专题复习01一元一次方程解决数轴动点问题（知识点总结+15大题型）压轴题培优讲义2025-2026学年七年级上册数学（人教版）

一元一次方程解决数轴动点问题 【题型1】单动点匀速运动 1.题型考点总结 -考查数轴上动点坐标的表示（向右运动：；向左运动：，其中为初始坐标，为速度，为运动时间)。 -核心是利用两点间距离公式()建立一元一次方程。 -检验解的实际意义(运动时间)。 2.解题攻略 -设运动时间为秒，用含的代数式表示动点对应的数。 -根据“到达某点”“距离为定值”等条件列方程。 -求解后验证是否符合运动范围，舍去无效解。 【例题1】．（25-26七年级上·吉林长春·月考）数轴上的点对应的数是，一只蚂蚁从点出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度爬行，当它到达数轴上的点后，立即原路原速返回点，共用去11秒，点对应的数是 ． 【答案】8 【分析】本题考查数轴、数轴上两点间的距离公式，设点对应的数为，则、两点间的距离为，根据“2 倍的距离”列出方程，求解即可； 【详解】解：∵一只蚂蚁从点出发沿着数轴以每秒 2 个单位长度的速度爬行，当它到达数轴上的点后，立即沿原路原速返回点，共用去 11 秒， ∴蚂蚁爬行的路程为（个单位长度）， 设点对应的数为， 则、两点间的距离为， 由题意得：， 解得：或， ∵沿数轴的正方向运动， ∴点对应的数为8． 故答案为：8． 【变式题1-1】．（25-26七年级上·天津和平·期中）一水平放置的数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为6．一点从点出发以每秒2个单位速度沿数轴向右运动，到达点后立即返回，之后便沿数轴一直向左运动．设运动时间为秒，当 时，点到点的距离为8． 【答案】4或12 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，由题意可得点、之间的距离为，故当点运动到点时，点到点的距离为8，点到达点后立即返回，表示的数为，再根据题意列出一元一次方程，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为6， ∴点、之间的距离为， ∵点从点出发以每秒2个单位速度沿数轴向右运动， ∴当点运动到点时，点到点的距离为8，所花时间为秒， ∵点到达点后立即返回，之后便沿数轴一直向左运动， ∴点到达点后立即返回，表示的数为， ∵点到点的距离为8， ∴， 解得：； 综上所述，当或时，点到点的距离为8， 故答案为：4或12． 【变式题1-2】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知、分别是数轴上的两点，点表示的数为，点表示的数为80，点为数轴上一动点，点到点和点的距离之和为120，则点表示的数为 ． 【答案】或95 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离的表示方法、解一元一次方程，设点表示的数为，分点M在之间、点A的左边、点B的右边三种情况，列方程然后求解即可． 【详解】解：设点表示的数为，则，， 当M在之间，，不符合题意； 当M在A的左侧，， 解得； 当M在A的右侧，， 解得， 所以点M对应的数为或95， 故答案为：或95． 【变式题1-3】．（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）． (1)当时，点P表示的有理数为_______． (2)当点P与点B重合时t的值为_______． (3)在点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数为______．（用含t的代数式表示） (4)当点P表示的有理数与原点距离是2个单位长度时，t的值为_______． 【答案】(1)0 (2)5 (3) (4)1，3，7，9 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）设当时，点P移动的距离为，即可求出点P表示的有理数； （2）由点P与点B重合，点P移动的距离为，即可求出t的值； （3）根据数轴上两点的距离公式，即可求解； （4）分四种情况讨论：根据点P移动的距离分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，点P移动的距离为：， 此时点P表示的有理数为：， 即点P表示的有理数为0， 故答案为：0； （2）解： 当点P与点B重合时，点P移动的距离为：， 移动的时间， 即点P与点B重合时t的值为5， 故答案为：5； （3）解：在点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离为， 即点P表示的有理数是， 故答案为：； （4）解：设在点P由点A到点B的运动过程中，当点P移动到点时，与原点距离是2个单位，所用时间为， 则， 解得：， 设在点P由点A到点B的运动过程中，当点P移动到点2时，与原点距离是2个单位，所用时间为， 则， 解得：， 设点P到达点B后，返回过程中，当点P移动到点2时，与原点距离是2个单位，所用时间为， 则， 解得：， 设点P到达点B后，返回过程中，当点P移动到点时，与原点距离是2个单位，所用时间为， 则， 解得：， 即所有满足条件的t的值为1、3、7、9， 故答案为：1、3、7、9． 【题型2】双动点相遇问题 1.题型考点总结 -重点考查路程关系与方程建模，分相向而行和同向而行两种场景。 -涉及数形结合思想，需通过数轴分析初始距离与运动路程的关系。 2.解题攻略 -分别表示两动点的坐标(含)：，，明确初始距离。 -相向而行：路程和=初始距离，列方程。 -同向而行：路程差=初始距离，列方程。 【例题2】．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足． (1) ， ， ． (2)动点、同时从原点出发，点向负半轴运动，点向正半轴运动，点的速度是点速度的3倍，2秒钟后，点到达点． ①点的速度是每秒 个单位，此时，点与之间的距离为 ； ②若运动时间为秒，用含的代数式表示点表示的数为 ； ③点到达点后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，再经过几秒，点与点能相遇？ 【答案】(1)，1，6 (2)①3，8；②；③秒 【分析】（1）由绝对值非负性、平方非负性，结合非负数和为零的条件列方程求解即可得到答案； （2）①根据数轴上点的运动情况计算即可得到答案；②由题意直接求解即可得到答案；③根据题意，当点到达点时，点到达点，设再经过秒钟，点与点能相遇，由相遇问题列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：，，且， ，， ，， 为最小的正整数， ， 故答案为：，1，6； （2）解：①点走过的路程为2，时间为2，， 速度为1个单位长度每秒， 点的速度是点的速度的3倍， 点的速度为3个单位长度每秒，此时点运动到点， 间距离为8个单位长度， 故答案为：3，8； ②动点从原点出发，向负半轴运动，速度为1个单位长度每秒，若运动时间为秒， 用含的代数式表示点表示的数为， 故答案为：； ③由题意可知，当点到达点时，点到达点， ， 设再经过秒钟，点与点能相遇， 则，解得， 再经过秒钟，点与点能相遇． 【点睛】本题考查数轴上动点综合问题，涉及绝对值非负性、平方非负性、非负数和为零的条件、数轴表示有理数、数轴上的动点问题、相遇问题等知识，掌握数轴上动点综合问题的解法是解决问题的关键． 【变式题1-1】．（25-26七年级上·吉林白山·期中）如图，已知在数轴上有、两点，分别代表、20．两只电子蚂蚁甲、乙分别从、两点同时出发，甲沿数轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，当甲到达点处时运动停止，乙沿数轴负方向以每秒4个单位长度的速度运动．设运动时间为（秒）． (1)在运动过程中甲表示的数为________，乙表示的数为_______（用含的代数式表示）； (2)求甲、乙相遇时在数轴上表示的数； (3)当甲、乙相距10个单位长度时，求的值； (4)若乙到达点后立刻返回并保持原速度不变，则在乙返回点的过程中，甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，直接写出相遇点表示的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)甲、乙在数轴上表示的数的位置相遇 (3)10或14 (4)甲、乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离、数轴上动点问题、一元一次方程的应用等知识，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． （1）根据甲、乙运动的速度，表示出甲、乙表示的数即可； （2）根据甲，乙相遇时，甲、乙表示的数相同列出方程，解方程即可； （3）分相遇前和相遇后两种情况进行列方程求解即可； （4）根据乙到达A点需要15秒，求出甲位于，求出乙追上甲需要秒，求出此时相遇点表示的数即可． 【详解】（1）解：∵甲沿数轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，乙沿数轴负方向以每秒4个单位长度的速度运动， ∴在运动过程中甲表示的数为，乙表示的数为； （2）解：当甲、乙相遇时，， 解得：， ， 答：甲、乙在数轴上表示的数的位置相遇； （3）解：设甲，乙经过x秒后相距10个单位， 相遇前：， 解得：； 相遇后：， 解得：． 答：10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度； （4）解：乙到达A点需要15秒，甲位于， 乙追上甲需要（秒）， 此时相遇点的数是， 答：甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是． 【变式题1-2】．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，数轴上点为原点，点表示，点表示，点表示8．动点，同时出发，点从点出发，沿数轴正方向运动至点，出发时速度为每秒1个单位长度，到点后速度变为原来的2倍；点从点出发，沿数轴负方向运动至点，出发时速度为每秒2个单位长度，到点后速度变为原来的一半．设运动时间为秒． (1)点从点运动至点时，的值为___________秒； (2)当秒时，点在数轴上表示的数是___________；当点在线段上运动时，它在数轴上表示的数是___________；（用含的代数式表示，无需写出的取值范围） (3)当两点相遇时，相遇点所表示的数是___________； (4)当线段与的长度相等时，的值为___________． 【答案】(1) (2)， (3) (4)1或或14 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． （1）分别求出点从点运动至点B、点从点B运动至点C所用时间，进而相加即可； （2）由（1）可知，点前7秒速度为每秒1个单位长度，之后速度为每秒2个单位长度，进而可知当秒时，点在数轴上表示的数；求出点从点出发，沿数轴负方向运动至点的时间，进而可知点在线段上运动时，它在数轴上表示的数； （3）先表示出点P表示的数是，点Q表示的数是，然后根据当两点相遇时，求解即可； （4）分当P在段上，Q在段上时；当P在段上，Q在段上时；当P在段上，Q在段上时三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点从点出发，沿数轴正方向运动至点，出发时速度为每秒1个单位长度，到点后速度变为原来的2倍， ∴点从点出发，运动至点用时（秒），点到点后速度变为每秒2个单位长度， ∴点从点B运动至点用时（秒）， ∴点从点运动至点时，的值为秒． 故答案为：； （2）解：由（1）可知，点前7秒速度为每秒1个单位长度，之后速度为每秒2个单位长度， ∴当秒时，点在数轴上表示的数是； ∵点从点出发，沿数轴负方向运动至点，出发时速度为每秒2个单位长度，到点后速度变为原来的一半， ∴点从点出发，沿数轴负方向运动至点，用时（秒），速度变为每秒1个单位长度， ∴当点在线段上运动时，它在数轴上表示的数是． 故答案为：，； （3）解：∵点从点运动至点B需要秒，点从点运动至点需要秒， ∴两点在线段上相遇时， 此时点P表示的数是，点Q表示的数是， 当两点相遇时，，解得， ∴相遇点所表示的数是． 故答案为：； （4）解：当P在段上，Q在段上时：，解得：； 当P在段上，Q在段上时：，解得：； 当P在段上，Q在段上时：，解得：； 故答案为：1或或14． 【变式题1-3】．（25-26七年级上·山东德州·阶段练习）如图，已知数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，4．点A到点C的距离可以用表示，且． (1)应用： ， ； (2)拓展：若点A沿数轴向右以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒时点A表示的数是 ，此时， ；（用含t的式子表示）； (3)探究：现有一只蚂蚁P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时另一只蚂蚁Q恰好从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左移动，设两只蚂蚁在数轴上某点相遇，求两只蚂蚁在数轴上相遇时所用的时间． 【答案】(1)6，10 (2)；或 (3)两只蚂蚁在数轴上相遇时所用的时间秒 【分析】本题考查数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，掌握其性质是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式直接计算即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式直接计算即可； （3）本题属于相遇问题，根据“两只蚂蚁爬行的路程和=总路程”列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：6；10； （2）解：t秒时点A表示的数是， 此时或， 故答案为：；或； （3）解：根据题意得， 解得：（秒） 答：两只蚂蚁在数轴上相遇时所用的时间秒． 【题型3】动点与中点问题 1.题型考点总结 -核心是数轴中点公式(若是、中点，则)。 -考查动点运动中中点坐标的动态表示与方程建立。 2.解题攻略 -用含的代数式表示动点及定点的坐标：，、为定点坐标。 -根据中点关系列出等式，转化为一元一次方程。 -注意多动点运动时，中点对应的线段是否变化，需分类讨论。 【例题3】．（25-26七年级上·重庆·期中）如图，有理数，，在数轴上对应的点分别为，，，其中，，，现在点，，分别以每秒4个，3个，2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，记运动时间为秒． (1)当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数是_____；（用含的式子表示） (2)当，，三点中恰好有一点为另外两点的中点时，求出的值； (3)是否存在常数，使得的值在一定时间范围内不随的改变而改变？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】此题考查了列代数式，一元一次方程的应用，数轴上动点问题，整式的加减，解题的关键是正确表示出运动后三个点表示的数． （1）根据题意列式即可； （2）首先表示出点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，然后根据题意分三种情况讨论，分别列出方程求解即可； （3）首先表示出，，然后表示出，然后根据题意分三种情况讨论，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数是； （2）当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是， 根据题意得，当点A是点B和点C的中点时， ∴ 解得； 当点B是点A和点C的中点时， ∴ 解得（不符合题意，舍去）； 当点C是点A和点B的中点时， ∴ 解得； 综上所述，或； （3）根据题意得，， ∴ ∴当时， ∴ ∴； 当时， ∴ ∴； 当时， ∴ ∴； 综上所述，当或时，的值在一定时间范围内不随的改变而改变． 【变式题3-1】．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度． (1)填空： ______， ______； (2)求几秒后，，之间相距个单位长度； (3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或秒 (3)存在，的值为或或 【分析】此题考查的是绝对值与平方的非负性，数轴与动点问题，线段的中点，掌握数轴上两点之间的距离公式和行程问题公式是解题关键． （1）根据绝对值与平方的非负性，求出，，则，再由点为中点，得到，即，即可解答； （2）设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，分类讨论：当点在点右侧时， 当点在点左侧时，逐个求解即可； （3）先讨论点的运动时间，再讨论点的运动时间，继而分阶段讨论是否存在：当从到，从到时，即，从到，从到时，即，从到，从返回时，， 从返回，从返回时，，从返回，从返回时，，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， 点为中点， ， 即， 故答案为：，； （2）解：设运动时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为， ，之间相距个单位长度， 则可分两种情况讨论， 当点在点右侧时， ， 解得； 当点在点左侧时， ， 解得； 综上，或秒之后，，之间相距个单位长度； （3）解：分阶段讨论是否存在： 先讨论点的运动时间， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 再讨论点的运动时间， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 当从到，从到时，即， ， ， 若，则， 即， 解得； 从到，从到时，即， ， ， 若，则， 即， 解得不满足，舍去； 从到，从返回时，， ， ， 若，则， 解得； 从返回，从返回时，， ， ， 若，则， 解得； 从返回，从返回时，， ， ， 若，则， 此时方程无解； 综上，的值为或或． 【变式题3-2】．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．在数轴上有三点，分别表示有理数，其中满足．已知线段的中点表示的数可以记作之间的距离为．    (1)_____；_____；_____． (2)结合数轴与题目中两点距离公式，计算当取最小值时，可以取的所有整数的和为_____；的最大值为_____． (3)数轴上存在一点在点左侧，与的距离为线段长度的5倍，则点表示的数为_____． (4)有一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为秒，的中点为，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2，1 (3) (4)当或时，，的值不随运动时间的改变而改变；当时，，的值不随运动时间的改变而改变 【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，实数和数轴，绝对值的几何意义，点的平移的性质，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． （1）根据绝对值和平方的非负性进行求解即可； （2）根据绝对值的几何意义进行求最值即可； （3）根据数轴上点所表示的数，表示出两点之间的距离，然后根据平移的性质进行求解即可； （4）设运动时间为秒，根据题意表示出相关线段的长度，分情况进行整理求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意得，，表示点到和到2的距离之和， 根据线段和差及两点之间线段最短得， 当在和2之间（包括两端点）时，的值最小， ∴可取的整数为， ∴； 根据题意得，表示点到和到3的距离之差， 结合数轴可得，当点在3的右侧时，即时，有最大值， 最大值为； 故答案为：2，1； （3）解：根据题意得，， ∴与的距离为5， 且点在点左侧， ∴表示的数为， 故答案为：； （4）解：设运动时间为秒，根据题意得， 点表示的数为，点表示的数为， 中点所表示的数为， 当点与点重合时，得， 解得； 当点在点左侧时，即时， ， ∴，， ∴， 当时，， 此时，当时，的值不随运动时间的改变而改变， 解得； 当时，， 此时，当时，的值不随运动时间的改变而改变， 解得； 当点在点右侧时，即时， ， ∴，， ∴， 此时，当时，的值不随运动时间的改变而改变， 解得； 综上，当或时，，的值不随运动时间的改变而改变； 当时，，的值不随运动时间的改变而改变． 【变式题3-3】．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，研究数轴我们发现了一些重要规律如下：①若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离为，线段的中点表示的数为；②若在数轴上一个点表示的数为，则向左移动个单位后表示的数为，向右移动个单位后所表示的数为． 【理解运用】 如图，在数轴上，点表示的数为，将点向右移动个单位得到点，点为线段的中点． (1)填空： ①点表示的数为 ； ②点表示的数为 ； ③，两点间的距离为 ． (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动、同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动、 ①点运动 秒时，点与点之间的距离为个单位长度； ②点运动 秒时，，两点间的距离为个单位长度： ③点运动 秒时，线段的中点与点距离为个单位长度． 【答案】(1)①；②；③ (2)①或；②1或；③或 【分析】本题考查了数轴上动点问题，绝对值的意义，绝对值方程； （1）①若在数轴上一个点表示的数为，根据向右移动个单位后所表示的数为，求得点表示的数； ②根据中点的表示方法求得点表示的数； ③用表示、两点之间的距离； （2）设运动时间为，分别求得表示的数，的中点表示的数； ①根据题意列出绝对值方程，解方程即可求解； ②根据题意列出绝对值方程，解方程即可求解； ③题意列出绝对值方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：点表示的数为，将点向右移动个单位得到点，点为线段的中点． ∴①点表示的数为； ②点表示的数为； ③，两点间的距离为； 故答案为：①，②，③． （2）解：点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动、同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为， ∴点表示的数为，点表示的数为，的中点为 ①， 解得：或； ∴点运动或秒时，点与点之间的距离为个单位长度； 故答案为：或． ② 解得：或 ∴点运动1或秒时，，两点间的距离为个单位长度： ③ 解得：或 点运动或秒时，线段的中点与点距离为个单位长度． 故答案为：或． 【题型4】动点背景下线段数量关系为定值问题 1.题型考点总结 -考查动态线段的代数式表示，需用含运动时间的式子表示相关线段长度。 -核心是通过化简线段数量关系，消去参数，验证结果为定值。 -侧重代数运算与逻辑验证，确保化简过程符合数轴距离公式()。 2.解题攻略 -设动点运动时间为，用表示动点及相关定点的坐标(如)。 -根据距离公式写出各线段表达式(如，)。 -代入题干数量关系(如)，去绝对值并化简，消去得到定值。 -验证化简结果是否与无关，确认符合数轴运动的实际范围。 【例题4】．（25-26七年级上·福建泉州·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且c是最大的负整数，且a、b满足． (1) ， ， ； (2)若A、B、C为数轴上的动点，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C以分别每秒2个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒，设点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为． ①若，求t的值？ ②是否存在常数k使得的值是个定值？如果存在，请求出常数k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①2或4；②存在，常数，定值为12 【分析】本题考查了绝对值与平方的非负性、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数及列代数式以及整式的加减，解题的关键是利用数轴表示两点间的距离． （1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得a，b的值，再根据c是最大的负整数可求出c的值． （2）①由（1）得：A表示的有理数为，B表示的有理数为5，C表示的有理数为，运动 t 秒后，点A表示的数：，点B表示的数：，，点C表示的数：，然后根据列方程求解即可． ②根据列出算式并化简，然后根据的值是个定值，即t的系数为0，进而可求解． 【详解】（1）解：∵c是最大的负整数， ∴． ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）运动 t 秒后，点A表示的数：，点B表示的数：，，点C表示的数：， ①若，则， ∴，解得或，     ∴ t的值为2或4 ； ②存在．由题意：， ， ∴ ， 要使得的值是个定值，则 ， ∴， 此时定值为， ∴存在常数，定值为12． 【变式题4-1】．（25-26七年级上·广东广州·期中）【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，若已知，则．如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是，A到C的距离可以用表示，计算方法：或． （1）填空：_______，_______． 【构建联系】（2）现有动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右移动，同时点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒． ①填空：运动过程中点P表示的数是_______，点Q表示的数是_______；（用含t的代数式表示） ②求运动多少秒时，P、Q两点间的距离？ 【深入探究】（3）若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、C两点之间的线段上，且的值始终是一个定值，求D点运动的方向及m的值． 【答案】（1）10,16 （2）① ②2或8 （3）点D向左运动， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用， 对于（1），根据两点之间的距离计算即可； 对于（2），①用点B表示的数加上点P的运动路程可得点P表示的数，进而表示点Q表示的数； ②先表示出，即可得出方程，求出解即可； 对于（3），先表示出运动过程中点A，C表示的数，再分两种情况：表示出，根据其是一个定值得出答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：10，16； （2）①由点P，Q的运动速度可知运动过程中点P表示的数是，点Q表示的数是； 故答案为：，； ②， 解得或， 所以运动2秒或8秒时，两点之间的距离； （3）由题意可知，运动过程中点A表示的数是，点C表示的数是， 分两种情况：当点D向左运动时，点D表示的数是， 由的值始终是一个定值，得， 解得； 当点D向右运动时，点D表示的数是， 由的值始终是一个定值，得， 解得舍去． 综上所述，点D向左运动，． 【变式题4-2】．（25-26七年级上·广东广州·期中）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． (1)在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，求的中点所对应的数． (2)在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ (3)在（2）的条件下，若是中点，为最靠近的三等分点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值． 【答案】(1) (2) (3)当 时，定值为 【分析】本题考查的是新定义的含义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，整式的加减运算，非负数的性质，理解题意，熟练的表示各数是解本题的关键． （1）由非负数的性质可得，，求解，，再利用中点公式可得答案； （2）由点所对应的数为，点所对应的数为，再利用中点坐标公式建立方程求解即可； （3）先求解点E所对应的数为，点F所对应的数为，表示，，再分情况进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴点对应的数为，点对应的数为， ∴的中点N所对应的数为； （2）由（1）知，，， 则点所对应的数为，点所对应的数为． 则中点所对应的数为， 解得：． （3）由题意得：E是中点， ∴点E所对应的数为， ∵F为最靠近Q的三等分点， ∴点F所对应的数为， ∴，， ， 当时， ， 此时不是定值， 当时， ； ∴当时，为定值，定值为， 当时， ， 此时不是定值， 综上：当时，为定值，定值为． 【变式题4-3】．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图①，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点与点之间的距离记为，我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题： 如图②，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数，且，满足与互为相反数． (1)________，_____． (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合； (3)点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后． ①请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； ②探究：若点，向右运动，点向左运动，速度均保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)；； (2)； (3)不变，； 相遇前值变化，理由见解析； 相遇后值不改变，． 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示数、数轴上两点间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是用含的代数式表示运动后的点表示的数． 根据绝对值的非负性、平方的非负性、最大的负整数，得到、、表示的数，再求代数式 的值； 根据折叠的性质求出折痕位置的点表示的数，设与点对称的点表示的数为，列方程求解； 用含的代数式表示出点、、表示的数，根据整式的加减求出的值； 用含的代数式表示出点、、表示的数，分当在的右侧和当在的左侧两种情况求解． 【详解】（1）解： 与互为相反数， ，， 解得：，， 是最大的负整数， ， ，， 故答案为：，； （2）解：由可知，， 折痕位置的点表示的数是， 设与点对称的点表示的数为， 可得：， 解得：， 点与表示数的点重合， 故答案为：； （3）解：秒钟后点、、表示的数分别为：，，， ，， ， ，值不会改变； 解：在点与点相遇前的值随的变化而变化，相遇后的值不会改变， 理由如下： 秒钟后点、、表示的数分别为：，，， ， 当在的右侧时，， ， 当在的左侧时，， ， 点与点相遇前，的值随的变化而变化，相遇后的值不改变，是． 【题型5】动点与线段和差倍分问题 1.题型考点总结 -考查线段长度的倍数关系(如)、和差关系(如)。 -核心是将线段关系转化为坐标的数量关系，建立方程。 2.解题攻略 -用含的代数式表示相关线段长度：，。 -根据题干中的和差倍分条件列方程(如)。 -解方程后，检验动点是否在线段上或延长线上，筛选有效解。 【例题5】．（25-26七年级上·北京·期中）已知数轴上两点表示的数分别为0和6．点从点出发沿数轴向某个方向以每秒3个单位长度匀速运动，点从点出发沿数轴向某个方向以每秒1个单位长度匀速运动．点同时开始运动，运动方向可能相同，也可能不同．设运动时间为，请回答下列问题： (1)如果点都沿数轴正方向运动，当时，则 ； (2)若， 求的值； (3)在运动过程中，已知，则的值是 ． 【答案】(1) (2)的值为或或 (3)或或或 【分析】本题考查数轴上两点之间距离、数轴上的动点问题等知识，熟记数轴上两点之间距离的表示是解决问题的关键． （1）由题意，得到当时，表示的数为3、表示的数为7，再由数轴上两点之间距离表示方法求解即可得到答案； （2）由于运动方向不确定，分类讨论，列方程求解即可得到答案； （3）由于运动方向不确定，分类讨论，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，当时，表示的数为3、表示的数为7， ， 故答案为：； （2）解：由于运动方向不确定，分类讨论： 当点都沿数轴正方向运动，当时，表示的数为6、表示的数为8， ， ， 当时，，解得； 当点都沿数轴负方向运动，当时，表示的数为、表示的数为4， ， ， 当时，，解得； 当点都沿数轴相向运动，当时，表示的数为6、表示的数为4， ， ， 当时，，解得； 当点都沿数轴反向运动，当时，表示的数为、表示的数为8， ， ， 当时，，解得； 综上所述，的值为或或； （3）解：由于运动方向不确定，分类讨论： 当点都沿数轴正方向运动，表示的数为、表示的数为， ， ， 当时，，解得或； 当点都沿数轴负方向运动，表示的数为、表示的数为， ， ， 当时，，解得（负值，舍去）或（负值，舍去）； 当点都沿数轴相向运动，表示的数为、表示的数为， ， ， 当时，，解得或； 当点都沿数轴反向运动，表示的数为、表示的数为， ， ， 当时，，解得（负值，舍去）或（负值，舍去）； 综上所述，在运动过程中，若，当点都沿数轴正方向运动，或；当点都沿数轴相向运动，或； 故答案为：或或或． 【变式题5-1】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知：点、两点在数轴上，点表示原点，点表示的数为20，且，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，点从点出发．沿数轴向左运动，点的速度是点速度的，、两点同时出发，相遇后停止运动； (1)点表示的数是______； (2)我们知道，中点是指线段上到两个端点距离相等的点，它将线段分成两个长度相等的部分．若点是的中点，点是的中点，、两点运动秒时，求线段的长（用含有的代数式表示） (3)在（2）的条件下，在、开始运动时，另一点从点出发，以每秒3个单位的速度向右运动，当时，求点在数轴上表示的数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查两点间的距离，列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离，进行求解即可； （2）求出点表示的数，进而求出表示的数，根据两点间的距离公式列出代数式即可； （3）根据两点间的距离，列出绝对值方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为20，且， ∴表示的数为； 故答案为：； （2）由题意，点的速度为每秒4个单位，点表示的数为， ∴点表示的数为，、相遇时所用时间为（秒）， ∵点是的中点，点是的中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵、相遇后停止运动， ∴， ∴； （3）由题意，点表示的数为， ∴， 由题意，， 解得或； ∴点表示的数为或． 【变式题5-2】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：A、B是数轴上两点，O为原点，点A、点B所表示的数分别是a、b，且满足． (1)______，______； (2)若点P以每秒4个单位长度的速度从点A出发沿数轴正方向运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿数轴正方向运动，P、Q两点同时运动，设运动时间为t秒，问多长时间P、Q两点之间相距6个单位长度； (3)在（2）的条件下，点P运动到点B休息2秒后以原速的2倍向数轴负方向运动，运动到点A停止，在点P休息后沿数轴负方向运动时，点M以每秒3个单位长度的速度从点O出发沿数轴正方向运动，当点P停止时，点Q、点M继续运动．问点P从点A出发多长时间，？ 【答案】(1) (2)或 (3)或或或． 【分析】本题考查了绝对值的非负性，一元一次方程的几何应用，数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性，得，即可解得； （2）理解题意，先得点P所表示的数是，点Q所表示的数是，根据P、Q两点之间相距6个单位长度，进行列式计算，即可作答． （3）充分理解题意，分两种情况进行分析，即时或，分别先得点P，点Q，点M所表示的数，最后根据进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 即点A、点B所表示的数分别是、11， （2）解：由（1）得点A、点B所表示的数分别是、11， ∵点P以每秒4个单位长度的速度从点A出发沿数轴正方向运动， ∴点P所表示的数是， ∵点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿数轴正方向运动， ∴点Q所表示的数是， ∵P、Q两点之间相距6个单位长度 ∴， ∴， 即， ∴或， 解得或； （3）解：∵在（2）的条件下，点P运动到点B休息2秒后以原速的2倍向数轴负方向运动，运动到点A停止， ∴（秒），（秒）， 依题意， 则时，则点P所表示的数是，所表示的数是，点Q所表示的数是， ∵， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∴， 当时，则， ∴， 则时，则点P所表示的数是，所表示的数是，点Q所表示的数是， ∵， ∴， ∴， 当时，则 解得， 当时，则 解得， 综上：或或或． 【变式题5-3】．（25-26七年级上·云南大理·期中）如图，点表示的数是，点表示的数是，满足，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)直接写出___________，___________； (2)若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？ (3)若点、速度不变，分别从点、同时向右运动，同时点从原点以每秒7个单位的速度向右运动，当时，请求出的值． 【答案】(1)， (2)点P运动9秒时追上点Q (3) 【分析】本题考查了数轴上动点问题以及两点之间的距离、一元一次方程的应用、绝对值的非负性． （1）根据绝对值的非负性可得到结果． （2）先分别用t表示出点P和点Q，根据两数相同可得方程，再求解即可． （3）先分别用t表示出点P和点Q以及点R，分别用t表示出，然后化简，根据可求得结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：． （2）解：当运动时间为t秒时，点Q表示的数为，点P表示的数为， 由题意可得， 解得：， ∴点P运动9秒时追上点Q． （3）解：当运动时间为t秒时，点Q表示的数为，点P表示的数为，点R表示的数为， ∴，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， 解得：． 【题型6】动点相距定值问题 1.题型考点总结 -考查绝对值的应用，利用(为定值)建立方程。 -需掌握分类讨论思想，避免漏解(动点在定点两侧的情况)。 2.解题攻略 -确定两动点的坐标表达式(含)：，。 -根据距离定值列绝对值方程。 -去掉绝对值符号，分和两种情况解方程，验证解的合理性。 【例题6】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）【问题背景】 如图1，将一根木棒放在数轴上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合 【问题探索】 （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的点表示的数为32；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的点表示的数为8，由此可得这根木棒的长为______ （2）图1中点表示的数是______，点表示的数是______． 【迁移应用】 （3）由【问题探索】的启发，请借助图2中的数轴解决下列问题： 一天，李明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我就120岁啦！”则奶奶现在多少岁？ 王芳的想法是：借助图2中的数轴，将一根木棒放在数轴上，两端分别与点，重合，把李明和奶奶的年龄差看作木棒的长，奶奶是李明现在这么大时，可看作木棒沿数轴向左水平移动后，其右端移动到点，此时左端在数轴上所对应的点表示的数为－45． ①李明是奶奶现在这么大时，可看作木棒沿数轴向右水平移动后，其左端移动到点，此时右端在数轴上所对应的点表示的数为______ ②求奶奶现在的年龄． （4）如图3，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为10．木棒长度为1个单位，左端点为，右端点为；将木棒左端点与点重合，木棒沿数轴以3个单位/秒的速度向右水平移动，当右端点到达点时，木棒返回沿数轴向左运动；点从点出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向左运动；若木棒与点同时出发，且当点到达点M时，木棒与点均停止运动．则当相距5个单位长度时，点所表示的数为____________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2），；（3）①；②岁；（4）或或 【分析】本题考查数轴上的动点问题、一元一次方程的应用，运用分段讨论、模型类比思想是解题的关键； （1）设木棒的长为，根据题意列出方程，求出的值即可； （2）结合（1）中的木棒长度即可求解； （3）将年龄差类比为木棒长度，结合数轴模型列方程求年龄即可； （4）分木棒移动阶段，结合点的运动速度列方程求解即可． 【详解】解：（1）设木棒的长为， 由题意得，， 解得； 故答案为：； （2）点表示的数是； 点表示的数是； 故答案为：，； （3）①根据题意，此时右端在数轴上所对应的点表示的数为； 故答案为：120； ②设李明和奶奶的年龄差为岁， 由题意得，， 解得， ∴奶奶现在的年龄为（岁）； （4）点从到的时间：（秒）， 木棒从向右到到达的时间为（秒）， 因此，木棒先向右运动5秒，再向左运动（秒）， 设运动时间为秒， 当时（木棒向右运动）； 木棒A表示的数为；B的表示的数为；点Q的表示的数为； ， 解得或； 时，A表示的数为； 时，A表示的数为； 当时（木棒向左运动）； 木棒A表示的数为，B表示的数为，点Q表示的数为， ， 解得或（舍去）， 时A表示的数为； 故答案为：或或． 【变式题6-1】．（25-26七年级上·吉林松原·期中）【知识引导】在数轴上，两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，例：点表示的数为2，点表示的数为，则点M、N之间的距离为． 【实际应用】如图，在一条数轴上，从左往右的点表示的数分别是． (1)点到原点的距离是____________，A、C两点之间的距离是____________； (2)已知点和点之间的距离是2，一动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，5秒后，求点表示的数； (3)已知动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，设点运动的时间为秒． ①当点M、N相遇时，求的值； ②当点M、N相距4个单位长度时，直接写出的值． 【答案】(1)3；9 (2) (3)①；②或 【分析】本题考查数轴上的动点问题．理解数轴上两点间距离可以用这两点在数轴上所对应的数的差的绝对值来表示是解题的关键． （1）两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，由此计算即可； （2）先求出点B表示的数，再根据点P的运动方向及速度即可求解； （3）①当点M、N相遇时，点M、N走过的路程之和为A、C两点之间的距离，据此列方程求解即可； ②先根据题意得点表示的数为，点表示的数为，当点M、N相距4个单位长度时，则，解方程即可． 【详解】（1）解：点A到原点的距离是：， A，C两点之间的距离是：， 故答案为：3，9； （2）解：由题意得：点B表示的数是， 点P的运动路程为：个单位长度， 此时点P表示的数为：， 即点P表示的数是； （3）解：①根据题意得：， 解得， 即当点M、N相遇时，求的值为； ②点表示的数为，点表示的数为， ∵点M、N相距4个单位长度， ∴， ∴或， 解得或， 即当点M、N相距4个单位长度时，的值为或1． 【变式题6-2】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，运动到3秒时，两点相距12个单位长度．已知动点A、B的运动速度之比是（速度单位：1个单位长度/秒）． (1)动点A运动的速度是_____个单位长度/秒，动点B运动的速度是_____个单位长度/秒； (2)A、B两点运动到3秒时停止运动，请在数轴上标出此时A、B两点的位置； (3)若A、B两点分别从（2）中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动的速度不变，运动的方向不限，问：运动到几秒时，A、B两点之间相距8个单位长度？（请直接写出答案） 【答案】(1)3，1 (2)图见解析 (3)1秒或2秒或5秒或10秒 【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）设点的运动速度为每秒个单位长度，则点的运动速度为每秒个单位长度，根据运动到3秒时，两点相距12个单位长度，列出方程进行求解即可； （2）求出3秒后，两点表示的数，然后在数轴上进行表示即可； （3）分两点同时向右运动和相向运动两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：设点的运动速度为每秒个单位长度，则点的运动速度为每秒个单位长度，由题意，得：，解得， 则， 故点的运动速度为每秒个单位长度，点的运动速度为每秒个单位长度； 故答案为：3，1； （2）由（1）可知，3秒后，点表示的数为，点表示的数为， 数轴表示如下： （3）设运动到秒后，A、B两点之间相距8个单位长度， 当点同时向右运动时：点追上点之前：，解得； 点追上点之后：，解得； 当点相向运动时，相遇之前：，解得； 相遇之后：，解得； 综上：运动到1秒或2秒或5秒或10秒时，A、B两点之间相距8个单位长度． 【变式题6-3】．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）【阅读材料】 我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离，若点表示的数，点表示的数是，点在点的右边（即），则点，之间的距离为，即．例如：若点表示的数是，点表示的数是，则线段． 【理解应用】 （1）已知在数轴上，点表示的数是，点表示的数是6，求线段的长； 【拓展应用】 如图，数轴上有三个点，点表示的数是，点表示的数是3，点表示的数是． （2）当，，三个点中，其中一个点是另外两个点所连线段的中点时，请求出的值； （3）数轴上是否存在一点，使点到点，点的距离和为?若存在，求出点表示的数；若不存在，请说明理由． （4）点，点分别从点，点沿数轴正方向分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度出发，经过几秒两点相距3个单位长度？ 【答案】（1）9；（2）或或8；（3）存在，或；（4）1或4 【分析】本题考查了有理数的减法，数轴，熟练掌握有理数的减法的运算法则是解题的关键， （1）根据数轴上两点距离公式，用右边的数减去左边的数来计算线段的长度； （2）分三种情况讨论，分别以，，为中点，根据中点的性质列出方程求解； （3）设点表示的数为，根据点的位置表示出，的距离，再根据距离和为列方程求解； （4）设经过秒两点相距3个单位长度，由题可得式子：，解含绝对值的方程即可得到答案． 【详解】解：（1）； （2）当点为中点时，则：，解得：， 当点为中点时，则：，解得：， 当点为中点时，则：，解得：， 故答案为：或或8； （3）存在，理由如下： 设点表示的数为， 当点Q在点左侧时，则：， 解得：； 当点在点右侧时，则：， 解得：， ∴点表示的数为或， （4）设经过秒两点相距3个单位长度， ∵点表示的数是，点表示的数是3，且点，点分别从点，点沿数轴正方向分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度出发，可得： ， ∴当时，解得：， 当时，解得：， ∴经过1或4秒两点相距3个单位长度． 【题型7】动点折返运动问题 1.题型考点总结 -考查分段函数思想，动点到达端点后速度或方向改变，需分段表示坐标。 -核心是确定分段节点(如到达端点的时间)，避免运动过程混淆。 2.解题攻略 -先计算动点到达端点的时间。 -分阶段表示坐标：时，；时，(折返方向与原方向相反)。 -针对不同阶段列方程，分别求解并验证。 【例题7】．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，已知数轴上点表示的数为，所表示的数为，且满足，点所表示的数为18． (1)的值为_____，的值为_____； (2)动点从点出发，往数轴右边以每秒10个单位的速度运动，动点从点往数轴右边以每秒2个单位的速度运动． ①点运动到点需要_____秒，点运动到点需要_____秒． ②在运动过程中点所表示的数为，且的值为12，求的值． ③若点到达点后，立即以同样的速度返回，点到达点后，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当，之间的距离为2时，求的值． 【答案】(1)；8 (2)①3；5；②7或19；③或或或 【分析】本题考查了数轴、非负数的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可求解； （2）①利用公式：时间路程速度即可求解； ②分3种情况讨论：当时；当时；当时，根据题意列出方程，即可求出的值； ③分2种情况讨论：当时；当时，根据题意列出方程，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：；8； （2）解：①点运动到点需要（秒）， 点运动到点需要（秒）， 故答案为：3；5； ②当时，，， ∵， ∴， 解得； 当时，，， ∴，不符合题意，舍去； 当时，，， ∵， ∴， 解得； ∴综上所述，的值为7或19； ③当时，点所表示的数为，点所表示的数为， ∴， ∵，之间的距离为2， ∴， 解得或； 当时，点所表示的数为，点所表示的数为， ∴， ∵，之间的距离为2， ∴， 解得或； ∴综上，的值为或或或． 【变式题7-1】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在数轴上原点O表示数是0，点A在原点的左侧，表示数是a，点B在原点的右侧，表示数是b，并且a，b满足 (1)点A 表示数是 ，点B 表示数是 ． (2)若点P从点A 出发沿数轴向右运动，速度为每秒4个单位长度；点M从A出发沿数轴向右运动，速度为每秒10个单位长度；点Q从B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．点P，M，Q三点同时运动，并且当点M和点Q相遇后立即返回，当点M遇到点P后又立即返回，这样反复往返，直到点P，Q相遇时，点M停止运动，求点M的运动时间及运动路程？ (3)在（2）的条件下，点P，Q按原方向原速度继续运动，当点P运动到点B后立即返回，此时速度变为原来的1.5倍，求从P，Q两点相遇而点M停止运动后开始，再经过几秒，点P到点M的距离与点Q到点M的距离之和等于25． 【答案】(1)，150 (2)40秒，400 (3)5秒或15秒或秒 【分析】本题考查数轴，绝对值，一元一次方程的知识，解题的关键是掌握数轴上点表示数，根据动点运动的轨迹，进行分类讨论，掌握一元一次方程的运用，即可． （1）根据绝对值和乘方的非负性，即可； （2）根据题意，则，，根据P、Q两点运动路程和等于两点间的距离列出方程，即可； （3）根据题意，分类讨论，相遇后，点P没有到达点B前；相遇后，点P从点B返回，但未到达点M时；相遇后，点P从点B返回，又经过点M后，列出方程，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，150； （2）解：设点M运动的时间为t秒， 根据题意，得， 解得， ∴点M运动的时间为40秒，运动路程为个单位长度； （3）解：由（2）知：个单位长度， ∴个单位长度， 设再经过x秒， 当点P没有到达点B前时， 根据题意，得， 解得； 当相遇后，点P从点B返回，但未到达点M时， 根据题意，得， 解得； 相遇后，点P从点B返回，又经过点M后， 根据题意，得， 解得， 综上，再经过5秒或15秒或秒，点P到点M的距离与点Q到点M的距离之和等于25． 【变式题7-2】．（25-26七年级上·全国·期中）已知：，且a，b满足，请回答问题： (1)请直接写出a，b，c的值： ， ； (2)在数轴上a、b、c所对应的点分别为A、B、C， ①记A、B两点间的距离为，则 ， ； ②点P为该数轴上的动点，其对应的数为x，点P在A与C之间运动时（包含端点）， ， (3)在（1）（2）的条件下，若点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当点M到达点C时，点M停止；当点M运动到点B时，点N从点A出发，以每秒3个单位长度向右运动，点N到达点C后，再立即以同样的速度返回，当点N到达点A时，点N停止．从点M开始运动时起，至点M、N均停止运动为止，设时间为t秒，请用含t的代数式表示M，N两点间的距离． 【答案】(1) (2)①16，36② (3)见解析 【分析】（1）根据非负性可以求得a、b的值； （2）①根据数轴上两点的距离公式可得； ②根据数轴上两点的距离公式可以表示和的长； （3）分别计算M、N两次相遇的时间，分六种情况讨论，根据图形结合数轴上两点的距离表示的长． 【详解】（1）解：∵，a，b满足， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①， 故答案为：16，36； ②∵点P为点A和C之间一点，其对应的数为x（）， ∴， 故答案为：； （3）由题意，得：点N运动的总时间为：秒，点运动到点所用时间为秒，运动到点所用时间为秒； 从点开始运动到点停止运动共用：秒，从点开始运动到点运动到点共用：秒， 设t秒时，M、N第一次相遇，，解得：， 分五种情况： ①当时，如图2，点M在运动，点N在A处，此时， ②当时，如图3，M在N的右侧，此时， ③当时，M在N的左侧，此时， ④M、N第二次相遇（点N从C点返回时）：，解得：， 当时，如图4，点M在N的左侧，此时， ⑤当时，如图5，点M在N的右侧，此时， ⑥当时，如图6，点M在点C处，此时， 【点睛】本题考查列代数式，非负数的性质、绝对值、数轴，一元一次方程的应用，等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，绝对值的化简，学会用参数表示线段的长，有难度，属于中考常考题型． 【变式题7-3】．（25-26七年级上·四川成都·期中）石室联合中学初一年级开设了丰富多彩的博雅课程，小石同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒研究数轴上的动点问题：如图，数轴上有A，B，C三个点分别表示有理数，和12．小石把两根木棒放在数轴上，使点Q与点A重合，点N与点B重合，点P在点Q的左边，点M在点N的左边，且，木棒从点B开始以每秒1个单位的速度向右匀速运动；同时，木棒从点A开始以每秒3个单位的速度向右匀速运动，当点Q运动到C时，木棒立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点P在点Q的左边），当点Q再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当时，点N表示的数为 ，点P表示的数为 ； (2)在整个运动的过程中，当线段和线段的长度之和为12时，求出对应的t的值； (3)点D为木棒上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)对应t的值为3秒、9秒、14秒或18秒 (3)存在定值，定值为8，持续总时长为秒 【分析】本题主要考查用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题以及一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）分时和两种情况解答即可； （3）分时和两种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，点N表示的数为：， P表示的数为：， 故答案为：，； （2）解：木棒运动到点Q与点C重合时的时间为：（秒），木棒从出发到返回的时间为（秒）； ①当时，点P对应的数为，点M对应的数为，点Q对应的数为，点N对应的数为， ， ， ∵， ∴， 即， ∴； ②当时， 点P对应的数为，点M对应的数为，点Q对应的数为，点N对应的数为， ， ∵， ∴， 即， ∴， 综上所述，对应t的值为3秒、9秒、14秒或18秒； （3）解：存在，定值为8，持续总时长为秒； ∵点D为木棒上一点， ∴点D到点P、Q的距离之和为2； 当点D在线段上时，点D到点M、N的距离之和为一个定值6； ∴点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值8； ①当时，， 解得； ， 解得； 持续时间为； ②当时， ， 解得； ， 解得； 持续时间为， 所以总持续时间为， 综上所述，存在定值，定值为8，持续总时长为秒． 【题型8】数轴折叠与动点重合问题 1.题型考点总结 -考查数轴折叠的性质(折叠后重合点到折痕的距离相等)。 -核心是确定折痕坐标，转化为动点与重合点的距离关系。 2.解题攻略 -设折痕对应的数为，若折叠后与重合，则，解得。 -用含的代数式表示动点坐标：。 -根据“动点与某点折叠后重合”列方程，求解后验证范围。 【例题8】．（25-26七年级上·海南·期中）综合与实践 【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题，如图，在纸面上有一数轴，按下列要求折叠纸面． 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数对应的点与数6对应的点重合，则此时数0对应的点与数______对应的点重合； 【问题拓展】 （3）若如（2）这样折叠后，数轴上有A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为14（点B在点A的右侧），则点A对应的数为______，点B对应的数为______； （4）在（3）的条件下，数轴上有两个动点P、Q，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，P，Q两点相遇，并计算出此时点P所表示的数． 【答案】（1）4；（2）2；（3），8；（4）当或时，两点相遇，此时点所表示的数为或15 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）设此时数对应的点与数对应的点重合，根据折痕点所表示的数不变建立方程，解方程即可得； （2）设此时数0对应的点与数对应的点重合，根据折痕点所表示的数不变建立方程，解方程即可得； （3）设点对应的数为，则点对应的数为，根据折痕点所表示的数不变建立方程，解方程即可得； （4）分两种情况：①当点在数轴上向左匀速运动时；②当点在数轴上向右匀速运动时，先分别求出点所表示的数，再根据两点相遇时，它们所表示的数相等建立方程，解方程即可得． 【详解】解：（1）设此时数对应的点与数对应的点重合， 由题意得：， 解得， 故答案为：4． （2）设此时数0对应的点与数对应的点重合， 由题意得：， 解得， 故答案为：2． （3）设点对应的数为，则点对应的数为， 由题意得：， 解得， ∴， 故答案为：，． （4）①当点在数轴上向左匀速运动时， 由题意得：运动秒后，点所表示的数为，点所表示的数为， 当两点相遇时，则， 解得， ∴此时点所表示的数为； ②当点在数轴上向右匀速运动时， 由题意得：运动秒后，点所表示的数为，点所表示的数为， 当两点相遇时，则， 解得， ∴此时点所表示的数为； 综上，当或时，两点相遇，此时点所表示的数为或15． 【变式题8-1】．（25-26七年级上·吉林·期中）如图，已知数轴上原点为，点A表示的数为，B在A的右边，且与的距离是10．动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)当时，点表示的数是______，点表示的数是______，点与点之间的距离是______； (2)点表示的数是______（用含的代数式表示），点表示的数是______（用含的代数式表示）； (3)点与点在点处相遇，如果数轴可以折叠，以数轴上点为折点，将数轴对折，使得B与A重合，求点到点的距离的值． (4)当点到点的距离等于点到点距离2倍时，直接写出此时的值． 【答案】(1)，，5 (2)； (3)1 (4)或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，解题的关键是：根据路程速度时间，用含t的代数式表示出点P，Q表示的数． （1）根据题意先表示出点A表示的数，然后利用路程速度时间求解； （2）利用路程速度时间来求解； （3）根据题意先求出相遇时所用的时间，再求出点C表示的数，点D表示的数，进而求出d的值； （4）根据题意表示出，，根据点P到点O的距离等于点P到点Q距离2倍列出方程求解． 【详解】（1）解：由题意可得：点B表示的数是， 点P表示的数是， 点Q表示的数是， ， 故答案为：，，5； （2）解：由题意可得：点P表示的数是， 点Q表示的数是， 故答案为：；； （3）解：P表示的数是，Q表示的数是， 它们在C点相遇时所用的时间相等，则， 解得， ∴C点表示的数是， ∵以数轴上点D为折点，将数轴对折，使得B与A重合， ∴D表示的数是， ∴点C到点D的距离； （4）解：P到点O的距离， 点P到点Q距离， ∵点P到点O的距离等于点P到点Q距离2倍， ∴， ∴或， 解得或． 【变式题8-2】．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）如图，在数轴上放置线段和（在的左侧，在的左侧），、的长分别为，其中满足． (1)若点、在数轴上对应的值分别为、10． ①的值为_____，的长为_____； ②若将数轴沿数轴上一点折叠，折叠后线段、重叠部分的长度为4，求此时点在数轴上对应的值； (2)以（1）中、所在位置为起始位置，将线段以2个单位长度/秒的速度向数轴正半轴方向移动，同时线段以3个单位长度/秒的速度向数轴负半轴方向移动，当点与点重合时，线段立即以4个单位长度/秒的速度向数轴正半轴方向移动，设运动时间为，求在运动过程中两线段重合长度为2个单位长度时的值． 【答案】(1)①8，17；②此时点在数轴上对应的值为或2 (2)的值为、、、 【分析】本题考查了数轴以及一元一次方程的应用，学会分类讨论和根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）①先根据非负性求出m和n的值，再根据点、在数轴上对应的值分别为、10求出的值； ②根据题意分为重叠部分为右端4个单位与右端4个单位和重叠部分为左端4个单位与左端4个单位两种情况进行列方程求解即可； （2）根据题意先求得当时，线段向数轴正半轴方向移动，再分为两个阶段分别表示出A、B、C、D的值并结合题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ， ∴，， ∵对应，， ∴点对应， ∵点C对应10，， ∴点D对应， ∴的长为 ， 故答案为：8，17； ②情况1：重叠部分为右端4个单位与右端4个单位， ∴右端4个单位为：点B对应，向左4个单位，范围为至； 右端4个单位：点D对应15，向左4个单位，范围为11至15； ∵折叠后这两个范围对称， ∴P是与15的中点，即； 情况2：重叠部分为左端4个单位与左端4个单位， ∴左端4个单位：点A对应，向右4个单位，范围为至； 左端4个单位：点C对应10，向右4个单位，范围为10至14； ∵折叠后这两个范围对称， ∴P是与14的中点，即， 综上所述，此时点在数轴上对应的值为或2； （2）解：∵运动的时间为， ∴点A为，点B为； 点C为，点D为； 当点与点重合时，， 解得， 阶段1：秒（向正方向、向负方向移动）， 情况1：C在B左侧，D在A右侧（重叠段为的部分）， ∴重叠长度， ， 解得， ∴此时为，为，为，为，重叠段为至，长度2； 情况2：在右侧，在右侧（重叠段为的部分）， ∴重叠长度， ， 解得， ∴此时为，为，为，为，重叠段为至，长度2； 阶段2：秒（向正方向、向正方向移动） ∴点A为，点B为； 点C为，点D为； 情况3：在右侧，在右侧（重叠段为的部分）， ∴重叠长度， ， 解得， ∴此时为2，为10，为，为4，重叠段为至4，长度2， 情况4：在右侧，在右侧（重叠段为的部分）， ∴重叠长度， ， 解得， ∴此时为11，为19，为17，为22，重叠段为17至19，长度2， 综上所述，的值为、、、． 【变式题8-3】．（2025七年级上·内蒙古·专题练习）综合性探究：“数形结合”思想解决以下问题． (1)请根据图1中A，B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数：A： ；B： ；    (2)观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是 ． (3)若将数轴折叠，使得点A与表示数的点重合，则点B与表示数 的点重合． (4)若数轴上M，N两点之间的距离为2024（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是 ， ． (5)点P与点Q分别从A，B两点同时出发，在数轴上运动，它们的速度分别是2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，它们运动的时间为．点P与点Q在点A与点B之间相向运动，当时，直接写出点P对应的数． (6)《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完．如图2，求的值．    【答案】(1)，16 (2)或 (3) (4)， (5)或0 (6) 【分析】本题考查数轴的综合应用，一元一次方程的应用，重点考查数形结合思想； （1）根据数轴判断即可； （2），，即可得到与点A的距离为4的点表示的数； （3）先找出折合点的对应的数，然后再利用数轴上两点间距离计算即可； （4）根据折合点表示的数和M、N两点间的距离，求出点M和点N表示的数即可； （5）分两种情况：当P、Q相遇前，当P、Q相遇后，分别列出t的方程，解方程即可； （6）根据图形找规律，然后进行计算． 【详解】（1）解：由数轴可得，点A表示的数是，点B表示的数是16． 故答案为：，16； （2）解：∵，， ∴与点A的距离为4的点表示的数是：或． 故答案为：或； （3）解：∵将数轴折叠，使得点A与表示数的点重合， ∴折合点表示的数是：， ∴与点B重合的点表示的数为： ． 故答案为：； （4）解：∵数轴上M，N两点之间的距离为2024（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合， ∴点M表示的数为：， 点N表示的数为：； 故答案为：，； （5）解：当P、Q相遇前，根据题意得： ， 解得：， 此时点P表示的数为：； 当P、Q相遇后，根据题意得： ， 解得：， 此时点P表示的数为：； 综上分析可知：点P的表示的数为：或0； （6）解：根据题意得： ． 【题型9】动点新定义问题 1.题型考点总结 -考查新定义的理解与应用(如“k倍关联点”：动点到某定点的距离是定长的k倍)。 -核心是将新定义转化为数学表达式，建立一元一次方程。 2.解题攻略 -紧扣题干新定义，提炼数学关系(如“k倍关联点”即，其中为定点坐标，为定长)。 -用含的代数式表示动点坐标：，代入新定义关系式。 -解方程并结合新定义的限制条件(如k为正整数、运动范围)筛选解。 【例题9】．（25-26七年级上·北京·期中）对于数轴上的三个点A，B，C，给出如下定义：若点C到点A的距离是点C到点B的距离的k倍（k为正整数），则称C点是A，B两个点的“整k距点”，记为：．已知点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是10． (1)若，且点C在数轴上对应的数是7，则_______； (2)点M从出发，以每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点N从2出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，若，求出t的值； (3)点P从出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点A从出发，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动的时间为t秒，在运动的过程中，若存在数轴上的点Q满足，且，直接写出所有符合条件的t的值． 【答案】(1)4 (2)1或5 (3)6或12 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、两点之间的距离、一元一次方程的应用、解绝对值方程等知识点，理解“整k距点”是解题的关键． （1）先直求出点C到点A和点B的距离，再根据“整k距点”的定义列式计算即可； （2）先根据点M和点N的运动表示出位置，再利用建立方程求求解即可． （3）根据点P和点A的运动表示出位置，结合点Q满足的条件建立方程，求解符合条件的t即可． 【详解】（1）解：∵点C对应的数是7，点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是10， ∴． ∵， ∴，即，解得：． （2）解：由题意可得：点M的位置，点N的位置：，点A对应的数是． ． ∵， ∴，即，化简得：． ∴或．解得：或． （3）解：设点Q点对应的数为x， 由题意可得：点P的位置，点A的位置，点B对应的数是10． ∴． ∴． 点Q满足，即． ∴，解得或． 又∵， ∴． 当时，． ∴． 当时，，解得：（不符合题意）； 当时，，解得：（符合题意）； 当时，，解得：（符合题意）； 当时，解得：（不符合题意）． ∴或． 当时，． ∴，即，此绝对值方程无解． 综上，或． 【变式题9-1】．（25-26七年级上·福建福州·期中）操作发现． 操作一：如图1，已知数轴上点、所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点，此时数轴上点所表示的数为4，我们称点是点关于点的映射点； 记作：或； 操作二：如图3，已知点和线段，将点、绕同一点旋转，使点和点重合，此时点所对应的点用表示，我们称点是点关于线段的映射点； 记作：；如：； (1)借助图1、图2、图3理解，直接填空：，；________； (2)若A、B两点所表示的数分别是、，；求点C所表示的数；（用含a、b的代数式表示） (3)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，； ①点在运动过程中，线段的长度是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是，点B与点D的距离为1时，求a的值． 【答案】(1)2；； (2) (3)①4；②或 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，解绝对值方程，整式加减运算，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式，注意进行分类讨论． （1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据，得出，根据A、B两点所表示的数分别是、，代入求值即可； （3）①根据点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，得出点B表示的数为或，设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为，分两种情况：当点B表示的数为时，点B在点A的右侧，当点B表示的数为时，点B在点A的左侧，分别求出的值，即可得出答案； ②根据点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点B在点A右侧，得出点B表示的数为，设点D表示的数为d，根据点C表示的数是，，得出，根据B、D两点之间距离刚好为1，得出，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； ； 根据题意得：． 故答案为：2；；； （2）解：∵， ∴为的中点， ∵A、B两点所表示的数分别是、， 点表示的数为： ， 所以点C所表示的数； （3）解：①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值；理由如下： ∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4， ∴点B表示的数为或， 设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e， 当点B表示的数为时，点B在点A的右侧， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴的中点与的中点是同一个点， ∴， ∴， ∴ ； 当点B表示的数为时，点B在点A的左侧， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴的中点与的中点是同一个点， ∴， ∴， ∴ ； 点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4． ②∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点B在点A右侧， ∴点B表示的数为， 设点D表示的数为d， ∵点C表示的数是，， ∴， ∴， ∵B、D两点之间距离刚好为1， ∴， 即， 解得：或． 【变式题9-2】．（25-26七年级上·湖南郴州·期中）我们约定：在数轴上，对于不重合的三点，，，若点到点的距离是点到点的距离的倍，我们就把点叫做【，】的“智慧点”．例如：如图，点表示的数为，点表示的数是，表示数的点到的距离是，到点的距离是，那么是【，】的“智慧点”；表示数的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的“智慧点”． 如图，已知数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)判断下列各点是否是【，】的“智慧点”（填”是“或”不是“）； ①点表示的数是（   ） ②点表示的数是（   ） ③点表示的数是（   ） (2)若点是【，】的“智慧点”，求点表示的数； (3)现有一点从点出发，以每秒个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，问点运动多少秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”？ 【答案】(1)①不是,②是,③是 (2)或 (3)或或或或秒 【分析】本题考查了用数轴表示数及数轴上两点之间的距离的求法，关键是找到两点所表示的数； （1）根据“智慧点”的定义进行判断； （2）分情况讨论：在的左侧和在之间； （3）分情况讨论：分别是另两点的“智慧点”． 【详解】（1）①∵ ∴（不是） ②∵ ∴（是） ③∵ ∴（是）． （2）依题意，分两种情况讨论： ①当点在点的左侧时，点到的距离是点到点的距离的倍， 设此时点表示的数为，则， 解得：， 故此时点表示的数为， ②当点在点、之间时，点到的距离是点到点的距离的倍， 故此时点表示的数为：，解得： 综上所述，点表示的数为：或； （3）由数轴可得：点表示的数为，点表示的数为， ， 设点运动秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”， 则， ①当点为【，】的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的倍， 故此时点到点的距离， 在的左侧， 点与点的距离为：， ，即：（秒） ②当点为【，】的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的倍， 故此时点到点的距离 在的左侧， 当在与点之间时，点与点的距离为：， （秒）， 当在的左侧时，点与点的距离为：， （秒）， ③当点为【，】的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的倍，故此时点到点的距离 （秒） ④当点为【，】的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的倍，故此时点到点的距离， （秒） 综上所述，点运动或或或或秒时， 点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”． 【变式题9-3】．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）知识应用： 随着祖国的日益强大，经济发展迅速，人民的生活越来越好，幸福指数也越来越高．老师在数学课上给出了定义：在数轴上，若点C到点A 的距离恰好是3，则称点C为点A的“幸福点”；若点C到点A，B的距离之和为6，则称点C为点A，B的“幸福中心”． （1）若点 A 表示的数是4，则点A的“幸福点”点C 表示的数是 （2）已知点 M 表示的数是m，点N 表示的数是n，且则 ； ； 若点C为点 M，N的“幸福中心”，则点C表示的数可以是 (填一个满足要求的数即可)； 知识拓展： （3）若点 A 表示的数是，点B 表示的数是3，点P 表示的数是8，一个电子蚂蚁Q从点P出发，以2单位/秒的速度沿数轴向左运动，若经过t秒电子蚂蚁Q 正好到达点A，B的“幸福中心”，求t的值． （4）在（3）的条件下，在数轴上是否存在点C (点C与点B不重合)，使得电子蚂蚁Q既是A、B的“幸福中心”又是A、C的“幸福中心”?若存在，请直接写出点C表示的数，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或；（2），(答案不唯一)；（3）或秒；（4）或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴和两点间的距离，注意数轴的三要素：原点、正方向、单位长度；能够正确表示数轴上两点间的距离：两点所对应的数的差的绝对值. （1）根据题中所给定义可直接进行求解； （2）先求得再根据“幸福中心”的定义可直接进行求解； （3）由题意可分两种情况列式：①点Q在点B和点P之间，②点Q在点A的左侧讨论； 进而分类求解即可； （4）根据题意，结合数轴，在（3）的条件下，根据新定义得分类讨论，即可求解. 【详解】解：（1）由题意得：点的“幸福点”表示的数为或 ， 故答案为： 或； （2）∵点表示的数是，点表示的数是，且， ， ∴点表示的数是，点表示的数是， ∴点、的距离为， ∵点为点, 的“幸福中心”， ∴点在点、之间, 即点表示的数可以是与3之间的数， ∴点表示的数可以是， 故答案为：，(答案不唯一)； （3）由题意可得、之间的距离为，故有两种可能： 设经过秒点是、的“幸福中心”，则点表示的数为， ①点在点和点之间，则有： 解得： ， ②点在点的左侧，则有 解得：， 综上所述：当经过或秒时, 点是、的“幸福中心”； （4）由（3）可得, 当时，点表示的数为， ∴，之间的距离为， ∵点是、的“幸福中心”， ， ∴点在点的右侧或左侧， ∴点表示的数是或（不合题意，舍去）； 当，点表示的数为， ∴，之间的距离为， ∵点是、的“幸福中心”, ， ∵则点在点的左侧或右侧， ∴点表示的数是或（不合题意，舍去） 综上所述，点表示的数为或． 【题型10】动点与整点问题 1.题型考点总结 -考查数轴整点的性质(坐标为整数)，结合动点运动轨迹求符合条件的时间。 -核心是将“整点”条件转化为坐标为整数，建立方程或不等式。 2.解题攻略 -用含的代数式表示动点坐标：。 -根据“整点”要求列条件：为整数。 -结合及运动范围，求解整数解对应的。 【例题10】．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）数形结合思想是常用的数学思想，数轴帮我们把点和数对应起来，是利用数形结合思想解决问题的有效工具．学习完七年级上册前3章后，爱思考的三位同学想“玩转”数轴． (1)小梅的玩法关键字是“折”：把数轴以点为折点对折，使点和点重合．已知点表示的数分别为．若满足，求折点表示的数； (2)小溪的玩法关键字是“添”：在小梅的基础上，在，两点各添加一块挡板，在点添加一块减速板，动点在，之间来回运动，遇到挡板，就原速度返回，遇到减速板，速度就减少2个单位长度每秒，若速度没超过2个单位长度每秒，就停在减速板处．点从点出发，以5个单位长度每秒的速度向点运动，设运动的时间为秒．当点对应的数是2时，求的值； (3)小湖的玩法关键字是“去”：去掉所有含有数字的整数，制作了一个“缺数字的数轴”：“数轴”上仍有原点和单位长度，自原点向右，距离原点个单位长度的点表示的数仍为从小到大依次排列的正整数，但每个数中都不包含数字．例如，当时，自原点向右，距离原点个单位长度的点表示的数依次为1，3，4，5，6，7，8，9，，，，，，，，，．已知正整数满足，且某“缺数字的数轴”上有分别表示和的两个点，则这两点之间的距离为_______．（用含的代数式表示） 【答案】(1)点C表示的数是5 (2)的值为或或 (3) 【分析】本题考查非负数的性质以及数轴上点的对称关系，数轴上两点间的距离，有理数的乘方，数字类规律探索，理解题意是解题关键 （1）根据非负数的性质求出a、b的值，再根据数轴上点的对称关系求出折点C表示的数； （2）分当从A向C运动时，当从C向A运动时，当时再次从A向C运动三种情况分别讨论； （3）分别求出到，到，到的距离，得出规律即可． 【详解】（1）解：，，且， ，且． ，． 依题意，点C是点A和点B的中点， 点C表示的数是． （2）解：第一次到C点时，用时：（秒） 当从A向C运动时，，速度为5个单位长度每秒， 则点对应的数是2时，，解得； 返回C点时用时：（秒）， 到点A时用时：（秒）， 当从C向A运动时，，经过两次C点，速度为（个）单位长度每秒， 则点对应的数是2时，，解得； 当时再次从A向C运动，速度为1个单位长度每秒， 到C点时用时（秒） 再次从A向C运动，用时， 则点对应的数是2时，，解得． 综上所述，的值为或或． （3）解：正常数轴原来距离为的，现在距离为9∶ 原来距离为的，现在距离为， 原来距离为的，现在距离为 到距离为：； 到距离为：； 到距离为：； 和相比，差的数不含2，故不缺数； 和相比，差的数含两个数∶2和，故实际距离为． 当m，n为正整数，时，和的两个点之间的距离 ． 故答案为：． 【变式题10-1】．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是4，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“7格距点”． (1)若点P表示的数是2，则n的值为 ； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“7格距点”，则这样的整点P有 个； (3)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 【答案】(1) (2) (3)点P表示的数为，或点P表示的数为， 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数与数轴，一元一次方程的应用，解题的关键在于正确理解“n格距点”． （1）根据数轴上两点之间的距离，求出，进而根据“点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，”求解，即可解题； （2）根据题意得到，结合数轴得出整点P的可能取值，进而即可得到满足条件的整点P的个数； （3）根据题意设点P表示的数是，分两种情况①当点在点左侧时，②当点在之间时，结合点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：点P表示的数是2，点A表示的数是，点B表示的数是4， ， ， 故答案为：； （2）解：整点P为点A、B的“7格距点”， ， 由数轴可知，整点P可取， 即这样的整点P有个； 故答案为：； （3）解：点P在数轴上运动，且满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍， 设点P表示的数是， ①当点在点左侧时， 有， ， 解得， ； ②当点在之间时， 有， ， 解得， ； 综上所述，点P表示的数为，或点P表示的数为，． 【变式题10-2】．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）已知，，且，，分别是点，，在数轴上对应的数． (1)，，的值分别为 ， ， ，并在数轴上标出点，，； (2)定义：在数轴上，若点D到点E、F的距离之和为6，则点D叫做E和F的“幸福中心”． ①若点G是B和C的“幸福中心”，且点G表示的数是整数，求所有满足条件的点G表示的数之和； ②点Q表示7，点P从点Q出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点M，N分别从点A，B出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，经过多少秒时，点P是M和N的“幸福中心”？ 【答案】(1)，图见解析； (2)①所有满足条件的点G表示的数之和是7；②经过秒或秒，点P是M和N的“幸福中心”． 【分析】此题重点考查一元一次方程的解法，非负数的性质，数轴上的动点问题的求解等知识，正确地用代数式表示运动过程中点所对应的数是解题的关键 （1）由，根据非负数的性质可求得，由，得，所以点A，B，C对应的数分别为，在数轴上标出点A、B、C即可； （2）①设点G表示的数是x，点G到点的距离之和为m，先说明点G不能在点C的左侧和点B的右侧，而当点G在点B与点C之间时，，此时，而x为整数，则，即可求得所有满足条件的点G表示的数之和是7； ②先说明点M和点N之间的距离保持不变，为，则点P不能在点M与点N之间，再设运动的时间为t秒，则点P、M、N表示的数分别为，当点P在点N的右侧时，则；当点P在点M的左侧时，则，解方程求出相应的t值即可． 【详解】（1）解：∵， ，， 解得：， ， ， 在数轴上表示点A，B，C如图： 故答案为：； （2）解：①设点G表示的数是x，点G到点B、C的距离之和为m， 若点G在点C左侧，则， ，不符合题意； 若点G在点B右侧，则， ，不符合题意； 当点G在点B与点C之间，则， ，且x为整数， ∴， ， ∴所有满足条件的点G表示的数之和是7； ②∵点M和点N的速度相同，运动方向相同， ∴点M和点N之间的距离保持不变，为， 若点P在点M与点N之间，由点P到点M、N的距离之和为5，不符合题意， 设运动的时间为t秒，则点表示的数分别为， 当点P在点N的右侧时，则， 解得， 当点P在点M的左侧时，则， 解得， 综上所述，经过秒或秒，点P是M和N的“幸福中心”． 【变式题10-3】．（25-26七年级上·江西南昌·期中）在数轴上，位于原点两侧的两个点到原点的距离相等，则这两个点表示的数互为相反数．我们定义，在数轴上，一个点到原点距离是另一个点到原点距离的2倍，则这两个点表示的数互为原点的“关联数”．例如：点表示的数为2，则与点表示的数互为原点的“关联数”可以为，． (1)在数轴上，已知点表示的数为3，点表示的数为整数，若点，表示的数互为原点的“关联数”，则为___________； (2)数轴上有点，，，点表示的数为4，点在负半轴上，且点，之间的距离为9．当点，表示的数互为原点的“关联数”时，求点表示的数； (3)如图所示，已知点表示的数为，点表示的数为10．点，同时出发，点在数轴上以3个单位/秒的速度向右运动，点在数轴上以5个单位/秒的速度向左运动，当点到达原点后立即按原速向右运动，设运动时间为．当点，表示的数互为原点的“关联数”时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)点表示的数为或或或 (3)当点，表示的数互为原点的“关联数”时，的值为或或 【分析】（1）根据“关联数”的定义即可得解； （2）根据“关联数”的定义得出点表示的数为或，再由点，之间的距离为9，并结合数轴上两点间的距离公式计算即可得解； （3）求出点到达原点时，秒，当时，点表示的数为，点表示的数为；当时，点表示的数为，点表示的数为，分别根据“关联数”的定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为3，点表示的数为整数，点，表示的数互为原点的“关联数”， ∴为， 故答案为：； （2）解：∵点表示的数为4，点，表示的数互为原点的“关联数”， 点在负半轴上， ∴点表示的数为或， ∵点，之间的距离为9， ∴当点表示的数为时，点表示的数为或， 当点表示的数为时，点表示的数为或， 综上所述，点表示的数为或或或； （3）解：∵点表示的数为10，点在数轴上以5个单位/秒的速度向左运动， ∴点到达原点时，秒， 当时，点表示的数为，点表示的数为， ∵点，表示的数互为原点的“关联数”， ∴或， 解可得或（不符合题意，舍去）； 解可得或（不符合题意，舍去）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， ∵点，表示的数互为原点的“关联数”， ∴或， 解可得， 解得可得（不符合题意，舍去）； 综上所述，当点，表示的数互为原点的“关联数”时，的值为或或． 【点睛】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，理解题意，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【题型11】双动点追及与相距最值问题 1.题型考点总结 -考查追及问题的路程关系(速度快的动点路程-速度慢的动点路程=初始距离)。 -涉及最值思想，求两动点相距的最大值或最小值对应的时间。 2.解题攻略 -表示两动点坐标：，(设)。 -追及问题：列方程，求解追及时间。 -最值问题：距离，根据方程求最值对应的。 【例题11】．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）绝对值是研究我们数学问题的重要符号． 【代数意义】 正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 已知：都是不等于0的有理数，请你探究以下问题： （1）①若则； ②若则． （2）由以上探究可知，则共有个不同的值；的这些所有的不同的值的绝对值的和等于． 【几何意义】 在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值，表示数轴上表示数a的点和表示数b的点的距离． （3）如图，数轴上点M表示，点N表示2，动点P从M点出发以每秒4个单位的速度向右运动，到达点N时停止运动；动点Q从N点出发向以每秒1个单位的速度向左运动，几秒后P、Q两点之间的距离是4个单位长度？ （4）数轴上有5个动点分别同时从原点出发向右匀速运动，速度分别是每秒个单位，当这5个点到数所表示的点的距离之和最小时，时间t的值是． 【答案】（1）①1或；②2或或0；（2）2025，2050312；（3）1秒或4秒后P、Q两点之间的距离是4个单位长度；（4）当时，五个动点的距离之和最小 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的混合运算，数轴上两点的距离，方程的应用． （1）对绝对值内的有理数的正负进行分类讨论即可解决问题； （2）根据计算的结果，发现规律即可解决问题； （3）根据题意列式计算即可； （4）计算出每一个动点到达处的时间，分别计算在不同时间区间内的距离之和，通过观察即可解决问题． 【详解】解：（1）①当时，， 所以； 同理可得，当时； 所以或1， 故答案为：1或． ②当同为正数时，； 当同为负数时，； 当异号时，； 所以或或0， 故答案为：2或或0； （2）当都是正数时，； 当中有2个正数和1个负数时，； 当中有1个正数和2个负数时，； 当都是负数时，， 所以或． 由前面的计算结果可知，有2个不同的值， 有3个不同的值， 有4个不同的值， 所以共有2025个不同的值； 的这些所有的不同的值的绝对值的和为： ． 故答案为：2025，2050312； （3）设运动时间为秒， ∵M与点N之间的距离为， 又∵M运动到N就停止了，M到点N的用时为， ∴当，P的位置为，当，P已到达N点，位置为2， ∴Q的位置为， ∵当时，两点间的距离为4， 则，化简得， 解得或（舍去）， 当时，两点间的距离为4，则， 解得（负值已舍去）， 故答案为：1秒或4秒后P、Q两点之间的距离是4个单位长度； （4）每一个点到达的时间为：，，，，， 当，每个动点均未到达处， 总距离之和为，t越小，距离之和越大； 当，只有一个动点经过， 总距离之和为，t越小，距离之和越大； 当，有两个动点经过， 总距离之和为，t越小，距离之和越小； 因此，距离之和的最小值出现在， 故答案为：当时，五个动点的距离之和最小． 【变式题10-1】．（24-25七年级上·北京怀柔·期末）在数轴上，我们把表示数的点称为共点，记作点P． 对于两个不同的点A和点B，若点A、点B到点P的距离相等，则称点A与点B关于点P互为共点联系点． 如图1，点A表示的数是，点B表示的数是1，它们到共点P的距离都是2个单位长度，则点A与点B关于点P互为共点联系点． (1)已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B关于点P互为共点联系点． 若，则 ；若，则 ； 计算： ； (2)对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以，再把所得数表示的点沿着数轴移动2个单位长度得到点B． 若点A与点B关于点P互为共点联系点，则点A表示的数是 ； (3)在图2中，M、是数轴上两点，且，点M以每秒2个单位长度的速度从数轴上表示－6的点出发，在－6与6之间来回运动，点N从数轴上表示2的点出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，若t秒后，点M或与点N关于点P互为共点联系点，求M或与N距离最大时，运动时间 秒，M或与N距离最小时，运动时间_____秒．     【答案】(1)①0；；② (2)或0 (3)，2 【分析】本题考查了新定义，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用． （1）①根据共点联系点的定义求解即可； ②设点A、点B到点P的距离为m，根据共点联系点的定义表示出a，b，然后相加即可； （2）先根据题意表示出b，再根据共点联系点表示的两数之和等于列方程求解即可； （3）先判断M或与N距离最大和M或与N距离最小的位置，再表示出M或与N，然后根据共点联系点表示的两数之和等于列方程求解即可． 【详解】（1）解：①当时，由题意，得 ∴； 当时，由题意，得 ∴． 故答案为：①0；； ②设点A、点B到点P的距离为m， 由题意，得 ， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，或， ∴或， 解得或． 故答案为：或0； （3）解：假设M在的左侧，由题意知，当M到大P之前时，与N距离最小；当M从6表示的点返回后，与N距离最大． 当到大P之前时，， 由题意，得 ， 解得； 当M从6表示的点返回后，， 由题意，得 ， 解得； 故答案为：，2． 【变式题11-2】．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）在数轴上，点代表的数是，点代表的数是，点表示的数是1． (1)若从点出发，向点运动（到达点时运动停止）；每秒运动2个单位长度，在之间，在之间，且，，运动多长时间后？ (2)若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒7个单位长度和3个单位长度的速度向右运动．试探索的值是否随着时间（秒）的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值； (3)若为数轴上一条线段（点在点的左边），，当的值最小时，请直接写出点对应的数的取值范围． 【答案】(1)6秒 (2)是定值，定值为，理由见详解 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，线段和的最值，列出线段的表达式是本题的关键． （1）根据题意列出方程可解； （2）根据题意用含t的代数式表达出BQ，AQ，计算是定值； （3）根据两点之间线段最短可得要使 最小，那么 Q 一定在上，且，即可求C点对应的数c的取值范围． 【详解】（1）解：当运动 t 秒时，则， ， ， ∴， 解得：； （2）解：不变； 当运动 t 秒时， ，， ； （3）解：要使的值最小，那么 Q 一定在上， 若C与Q重合，则； 若D与Q重合，∵，则， ∴． 【变式题11-3】．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休“．点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为x． 若，则________； 若，则___________； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． _____________； 若，则点C表示的数为 ； 若该数轴上另有两个点P、Q，它们分别表示有理数p、q，其中点Q在线段上，当且最小时，P、Q两点之间的距离为_____．（直接写出答案） 【问题拓展】 （4）若点A、B、C在数轴上分别表示数、1、6，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1）8 （2）4或； （3）7；5或13；4或7 （4）不变化，值为3 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离，一元一次方程： （1）根据两点间距离公式可得结论； （2）①解绝对值方程即可；②解绝对值方程即可； （3）①由数轴知，，去绝对值符号即可求解；②根据，得到，求出或，再根据即可解答；③分情况讨论，求得，或，据此求解即可． （4）根据两点间的距离公式分别表示，代入计算可得答案． 【详解】解：（1）数轴上表示3与的两点之间的距离为； （2）①若，则或， 解得或； ②若，则或（舍去）， 解得； （3）①由数轴知，， ∴，， ∴； ②由数轴知，，即，结合，即， ∴， ∴或， 解得或； 根据数轴知，， ∴点表示的数为5或13； ③由题意可知，点在线段上，可得，则，， ∴，， 当时，， ∴， 故， 当时，，则， 故， ∵最小，故时，取值最小； 当时，，， ∴，即； 当时，，， ∴（不成立，舍去）； 当时，，， ∴，即， 综上，，或， 当时，、两点之间的距离为； 当时，、两点之间的距离为； ∴、两点之间的距离为4或7； （4）的值不随着随着时间t的变化而改变，为定值3，理由如下： 由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不随着随着时间t的变化而改变，为定值3． 【题型12】数轴上的动点与挡板问题 1.题型考点总结 -考查挡板的反弹性质（动点碰到挡板后速度大小不变、方向相反）。 -核心是分段表示动点坐标，确定碰到挡板的时间节点。 -利用距离公式或“特定位置关系”建立分段一元一次方程。 2.解题攻略 -明确挡板对应的数轴坐标，设动点初始坐标、速度()。 -计算首次碰到挡板的时间。 -分段表示坐标：时，(靠近挡板方向)；时，（反弹方向）。 -根据题干条件（如与另一动点相遇、距离定值），针对不同时间段列方程，验证解的有效性。 【例题12】．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，在数轴上点表示数点表示数表示点和点之间的距离，且满足． (1)A、两点之间的距离为___________； (2)若在数轴上存在一点，且，求点对应的数的值； (3)如图2，若在原点处及处各放一挡板，甲、乙两球同时从、两处分别以4个单位/秒：3个单位/秒的速度向左运动；乙球每次碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）均以原来速度向相反方向运动，甲球在乙球第一次碰到挡板后，以2个单位/秒的速度向相反方向运动直至碰到挡板，此时两球同时停止运动，设甲球运动的时间为（秒），当其中一球到原点距离是另一球到原点距离的2倍时，求的值． 【答案】(1)16 (2)8或20 (3)2或或或11或或 【分析】（1）根据绝对值的非负性可求出a，b的值，即可求解； （2）设点C表示的数为x，分两种情况：当点C在线段上时；当点C在点B的右侧上时，即可求解； （3）根据题意得：乙球从B到O用时为，此时甲球已从A向左运动了个单位长度，此时甲球的位置为，甲球改变速度，则其回到O点需要，而当甲球开始向原点运动时，乙球开始从O向B用时，则乙还需从B到O再运动，然后从O向B再运动，设甲球运动点为点E，乙球运动点为点D，可分以下四个时间段：当时，当时，当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴在数轴上点表示数为，B点表示数为12， ∴A、两点之间的距离为； 故答案为：16 （2）解：设点C表示的数为x， 当点C在线段上时，， ∵， ∴， 解得：， 此时点C表示的数为8； 当点C在点B的右侧上时，， ∵， ∴， 解得：， 此时点C表示的数为20； 综上所述，点C表示的数为8或20； （3）解：根据题意得：乙球从B到O用时为，此时甲球已从A向左运动了个单位长度，此时甲球的位置为，甲球改变速度，则其回到O点需要，而当甲球开始向原点运动时，乙球开始O从B到用时，则乙还需从B到O再运动，然后再O从B运动， 设甲球运动点为点E，乙球运动点为点D， 可分以下四个时间段： 当时， 甲球所在位置到原点距离， 乙球所在位置到原点距离， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时， 甲球所在位置到原点距离， 乙球所在位置到原点距离， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：，不符合题意； 当时， 甲球所在位置到原点距离， 乙球所在位置到原点距离， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：，不符合题意； 当时， 甲球所在位置到原点距离， 乙球所在位置到原点距离， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，的值为2或或或11或或． 【点睛】本题考查的知识点是绝对值的非负性、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、一元一次方程的应用，解题关键是掌握绝对值非负性、用一元一次方程解决问题、根据题意分类讨论解决数轴上的动点问题． 【变式题12-1】．（25-26七年级上·重庆·开学考试）在一个“磁悬浮”的轨道架上做钢球碰撞实验，如图1所示，轨道架上有三个大小、质量完全相同的钢球、、，轨道左右各有一个钢制挡板和，其中到左挡板的距离为，到右挡板的距离为，、两球相距，、两球相距．现以轨道所在直线为数轴，假定球在原点，其余各点表示的数如图2所示，解答下列问题： 碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不计），钢球的运动都是匀速，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动． (1)①现球以每秒的速度向右匀速运动，则球第二次到达球所在位置时用了___________秒； ②经过63秒时，、、三球在数轴上所对应的数分别是___________、___________、___________； (2)如果、两球同时开始运动，球向左运动，球向右运动，球速度是每秒，球速度是每秒；当、两球相撞时停止运动．试探究：在运动过程中各个时间段是否为定值？请说明理由．表示数轴上点，点间的距离） 【答案】(1)①40；②；40；； (2)当运动时间满足时，是定值；当运动时间满足或时，不是定值 【分析】本题考查了列代数式，解决本题的关键是要求一个点所表示的数，首先要分析它的绝对值，再分析它的符号． （1）①根据A球、B球和C球的运动速度相同，可得A球第二次到达B球所在位置所需要的时间为：，由路程速度时间进行计算； ②易得出的距离，根据点A为原点，可得点C表示的数；进而根据之间的距离可得点E表示的数； （2）设经过t秒时间A、B两球相撞，根据行驶的路程列出方程计算，进一步即可求解． 【详解】（1）①解：A球从原点出发，第一次到达B球位置经过的路程为， 第二次到达B球位置时，A球需要先撞到C球，再从C球位置运动到B球位置， 最后从B球位置运动到C球位置，再从C球位置运动到B球位置， 总共经过的路程为， 已知A球速度为每秒， 则所用时间为秒； ②A球第二次到达B球所在位置用了秒，之后A球继续运动，还剩下的时间为秒， ∴A球运动的路程为， 由于A球从B球位置向右运动，会先撞到右挡板，右挡板到B球的距离为， ∴A球撞到右挡板后反弹，反弹后又运动了， 此时A球对应的数为， ∵， 且， ∴， 故答案为：；40；； （2）解：当运动时间满足时，是定值， 当运动时间满足或时，不是定值，理由如下： 设运动时间为秒， 当时，点表示的数为，点表示的数为， ， ， ，不是定值； 当时，点表示的数为，点表示的数为， ， ， ，是定值； 时，此时点表示的数为，点表示的数为， ，， ，不是定值； 综上所述，当运动时间满足时，是定值，当运动时间满足或时，不是定值． 【变式题12-2】．（21-22七年级上·广西桂林·阶段练习）如图1，已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，且满足． (1)求数轴上到点A、点B距离相等的点C对应的数 (2)动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由 (3)如图2，在数轴上的点M和点N处各竖立一个挡板（点M在原点左侧，点N在原点右侧），数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以2个单位/秒的速度沿数轴向左运动，乙弹珠以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点M和点N的距离相等．试探究点M对应的数与点N对应的数是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由． 【答案】(1)点C对应的数为 (2)或 (3)或 【分析】（1）根据已知等式，利用非负数的性质求出a与b的值，设C点对应的数为x，表示出与，根据求出xx的值，即可确定出点C对应的数； （2）表示出P点对应的数，进而表示出与，根据求出t的值即可； （3）根据甲的速度大于乙的速度，分两种情况考虑：①甲、乙均反弹之后在中点相遇，设点对应的数为，点对应的数为，则M、N的中点对应的数为，根据甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到M点和N点的距离相等列出关系式即可；甲反弹乙没反弹在中间相遇，同理可得关系式． 【详解】（1）解：∵， ，， 设点C对应的数为x， ∵点C到点A、点B距离相等， ∴， ∴， 解得：， 点C对应的数为； （2）由题意得P点对应的数为，，， ∵， ∴， 当时，； 当时，； ∴当或时，P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍； （3）解： 设点M对应的数为m，点N对应的数为n，运动时间为t，根据甲的速度大于乙的速度，分两种情况考虑： ①甲、乙均反弹之后在中点相遇， 则M、N的中点对应的数为， ∴，， ∴，， ∴， 整理得； ②甲反弹乙没反弹在中点相遇， 则，， ∴， 整理得． ∴综上，m与n的关系式为或． 【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，以及非负数的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式题12-3】．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）粒子加速器是一种使带电粒子速度增加的装置（如图1所示），它仅作用于带电粒子，对于不带电的粒子没有加速作用．图2为粒子加速器示意图，当带电粒子穿过加速器（加速器宽度可忽略不计）时，其运动速度将迅速变成原来的5倍（速度变化的时间忽略不计）． 如图3所示，在数轴的原点处放置了一台粒子加速器，点24处放置了一块挡板，当粒子碰撞到挡板后，立即以原速反弹． 带电粒子位于数轴上点，不带电粒子位于数轴上点．，分别为，对应点的值，满足． (1)求线段的长度； (2)两粒子在数轴上同时开始运动，从点以每秒1个单位长度的速度向右运动，从点以每秒3个单位长度的速度向右运动．设为粒子的运动时间，为两粒子第一次相遇的时刻，，分别为时刻时，在数轴上所对应的点． ①求的值并求出此时对应点所表示的数． ②当时，判断的值是否会发生变化．如果不会变化，求出该值：如果会变化，请说明理由． (3)当与的距离为3时，求的值． 【答案】(1)18 (2)①，21；②不变，1 (3)或或或 【分析】本题主要考查了动点问题、一元一次方程的应用、列代数式等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）非负性求出的值，然后根据数轴上两点间的距离公式即可解答； （2）①根据数轴上的动点问题列一元一次方程求解即可； ②先根据分别表示出表示，表示，进而表示出，即可解答． （3）根据题意分情况表示出，然后令其为3解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， ∴A，表示的数为12，， ∴线段的长度为． （2）解：①为两粒子第一次相遇的时刻，则粒子还没有到达点24， 由题意可得：，解得：． 此时，、表示的数为， ②的值不发生变化． ∵，即 ∴粒子还没有到达点P，粒子未被反弹， ∴表示，表示， ∴，， 由①知，时，在的右侧， ∴， ∴． （3）解：∵A，表示的数为12，， ∴从A点以每秒1个单位长度的速度向右运动，表示的数为，经过到挡板，．被弹回后经过24秒到达O点，当时，表示的数为，到达O点时速度变为每秒5个单位长度的速度，当时，表示的数为； ∵从点以每秒3个单位长度的速度向右运动． ∴经过秒到达挡板， ∴当时，表示的数为，被弹回，即时，表示的数为， ①当时，； 解得：或（舍去）； ②当时，， 解得：（舍去）或；． ③当时，，解得：（舍去）或（舍去）； ④当时，，解得：或； 综上，或或或时，与的距离为3． 【题型13】动点变速运动问题 1.题型考点总结 -考查分段速度的应用，动点在不同路段(如“变速区”)速度改变。 -核心是分段计算运动时间与坐标，建立分段方程。 2.解题攻略 路段 速度 运动时间 数轴位置表达式 普通路段 变速路段 (如) -分路段表示点在数轴上的位置，根据题干条件(如距离相等)列方程。 -总时间，验证总时间是否符合运动范围。 【例题13】．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）如图1， 数轴上，从左到右依次有点A，点 C，点 D，点 B，其中点A，点B 表示的数分别为和75， 点C 与点D 间的距离为40， 若点O 在点A和点B的正中间，则称点为的中点． (1)若点A，点D 间的距离为50， 点Q 为线段的中点，则点Q 所对应的数为______ (2)如图2， 若点D 所对应的数为x，点M为线段的中点，请用含x 的代数式表示点M 所对应的数，写出必要的推理过程．（结果要求化简） (3)如图3， 一根小木棍的长度刚好等于点C 与点D 间的距离，小木棍可在数轴上运动．将小木棍的右端点F 与点B 重合，让小木棍以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时小钢球P 以相同的速度从点A 向右运动．当小钢球P 与小木棍的右端点F重合时，小钢球P立即以原来速度的2倍返回，而小木棍暂停2秒后，再以原来速度的继续向左运动．当点E 与点A 重合时，小钢球P 和小木棍同时停止运动．设小钢球 P 运动的时间为t秒，在这个运动过程中，当小钢球P 与小木棍的左端点E 的距离为10个单位长度时，求出此时的t值． 【答案】(1)5 (2) (3)或或或 【分析】本题考查两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式分别求出点表示的数，再根据中点的表示方法，求出点Q 所对应的数即可； （2）同（1）法，列出代数式即可； （3）分当点未与点相遇之前，点与点相遇后未与点重合时，当点从点返回，未追上点之前，和点从点返回，追上点之后，4种情况，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：点A，点B 表示的数分别为和75，点A，点D 间的距离为50， ∴点D 表示的数为； ∵点C 与点D 间的距离为40， ∴点表示的数为， ∵点Q 为线段的中点， ∴点Q 所对应的数为； （2）∵点C 与点D 间的距离为40，点D 所对应的数为x， ∴点表示的数为， ∵点为线段的中点， ∴点 所对应的数为； （3）由题意，运动之前点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为；当点与点重合时，，此时点和点表示的数为，点表示的数为，点移动的速度变为每秒6个单位长度，小木棍的移动速度变为每秒个单位长度；点与点重合时所用的总时间为：秒； ①当点未与点相遇之前，，解得； ②当点与点相遇后未与点重合时，，解得， ③当点从点返回，点运动2秒钟后，所表示的数为，相距，设从此刻开始后，， 当点未追上点时，，解得，此时； 当点追上点后，，解得，此时； 综上：或或或． 【变式题13-1】．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知数轴上点与点相距个单位长度，点在原点的右侧，到原点的距离为个单位长度，点在点的左侧，点表示的数与点表示的数互为相反数． (1)点表示的数为__________，点表示的数为__________，点表示的数为__________． (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左移动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当点到达点后，运动停止．设移动时间为秒，在点运动过程中， ①请求出点运动几秒后与点相遇？ ②两点之间的距离能否为个单位？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． (3)点在数轴上，，将图的数轴在点处各折一下，得到图的“折线数轴”，点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，同时点从点出发沿着“折线数轴”向点运动，点的初始速度分别是个单位长度秒和个单位长度秒，点运动到折线时速度才会发生变化，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度倍，离开折线后速度恢复为初始速度．当点和点相遇时，直接写出此时点表示的数． 【答案】(1)，， (2)①秒；②或 (3) 【分析】（）根据题意解答即可； （）①移动秒，点表示的数为，点表示的数为，进而根据题意列出方程即可求解；②由题意可得点到达点需要的时间为秒，当两点之间的距离为个单位时，可得，解方程即可求解； （）由题意可得，即可得点到达点的时间为秒，到达点的时间为秒； 点到达点的时间为秒，到达点的时间为秒，即得到点和点在线段上相遇，设点表示的数为，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了数轴与有理数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在原点的右侧，到原点的距离为个单位长度， ∴点表示的数为， ∵点与点相距个单位长度，点在点的左侧， ∴点表示的数为， ∵点表示的数与点表示的数互为相反数， ∴点表示的数为， 故答案为：，，； （2）解：①移动秒，点表示的数为，点表示的数为， 当点与点相遇时，， 解得， 答：点运动秒后与点相遇； ②两点之间的距离能为个单位． 点到达点需要的时间为秒， 当两点之间的距离为个单位时，则， 整理得， 解得或，符合题意， 当时，点表示的数为； 当时，点表示的数为； 综上，两点之间的距离能为个单位，此时点表示的数为或； （3）解：∵点表示的数为, ∴， ∵折叠后，， ∴， 由题意可得，点到达点的时间为秒，到达点的时间为秒； 点到达点的时间为，到达点的时间为秒， ∴点和点在线段上相遇， 设点表示的数为，则， 解得， ∴此时点表示的数为． 【变式题13-2】．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知点、、、在数轴上，它们表示的数分别为，且满足，点在点的右侧且到点的距离12个单位长度，点表示的数是14． (1)_______，________， _______； (2)动点从点出发以4个单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动． ①当点到达点后停留6秒后再以原来的速度向左运动，假设运动时间为秒．当、两点相距8个单位时，求的值； ②我们规定、两点之间为“变速区”，规则为动点从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，动点从点运动到点期间速度变为原来的3倍，之后也立刻恢复原速，当点到达点时停止运动，点也随之停止运动，当为何值时，、两点的距离是24？ 【答案】(1)；； (2)①或12或或；②或 【分析】（1）根据非负数的性质可求出a、b的值，再根据数轴上两点距离计算公式可得c的值，进而可求出的长； （2）①分当点P从点A运动到点C的过程中，且P、Q没有相遇时，点P与点Q相距8个单位，当点P从点A运动到点C的过程中，且P、Q相遇后，点P与点Q相距8个单位，当点P在点C停留时，点P与点Q相距8个单位，当点P从点C向左运动，且P、Q没有相遇时，点P与点Q相距8个单位和当点P从点C向左运动，且P、Q相遇后，点P与点Q相距8个单位，5种情况分别建立方程求解即可；②可求出点P从点A运动到点B的时间需要6秒，点Q从点D运动到点C的时间需要6秒，再分当点P从点A向右运动，且没有经过点B时和当点P和点Q都运动出变速区时，两种情况分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵点在点的右侧且到点的距离12个单位长度， ∴， ∴； （2）解：①秒， ∴点P从点A运动到点C需要9秒， 当点P从点A运动到点C的过程中，且P、Q没有相遇时，点P与点Q相距8个单位，则， 解得； 当点P从点A运动到点C的过程中，且P、Q相遇后，点P与点Q相距8个单位，则， 解得（舍去）； 当点P在点C停留时，点P与点Q相距8个单位，则， 解得； 当点P从点C向左运动，且P、Q没有相遇时，点P与点Q相距8个单位，则， 解得； 当点P从点C向左运动，且P、Q相遇后，点P与点Q相距8个单位，则， 解得； 综上所述，t的值为或12或或． ②秒，秒 ∴点P从点A运动到点B的时间需要6秒，点Q从点D运动到点C的时间需要6秒 当点P从点A向右运动，且没有经过点B时，若P、Q两点的距离是24，则， 解得； 点P运动出变速区需要的时间为秒，点Q运动出变速区需要的时间为秒， 当点P和点Q都运动出变速区时，若P、Q两点的距离是24，则， 解得； 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负数的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式题13-3】．（25-26七年级上·北京·期中）如图1将一根长为木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点M重合，右端与数轴上的点N重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点N时，它的右端在数轴上所对应的数为12；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点M时，它的左端在数轴上所对应的点为A．如图2，数轴上点A，O，B，C，D对应的数分别为a，0，4，8，12，点P，Q是数轴上的两个动点，P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向运动，同时Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，设运动的时间为t秒． (1)图中点A所表示的数是 ，移动后点Q所表示的数是 ；（用含t的式子表示） (2)若动点P从点O到点B的速度为起始速度的一半，从点B到点C的速度为起始速度的两倍，点C之后立刻恢复起始速度；同时动点Q一直以原速度向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．当P，Q两点在数轴上相距时，求运动时间t． 【答案】(1)， (2)运动时间为5秒或秒 【分析】本题考查了数轴、有理数四则运算的应用、一元一次方程的应用，分类讨论，是解题关键． （1）根据数轴上12所对应的点与点A的距离为3根木棒的长度，即可得点A所表示的数；根据点的运动速度和方向、以及数轴的性质即可得点Q所表示的数； （2）分、、和四种情况，分别求出点P所表示的数，根据P、Q两点在数轴上相距建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：A点表示的数为：； Q表示的数为：． 故答案为：，． （2）解：∵点A表示的数为，即， ∴， 当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是， ， 解得（大于3，舍去）或（舍去）， 当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是， ， 解得或（舍去）， 当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是， ， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是， ， 解得（舍去）或， 综上所述，运动时间为5秒或秒． 【题型14】动点规律探究问题 1.题型考点总结 -考查周期性运动的规律提炼，如左右交替跳跃、循环往返。 -核心是通过前几次运动找规律，用含(或运动次数)的代数式表示第次运动后的坐标。 2.解题攻略 -列举前3-5次运动的坐标，总结规律(如为奇数时向右运动，坐标；为偶数时向左运动，坐标)。 -用含(或)的代数式表示第次运动后的坐标。 -根据规律列方程，求解符合条件的(或)。 【例题14】．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．    (1)平移运动． ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是__________； A．  B．  C．  D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位长度，紧接着第2次向右跳2个单位长度，第3次向左跳3个单位长度，第4次向右跳4个单位长度，…，依此规律跳，当它跳2025次时，落在数轴上的点表示的数是__________； (2)翻折变换． ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示的点与表示__________的点重合． ②若数轴上A，B两点之间的距离为200（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A，B两点经折叠后重合，则A点表示__________，B点表示__________； ③设①折痕为点C，电子蚂蚁P从点A出发，以每秒4单位向右爬行，何时到B，C的距离和是到点A的距离的倍？ 【答案】(1)①D；② (2)①；②，；③秒或秒或秒 【分析】本题考查了数轴、两点间的距离以及一元一次方程的应用； （1）①根据有理数的加法法则即可判断； ②探究规律，利用规律即可解决问题； （2）①根据对称中心是1，即可解决问题； ②由对称中心是1，AB=200，可得A点表示-99，B点表示101； ③分电子蚂蚁在点C左侧，电子蚂蚁在点BC之间，电子蚂蚁在点B右侧三种情况，列方程求解． 【详解】（1）解：①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为． 故选：D． ②一机器人从数轴原点处O开始，第1次向负方向跳一个单位，紧接着第2次向正方向跳2个单位，第3次向负方向跳3个单位，第4次向正方向跳4个单位，…， ∴当它跳2025次时，落在数轴上的点表示的数是． 故答案为：； （2）①∵表示的点与表示的点重合，对称中心是， ， 表示的点与表示的点重合； 故答案为：． ②对称中心是，， ， 则点表示，点表示， 故答案为：，； ③由题意可得：点表示的数为， 设秒后，电子蚂蚁到，的距离和是到点的距离的倍， 当电子蚂蚁在点左侧时， ， 解得： ； 当电子蚂蚁在之间时， ， 解得： ； 当电子蚂蚁在点右侧时， ， 解得：， 综上：秒或秒或秒后，电子蚂蚁到，的距离和是到点的距离的倍． 【变式题14-1】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）在数轴上有两个边长相同的正方形，已知正方形的顶点分别对应，，正方形的顶点分别对应6，7，现在正方形以每秒个单位长度的速度向右移动，正方形同时以每秒1个单位长度的速度也向右移动，设运动时间为t (秒)． (1)如图1，当正方形恰好追上正方形(即边与重合)时， 秒； (2)如图2，在移动过程中，当两个正方形重合部分的面积(阴影面积)与空白部分的面积之比为时，求此时t的值．请根据题意，列出方程；（只要求列出方程） (3)如图3，取正方形的边的中点，点为原点，点对应10，若在正方形向右移动的某一个时间段内，始终有的和为定值，求出这个定值，并写出此时t的取值范围． (4)如图4，正方形的边长为1，顶点与数轴上表示的点重合，现在改变正方形运动方式，让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上表示2025的点将与正方形的哪个顶点重合？说明理由． 【答案】(1)30 (2)方程为或； (3)的定值为，此时t的取值范围是； (4)数轴上的数2025将与正方形上的点重合． 【分析】本题考查数轴上两点间距离，整式规律问题等．也考查了实数与数轴，一元一次方程的应用（行程问题），根据点的运动路程确定其对应的数是解题关键． （1）t秒后，点，分别对应，，点，分别对应，，根据题意当正方形恰好追上正方形时，点与点刚好重合，据此列式计算即可求解； （2）根据两个正方形重合部分的面积（阴影面积）与空白部分面积的和之比为，得出重合部分边长为，再分正方形在后和在面两种情况求出t，进而求出点B对应的数； （3）求得点对应，得到，再分类讨论即可解答； （4）根据题意先计算出点到数2025间距离为2035，再根据正方形图形可知每转动一周经过数轴上4个单位长度，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：根据题意，t秒后，点，分别对应，，点，分别对应，， 当正方形恰好追上正方形时，点与点刚好重合， ∴，解得； 故答案为：30； （2）解：因为两个正方形重合部分的面积（阴影面积）与空白部分面积之比为，而两块空白部分面积相等，所以阴影面积与每一块空白面积相等； 故此时重合部分边长为， 当正方形在后时，点B在点前个单位，则有：； 当正方形在前时，点B在点前个单位，则有：； 综上，方程为或； （3）解：根据题意，点对应， 则，， ∴， 当时，，不是定值； 当时，，也不是定值； 当时，，是定值； ∴的定值为，此时t的取值范围是； （4）解：∵顶点A与数轴上的数所对应的点重合， ∴数轴上的数2025距离点A长度为：， ∵正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母， ∴正方形图形每转动一周经过数轴上4个单位长度， ∴， ∴数轴上的数2025将与正方形上的点重合． 【变式题14-2】．（25-26七年级上·全国·单元测试）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换． (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是__________． A． B． C． D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是__________． (2)翻折变换 ①折叠纸条，若表示的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示__________的点重合； ②如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 【答案】(1)①D；②1012 (2)①，② 【分析】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠与平移，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键． （1）①以原点为标准，向左移动为负数，向右移动为正数，即可得出答案；②根据前边几次跳动得出规律计算可得； （2）①根据表示的点与表示3的点重合，可得出翻折的点在1处，根据此规律即可求出答案；②根据折痕处的点为对折后重合两端点的中点，由中点到两端点的距离相等可计算求解；③通过来推出对应的数，再结合翻折点的规律即可求出答案． 【详解】（1）解：①根据移动过程可得：， 故选：D． ②如果向左为“”，向右为“”， 机器人跳动过程可以用算式表示为：， 当机器人跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是； 故答案为：； （2）解：①∵表示的点与表示3的点重合， ∴折痕处的点表示的数为， 设表示2024的点与表示x的点重合，则， 解得：， ∴表示2024的点与表示重合； 故答案为：； ②根据题意可知点表示的数为， ∵点A、表示的数分别是、10，点C为折点， ∴点C表示的数：． 【变式题14-3】．（25-26七年级上·北京·阶段练习）在数轴上有一个机器人和一个探测器： 机器人从原点出发，以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动1秒到达表示数1的点，再折返以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动1秒到达表示数-1的点，再折返以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动 1秒到达表示数2的点， … … ，依此类推； 在机器人出发的同时，探测器从表示数-2的点出发，以1个单位长度/秒的速度向右匀速 运动． 当机器人在与探测器距离小于5个单位长度时，会被探测器观测到． 设机器人从原点出发运动了t秒 (1)当0<t<2时，若机器人与探测器所在位置到原点距离相等，则t的值为 ； (2)在运动的过程中，探测器第一次观测不到机器人的位置时，t的值为 ； (3)从t为何值时起，探测器将不再能观测到机器人的位置． 【答案】(1)1 或 (2) (3) 【分析】本题考查“数轴上的点的移动”“一元一次方程的应用（动点问题）”的知识点，理解机器人的运动规律，推理出探测器在什么状态下观测不到机器人的位置，并根据机器人的运动规律判断出此时机器人的运动状态是解题关键． （1）由，判断出机器人有两个运动状态，分两种情况，表示出机器人在数轴上表示的数，列方程求解即可． （2）先观察机器人的运动规律：1，-1，2，-2，...，可知，当t为奇数时，机器人表示的数为；当t为偶数时，机器人表示的数为，根据运动状态常识判断，探测器第一次观测不到机器人位置时，探测器与机器人最左端的位置之间的距离应该大于5，从而确定机器人的运动时间的范围，再表示出机器人在数轴上表示的数，列方程求解即可． （3）根据运动状态常识判断，探测器开始不再能观测不到机器人位置时，探测器与机器人最右端的位置之间的距离应该大于等于5，从而确定机器人的运动时间的范围，再表示出机器人在数轴上表示的数，列方程求解即可． 【详解】（1）由题意可知，当时，机器人到达表示数1的点，发生第一次折返；当时，机器人到达表示数-1的点，发生第二次折返． 所以当时，机器人只折返一次，分两种情况： 第一种：机器人折返前，即此时机器人在数轴上表示的数为t，探测器在数轴上表示的数为． 由题意，得． 解得． 第二种：机器人折返后，即，此时机器人在数轴上表示的数为，探测器在数轴上表示的数为． 由题意，得． 解得（舍去），或． 故答案为：1或． （2）观察机器人的运动规律：1，，2，，...，可知，当t为奇数时，机器人表示的数为；当t为偶数时，机器人表示的数为，机器人在时的运动速度为． 因为当时，机器人的速度始终大于探测器的速度， 所以当探测器第一次观测不到机器人的位置时，机器人的运动方向向左． （因为若机器人的运动方向与探测器相同，机器人的速度又比探测器快，无论机器人在探测器的左侧还是右侧，必存在更早的时刻使得机器人与探测器之间的距离等于5．） 假设当t在某个偶数时刻，机器人与探测器之间的距离恰好为5，令，解得． 所以第一次相遇时，． 因为当探测器第一次观测不到机器人的位置时，机器人的运动方向向左， 所以，机器人的运动速度为6 个单位长度/秒． 所以此时机器人在数轴上表示的数为． 令，解得． 故答案为：． （3）同（2）理，若探测器在某时刻后不再能观测到机器人的位置，则该时刻机器人的运动方向向左． 因为机器人在数轴上最右端的位置，每两秒向右移动1个单位长度，探测器在数轴上每一秒向右移动1个单位长度， 所以为保证探测器不再能观测到机器人的位置，探测器所在位置应始终与机器人在t为奇数时的位置相距在5个单位长度以上． 假设当t在某个奇数时刻，机器人与探测器之间的距离恰好为5（探测器在机器人右方），令，解得． 该时刻恰好为奇数，满足假设． 故答案为：． 【题型15】折线数轴上的动点运动问题 1.题型考点总结 -核心考查折线分段特征，需结合折点（如原点、特定点)划分运动路段。 -重点是分段速度切换(不同路段速度不同，如段减速、段加速)的坐标表示。 -涉及分段方程建模，求解相遇时间、运动总时长、特定距离对应的值。 -检验解的路段匹配性，确保对应的运动阶段与速度、坐标表达式一致。 2.解题攻略 -第一步：明确折线的折点坐标(如、、)及各路段的速度参数(初始速度、变速后速度等)。 -第二步：计算各路段的长度，求出每段运动的时间节点(如的时间、的时间)，划分的取值范围。 -第三步：按的范围分段表示动点坐标，如时；时(为前一段终点坐标)。 -第四步：根据题干条件(相遇、路程和/差定值、特定坐标)，针对对应路段列一元一次方程。 -第五步：求解后验证是否在对应路段的时间范围内，舍去超出范围的无效解。 【例题15】．（25-26七年级上·山东济南·期中）已知，且a、b、c满足所对应的点分别为A、B、C． (1)则__________，__________． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．设运动时间为秒，请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段三段距离的和称为A、C两点间的路程，动点从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点从点出发的同时，点从点出发，以1个单位长度／秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度／秒的速度运动．当点到达点时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为10个单位．求出此时的值． 【答案】(1)10，18 (2)的值不会随着时间的变化而改变，为 (3)当时，、两点在“折线数轴”上的路程为 10个单位 【分析】（1）根据非负数的性质即可求得、； （2）根据数轴表示数的意义，用含有的代数式表示，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （3）设点运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，设点运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：已知， ， ， 故答案为： 10，18 ； （2）解：由（1）可知，， 设运动时间为秒， 则， ， ∴的值不会随着时间的变化而改变，为； （3）解：由（1）可知，， ， 设点运动的路程为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 设点运动的路程为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， ∵、两点在“折线数轴”上的路程为 10个单位， 即， 情况1：， ， ， 则或， 解得：，舍去； 情况， ， ， 则或， 解得：（符合），（舍去）； 情况3：， ， ， 即或， 解得（舍去），（舍去）， 情况4：， ， ， 即或， 解得（舍去），（符合）， 综上，当时，、两点在“折线数轴”上的路程为 10个单位． 【点睛】本题综合考查了两点之间的距离，非负数的性质，数轴，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． 【变式题15-1】．（2025·江苏·二模）数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为 ；当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离 （用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离 （用含有t的代数式表示）； 时，M、N两点相遇； (2)当M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等时，求t的值． 【答案】(1)19；；； (2)或 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值、一元一次方程的应用等知识点，用含t的代数式表示点运动后所表示的数及分类讨论是解题的关键． （1）当秒时，点M表示的数是，点N表示的数是15，即可表示出M、N两点在折线数轴上的和谐距离；由题意知，时，点M、N都在折线段上运动，点M表示的数为，点N表示的数为，进而可得出答案． （2）分，和，再分别根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，点M表示的数是，点N表示的数是15， ∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离为． 由题意可知，4秒时点M运动到点O，点N运动到点C，12秒时点N运动到点O， ∴当时，点M、N都在折线段上运动， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴O，M两点间的和谐距离， C，N两点间的和谐距离． ∵M，N相遇时，两点表示的数相同， ∴，解得：． 故答案为：19；；；． （2）解：由（1）知，时点M运动到点O，点N运动到点C， ∴当时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等； 当，即点M在折线段上运动时， ∴|，解得：或， 当时，点M从点C向点D运动，速度为2个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等， 综上所述，或． 【变式题15-2】．（24-25七年级上·河南·阶段练习）如图，将一条数轴在点B，点C，点D，点E处各折一下，得到“折线数轴”．图中点A 表示的数为，点B 表示的数为，点 C表示的数为，点D 表示的数为0，点E 表示的数为8，点F表示的数为12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，同时，动点Q从点F出发以每秒4个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向移动，两个点上坡时的速度均是各自初始速度的一半，下坡时的速度均是各自初始速度的2倍，水平位置则保持初始速度不变． (1)动点P从点A运动到点F需要多少秒？ (2)P，Q两点在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？ 【答案】(1)20秒 (2) 【分析】本题主要考查数轴，有理数的运算，一元一次方程的应用，解题关键是读懂题意． （1）分别求出动点P在每一段上运动的时间，再求和即可． （2）先求出点Q从点F运动到点C，点P从点A运动到点B所用时间，可得到P、Q的相遇点M在段，设P、Q相遇时用时x秒，根据题意，列出方程，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，动点P在段的速度均为2个单位长度/秒，在段的速度为1个单位长度/秒，在段的速度为4个单位长度/秒，， 所以动点P从点A运动至点F需要的时间为（秒） （2）点Q从点F运动到点C用时为（秒）， 点P从点A运动到点B用时（秒）， 当时，点P在上，且距离点C：个单位长度， 所以P、Q的相遇点M在段， 设P、Q相遇时用时x秒， ， 解得：， 则点M所对应的数为． 【变式题15-3】．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图1，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，b满足，点C到原点O的距离与点A到原点O的距离相等，点A，B之间的距离记为． (1)直接写出a，b，c的值； (2)点P从点A出发，沿着数轴负方向匀速运动，同时，点Q从点C出发，沿数轴负方向匀速运动，点Р和点Q的速度分别为4个单位长度/秒和个单位长度/秒．设点P运动的时间为t秒． ①t秒时，点P表示的数为______，点B，P之间的距离为_________； ②当点Q追上点P之后，的值与t的值无关，求m的值． (3)点G在数轴上，，将数轴在点O，G，B各折一下，得到如图2的“折线数轴”．点M从点A出发沿着“折线数轴”运动至点C，同时点N从点C出发沿着“折线数轴”向点A运动，点M，N的初始速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，两点运动到折线时速度才会发生变化，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍，离开折线OGB后速度恢复为初始速度．当点M和点N相遇时，直接写出此时点M表示的数． 【答案】(1)；16；20 (2)①；；② (3) 【分析】（1）利用非负数的性质和数轴上的点的特征解答即可； （2）①根据移动的方向在原数上减运动的距离即可； ②计算的值，合并后利用t的系数为0，解方程即可得出结论； （3）根据题意求得相遇的时间，求得线段长度，再利用数轴上的点的特征解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ∵点C到原点O的距离与点A到原点O的距离相等，点C在数轴的正半轴上， ∴． （2）①∵点P从点A出发，沿着数轴负方向匀速运动，速度为4个单位长度/秒， ∴t秒时，点P表示的数为， 点B，P之间的距离为． 故答案为：；； ②点Q从点C出发，沿数轴负方向匀速运动，点Q表示的数为， 当点Q追上点P之后，，， ∴ ， ∵的值与t的值无关， ∴， ∴． ∴m的值为秒时，当点Q追上点P之后，的值与t的值无关． （3）解：点G在数轴上，， ∴， ∴点G对应的数为8． ∵点M从点A出发沿着“折线数轴”运动，初始速度为4个单位长度/秒，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍， ∴点M运动到点O用时为5（秒），点M从点O到点G用时4（秒）， ∵点N从点C出发沿着“折线数轴”向点A运动，初始速度为2个单位长度/秒，上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍， ∴点N运动到点B用时为2（秒），点N从点B到点G用时8（秒）， ∴当点M到达点G时，点N在BG上，没有到达点G，此时M，N在BG上相距1个单位长度， ∴点M和点N相遇用时（秒）， ∴， ∴点M表示的数为8． 【点睛】本题考查了数轴，非负数的性质，一元一次方程的应用，利用数轴上的数字表示出相应线段的长度是解题的关键． 同步练习 一、解答题 1．（25-26七年级上·北京·期中）如图，数轴上点表示的有理数为－4，点表示的有理数为6，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上由点到点的方向运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点停止运动，设运动时间为秒． (1)当时，点表示的有理数是______，当点与点4重合时，的值是______； (2)①在点由点到点的运动过程中，表示的有理数是______（用含的代数式表示）； ②在点由点到点的运动过程中，点表示的有理数是______（用含的代数式表示）； (3)若点从点出发的同时，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上由点到点的方向运动，当为何值时，点与点的距离是2个单位长度． 【答案】(1)2，4或6 (2)①；② (3)或8或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据点P表示的有理数，即可得出结论；由点P与点4重合，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t值； （2）①由点P的出发点、运动时间及运动速度，可用含t的代数式表示出点P表示的有理数；②由点P的出发点、运动时间及运动速度，可用含t的代数式表示出点P表示的有理数； （3）分及两种情况，找出点P和点Q表示的数，结合，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：（1）． 所以当时，点P表示的有理数为2． 在未到达点B前，当点P与点4重合时，时间为秒， 在到达点B后，当点P与点4重合时，时间为秒， 所以的值是4或6． 故答案为：2，4或6； （2）解：①点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动， ∴点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数是， 故答案为：； ②点P由点B到点A的运动过程中，点P表示的有理数是； 故答案为：； （3）解：当时，点P表示的有理数是，点Q表示的数是， ∴， 解得：或； 当时，点P表示的有理数是，点Q表示的数是， ∴， 解得：或（舍）． 答：当点P与点Q的距离是2个单位长度时，t的值是或8或． 2．（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）如图所示，点在数轴上对应的数分别为，其中a是最大的负整数，满足，且． (1) ； ； ； ；线段 ； (2)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C 以每秒5个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当两点之间的距离为11个单位长度时，求运动时间t的值． 【答案】(1)；9；12；15；3 (2)t的值为12或1 【分析】本题考查了非负数的性质、数轴上两点的距离、一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意以及非负数的性质可求出，用点C表示的数减去点B表示的数求出的长，再结合求出的值，即可解答； （2）运动t秒后点A表示的数为，点C表示的数为，根据两点之间的距离为11个单位长度列式求解即可． 【详解】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；9；12；15；3； （2）解：由题意得：运动t秒后点A表示的数为，点C表示的数为， ∵A、C两点之间的距离为11个单位长度， ∴， ∴或， 解得或， ∴t的值为12或1． 3．（25-26七年级上·北京·期中）如图，在数轴上，点和点表示的数分别为和2，点为数轴上一点，定义点关于AB的特征值为． (1)当点表示的数为3时，__________； (2)若，求点表示的数； (3)M、N为数轴上两个动点，点表示的数为，点表示的数为．点为线段上一点，当点在线段上运动时，的最大值记为．直接写出运动过程中的最小值以及此时的值． 【答案】(1) (2)点表示的数为或 (3)的最小值为，此时 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的几何应用． （1）求出，，，进而代入计算即可； （2）求出，分两种情况作答即可； （3）由题意可知取得最大值时取得最大值，则P在线段外且位于线段上离线段较远的端点，根据取最小值，求出，进而求出此时的最大值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：∵点和点表示的数分别为和2， ∴， ∵点表示的数为3， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 设点表示的数为x， 当P在A左侧时，，解得：； 当P在B右侧时，，解得：； ∴点表示的数为或； （3）解：点为线段上一点，当点在线段上运动时，的最大值记为， ∵恒定， ∴取得最大值时取得最大值， ∵， ∴此时P在线段外且位于线段上离线段较远的端点． ∵取最小值， ∴当， 即， 解得：， 此时的最大值， ∴最小值． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知，点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．如数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是．假设在一条东西方向的数轴上，点和点分别表示数和8．两只电子蚂蚁甲和乙分别从两点同时出发，沿着数轴爬行，蚂蚁甲从点出发，以每秒3个单位长度的速度向正方向东爬行；蚂蚁乙从点出发，以每秒2个单位长度的速度向负方向西爬行．点表示数轴上的原点．设两只蚂蚁运动的时间为． 请回答下列问题： 【初始位置与距离】 （1）当时，点到点的距离是_________个单位长度，点到点的距离是_________个单位长度． 【位置表示与化简】 （1）运动秒后，两只蚂蚁之间的距离（用含的代数式表示）是_________； （2）化简你在（1）中得到的代数式． 【相遇与终点】 （1）请求出两只蚂蚁在运动过程中相遇的时间和相遇点在数轴上表示的数； （2）在相遇后，两只蚂蚁继续按原速度和方向爬行，请问当蚂蚁甲爬到点时，蚂蚁乙在数轴上表示的数是多少？ 【答案】[初始位置与距离]（1）10，8； [位置表示与化简]（1）；（2）见解析 [相遇与终点]（1）相遇时间为3.6秒，相遇点在数轴上表示的数是0.8；（2） 【分析】本题考查两点间的距离，列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： 【初始位置与距离】（1）根据两点间的距离即可得出结果； 【位置表示与化简】（1）求出运动后两只蚂蚁的位置，根据两点间距离公式列出代数式即可； （2）令，求得（秒），分2种情况化简绝对值即可； 【相遇与终点】（1）设相遇时间为秒，此时距离为0，列出方程进行求解，进而求出相遇点表示的数即可； （2）求出蚂蚁甲从相遇点爬到点所需时间，进而求出蚂蚁乙爬行的距离，进行求解即可； 【详解】解：【初始位置与距离】（1）由题意，点到点的距离是10个单位长度，点到点的距离是8个单位长度； 【位置表示与化简】（1）运动秒后，蚂蚁甲位置为，蚂蚁乙位置为， 距离为； （2）令，解得（秒）． 当时，，则． 当时，，则． 【相遇与终点】（1）设相遇时间为秒，此时距离为0． ，即，解得（秒），相遇点在数轴上表示的数为， 答：相遇时间为3.6秒，相遇点在数轴上表示的数是0.8． （2）相遇点到点的距离为， 蚂蚁甲从相遇点爬到点所需时间为（秒）， 在这2.4秒内，蚂蚁乙继续以每秒2个单位长度的速度向西爬行（负方向）， 蚂蚁乙爬行的距离为， 蚂蚁乙最终位置：从相遇点向西爬行4.8，即． 答：当蚂蚁甲爬到点时，蚂蚁乙在数轴上表示的数是． 5．（25-26七年级上·山东临沂·期中）【问题背景】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，两点之间的距离表示为或，记为．例如，在数轴上，表示-4和-2的点的距离为． 【问题解决】 （1）数轴上表示3和的两点之间的距离是______； （2）数轴上有理数与对应的两点之间的距离用绝对值符号可以表示为______； （3）若数轴上有理数与1对应的两点之间的距离，则等于______； 【联系拓广】 （4）如图2，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为，若点在点两点之间，则______；若，则点表示的数为______； （5）对于任何有理数，是否有最小值？如果有，请写出最小值并说明理由． 【答案】（1）8（2）（3）或7；（4）6，或6；（5）有，最小值是10．理由：表示的是一个数到和6的距离的和，而和6的距离为10，所以最小距离就是10． 【分析】本题主要考查了列代数式，数轴，绝对值，正确列出含绝对值的代数式是基础，通过分类讨论去掉绝对值符号是解答本题的关键． （1）根据数轴上A、B两点之间的距离，代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离； （2）根据数轴上两点之间的距离代入值运用绝对值化简即可求得； （3）根据数轴上两点之间的距离列出等式，结合绝对值计算即可； （4）根据数轴上两点之间的距离判断出为的距离，再结合已知值和最小值分别求解即可； （5）根据x是动点，结合绝对值的意义和（3）最小值的取值可能，即可知由最小值且位于和6之间． 【详解】解：（1）数轴上表示3和的两点之间的距离等于； （2）数轴上有理数x与对应的两点之间的距离用含x的式子表示为； （3）若数轴上有理数x与1对应的两点A，B之间的距离，则， ∴或； （4）∵P在点M，N之间，且点M表示的数为4，点N表示的数为， ∴ ∵， ∴点在线段外， 当P在N左边，即，， 解得，； 当P在M点右边时，即，， 解得，； ∴点表示的数为或6； （5）表示的是一个数到和6的距离的和，而和6的距离为10，所以当x位于和6时，取得最小距离就是10． 6．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）【概念学习】 1．阅读绝对值拓展材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，在数轴上A，B两点之间的距离，例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，则表示x与两点间的距离． 2．定义：点A，B，M为数轴上的任意三点（点M不与A，B重合），若点M到点A的距离是点M到点B的距离的x倍，则称点M是的“x值点”，记作：．例如，点M表示的数为1，点A表示的数为，点B表示的数为3，此时，，，则点M是的“2值点”，记作：． 【初步认知】 （1）如图，点A，点B表示的数分别是和6； ①已知如图，两点的距离为 ，数轴上任意一点C表示的数为x，则两点的距离可以表示为 ． ②若点D，E表示的数分别是，3，则这两个点中是的“2值点”的点是 ； 【深入思考】 （2）在数轴上，点F表示的数为，点G表示的数为10，从某时刻开始，若点P从原点O出发向右在数轴上做匀速直线运动，且点P的速度为1单位/秒，设运动时间为t秒，当时，求出t的值； 【答案】（1）①9，；②E；（2）或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离、动点问题，根据新定义列出方程，认真理解新定义是解题的关键． （1）①由两点之间的距离公式求解即可； ②求出两点之间距离，根据题中新定义再判断即可； （2）由题意得出，，根据，得出，列出方程或，求解即可． 【详解】解：（1）①∵点，点表示的数分别是和6， ∴两点的距离为， ∵数轴上任意一点C表示的数为x， ∴两点的距离可以表示为， 故答案为：9，； ②∵点，表示的数分别是，3， ∴，，，故点不是的“2值点”， ，，，故点是的“2值点”； 故答案为：； （2）由题意，，， ∵， ∴， ∴， 即或， 解得：或． 7．（25-26七年级上·吉林·期中）如图，在数轴上有、两点，点在点左侧，与点相距个单位长度．已知点表示的数为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点运动的时间为秒． (1)直接写出点表示的数； (2)在点运动的过程中，用含的代数式表示点表示的数； (3)当时，数轴上有一点，沿着点折叠数轴，点与点刚好重合，求点表示的数； (4)当点运动到点时，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点与点相距个单位长度时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)或. 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、列代数式、一元一次方程．解决本题的关键是根据数轴上的点运动的方向和速度列代数式表示出点代表的数． 根据点在点左侧与点相距个单位长度，点表示的数为，求出点表示的数； 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，可知点表示的数是； 把代入代数式求值，再根据点是点与点的中点求值即可； 因为点与点相距个单位长度，分点在点右侧和点在点左侧两种情况求解． 【详解】（1）解：点在点左侧与点相距个单位长度，点表示的数为， 点表示的数为； （2）解：动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动， 点表示的数是； （3）解：当时，点表示的数是， 沿点折叠数轴，点与点刚好重合， 点表示的数是； （4）解：点运动到点需要秒， 当运动秒时，点表示的数是，点表示的数是， 点与点相距个单位长度， 或， 解得：或， 当或时，点与点相距个单位长度． 8．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）数轴上有两点，，点对应的数为20，点对应的数为60． (1)请写出与、两点距离相等的点所对应的数________； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以每秒3个单位的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，你知道点对应的数是多少吗？ (3)在（2）的条件下，当到达点后，立即原速返回至点结束运动；当到达点后，立即原速返回至点结束运动．请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 【答案】(1) (2)36 (3)4秒或12秒或20秒或30秒 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据题意可得点M为的中点，据此根据中点计算公式求解即可； （2）设运动t秒后两只电子蚂蚁相遇，根据相遇时两只蚂蚁所在位置相同建立方程求解即可； （3）可求出点P从点B运动到点A需要秒，点Q从点A运动到点B需要20秒；设运动时间为t秒，可分当秒时，当时，当时和当时这几种情况，分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点M到点A和点B的距离相等， ∴点M为的中点， ∴点M对应的数为； （2）解：设运动t秒后两只电子蚂蚁相遇， 由题意得，， 解得， ∴， ∴点C所对应的数为36 （3）解：∵秒，秒， ∴点P从点B运动到点A需要秒，点Q从点A运动到点B需要20秒； 设运动时间为t秒， 当秒时， 若两只蚂蚁没有相遇，则， 解得； 若两只蚂蚁相遇后，则， 解得； 当时，则， 解得； 当时， 若两只蚂蚁没有相遇，则， 解得（舍去）； 若两只蚂蚁相遇后，则， 解得（舍去）； 当时，则， 解得； 综上所述，当它们运动4秒或12秒或20秒或30秒时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度． 9．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，且，满足． (1)_______，_______； (2)有一个玩具火车如图1所示放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为． ①玩具火车的长为_______个单位长度； ②将玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，直接写出此时点所表示的数：_______； ③当玩具火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点和点从、出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，记火车运动后对应的位置为，运动时间为秒，是否存在常数使得：的值与运动时间无关？若存在，请求出和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；5 (2)①4；②或；③存在常数使得的值与它们的运动时间无关，，这个定值是24 【分析】（1）由绝对值，偶次方的非负性可得答案； （2）①求出，根据当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为，知，即玩具火车的长为3个单位长度； ②设表示的数为，则表示的数为，可得，即可解得答案； ③求出表示的数为，表示的数，根据已知可得，，故，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ； 故答案为；5； （2）解：①由（1）可知：， ∵当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为， ， ∴玩具火车的长为4个单位长度； 故答案为：4； ②设表示的数为，则表示的数为， ，， ∵， ， 解得或； 表示的数为或； 故答案为或； （3）存在常数使得的值与它们的运动时间无关，理由如下： 由（2）①知表示的数为，表示的数， ∵火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，运动后对应的位置为， 表示的数为，表示的数为， ∵点和点从、出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动， 表示的数为，表示的数为， ，， ∴， 若的值与它们的运动时间无关，则， 解得， 此时， ∴存在常数使得的值与它们的运动时间无关，，这个定值是24． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题、整式的加减及一元一次方程的应用，解题的关键是用含的代数式表示相关点所表示的数． 10．（25-26七年级上·江西南昌·期中）如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、，其中、满足，点到原点距离是点到原点距离的2倍． (1)填空：______，______，______； (2)如图1，若点、、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为． ①为何值时，？ ②若的值始终保持不变，求的值； (3)如图2，将数轴在原点，点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，请直接写出点表示的数． 【答案】(1)，，； (2)①14；②6； (3)8 【分析】本题考查了一元一次方程，数轴上的动点问题，如何表示线段的长度，绝对值的非负性，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程，分类讨论，还需注意运动过程中速度的变化． （1）根据平方和绝对值的非负性，得到，，再根据数轴上两点之间的距离，得到点到原点距离是，进而得到； （2）①由题意可知，经过秒后，点、、在数轴上对应的数分别是、、，从而得到，，根据“”列方程即可得解 ②由题意可知，，当点在点左侧时，，当点在点右侧时，，对进行化简整理，再根据的系数为0，即可求出的值； （3）设运动时间为秒，分别表示出点、表示的数，若、两点在点处相遇，则点、表示的数相同，据此列方程，确定满足条件的值，即可得到点表示的数． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， 点到原点距离是， 点到原点距离是点到原点距离的2倍， 点到原点距离是， 由数轴可知，点在原点右侧， ， 故答案为：，，； （2）解：①由题意可知，经过秒后，点、、在数轴上对应的数分别是、、， 点在数轴上对应的数是， ，， ， ， 解得：； ②由题意可知，点一直在点左侧，则， 当点在点左侧时，此时， ， 的值始终保持不变， ， 解得：（不符合题意，舍）； 当点在点右侧时，此时， ， 的值始终保持不变， ， 解得：， 综上可知，的值为6； （3）解：由题意可知，，，，， 设运动时间为秒，则点表示的数为， 当时，点在上时，表示的数为， 当时，点在上时，表示的数为， 当时，点在上时，表示的数为， 当时，点在上时，表示的数为， ①当点在上时，则，解得：， 此时点、均不在上，不符合题意； ②当点在上时，则，解得：， 此时点、均在上，符合题意，此时点表示的数为； ③当点在上时，则，解得：， 此时点、均在上，符合题意，此时点表示的数为； ④当点在上时，则，解得：， 此时点、均不在上，不符合题意； 综上可知，点表示的数为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元一次方程解决动点问题 【题型1】单动点匀速运动 1.题型考点总结 -考查数轴上动点坐标的表示（向右运动：；向左运动：，其中为初始坐标，为速度，为运动时间)。 -核心是利用两点间距离公式()建立一元一次方程。 -检验解的实际意义(运动时间)。 2.解题攻略 -设运动时间为秒，用含的代数式表示动点对应的数。 -根据“到达某点”“距离为定值”等条件列方程。 -求解后验证是否符合运动范围，舍去无效解。 【例题1】．（25-26七年级上·吉林长春·月考）数轴上的点对应的数是，一只蚂蚁从点出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度爬行，当它到达数轴上的点后，立即原路原速返回点，共用去11秒，点对应的数是 ． 【变式题1-1】．（25-26七年级上·天津和平·期中）一水平放置的数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为6．一点从点出发以每秒2个单位速度沿数轴向右运动，到达点后立即返回，之后便沿数轴一直向左运动．设运动时间为秒，当 时，点到点的距离为8． 【变式题1-2】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知、分别是数轴上的两点，点表示的数为，点表示的数为80，点为数轴上一动点，点到点和点的距离之和为120，则点表示的数为 ． 【变式题1-3】．（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）． (1)当时，点P表示的有理数为_______． (2)当点P与点B重合时t的值为_______． (3)在点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数为______．（用含t的代数式表示） (4)当点P表示的有理数与原点距离是2个单位长度时，t的值为_______． 【题型2】双动点相遇问题 1.题型考点总结 -重点考查路程关系与方程建模，分相向而行和同向而行两种场景。 -涉及数形结合思想，需通过数轴分析初始距离与运动路程的关系。 2.解题攻略 -分别表示两动点的坐标(含)：，，明确初始距离。 -相向而行：路程和=初始距离，列方程。 -同向而行：路程差=初始距离，列方程。 【变式题2-1】．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足． (1) ， ， ． (2)动点、同时从原点出发，点向负半轴运动，点向正半轴运动，点的速度是点速度的3倍，2秒钟后，点到达点． ①点的速度是每秒 个单位，此时，点与之间的距离为 ； ②若运动时间为秒，用含的代数式表示点表示的数为 ； ③点到达点后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，再经过几秒，点与点能相遇？ 【变式题2-2】．（25-26七年级上·吉林白山·期中）如图，已知在数轴上有、两点，分别代表、20．两只电子蚂蚁甲、乙分别从、两点同时出发，甲沿数轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，当甲到达点处时运动停止，乙沿数轴负方向以每秒4个单位长度的速度运动．设运动时间为（秒）． (1)在运动过程中甲表示的数为________，乙表示的数为_______（用含的代数式表示）； (2)求甲、乙相遇时在数轴上表示的数； (3)当甲、乙相距10个单位长度时，求的值； (4)若乙到达点后立刻返回并保持原速度不变，则在乙返回点的过程中，甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，直接写出相遇点表示的数；若不能，请说明理由． 【变式题2-2】．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，数轴上点为原点，点表示，点表示，点表示8．动点，同时出发，点从点出发，沿数轴正方向运动至点，出发时速度为每秒1个单位长度，到点后速度变为原来的2倍；点从点出发，沿数轴负方向运动至点，出发时速度为每秒2个单位长度，到点后速度变为原来的一半．设运动时间为秒． (1)点从点运动至点时，的值为___________秒； (2)当秒时，点在数轴上表示的数是___________；当点在线段上运动时，它在数轴上表示的数是___________；（用含的代数式表示，无需写出的取值范围） (3)当两点相遇时，相遇点所表示的数是___________； (4)当线段与的长度相等时，的值为___________． 【变式题2-3】．（25-26七年级上·山东德州·阶段练习）如图，已知数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，4．点A到点C的距离可以用表示，且． (1)应用： ， ； (2)拓展：若点A沿数轴向右以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒时点A表示的数是 ，此时， ；（用含t的式子表示）； (3)探究：现有一只蚂蚁P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时另一只蚂蚁Q恰好从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左移动，设两只蚂蚁在数轴上某点相遇，求两只蚂蚁在数轴上相遇时所用的时间． 【题型3】动点与中点问题 1.题型考点总结 -核心是数轴中点公式(若是、中点，则)。 -考查动点运动中中点坐标的动态表示与方程建立。 2.解题攻略 -用含的代数式表示动点及定点的坐标：，、为定点坐标。 -根据中点关系列出等式，转化为一元一次方程。 -注意多动点运动时，中点对应的线段是否变化，需分类讨论。 【例题3】．（25-26七年级上·重庆·期中）如图，有理数，，在数轴上对应的点分别为，，，其中，，，现在点，，分别以每秒4个，3个，2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，记运动时间为秒． (1)当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数是_____；（用含的式子表示） (2)当，，三点中恰好有一点为另外两点的中点时，求出的值； (3)是否存在常数，使得的值在一定时间范围内不随的改变而改变？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【变式题3-1】．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度． (1)填空： ______， ______； (2)求几秒后，，之间相距个单位长度； (3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在，请说明理由． 【变式题3-2】．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．在数轴上有三点，分别表示有理数，其中满足．已知线段的中点表示的数可以记作之间的距离为．    (1)_____；_____；_____． (2)结合数轴与题目中两点距离公式，计算当取最小值时，可以取的所有整数的和为_____；的最大值为_____． (3)数轴上存在一点在点左侧，与的距离为线段长度的5倍，则点表示的数为_____． (4)有一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为秒，的中点为，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式题3-3】．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，研究数轴我们发现了一些重要规律如下：①若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离为，线段的中点表示的数为；②若在数轴上一个点表示的数为，则向左移动个单位后表示的数为，向右移动个单位后所表示的数为． 【理解运用】 如图，在数轴上，点表示的数为，将点向右移动个单位得到点，点为线段的中点． (1)填空： ①点表示的数为 ； ②点表示的数为 ； ③，两点间的距离为 ． (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动、同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动、 ①点运动 秒时，点与点之间的距离为个单位长度； ②点运动 秒时，，两点间的距离为个单位长度： ③点运动 秒时，线段的中点与点距离为个单位长度． 【题型4】动点背景下线段数量关系为定值问题 1.题型考点总结 -考查动态线段的代数式表示，需用含运动时间的式子表示相关线段长度。 -核心是通过化简线段数量关系，消去参数，验证结果为定值。 -侧重代数运算与逻辑验证，确保化简过程符合数轴距离公式()。 2.解题攻略 -设动点运动时间为，用表示动点及相关定点的坐标(如)。 -根据距离公式写出各线段表达式(如，)。 -代入题干数量关系(如)，去绝对值并化简，消去得到定值。 -验证化简结果是否与无关，确认符合数轴运动的实际范围。 【例题4】．（25-26七年级上·福建泉州·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且c是最大的负整数，且a、b满足． (1) ， ， ； (2)若A、B、C为数轴上的动点，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C以分别每秒2个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒，设点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为． ①若，求t的值？ ②是否存在常数k使得的值是个定值？如果存在，请求出常数k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【变式题4-1】．（25-26七年级上·广东广州·期中）【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，若已知，则．如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是，A到C的距离可以用表示，计算方法：或． （1）填空：_______，_______． 【构建联系】（2）现有动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右移动，同时点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒． ①填空：运动过程中点P表示的数是_______，点Q表示的数是_______；（用含t的代数式表示） ②求运动多少秒时，P、Q两点间的距离？ 【深入探究】（3）若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、C两点之间的线段上，且的值始终是一个定值，求D点运动的方向及m的值． 【变式题4-2】．（25-26七年级上·广东广州·期中）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． (1)在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，求的中点所对应的数． (2)在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ (3)在（2）的条件下，若是中点，为最靠近的三等分点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值． 【变式题4-3】．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图①，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点与点之间的距离记为，我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题： 如图②，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数，且，满足与互为相反数． (1)________，_____． (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合； (3)点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后． ①请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； ②探究：若点，向右运动，点向左运动，速度均保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【题型5】动点与线段和差倍分问题 1.题型考点总结 -考查线段长度的倍数关系(如)、和差关系(如)。 -核心是将线段关系转化为坐标的数量关系，建立方程。 2.解题攻略 -用含的代数式表示相关线段长度：，。 -根据题干中的和差倍分条件列方程(如)。 -解方程后，检验动点是否在线段上或延长线上，筛选有效解。 【例题5】．（25-26七年级上·北京·期中）已知数轴上两点表示的数分别为0和6．点从点出发沿数轴向某个方向以每秒3个单位长度匀速运动，点从点出发沿数轴向某个方向以每秒1个单位长度匀速运动．点同时开始运动，运动方向可能相同，也可能不同．设运动时间为，请回答下列问题： (1)如果点都沿数轴正方向运动，当时，则 ； (2)若， 求的值； (3)在运动过程中，已知，则的值是 ． 【变式题5-1】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知：点、两点在数轴上，点表示原点，点表示的数为20，且，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，点从点出发．沿数轴向左运动，点的速度是点速度的，、两点同时出发，相遇后停止运动； (1)点表示的数是______； (2)我们知道，中点是指线段上到两个端点距离相等的点，它将线段分成两个长度相等的部分．若点是的中点，点是的中点，、两点运动秒时，求线段的长（用含有的代数式表示） (3)在（2）的条件下，在、开始运动时，另一点从点出发，以每秒3个单位的速度向右运动，当时，求点在数轴上表示的数． 【变式题5-2】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：A、B是数轴上两点，O为原点，点A、点B所表示的数分别是a、b，且满足． (1)______，______； (2)若点P以每秒4个单位长度的速度从点A出发沿数轴正方向运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿数轴正方向运动，P、Q两点同时运动，设运动时间为t秒，问多长时间P、Q两点之间相距6个单位长度； (3)在（2）的条件下，点P运动到点B休息2秒后以原速的2倍向数轴负方向运动，运动到点A停止，在点P休息后沿数轴负方向运动时，点M以每秒3个单位长度的速度从点O出发沿数轴正方向运动，当点P停止时，点Q、点M继续运动．问点P从点A出发多长时间，？ 【变式题5-3】．（25-26七年级上·云南大理·期中）如图，点表示的数是，点表示的数是，满足，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)直接写出___________，___________； (2)若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？ (3)若点、速度不变，分别从点、同时向右运动，同时点从原点以每秒7个单位的速度向右运动，当时，请求出的值． 【题型6】动点相距定值问题 1.题型考点总结 -考查绝对值的应用，利用(为定值)建立方程。 -需掌握分类讨论思想，避免漏解(动点在定点两侧的情况)。 2.解题攻略 -确定两动点的坐标表达式(含)：，。 -根据距离定值列绝对值方程。 -去掉绝对值符号，分和两种情况解方程，验证解的合理性。 【例题6】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）【问题背景】 如图1，将一根木棒放在数轴上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合 【问题探索】 （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的点表示的数为32；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的点表示的数为8，由此可得这根木棒的长为______ （2）图1中点表示的数是______，点表示的数是______． 【迁移应用】 （3）由【问题探索】的启发，请借助图2中的数轴解决下列问题： 一天，李明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我就120岁啦！”则奶奶现在多少岁？ 王芳的想法是：借助图2中的数轴，将一根木棒放在数轴上，两端分别与点，重合，把李明和奶奶的年龄差看作木棒的长，奶奶是李明现在这么大时，可看作木棒沿数轴向左水平移动后，其右端移动到点，此时左端在数轴上所对应的点表示的数为－45． ①李明是奶奶现在这么大时，可看作木棒沿数轴向右水平移动后，其左端移动到点，此时右端在数轴上所对应的点表示的数为______ ②求奶奶现在的年龄． （4）如图3，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为10．木棒长度为1个单位，左端点为，右端点为；将木棒左端点与点重合，木棒沿数轴以3个单位/秒的速度向右水平移动，当右端点到达点时，木棒返回沿数轴向左运动；点从点出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向左运动；若木棒与点同时出发，且当点到达点M时，木棒与点均停止运动．则当相距5个单位长度时，点所表示的数为____________．（直接写结果） 【变式题6-1】．（25-26七年级上·吉林松原·期中）【知识引导】在数轴上，两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，例：点表示的数为2，点表示的数为，则点M、N之间的距离为． 【实际应用】如图，在一条数轴上，从左往右的点表示的数分别是． (1)点到原点的距离是____________，A、C两点之间的距离是____________； (2)已知点和点之间的距离是2，一动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，5秒后，求点表示的数； (3)已知动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，设点运动的时间为秒． ①当点M、N相遇时，求的值； ②当点M、N相距4个单位长度时，直接写出的值． 【变式题6-2】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，运动到3秒时，两点相距12个单位长度．已知动点A、B的运动速度之比是（速度单位：1个单位长度/秒）． (1)动点A运动的速度是_____个单位长度/秒，动点B运动的速度是_____个单位长度/秒； (2)A、B两点运动到3秒时停止运动，请在数轴上标出此时A、B两点的位置； (3)若A、B两点分别从（2）中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动的速度不变，运动的方向不限，问：运动到几秒时，A、B两点之间相距8个单位长度？（请直接写出答案） 【变式题6-3】．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）【阅读材料】 我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离，若点表示的数，点表示的数是，点在点的右边（即），则点，之间的距离为，即．例如：若点表示的数是，点表示的数是，则线段． 【理解应用】 （1）已知在数轴上，点表示的数是，点表示的数是6，求线段的长； 【拓展应用】 如图，数轴上有三个点，点表示的数是，点表示的数是3，点表示的数是． （2）当，，三个点中，其中一个点是另外两个点所连线段的中点时，请求出的值； （3）数轴上是否存在一点，使点到点，点的距离和为?若存在，求出点表示的数；若不存在，请说明理由． （4）点，点分别从点，点沿数轴正方向分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度出发，经过几秒两点相距3个单位长度？ 【题型7】动点折返运动问题 1.题型考点总结 -考查分段函数思想，动点到达端点后速度或方向改变，需分段表示坐标。 -核心是确定分段节点(如到达端点的时间)，避免运动过程混淆。 2.解题攻略 -先计算动点到达端点的时间。 -分阶段表示坐标：时，；时，(折返方向与原方向相反)。 -针对不同阶段列方程，分别求解并验证。 【例题7】．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，已知数轴上点表示的数为，所表示的数为，且满足，点所表示的数为18． (1)的值为_____，的值为_____； (2)动点从点出发，往数轴右边以每秒10个单位的速度运动，动点从点往数轴右边以每秒2个单位的速度运动． ①点运动到点需要_____秒，点运动到点需要_____秒． ②在运动过程中点所表示的数为，且的值为12，求的值． ③若点到达点后，立即以同样的速度返回，点到达点后，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当，之间的距离为2时，求的值． 【变式题7-1】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在数轴上原点O表示数是0，点A在原点的左侧，表示数是a，点B在原点的右侧，表示数是b，并且a，b满足 (1)点A 表示数是 ，点B 表示数是 ． (2)若点P从点A 出发沿数轴向右运动，速度为每秒4个单位长度；点M从A出发沿数轴向右运动，速度为每秒10个单位长度；点Q从B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．点P，M，Q三点同时运动，并且当点M和点Q相遇后立即返回，当点M遇到点P后又立即返回，这样反复往返，直到点P，Q相遇时，点M停止运动，求点M的运动时间及运动路程？ (3)在（2）的条件下，点P，Q按原方向原速度继续运动，当点P运动到点B后立即返回，此时速度变为原来的1.5倍，求从P，Q两点相遇而点M停止运动后开始，再经过几秒，点P到点M的距离与点Q到点M的距离之和等于25． 【变式题7-2】．（25-26七年级上·全国·期中）已知：，且a，b满足，请回答问题： (1)请直接写出a，b，c的值： ， ； (2)在数轴上a、b、c所对应的点分别为A、B、C， ①记A、B两点间的距离为，则 ， ； ②点P为该数轴上的动点，其对应的数为x，点P在A与C之间运动时（包含端点）， ， (3)在（1）（2）的条件下，若点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当点M到达点C时，点M停止；当点M运动到点B时，点N从点A出发，以每秒3个单位长度向右运动，点N到达点C后，再立即以同样的速度返回，当点N到达点A时，点N停止．从点M开始运动时起，至点M、N均停止运动为止，设时间为t秒，请用含t的代数式表示M，N两点间的距离． 【变式题7-3】．（25-26七年级上·四川成都·期中）石室联合中学初一年级开设了丰富多彩的博雅课程，小石同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒研究数轴上的动点问题：如图，数轴上有A，B，C三个点分别表示有理数，和12．小石把两根木棒放在数轴上，使点Q与点A重合，点N与点B重合，点P在点Q的左边，点M在点N的左边，且，木棒从点B开始以每秒1个单位的速度向右匀速运动；同时，木棒从点A开始以每秒3个单位的速度向右匀速运动，当点Q运动到C时，木棒立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点P在点Q的左边），当点Q再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当时，点N表示的数为 ，点P表示的数为 ； (2)在整个运动的过程中，当线段和线段的长度之和为12时，求出对应的t的值； (3)点D为木棒上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 【题型8】数轴折叠与动点重合问题 1.题型考点总结 -考查数轴折叠的性质(折叠后重合点到折痕的距离相等)。 -核心是确定折痕坐标，转化为动点与重合点的距离关系。 2.解题攻略 -设折痕对应的数为，若折叠后与重合，则，解得。 -用含的代数式表示动点坐标：。 -根据“动点与某点折叠后重合”列方程，求解后验证范围。 【例题8】．（25-26七年级上·海南·期中）综合与实践 【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题，如图，在纸面上有一数轴，按下列要求折叠纸面． 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数对应的点与数6对应的点重合，则此时数0对应的点与数______对应的点重合； 【问题拓展】 （3）若如（2）这样折叠后，数轴上有A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为14（点B在点A的右侧），则点A对应的数为______，点B对应的数为______； （4）在（3）的条件下，数轴上有两个动点P、Q，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，P，Q两点相遇，并计算出此时点P所表示的数． 【变式题8-1】．（25-26七年级上·吉林·期中）如图，已知数轴上原点为，点A表示的数为，B在A的右边，且与的距离是10．动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)当时，点表示的数是______，点表示的数是______，点与点之间的距离是______； (2)点表示的数是______（用含的代数式表示），点表示的数是______（用含的代数式表示）； (3)点与点在点处相遇，如果数轴可以折叠，以数轴上点为折点，将数轴对折，使得B与A重合，求点到点的距离的值． (4)当点到点的距离等于点到点距离2倍时，直接写出此时的值． 【变式题8-2】．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）如图，在数轴上放置线段和（在的左侧，在的左侧），、的长分别为，其中满足． (1)若点、在数轴上对应的值分别为、10． ①的值为_____，的长为_____； ②若将数轴沿数轴上一点折叠，折叠后线段、重叠部分的长度为4，求此时点在数轴上对应的值； (2)以（1）中、所在位置为起始位置，将线段以2个单位长度/秒的速度向数轴正半轴方向移动，同时线段以3个单位长度/秒的速度向数轴负半轴方向移动，当点与点重合时，线段立即以4个单位长度/秒的速度向数轴正半轴方向移动，设运动时间为，求在运动过程中两线段重合长度为2个单位长度时的值． 【变式题8-3】．（2025七年级上·内蒙古·专题练习）综合性探究：“数形结合”思想解决以下问题． (1)请根据图1中A，B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数：A： ；B： ；    (2)观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是 ． (3)若将数轴折叠，使得点A与表示数的点重合，则点B与表示数 的点重合． (4)若数轴上M，N两点之间的距离为2024（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是 ， ． (5)点P与点Q分别从A，B两点同时出发，在数轴上运动，它们的速度分别是2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，它们运动的时间为．点P与点Q在点A与点B之间相向运动，当时，直接写出点P对应的数． (6)《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完．如图2，求的值．    【题型9】动点新定义问题 1.题型考点总结 -考查新定义的理解与应用(如“k倍关联点”：动点到某定点的距离是定长的k倍)。 -核心是将新定义转化为数学表达式，建立一元一次方程。 2.解题攻略 -紧扣题干新定义，提炼数学关系(如“k倍关联点”即，其中为定点坐标，为定长)。 -用含的代数式表示动点坐标：，代入新定义关系式。 -解方程并结合新定义的限制条件(如k为正整数、运动范围)筛选解。 【例题9】．（25-26七年级上·北京·期中）对于数轴上的三个点A，B，C，给出如下定义：若点C到点A的距离是点C到点B的距离的k倍（k为正整数），则称C点是A，B两个点的“整k距点”，记为：．已知点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是10． (1)若，且点C在数轴上对应的数是7，则_______； (2)点M从出发，以每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点N从2出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，若，求出t的值； (3)点P从出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点A从出发，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动的时间为t秒，在运动的过程中，若存在数轴上的点Q满足，且，直接写出所有符合条件的t的值． 【变式题9-1】．（25-26七年级上·福建福州·期中）操作发现． 操作一：如图1，已知数轴上点、所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点，此时数轴上点所表示的数为4，我们称点是点关于点的映射点； 记作：或； 操作二：如图3，已知点和线段，将点、绕同一点旋转，使点和点重合，此时点所对应的点用表示，我们称点是点关于线段的映射点； 记作：；如：； (1)借助图1、图2、图3理解，直接填空：，；________； (2)若A、B两点所表示的数分别是、，；求点C所表示的数；（用含a、b的代数式表示） (3)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，； ①点在运动过程中，线段的长度是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是，点B与点D的距离为1时，求a的值． 【变式题9-2】．（25-26七年级上·湖南郴州·期中）我们约定：在数轴上，对于不重合的三点，，，若点到点的距离是点到点的距离的倍，我们就把点叫做【，】的“智慧点”．例如：如图，点表示的数为，点表示的数是，表示数的点到的距离是，到点的距离是，那么是【，】的“智慧点”；表示数的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的“智慧点”． 如图，已知数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)判断下列各点是否是【，】的“智慧点”（填”是“或”不是“）； ①点表示的数是（   ） ②点表示的数是（   ） ③点表示的数是（   ） (2)若点是【，】的“智慧点”，求点表示的数； (3)现有一点从点出发，以每秒个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，问点运动多少秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”？ 【变式题9-3】．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）知识应用： 随着祖国的日益强大，经济发展迅速，人民的生活越来越好，幸福指数也越来越高．老师在数学课上给出了定义：在数轴上，若点C到点A 的距离恰好是3，则称点C为点A的“幸福点”；若点C到点A，B的距离之和为6，则称点C为点A，B的“幸福中心”． （1）若点 A 表示的数是4，则点A的“幸福点”点C 表示的数是 （2）已知点 M 表示的数是m，点N 表示的数是n，且则 ； ； 若点C为点 M，N的“幸福中心”，则点C表示的数可以是 (填一个满足要求的数即可)； 知识拓展： （3）若点 A 表示的数是，点B 表示的数是3，点P 表示的数是8，一个电子蚂蚁Q从点P出发，以2单位/秒的速度沿数轴向左运动，若经过t秒电子蚂蚁Q 正好到达点A，B的“幸福中心”，求t的值． （4）在（3）的条件下，在数轴上是否存在点C (点C与点B不重合)，使得电子蚂蚁Q既是A、B的“幸福中心”又是A、C的“幸福中心”?若存在，请直接写出点C表示的数，若不存在，请说明理由． 【题型10】动点与整点问题 1.题型考点总结 -考查数轴整点的性质(坐标为整数)，结合动点运动轨迹求符合条件的时间。 -核心是将“整点”条件转化为坐标为整数，建立方程或不等式。 2.解题攻略 -用含的代数式表示动点坐标：。 -根据“整点”要求列条件：为整数。 -结合及运动范围，求解整数解对应的。 【例题10】．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）数形结合思想是常用的数学思想，数轴帮我们把点和数对应起来，是利用数形结合思想解决问题的有效工具．学习完七年级上册前3章后，爱思考的三位同学想“玩转”数轴． (1)小梅的玩法关键字是“折”：把数轴以点为折点对折，使点和点重合．已知点表示的数分别为．若满足，求折点表示的数； (2)小溪的玩法关键字是“添”：在小梅的基础上，在，两点各添加一块挡板，在点添加一块减速板，动点在，之间来回运动，遇到挡板，就原速度返回，遇到减速板，速度就减少2个单位长度每秒，若速度没超过2个单位长度每秒，就停在减速板处．点从点出发，以5个单位长度每秒的速度向点运动，设运动的时间为秒．当点对应的数是2时，求的值； (3)小湖的玩法关键字是“去”：去掉所有含有数字的整数，制作了一个“缺数字的数轴”：“数轴”上仍有原点和单位长度，自原点向右，距离原点个单位长度的点表示的数仍为从小到大依次排列的正整数，但每个数中都不包含数字．例如，当时，自原点向右，距离原点个单位长度的点表示的数依次为1，3，4，5，6，7，8，9，，，，，，，，，．已知正整数满足，且某“缺数字的数轴”上有分别表示和的两个点，则这两点之间的距离为_______．（用含的代数式表示） 【变式题10-1】．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是4，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“7格距点”． (1)若点P表示的数是2，则n的值为 ； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“7格距点”，则这样的整点P有 个； (3)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 【变式题10-2】．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）已知，，且，，分别是点，，在数轴上对应的数． (1)，，的值分别为 ， ， ，并在数轴上标出点，，； (2)定义：在数轴上，若点D到点E、F的距离之和为6，则点D叫做E和F的“幸福中心”． ①若点G是B和C的“幸福中心”，且点G表示的数是整数，求所有满足条件的点G表示的数之和； ②点Q表示7，点P从点Q出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点M，N分别从点A，B出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，经过多少秒时，点P是M和N的“幸福中心”？ 【变式题10-3】．（25-26七年级上·江西南昌·期中）在数轴上，位于原点两侧的两个点到原点的距离相等，则这两个点表示的数互为相反数．我们定义，在数轴上，一个点到原点距离是另一个点到原点距离的2倍，则这两个点表示的数互为原点的“关联数”．例如：点表示的数为2，则与点表示的数互为原点的“关联数”可以为，． (1)在数轴上，已知点表示的数为3，点表示的数为整数，若点，表示的数互为原点的“关联数”，则为___________； (2)数轴上有点，，，点表示的数为4，点在负半轴上，且点，之间的距离为9．当点，表示的数互为原点的“关联数”时，求点表示的数； (3)如图所示，已知点表示的数为，点表示的数为10．点，同时出发，点在数轴上以3个单位/秒的速度向右运动，点在数轴上以5个单位/秒的速度向左运动，当点到达原点后立即按原速向右运动，设运动时间为．当点，表示的数互为原点的“关联数”时，直接写出的值． 【题型11】双动点追及与相距最值问题 1.题型考点总结 -考查追及问题的路程关系(速度快的动点路程-速度慢的动点路程=初始距离)。 -涉及最值思想，求两动点相距的最大值或最小值对应的时间。 2.解题攻略 -表示两动点坐标：，(设)。 -追及问题：列方程，求解追及时间。 -最值问题：距离，根据方程求最值对应的。 【例题11】．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）绝对值是研究我们数学问题的重要符号． 【代数意义】 正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 已知：都是不等于0的有理数，请你探究以下问题： （1）①若则； ②若则． （2）由以上探究可知，则共有个不同的值；的这些所有的不同的值的绝对值的和等于． 【几何意义】 在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值，表示数轴上表示数a的点和表示数b的点的距离． （3）如图，数轴上点M表示，点N表示2，动点P从M点出发以每秒4个单位的速度向右运动，到达点N时停止运动；动点Q从N点出发向以每秒1个单位的速度向左运动，几秒后P、Q两点之间的距离是4个单位长度？ （4）数轴上有5个动点分别同时从原点出发向右匀速运动，速度分别是每秒个单位，当这5个点到数所表示的点的距离之和最小时，时间t的值是． 【变式题11-1】．（24-25七年级上·北京怀柔·期末）在数轴上，我们把表示数的点称为共点，记作点P． 对于两个不同的点A和点B，若点A、点B到点P的距离相等，则称点A与点B关于点P互为共点联系点． 如图1，点A表示的数是，点B表示的数是1，它们到共点P的距离都是2个单位长度，则点A与点B关于点P互为共点联系点． (1)已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B关于点P互为共点联系点． 若，则 ；若，则 ； 计算： ； (2)对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以，再把所得数表示的点沿着数轴移动2个单位长度得到点B． 若点A与点B关于点P互为共点联系点，则点A表示的数是 ； (3)在图2中，M、是数轴上两点，且，点M以每秒2个单位长度的速度从数轴上表示－6的点出发，在－6与6之间来回运动，点N从数轴上表示2的点出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，若t秒后，点M或与点N关于点P互为共点联系点，求M或与N距离最大时，运动时间 秒，M或与N距离最小时，运动时间_____秒．     【变式题11-2】．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）在数轴上，点代表的数是，点代表的数是，点表示的数是1． (1)若从点出发，向点运动（到达点时运动停止）；每秒运动2个单位长度，在之间，在之间，且，，运动多长时间后？ (2)若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒7个单位长度和3个单位长度的速度向右运动．试探索的值是否随着时间（秒）的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值； (3)若为数轴上一条线段（点在点的左边），，当的值最小时，请直接写出点对应的数的取值范围． 【变式题11-3】．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休“．点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为x． 若，则________； 若，则___________； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． _____________； 若，则点C表示的数为 ； 若该数轴上另有两个点P、Q，它们分别表示有理数p、q，其中点Q在线段上，当且最小时，P、Q两点之间的距离为_____．（直接写出答案） 【问题拓展】 （4）若点A、B、C在数轴上分别表示数、1、6，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【题型12】数轴上的动点与挡板问题 1.题型考点总结 -考查挡板的反弹性质（动点碰到挡板后速度大小不变、方向相反）。 -核心是分段表示动点坐标，确定碰到挡板的时间节点。 -利用距离公式或“特定位置关系”建立分段一元一次方程。 2.解题攻略 -明确挡板对应的数轴坐标，设动点初始坐标、速度()。 -计算首次碰到挡板的时间。 -分段表示坐标：时，(靠近挡板方向)；时，（反弹方向）。 -根据题干条件（如与另一动点相遇、距离定值），针对不同时间段列方程，验证解的有效性。 【例题12】．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，在数轴上点表示数点表示数表示点和点之间的距离，且满足． (1)A、两点之间的距离为___________； (2)若在数轴上存在一点，且，求点对应的数的值； (3)如图2，若在原点处及处各放一挡板，甲、乙两球同时从、两处分别以4个单位/秒：3个单位/秒的速度向左运动；乙球每次碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）均以原来速度向相反方向运动，甲球在乙球第一次碰到挡板后，以2个单位/秒的速度向相反方向运动直至碰到挡板，此时两球同时停止运动，设甲球运动的时间为（秒），当其中一球到原点距离是另一球到原点距离的2倍时，求的值． 【变式题12-1】．（25-26七年级上·重庆·开学考试）在一个“磁悬浮”的轨道架上做钢球碰撞实验，如图1所示，轨道架上有三个大小、质量完全相同的钢球、、，轨道左右各有一个钢制挡板和，其中到左挡板的距离为，到右挡板的距离为，、两球相距，、两球相距．现以轨道所在直线为数轴，假定球在原点，其余各点表示的数如图2所示，解答下列问题： 碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不计），钢球的运动都是匀速，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动． (1)①现球以每秒的速度向右匀速运动，则球第二次到达球所在位置时用了___________秒； ②经过63秒时，、、三球在数轴上所对应的数分别是___________、___________、___________； (2)如果、两球同时开始运动，球向左运动，球向右运动，球速度是每秒，球速度是每秒；当、两球相撞时停止运动．试探究：在运动过程中各个时间段是否为定值？请说明理由．表示数轴上点，点间的距离） 【变式题12-2】．（21-22七年级上·广西桂林·阶段练习）如图1，已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，且满足． (1)求数轴上到点A、点B距离相等的点C对应的数 (2)动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由 (3)如图2，在数轴上的点M和点N处各竖立一个挡板（点M在原点左侧，点N在原点右侧），数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以2个单位/秒的速度沿数轴向左运动，乙弹珠以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点M和点N的距离相等．试探究点M对应的数与点N对应的数是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由． 【变式题12-3】．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）粒子加速器是一种使带电粒子速度增加的装置（如图1所示），它仅作用于带电粒子，对于不带电的粒子没有加速作用．图2为粒子加速器示意图，当带电粒子穿过加速器（加速器宽度可忽略不计）时，其运动速度将迅速变成原来的5倍（速度变化的时间忽略不计）． 如图3所示，在数轴的原点处放置了一台粒子加速器，点24处放置了一块挡板，当粒子碰撞到挡板后，立即以原速反弹． 带电粒子位于数轴上点，不带电粒子位于数轴上点．，分别为，对应点的值，满足． (1)求线段的长度； (2)两粒子在数轴上同时开始运动，从点以每秒1个单位长度的速度向右运动，从点以每秒3个单位长度的速度向右运动．设为粒子的运动时间，为两粒子第一次相遇的时刻，，分别为时刻时，在数轴上所对应的点． ①求的值并求出此时对应点所表示的数． ②当时，判断的值是否会发生变化．如果不会变化，求出该值：如果会变化，请说明理由． (3)当与的距离为3时，求的值． 【题型13】动点变速运动问题 1.题型考点总结 -考查分段速度的应用，动点在不同路段(如“变速区”)速度改变。 -核心是分段计算运动时间与坐标，建立分段方程。 2.解题攻略 路段 速度 运动时间 数轴位置表达式 普通路段 变速路段 (如) -分路段表示点在数轴上的位置，根据题干条件(如距离相等)列方程。 -总时间，验证总时间是否符合运动范围。 【例题13】．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）如图1， 数轴上，从左到右依次有点A，点 C，点 D，点 B，其中点A，点B 表示的数分别为和75， 点C 与点D 间的距离为40， 若点O 在点A和点B的正中间，则称点为的中点． (1)若点A，点D 间的距离为50， 点Q 为线段的中点，则点Q 所对应的数为______ (2)如图2， 若点D 所对应的数为x，点M为线段的中点，请用含x 的代数式表示点M 所对应的数，写出必要的推理过程．（结果要求化简） (3)如图3， 一根小木棍的长度刚好等于点C 与点D 间的距离，小木棍可在数轴上运动．将小木棍的右端点F 与点B 重合，让小木棍以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时小钢球P 以相同的速度从点A 向右运动．当小钢球P 与小木棍的右端点F重合时，小钢球P立即以原来速度的2倍返回，而小木棍暂停2秒后，再以原来速度的继续向左运动．当点E 与点A 重合时，小钢球P 和小木棍同时停止运动．设小钢球 P 运动的时间为t秒，在这个运动过程中，当小钢球P 与小木棍的左端点E 的距离为10个单位长度时，求出此时的t值． 【变式题13-1】．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知数轴上点与点相距个单位长度，点在原点的右侧，到原点的距离为个单位长度，点在点的左侧，点表示的数与点表示的数互为相反数． (1)点表示的数为__________，点表示的数为__________，点表示的数为__________． (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左移动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当点到达点后，运动停止．设移动时间为秒，在点运动过程中， ①请求出点运动几秒后与点相遇？ ②两点之间的距离能否为个单位？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． (3)点在数轴上，，将图的数轴在点处各折一下，得到图的“折线数轴”，点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，同时点从点出发沿着“折线数轴”向点运动，点的初始速度分别是个单位长度秒和个单位长度秒，点运动到折线时速度才会发生变化，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度倍，离开折线后速度恢复为初始速度．当点和点相遇时，直接写出此时点表示的数． 【变式题13-2】．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知点、、、在数轴上，它们表示的数分别为，且满足，点在点的右侧且到点的距离12个单位长度，点表示的数是14． (1)_______，________， _______； (2)动点从点出发以4个单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动． ①当点到达点后停留6秒后再以原来的速度向左运动，假设运动时间为秒．当、两点相距8个单位时，求的值； ②我们规定、两点之间为“变速区”，规则为动点从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，动点从点运动到点期间速度变为原来的3倍，之后也立刻恢复原速，当点到达点时停止运动，点也随之停止运动，当为何值时，、两点的距离是24？ 【变式题13-3】．（25-26七年级上·北京·期中）如图1将一根长为木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点M重合，右端与数轴上的点N重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点N时，它的右端在数轴上所对应的数为12；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点M时，它的左端在数轴上所对应的点为A．如图2，数轴上点A，O，B，C，D对应的数分别为a，0，4，8，12，点P，Q是数轴上的两个动点，P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向运动，同时Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，设运动的时间为t秒． (1)图中点A所表示的数是 ，移动后点Q所表示的数是 ；（用含t的式子表示） (2)若动点P从点O到点B的速度为起始速度的一半，从点B到点C的速度为起始速度的两倍，点C之后立刻恢复起始速度；同时动点Q一直以原速度向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．当P，Q两点在数轴上相距时，求运动时间t． 【题型14】动点规律探究问题 1.题型考点总结 -考查周期性运动的规律提炼，如左右交替跳跃、循环往返。 -核心是通过前几次运动找规律，用含(或运动次数)的代数式表示第次运动后的坐标。 2.解题攻略 -列举前3-5次运动的坐标，总结规律(如为奇数时向右运动，坐标；为偶数时向左运动，坐标)。 -用含(或)的代数式表示第次运动后的坐标。 -根据规律列方程，求解符合条件的(或)。 【例题14】．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．    (1)平移运动． ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是__________； A．  B．  C．  D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位长度，紧接着第2次向右跳2个单位长度，第3次向左跳3个单位长度，第4次向右跳4个单位长度，…，依此规律跳，当它跳2025次时，落在数轴上的点表示的数是__________； (2)翻折变换． ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示的点与表示__________的点重合． ②若数轴上A，B两点之间的距离为200（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A，B两点经折叠后重合，则A点表示__________，B点表示__________； ③设①折痕为点C，电子蚂蚁P从点A出发，以每秒4单位向右爬行，何时到B，C的距离和是到点A的距离的倍？ 【变式题14-1】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）在数轴上有两个边长相同的正方形，已知正方形的顶点分别对应，，正方形的顶点分别对应6，7，现在正方形以每秒个单位长度的速度向右移动，正方形同时以每秒1个单位长度的速度也向右移动，设运动时间为t (秒)． (1)如图1，当正方形恰好追上正方形(即边与重合)时， 秒； (2)如图2，在移动过程中，当两个正方形重合部分的面积(阴影面积)与空白部分的面积之比为时，求此时t的值．请根据题意，列出方程；（只要求列出方程） (3)如图3，取正方形的边的中点，点为原点，点对应10，若在正方形向右移动的某一个时间段内，始终有的和为定值，求出这个定值，并写出此时t的取值范围． (4)如图4，正方形的边长为1，顶点与数轴上表示的点重合，现在改变正方形运动方式，让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上表示2025的点将与正方形的哪个顶点重合？说明理由． 【变式题14-2】．（25-26七年级上·全国·单元测试）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换． (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是__________． A． B． C． D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是__________． (2)翻折变换 ①折叠纸条，若表示的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示__________的点重合； ②如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 【变式题14-3】．（25-26七年级上·北京·阶段练习）在数轴上有一个机器人和一个探测器： 机器人从原点出发，以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动1秒到达表示数1的点，再折返以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动1秒到达表示数-1的点，再折返以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动 1秒到达表示数2的点， … … ，依此类推； 在机器人出发的同时，探测器从表示数-2的点出发，以1个单位长度/秒的速度向右匀速 运动． 当机器人在与探测器距离小于5个单位长度时，会被探测器观测到． 设机器人从原点出发运动了t秒 (1)当0<t<2时，若机器人与探测器所在位置到原点距离相等，则t的值为 ； (2)在运动的过程中，探测器第一次观测不到机器人的位置时，t的值为 ； (3)从t为何值时起，探测器将不再能观测到机器人的位置． 【题型15】折线数轴上的动点运动问题 1.题型考点总结 -核心考查折线分段特征，需结合折点（如原点、特定点)划分运动路段。 -重点是分段速度切换(不同路段速度不同，如段减速、段加速)的坐标表示。 -涉及分段方程建模，求解相遇时间、运动总时长、特定距离对应的值。 -检验解的路段匹配性，确保对应的运动阶段与速度、坐标表达式一致。 2.解题攻略 -第一步：明确折线的折点坐标(如、、)及各路段的速度参数(初始速度、变速后速度等)。 -第二步：计算各路段的长度，求出每段运动的时间节点(如的时间、的时间)，划分的取值范围。 -第三步：按的范围分段表示动点坐标，如时；时(为前一段终点坐标)。 -第四步：根据题干条件(相遇、路程和/差定值、特定坐标)，针对对应路段列一元一次方程。 -第五步：求解后验证是否在对应路段的时间范围内，舍去超出范围的无效解。 【例题15】．（25-26七年级上·山东济南·期中）已知，且a、b、c满足所对应的点分别为A、B、C． (1)则__________，__________． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．设运动时间为秒，请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段三段距离的和称为A、C两点间的路程，动点从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点从点出发的同时，点从点出发，以1个单位长度／秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度／秒的速度运动．当点到达点时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为10个单位．求出此时的值． 【变式题15-1】．（2025·江苏·二模）数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为 ；当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离 （用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离 （用含有t的代数式表示）； 时，M、N两点相遇； (2)当M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等时，求t的值． 【变式题15-2】．（24-25七年级上·河南·阶段练习）如图，将一条数轴在点B，点C，点D，点E处各折一下，得到“折线数轴”．图中点A 表示的数为，点B 表示的数为，点 C表示的数为，点D 表示的数为0，点E 表示的数为8，点F表示的数为12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，同时，动点Q从点F出发以每秒4个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向移动，两个点上坡时的速度均是各自初始速度的一半，下坡时的速度均是各自初始速度的2倍，水平位置则保持初始速度不变． (1)动点P从点A运动到点F需要多少秒？ (2)P，Q两点在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？ 【变式题15-3】．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图1，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，b满足，点C到原点O的距离与点A到原点O的距离相等，点A，B之间的距离记为． (1)直接写出a，b，c的值； (2)点P从点A出发，沿着数轴负方向匀速运动，同时，点Q从点C出发，沿数轴负方向匀速运动，点Р和点Q的速度分别为4个单位长度/秒和个单位长度/秒．设点P运动的时间为t秒． ①t秒时，点P表示的数为______，点B，P之间的距离为_________； ②当点Q追上点P之后，的值与t的值无关，求m的值． (3)点G在数轴上，，将数轴在点O，G，B各折一下，得到如图2的“折线数轴”．点M从点A出发沿着“折线数轴”运动至点C，同时点N从点C出发沿着“折线数轴”向点A运动，点M，N的初始速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，两点运动到折线时速度才会发生变化，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍，离开折线OGB后速度恢复为初始速度．当点M和点N相遇时，直接写出此时点M表示的数． 同步练习 1．（25-26七年级上·北京·期中）如图，数轴上点表示的有理数为－4，点表示的有理数为6，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上由点到点的方向运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点停止运动，设运动时间为秒． (1)当时，点表示的有理数是______，当点与点4重合时，的值是______； (2)①在点由点到点的运动过程中，表示的有理数是______（用含的代数式表示）； ②在点由点到点的运动过程中，点表示的有理数是______（用含的代数式表示）； (3)若点从点出发的同时，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上由点到点的方向运动，当为何值时，点与点的距离是2个单位长度． 2．（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）如图所示，点在数轴上对应的数分别为，其中a是最大的负整数，满足，且． (1) ； ； ； ；线段 ； (2)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C 以每秒5个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当两点之间的距离为11个单位长度时，求运动时间t的值． 3．（25-26七年级上·北京·期中）如图，在数轴上，点和点表示的数分别为和2，点为数轴上一点，定义点关于AB的特征值为． (1)当点表示的数为3时，__________； (2)若，求点表示的数； (3)M、N为数轴上两个动点，点表示的数为，点表示的数为．点为线段上一点，当点在线段上运动时，的最大值记为．直接写出运动过程中的最小值以及此时的值． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知，点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．如数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是．假设在一条东西方向的数轴上，点和点分别表示数和8．两只电子蚂蚁甲和乙分别从两点同时出发，沿着数轴爬行，蚂蚁甲从点出发，以每秒3个单位长度的速度向正方向东爬行；蚂蚁乙从点出发，以每秒2个单位长度的速度向负方向西爬行．点表示数轴上的原点．设两只蚂蚁运动的时间为． 请回答下列问题： 【初始位置与距离】 （1）当时，点到点的距离是_________个单位长度，点到点的距离是_________个单位长度． 【位置表示与化简】 （1）运动秒后，两只蚂蚁之间的距离（用含的代数式表示）是_________； （2）化简你在（1）中得到的代数式． 【相遇与终点】 （1）请求出两只蚂蚁在运动过程中相遇的时间和相遇点在数轴上表示的数； （2）在相遇后，两只蚂蚁继续按原速度和方向爬行，请问当蚂蚁甲爬到点时，蚂蚁乙在数轴上表示的数是多少？ 5．（25-26七年级上·山东临沂·期中）【问题背景】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，两点之间的距离表示为或，记为．例如，在数轴上，表示-4和-2的点的距离为． 【问题解决】 （1）数轴上表示3和的两点之间的距离是______； （2）数轴上有理数与对应的两点之间的距离用绝对值符号可以表示为______； （3）若数轴上有理数与1对应的两点之间的距离，则等于______； 【联系拓广】 （4）如图2，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为，若点在点两点之间，则______；若，则点表示的数为______； （5）对于任何有理数，是否有最小值？如果有，请写出最小值并说明理由． 6．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）【概念学习】 1．阅读绝对值拓展材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，在数轴上A，B两点之间的距离，例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，则表示x与两点间的距离． 2．定义：点A，B，M为数轴上的任意三点（点M不与A，B重合），若点M到点A的距离是点M到点B的距离的x倍，则称点M是的“x值点”，记作：．例如，点M表示的数为1，点A表示的数为，点B表示的数为3，此时，，，则点M是的“2值点”，记作：． 【初步认知】 （1）如图，点A，点B表示的数分别是和6； ①已知如图，两点的距离为 ，数轴上任意一点C表示的数为x，则两点的距离可以表示为 ． ②若点D，E表示的数分别是，3，则这两个点中是的“2值点”的点是 ； 【深入思考】 （2）在数轴上，点F表示的数为，点G表示的数为10，从某时刻开始，若点P从原点O出发向右在数轴上做匀速直线运动，且点P的速度为1单位/秒，设运动时间为t秒，当时，求出t的值； 7．（25-26七年级上·吉林·期中）如图，在数轴上有、两点，点在点左侧，与点相距个单位长度．已知点表示的数为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点运动的时间为秒． (1)直接写出点表示的数； (2)在点运动的过程中，用含的代数式表示点表示的数； (3)当时，数轴上有一点，沿着点折叠数轴，点与点刚好重合，求点表示的数； (4)当点运动到点时，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点与点相距个单位长度时，直接写出的值． 8．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）数轴上有两点，，点对应的数为20，点对应的数为60． (1)请写出与、两点距离相等的点所对应的数________； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以每秒3个单位的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，你知道点对应的数是多少吗？ (3)在（2）的条件下，当到达点后，立即原速返回至点结束运动；当到达点后，立即原速返回至点结束运动．请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 9．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，且，满足． (1)_______，_______； (2)有一个玩具火车如图1所示放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为． ①玩具火车的长为_______个单位长度； ②将玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，直接写出此时点所表示的数：_______； ③当玩具火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点和点从、出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，记火车运动后对应的位置为，运动时间为秒，是否存在常数使得：的值与运动时间无关？若存在，请求出和这个定值；若不存在，请说明理由． 10．（25-26七年级上·江西南昌·期中）如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、，其中、满足，点到原点距离是点到原点距离的2倍． (1)填空：______，______，______； (2)如图1，若点、、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为． ①为何值时，？ ②若的值始终保持不变，求的值； (3)如图2，将数轴在原点，点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，请直接写出点表示的数． 学科网（北京）股份有限公司 $