即可，根据平面直角坐标系确定点的坐标； （2）根据旋转的性质及等腰直角三角形的判定和性质进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 根据旋转的性质得，，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 23. 如图，是的直径，弦，相交于点E，，点F在的延长线上，，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求直径的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵是的直径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）根据，得出，根据，得出．结合三角形的内角和定理推出，即可推出是的切线． （2）易得，根据勾股定理的得出．设，则，．根据勾股定理得出，列出方程，求出x的值，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 设，则，． 在中，， ∴． 解得． ∴． ∴． 24. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价应为18元 （3）当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可求解； （3）根据题意求出与之间的二次函数关系式，根据二次函数的性质解答即可求解； 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 把和代入得，， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得，， 解得：， ， ， 答：销售单价为18元； 【小问3详解】 解：由题意得，， ， ∴当时，的值最大，， 答：当单价为19元时，每天获利最大，最大利润为198元． 25. 如图，是等腰直角三角形，，求证：． 【答案】 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴， 把绕点A顺时针旋转，得到，连接，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， 又， ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，把绕点A顺时针旋转，得到，证明，得到，勾股定理得到，等量代换后即可得出结论． 【详解】略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省临沂市平邑县地方镇第一初级中学2024-2025学年九年级上学年数学期中自测试卷 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 萌萌将如图所示的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，所拼成的多边形中为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的弦，是的切线，A为切点，经过圆心O，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( ) A. x(x－1)＝2070 B. x(x＋1)＝2070 C. 2x(x＋1)＝2070 D. ＝2070 6. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，点P是射线上一动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线AM于点C、D，下列结论：①；②；③当时，；④当点P运动时，的数量关系不变．其中正确结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（ ） A. 2.5 B. 2 C. 3.5 D. 3 10. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 11. 若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（ ） A. 3或5 B. 3 C. 4 D. 5 12. 如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　 　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共21分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 14. 若关于x的方程的一个根是3，则另一个根是_______． 15. 抛物线，当时，的取值范围是 __________． 16. 如图，在中，是边上一点，，若，则的度数为______． 17. 若点，是二次函数的图象上的两点，则____（填“”，“”或“”）． 18. 如图，在中，，．，与延长线、、延长线相切，切点分别为、、，则点到圆心的距离为______． 19. 如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______． 三、解答题（共63分） 20. 解方程： （1）． （2）． 21. 解方程： （1）； （2）． 22. 如图，点，的坐标分别为、，将绕点按逆时针方向旋转，得到（点和点对应，点和点对应）． （1）画出旋转后的，并写出点的坐标为_____． （2）连接，则的度数为_____． 23. 如图，是的直径，弦，相交于点E，，点F在的延长线上，，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求直径的长． 24. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 25. 如图，是等腰直角三角形，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $