一元一次方程实际应用压轴题型通关讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册

该初中数学讲义以框架式结构系统梳理一元一次方程实际应用知识，通过知识点模块（定义、解题步骤、等量关系）和11类核心题型分类，结合表格归纳易错点与等量关系，清晰呈现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于“题型专属技巧+分层训练”设计，如配套问题抓比例关系、工程问题设总工作量为1，培养模型意识与推理能力。典例结合跟踪专练覆盖基础到压轴，助力不同学生提升，教师可据此实施精准复习教学。

一元一次方程实际应用压轴题型通关讲义 1.掌握配套、工程、销售、行程、方案选择五大核心题型的解题逻辑，精准提炼各类题型的核心等量关系。 2.熟练运用 “审题找等量关系→设元→列方程→求解→检验” 的解题流程，提升将实际文字问题转化为一元一次方程的数学建模能力。 3.突破压轴题中多条件融合、分类讨论、临界值计算等难点，能灵活应对各类变式场景，确保解题的准确性与合理性。 4.积累工程问题设总工作量为 1、配套问题抓比例关系、方案选择问题找临界值等题型专属技巧，提升期末压轴题的解题效率与得分率。 1.一元一次方程应用:配套问题 2.一元一次方程应用:工程问题 3.一元一次方程应用:销售盈亏问题 4.一元一次方程应用:比赛积分问题 5.一元一次方程应用:方案选择问题 6.一元一次方程应用:数字问题 7.一元一次方程应用:几何问题 8.一元一次方程应用:动点问题 9.一元一次方程应用:和差倍分问题 10.一元一次方程应用:水电费问题 11.一元一次方程应用:行程问题 【知识点01.一元一次方程的定义与一般形式】 1.一元一次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 1，等式两边都是整式的方程，叫做一元一次方程 判定关键点： *未知数个数：1 个 *未知数次数：1 次 *方程形式：整式方程（分母不含未知数） 2.一般形式 ax+b=0（a≠0，a、b为常数） 注：a≠0是核心条件，若a=0，则方程变为b=0，不再是一元一次方程。 【知识点02.解题核心步骤】 1.审：审题，理解题意，明确已知量、未知量，以及各量之间的数量关系。 2.设：设未知数，分两种情况 直接设元：求什么就设什么（最常用）。 间接设元：直接设元难以列方程时，设与所求量相关的量为未知数。 3.列：根据题目中的等量关系，列出一元一次方程。（这是解题的关键步骤，需找准题目中的 “相等关系” 语句） 4.解：解所列的一元一次方程，求出未知数的值。 5.验：检验所求的解是否符合实际意义（如人数不能为负数、物品数量不能为小数等），同时检验是否满足方程。 6.答：写出答案，注意单位和语言规范。 【知识点03常见实际问题与等量关系.】 1. 配套问题 *核心等量关系：两种物品的数量比等于配套比。 *示例：制作一套桌椅需要 1 张桌子配 4 把椅子，桌子数量：椅子数量 = 1:4，即4×桌子数量 = 椅子数量。 2. 工程问题 *基本公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间 *常用思路： 若工作总量未给出，通常设为单位 1。 合作效率 = 各部分效率之和。 *等量关系：各部分工作量之和 = 总工作量（通常为 1）。 3. 行程问题 *基本公式：路程 = 速度 × 时间（s=vt） 常见类型 （1）相遇问题：总路程 = 甲走的路程 + 乙走的路程 （2）追及问题： 同地不同时：快者路程 = 慢者路程 同时不同地：快者路程 = 慢者路程 + 初始距离差（3）航行问题： 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度 逆水速度 = 静水速度 - 水流速度 4. 利润问题 **核心公式 利润 = 售价 - 进价（成本） 利润率 =100% 售价 = 标价 × 折扣（如 8 折即标价 ×0.8） *等量关系：根据利润、利润率的公式列方程。 5. 数字问题 *表示方法： *两位数：十位数字 ×10 + 个位数字（如十位为a，个位为b，则两位数为10a+b） *三位数：百位数字 ×100 + 十位数字 ×10 + 个位数字 *等量关系：根据数字位置变化前后的数量关系列方程。 6. 和、差、倍、分问题 *核心等量关系： 和：A+B=总量 差：A-B=差值 倍：A=n×B（n为倍数） 分：A=×B 7. 计费问题（如水电费、话费、出租车费） *核心思路：分段计算费用，总费用 = 各段费用之和。 *等量关系：根据不同收费标准的分段节点，结合总费用列方程。 易错点总结 1.设未知数时忘记带单位，答句中遗漏单位。 2.忽略实际意义检验，解得不符合实际的结果（如人数为负数、长度为小数但题目要求整数）。 3.找错等量关系，这是列方程的关键错误，需反复审题圈画关键语句。 4.解方程时出现计算错误，尤其是移项要变号、去分母时漏乘不含分母的项。 【题型1.一元一次方程应用:配套问题】 【典例】一台仪器由个部件和个部件构成．用立方米钢材可以做40个部件或240个部件．现要用立方米钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做部件，多少立方米钢材做部件，才能制作尽可能多的仪器？设用立方米钢材制作部件，则可列式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查配套问题，关键是根据部件比例关系列方程，确保部件数量匹配以制作最多仪器．设用立方米钢材做部件，则做部件的钢材为立方米，根据仪器配套要求（个部件配个部件），部件数量应等于部件数量的倍，由此列方程即可． 【详解】解：用立方米做部件，则用立方米做部件， 由题意可得，． 故选：B． 【跟踪专练1】初一年级共45名学生参与科技节活动，活动中要制作纸飞机模型，每人每小时可做12个机身或30个机翼，一个飞机模型需要1个机身配2个机翼．为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配 名学生做机身， 名学生做机翼；在刚好配套的情况下， 每小时能够做出 套． 【答案】 25 20 300 【分析】本题主要考查了列一元一次方程来解决现实生活中的分配问题；准确找出题中隐含的等量关系、正确列出方程是解题的关键． 设出未知数，根据等量关系：制作的机翼总数机身总数，列出方程求解即可解决问题． 【详解】解：设应该分配x名学生做机身，则有名学生做机翼， 由题意得：， 解得， ，每小时能够做出的套数为（套）； 故答案为：25，20，300. 【跟踪专练2】1套检测仪器由2个部件和3个部件构成，用钢材可以做40个部件或240个部件． (1)若要用钢材制作若干套这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件？ (2)现在某公司要租赁这批仪器套，每天的付费方案有如下两种： 方案一：当不超过60时，每套支付租金100元；当超过60时，超过的套数每套支付租金打八折． 方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元． 当超过60时，选择哪种租赁方案更合算？请说明理由． 【答案】(1)用钢材做部件，用钢材做部件 (2)当时，选择方案二更合算，当时，两种方案费用相同；当时，选择方案一更合算． 【分析】（1）设应用钢材做A部件，钢材做B部件，根据一套检测仪器由两个A部件和三个B部件构成，列方程求解；                                                                                                                                                                                   （2）方案一租金根据当a超过60套时，超过的套数每套支付租金打八折列式计算可得；方案二租金根据每套支付租金90元列式计算可得；根据,得到，三种情况分析即可； 【详解】（1） 解：设用钢材做部件，用钢材做部件．依题意，得，解得，则． 答：用钢材做部件，用钢材做部件． （2）解：方案一：元． 方案二：元． 当时，解得． 答：当时，，选择方案二更合算； 当时，两种方案费用相同； 当时，选择方案一更合算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，配套问题的解决方法，解决问题的关键是正确理解题意列得方程或列式计算． 【跟踪专练3】某纺织厂生产床品四件套（1个床单，1个被套，2个枕套），现计划安排15名工人缝制枕套和被套，已知每人每天可缝制200个枕套或50个被套． (1)为使每天缝制的枕套和被套刚好配套，则每天缝制的被套有多少个？ (2)若每个枕套和每个被套均需1个拉链，现有600个枕套，300个被套，300个床单以及885个拉链，则最终能组成多少套四件套？ 【答案】(1)每天缝制的被套有个 (2)最终能组成套四件套 【分析】（1）先设缝制被套的工人数为未知数，根据工人 数和枕套、被套的配套关系列方程求解被套数 量； （2）每个枕套和每个被套均需1个拉链，故一套四件套（个床单，个被套，个枕套）需要三个拉链，设有套四件套，则需要个拉链，列不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设每天安排名工人缝制被套，则安排名工人缝制枕套． 根据题意，得，解得， （个）． 故每天缝制的被套有个． （2）解：设最终能组成套四件套，根据题意，组成套四件套需要枕套个，被套个，床单个，拉链个.则有： ， 解得.故最终能组成套四件套． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，配套问题，认真审题，找准等量关系是解题的关键． 【跟踪专练4】某车间生产的一套产品由3个A型部件和4个B型部件组成，该车间现有40个工人，每个工人每天能加工3个A型部件或6个B型部件．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种部件，并要求每天加工的A、B型部件数量正好组成若干套该产品． (1)按照这样的生产方式，该车间每天能配套生产组成多少套该产品？ (2)春节后工厂补充20名新工人，这些新工人只能独立进行B型部件的加工，且每人每天只能加工4个B型部件，则补充新工人后每天能配套生产多少套该产品？ 【答案】(1)24 (2)32 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设有人生产A型部件，有 人生产B型部件；根据生产的两种部件正好配套，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，在将其代入中，即可求出结论； （2）设安排 个人生产A型部件，则安排个老员工生产B型部件；根据生产的两种部件正好配套，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，在将其代入中，即可求出结论； 【详解】（1）解：设有人生产A型部件，有 人生产B型部件； 根据题意：得 解得： 所以（套） 答：按照这样的生产方式，该车间每天能配套生产组成24套该产品. （2）解：设安排个老员工生产A型部件，则安排个老员工生产B型部件； 根据题意：得 解得： ∴（套） 答：补充新工人后每天能配套生产32套该产品. 【题型2.一元一次方程应用:工程问题】 【典例】灌满一个水池，只打开 A 管要 8 小时，只打开 B 管要 10 小时，只打开 C 管要 15 小时，开始时只打开 A 管和 B 管，中途关掉 A、B 两管，然后打开 C 管，前后共用了 10 小时 15 分钟， 那么 C 管打开了 小时． 【答案】 【分析】本题考查了工程问题的基本计算，解题的关键是将灌满水池的工作总量看作单位“1”，先求出A、B、C三管各自的工作效率，再通过设C管打开时间为未知数，利用“A、B两管工作总量C管工作总量”列方程求解． 先统一时间（10小时15分钟小时），再列方程求解． 【详解】解：小时分钟小时． A管效率，B管效率，C管效率； A、B同时开的效率和．   设C管打开了x小时， 根据题意得：， 化简得：， 解得．   故答案为：． 【跟踪专练1】一个工程队承包甲、乙两项工程，甲工程的工作量是乙工程的工作量的2倍．前半个月全体工人都在甲工地工作，后半个月工人分成人数相等的两组，一组仍在甲工地工作，另一组到乙工地工作，一个月后，甲工程完成而乙工程的剩余量刚好够一个工人一个月的工作量，如果每个工人的工作效率都相同，那么这个工程队有 人． 【答案】8 【分析】本题考查工程问题，设这个工程队有个工人，每个工人每月的工作量为1，进而求出甲工程的工作量和乙工程的工作量，根据甲工程工作量是乙工程工作量的2倍，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这个工程队有个工人，每个工人每月的工作量为1，则：甲工程工作量为，乙工程的总工作量为， 由题意，得：， 解得：； 答：这个工程队有8个工人． 故答案为：8． 【跟踪专练2】一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： (1)完成任务时共用了多少小时？ (2)如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确地用代数式表示甲、乙两人各自的工作效率和各自完成的工作量是解题的关键， （1）假设甲、乙合作小时可以完成，可列方程，得出甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成，设两人各工作7小时后甲还要工作小时才能完成，可列方程得，求出的值，再加上14，就是两人交替工作完成任务时所用的小时数； （2）利用（1）的解法即可求解． 【详解】（1）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得， 解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成， 设各工作7小时后甲还要工作小时才能完成任务， 根据题意得， 解得， ∴（小时）， 答：完成任务时共用了小时； （2）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得，解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作6小时后，还剩下部分任务由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作完成， 甲、乙两人交替工作，由甲工作7小时，乙工作6小时后，还剩下部分任务由乙完成， 设乙还要工作小时才能完成任务， 根据题意得，解得， ∴， 答：完成任务时共用了小时． 【跟踪专练3】某工程队修一条路，第一天修了比全长的多2米，第二天修了比剩下部分的少4米，还剩200米没修，这段路全长多少米？ 【答案】826 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 设第一天修完后剩下的长度为米，根据第二天的工程量和剩余量列出方程求解，再设这段路全长为米，根据第一天的工程量列出方程求解即可． 【详解】解：设第一天修完后剩下的长度为米，根据题意得， ， 解得， 设这段路全长为米，根据题意得， ， 解得， 所以，这段路全长826米． 【跟踪专练4】某环保袋生产厂家接到一批环保袋定制任务，要求10天完成．若安排第一车间单独加工，则正好如期完成任务；若安排第二车间单独加工，则会延期5天完成． (1)为了尽快完成任务，安排第一车间单独加工5天后，随即安排第二车间加入一起加工，可以提前几天完成任务？ (2)已知第一车间一天投入生产的成本是1.2万元，第二车间一天投入生产的成本是0.7万元．现有三种加工方案：①第一车间单独加工；②第二车间单独加工；③两个车间同时加工．如果你是厂长，在以上三种方案中，应选择哪一种方案安排生产，既可以节约成本，又可以在规定时间内完成任务？请通过计算说明理由． 【答案】(1)可以提前2天完成任务 (2)选择方案③，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键． （1）设可以提前天完成任务，那么第一车间的工作时间是天，第二车间的工作时间是天，再根据两个车间的工作效率分别是和，可得方程； （2）分别计算出三种方案的费用，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设两车间一起加工了天 由题意得：。解得 总用时为天，故可提前天 答：可以提前天完成任务． （2）解：方案①：（万元）； 方案②：（万元），但不能在规定时间内完成； 方案③：（天），（万元）； ∵， ∴选择方案③． 【题型3.一元一次方程应用:销售盈亏问题】 【典例】某商店卖出两件衣服，每件售价元，其中一件赚，另一件亏，那么两件衣服卖出后，商家（    ） A．不赚不亏 B．赚了元 C．亏了元 D．亏了元 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设赚的衣服成本为元，亏的衣服成本为元，分别计算两件衣服的成本价：赚的衣服成本为售价除以，亏的衣服成本为售价除以，比较总成本与总售价，判断盈亏即可， 【详解】解：设赚的衣服成本为元，亏的衣服成本为元， ∵ 售价成本（利润率）”， ∴ ， 即， ∴， 同理，， 即 ， ∴ ， ∴总成本为元，总售价为元， ∴元， ∴亏了元， 故选：C． 【跟踪专练1】某商场对顾客实行优惠，规定如下： ①一次购买不超过元，不予折扣；②一次购物超过元但不超过元，按标价给予九折优惠；③一次购物超过元的，其中元按第②条给予优惠，超过元的部分则给予八折优惠． 王叔叔第一次购物付了元，第二次购物付了元，如果他将两次所购物品一次购买，那么可比两次分别购买省 元． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，运用分类讨论思想确定所付金额是优惠前还是优惠后，并找出等量关系列出正确方程是解题的关键． 先判断出王叔叔第一次购物优惠前超过元，第二次购物需要分优惠前不超过元和优惠前超过元两种情况讨论，再根据等量关系列方程，求出两次购物优惠前的金额，即可求解． 【详解】解：∵（元），， ∴王叔叔第一次购物优惠前超过元， 设王叔叔第一次购物优惠前为x元，则： ， 解得， ∵（元），， ∴王叔叔第二次购物可能有优惠，也可能没有优惠， ①当王叔叔第二次购物有优惠， 设王叔叔第二次购物优惠前为y元，则： ， 解得， ∴两次所购物品一次购买应实际付款为：（元）， ∴节省的费用为：（元）， ②当王叔叔第二次购物没有优惠， 则两次所购物品一次购买应实际付款为：（元）， ∴节省的费用为：（元）， 综上：王叔叔将两次所购物品一次购买可比两次分别购买省或元． 故答案为：或． 【跟踪专练2】温州书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．某学生第一次去购书付款72元，第二次去购书享受到了八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节约了34元． (1)第一次购书实际付款，相较于第一次所购书的实际定价省去了______元钱．第二次购书实际付款，相较于第二次所购书的实际定价省去了______元钱． (2)求该学生第二次所购书的实际定价是多少元． 【答案】(1)8；26 (2)230 【分析】本题考查分段计费的实际应用．明确分段计价的逻辑，建立一元一次方程是解题关键． （1）根据“实际付款=定价×折扣率”，算出第一次购书的定价，根据题意求解两次省去的金额即可． （2）根据“节省金额=定价-实际付款”，建立一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：， 定价第一次定价不超过200元， 第一次购书定价为， 第一次购书省去了， 两次共节约了34元， 第二次购书省去了， 答：第一次购书省去了8元，第二次购书省去了26元． （2）解：设第二次所购书的实际定价是元， 第二次去购书享受到了八折优惠， ， 实际付款=， 节约金额=， ， 解得． 答：第二次所购书的实际定价是230元． 【跟踪专练3】某超市开业，为了吸引顾客，实行优惠，方案如下表： 购物标价 小于200元 满200元且不超过500元 超过500元 优惠方式 不予优惠 按标价9折优惠 500元部分（包括500元）给予9折优惠，超过500元部分给予8折优惠 (1)小张付款189元，则购买了标价为 元的商品； (2)小张购买标价为x（） 元的商品，则他付款 元；（用含x 的代数式表示） (3)小张两次购物，第一次购买了标价为260元的商品，商家获利，第二次购买了标价550元的商品，商家获利，如果他把两次购买的商品合并为一次，请你计算，商家获利多少元? 【答案】(1)189或210 (2) (3)商家获利168元 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，列代数式，解题的关键是理解题意，找准等量关系． （1）根据题意分两种情况进行求解即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）列出方程求出每次的成本，然后再合并起来求商家获得的利润即可． 【详解】（1）解：当小张购买了小于200元物品时，不予优惠，小张付款为189元； 当小张购买了满200元且不超过500元物品时，设购物标价为元，根据题意得， ， 解得； 故答案为：189或210； （2）解：根据题意得，他付款为元， 故答案为：； （3）解：设第一次的成本为元，第二次的成本为元，根据题意得， ，， 解得， ∴（元）， 所以，商家获利168元． 【跟踪专练4】一个农业合作社以元的成本收获了某种农产品，目前可以以的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失，且每星期需支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元． (1)设储藏了个星期，请用含的代数式表示每吨农产品的价格为______元，此时农产品有______吨； (2)若出售这批农产品可获利元，问这批农产品储藏了多少个星期？ 【答案】(1)， (2)这批农产品储藏了15个星期 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，明确题意，列出相应的方程和代数式是解答本题的关键． （1）根据题意，可以用含x的代数式表示出每吨农产品的价格和此时农产品的吨数； （2）根据题意，设这批农产品储藏了m个星期，可以列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 储藏了个星期，每吨农产品的价格为：元，此时农产品有吨， 故答案为：，； （2）解：设这批农产品储藏了m个星期， 由题意可得：， 解得， 答：这批农产品储藏了15个星期． 【题型4.一元一次方程应用:比赛积分问题】 【典例】学校组织老师进行智力竞赛，共道题，答对一题得分，不答不给分，答错扣分，已知所有老师的总分为多分，且男老师总分为女老师总分的倍多分，答对总题数为答错总数的倍少题．又知每人恰好有道或道题未答．则男老师的总分 分． 【答案】 【分析】答错总题数为，女老师总分为，则全校老师总得分为，则有，即，又因答错总题数为，则答对，总得分为，也有，即，又，即，因为为整数，所以为200到233之间能被13整除的整数，符合条件的有206，219，232，对应的x分别是48，51，54，最后分类讨论，从而问题得解． 【详解】解：设答错总题数为，女老师总分为， 则全校老师总得分为， 则有，即， 又因答错总题数为，则答对， 总得分为， 也有，即， 又，即， 因为为整数，所以为200到233之间能被13整除的数， 符合条件的有206，219，232， 对应的分别是48，51，54， ①当时，答对题数为：（道）， 一共做了（道）， 如果10人参赛，题目一共有（道）， 没做的有（道）， 不满足每人恰好有道或道题未答； ②当时，答对题数为：（道）， 一共做了（道）， 如果11人参赛，题目一共有（道）， 没做的有（道）， 不满足每人恰好有道或道题未答； ③当时，答对题数为：（道）， 一共做了（道）， 如果11人参赛，题目一共有（道）， 没做的有（道）， 满足每人恰好有道或道题未答； 所以，， 所以男老师总得分（分）； 答：男老师总得分分． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答此题的关键是设出适当的未知数，找出未知数的取值范围，进而求解． 【跟踪专练1】某校文艺部招聘主持人，有甲、乙、丙三名同学参加，学校设置了五轮比赛，规定：每一轮比赛分别决出第一、二、三名（不并列），对应名次的得分分别为（且均为正整数）．三名同学最后得分为五轮比赛得分之和，得分最高者中选，下表是三名同学在五轮比赛中的部分得分情况如下： 一轮 二轮 三轮 四轮 五轮 总分 甲 9 乙 22 丙 9 则的值为 ，三名同学在五轮比赛中 获得的第二名最多． 【答案】 5 甲 【分析】本题考查了不定方程在实际问题中的应用．合理假设是解题关键．根据“每轮分别决出第一二三名（不并列）”及“乙的得分最高为”可计算出的值．假设甲有一轮获得第一，分析三人的实际得分情况即可求解． 【详解】解： 每轮分别决出第一二三名（不并列）， ， ， 乙的得分最高为， ，均为正整数， ， ，均为正整数， 的最小值分别为， ， ，，， ， 乙4轮得第一，1轮得第二， 设甲有一轮得第一，则甲的得分至少， 与甲的实际得分不符合 故甲没有一轮得第一，丙有一轮得第一， ，即丙剩下的三轮总分为3分， 剩下的三轮丙只能是3轮都是第三， 丙1轮得第一，4轮得第三， 又 乙4轮得第一，1轮得第二，三人第一、第二和第三的总数都是5， 甲4轮得第二，1轮得第三，即甲获得的第二名最多． 故答案为：5，甲． 【跟踪专练2】综合与实践 【问题情境】某学校七年级举行篮球比赛，七年级共15个班参加比赛，比赛采取单循环赛（每两队之间比赛一场）．下表记录了5支篮球队的积分情况： 班名 比赛场次 胜场 负场 积分 七（2） 14 12 2 26 七（5） 14 8 6 22 七（9） 14 7 7 21 七（11） 14 4 10 18 七（15） 14 0 14 14 【提出问题】 某班的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？请说明理由． 【分析问题】 小智：观察积分榜，从七（15）班的比赛数据可以看出，负一场积1分．若设胜一场的积分为分，则根据七（2）班的比赛数据，可以得到方程___________①___________ 小慧：从七（9）班的比赛数据看，胜一场的积分+负一场的积分共为3分．若设胜一场的积分为分，则负一场的积分用含的式子可以表示__________②__________分，再根据七（5）班的比赛数据，还可以列出方程__________③__________． 小聪：根据七（2）班的比赛数据，若设胜一场的积分为分，则负一场的积分用含的式子可以表示为___________④___________分，再根据七（5）班的比赛数据，还可以列出方程___________⑤___________． 小明：只要我们求出了负一场和胜一场的积分各是多少分，就能解决上述问题了． 【解决问题】根据上面展示交流的过程，完成下列学习任务： (1)请将上述展示交流过程中，序号处缺少的内容补充出来： ①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________； (2)请求出胜一场的积分； (3)请你解决上述提出的问题：某班的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？请说明理由． 【答案】(1)；；；；； (2)胜一场的积分为2分 (3)某班的胜场总积分不能等于它的负场总积分，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是正确理解题意． (1)通过设未知数、用“胜场积分+负场积分=总积分”关系，列代数式，列方程求解即可； (2)利用(1)中得到的方程(如七(2) 班的)，解一元一次方程即可求出胜一场的积分； (3)设胜场数为y，则负场数为，分别表示胜场总积分和负场总积分，令两者相等列方程，解得的y需为整数(场次为整数)，若解不是整数，则说明无法相等． 【详解】（1）解：①小智指出负一场得1分，七(2)班胜12场、负2场，总积分等于胜场积分加负场积分，故方程为，简化后为； ②小慧指出胜一场积分加负一场积分共3分，设胜一场为x分，则负一场为分； ③小慧用七(5)班数据(胜8场、负6场、积分22)，胜场积分加负场积分等于总积分，故方程为； ④小聪用七(2)班数据，总积分减去胜场积分得负场总积分，再除以负场数，故负一场积分为； ⑤小聪用七(5)班数据，胜场积分加负场积分等于总积分，故方程为； 故答案为：；；；；； （2）解：设胜一场的积分为x分，根据七(2)班的比赛数据，得方程：， 解得：， 答：胜一场的积分为2分； （3）解：某班的胜场总积分不能等于它的负场总积分，理由如下： 设某班胜y场，则负场，胜场总积分为分，负场总积分为分， 若胜场总积分等于负场总积分， 则， 解得： 因为y必须是整数，而不是整数， 所以不存在这样的 答：某班的胜场总积分不能等于它的负场总积分． 【跟踪专练3】（题）七只鱼缸里所放金鱼的条数分别为条、条、条、条、条、条、条．已知同一缸里的鱼同色，只有一缸是黑色的，其余都是红色和白色，且红色是白色的倍．问：黑色的金鱼有几条？ （题）一次围棋比赛，有人参加了比赛，每名选手都要与其他的选手比赛一次，每局棋胜者得分，负者分，平局各自得分．已知：选手们的得分各不相同，且 ①获得第一与第二的选手一次都没输过； ②获得第四的选手得分与排名最后的四名选手得分总和相等． 请问，从第一名到第四名，每个人的得分各自是多少？ 我选做的题目是 （填或）．详细解答如下： 【答案】选：条；选：分，分，分，分 【分析】选：求出总的金鱼数量，再分种情况求出红色和白色金鱼的数量，若能被整除即可求解； 选：求出总的比赛场数，进而求出产生的总得分，再根据题意求出第一名、第二名、第三名的得分，最后根据方程求出第四名的得分即可求解； 本题考查了有理数除法的应用，有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：选，解答如下： （条）， ，不能被整除； ，，能被整除； ，不能被整除； ，不能被整除； ，不能被整除； ，不能被整除； ，不能被整除； ∴黑色的金鱼有条； 选，解答如下： 由题意可得，总的比赛场数为场， ∴产生的总得分为分， ∵获得第一与第二的选手一次都没输过， ∴两人为平局， ∴第一名胜平局，得分最高，得分为分， ∴第二名得分次之且不败，其余局中最多为胜平，最高得分为分， ∴第三名最高得分为分， 设第四名得分为，则， 解得， ∴第四名得分为分， 答：从第一名到第四名，每个人的得分各自是分，分，分，分． 【跟踪专练4】某学校举办了迎新春中国象棋比赛，以下是部分选手的积分记录表： 选手 比赛总局数 胜局 平局 负局 积分 A 12 12 0 0 36 B 12 7 3 2 22 C 12 5 4 3 16 D 12 6 0 6 12 E 12 1 18 (1)本次比赛胜一局得______分，平一局得______分，负一局得______分； (2)根据积分规则，请求出选手E在已经进行的12局比赛中胜，平各多少局？ (3)已知某选手F的负局数是胜局数的一半，他的胜局积分能等于平局积分的四倍吗？ 【答案】(1)，， (2)胜4局，平7局 (3)不能（理由见解析） 【分析】（1）先由A的积分得出胜一局的积分，再由D的积分得出负一局的积分，然后由C的积分即可得出平一局的积分； （2）设选手E在已经进行的12局比赛中胜局，则平局，根据题意可得，解方程即可得出答案； （3）设选手F的负局数为，则胜局数为，平局数为，根据依题意可得，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：由A的积分可知，胜一局的积分为：， 由D的积分可知，负一局的积分为：， 由C的积分可知，平一局的积分为：， 故答案为：，，； （2）解：设选手E在已经进行的12局比赛中胜局，则平局， 根据题意，得：， 解得：， 则（局）， 答：选手E在已经进行的12局比赛中胜4局，平7局； （3）解：不能，理由如下： 设选手F的负局数为，则胜局数为，平局数为， 根据依题意，得：， 解得：， 不是整数，故胜局积分不能等于平局积分的四倍， 答：已知某选手F的负局数是胜局数的一半，他的胜局积分不能等于平局积分的四倍． 【点睛】本题主要考查了有理数除法的应用，有理数四则混合运算的实际应用，一元一次方程的应用（比赛积分），代数式求值等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出算式或方程是解题的关键． 【题型5.一元一次方程应用:方案选择问题】 【典例】某校组织师生研学，若租用49座客车若干辆，刚好坐满；若租用54座客车，则比49座客车少租两辆且空余17个座位．若设租用的49座客车有x辆，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设租用的49座客车有x辆，则总人数为，租用54座客车为辆，总座位数为，空余17个座位，因此实际人数为，根据总人数不变，列方程即可． 【详解】解：租用49座客车x辆，总人数为； 租用54座客车辆，空余17个座位， 所以实际人数为； 又因为总人数不变， 所以． 故选：D． 【跟踪专练1】为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客． 门票定价为元/人，非节假日打8折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即人以下（含人）的团队按原价售票；超过人的团队，其中人仍按原价售票，超过人部分的游客打7折售票．某旅行社导游李娜于月1日（节假日）带A团，月日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款元，A，B两个团队合计人，则A团有 人． 【答案】或 【分析】本题考查了方案选择(一元一次方程的应用)，解题关键是正确列出方程求解． 设A团人数为x，则B团人数为．A团节假日购票，付款按分段函数计算；B团非节假日购票，按8折计算付款．根据总付款元，分和两种情况列方程求解． 【详解】解：设A团有x人，则B团有人． B团非节假日购票款为：． A团节假日购票款： 当时，为元； 当时，为元． 总付款为元， 因此：当时，， 解得：，符合． 当时，， 解得：，符合． 故A团有人或人． 故答案为：或． 【跟踪专练2】某化工厂每天产生超过100吨的工业废水，为使排放的工业废水达到国家的排放标准，建设了一座工业废水处理站．该处理站无论是否处理废水，都需要支付设备维护费用200元/天，且处理废水还需其他费用5元/吨．随着生产规模的扩大，该废水处理站已无法完成当天工业废水的处理任务，需要将一部分废水交给第三方企业处理，该企业处理工业废水的价格如表二所示． 表二 收费方式 废水处理量/吨 费用 第一阶梯 0～50 500元 第二阶梯 50～100的部分 5元/吨 第三阶梯 100以上的部分 4元/吨 (1)设某天有m吨废水在处理站处理，直接写出处理站处理废水产生的总费用； (2)若某天该工厂将一半的废水由处理站处理，另一半废水由第三方企业处理，该废水处理站处理废水产生的总费用与第三方企业处理废水产生的费用相同，求这一天该工厂产生的废水总量； (3)经测算，扩大生产规模后，每天产生的废水量超过该处理站日废水处理量至少50吨，为实现降本增效，工厂设计了两种废水处理方案：方案A：超出该处理站的日废水处理量的废水交给第三方企业处理；方案B：保留处理站的设备，但废水全部交给第三方企业处理．根据以上信息，请帮助工厂选择最优方案，并说明理由． 【答案】(1)处理站处理废水产生的总费用为元 (2)这一天该工厂产生的废水总量为300吨 (3)该工厂应选择B方案，理由见详解 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用及整式的加减运算，解题的关键是理解题意； （1）根据“设备维护费用200元/天，且处理废水还需其他费用5元/吨”可进行求解； （2）设这一天该工厂产生的废水总量为x吨，根据“工厂每天产生超过100吨的工业废水”可知：，由题意可分①当第三方企业处理的废水在第二阶梯时，②当第三方企业处理的废水在第三阶梯时，然后分别求解即可； （3）设该工厂每天产生的废水总量为t吨，处理站日废水处理量为m吨，然后分类表示出A、B方案的费用，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：处理站处理废水产生的总费用为元； （2）解：设这一天该工厂产生的废水总量为x吨，根据“工厂每天产生超过100吨的工业废水”可知：；由题意可分： ①当第三方企业处理的废水在第二阶梯时，则有： ，该方程无解，故舍去； ②当第三方企业处理的废水在第三阶梯时，则有： ， 解得：； 答：这一天该工厂产生的废水总量为300吨． （3）解：设该工厂每天产生的废水总量为t吨，处理站日废水处理量为m吨，由题意得：， 当第三方企业处理的废水在第二阶梯时，则有： A方案产生的总费用为（元）； B方案产生的总费用为（元）； ∵， ∴B方案更划算； 当第三方企业处理的废水在第三阶梯时，则有： A方案产生的总费用为（元）； B方案产生的总费用为（元）； ∵， ∴B方案更划算； 综上所述：该工厂应该选择B方案更划算． 【跟踪专练3】学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时a的值和总费用． 【答案】(1)单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； (2)购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支 (3)此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式的应用，根据题意列出方程和整式是解题的关键． （1）设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元，根据列出方程求解即可； () 设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支，然后分购买球珠直径、球珠直径三色圆珠笔的总费用等于列方程，解方程取符合题意的值即可； () 设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元，由题意列出方程，根据总费用始终不变，求出和的值即可． 【详解】（1）解：设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为 元， 由题意得：， 解得， ∴， 答：单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； （2）解：设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支， 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得，不合题意； 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得， ∴，符合题意， 答：购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支； （3）解：设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元， 由题意得： ， ∵与无关， ∴， 解得：， ∴， 答：此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 【跟踪专练4】小吴所在社区采购了两类膳食物资，第一类：杂粮礼盒每份售价为24元；当采购量小于或等于40份时，无优惠．当采购量大于40份时，超过40份的部分每份售价降低3元．第二类：蛋白补给包每份售价为56元：当采购量小于60份时，无优惠．当采购量大于或等于60份时，每份（含小于60份的部分）售价均降低7元． (1)购买30份杂粮礼盒的费用为______元，购买70份蛋白补给包的费用为______元； (2)小吴所在社区积极响应国家号召，对参与测量并购买两类膳食物资的居民在此前优惠方案的基础上，提供额外价格减免活动，具体如下： 类别 类型 售价减免（元） 杂粮礼盒每份 蛋白补给包每份售价减免（元） 1 体重过低 2 7 2 体重正常 1 6 3 超重 3 7 4 肥胖 4 9 体重÷身高的平方（单位：） 已知小吴的身高为，体重为，回答下列问题： ①通过计算值判断小吴所属类别是_____（请填序号1、2、3、4）； ②若小吴计划购买杂粮礼盒和蛋白补给包总共100份，当小吴购买杂粮礼盒x份时，总费用为多少元？ ③小吴实际购买的情况是：他第一次购买了10份杂粮礼盒和20份蛋白补给包，他第二次用了3718元购买了两类膳食物资共100份．若小吴将两次分开购买的两类膳食物资合起来一次性购买，则这样购买的总价比两次分开购买的总价少多少元？ 【答案】(1)720；3430 (2)①3；②当时，总费用为元；当时，总费用为元；③576元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用、列代数式、一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）通过计算求出小吴的值，判断小吴所属类别；再分2种情况讨论：第一种情况：当时；第二种情况：当时，根据题意列出代数式即可解答； （3）设小吴第二次购买杂粮礼盒x份，结合（2）中的结论列出方程，求出的值，计算出一次性购买的总价以及两次分开购买的总价，即可得出答案． 【详解】（1）解：购买30份杂粮礼盒的费用为（元）， 购买70份蛋白补给包的费用为（元） 故答案为：720；3430； （2）①， ∴由值可知小吴所属类别是3； 故答案为：3； ②当小吴购买杂粮礼盒x份时，则购买蛋白补给包份， 第一种情况：当时，， 此时总费用为： 元； 第二种情况：当时，， 此时总费用为 元， ∴综上所述，当时，总费用为元；当时，总费用为元； ③小吴第一次购买的总价为（元）， 设小吴第二次购买杂粮礼盒x份， 当时， ， 解得（不符合题意，舍去）； 当时， ， 解得， 此时购买蛋白补给包（份）； ∴一次性购买的总价为 （元）， 则一次性购买的总价比两次分开购买的总价少（元）； 答：这样购买的总价比两次分开购买的总价少576元． 【题型6.一元一次方程应用:数字问题】 【典例】幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．如图，将9个数字分别填入的正方形空格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上数的和都相等，图中填写了部分数字，其中a的值为（   ） 3 12 1 a A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了幻方及一元一次方程的应用，准确计算，找到相等关系是正确解答此题的关键． 根据每一横行、每一竖行以及每条对角线上的和都相等列方程求解即可． 【详解】解：设最中间的数为， ∴右下角的数为：， ∴， 得到， 故选：C． 【跟踪专练1】嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，她规定：每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等．则图1中“◇”= ，图2中“☆”= ． 【答案】 1 【分析】 本题为“幻方”题目，考查了一元一次方程的应用等知识，根据题意列出方程是解题关键﹒根据图1得到，求出，进而得到，即可求出；根据图2得到，求出，根据，即可求出﹒ 【详解】解：如图1 由题意得， ∴， ∵， ∴； 如图2， 由题意得， ∴， ∵， ∴﹒ 故答案为：1， 【跟踪专练2】已知两个正整数和各个数位上的数字均不为，若它们的位数相同且对应数位上的数字之和为，称这两个数互为“和谐数”．例如：和互为“和谐数”，与 互为“和谐数”．若的“和谐数”为，记为的“和谐差”， 例如； 的“和谐数”为，“和谐差”为． (1)的“和谐差” ； (2)已知两位数的个位数字比十位数字大，且它的“和谐数”等于它的 倍，求这个两位数的“和谐差” ； (3)已知某三位数 (其中，， 且， 为整数) ， 若它的“和谐差” 能被整除，求出这个三位数 所有可能的数值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出的“和谐数”，再求出“和谐差”即可； （2）设数的十位数字为，则个位数字为，得出，，再根据它的“和谐数”等于它的倍求出，结果即可求得； （3）先求出“和谐差”，化简后根据题目要求罗列出可能结果． 【详解】（1）解：∵的“和谐数”为， ∴； 故答案为：； （2）解：设数的十位数字为，则个位数字为， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴的“和谐数”， ∴， ∵其中，， 且，为整数， ∴， ∵ 能被整除， ∴是正整数， ∴或或或， ∴三位数所有可能的数值为：． 【点睛】本题考查了新定义计算，整式加减的应用，绝对值意义，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握定义． 【跟踪专练3】七年级一次数学活动中，甲乙两位同学对钟面问题展开探索研究，问题如下：“在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？” 甲同学采用“配对法”，将这12个数分成6组：，，，，，，通过添加正负号让其中三组中各数的和都为1，另外三组中各数的和都为； 乙同学采用“奇偶法”，将这12个数按奇偶性分成两组：，，通过适当地添加正负号，先使所有的奇数的和为0，再使所有的偶数的和也为0，这样就可以使这12个数的和为0了． (1)甲，乙两位同学的办法中______； A．甲同学办法可行 B．乙同学办法可行 C．甲，乙同学办法均可行 D．甲，乙同学办法均不可行 (2)在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加方式，如果不能，请说明理由； (3)在1，2，3，4，…，2024，2025共2025个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为2026，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加方式，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)A (2)能做到，举例：，，，，，，，，，，， (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数的加法计算，正确理解题意是解题的关键。 （1）根据有理数的加法计算法则可判断甲同学的添加方式；对于偶数分组，可先求出所有数字之和，然后根据所有的负数之和的绝对值等于所有正数之和，再由偶数之和为偶数判定乙同学的添加方式不可行． （2）设所有正数之和为m，则所有的负数之和为，根据钟表上的所有数字之和等于78建立方程求解即可； （3）把1到2024这2024个整数分为1012组，每组两个数字为连续的数字，设共有x组的和为，则有组的和为，根据所有数字之和为2026建立方程求解即可． 【详解】（1）解：按照甲的方法：将这12个数分成6组：，，，，，令其中三组的和为，另外三组的和为1，最后的结果为，符合题意； 按照乙的“奇偶法”将这12个数按奇偶性分成两组：，对于后一组，因为，，应该是，但是所有偶数的和都是偶数，不可能出现奇数21或，故不符合题意． 故选：A； （2）解：钟面上的所有数之和为： 设所有正数之和为m，则所有的负数之和为， ∴， 解得； ∴只要从12个数中选出的正数之和为37，剩余的数都为负数．这样就能做到保证最后所有数之和为 ∴满足题意的添加方式可以为； （3）解：不能使它们的和为2026，理由如下： 把共2024个整数分为1012组：，， 设共有x组的和为，则有组的和为， ∴， 解得， ∵x为整数， ∴不符合题意， ∴不能使它们的和为2026． 【跟踪专练4】已知两个正整数m和n各个数位上的数字均不为0，若它们的位数相同且对应数位上的数字之和为10，称这两个数互为“互补数”．例如：4和6互为“互补数”，119与991互为“互补数”．若m的“互补数”为n，记为m的“互补差”，例如：81的“互补数”为29，． (1)42的“互补差”为 ； (2)已知两位数m的个位数字比十位数字大3，且它的“互补数”n等于它的倍，求这个两位数的“互补差”； (3)已知某三位数（其中，且a，b为整数），若能被19整除，直接写出这个三位数所有可能的值． 【答案】(1)26 (2)60 (3)612，631，669，688 【分析】（1）先求出42的“互补数”，再求出“互补差”即可； （2）设数m的十位数字为x，则个位数字为，得出，，根据它的“互补数”n等于它的倍，得出，求出，再求出结果即可； （3）先求出，化简，得出为整数，根据，，且a，b为整数，求出结果即可． 【详解】（1）解：42的“互补数”为68，则42的“互补差”为： ； （2）解：设数m的十位数字为x，则个位数字为， ， 它的“互补数”n为： ， ∵它的“互补数”n等于它的倍， ∴， 解得：， 则，， ∴． （3）解：三位数为， 三位数的“互补数”为： ， ， ， ∵能被19整除， ∴为整数， ∵，，且a，b为整数， ∴，时，符合题意； ，时，符合题意； ，时，符合题意； ，时，符合题意； ∴这个三位数所有可能的值为：612，631，669，688． 【点睛】本题主要考查了新定义计算，整式加减的应用，绝对值意义，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握定义． 【题型7.一元一次方程应用:几何问题】 【典例】如图，甲、乙、丙三根笔直木棒平行摆放在桌上．已知乙有一部分只与甲重叠，其余部分只与丙重叠，甲、丙没有与乙重叠部分的长度分别为．若乙的长度最长且与甲、丙的长度差分别为，则乙的长度为（   ） . A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式、整式加减的应用，理解题意，找到三根木棒长度间的等量关系是解答的关键． 设乙的长度为，根据题意得甲的长度为：；丙的长度为：，根据甲与乙重叠的部分长度+乙与丙重叠的部分长度=乙的长度列等量关系即可求解． 【详解】解：设乙的长度为， ∵乙的长度最长且甲、乙的长度相差，乙、丙的长度相差， ∴甲的长度为：；丙的长度为：， ∴甲与乙重叠的部分长度为：； 乙与丙重叠的部分长度为：， 由图可知：甲与乙重叠的部分长度+乙与丙重叠的部分长度=乙的长度， ∴， 整理，得， 解得 ∴乙的长度为：， 故选：B． 【跟踪专练1】已知在数轴上A、B两点表示的数分别是、5，在数轴上有一点P，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍，则点P表示的数是 ． 【答案】3或9 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，化简绝对值，解题的关键是掌握分类讨论和数形结合的数学思想． 设点P表示的数为x，则点P到点A的距离为，点P到点B的距离为，由题意得，分情况讨论求解． 【详解】解：设点P表示的数为x，则点P到点A的距离为，点P到点B的距离为，由题意得， 分情况讨论： 当时，方程化为，解得，符合条件； 当时，方程化为，解得，符合条件； 当时，方程化为，解得，但不符合，无解； 综上，点P表示的数为3或9， 故答案为：3或9． 【跟踪专练2】将若干个长为、宽为的甲种小长方形纸片和长为、宽为的乙种小长方形纸片不重叠地放在一个大长方形内，其中未被覆盖的部分用阴影表示． (1)如图1，若用5张甲长方形纸片覆盖大长方形，其中，． ①若，则______，此时，______（用含代数式表示）； ②是否存在符合条件的，使得长方形的周长等于长方形的周长？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (2)如图2和图3所示，将4张甲长方形纸片和3张乙长方形纸片分别按照两种不同的方式不重叠地放置在大长方形中，结果发现两种方式下未覆盖部分的周长相等．求甲、乙两种长方形面积的比值． 【答案】(1)①19；；②存在使得长方形的周长等于长方形的周长； (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，整式的加减计算，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据题意可得，据此可求出m的值；再根据可求出的值；②分别表示出两个长方形的周长，根据两个长方形的周长相等得到关于m、n的等式，再结合得到关于n的方程，解方程即可得到答案； （2）设，分别表示出图2和图3中未覆盖的图形的周长，根据图2和图3中未覆盖部分的周长相等，可推出a与n的关系式，根据的长度不变可推出b与m的关系式，据此根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，， ∵， ∴； ∵， ∴； ②由题意得，长方形的周长， 长方形的周长， ∵长方形的周长等于长方形的周长， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴存在使得长方形的周长等于长方形的周长； （2）解：设， 图2中未覆盖部分的周长为， 且， 图3中未覆盖部分的周长为， 且， ∴ ∵图2和图3中未覆盖部分的周长相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 甲长方形的面积为，乙长方形的面积为， ∴甲、乙两种长方形面积的比值为． 【跟踪专练3】已知有理数，在数轴上对应的点分别为，且满足． (1)填空：___________，___________，___________． (2)若点在数轴上对应的数为，当间距离是间距离的5倍时，请求出的值： (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，， (2)11或 (3)，的值为 【分析】（1）绝对值和平方具有非负性，由非负数的和等于0，每个非负数都为零，求出a，b，c； （2）由数轴上两点间的距离公式表示出和，建立方程求解x； （3）假设存在符合条件的m，表示，再利用整式的性质求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴； （2）解：由题意得：， ∴， 当时，， 当时，， 综上：或； （3）解：假设存在符合条件的m，经过t秒，点A表示的数为，点B表示的数为，且A，B都在点C右侧， ∴，， ∴， ∵的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变， ∴， ∴， ∴存在符合条件的m，， 此时． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、整式的加减、数轴、绝对值以及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出a，b的值；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）用含t的代数式表示出的值． 【跟踪专练4】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为7（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 ； 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（例如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 【答案】（1）；（2）①，②和；（3）或或． 【分析】本题考查了实数和数轴的关系，数轴上的折叠问题． （1）利用数轴的对称性可得答案； （2）①先确定好折痕点对应的数，再利用距离相等可得答案； ②利用数轴上、两点到折痕的距离为，从而可得答案； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵表示的点与表示的点重合， ∴折痕为， 则表示的点与表示的点重合． 故答案为：； （2）解：①∵折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合， ∴折痕表示的点为， 设3表示的点与数表示的点重合， 则， 则； ∴表示的点与表示的点重合； 故答案为：； ②∵数轴上、两点之间距离为， ∴数轴上、两点到折痕的距离为， ∵在的左侧，，， ∴、两点表示的数分别是和； 故答案为：和； （3）解：设折痕处对应的点所表示的数是x， 如图1，当时， 设，则， ∴，解得：， ∴， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 如图2，当时， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 如图3，当时， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或． 故答案为：或或． 【题型8.一元一次方程应用:动点问题】 【典例】点，，在数轴上，若点与点之间的距离是点与点之间的距离的倍，则称是【，】的伙伴点． 如图，点，，，在数轴上， 是原点， 是【， 】的伙伴点，也是【，】的伙伴点．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点，分别以每秒个单位长度、个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，当是【，】的伙伴点时的值为 ． 【答案】 或5 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据伙伴点的定义，结合初始条件点、点、点的坐标关系，以及运动过程中点的坐标变化，建立方程求解． 【详解】解：初始时点在原点，点在处，点在处，点在处， 点以每秒个单位向左运动，运动后坐标为， 点以每秒个单位向右运动，运动后坐标为， 点以每秒个单位向右运动，运动后坐标为， 点是【，】的伙伴点需满足， 即， 化简得：， 解方程：当时， 方程化为， 解得：； 当时， 方程化为， 解得：； 故答案为：或5． 【跟踪专练1】如图，一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上且与点距离3个单位长度，则点表示的数是（    ） A．1 B．或 C．或 D．1或 【答案】B 【分析】设点C表示的数为，根据题意折叠的意义，结合点A、B表示的数分别是，4，分类解答即可． 本题考查了数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离计算，有理数的加减混合运算，折叠的计算，解方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：设点C表示的数为，点A折叠后的对应点表示的数， 由点、表示的数分别是， 根据折叠的性质，得， 解得， 当在点B的左侧时，根据题意，得， 故； 当在点B的右侧时，根据题意，得， 故； 故点C表示的数为或； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在数轴上点，，表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)请直接写出，，的长度； (2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点从点出发以每秒5个单位长度的速度向右运动．设点、、同时出发，运动时间为秒， ①七秒后，表示的数为 ，表示的数为 　　，表示的数为 　　． ②试探索：的值是否随着时间的变化而变化？请说明理由． (3)若点以每秒4个单位的速度从点出发，点以每秒3个单位的速度运动从点出发，设点、同时出发，运动时间为秒．试探究：经过多少秒后，点、两点间的距离为14个单位． 【答案】(1)，， (2)①，15，41；②不变化，理由见解析 (3)秒或22秒或秒或6秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，解题的关键是理解题意，找到等量关系列出方程，对点M、N运动的方向进行分类讨论． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①根据运动方向、速度以及时间，求解即可；②用t表示出、，计算即可求解； （3）分四种情况：①当点向右运动，点向左运动时；②当点、点都向右运动时；③当点向左运动，点向右运动时；④当点、点都向左运动时；根据等量关系点M、N两点间的距离为14个单位，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：根据题意，点、、表示的数分别为、、， ①当时，， ， ， ∴点、、表示的数分别为、15、41， 故答案为：，15，41． ②不变化，理由如下： 根据题意可知，，， ∴，， ∴， ∴的值不随时间的变化而变化． （3）解：①当点向右运动，点向左运动时， 此时点、表示的数分别为、， ∵点的运动速度大于点的运动速度，且， ∴当点、两点间的距离为14个单位时，点在点的右侧， ∴， 解得； ②当点、点都向右运动时， 此时点、表示的数分别为、， 同理可得， 解得； ③当点向左运动，点向右运动时， 此时点、表示的数分别为、， 同理可得， 解得； ④当点、点都向左运动时， 此时点、表示的数分别为、， 同理可得， 解得， 综上所述，经过秒或22秒或秒或6秒，点、两点间的距离为14个单位． 【跟踪专练3】在数轴上，点O表示原点，对于不重合的两点A，T，将线段与线段的长度之比定义为点与点的相关值，记作，即．例如：当点是线段的上一点，且时，． (1)点A在数轴上表示的数是2， ①如图1，若点表示的数是， ； ②数轴上的点满足，求； (2)点T，点A分别从表示0和的点同时向右运动，点T的速度为每秒1个单位，点A的速度为每秒2个单位；当点A与点T相遇时，点T与点A的速度立刻交换并继续向右运动．设点A的运动时间为t秒，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上的动点，数轴上两点之间的距离，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关点运动后所表示的数． （1）①求出，，可得；②由，设，则，分两种情况可得为或； （2）当点与点相遇前，运动后表示的数为，表示的数为，可得，，故，解得；求出时，点与点相遇；当点与点相遇后，即时，可得，解得． 【详解】（1）解：①∵点在数轴上表示的数是，点表示的数是， ∴，， ∴； 故答案为：； ②∵，故设，则， 当，在原点两侧时，， ∴； 当，在原点同侧时，， ∴； 综上所述，为或； （2）解：存在某一时刻，使得，理由如下： 当点与点相遇前，运动后表示的数为，表示的数为， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 解得：； 当，即时，点与点相遇； 当点与点相遇后，即时，运动后表示的数为，运动后表示的数为， ∴，， ∴， 解得：； ∴的值为或． 【跟踪专练4】如图，已知点在数轴上对应的数分别是，其中分别为单项式的系数和次数，为的中点． (1)填空：___________，___________，___________； (2)如图，若点分别同时以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为．若的值始终保持不变，求的值； (3)如图，将数轴在原点，点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发，始终以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点．点出发的同时，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若两点在点处相遇，请直接写出点表示的数． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了单项式的有关概念，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （）根据单项式的系数和次数的定义、中点坐标公式解答即可求解； （）由题意可得，经过秒后，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，即得，，即得到，进而可得，解方程即可求解； （）由题意可得点从点到点的时间为秒，到点的时间为秒；点从点到点的时间为秒，到点的时间为秒，即得到两点在段相遇，即点在线段上，设点表示的数，根据题意列出方程即可求解； 【详解】（1）解：∵分别为单项式的系数和次数， ∴，， ∴点对应的数是，点对应的数是， ∵为的中点， ∴， 故答案为：，，； （2）解：由题意可得，经过秒后，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴，， ∴， ∵的值始终保持不变， ∴， 解得； （3）解：∵点在数轴上对应的数分别是， ∴，，，， ∴点从点到点的时间为秒，到点的时间为秒； 点从点到点的时间为秒，到点的时间为秒， ∴两点在段相遇，即点在线段上， 设点表示的数， 由题意得，， 解得， ∴点表示的数为． 【题型9.一元一次方程应用:和差倍分问题】 【典例】甲、乙两个粮仓原来的小麦质量之比是，给甲粮仓运进2吨小麦，从乙粮仓运出4吨小麦，现在甲、乙两个粮仓小麦的质量相同，则甲粮仓原来的小麦质量是（    ） A．7吨 B．8吨 C．9吨 D．10吨 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设甲粮仓原来的小麦质量为吨，乙粮仓原来的小麦质量为吨，根据变化后质量相等列方程求解． 【详解】∵甲、乙原来的质量比为， ∴设甲原来质量为吨，乙原来质量为吨． ∵甲运进2吨，乙运出4吨后质量相同， ∴ 移项得： 即 ∴ ∴甲原来质量：吨． 故选：C． 【跟踪专练1】今年小李的年龄是妈妈年龄的四分之一，她发现五年后自己的年龄变成妈妈的三分之一．妈妈现在 岁． 【答案】40 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设妈妈现在年龄为岁，则小李现在年龄为岁；五年后，妈妈年龄为岁，小李年龄为岁，根据“五年后小李的年龄变成妈妈的三分之一”列方程，解方程即可﹒ 【详解】解：设妈妈现在年龄为岁，根据题意得方程： 解方程得﹒ 故答案为：40 【跟踪专练2】定义：点M、N是数轴上不重合的两点，当数轴上的点P满足，则称点P是点M和点N的“双倍点”. 已知：点O、A、B在数轴上表示的数分别为0、a、b，回答下面的问题： (1)当，时，点A和点B的“双倍点”所表示的数为：______； (2)当且时，如果O、A、B中恰有一点是另外两个点的“双倍点”，则______； (3)若，，点C、D在数轴上表示的数分别为、，线段和点B同时沿数轴正方向移动，点B的速度是每秒3个单位长度，线段的速度是每秒8个单位长度，设运动的时间为t秒，当线段上存在点A和点B的“双倍点”时，求t的取值范围． 【答案】(1)3或11 (2)或或或或或 (3)或 【分析】本题考查了新定义，一元一次方程的应用； （1）设线段的“双倍点”为P，P表示的数为，分两种情况讨论：①点P在A、B之间；②点P在B的右边，根据列方程求解即可； （2）首先由得出，再分三种情况讨论：①点O为线段的“双倍点”；②点A为线段的“双倍点”；③点B为线段的“双倍点”，分别根据“双倍点”的定义列方程求解即可． （3）运动t秒后，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，求出点A和点B的“双倍点”为，为，然后分别求出四种临界情况：当点D到达时；当点C到达时；当点D到达时；当点C到达时；即可得到t的取值范围． 【详解】（1）解：设线段的“双倍点”为P，P表示的数为x， ①当点P在A、B之间时， ∵， ∴， 解得； ②当点P在B的右边时， ∵， ∴， 解得， 故答案为：3或11； （2）解：∵， ∴，即，，， 分三种情况： ①如果点O为点的“双倍点”，那么， 根据题意可得：或， ∴或， ∵， ∴，或，； ②如果点O为点的“双倍点”，那么， 根据题意可得：或， ∴或（舍去）； ③如果点A为点的“双倍点”，那么， ∴， ∴； ④如果点A为点的“双倍点”，那么， ∴， ∴； ⑤如果点B为点的“双倍点”，那么， ∴， ∴或（舍去）； ⑥如果点B为点的“双倍点”，那么， 根据题意可得：或， 解得：或， ∵， ∴或； 综上可得：a的值是或或或或或， 故答案为：或或或或或； （3）解：运动t秒后，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为， ∵， ∴点A和点B的“双倍点”为：或， 设点A和点B的“双倍点”的位置是，的位置是， 当点D到达时，可得， 解得：； 当点C到达时，可得， 解得：； 当点D到达时，可得， 解得：； 当点C到达时，可得， 解得：； ∴t的取值范围为：或． 【跟踪专练3】已知：点A、B、P为数轴上三点，我们约定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，则称P是的“k倍妙点”，记作：．例如：若点P表示0，点A表示，点B表示1，则P是的“2倍妙点”，记作：．    (1)如图， 、 、P、Q、M、N为数轴上各点，如图图示，回答下面问题： ①______；②______；③若，则C表示的数为______． (2)若点A表示数a，点B表示数b，a，b满足 ，点C是数轴上一点，且 ，求点C所表示的数． (3)数轴上，若点M表示 ，点N表示50，点K在点M和点N之间，且 ．从某时刻开始，M、N同时出发向右匀速运动，且M的速度为5单位/秒，点N速度为2单位/秒，设运动时间为 ，当t为何值时，M是K、N两点的“3倍妙点”． 【答案】(1)①3；②6；③2 (2)或8 (3)或或或 【分析】（1）根据是，的“倍妙点”的定义及即可求解； （2）根据绝对值的非负性求出a，b，设点在数轴上表示的数为，根据，，得出，依此列方程求解即可； （3）首先根据 “k倍妙点”的定义，求出点K表示的数为40．再表示出运动t秒时点M与点N表示的数，根据M是K、N两点的“3倍妙点”的定义分三种情况列出方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：①、、三点表示的数分别是、5、3， ，， ，即，； ②，， ，即，； ③，， ， 为线段的中点， 表示的数为． 故答案为：①3；②6；③2． （2）∵， ∴，， ∴，， 即点A表示数，点B表示数5， 设点在数轴上表示的数为， ， ， ， 或8． 故点所表示的数为：或8． （3），， ， 点表示，点表示50，点在点和点之间， ， ， 点表示的数为． 由题意得，运动秒时点表示的数为，点表示的数为． 当点K在点M和点N之间时，，， ∵M是K、N两点的“3倍妙点”， 当时，， 解得：(舍去)； 当时，， 解得：t=； 当点M与点N重合时，， 解得， 当点M在点K和点N之间时，，， ∵M是K、N两点的“3倍妙点”， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当点N在点K和点M之间时，，， ∵M是K、N两点的“3倍妙点”， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：(舍去)； 综上，或或或时，M是K、N两点的“3倍妙点”． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离、动点问题，动点问题中熟练应用公式：路程速度时间，认真理解新定义是解题的关键． 【跟踪专练4】下表是某校七至九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表： 年级 课外小组活动总时间/h 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七 19 8 7 八 16.5 7 6 九 10 其中同一课外兴趣小组每次活动的时间相同，且九年级文艺小组活动次数与科技小组活动次数相同．求九年级文艺小组、科技小组活动的次数． 【答案】九年级文艺小组、科技小组活动的次数均为4 【分析】设文艺小组每次活动的时间为，根据七年级的课外小组活动总时间求出科技小组每次活动的时间为，根据八年级的课外小组活动总时间为16.5，列出方程求出的值，再设九年级文艺小组、科技小组活动的次数均为，根据八年级的课外小组活动总时间为10，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设文艺小组每次活动的时间为， ∵七年级的课外小组活动总时间为19， ∴科技小组每次活动的时间为， ∵八年级的课外小组活动总时间为16.5， ∴，解得：， ∴， 设九年级文艺小组、科技小组活动的次数均为，则：， 解得：； 答：九年级文艺小组、科技小组活动的次数均为4． 【点睛】本题考查一元一次方程方程的应用．本题的难度较大，解题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确的列出一元一次方程． 【题型10.一元一次方程应用:水电费问题】 【典例】（分段收费）某停车场的收费标准如图所示，一辆汽车付停车费34元，那么停车时间可能是（    ）． 收费标准：2小时以内（含2小时）10元 超出2小时，超出部分每小时收费8元（不足1小时按1小时计算）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设停车时间为x小时，根据题意，求出x的值，进行判断即可． 【详解】解：设停车时间为小时，由题意得，， 解得：， ∵不足1小时按1小时计算， ∴停车时间大于4小时，不超过5小时， A、，时间为3小时40分； B、，时间为5小时25分； C、，时间为3小时10分钟； D、，时间为4小时10分钟， 故选：D． 【跟踪专练1】某市按以下规定收取每月的燃气费，用燃气不超过30立方米，按每立方米1．2元收费；如果超过30立方米，超过部分按每立方米2元收费．已知3月份张老师家的燃气费平均每立方米元，那么3月份张老师家应缴燃气费（   ） A．48元 B．60元 C．72元 D．90元 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解收费规定建立方程是解题的关键． 根据3月份张老师家的燃气费平均每立方米元，可知用户用量超过30立方米，设3月份燃气用量为x，则根据平均每立方米元，可得出方程，解出x后，即可得出答案． 【详解】解：∵3月份张老师家的燃气费平均每立方米元， ∴用户燃气用量超过30立方米， 设3月份燃气用量为x， 由题意得，， 解得：， 则3月份张老师家应交燃气费为：（元） 答：3月份张老师家应交燃气费72元． 故选：C 【跟踪专练2】某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示．请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量x（） 收费单价 第一阶梯 的部分 元/ 第二阶梯 的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 备注：若家庭人口不超过四人，按照上表进行收费；若超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2025年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3951元．请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2025年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到 ）？ 【答案】(1) 267，1698 (2) (3) 甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量为，乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为 【分析】本题主要考查代数式的运用，理解数量关系正确列式计算即可求解． （1）根据题意，结合表格分别按照不同阶梯的计费方式，列式求解即可； （2）根据阶梯收费方式列出数量关系即可； （3）根据题意，当甲户用气量为时，得到，结合（2）的计算即可求出甲户的情况；根据乙户的人口得到阶梯收费的计算方法，当乙用户用气量达到时，得到，由此得到乙户在第二阶梯，根据其收费方式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴按第一阶梯收费，需缴纳燃气费用为（元）， ∵， ∴按第二阶梯收费，需缴纳燃气费用为（元）， 故答案为： （2）解：一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元， ∴按照第三阶梯收费， ∴ ， ∴该年此户需缴纳燃气费用为元； （3）解：甲户家庭人口为3人， ∴收费方式将按照表格提供的阶段收费方法计算， 当甲户用气量为时，， ∴甲户用气量达到第三阶梯， ∴结合（2）得，， 解得，， ∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量为， 乙户家庭人口为5人， ∴收费方式为：超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、， ∴该户第一阶梯为：，元， 第二阶梯为：，元， 第三阶梯为：以上的部分，元， ∴当乙户用气量达到时，， ∴乙户用气量达到第二阶梯， ∴设乙户用气量为， ∴， 解得，， ∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为． 【跟踪专练3】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 2.5 0.50 超过10吨但不超过25吨的部分 3 0.50 超过25吨的部分 4.5 0.50 (1)已知小李家2025年7月用水8吨，应该交水费多少元？ (2)如果小李家9月份交水费40.5元，则小李家这个月用水多少吨？ (3)小李家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水40吨（其中10月份用水超过25吨），一共交水费136元，求小李家11月份用水多少吨？ 【答案】(1)24元 (2)13吨 (3)11吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用-分段计费等知识，理解表格提供的分段计费标准是解题关键． （1）根据7月用水8吨用第一段计费标准，用自来水总费用加上污水处理费用即可求解； （2）先求出用水10吨时，应交水费元，用水25吨时，应交水费元，设小李家9月份用水x吨,列方程，解方程即可求解； （3）设小李家11月份用水y吨，则10月份用水吨．根据10月份用水超过25吨，得到．分和两种情况分别列方程，解方程，舍去不合题意情况即可求解． 【详解】（1）解：（元）． 答：小李家2025年7月用水8吨，应该交水费24元； （2）解：当用水10吨时，应交水费（元）， 当用水25吨时，应交水费（元）， 设小李家9月份用水x吨, 由题意得， 解得． 答：小李家9月份用水13吨； （3）解：设小李家11月份用水y吨，则10月份用水吨． ∵两个月一共用水40吨，其中10月份用水超过25吨， ∴． ①当时，列方程得， 解得（不合题意，舍去）； ②当时，列方程得， 解得（符合题意）． 答：小李家11月份用水11吨． 【跟踪专练4】国家倡导居民节约用电，第九届哈尔滨亚冬会更是坚持“绿色、共享、开放、廉洁”的办赛理念．为此我市实施居民用电阶梯电价，方案如下：第一阶梯电价：月用电量不超过220度的部分，每度电的价格为0.5元：第二阶梯电价：月用电量超过220度不超过420度的部分，每度电的价格为0.55元：第三阶梯电价：月用电量超过420度的部分，每度电的价格为0.8元． (1)如果按此方案计算，金铎家10月份的用电量是200度，则金铎家10月份的电费为__________元；书铭家10月份的用电量是300度，则书铭家10月份的电费为__________元． (2)如果按此方案计算，宇轩家10月份的电费为260元，请求出宇轩家10月份的用电量． (3)政府部门更希望用电高峰时要节约用电，并尽量让居民减少用电支出，为此又推出了“峰谷电价”．居民可以根据用电情况，申请“峰谷电价”，其收费方式如下： 高峰时段8：00-22：00，其电价仍按各档标准分段计价，但在各档电价基础上加价0.05元/度； 低谷时段8：00-22：00以外的时间，其电价还是按各档标准分段计价，但在各档电价基础上降价0.2元/度． 英赫家10月的用电量为350度，并且高峰时段用电量大于220度，他家申请“峰谷电价”后，能节省15.5元，请求出英赫家10月份高峰时段、低谷时段用电量分别是多少度？ 【答案】(1)； (2)宇轩家10月份的用电量为470度； (3)英赫家10月份高峰时段、低谷时段用电量分别是240度、110度． 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解阶梯电价、峰谷电价的计费规则． （1）根据阶梯电价计费规则列式计算即可； （2）先判断用电量是否超过420度，再列方程求解； （3）高峰时段用电量执行第一、第二阶梯电价，低谷时段用电量执行第二阶段电价，根据申请“峰谷电价”后，能节约15.5元，列一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：金铎家10月份的电费为（元）， 书铭家10月份的电费为（元）， 故答案为：；； （2）解：用电量为420度时，电费为：（元）， ， 宇轩家10月份的用电量比420度多， 设宇轩家10月份的用电量为度， 则， 解得， 答：宇轩家10月份的用电量为470度； （3）解：设英赫家10月份高峰时段的用电量为度， 则， 整理得， 即， 解得，． 答：英赫家10月份高峰时段、低谷时段用电量分别是240度、110度． 【题型11.一元一次方程应用:行程问题】 【典例】如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿边长为4的正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2025次相遇在边（    ） A．上 B．上 C．上 D．上 【答案】A 【分析】本题考查了图形规律问题和行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用： 根据乙的速度是甲的速度的4倍，求得第一次，第二次，第三次……相遇的地点，找出规律解答即可． 【详解】解：正方形的边长为4，因为乙的速度是甲的速度的4倍，时间相同，所以甲，乙行驶的路程比为，由题意得， ①第一次相遇甲乙的行驶路程和为8，甲的行驶路程为，在边相遇； ②第二次相遇甲乙的行驶路程和为16，甲的行驶路程为，共行驶，在边相遇； ③第三次相遇甲乙的行驶路程和为16，甲的行驶路程为，共行驶，在顶点相遇； ④第四次相遇甲乙的行驶路程和为16，甲的行驶路程为，共行驶，在边相遇； ⑤第五次相遇甲乙的行驶路程和为16，甲的行驶路程为，共行驶，在顶点相遇； ⑥第六次相遇甲乙的行驶路程和为16，甲的行驶路程为，共行驶，在顶点相遇； …… ∴每5次循环一次， ∵， ∴它们第2025次相遇在边上， 故选：A． 【跟踪专练1】.一辆汽车从城去城，行驶了时，离两城中间点的距离是全程的，城到城相距 ． 【答案】240或144 【分析】本题考查了方程的应用，设A城到B城相距，则中间点距离A城 ，当当汽车到达中点前，汽车行驶90km后，离中间点的距离为，此距离等于全程的，即，据此列方程求解；当汽车到达中点后，类似求解即可． 【详解】解：设A城到B城相距，则中间点距离A城 ， 当汽车到达中点前， 汽车行驶后，离中间点的距离为 ． 根据题意，此距离等于全程的，即， 因此有方程：， 解方程：移项得 ， 计算得 ， 即， 所以 ； 当汽车到达中点后， 汽车行驶后，离中间点的距离为 ． 根据题意，此距离等于全程的，即， 因此有方程：， 解方程：移项得 ， 计算得 ， 即， 所以 ， 故A城到B城相距或． 故答案为：240或144． 【跟踪专练2】在一条东西向的双轨铁路上相向驶来一辆高速列车和一辆普快列车，两列火车正行驶在途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，向右为正方向，1米为一个单位长度画数轴，此时高速列车头在数轴上表示的数是，普快列车头在数轴上表示的数是，且满足，已知该高速列车长为200米，速度为100米/秒，普快列车长为400米，速度为50米/秒． (1)填空：、、三点表示的数分别为：______、______、______ (2)从此刻开始算起，再行驶多少秒两列火车头相距800米？ (3)假设你是高速列车上的一名乘客，并且从此时开始从高速列车头向列车尾走去，速度为1米/秒，请问乘客从列车头走到列车尾的过程中是否存在一段时间，使得乘客到、、、的距离之和为一个定值？若存在，请直接写出时间和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；1600 (2)或秒 (3)存在，秒 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键在于理解题意，找出题中的数量关系分类讨论得到方程． （1）根据绝对值和平方的非负性求出a与c的值，结合题意即可确定点B和D表示的数； （2）设运动时间为t秒，根据的长度列方程求解即可； （3）设乘客为点P，运动时间为x秒，先得到定值为600，再分点P、C相遇时和点P、D相遇时列出方程求解即可得． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴， ∴， ∵高速列车长为200米，普快列车长为400米， ∴B点表示的数为：， 故答案为：；；1600； （2）设运动时间为t秒，则点A表示，点C表示的数为， ∴， ∵， ∴ ∴或， ∴再行驶或秒两列火车头相距800米； （3）设乘客为点P，运动时间为x秒， ∵普快列车长为400米，点C表示的数是1600， ∴D点表示的数为：， ∵P在线段上运动， ∴， 当P在线段上， 为定值，且， ∴， 即这个定值为600， 点P表示的数为， 点C表示的数为， 点D表示的数为， 当点P、C相遇时，， 解得，， 当点P、D相遇时，， 解得，， ∴（秒）． 【跟踪专练3】列方程解应用题： 长期坚持跑步可以增强心肺功能，让身体更加健康．周六早上小健和小乐相约去奥森跑步．小健家离奥森近，决定步行前往，他从家出发时刻与到达奥森时手表显示信息分别如图1和图2所示． 小乐出发比小健晚了5分钟，且家离奥森比小健家离奥森远米，所以小乐决定骑自行车前往，小乐骑行的平均速度是小健步行的平均速度的倍，最终小乐与小健在同一时刻到达奥森．求小健步行的平均速度和平均步长． 【答案】小健步行的平均速度为米/分，平均步长为米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．直接利用小乐骑行的平均速度是小健步行的平均速度的倍，进而得出等式求出答案． 【详解】解∶设小健步行的平均速度为x米/分， 根据题意得， 解得， 小健一共步行 (步)， 其平均步长为 (米) 答∶小健步行的平均速度为米/分，平均步长为米． 【跟踪专练4】如图，数轴上点表示数，点表示数，且满足．点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)点表示的数为_______；点表示的数为_______；若点为线段的中点，则点对应的数_______； (2)点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为8，求此时点对应的数； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点是点的“2倍点”．现在，点、点分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发后，点恰好是点的“2倍点”，请直接写出此时的值． 【答案】(1)，4，1 (2)或5 (3)的值为或或 【分析】本题考查数轴定义与性质，涉及数轴表示数、非负式和为零的条件、两点之间距离、数轴上中点表示方法、数轴动点问题等，根据题意，准确找到各个点表示的数，数形结合列式求解即可得到答案． （1）根据数轴的定义，由非负式和为零的条件得方程求解即可得到点、点表示的数，再由数轴上中点表示方法代值求解即可得到点对应的数； （2）根据题意，数形结合，分三种情况讨论，当时；当时；当时，列方程求解即可得到答案； （3）根据题意，理解“2倍点”概念，数形结合，分情况讨论，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上点表示数，点表示数，且满足， ，且，解得， 点表示的数为；点表示的数为； 点为线段的中点， 点对应的数为， 故答案为：，4，1； （2）解：根据题意，分三种情况讨论： 当时，，则，解得； 当时，，不存在这样的； 当时，，则，解得； 综上所述，此时点对应的数是或5； （3）解：设出发后，表示的数是、表示的数是、表示的数是，根据题意，分情况讨论： （1）当位置如图所示： 则、， 由点是点的“2倍点”，数形结合得，即，解得（负值，不合题意，舍去）； （2）当位置如图所示： 则、， 由点是点的“2倍点”，数形结合，分两种情况： ①，即，解得； ②，即，解得； （3）当位置如图所示： 则、， 由点是点的“2倍点”，数形结合得，即，解得； （4）当位置如图所示： 则、， 由点是点的“2倍点”，数形结合得，即，解得（负值，不合题意，舍去）； 综上所述，的值为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元一次方程实际应用压轴题型通关讲义 1.掌握配套、工程、销售、行程、方案选择五大核心题型的解题逻辑，精准提炼各类题型的核心等量关系。 2.熟练运用 “审题找等量关系→设元→列方程→求解→检验” 的解题流程，提升将实际文字问题转化为一元一次方程的数学建模能力。 3.突破压轴题中多条件融合、分类讨论、临界值计算等难点，能灵活应对各类变式场景，确保解题的准确性与合理性。 4.积累工程问题设总工作量为 1、配套问题抓比例关系、方案选择问题找临界值等题型专属技巧，提升期末压轴题的解题效率与得分率。 1.一元一次方程应用:配套问题 2.一元一次方程应用:工程问题 3.一元一次方程应用:销售盈亏问题 4.一元一次方程应用:比赛积分问题 5.一元一次方程应用:方案选择问题 6.一元一次方程应用:数字问题 7.一元一次方程应用:几何问题 8.一元一次方程应用:动点问题 9.一元一次方程应用:和差倍分问题 10.一元一次方程应用:水电费问题 11.一元一次方程应用:行程问题 【知识点01.一元一次方程的定义与一般形式】 1.一元一次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 1，等式两边都是整式的方程，叫做一元一次方程 判定关键点： *未知数个数：1 个 *未知数次数：1 次 *方程形式：整式方程（分母不含未知数） 2.一般形式 ax+b=0（a≠0，a、b为常数） 注：a≠0是核心条件，若a=0，则方程变为b=0，不再是一元一次方程。 【知识点02.解题核心步骤】 1.审：审题，理解题意，明确已知量、未知量，以及各量之间的数量关系。 2.设：设未知数，分两种情况 直接设元：求什么就设什么（最常用）。 间接设元：直接设元难以列方程时，设与所求量相关的量为未知数。 3.列：根据题目中的等量关系，列出一元一次方程。（这是解题的关键步骤，需找准题目中的 “相等关系” 语句） 4.解：解所列的一元一次方程，求出未知数的值。 5.验：检验所求的解是否符合实际意义（如人数不能为负数、物品数量不能为小数等），同时检验是否满足方程。 6.答：写出答案，注意单位和语言规范。 【知识点03常见实际问题与等量关系.】 1. 配套问题 *核心等量关系：两种物品的数量比等于配套比。 *示例：制作一套桌椅需要 1 张桌子配 4 把椅子，桌子数量：椅子数量 = 1:4，即4×桌子数量 = 椅子数量。 2. 工程问题 *基本公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间 *常用思路： 若工作总量未给出，通常设为单位 1。 合作效率 = 各部分效率之和。 *等量关系：各部分工作量之和 = 总工作量（通常为 1）。 3. 行程问题 *基本公式：路程 = 速度 × 时间（s=vt） 常见类型 （1）相遇问题：总路程 = 甲走的路程 + 乙走的路程 （2）追及问题： 同地不同时：快者路程 = 慢者路程 同时不同地：快者路程 = 慢者路程 + 初始距离差（3）航行问题： 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度 逆水速度 = 静水速度 - 水流速度 4. 利润问题 **核心公式 利润 = 售价 - 进价（成本） 利润率 =100% 售价 = 标价 × 折扣（如 8 折即标价 ×0.8） *等量关系：根据利润、利润率的公式列方程。 5. 数字问题 *表示方法： *两位数：十位数字 ×10 + 个位数字（如十位为a，个位为b，则两位数为10a+b） *三位数：百位数字 ×100 + 十位数字 ×10 + 个位数字 *等量关系：根据数字位置变化前后的数量关系列方程。 6. 和、差、倍、分问题 *核心等量关系： 和：A+B=总量 差：A-B=差值 倍：A=n×B（n为倍数） 分：A=×B 7. 计费问题（如水电费、话费、出租车费） *核心思路：分段计算费用，总费用 = 各段费用之和。 *等量关系：根据不同收费标准的分段节点，结合总费用列方程。 易错点总结 1.设未知数时忘记带单位，答句中遗漏单位。 2.忽略实际意义检验，解得不符合实际的结果（如人数为负数、长度为小数但题目要求整数）。 3.找错等量关系，这是列方程的关键错误，需反复审题圈画关键语句。 4.解方程时出现计算错误，尤其是移项要变号、去分母时漏乘不含分母的项。 【题型1.一元一次方程应用:配套问题】 【典例】一台仪器由个部件和个部件构成．用立方米钢材可以做40个部件或240个部件．现要用立方米钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做部件，多少立方米钢材做部件，才能制作尽可能多的仪器？设用立方米钢材制作部件，则可列式为（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】初一年级共45名学生参与科技节活动，活动中要制作纸飞机模型，每人每小时可做12个机身或30个机翼，一个飞机模型需要1个机身配2个机翼．为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配 名学生做机身， 名学生做机翼；在刚好配套的情况下， 每小时能够做出 套． 【跟踪专练2】1套检测仪器由2个部件和3个部件构成，用钢材可以做40个部件或240个部件． (1)若要用钢材制作若干套这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件？ (2)现在某公司要租赁这批仪器套，每天的付费方案有如下两种： 方案一：当不超过60时，每套支付租金100元；当超过60时，超过的套数每套支付租金打八折． 方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元． 当超过60时，选择哪种租赁方案更合算？请说明理由． 【跟踪专练3】某纺织厂生产床品四件套（1个床单，1个被套，2个枕套），现计划安排15名工人缝制枕套和被套，已知每人每天可缝制200个枕套或50个被套． (1)为使每天缝制的枕套和被套刚好配套，则每天缝制的被套有多少个？ (2)若每个枕套和每个被套均需1个拉链，现有600个枕套，300个被套，300个床单以及885个拉链，则最终能组成多少套四件套？ 【跟踪专练4】某车间生产的一套产品由3个A型部件和4个B型部件组成，该车间现有40个工人，每个工人每天能加工3个A型部件或6个B型部件．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种部件，并要求每天加工的A、B型部件数量正好组成若干套该产品． (1)按照这样的生产方式，该车间每天能配套生产组成多少套该产品？ (2)春节后工厂补充20名新工人，这些新工人只能独立进行B型部件的加工，且每人每天只能加工4个B型部件，则补充新工人后每天能配套生产多少套该产品？ 【题型2.一元一次方程应用:工程问题】 【典例】灌满一个水池，只打开 A 管要 8 小时，只打开 B 管要 10 小时，只打开 C 管要 15 小时，开始时只打开 A 管和 B 管，中途关掉 A、B 两管，然后打开 C 管，前后共用了 10 小时 15 分钟， 那么 C 管打开了 小时． 【跟踪专练1】一个工程队承包甲、乙两项工程，甲工程的工作量是乙工程的工作量的2倍．前半个月全体工人都在甲工地工作，后半个月工人分成人数相等的两组，一组仍在甲工地工作，另一组到乙工地工作，一个月后，甲工程完成而乙工程的剩余量刚好够一个工人一个月的工作量，如果每个工人的工作效率都相同，那么这个工程队有 人． 【跟踪专练2】一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： (1)完成任务时共用了多少小时？ (2)如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 【跟踪专练3】某工程队修一条路，第一天修了比全长的多2米，第二天修了比剩下部分的少4米，还剩200米没修，这段路全长多少米？ 【跟踪专练4】某环保袋生产厂家接到一批环保袋定制任务，要求10天完成．若安排第一车间单独加工，则正好如期完成任务；若安排第二车间单独加工，则会延期5天完成． (1)为了尽快完成任务，安排第一车间单独加工5天后，随即安排第二车间加入一起加工，可以提前几天完成任务？ (2)已知第一车间一天投入生产的成本是1.2万元，第二车间一天投入生产的成本是0.7万元．现有三种加工方案：①第一车间单独加工；②第二车间单独加工；③两个车间同时加工．如果你是厂长，在以上三种方案中，应选择哪一种方案安排生产，既可以节约成本，又可以在规定时间内完成任务？请通过计算说明理由． 【题型3.一元一次方程应用:销售盈亏问题】 【典例】某商店卖出两件衣服，每件售价元，其中一件赚，另一件亏，那么两件衣服卖出后，商家（    ） A．不赚不亏 B．赚了元 C．亏了元 D．亏了元 【跟踪专练1】某商场对顾客实行优惠，规定如下： ①一次购买不超过元，不予折扣；②一次购物超过元但不超过元，按标价给予九折优惠；③一次购物超过元的，其中元按第②条给予优惠，超过元的部分则给予八折优惠． 王叔叔第一次购物付了元，第二次购物付了元，如果他将两次所购物品一次购买，那么可比两次分别购买省 元． 【跟踪专练2】温州书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．某学生第一次去购书付款72元，第二次去购书享受到了八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节约了34元． (1)第一次购书实际付款，相较于第一次所购书的实际定价省去了______元钱．第二次购书实际付款，相较于第二次所购书的实际定价省去了______元钱． (2)求该学生第二次所购书的实际定价是多少元． 【跟踪专练3】某超市开业，为了吸引顾客，实行优惠，方案如下表： 购物标价 小于200元 满200元且不超过500元 超过500元 优惠方式 不予优惠 按标价9折优惠 500元部分（包括500元）给予9折优惠，超过500元部分给予8折优惠 (1)小张付款189元，则购买了标价为 元的商品； (2)小张购买标价为x（） 元的商品，则他付款 元；（用含x 的代数式表示） (3)小张两次购物，第一次购买了标价为260元的商品，商家获利，第二次购买了标价550元的商品，商家获利，如果他把两次购买的商品合并为一次，请你计算，商家获利多少元? 【跟踪专练4】一个农业合作社以元的成本收获了某种农产品，目前可以以的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失，且每星期需支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元． (1)设储藏了个星期，请用含的代数式表示每吨农产品的价格为______元，此时农产品有______吨； (2)若出售这批农产品可获利元，问这批农产品储藏了多少个星期？ 【题型4.一元一次方程应用:比赛积分问题】 【典例】学校组织老师进行智力竞赛，共道题，答对一题得分，不答不给分，答错扣分，已知所有老师的总分为多分，且男老师总分为女老师总分的倍多分，答对总题数为答错总数的倍少题．又知每人恰好有道或道题未答．则男老师的总分 分． 【跟踪专练1】某校文艺部招聘主持人，有甲、乙、丙三名同学参加，学校设置了五轮比赛，规定：每一轮比赛分别决出第一、二、三名（不并列），对应名次的得分分别为（且均为正整数）．三名同学最后得分为五轮比赛得分之和，得分最高者中选，下表是三名同学在五轮比赛中的部分得分情况如下： 一轮 二轮 三轮 四轮 五轮 总分 甲 9 乙 22 丙 9 则的值为 ，三名同学在五轮比赛中 获得的第二名最多． 【跟踪专练2】综合与实践 【问题情境】某学校七年级举行篮球比赛，七年级共15个班参加比赛，比赛采取单循环赛（每两队之间比赛一场）．下表记录了5支篮球队的积分情况： 班名 比赛场次 胜场 负场 积分 七（2） 14 12 2 26 七（5） 14 8 6 22 七（9） 14 7 7 21 七（11） 14 4 10 18 七（15） 14 0 14 14 【提出问题】 某班的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？请说明理由． 【分析问题】 小智：观察积分榜，从七（15）班的比赛数据可以看出，负一场积1分．若设胜一场的积分为分，则根据七（2）班的比赛数据，可以得到方程___________①___________ 小慧：从七（9）班的比赛数据看，胜一场的积分+负一场的积分共为3分．若设胜一场的积分为分，则负一场的积分用含的式子可以表示__________②__________分，再根据七（5）班的比赛数据，还可以列出方程__________③__________． 小聪：根据七（2）班的比赛数据，若设胜一场的积分为分，则负一场的积分用含的式子可以表示为___________④___________分，再根据七（5）班的比赛数据，还可以列出方程___________⑤___________． 小明：只要我们求出了负一场和胜一场的积分各是多少分，就能解决上述问题了． 【解决问题】根据上面展示交流的过程，完成下列学习任务： (1)请将上述展示交流过程中，序号处缺少的内容补充出来： ①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________； (2)请求出胜一场的积分； (3)请你解决上述提出的问题：某班的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？请说明理由． 【跟踪专练3】（题）七只鱼缸里所放金鱼的条数分别为条、条、条、条、条、条、条．已知同一缸里的鱼同色，只有一缸是黑色的，其余都是红色和白色，且红色是白色的倍．问：黑色的金鱼有几条？ （题）一次围棋比赛，有人参加了比赛，每名选手都要与其他的选手比赛一次，每局棋胜者得分，负者分，平局各自得分．已知：选手们的得分各不相同，且 ①获得第一与第二的选手一次都没输过； ②获得第四的选手得分与排名最后的四名选手得分总和相等． 请问，从第一名到第四名，每个人的得分各自是多少？ 我选做的题目是 （填或）．详细解答如下： 【跟踪专练4】某学校举办了迎新春中国象棋比赛，以下是部分选手的积分记录表： 选手 比赛总局数 胜局 平局 负局 积分 A 12 12 0 0 36 B 12 7 3 2 22 C 12 5 4 3 16 D 12 6 0 6 12 E 12 1 18 (1)本次比赛胜一局得______分，平一局得______分，负一局得______分； (2)根据积分规则，请求出选手E在已经进行的12局比赛中胜，平各多少局？ (3)已知某选手F的负局数是胜局数的一半，他的胜局积分能等于平局积分的四倍吗？ 【题型5.一元一次方程应用:方案选择问题】 【典例】某校组织师生研学，若租用49座客车若干辆，刚好坐满；若租用54座客车，则比49座客车少租两辆且空余17个座位．若设租用的49座客车有x辆，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客． 门票定价为元/人，非节假日打8折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即人以下（含人）的团队按原价售票；超过人的团队，其中人仍按原价售票，超过人部分的游客打7折售票．某旅行社导游李娜于月1日（节假日）带A团，月日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款元，A，B两个团队合计人，则A团有 人． 【跟踪专练2】某化工厂每天产生超过100吨的工业废水，为使排放的工业废水达到国家的排放标准，建设了一座工业废水处理站．该处理站无论是否处理废水，都需要支付设备维护费用200元/天，且处理废水还需其他费用5元/吨．随着生产规模的扩大，该废水处理站已无法完成当天工业废水的处理任务，需要将一部分废水交给第三方企业处理，该企业处理工业废水的价格如表二所示． 表二 收费方式 废水处理量/吨 费用 第一阶梯 0～50 500元 第二阶梯 50～100的部分 5元/吨 第三阶梯 100以上的部分 4元/吨 (1)设某天有m吨废水在处理站处理，直接写出处理站处理废水产生的总费用； (2)若某天该工厂将一半的废水由处理站处理，另一半废水由第三方企业处理，该废水处理站处理废水产生的总费用与第三方企业处理废水产生的费用相同，求这一天该工厂产生的废水总量； (3)经测算，扩大生产规模后，每天产生的废水量超过该处理站日废水处理量至少50吨，为实现降本增效，工厂设计了两种废水处理方案：方案A：超出该处理站的日废水处理量的废水交给第三方企业处理；方案B：保留处理站的设备，但废水全部交给第三方企业处理．根据以上信息，请帮助工厂选择最优方案，并说明理由． 【跟踪专练3】学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时a的值和总费用． 【跟踪专练4】小吴所在社区采购了两类膳食物资，第一类：杂粮礼盒每份售价为24元；当采购量小于或等于40份时，无优惠．当采购量大于40份时，超过40份的部分每份售价降低3元．第二类：蛋白补给包每份售价为56元：当采购量小于60份时，无优惠．当采购量大于或等于60份时，每份（含小于60份的部分）售价均降低7元． (1)购买30份杂粮礼盒的费用为______元，购买70份蛋白补给包的费用为______元； (2)小吴所在社区积极响应国家号召，对参与测量并购买两类膳食物资的居民在此前优惠方案的基础上，提供额外价格减免活动，具体如下： 类别 类型 售价减免（元） 杂粮礼盒每份 蛋白补给包每份售价减免（元） 1 体重过低 2 7 2 体重正常 1 6 3 超重 3 7 4 肥胖 4 9 体重÷身高的平方（单位：） 已知小吴的身高为，体重为，回答下列问题： ①通过计算值判断小吴所属类别是_____（请填序号1、2、3、4）； ②若小吴计划购买杂粮礼盒和蛋白补给包总共100份，当小吴购买杂粮礼盒x份时，总费用为多少元？ ③小吴实际购买的情况是：他第一次购买了10份杂粮礼盒和20份蛋白补给包，他第二次用了3718元购买了两类膳食物资共100份．若小吴将两次分开购买的两类膳食物资合起来一次性购买，则这样购买的总价比两次分开购买的总价少多少元？ 【题型6.一元一次方程应用:数字问题】 【典例】幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．如图，将9个数字分别填入的正方形空格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上数的和都相等，图中填写了部分数字，其中a的值为（   ） 3 12 1 a A．1 B．3 C．5 D．7 【跟踪专练1】嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，她规定：每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等．则图1中“◇”= ，图2中“☆”= ． 【跟踪专练2】已知两个正整数和各个数位上的数字均不为，若它们的位数相同且对应数位上的数字之和为，称这两个数互为“和谐数”．例如：和互为“和谐数”，与 互为“和谐数”．若的“和谐数”为，记为的“和谐差”， 例如； 的“和谐数”为，“和谐差”为． (1)的“和谐差” ； (2)已知两位数的个位数字比十位数字大，且它的“和谐数”等于它的 倍，求这个两位数的“和谐差” ； (3)已知某三位数 (其中，， 且， 为整数) ， 若它的“和谐差” 能被整除，求出这个三位数 所有可能的数值． 【跟踪专练3】七年级一次数学活动中，甲乙两位同学对钟面问题展开探索研究，问题如下：“在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？” 甲同学采用“配对法”，将这12个数分成6组：，，，，，，通过添加正负号让其中三组中各数的和都为1，另外三组中各数的和都为； 乙同学采用“奇偶法”，将这12个数按奇偶性分成两组：，，通过适当地添加正负号，先使所有的奇数的和为0，再使所有的偶数的和也为0，这样就可以使这12个数的和为0了． (1)甲，乙两位同学的办法中______； A．甲同学办法可行 B．乙同学办法可行 C．甲，乙同学办法均可行 D．甲，乙同学办法均不可行 (2)在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加方式，如果不能，请说明理由； (3)在1，2，3，4，…，2024，2025共2025个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为2026，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加方式，如果不能，请说明理由． 【跟踪专练4】已知两个正整数m和n各个数位上的数字均不为0，若它们的位数相同且对应数位上的数字之和为10，称这两个数互为“互补数”．例如：4和6互为“互补数”，119与991互为“互补数”．若m的“互补数”为n，记为m的“互补差”，例如：81的“互补数”为29，． (1)42的“互补差”为 ； (2)已知两位数m的个位数字比十位数字大3，且它的“互补数”n等于它的倍，求这个两位数的“互补差”； (3)已知某三位数（其中，且a，b为整数），若能被19整除，直接写出这个三位数所有可能的值． 【题型7.一元一次方程应用:几何问题】 【典例】如图，甲、乙、丙三根笔直木棒平行摆放在桌上．已知乙有一部分只与甲重叠，其余部分只与丙重叠，甲、丙没有与乙重叠部分的长度分别为．若乙的长度最长且与甲、丙的长度差分别为，则乙的长度为（   ） . A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知在数轴上A、B两点表示的数分别是、5，在数轴上有一点P，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍，则点P表示的数是 ． 【跟踪专练2】将若干个长为、宽为的甲种小长方形纸片和长为、宽为的乙种小长方形纸片不重叠地放在一个大长方形内，其中未被覆盖的部分用阴影表示． (1)如图1，若用5张甲长方形纸片覆盖大长方形，其中，． ①若，则______，此时，______（用含代数式表示）； ②是否存在符合条件的，使得长方形的周长等于长方形的周长？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (2)如图2和图3所示，将4张甲长方形纸片和3张乙长方形纸片分别按照两种不同的方式不重叠地放置在大长方形中，结果发现两种方式下未覆盖部分的周长相等．求甲、乙两种长方形面积的比值． 【跟踪专练3】已知有理数，在数轴上对应的点分别为，且满足． (1)填空：___________，___________，___________． (2)若点在数轴上对应的数为，当间距离是间距离的5倍时，请求出的值： (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值和的值；若不存在，请说明理由． 【跟踪专练4】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为7（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 ； 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（例如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 【题型8.一元一次方程应用:动点问题】 【典例】点，，在数轴上，若点与点之间的距离是点与点之间的距离的倍，则称是【，】的伙伴点． 如图，点，，，在数轴上， 是原点， 是【， 】的伙伴点，也是【，】的伙伴点．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点，分别以每秒个单位长度、个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，当是【，】的伙伴点时的值为 ． 【跟踪专练1】如图，一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上且与点距离3个单位长度，则点表示的数是（    ） A．1 B．或 C．或 D．1或 【跟踪专练2】如图，在数轴上点，，表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)请直接写出，，的长度； (2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点从点出发以每秒5个单位长度的速度向右运动．设点、、同时出发，运动时间为秒， ①七秒后，表示的数为 ，表示的数为 　　，表示的数为 　　． ②试探索：的值是否随着时间的变化而变化？请说明理由． (3)若点以每秒4个单位的速度从点出发，点以每秒3个单位的速度运动从点出发，设点、同时出发，运动时间为秒．试探究：经过多少秒后，点、两点间的距离为14个单位． 【跟踪专练3】在数轴上，点O表示原点，对于不重合的两点A，T，将线段与线段的长度之比定义为点与点的相关值，记作，即．例如：当点是线段的上一点，且时，． (1)点A在数轴上表示的数是2， ①如图1，若点表示的数是， ； ②数轴上的点满足，求； (2)点T，点A分别从表示0和的点同时向右运动，点T的速度为每秒1个单位，点A的速度为每秒2个单位；当点A与点T相遇时，点T与点A的速度立刻交换并继续向右运动．设点A的运动时间为t秒，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【跟踪专练4】如图，已知点在数轴上对应的数分别是，其中分别为单项式的系数和次数，为的中点． (1)填空：___________，___________，___________； (2)如图，若点分别同时以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为．若的值始终保持不变，求的值； (3)如图，将数轴在原点，点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发，始终以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点．点出发的同时，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若两点在点处相遇，请直接写出点表示的数． 【题型9.一元一次方程应用:和差倍分问题】 【典例】甲、乙两个粮仓原来的小麦质量之比是，给甲粮仓运进2吨小麦，从乙粮仓运出4吨小麦，现在甲、乙两个粮仓小麦的质量相同，则甲粮仓原来的小麦质量是（    ） A．7吨 B．8吨 C．9吨 D．10吨 【跟踪专练1】今年小李的年龄是妈妈年龄的四分之一，她发现五年后自己的年龄变成妈妈的三分之一．妈妈现在 岁． 【跟踪专练2】定义：点M、N是数轴上不重合的两点，当数轴上的点P满足，则称点P是点M和点N的“双倍点”. 已知：点O、A、B在数轴上表示的数分别为0、a、b，回答下面的问题： (1)当，时，点A和点B的“双倍点”所表示的数为：______； (2)当且时，如果O、A、B中恰有一点是另外两个点的“双倍点”，则______； (3)若，，点C、D在数轴上表示的数分别为、，线段和点B同时沿数轴正方向移动，点B的速度是每秒3个单位长度，线段的速度是每秒8个单位长度，设运动的时间为t秒，当线段上存在点A和点B的“双倍点”时，求t的取值范围． 【跟踪专练3】已知：点A、B、P为数轴上三点，我们约定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，则称P是的“k倍妙点”，记作：．例如：若点P表示0，点A表示，点B表示1，则P是的“2倍妙点”，记作：．    (1)如图， 、 、P、Q、M、N为数轴上各点，如图图示，回答下面问题： ①______；②______；③若，则C表示的数为______． (2)若点A表示数a，点B表示数b，a，b满足 ，点C是数轴上一点，且 ，求点C所表示的数． (3)数轴上，若点M表示 ，点N表示50，点K在点M和点N之间，且 ．从某时刻开始，M、N同时出发向右匀速运动，且M的速度为5单位/秒，点N速度为2单位/秒，设运动时间为 ，当t为何值时，M是K、N两点的“3倍妙点”． 【跟踪专练4】下表是某校七至九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表： 年级 课外小组活动总时间/h 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七 19 8 7 八 16.5 7 6 九 10 其中同一课外兴趣小组每次活动的时间相同，且九年级文艺小组活动次数与科技小组活动次数相同．求九年级文艺小组、科技小组活动的次数． 【题型10.一元一次方程应用:水电费问题】 【典例】（分段收费）某停车场的收费标准如图所示，一辆汽车付停车费34元，那么停车时间可能是（    ）． 收费标准：2小时以内（含2小时）10元 超出2小时，超出部分每小时收费8元（不足1小时按1小时计算）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】某市按以下规定收取每月的燃气费，用燃气不超过30立方米，按每立方米1．2元收费；如果超过30立方米，超过部分按每立方米2元收费．已知3月份张老师家的燃气费平均每立方米元，那么3月份张老师家应缴燃气费（   ） A．48元 B．60元 C．72元 D．90元 【跟踪专练2】某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示．请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量x（） 收费单价 第一阶梯 的部分 元/ 第二阶梯 的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 备注：若家庭人口不超过四人，按照上表进行收费；若超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2025年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3951元．请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2025年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到 ）？ 【跟踪专练3】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 2.5 0.50 超过10吨但不超过25吨的部分 3 0.50 超过25吨的部分 4.5 0.50 (1)已知小李家2025年7月用水8吨，应该交水费多少元？ (2)如果小李家9月份交水费40.5元，则小李家这个月用水多少吨？ (3)小李家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水40吨（其中10月份用水超过25吨），一共交水费136元，求小李家11月份用水多少吨？ 【跟踪专练4】国家倡导居民节约用电，第九届哈尔滨亚冬会更是坚持“绿色、共享、开放、廉洁”的办赛理念．为此我市实施居民用电阶梯电价，方案如下：第一阶梯电价：月用电量不超过220度的部分，每度电的价格为0.5元：第二阶梯电价：月用电量超过220度不超过420度的部分，每度电的价格为0.55元：第三阶梯电价：月用电量超过420度的部分，每度电的价格为0.8元． (1)如果按此方案计算，金铎家10月份的用电量是200度，则金铎家10月份的电费为__________元；书铭家10月份的用电量是300度，则书铭家10月份的电费为__________元． (2)如果按此方案计算，宇轩家10月份的电费为260元，请求出宇轩家10月份的用电量． (3)政府部门更希望用电高峰时要节约用电，并尽量让居民减少用电支出，为此又推出了“峰谷电价”．居民可以根据用电情况，申请“峰谷电价”，其收费方式如下： 高峰时段8：00-22：00，其电价仍按各档标准分段计价，但在各档电价基础上加价0.05元/度； 低谷时段8：00-22：00以外的时间，其电价还是按各档标准分段计价，但在各档电价基础上降价0.2元/度． 英赫家10月的用电量为350度，并且高峰时段用电量大于220度，他家申请“峰谷电价”后，能节省15.5元，请求出英赫家10月份高峰时段、低谷时段用电量分别是多少度？ 【题型11.一元一次方程应用:行程问题】 【典例】如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿边长为4的正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2025次相遇在边（    ） A．上 B．上 C．上 D．上 【跟踪专练1】.一辆汽车从城去城，行驶了时，离两城中间点的距离是全程的，城到城相距 ． 【跟踪专练2】在一条东西向的双轨铁路上相向驶来一辆高速列车和一辆普快列车，两列火车正行驶在途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，向右为正方向，1米为一个单位长度画数轴，此时高速列车头在数轴上表示的数是，普快列车头在数轴上表示的数是，且满足，已知该高速列车长为200米，速度为100米/秒，普快列车长为400米，速度为50米/秒． (1)填空：、、三点表示的数分别为：______、______、______ (2)从此刻开始算起，再行驶多少秒两列火车头相距800米？ (3)假设你是高速列车上的一名乘客，并且从此时开始从高速列车头向列车尾走去，速度为1米/秒，请问乘客从列车头走到列车尾的过程中是否存在一段时间，使得乘客到、、、的距离之和为一个定值？若存在，请直接写出时间和这个定值；若不存在，请说明理由． 【跟踪专练3】列方程解应用题： 长期坚持跑步可以增强心肺功能，让身体更加健康．周六早上小健和小乐相约去奥森跑步．小健家离奥森近，决定步行前往，他从家出发时刻与到达奥森时手表显示信息分别如图1和图2所示． 小乐出发比小健晚了5分钟，且家离奥森比小健家离奥森远米，所以小乐决定骑自行车前往，小乐骑行的平均速度是小健步行的平均速度的倍，最终小乐与小健在同一时刻到达奥森．求小健步行的平均速度和平均步长． 【跟踪专练4】如图，数轴上点表示数，点表示数，且满足．点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)点表示的数为_______；点表示的数为_______；若点为线段的中点，则点对应的数_______； (2)点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为8，求此时点对应的数； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点是点的“2倍点”．现在，点、点分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发后，点恰好是点的“2倍点”，请直接写出此时的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $