精品解析：广西南宁市银海三雅学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

南宁市银海三雅学校2025－2026学年度秋季学期初三年级 评价四数学试题 （考试时间：120分钟满分：120分） 注意事项： 1．本测试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本测试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，依次分析每个选项的图形绕某点旋转后是否与自身重合，进而确定答案． 【详解】解：A项：图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； B项：图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形无法重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； C项：图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形无法重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； D项：图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形无法重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 下列事件中是随机事件的是（ ） A. 太阳从东边升起 B. 水中捞月 C. 抛掷一枚硬币次，次都是正面朝上 D. 三角形任意两边之和大于第三边 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件和随机事件，解决本题的关键是弄清楚以上事件的定义；必然事件：每次随机试验中一定会出现的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，据此逐项分析，即可求解． 【详解】解：A、太阳从东边升起是必然事件； B、水中捞月是不可能事件； C、抛掷一枚硬币次都正面朝上可能发生也可能不发生，是随机事件； D、三角形任意两边之和大于第三边是必然事件． 故选：C． 3. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键；因此此题可根据几何体的特征进行求解即可． 【详解】解：由图可知：该几何体的俯视图为； 故选C． 4. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，通过将各点坐标代入函数关系式 进行验证，满足等式的点即为图象所经过的点. 【详解】解：∵ 点 在反比例函数 图象上当且仅当 ， 对于选项 A：， ∵ ， ∴ 点 不在图象上； 对于选项 B：， ∵ ， ∴ 点 不在图象上； 对于选项 C：， ∵ ， ∴ 点 不在图象上； 对于选项 D：， ∵ ， ∴ 点 在图象上； 故选 ：D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的加减、幂的乘方、单项式乘以单项式和完全平方公式，逐项分析判断即可求解．本题考查了二次根式的加减、单项式乘以单项式、幂的乘方和完全平方公式，正确地运用计算法则是解题的关键． 【详解】解：A.，故该选项正确，符合题意； B.，故该选项不正确，不符合题意； C.，故该选项不正确，不符合题意； D.，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A. 6. 如图，将绕顶点A逆时针旋转，得到，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据将绕顶点A逆时针旋转，得到，得出，结合，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵将绕顶点A逆时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 有最大值 D. 时，随增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式 的性质，分析开口方向、对称轴、最值和增减性即可． 【详解】解：∵ 函数 中，， ∴ 开口向上，A 正确，故选项不符合题意； 对称轴为直线 ，B 正确，故选项不符合题意； ∵ ， ∴ 函数有最小值，但选项 C 说最大值，故 C 错误，故选项符合题意； 当 时，函数在对称轴右侧，y随x增大而增大，D 正确，故选项不符合题意． 故选：C． 8. 如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 9. 点在抛物线上，则的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性可以求得的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向上，对称轴为轴， ∵点在抛物线上， ∵，离对称轴越远，函数值越大， ∴ 故选：A． 10. 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可. 【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 11. 如图，圆形拱门的形状是以点为圆心的圆的一部分，点是的弦的中点，连接并延长交于点，若，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．连接，先证明，设半径为，在中列方程求出即可． 【详解】解：连接， ∵点是的弦的中点， ， 设半径为，则， ∵，， ∴， 在中，， ， 解得：， 则的半径为， 故选：C． 12. 设a是方程的一个根，则（　　） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 利用方程根的性质，将原表达式化简，并利用已知条件求值即可． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴． ． 由方程两边除以a得， ∴． 故选A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由于分式的分母不能为0，因此x-5≠0，解得x． 【详解】解：∵分式有意义， ∴x-5≠0，即x≠5． 故答案为x≠5． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0． 14. 如图，点O是正六边形的中心点，连接，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的中心角，连接，根据中心角的计算方法，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵点O是正六边形的中心点， ∴， ∴； 故答案为： 15. 若一元二次方程有一个根是1，则另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】设方程的另一个根a，根据根与系数之间的关系得，求出a即可． 本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，解题的关键是熟记根与系数的关系． 【详解】解：设方程的另一个根为 ， ∵一元二次方程有一个根是1， ∴，即， 即另一个根是． 故答案为： 16. 如图，抛物线与x轴交于两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是________． 【答案】#### 【解析】 【分析】连接，由题意可得：，求出的最大值，即可求解． 【详解】解：连接，如下图： 由题意可得：， 即当最大时，线段最大， 连接并延长交于点，当点与点重合时，此时最大，即 将代入得，，解得 即，， ， ，即的最大值为 从而线段的最大值为 故答案为： 【点睛】此题考查了中位线的性质，二次函数的性质，定点到圆上的最大距离，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，构造辅助线，得到． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（）；（），． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，立方根，有理数乘法，含三角函数的混合运算，熟练掌握相关运算法则和解一元二次方程的方法是解题的关键． （）先计算特殊锐角的三角函数值，有理数乘法，求立方根，然后合并即可； （）利用求根公式求解即可． 【详解】解：（） ； （） ， ∴，． 18. 在边长为1的正方形网格中如图所示．点A，B，C的坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为，画出，并直接写出点、的坐标； （2）把绕原点逆时针旋转得到，画出，并求出在旋转过程中，点B到点所经过的路径长． 【答案】（1） 如图即为所求； ， （2） 如图：即为所求． 由勾股定理得：， ∴的长为：． 【解析】 【分析】本题主要考查作图−旋转变换、作图−位似变换、弧长公式、勾股定理等知识点，解题的关键是确定旋转和位似变换后的对应点是解题的关键． （1）先根据位似的性质确定的对应点，然后再顺次连接即可完成作图，再写出点、的坐标即可； （2）先根据旋转的性质确定的对应点，然后再顺次连接即可完成作图；再利用勾股定理求出的长，最后利用弧长公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： 根据以上信息解答问题： （1）本次调查的学生总人数有 人； （2）已知全校共1200名学生，请估计全校C档的人数； （3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到2名学生都来自九年级的概率． 【答案】（1）40 （2）360人 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． （1）用A档人数除以所占百分比即可得到总人数； （2）先求出C档所占百分比，再乘以1200即可得到结论； （3）分别用甲，乙，丙，丁表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴本次调查人数是40人， 故答案为：； 【小问2详解】 解：C档人数是：（人）， （人）， 答：全校C档的人数为360人； 【小问3详解】 解：用甲表示七年级学生，用乙表示八年级学生，用丙和丁分别表示九年级学生，画树状图如下， 因为共有12种等可能的情况数，其中抽到2名学生都来自九年级的2种， 所以抽到2名学生都来自九年级的概率为：． 20. 2025年粤港澳大湾区全运会筹备工作全面推进，赛事周边文创产品市场热度持续攀升．某文创企业推出“活力大湾区”系列吉祥物智能手办，融合AR互动、赛事资讯实时推送等功能，一经推出便受到市场热烈追捧．经销售部门统计，该系列智能手办在2月份销售1000件，4月份销售1440件． （1）请求出“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率． （2）市场调研显示，当每个智能手办售价为200元时，月销售量为3000件；在此基础上，售价每上涨5元，月销售量将减少50件，从生产部门得知，该系列智能手办的生产成本为每件120元． ①设该系列智能手办的售价为x元/件，月销售量为y件，请直接写出y（件）关于x（元/件）的函数关系式：____________． ②在充分考虑全运会期间市场竞争的情况下，为使月销售利润达到36万元，且使得销量尽可能多，该企业应将智能手办的实际售价定为多少元/件？ 【答案】（1）20% （2）①；②该企业应将智能手办的实际售价定为300元/件 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，一次函数的实际应用，熟练根据题意得出等量关系是解题的关键． （1）设“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率为a，依题意得，求解即可； （2）①利用当每个智能手办售价为200元时，月销售量为3000件；在此基础上，售价每上涨5元，月销售量将减少50件，列式得； ②设该企业应将智能手办的实际售价定为x元/件，利用销量单个利润总利润，列式求解，再结合使得销量尽可能多，即可求解． 【小问1详解】 解：设“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率为a， 依题意得：， 解得：，， 因为增长率a为正数，故舍去， 所以， 答：“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率为20%． 【小问2详解】 解：①由题意得， 故答案为； ②设该企业应将智能手办的实际售价定为x元/件， 由题意得：． 整理得：， 解得：，， 由于要使得销量尽可能多，，y随x的增大而减小，因此舍去， 所以． 答：该企业应将智能手办的实际售价定为300元/件． 21. 如图，为的直径，A为上一点，P为延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又 ∴，即， ∴， 又是的半径， ∴是的切线； （2）9 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆周角定理可求，进而求出，利用等边对等角可得，结合条件得出，最后利用切线的判定即可得证； （2）证得，根据相似三角形的性质求得，在中，根据勾股定理即可求出的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ， ∴， 解得， ∴的半径为9． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 22. 阅读理解：如图1，在中，，，分别是，，的对边，，其外接圆半径为．根据锐角三角比的定义：，，可得，即（规定）． 探究活动：如图2，在锐角中，，，分别是，，的对边，其外接圆半径为，如图，过点作直径交于点，连接， ，， ， ， 根据上面的思路，试探究： （用，或连接）． 初步应用：事实上，以上结论适用于任意三角形．在中，，，分别是，，的对边，，，，求． 综合应用：如图3，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在处用测角仪测得地面点处的俯角为，点处的俯角为，，，在一条直线上，且，两点的距离为100米，求楼的高度．（结果保留根号）（参考数据：）． 【答案】探究活动：，；初步应用；综合应用 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，锐角三角函数等知识，读懂材料，并能熟练运用结论是解题的关键． 探究活动：由锐角三角函数可得，可得解； 初步应用：将数值代入可求解； 综合应用：由锐角三角函数即可求解． 【详解】解：探究活动：如图，过点C作直径交于点D，连接， ∴， ∴， ∴， 同理可证：，， ∴， 故答案为：，； 初步应用： ∵，，，， ∴， ∴， ∴； 综合应用： 如图， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 设楼，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴楼的高度约为． 23. 项目式学习 项目主题：无人机喷洒农药研究． 项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性． 驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济． 建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点为无人机的摄像头，是喷药口，，，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷药口点和点到点的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为，． （1）依题意，得点的坐标为：______；求出点所在抛物线的函数表达式． 问题解决； （2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为300cm，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且时，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度； （3）如图4，在直线上再增加2个喷药口和，在左侧，在右侧，，当无人机上升到距地面的高度为480cm时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长． 【答案】（1），；（2）225cm；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解决高度和距离问题；解题关键是通过建立平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行求解． （1）首先根据喷药口A、B到O距离相等且长度，确定A点在x轴上的坐标；由抛物线与y轴交点特征确定C点坐标．设抛物线的一般式，将C点坐标代入得到c的值，再利用抛物线对称轴为y轴这一性质得出b的值，最后把A点坐标及已得的b、c值代入一般式，求出a的值，进而确定抛物线的函数表达式； （2）以摄像头为原点建立平面直角坐标系，且明确喷药抛物线函数表达式不变． 由于田埂宽度为1且关于y轴对称，设田埂边缘在x轴正半轴点的坐标，将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐标即为调整高度时无人机摄像头距地面高度， 用无人机初始高度减去调整高度时摄像头距地面高度，得到无人机应下降的高度． （3）根据已知条件求出M的坐标．设所在抛物线表达式为，根据无人机相对高度对应的点坐标代入，求出表达式．求出与x轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y轴对称，用求出的横坐标距离乘以2，得到喷洒农药覆盖区域宽度． 【详解】解：（1），点与点到点的距离相等， ， 点的坐标为． 故答案为：； ， 点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． 点所在抛物线的函数表达式为． （2）以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系， 喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变． ，由题可知点和点关于轴对称， 可以设点的坐标为． 将点代入， 得． 点的坐标为． 此时无人机摄像头距离地面的高度为． ． 答∶ 无人机应该下降的高度为． （3） ∵，点坐标为， ∴点坐标为 ． ∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同， 设所在抛物线表达式为 ∵无人机高度为， ∵抛物线是从点（相对高度）， ∴代入到中，得 ． 解得， ． ， 关于y轴对称， ， 长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市银海三雅学校2025－2026学年度秋季学期初三年级 评价四数学试题 （考试时间：120分钟满分：120分） 注意事项： 1．本测试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本测试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中是随机事件的是（ ） A. 太阳从东边升起 B. 水中捞月 C. 抛掷一枚硬币次，次都是正面朝上 D. 三角形任意两边之和大于第三边 3. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，将绕顶点A逆时针旋转，得到，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 有最大值 D. 时，随增大而增大 8. 如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 点在抛物线上，则的大小关系为（    ） A. B. C. D. 10. 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（ ） A. B. C. D. 11. 如图，圆形拱门的形状是以点为圆心的圆的一部分，点是的弦的中点，连接并延长交于点，若，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 12. 设a是方程的一个根，则（　　） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 无法确定 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______． 14. 如图，点O是正六边形的中心点，连接，则的度数为______． 15. 若一元二次方程有一个根是1，则另一个根是______． 16. 如图，抛物线与x轴交于两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 在边长为1的正方形网格中如图所示．点A，B，C的坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为，画出，并直接写出点、的坐标； （2）把绕原点逆时针旋转得到，画出，并求出在旋转过程中，点B到点所经过的路径长． 19. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： 根据以上信息解答问题： （1）本次调查的学生总人数有 人； （2）已知全校共1200名学生，请估计全校C档的人数； （3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到2名学生都来自九年级的概率． 20. 2025年粤港澳大湾区全运会筹备工作全面推进，赛事周边文创产品市场热度持续攀升．某文创企业推出“活力大湾区”系列吉祥物智能手办，融合AR互动、赛事资讯实时推送等功能，一经推出便受到市场热烈追捧．经销售部门统计，该系列智能手办在2月份销售1000件，4月份销售1440件． （1）请求出“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率． （2）市场调研显示，当每个智能手办售价为200元时，月销售量为3000件；在此基础上，售价每上涨5元，月销售量将减少50件，从生产部门得知，该系列智能手办的生产成本为每件120元． ①设该系列智能手办的售价为x元/件，月销售量为y件，请直接写出y（件）关于x（元/件）的函数关系式：____________． ②在充分考虑全运会期间市场竞争的情况下，为使月销售利润达到36万元，且使得销量尽可能多，该企业应将智能手办的实际售价定为多少元/件？ 21. 如图，为的直径，A为上一点，P为延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 22. 阅读理解：如图1，在中，，，分别是，，的对边，，其外接圆半径为．根据锐角三角比的定义：，，可得，即（规定）． 探究活动：如图2，在锐角中，，，分别是，，的对边，其外接圆半径为，如图，过点作直径交于点，连接， ，， ， ， 根据上面的思路，试探究： （用，或连接）． 初步应用：事实上，以上结论适用于任意三角形．在中，，，分别是，，的对边，，，，求． 综合应用：如图3，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在处用测角仪测得地面点处的俯角为，点处的俯角为，，，在一条直线上，且，两点的距离为100米，求楼的高度．（结果保留根号）（参考数据：）． 23. 项目式学习 项目主题：无人机喷洒农药研究． 项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性． 驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济． 建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点为无人机的摄像头，是喷药口，，，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷药口点和点到点的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为，． （1）依题意，得点的坐标为：______；求出点所在抛物线的函数表达式． 问题解决； （2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为300cm，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且时，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度； （3）如图4，在直线上再增加2个喷药口和，在左侧，在右侧，，当无人机上升到距地面的高度为480cm时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $