精品解析：黑龙江省哈尔滨市松南中学校2025-2026学年九年级上学期12月考试数学试题

松南学校2025---2026学年度（上）九年级阶段问诊测试 数学学科调研测试 2025年12月12日 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“考号”、“班级”“姓名”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚． 5．保持卡面整洁、不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单选题（每小题3分，共计30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. 3 B. C. D. 0 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约公顷．用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 7. 下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，……，则图7中有（ ）个棋子． A. 48 B. 49 C. 50 D. 60 8. 如图，已知，，若，则的长为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 9. 某同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，，，E为边上一点，，动点P，Q同时从点C出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着折线运动到点B时停止，它们的运动速度都是，设P、Q同时出发时，的面积为，则y与t的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 的解集为________． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是______ 13. 把多项式因式分解的结果是___________． 14. 为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影．小明和小红两位同学从这三部电影中随机选择一部观看，他们恰好选择看同一部电影的概率为_______． 15. 如图，分别与相切于两点，，则______． 16. 一个扇形的面积是，圆心角为，则此扇形的弧长为______． 17. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例．如图所示，已知小雪的镜片焦距为米时，眼镜度数为500度，若小雪的镜片焦距为米，则此时眼镜的度数为________度． 18. 定义：，则方程的解为_____． 19. 有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为_____． 20. 如图，在菱形中，，，连接，点E在边上，且，连接交于点F，连接，以下结论：①；②点E到的距离是；③；④若点P是对角线上的一个动点，连接，则的最小值为．其中一定成立的是________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 三、解答题（其中21—22题各7分，23—24题各8分，25—27题各10分） 21. 先化简，再求代数式的值：，其中a＝tan60°﹣2sin30°． 22. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形． （1）若和关于原点O成中心对称，画出； （2）将绕着点A顺时针旋转，画出旋转后得到的． （3）请直接写出经过点的反比例函数解析式． 23. 跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65 70 73 80 85 95 96 96 98 组别 次数（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）A组学生跳绳次数的中位数是_____，的值是_____； （3）若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 24. 【问题情境】 综合实践课上，刘老师让同学们根据下面情境提出问题并解答： 如图①，在等边三角形内部取一点，连接，以为一边，在的右侧作等边三角形，连接、，若B、D、E三点恰好在一条直线上． 【猜想结论】 （1）“兴趣小组”提出的问题如下： ①求证：； ②探究线段、、之间的数量关系，请你直接写出结论_____（不需证明）； 【深入探究】 （2）“创新小组”在“兴趣小组”的基础上继续探究：如图②，在等边三角形的边的右侧取一点，连接，使，连接交于点，的平分线与交于点，连接． ①求的度数； ②直接写出线段、、之间的数量关系． 25. 春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织2个大号中国结和3个小号中国结，则需用绳17米；若编织4个大号中国结和5个小号中国结，则需用绳31米． （1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； （2）春浩中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过180米，那么该中学最多编织多少个大号中国结? 26. 已知，如图四边形内接于，连接、，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点O作于点H，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点N，过点A作于点，，若，，求的长． 27. 已知，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，连接，点D在第三象限的抛物线上，轴于点F，连接交y轴于点E，求证：； （3）如图2，在（2）的条件下，与交于点Q，，连接，点G，N分别在，上，连接，，点M在延长线上，，连接交于点H，连接，．将射线绕着点D顺时针旋转，交延长线于点R，旋转角等于，且，点P在第一象限的抛物线上，连接，当时，求点P坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松南学校2025---2026学年度（上）九年级阶段问诊测试 数学学科调研测试 2025年12月12日 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“考号”、“班级”“姓名”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚． 5．保持卡面整洁、不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单选题（每小题3分，共计30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. 3 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数，算术平方根，无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数，分数即有限小数或无限循环小数．根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】下列实数中，是无理数的是． 故选：B． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形但是中心对称图形，不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 3. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约公顷．用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示形式为整数，当原数大于或等于时，原数变为时，小数点向左移动了几位，的值就是几，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 4. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面所看得到的图形为主视图，据此解答即可． 【详解】解：从正面可发现有两层，底层三个正方形，上层的左边是一个正方形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图成为解答本题的关键． 5. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，通过去分母将分式方程转化为整式方程，解出未知数后需检验是否为增根． 【详解】 去分母得， ， 解得： 检验：当时，分母，， 因此，方程的解为． 故选：B． 6. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，解题的关键是掌握，对称轴为直线，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 故选：A． 7. 下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，……，则图7中有（ ）个棋子． A. 48 B. 49 C. 50 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类．通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 通过观察可知图1中棋子有个，图2中棋子有个，图3中棋子有个，……，由此即可推出图7中有棋子的个数即可． 【详解】解：图1中棋子有个， 图2中棋子有个， 图3中棋子有个， …… ∴图7中棋子有个， 故选：C． 8. 如图，已知，，若，则的长为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段成比例定理，由线段成比例定理可得，代入数据计算即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 9. 某同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了尺规作图作线段，菱形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．连接，交于点，由作图过程可知四边形为菱形，得出，，，勾股定理求出，得出，即可求解． 【详解】解：连接，交于点， 由作图过程可知，， ∴四边形为菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：D． 10. 如图，矩形中，，，E为边上一点，，动点P，Q同时从点C出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着折线运动到点B时停止，它们的运动速度都是，设P、Q同时出发时，的面积为，则y与t的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．分类讨论：①当，即点在线段上，点在线段上；②当，即点在线段上，点在线段上时；③，即点在线段上，点在线段上时；④当，即点在线段上，且与点重合，点在线段上时；这四种情况下的函数图象，根据函数图象的性质进行判断． 【详解】解：矩形中，，， ①当，即点在线段上，点在线段上，则，此时该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分．故B选项是错误； ②当，即点在线段上，点在线段上时，，该函数图象是随增大而增大的直线的一部分，故A选项是错误； ③，即点在线段上，点在线段上时； ， 如图，过点Q作， 则，即， ∴，此时该函数图象是开口向下的抛物线，故 C 选项是错误； ④当，即点在线段上且与点重合，点在线段上时，，该函数图象是直线的一部分，故D正确； 综上所述，D正确， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解不等式组，掌握不等式组解集的概念是解题关键． 分别求解每个不等式，然后取它们的公共部分（即交集），即可得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式 ，得 ； 解不等式 ，得 ； 所以不等式组的解集为 ， 故答案为：． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据分式有意义的条件是分母不为0，分析原函数式可得关系式求解即可． 【详解】解：根据题意得，若函数有意义， 可得，解得． 故答案为：． 13. 把多项式因式分解的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 14. 为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影．小明和小红两位同学从这三部电影中随机选择一部观看，他们恰好选择看同一部电影的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率，概率公式，列表或画树状图可得出所有等可能的结果以及这两人选择同一部电影的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A B C 由表知，共有9种等可能结果，其中两人选择同一部电影的有3种结果， 小明和小红两位同学恰好选择看同一部电影的概率为， 故答案为：． 15. 如图，分别与相切于两点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质定理、四边形内角和以及圆周角定理，连接，根据切线的性质定理可知，利用内角和为直接计算即可． 【详解】解：连接， 分别与相切于两点， ， ， 是四边形， 内角和为， ， ， 分别是弧所对的圆周角和圆心角， ． 故答案为：． 16. 一个扇形的面积是，圆心角为，则此扇形的弧长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了扇形面积和弧长公式． 先根据扇形面积公式求出半径，再代入弧长公式计算弧长． 【详解】解：设扇形的半径为． 由扇形面积公式， 代入，， 得， 即． 两边除以，得 ， 两边乘以3，得 ， 解得 （负值舍去）． 由弧长公式， 得． 故答案为 ． 17. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例．如图所示，已知小雪的镜片焦距为米时，眼镜度数为500度，若小雪的镜片焦距为米，则此时眼镜的度数为________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式，设，将代入计算即可求解． 【详解】解：设， 将代入中，得， 解得：， ， 当，则， 则此时眼镜的度数为度， 故答案为：． 18. 定义：，则方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义列分式方程可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 经检验：是原方程的解， 故答案为． 【点睛】本题考查了解分式方程和新定义的理解，熟练掌握解分式方程的步骤是关键． 19. 有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为_____． 【答案】20或20． 【解析】 【详解】试题分析：分两种情形讨论①当30度角是等腰三角形的顶角，②当30度角是底角， ①当30度角是等腰三角形的顶角时，如图1中， 当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a， 作BD⊥AC于D，∵∠A=30°， ∴BD=AB=a， ∴•a•a=5， ∴a2=20， ∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20． ②当30度角是底角时，如图2中， 当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=30°， ∴∠BAC=120°，∠BAD=60°， 在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°， ∴BD=a， ∴•a•a=5， ∴a2=20， ∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20． 考点：正方形的性质；等腰三角形的性质． 20. 如图，在菱形中，，，连接，点E在边上，且，连接交于点F，连接，以下结论：①；②点E到的距离是；③；④若点P是对角线上的一个动点，连接，则的最小值为．其中一定成立的是________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由菱形的性质得到，，即可；过点E作，过点D作，推出，根据，即可求出点E到的距离是 ；证明，推出，进而得到；连接，证明，推出，当三点共线，即两点重合时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵ 四边形是菱形，， ∴，， 在与中，， ∴，故①正确； 过点E作，过点D作，如图： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点E到的距离是 ，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当三点共线，即两点重合时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， 此时，，， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，最短距离等知识，综合运用以上知识点是解题的关键． 三、解答题（其中21—22题各7分，23—24题各8分，25—27题各10分） 21. 先化简，再求代数式的值：，其中a＝tan60°﹣2sin30°． 【答案】，. 【解析】 【分析】根据分式加减乘除的运算法则对原式进行化简，再算出a的值，代入即可. 【详解】原式＝ . 当a＝tan60°﹣2sin30°＝时， 原式＝ ． 【点睛】本题考查分式的运算以及特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则及特殊角的三角函数值. 22. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形． （1）若和关于原点O成中心对称，画出； （2）将绕着点A顺时针旋转，画出旋转后得到的． （3）请直接写出经过点的反比例函数解析式． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和关于原点对称，求反比例函数解析式，熟知相关知识是解题的关键． （1）关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据所给旋转方式和网格的特点可得三个点的位置，描出，并顺次连接即可； （3）由（2）可得的坐标，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可得， 设经过点的反比例函数解析式为， ∴， ∴， ∴经过点的反比例函数解析式为． 23. 跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65 70 73 80 85 95 96 96 98 组别 次数（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）A组学生跳绳次数的中位数是_____，的值是_____； （3）若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 【答案】（1）60 （2）85，36 （3）900 【解析】 【分析】本题主要考查频率分布表和扇形统计图、中位数，熟练掌握频率分布表和扇形统计图、中位数是解题的关键； （1）由扇形统计图和频率分布表可知C组的人数为12人，所占百分比为，然后问题可求解； （2）根据中位数的定义可进行求解； （3）由（1）（2）及题意可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：（名）． 答：一共抽取60名学生． 【小问2详解】 解：由A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65、70、73、80、85、95、96、96、98，排在中间位置的数是85，所以A组学生跳绳次数的中位数是85， ； 故答案为85，36． 【小问3详解】 解：由题意得：（名）． 答：估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有900名． 24. 【问题情境】 综合实践课上，刘老师让同学们根据下面情境提出问题并解答： 如图①，在等边三角形内部取一点，连接，以为一边，在的右侧作等边三角形，连接、，若B、D、E三点恰好在一条直线上． 【猜想结论】 （1）“兴趣小组”提出的问题如下： ①求证：； ②探究线段、、之间的数量关系，请你直接写出结论_____（不需证明）； 【深入探究】 （2）“创新小组”在“兴趣小组”的基础上继续探究：如图②，在等边三角形的边的右侧取一点，连接，使，连接交于点，的平分线与交于点，连接． ①求的度数； ②直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】 （1）①证明：在等边三角形内部取一点，在的右侧作等边三角形， ，，， ∴，即． 在和中， ， ∴． ②； （2）①； ②． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①由等边三角形的性质可得，，，再利用 “”证明即可；②由全等三角形的性质可得，由此即可得解； （2）①由角平分线的定义可得，再证明得出，由等边三角形的性质可得，再由等边对等角得出，最后再由三角形外角的定义及性质即可得解；②在线段上截取，证明为等边三角形，得出，，再由等边三角形的性质可得，，从而得出，再证明，得出，即可得证． 【详解】（1）①略 ②解：由①可得， ∴， ∵， ∴； （2）解：①的平分线与交于点， ． 在和中， ， ∴， ， 为等边三角形，， ， ， ， 是和的外角， ， ． ②，理由如下： 如图，在线段上截取， ， 由①可得：， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织2个大号中国结和3个小号中国结，则需用绳17米；若编织4个大号中国结和5个小号中国结，则需用绳31米． （1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； （2）春浩中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过180米，那么该中学最多编织多少个大号中国结? 【答案】（1） 编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳4米和3米 （2） 该中学最多编织30个大号中国结 【解析】 【分析】本题考查“二元一次方程组的应用”和“一元一次不等式的应用”，理解题意列出方程组和不等式是解题关键． （1）设编织1个大号中国结需用绳x米，1个小号中国结需用绳y米，根据题干条件中的等量关系列方程组并求解即可； （2）设编织m个大号中国结，用含m的式子表示编织小号中国结的数量，根据题干中要求的“所用绳长不超过180米”列不等式并求解即可． 【小问1详解】 解：设编织1个大号中国结需用绳x米，1个小号中国结需用绳y米， 由题意，得 解得 故编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳4米和3米； 【小问2详解】 解：设编织m个大号中国结，则编织个小号中国结， 由题意，得， 解得， 故该中学最多编织30个大号中国结． 26. 已知，如图四边形内接于，连接、，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点O作于点H，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点N，过点A作于点，，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：延长，交延长线于点， 延长，交于点，连接，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：连接，，则， 作于点，则，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）的长为． 【解析】 【分析】（1）延长，交延长线于点，延长，交于点，连接，则，，可得，由已知可得，等量代换，由三角形的内角和定理可得，即可证得结论； （2）连接，，则，作于点，由垂径定理可得，，由等腰三角形的性质，结合圆周角定理可得，证明，可得，即可证得结论； （3）延长，交于点，连接，交于点，连接，，，则，由，可得，从而可得，由锐角三角函数，结合已知可得，，由等边对等角，结合已知，等量代换可得，从而可得，由等角对等边，结合勾股定理可得，，由锐角三角函数可得，从而可得，证明，可得，从而可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长，交于点，连接，交于点，连接，，，则， ∵， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数． 27. 已知，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，连接，点D在第三象限的抛物线上，轴于点F，连接交y轴于点E，求证：； （3）如图2，在（2）的条件下，与交于点Q，，连接，点G，N分别在，上，连接，，点M在延长线上，，连接交于点H，连接，．将射线绕着点D顺时针旋转，交延长线于点R，旋转角等于，且，点P在第一象限的抛物线上，连接，当时，求点P坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2） 证明：设，则，， ∵点在第三象限的抛物线上，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）点坐标为． 【解析】 【分析】（1）把，代入，可得，，即可得抛物线的解析式； （2）设，，，，由，可得，即可证得结论； （3）由，可得点坐标，作于点，连接，证明，可得为等腰直角三角形，由，可得，作，垂足记为，作，垂足记为，证明，可得，证明，可得，由可得，在延长线上截取，连接，证明，，可得，可得，作轴于点，，即可得点坐标． 【小问1详解】 解：点，点在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，令，得， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 作于点，连接，则，，，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转可知， ∴， 作，垂足记为，作，垂足记为，则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 设点到的距离为，则， ∴， ∵， ∴为点到的距离， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在延长线上截取，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又∵，均为三角形的内角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作轴于点，则， ∴， ∴， ∴， ∵点P在第一象限的抛物线上， ∴点的横、纵坐标均大于， 设点，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，三角形全等的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质，图形的旋转，三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，二次函数综合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $