第25章 概率的求法与应用（单元测试·提升卷）数学北京版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十五章 概率的求法与应用·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 1、 单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用点数为偶数的个数除以一枚骰子的点数的总个数即可得到答案． 【详解】解：∵一枚骰子一共有六个点数，其中点数为偶数的有3个， ∴掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为偶数的概率是， 故选：A． 2．在一个有2万人的小镇，随机调查了600人，其中200人看中央电视台的晚间新闻，在该镇随便问一个人，他看该电视台晚间新闻的概率大约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式，是解题的关键．根据概率公式直接进行计算即可． 【详解】解：在该镇随便问一个人，他看该电视台晚间新闻的概率大约是． 故选：C． 3．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（　　） A．0.620 B．0.618 C．0.610 D．1.000 【答案】B 【详解】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618． 故选B． 4．2025年是乙巳年，也是我们俗称的“蛇年”，其中“乙”是天干，“巳”是地支．其中地支包括子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪．从“地支”中抽一个，抽到“巳蛇”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：所有等可能的情况共有12种，其中抽到“巳蛇”的情况有1种， 所以抽到“巳蛇”的概率是， 故选：． 5．如图是一个游戏转盘，转盘表面平均分为3份，标为数字“1”“2”“3”．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“1”所示区域内的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由转盘可得，转盘平均分配为3份，“”有1份， 故自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字”1”所示区域内的概率是：， 故选：． 6．从“数学”的英文单词“”中随机抽取一个字母，抽中字母a的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵单词“”，共11个字母，字母a有2个， ∴抽中字母a的概率为． 故选：D． 7．从1，2，3，4，5五个数中随机选择一个数记为a，从，0，1，2，3中随机选择一个数记为b，能使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：画出树状图： 故a、b的取值组合有（种）， 对于一元二次方程，其判别式为， 要使方程有两个不相等的实数根，则，即，有15种组合， ∴概率为， 故选：B． 8．如图，在的正方形网格中标记了8个格点，若在A，B，C，D，E五个点中随机选取一点与点M连接得到直线l，则l恰好将线段分成长度比为的两部分的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接交于点F，连接，则经过点C，且， ∵， ， 经过点M、C的直线l将线段分成长度比为两部分． 连接， 观察图形可知，直线都不能将线段分成长度比为的两部分， 条直线中只有1条直线将线段分成长度比为的两部分， 将线段分成长度比为两部分的概率为， 故选A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．英文中瓷器“”与中国“”同为一词．瓷器是中国的名片，中国是瓷器的故乡，历史实践课上，某小组的同学制作了中国瓷器宋代五大名窑的卡片（卡片的背面完全相同），小文从中一次性随机抽取两张卡片，抽到的两张卡片恰好是“汝窑”和“定窑”的概率是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了列表求概率．设五大名窑的卡片分别为，根据列表法求得所有等可能结果，进而根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解： 设五大名窑的卡片分别为，列表如下， 共有20种等可能的结果，其中他抽到的两张卡片恰好是“汝窑”和“定窑”的结果有种， ∴抽到的两张卡片恰好是“汝窑”和“定窑”的概率是， 故答案为：． 10．在一个袋子里装有大小、形状、质地完全相同的红色、绿色、黄色的球，其中，红球4个，绿球5个，从中任取一球是绿球的概率为，则从中任取一球是黄球的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数，先设黄色的球有个，列出方程求得黄色球的个数，再利用黄色球的个数除以球的总个数求得概率． 【详解】解：设黄色的球有个， 那么从中任取一球是黄球的概率是， 故答案为：． 11．如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率、中心对称的性质，正确记忆相关知识是解题关键． 所求概率等于阴影部分面积与平行四边形面积之比． 【详解】解：由题意可知：和关于点中心对称， ， ， 飞镖恰好落在阴影区域的概率． 故答案为：． 12．如图，在某次体育课上，A，B，C，D四位同学分别站在正方形的4个顶点处（面向正方形内）做传球游戏．规定：传球的同学每次可以将手中的球任意传给其他三位同学中的一位（即A同学传球时，可以将球任意传给B，C，D三位同学中的一位），且游戏中传球和接球都没有失误．若由B同学开始第一次传球，则第二次传球B同学接到球的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率． 先画树状图表示出9种等可能的结果，再找出第二次B接到球的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【详解】画树状图如解图， 由树状图知，共有9种等可能的结果，其中第二次传球B同学接到球的结果有3种， P(第二次传球B同学接到球) ． 故答案为：． 13．如图，在，点，分别是和上的点，，，连接．现假设可以在图中随意取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在图中随意取点，则这个点取在阴影部分的概率． 故答案为：． 14．有甲、乙两个黑布袋，甲布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字和；乙布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字，，．小明从甲布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，再从乙布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，则满足有两个不相等实数根的概率是 ． 【答案】 【详解】解：有两个不相等实数根， ， ， 由表可知，共有种等可能的情况出现，其中满足的只有种， 满足有两个不相等实数根的概率是． 故答案为：． 15．如图，在等边中，点是线段上一点，是边上的高，连接交于点，且，现随机在内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求概率，平行线分线段成比例， 作，连接，先根据等边三角形的性质及平行线的性质得进而说明，即可得，再设，可表示，， 然后说明，接下来可求出，即可求出阴影部分的面积，最后根据概率公式可得答案. 【详解】解：过点E作，交于点G，连接， ∵是等边三角形，且是高线， ∴. ∵， ∴， 则. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 设，则 ∴. 根据等边三角形的对称性可知， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是， 所以针尖落在阴影区域的概率是. 故答案为：. 16．小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下： ①从左至右按从小到大的顺序排列： ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 小亮每行翻开了两张卡片，如图所示： 其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行最后一张白色卡片上数字只能是 有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是 ． 【答案】 【详解】解：黑卡8在左边， 白卡数字可能为8或9， 又白卡9排在第一行， 第四行最后一张白色卡片上数字只能是8； 每行能确定的数字为： 第一行：1 5 6 7 9 第二行： 3 4 5 第三行：0 6 7 9 第四行：0 2 8 8 不能确定的是黑色2，3和4，共有三种填法，是等可能性的，填对的有一种，即概率为， 故答案为：8；． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．某校九年级二班的数学作业设置了“A．概率题、B．统计题、C．解直角三角形计算题、D．二次函数的应用——利润问题”四个题型，每人只做其中的一个题型，要求通过抽签的方式确定个人的作业，抽签规则如下：将正面写有A、B、C、D的四张卡片（除了字母外，其余均相同）背面向上，洗匀，由第一个同学抽取，记下字母，放回，洗匀；再由第二个同学抽取，以此类推，直到全班抽完为止． (1)小瑶同学抽到“C．解直角三角形计算题”的概率为 ． (2)请用列表或树状图的方法，求小诺同学和小真同学抽到同一题型的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵有4个题型，且每人只做其中的一个题型，要求通过抽签的方式确定个人的作业， ∴小瑶同学抽到“C．解直角三角形计算题”的概率为， 故答案为： （2）解：画树状图如下： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，小诺同学和小真同学抽到同一题型的结果数有4种， ∴小诺同学和小真同学抽到同一题型的概率是． 18．小明和小莉做化学实验，紫色石蕊试剂是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水A、白醋溶液B、食用碱溶液C、柠檬水溶液D，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体． (1)小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是________________________； (2)小莉先取一个烧杯，滴入石蕊试剂，不放回再取出一个烧杯，再滴入石蕊试剂，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵一共有四瓶液体，其中能使紫色石蕊试剂变蓝的液体有一瓶，且每瓶液体被选择的概率相同， ∴小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是； （2）解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中一杯变红、一杯变蓝的结果数有4种， ∴一杯变红、一杯变蓝的概率为． 19．盛大的阅兵仪式，每一位学生都感到无比骄傲和自豪，宸宸和点点两位同学想观看电影《南京照相馆》，由于观影人数较多，他们相约各自在网上购买同一场次的票，选座时只剩如图所示的五个空座位了． (1)若宸宸随机选择座位，选择座位1的概率为_______；（直接填空） (2)宸宸和点点各自随机选择座位（同一时间没有其他人在线选座），用列表或画树状图的方法求两位同学选择的座位左右相邻的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵共有5个座位， ∴宸宸抽出座位1的概率为， （2）解：根据题意列表如下： 宸宸 点点 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 由表格可知共有20种结果，且每种结果出现的可能性是相同的，其中两位同学选择的座位左右相邻的有6种，分别是，所以两位同学选择的座位左右相邻的概率是． 20．今年10月，我市即将迎来第十五届省运会．此次省运会的吉祥物是阿福、阿仙．小明和小颖只有一张省运会的门票，正商议着谁去观看．小明提议：我们分别在三张卡片上写“阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取两张，能拼成阿福或阿仙我获胜，否则你获胜． (1)请写出小明、小颖获胜的概率 （小明获胜）_____， （小颖获胜）_____； (2)小明的提议对小颖_____；（填“公平”或“不公平”） (3)请你利用若干张卡片，设计一个对小明和小颖都公平的新方案． 【答案】(1)，； (2)不公平； (3)准备四张卡片，分别写“阿、阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取一张，抽到“阿”小明获胜，抽到“福”或“仙”小颖获胜．（答案不唯一） 【详解】（1）解：从三张卡片“阿、福、仙”中随机抽取两张，所有可能的结果有：（阿，福）、（阿，仙）、（福，仙），共种． 能拼成“阿福”或“阿仙”的结果有种，即（阿，福）、（阿，仙）． 所以（小明获胜），（小颖获胜） 故答案为：，； （2）解：因为， 所以小明的提议对小颖不公平． （3）解：示例：准备四张卡片，分别写“阿、阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取一张，抽到“阿”小明获胜，抽到“福”或“仙”小颖获胜．（答案不唯一） 21．“项目式学习”是一种新型学习方式，请根据下列材料，完成以下任务： 【背景】2024年国家对青少年电子产品的管理进一步细化，强制推行“青少年模式”：青少年应控制电子产品使用，非学习目的的使用单次不宜超过15分钟，周末累计不宜超过1小时． 【素材】某校调研了七年级（1）班同学周末电子产品的使用时间，并制作了如下两幅不完整的统计图（A．分钟，B．分钟，C．分钟，D．分钟）． 【问题任务】 (1)求扇形统计图中 m 的值，并补全条形统计图 (2)若七年级共有 600 人，根据调查估算周末电子产品使用时长小于 15 分钟学生人数？ (3)若从 D 中随机抽取一名学生，抽到男生的概率为，则 D 中女生有多少人？ 【答案】(1)，图见解析 (2)120人 (3)3人 【详解】（1）解：被调查的总人数为（人）， 则， ∴； A组人数为（人）， 补全图形如下： （2）解：（人）， 答：估算周末电子产品使用时长小于15分钟学生人数约为120人； （3）解：（人）， 答：D中女生有3人． 22．甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯．已知他们分别在1至4层的任意一层出电梯． 4 3 2 1 车库 (1)如果甲在1层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是______； (2)请你用列表法求出甲、乙在相邻楼层出电梯的概率． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表得出所有等可能的结果数以及甲、乙在相邻楼层出电梯的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，乙在层出电梯的概率为， ∴乙和甲在同一层楼出电梯的概率是． 故答案为：． （2）解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 一共出现16种等可能的结果，其中甲、乙在相邻楼层出电梯的结果有6种， （甲、乙在相邻楼层出电梯）． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 23．如图．一个均匀的转盘被平均分成了9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转动转盘）． (1)P（转出的数字为奇数）； (2)两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方式可从下面两种中选一种：A．猜“是3的倍数”；B．猜“是大于等于5的数”．如果轮到你猜数，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方式？请说明理由． 【答案】(1) (2)应选择方式，理由见解析 【分析】本题考查随机事件发生的概率，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提． （1）根据概率公式可计算出转出的数字为奇数的概率； （2）分别求出各种情况下获胜的概率，比较得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：转出的数字有9种结果，并且每种结果出现的可能性相同， 其中奇数有1，3，5，7，9共5种， ∴P（转出的数字为奇数）； （2）解：应选择方式，理由如下： 由题意可得，A．猜“是3的倍数”有；B．猜“是大于等于5的数”有， ∴，，， ∵， ∴方式获胜的可能性更大， ∴应选择方式． 24．2025年央视春晚的主题为“巳巳如意，生生不息”，双巳合璧，事事如意，这是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，饱含喜庆美好的家国祝福，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量，现将如图所示分别印有“巳”“ 巳”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除字外其余均相同． (1)若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“意”的概率为___________； (2)若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有的字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上分别印有“巳”和“如”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上的是“意”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片上为“巳”和“如”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上是“意”的结果有1种， ∴从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上是“意”的概率为． （2）解：根据题意，画树状图，得 由树状图可知，共有16种结果，每种结果出现的可能性都相等，其中摸出的这两张卡片上印有“巳”和“如”的结果有2种， ∴摸出的这两张卡片上分别印有“巳”和“如”的概率． 25．中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好． (1)从中随机抽取1张，抽到“孟子”书签的概率是________； (2)从中随机一次性抽取2张，用列表法或树状图法，求随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“孟子”书签的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“孟子”书签的结果有1种， ∴抽到“孟子”书签的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的结果有：，，共2种， ∴随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率为． 26．“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是红武同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． (1)若红武从四张卡片中任意选一张，则选到“B．造纸术”的概率为 ． (2)红武和浪浪玩游戏，红武从这四张卡片中随机抽取一张，浪浪再将剩下的三张卡片洗匀后随机抽取一张，若两人抽到的卡片有“D．印刷术”，则红武胜，否则浪浪胜，请用列表或画树状图的方法，判断上述游戏是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)游戏公平 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数和两人抽到的卡片有“D．印刷术”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵有“A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术”四张卡片， ∴小强从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“B．造纸术”的概率为． 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片有“D．印刷术”的结果有6种， ∴两人抽到的卡片有“D．印刷术”的概率为． 故两人获胜概率一样，游戏公平. 27．在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡三角的仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下，它在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下． （1）试问小球通过第二层位置的概率是多少？ （2）请用学过的数学方法模拟试验，并具体说明小球下落到第三层B位置和第四层C 位置处的概率各是多少？ 【答案】（1）（2）， 【详解】方法1：①实心小球在碰到菱形挡块时向左或向右下落是等可能性的经过一个菱形挡块后向左或向右下落的概率各是原概率的一半． 1分 画树状图可知，落到点位置的概率为．··············· 4分 ②同理可画树状图得，落到点位置的概率为．············ 8分 ③同理可画树状图得，落到点位置的概率为．··········· 12分 （注：①中画图1分，算出概率2分．②、③中画图2分，算出概率2分．） 方法2：（1）实心小球碰到每个菱形挡块时向左或向右是等可能性的，因此小球下落到的可能性会有以下的途径｛左右，右左｝两种情况，······························ 1分 而下落到第二层，共｛左左，左右，右左，右右｝四种情况············ 2分 由概率定义得························· 4分 （2）同理，到达第三层位置会有以下途径｛左右右，右左右，右右左｝三种情况 ······································ 5分 而下落到第三层共有｛左左左，左左右，左右左，左右右，右左左，右左右，右右左，右右右｝八种情况    6分 由概率定义得··························· 8分 （3）同理，到达第四层位置会有｛左左左右，左左右左，左右左左，右左左左｝四种情况 9分 而下落到第四层共有｛左左左左，左左左右，左左右左，左右左左，右左左左，左右左右，左右右左，左左右右，右左左右，右左右左，右右左左，右右右左，右右左右，右左右右，左右右右，右右右右｝共16情况 10分 由概率定义得························ 12分 方法3：本题也可用贾宪三角方法，先算出小球下落路径条数，如下图．由题意知：小球经过每条路径的可能性相同． 由概率定义易得，（其中画图2分，算出概率2分）···· 4分 ，（其中画图2分，算出概率2分）············ 8分 ．（其中画图2分，算出概率2分）······· 12分 （注：其它方案正确，可参照上述方案评分！） 把每一层的菱形看做一步，经过几层就看做几步画树状图，概率为在此点可能的概率相加．得到每一个菱形处向左或向右的概率均为 ，经过某点的概率为该点处的两个概率相加是解决本题的关键． 28．某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计），第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林，离入口处的路程（米）与时间（分）的函数关系如图2所示． （1）求第一班车从入口处到达塔林的时间． （2）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）． （3）若小聪在8：30至8：50之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过3分钟的概率是多少？ 【答案】（1）10；（2）7；（3）. 【分析】（1）根据题意设y=kx+b，运用待定系数法求解并把y=1500代入即可得出答案； （2）由题意设小聪坐上了第n班车，30-25+10（n-1）≥40，解得n≥4.5，可得小聪坐上了第5班车，再根据“路程、速度与时间的关系”解答即可; （3）根据题意求出小聪等车时间不超过3分钟的时间长度，代入概率计算公式，即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意可设函数表达式为：y=kx+b（k≠0）， 把（20，0），（38，2700）代入y=kx+b， 得，解得， ∴第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达为y=150x-3000（20≤x≤38）； 把y=1500代入y=150x-3000，解得x=30， 30-20=10（分）， ∴第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟. （2）设小聪坐上了第n班车，则30-25+10（n-1）≥40，解得n≥4.5， ∴小聪坐上了第5班车， 即等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1200÷150=8（分）， 步行所需时间：1200÷（1500÷25）=20（分）， 20-（8+5）=7（分）， ∴比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了7分钟． (3)由题意设小聪到达时间为y， 当y在8：37至8：40，或8：47至8：57时，共计6分钟，小聪等车时间不超过3分钟， 又小聪在8：30至8：50之间到达发车站乘坐班车， 故有其概率为：. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 九下第二十五章 概率的求法与应用测试（参考答案） 一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1 2 3 4 5 6 7 8 A C B C D D B A 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9． 10． 11． 12． 13． 14． 15． 16． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．(5分) 【详解】（1）解：∵有4个题型，且每人只做其中的一个题型，要求通过抽签的方式确定个人的作业， ∴小瑶同学抽到“C．解直角三角形计算题”的概率为， 故答案为： (2分) （2）解：画树状图如下： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，小诺同学和小真同学抽到同一题型的结果数有4种， ∴小诺同学和小真同学抽到同一题型的概率是． (5分) 18．(5分) 【详解】（1）解：∵一共有四瓶液体，其中能使紫色石蕊试剂变蓝的液体有一瓶，且每瓶液体被选择的概率相同， ∴小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是； (2分) （2）解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中一杯变红、一杯变蓝的结果数有4种， ∴一杯变红、一杯变蓝的概率为． (5分) 19．(5分) 【详解】（1）解：∵共有5个座位， ∴宸宸抽出座位1的概率为， (2分) （2）解：根据题意列表如下： 宸宸 点点 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 由表格可知共有20种结果，且每种结果出现的可能性是相同的，其中两位同学选择的座位左右相邻的有6种，分别是，所以两位同学选择的座位左右相邻的概率是． (5分) 20．(6分) 【详解】（1）解：从三张卡片“阿、福、仙”中随机抽取两张，所有可能的结果有：（阿，福）、（阿，仙）、（福，仙），共种． 能拼成“阿福”或“阿仙”的结果有种，即（阿，福）、（阿，仙）． 所以（小明获胜），（小颖获胜） 故答案为：，； (2分) （2）解：因为， 所以小明的提议对小颖不公平． (4分) （3）解：示例：准备四张卡片，分别写“阿、阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取一张，抽到“阿”小明获胜，抽到“福”或“仙”小颖获胜．（答案不唯一） (6分) 21．(6分) 【详解】（1）解：被调查的总人数为（人）， 则， ∴； A组人数为（人）， 补全图形如下： (2分) （2）解：（人）， 答：估算周末电子产品使用时长小于15分钟学生人数约为120人； (4分) （3）解：（人）， 答：D中女生有3人． (6分) 22．(5分) 【详解】（1）解：由题意得，乙在层出电梯的概率为， ∴乙和甲在同一层楼出电梯的概率是． 故答案为：． (3分) （2）解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 一共出现16种等可能的结果，其中甲、乙在相邻楼层出电梯的结果有6种， （甲、乙在相邻楼层出电梯）． (5分) 23．(5分) 【详解】（1）解：根据题意得：转出的数字有9种结果，并且每种结果出现的可能性相同， 其中奇数有1，3，5，7，9共5种， ∴P（转出的数字为奇数）； (2分) （2）解：应选择方式，理由如下： 由题意可得，A．猜“是3的倍数”有；B．猜“是大于等于5的数”有， ∴，，， ∵， ∴方式获胜的可能性更大， ∴应选择方式． (5分) 24．(6分) 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上是“意”的结果有1种， ∴从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上是“意”的概率为． (2分) （2）解：根据题意，画树状图，得 由树状图可知，共有16种结果，每种结果出现的可能性都相等，其中摸出的这两张卡片上印有“巳”和“如”的结果有2种， ∴摸出的这两张卡片上分别印有“巳”和“如”的概率． (6分) 25．(5分) 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“孟子”书签的结果有1种， ∴抽到“孟子”书签的概率为， 故答案为：； (2分) （2）解：列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的结果有：，，共2种， ∴随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率为． (5分) 26．(6分) 【详解】（1）解：∵有“A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术”四张卡片， ∴小强从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“B．造纸术”的概率为． 故答案为：． (2分) （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片有“D．印刷术”的结果有6种， ∴两人抽到的卡片有“D．印刷术”的概率为． 故两人获胜概率一样，游戏公平. (6分) 27．(7分) 【详解】 （1）实心小球碰到每个菱形挡块时向左或向右是等可能性的，因此小球下落到的可能性会有以下的途径｛左右，右左｝两种情况，······························ 而下落到第二层，共｛左左，左右，右左，右右｝四种情况·· 由概率定义得········· (3分) （2）同理，到达第三层位置会有以下途径｛左右右，右左右，右右左｝三种情况 ······································ 5分 而下落到第三层共有｛左左左，左左右，左右左，左右右，右左左，右左右，右右左，右右右｝八种情况    6分 由概率定义得·························· (5分) （3）同理，到达第四层位置会有｛左左左右，左左右左，左右左左，右左左左｝四种情况 9分 而下落到第四层共有｛左左左左，左左左右，左左右左，左右左左，右左左左，左右左右，左右右左，左左右右，右左左右，右左右左，右右左左，右右右左，右右左右，右左右右，左右右右，右右右右｝共16情况 10分 由概率定义得················· (7分) 28．(7分) 【详解】解：（1）由题意可设函数表达式为：y=kx+b（k≠0）， 把（20，0），（38，2700）代入y=kx+b， 得，解得， ∴第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达为y=150x-3000（20≤x≤38）； 把y=1500代入y=150x-3000，解得x=30， 30-20=10（分）， ∴第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟. (2分) （2）设小聪坐上了第n班车，则30-25+10（n-1）≥40，解得n≥4.5， ∴小聪坐上了第5班车， 即等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1200÷150=8（分）， 步行所需时间：1200÷（1500÷25）=20（分）， 20-（8+5）=7（分）， ∴比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了7分钟． (4分) (3)由题意设小聪到达时间为y， 当y在8：37至8：40，或8：47至8：57时，共计6分钟，小聪等车时间不超过3分钟， 又小聪在8：30至8：50之间到达发车站乘坐班车， 故有其概率为：. (7分) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十五章 概率的求法与应用·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 1、 单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 2．在一个有2万人的小镇，随机调查了600人，其中200人看中央电视台的晚间新闻，在该镇随便问一个人，他看该电视台晚间新闻的概率大约是（   ） A． B． C． D． 3．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（　　） A．0.620 B．0.618 C．0.610 D．1.000 4．2025年是乙巳年，也是我们俗称的“蛇年”，其中“乙”是天干，“巳”是地支．其中地支包括子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪．从“地支”中抽一个，抽到“巳蛇”的概率是（   ） A． B． C． D． 5．如图是一个游戏转盘，转盘表面平均分为3份，标为数字“1”“2”“3”．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“1”所示区域内的概率为（   ） A． B． C． D． 6．从“数学”的英文单词“”中随机抽取一个字母，抽中字母a的概率为（   ） A． B． C． D． 7．从1，2，3，4，5五个数中随机选择一个数记为a，从，0，1，2，3中随机选择一个数记为b，能使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在的正方形网格中标记了8个格点，若在A，B，C，D，E五个点中随机选取一点与点M连接得到直线l，则l恰好将线段分成长度比为的两部分的概率为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．英文中瓷器“”与中国“”同为一词．瓷器是中国的名片，中国是瓷器的故乡，历史实践课上，某小组的同学制作了中国瓷器宋代五大名窑的卡片（卡片的背面完全相同），小文从中一次性随机抽取两张卡片，抽到的两张卡片恰好是“汝窑”和“定窑”的概率是 ． 10．在一个袋子里装有大小、形状、质地完全相同的红色、绿色、黄色的球，其中，红球4个，绿球5个，从中任取一球是绿球的概率为，则从中任取一球是黄球的概率为 ． 11．如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为 ． 12．如图，在某次体育课上，A，B，C，D四位同学分别站在正方形的4个顶点处（面向正方形内）做传球游戏．规定：传球的同学每次可以将手中的球任意传给其他三位同学中的一位（即A同学传球时，可以将球任意传给B，C，D三位同学中的一位），且游戏中传球和接球都没有失误．若由B同学开始第一次传球，则第二次传球B同学接到球的概率为 ． 13．如图，在，点，分别是和上的点，，，连接．现假设可以在图中随意取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 14．有甲、乙两个黑布袋，甲布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字和；乙布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字，，．小明从甲布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，再从乙布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，则满足有两个不相等实数根的概率是 ． 15．如图，在等边中，点是线段上一点，是边上的高，连接交于点，且，现随机在内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是 16．小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下： ①从左至右按从小到大的顺序排列： ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 小亮每行翻开了两张卡片，如图所示： 其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行最后一张白色卡片上数字只能是 有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是 ． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．某校九年级二班的数学作业设置了“A．概率题、B．统计题、C．解直角三角形计算题、D．二次函数的应用——利润问题”四个题型，每人只做其中的一个题型，要求通过抽签的方式确定个人的作业，抽签规则如下：将正面写有A、B、C、D的四张卡片（除了字母外，其余均相同）背面向上，洗匀，由第一个同学抽取，记下字母，放回，洗匀；再由第二个同学抽取，以此类推，直到全班抽完为止． (1)小瑶同学抽到“C．解直角三角形计算题”的概率为 ． (2)请用列表或树状图的方法，求小诺同学和小真同学抽到同一题型的概率． 18．小明和小莉做化学实验，紫色石蕊试剂是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水A、白醋溶液B、食用碱溶液C、柠檬水溶液D，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体． (1)小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是________________________； (2)小莉先取一个烧杯，滴入石蕊试剂，不放回再取出一个烧杯，再滴入石蕊试剂，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率． 19．盛大的阅兵仪式，每一位学生都感到无比骄傲和自豪，宸宸和点点两位同学想观看电影《南京照相馆》，由于观影人数较多，他们相约各自在网上购买同一场次的票，选座时只剩如图所示的五个空座位了． (1)若宸宸随机选择座位，选择座位1的概率为_______；（直接填空） (2)宸宸和点点各自随机选择座位（同一时间没有其他人在线选座），用列表或画树状图的方法求两位同学选择的座位左右相邻的概率． 20．今年10月，我市即将迎来第十五届省运会．此次省运会的吉祥物是阿福、阿仙．小明和小颖只有一张省运会的门票，正商议着谁去观看．小明提议：我们分别在三张卡片上写“阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取两张，能拼成阿福或阿仙我获胜，否则你获胜． (1)请写出小明、小颖获胜的概率 （小明获胜）_____， （小颖获胜）_____； (2)小明的提议对小颖_____；（填“公平”或“不公平”） (3)请你利用若干张卡片，设计一个对小明和小颖都公平的新方案． 21．“项目式学习”是一种新型学习方式，请根据下列材料，完成以下任务： 【背景】2024年国家对青少年电子产品的管理进一步细化，强制推行“青少年模式”：青少年应控制电子产品使用，非学习目的的使用单次不宜超过15分钟，周末累计不宜超过1小时． 【素材】某校调研了七年级（1）班同学周末电子产品的使用时间，并制作了如下两幅不完整的统计图（A．分钟，B．分钟，C．分钟，D．分钟）． 【问题任务】 (1)求扇形统计图中 m 的值，并补全条形统计图 (2)若七年级共有 600 人，根据调查估算周末电子产品使用时长小于 15 分钟学生人数？ (3)若从 D 中随机抽取一名学生，抽到男生的概率为，则 D 中女生有多少人？ 22．甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯．已知他们分别在1至4层的任意一层出电梯． 4 3 2 1 车库 (1)如果甲在1层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是______； (2)请你用列表法求出甲、乙在相邻楼层出电梯的概率． 23．如图．一个均匀的转盘被平均分成了9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转动转盘）． (1)P（转出的数字为奇数）； (2)两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方式可从下面两种中选一种：A．猜“是3的倍数”；B．猜“是大于等于5的数”．如果轮到你猜数，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方式？请说明理由． 24．2025年央视春晚的主题为“巳巳如意，生生不息”，双巳合璧，事事如意，这是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，饱含喜庆美好的家国祝福，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量，现将如图所示分别印有“巳”“ 巳”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除字外其余均相同． (1)若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“意”的概率为___________； (2)若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有的字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上分别印有“巳”和“如”的概率． 25．中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好． (1)从中随机抽取1张，抽到“孟子”书签的概率是________； (2)从中随机一次性抽取2张，用列表法或树状图法，求随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率． 26．“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是红武同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． (1)若红武从四张卡片中任意选一张，则选到“B．造纸术”的概率为 ． (2)红武和浪浪玩游戏，红武从这四张卡片中随机抽取一张，浪浪再将剩下的三张卡片洗匀后随机抽取一张，若两人抽到的卡片有“D．印刷术”，则红武胜，否则浪浪胜，请用列表或画树状图的方法，判断上述游戏是否公平，并说明理由． 27．在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡三角的仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下，它在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下． （1）试问小球通过第二层位置的概率是多少？ （2）请用学过的数学方法模拟试验，并具体说明小球下落到第三层B位置和第四层C 位置处的概率各是多少？ 28．某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计），第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林，离入口处的路程（米）与时间（分）的函数关系如图2所示． （1）求第一班车从入口处到达塔林的时间． （2）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）． （3）若小聪在8：30至8：50之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过3分钟的概率是多少？ 试题 第3页（共10页） 试题 第4页（共10页） 试题 第1页（共10页） 试题 第2页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十五章 概率的求法与应用·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 1、 单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 2．在一个有2万人的小镇，随机调查了600人，其中200人看中央电视台的晚间新闻，在该镇随便问一个人，他看该电视台晚间新闻的概率大约是（   ） A． B． C． D． 3．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（　　） A．0.620 B．0.618 C．0.610 D．1.000 4．2025年是乙巳年，也是我们俗称的“蛇年”，其中“乙”是天干，“巳”是地支．其中地支包括子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪．从“地支”中抽一个，抽到“巳蛇”的概率是（   ） A． B． C． D． 5．如图是一个游戏转盘，转盘表面平均分为3份，标为数字“1”“2”“3”．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“1”所示区域内的概率为（   ） A． B． C． D． 6．从“数学”的英文单词“”中随机抽取一个字母，抽中字母a的概率为（   ） A． B． C． D． 7．从1，2，3，4，5五个数中随机选择一个数记为a，从，0，1，2，3中随机选择一个数记为b，能使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在的正方形网格中标记了8个格点，若在A，B，C，D，E五个点中随机选取一点与点M连接得到直线l，则l恰好将线段分成长度比为的两部分的概率为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．英文中瓷器“”与中国“”同为一词．瓷器是中国的名片，中国是瓷器的故乡，历史实践课上，某小组的同学制作了中国瓷器宋代五大名窑的卡片（卡片的背面完全相同），小文从中一次性随机抽取两张卡片，抽到的两张卡片恰好是“汝窑”和“定窑”的概率是 ． 10．在一个袋子里装有大小、形状、质地完全相同的红色、绿色、黄色的球，其中，红球4个，绿球5个，从中任取一球是绿球的概率为，则从中任取一球是黄球的概率为 ． 11．如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为 ． 12．如图，在某次体育课上，A，B，C，D四位同学分别站在正方形的4个顶点处（面向正方形内）做传球游戏．规定：传球的同学每次可以将手中的球任意传给其他三位同学中的一位（即A同学传球时，可以将球任意传给B，C，D三位同学中的一位），且游戏中传球和接球都没有失误．若由B同学开始第一次传球，则第二次传球B同学接到球的概率为 ． 13．如图，在，点，分别是和上的点，，，连接．现假设可以在图中随意取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 14．有甲、乙两个黑布袋，甲布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字和；乙布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字，，．小明从甲布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，再从乙布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，则满足有两个不相等实数根的概率是 ． 15．如图，在等边中，点是线段上一点，是边上的高，连接交于点，且，现随机在内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是 16．小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下： ①从左至右按从小到大的顺序排列： ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 小亮每行翻开了两张卡片，如图所示： 其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行最后一张白色卡片上数字只能是 有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是 ． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．某校九年级二班的数学作业设置了“A．概率题、B．统计题、C．解直角三角形计算题、D．二次函数的应用——利润问题”四个题型，每人只做其中的一个题型，要求通过抽签的方式确定个人的作业，抽签规则如下：将正面写有A、B、C、D的四张卡片（除了字母外，其余均相同）背面向上，洗匀，由第一个同学抽取，记下字母，放回，洗匀；再由第二个同学抽取，以此类推，直到全班抽完为止． (1)小瑶同学抽到“C．解直角三角形计算题”的概率为 ． (2)请用列表或树状图的方法，求小诺同学和小真同学抽到同一题型的概率． 18．小明和小莉做化学实验，紫色石蕊试剂是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水A、白醋溶液B、食用碱溶液C、柠檬水溶液D，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体． (1)小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是________________________； (2)小莉先取一个烧杯，滴入石蕊试剂，不放回再取出一个烧杯，再滴入石蕊试剂，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率． 19．盛大的阅兵仪式，每一位学生都感到无比骄傲和自豪，宸宸和点点两位同学想观看电影《南京照相馆》，由于观影人数较多，他们相约各自在网上购买同一场次的票，选座时只剩如图所示的五个空座位了． (1)若宸宸随机选择座位，选择座位1的概率为_______；（直接填空） (2)宸宸和点点各自随机选择座位（同一时间没有其他人在线选座），用列表或画树状图的方法求两位同学选择的座位左右相邻的概率． 20．今年10月，我市即将迎来第十五届省运会．此次省运会的吉祥物是阿福、阿仙．小明和小颖只有一张省运会的门票，正商议着谁去观看．小明提议：我们分别在三张卡片上写“阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取两张，能拼成阿福或阿仙我获胜，否则你获胜． (1)请写出小明、小颖获胜的概率 （小明获胜）_____， （小颖获胜）_____； (2)小明的提议对小颖_____；（填“公平”或“不公平”） (3)请你利用若干张卡片，设计一个对小明和小颖都公平的新方案． 21．“项目式学习”是一种新型学习方式，请根据下列材料，完成以下任务： 【背景】2024年国家对青少年电子产品的管理进一步细化，强制推行“青少年模式”：青少年应控制电子产品使用，非学习目的的使用单次不宜超过15分钟，周末累计不宜超过1小时． 【素材】某校调研了七年级（1）班同学周末电子产品的使用时间，并制作了如下两幅不完整的统计图（A．分钟，B．分钟，C．分钟，D．分钟）． 【问题任务】 (1)求扇形统计图中 m 的值，并补全条形统计图 (2)若七年级共有 600 人，根据调查估算周末电子产品使用时长小于 15 分钟学生人数？ (3)若从 D 中随机抽取一名学生，抽到男生的概率为，则 D 中女生有多少人？ 22．甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯．已知他们分别在1至4层的任意一层出电梯． 4 3 2 1 车库 (1)如果甲在1层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是______； (2)请你用列表法求出甲、乙在相邻楼层出电梯的概率． 23．如图．一个均匀的转盘被平均分成了9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转动转盘）． (1)P（转出的数字为奇数）； (2)两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方式可从下面两种中选一种：A．猜“是3的倍数”；B．猜“是大于等于5的数”．如果轮到你猜数，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方式？请说明理由． 24．2025年央视春晚的主题为“巳巳如意，生生不息”，双巳合璧，事事如意，这是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，饱含喜庆美好的家国祝福，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量，现将如图所示分别印有“巳”“ 巳”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除字外其余均相同． (1)若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“意”的概率为___________； (2)若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有的字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上分别印有“巳”和“如”的概率． 25．中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好． (1)从中随机抽取1张，抽到“孟子”书签的概率是________； (2)从中随机一次性抽取2张，用列表法或树状图法，求随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率． 26．“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是红武同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． (1)若红武从四张卡片中任意选一张，则选到“B．造纸术”的概率为 ． (2)红武和浪浪玩游戏，红武从这四张卡片中随机抽取一张，浪浪再将剩下的三张卡片洗匀后随机抽取一张，若两人抽到的卡片有“D．印刷术”，则红武胜，否则浪浪胜，请用列表或画树状图的方法，判断上述游戏是否公平，并说明理由． 27．在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡三角的仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下，它在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下． （1）试问小球通过第二层位置的概率是多少？ （2）请用学过的数学方法模拟试验，并具体说明小球下落到第三层B位置和第四层C 位置处的概率各是多少？ 28．某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计），第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林，离入口处的路程（米）与时间（分）的函数关系如图2所示． （1）求第一班车从入口处到达塔林的时间． （2）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）． （3）若小聪在8：30至8：50之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过3分钟的概率是多少？ 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $