第25章 概率的求法与应用（单元测试·基础卷）数学北京版九年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十五章 概率的求法与应用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：100分 1、 单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3．随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球．第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（　　） A． B． C． D． 2．一个不透明的口袋中装有8个黑球和4个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，则摸到白球的概率是（　　） A． B． C． D． 3．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（    ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A． B． C． D． 4．小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是（ ） A． B． C． D． 5．如图，两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均相等，那么，指针同时指向偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 6．在数轴上，有一点A在数之间，那么，该点落在之间的概率为（   ） A． B． C． D． 7．某路口的交通信号灯设置每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，看到哪种灯的可能性最大（   ） A．绿灯 B．黄灯 C．红灯 D．可能性相等 8．物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有 种． 10．“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形中，，，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为 ． 11．篮球板的长为，宽为，篮板上在圆形球框的上方有一个长 ，宽的投球框．一般情况下，投篮板球时，只要篮球磕到这个投球框内，就能投中．某班学生学习投篮板球，试求事件“投球一次，恰好投中”的概率为 ．（以上数据均属假设，并且，每次投篮时，篮球都能与篮球板接触） 12．如图，直线上A，B两点间的距离为，动点P从点A出发向右移动，每次都随机移动或或，则经过两次移动后，点P恰好和点B重合的概率为 ． 13．如图，已知边长为的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取个点，若有个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 ． 14．如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是 ． 15．一个人在直角坐标系上从走到，每次他可以往上走一个单位长度或往右走一个单位长度且它的横坐标和纵坐标的绝对值至少有一个大于等于二，则这个人有 种走法． 16．从不等式的负整数解中任意取一个数作为的值，则关于的分式方程的解是正整数的概率为 ． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．如图为一个的正方形格子，现在给其中的三个小正方形染色，求被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率． 18．如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1、2、3，那么从每组牌中各摸出一张牌． (1)摸出两张牌的数字之和为4的概率为多少？ (2)摸出两张牌的数字相等的概率为多少？ 19．甘肃省海拔大多在1000米以上，有直插云天的皑皑雪峰、有一望无垠的辽阔草原、也有郁郁葱葱的森林．如图1，现有2张形状、大小相同但画面不同的风景图片，分别是祁连雪山和桑科草原，小颖将这2张图片全部从中间剪断（如图2），然后将所得到的4张小的图片混合均匀． (1)求小颖从这4张小的图片中随机抽出1张恰好是祁连雪山部分图的概率； (2)用画树状图或列表的方法，求小颖从4张小的图片中随机抽出2张恰好组成一张完整风景图的概率． 20．如图，一个质地均匀的正四面体（四个面都是正三角形），四个面上分别标有数字1、2、3、4．若连续投掷这个四面体两次，试用适当的方法求出下列各事件的概率． (1)“ 朝下的面上的数字之和是5” (2)“ 朝下的面上的数字之和是奇数” (3)“ 朝下的面上的数字之和是偶数” 21．甲、乙两个人乘坐轨道交通6号线，在长影世纪城站下车，现有A、C、D三个出口，假设他们从任意出口通过的可能性均等．        (1)请用树状图或表格法求甲、乙两人走同一出口的概率． (2)甲准备乘坐轨道交通6号线回家在长影世纪城站A出口的概率是______． 22．（1）一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，求最终停在阴影方砖上的概率； （2）在中，是两条对角线，现有以下条件：①；②；③；④．从中任取一个作为条件，求可判定是菱形的概率． 23．为庆祝中国共产党建党周年，我区某校组织全校名学生进行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题： (1)本次被抽取的部分人数是 名，扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是 ； (2)根据抽样结果，请估计该校获得特等奖的人数为 名； (3)某班有4名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率． 24．如图所示，小明和小亮用转盘做游戏，小明转动的A盘被等分成4个扇形，小亮转动的B盘被等分成3个扇形，两人分别转动转盘一次． (1)用列表法或画树状图法表示出所有可能出现的结果； (2)若“配成橙色”（黄色与红色配成橙色），小明胜；否则小亮胜．这个“配色”游戏对双方公平吗？说说你的理由． 25．“唐妞”人物形象是以陕西历史博物馆的唐朝仕女俑为原型打造，糅合了西安十三朝古都的历史文化底蕴，打造出的独特卡通人物．刘云节假日期间来陕西旅游时，准备购买与“唐妞”有关的文创产品、她计划在“A．冰箱贴”、“B．团扇”、“C．公仔”、“D．手机壳”、“E．钥匙扣”中选择购买． （1）若刘云随机选择一种购买，则她选择购买“A．冰箱贴”的概率是______； （2）若刘云随机选择两种购买，请用列表或画树状图的方法，求她购买的两种文创产品中，没有“C．公仔”的概率． 26．如图，这是正面分别印有1，2，3三个数字的三张卡片，卡片大小、形状及背面图案完全相同，现将三张卡片背面朝上放置在桌面上且打乱顺序，每次从中随机选取一张． (1)若选取一张，则抽中的卡片上的数字为偶数的概率为 ． (2)若选取一张后，将卡片背面朝上放回，打乱顺序再重新抽取一张，分别记下两次卡片的数字，按先后顺序组成一个两位数（第一次记下的数字为十位数字，第二次记下的数字为个位数字），用画树状图或列表的方法，求组成的两位数为五月的某一个日期的概率． 27．如图，在平面直角坐标系中，， (1)若点与点关于轴对称，则点的坐标为_______； (2)将点向右平移5个单位得到点，则点的坐标为______； (3)由点，，，组成的四边形内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率． 28．在“趣味化学实验室”选修课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立马显现出红色的文字，这是酚酞溶液产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色、现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液： (1)小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是______； (2)张老师随机从两瓶溶液中各取一定量的溶液混合均匀，请用列表格或画树状图的方法求出混合后的溶液变红色的概率． 试题 第3页（共10页） 试题 第4页（共10页） 试题 第1页（共10页） 试题 第2页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十五章 概率的求法与应用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：100分 1、 单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3．随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球．第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：列表如下： 共有6种等可能的结果，其中第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的结果有：，，，共3种， 第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是． 故选：A． 2．一个不透明的口袋中装有8个黑球和4个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，则摸到白球的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：一个不透明的口袋中装有8个黑球和4个白球，每个球除颜色外都相同，摇匀后随机摸一球，则摸到白球的概率为． 故选：B 3．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（    ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据频率估算概率，根据大量重复试验的结果，频率逐渐趋向于概率，由此即可求解，理解频率和概率之间的关系是解题的关键． 【详解】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于， 故选：． 4．小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意画图如下： 共有种情况数，抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的有种情况， 则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是； 故选：D． 5．如图，两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均相等，那么，指针同时指向偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：画树状图得： ∴一共有种等可能的结果， 指针指向的数字均为偶数的有2种情况， ∴指针指向的数字为偶数的概率是． 故选：C． 6．在数轴上，有一点A在数之间，那么，该点落在之间的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率的计算，熟练掌握该知识点是解题的关键．数轴上之间的长度为6，之间的长度为2，然后利用它们之间的长度比即可得出答案． 【详解】解：数轴上之间的长度为6，之间的长度为2，那么该点落在之间的概率为， 故选：B． 7．某路口的交通信号灯设置每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，看到哪种灯的可能性最大（   ） A．绿灯 B．黄灯 C．红灯 D．可能性相等 【答案】C 【分析】此题主要考查了概率公式的应用．根据概率计算公式进行求解即可 【详解】解：∵， ∴由题意得当你抬头看信号灯时， 是红灯的概率为， 是绿灯的概率为， 是黄灯的概率为， ∵， ∴看到红灯的可能性最大， 故选：C． 8．物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：列表如下： - - - - 由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种， 灯泡发光的概率为， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有 种． 【答案】16 【详解】解：从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，分别为，共20种，其中三个数都不相邻的情况有，共4种情况， ∴至少有两个数为相邻整数的选法有（种）； 故答案为16． 10．“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形中，，，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【详解】解：设，则， ，， ，     ， 解得：或舍去， ， ， ， ， 这个点落在阴影部分的概率为， 故答案为： 11．篮球板的长为，宽为，篮板上在圆形球框的上方有一个长 ，宽的投球框．一般情况下，投篮板球时，只要篮球磕到这个投球框内，就能投中．某班学生学习投篮板球，试求事件“投球一次，恰好投中”的概率为 ．（以上数据均属假设，并且，每次投篮时，篮球都能与篮球板接触） 【答案】 【详解】解：“投球一次，恰好投中”的概率为， 故答案为：． 12．如图，直线上A，B两点间的距离为，动点P从点A出发向右移动，每次都随机移动或或，则经过两次移动后，点P恰好和点B重合的概率为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，画出树状图如图所示： ， 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中经过两次移动后，点P恰好和点B重合的情况有种， ∴经过两次移动后，点P恰好和点B重合的概率为， 故答案为：． 13．如图，已知边长为的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取个点，若有个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，熟练掌握频率的计算方法是解题的关键，用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为：， ∵正方形区域内任取个点中，有个点在黑色部分， ∴黑色部分占正方形的：， ∴二维码中黑色部分的面积约为：， 故答案为：． 14．如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【详解】解：如下图，取中点，设与以为直径的半圆的切点为， 设正方形的边长为2，， 则有，半圆的半径，， ∵为直径， ∴切半圆于点，切半圆于点， ∵切半圆于点， ∴，， ∴，， ∴在中，可有， 即，解得， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴正方形的面积， 阴影部分的面积， ∴在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率． 故答案为：． 15．一个人在直角坐标系上从走到，每次他可以往上走一个单位长度或往右走一个单位长度且它的横坐标和纵坐标的绝对值至少有一个大于等于二，则这个人有 种走法． 【答案】74 【详解】点的坐标 解：基础标数： （1）起点标 “1”（只有 1 种到起点的方法）； （2）（）和（）只能单向走，全标 “”． 逐点计算（重点标关键位置）： x\y 0 1 2 3 3 1 7 13 19 25 37 2 1 6 6 6 6 12 37 1 1 5 （禁区） （禁区） （禁区） 6 25 0 1 4 （禁区） （禁区） （禁区） 6 19 1 3 （禁区） （禁区） （禁区） 6 13 1 2 3 4 5 6 7 起点 1 1 1 1 1 1 结果：终点的走法数为 74． 故填：74． 16．从不等式的负整数解中任意取一个数作为的值，则关于的分式方程的解是正整数的概率为 ． 【答案】 【详解】解：解不等式， 得， ∴不等式的负整数解为：，，，， 解方程， 得， ． ∵分式方程的解是正整数， ∴，且， ∴，且， 解得且， ∴使分式方程的解为正整数的m的值只有一个， ∴关于的分式方程的解是正整数的概率为． 故答案为：． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．如图为一个的正方形格子，现在给其中的三个小正方形染色，求被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率． 【答案】 【详解】解：由题意知，给其中任意三个小正方形染色共有种情况，其中三个小正方形不同行也不同列的共有种情况， ∵， ∴被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率为． 18．如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1、2、3，那么从每组牌中各摸出一张牌． (1)摸出两张牌的数字之和为4的概率为多少？ (2)摸出两张牌的数字相等的概率为多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中摸出两张牌的数字之和为4的结果数有3种， ∴摸出两张牌的数字之和为4的概率为； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中摸出两张牌的数字相等的结果数有3种， ∴摸出两张牌的数字相等的概率为． 19．甘肃省海拔大多在1000米以上，有直插云天的皑皑雪峰、有一望无垠的辽阔草原、也有郁郁葱葱的森林．如图1，现有2张形状、大小相同但画面不同的风景图片，分别是祁连雪山和桑科草原，小颖将这2张图片全部从中间剪断（如图2），然后将所得到的4张小的图片混合均匀． (1)求小颖从这4张小的图片中随机抽出1张恰好是祁连雪山部分图的概率； (2)用画树状图或列表的方法，求小颖从4张小的图片中随机抽出2张恰好组成一张完整风景图的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法或树状图法． （1）根据概率公式求解即可； （2）用、表示祁连雪山风景图片被剪成的两半，用、b表示桑科草原风景图片被剪成的两半，然后利用树状图展示所有可能的结果数，找出2张图片恰好组成一张完整风景图的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：∵4张小的图片中有2张祁连雪山部分图形， ∴小颖从这4张小的图片中随机抽出1张恰好是祁连雪山部分图的概率； （2）解：用、表示祁连雪山风景图片被剪成的两半，用、表示桑科草原风景图片被剪成的两半， 画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中2张图片恰好组成一张完整风景图的结果数为， 所以2张图片恰好组成一张完整风景图的概率． 20．如图，一个质地均匀的正四面体（四个面都是正三角形），四个面上分别标有数字1、2、3、4．若连续投掷这个四面体两次，试用适当的方法求出下列各事件的概率． (1)“ 朝下的面上的数字之和是5” (2)“ 朝下的面上的数字之和是奇数” (3)“ 朝下的面上的数字之和是偶数” 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查列表法求概率，正确列出表格，是解题的关键： （1）根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可； （2）利用（1）中表格，利用概率公式进行计算即可； （3）利用（1）中表格，利用概率公式进行计算即可； 【详解】（1）解：由题意，列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 共16种等可能的结果，其中和为5的结果有4种， ∴“底面上的数字之和是5”的概率为； （2）由（1）中表格可知，共16种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种， ∴“底面上的数字之和是奇数”的概率为； （3）由（1）中表格可知，共16种等可能的结果，其中和为偶数的结果有8种， ∴“底面上的数字之和是偶数”的概率为． 21．甲、乙两个人乘坐轨道交通6号线，在长影世纪城站下车，现有A、C、D三个出口，假设他们从任意出口通过的可能性均等．        (1)请用树状图或表格法求甲、乙两人走同一出口的概率． (2)甲准备乘坐轨道交通6号线回家在长影世纪城站A出口的概率是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率．利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后利用概率公式求事件A的概率． （1）画树状图列出所有等可能结果，从中找到两人走同一出口的结果数，利用概率公式求解可得； （2）直接利用概率公式求解可得． 【详解】（1）解：用树状图表示甲、乙两人走同一出口的概率： ∴一共有9种等可能情况，其中甲、乙两人走同一出口的情况有3种， ∴甲、乙两人走同一出口的概率为； （2）解：根据题意得：甲准备乘坐轨道交通6号线回家在长影世纪城站A出口的概率是． 故答案为： 22．（1）一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，求最终停在阴影方砖上的概率； （2）在中，是两条对角线，现有以下条件：①；②；③；④．从中任取一个作为条件，求可判定是菱形的概率． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了概率的简单应用，熟练掌握概率的定义和求法是解题的关键； （1）计算面积再根据概率公式计算概率； （2）判断满足菱形条件的个数然后根据概率公式计算即可. 【详解】解：（1）设每个小正方形的边长为1，则， （最终停在阴影方砖上）． （2）①四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形； ②四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形； ③四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形； ④四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形． 只有①③可判定是菱形， ∴可判定是菱形的概率是． 23．为庆祝中国共产党建党周年，我区某校组织全校名学生进行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题： (1)本次被抽取的部分人数是 名，扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是 ； (2)根据抽样结果，请估计该校获得特等奖的人数为 名； (3)某班有4名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件∶树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为∶概率=所求情况数与总情况数之比，也考查了条形统计图和扇形统计图． （1）由C级的人数和所占百分比求出本次被抽取的部分人数，再由乘以B级所占的比例即可； （2）由全校学生名乘以获得特等奖的人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有种等可能的结果，小利被选中的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解∶本次抽样测试的人数为∶ (名)， ∴扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是 故答案为∶，． （2）解：估计该校获得特等奖的人数为∶ (名)， 故答案为∶． （3）解：把小利、小芳、小明、小亮分别记为A、B、C、D， 画树状图如图∶ 共有种等可能的结果，小利被选中的结果有6种， 小利被选中的概率为∶． 答：小利被选中的概率为． 24．如图所示，小明和小亮用转盘做游戏，小明转动的A盘被等分成4个扇形，小亮转动的B盘被等分成3个扇形，两人分别转动转盘一次． (1)用列表法或画树状图法表示出所有可能出现的结果； (2)若“配成橙色”（黄色与红色配成橙色），小明胜；否则小亮胜．这个“配色”游戏对双方公平吗？说说你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)不公平，见解析 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法表示出所有情况，概率公式的应用. （1）用列表法表示出所有情况即可； （2）根据（1）的表格结合概率公式判断即可. 【详解】（1）解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下： 红 蓝 蓝 蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 红 （红，红） （蓝，红） （蓝，红） 黄 （红，黄） （蓝，黄） （蓝，黄） 红 （红，红） （蓝，红） （蓝，红） （2）解：不公平． 理由如下：由（1）可知，共有12种等可能的结果，其中只有1种结果可以“配成橙色”， 故“配成橙色”的概率是，即小明胜的概率是， 小亮胜的概率为． 小亮胜的概率大， 这个“配色”游戏对双方不公平． 25．“唐妞”人物形象是以陕西历史博物馆的唐朝仕女俑为原型打造，糅合了西安十三朝古都的历史文化底蕴，打造出的独特卡通人物．刘云节假日期间来陕西旅游时，准备购买与“唐妞”有关的文创产品、她计划在“A．冰箱贴”、“B．团扇”、“C．公仔”、“D．手机壳”、“E．钥匙扣”中选择购买． （1）若刘云随机选择一种购买，则她选择购买“A．冰箱贴”的概率是______； （2）若刘云随机选择两种购买，请用列表或画树状图的方法，求她购买的两种文创产品中，没有“C．公仔”的概率． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查概率的计算，解题的关键是明确概率公式是事件发生的总数，是总事件发生的总数），并能通过列表法列出所有可能结果。 （1）直接根据概率公式，用“A．冰箱贴”的种数除以总文创产品种数即可求解。 （2）通过列表法列出随机选择两种文创产品的所有可能结果，再找出没有“C．公仔”的结果数，最后根据概率公式计算概率。 【详解】解：（1）总共有 5 种文创产品，“A．冰箱贴”只有 1 种， 根据概率公式，可得她选择购买“A．冰箱贴”的概率是 故答案为：； （2）解：列表如下： E E 共有20种等可能的结果， 没有“C．公仔”的结果有：、、、、、、、、、、，共12种， 根据概率公式，其中（总结果数），（没有“C．公仔”的结果数），可得她购买的两种文创产品中没有“C．公仔”的概率． 答：她购买的两种文创产品中，没有“C．公仔”的概率为． 26．如图，这是正面分别印有1，2，3三个数字的三张卡片，卡片大小、形状及背面图案完全相同，现将三张卡片背面朝上放置在桌面上且打乱顺序，每次从中随机选取一张． (1)若选取一张，则抽中的卡片上的数字为偶数的概率为 ． (2)若选取一张后，将卡片背面朝上放回，打乱顺序再重新抽取一张，分别记下两次卡片的数字，按先后顺序组成一个两位数（第一次记下的数字为十位数字，第二次记下的数字为个位数字），用画树状图或列表的方法，求组成的两位数为五月的某一个日期的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率的计算，正确列举出所有可能的结果是解题的关键． （1）直接根据概率公式计算； （2）通过列表或画树状图的方法列出所有组成两位数的可能结果，再找出符合五月日期的结果，最后根据概率公式求解． 【详解】（1）三张卡片上的数字为，其中偶数为2，只有一个． 概率为． （2）列表如下： 第一次第二次 1 2 3 1 11 12 13 2 21 22 23 3 31 32 33 共有种等可能结果，其中属于五月日期的有种， 概率为． 27．如图，在平面直角坐标系中，， (1)若点与点关于轴对称，则点的坐标为_______； (2)将点向右平移5个单位得到点，则点的坐标为______； (3)由点，，，组成的四边形内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查图形与坐标及概率，熟练掌握图形与坐标及概率的求法是解题的关键； （1）根据“关于坐标轴对称，关于谁对称谁就不变，另一个互为相反数”进行求解即可； （2）根据坐标的平移“左减右加，上加下减”进行求解即可； （3）由（1）（2）可在图形中作图四边形，然后可得整数点的个数，进行问题可求解． 【详解】（1）解：∵，且点与点关于轴对称， ∴点的坐标为； 故答案为； （2）解：∵，且点向右平移5个单位得到点， ∴点的坐标为； 故答案为； （3）解：由（1）（2）可得点A、B、C、D的位置如图所示： 由图可知：在四边形内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点的坐标有，，共15种可能性，其中所取的点横、纵坐标之和恰好为零的有3种可能性，所以所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率为． 28．在“趣味化学实验室”选修课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立马显现出红色的文字，这是酚酞溶液产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色、现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液： (1)小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是______； (2)张老师随机从两瓶溶液中各取一定量的溶液混合均匀，请用列表格或画树状图的方法求出混合后的溶液变红色的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种， ∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是； 故答案为：． （2）解：列表如下， A B C D A B C D 共有12种等可能结果，其中混合后的溶液变红色的结果有：，共2种， ∴混合后的溶液变红色的概率为． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十五章 概率的求法与应用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：100分 1、 单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3．随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球．第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（　　） A． B． C． D． 2．一个不透明的口袋中装有8个黑球和4个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，则摸到白球的概率是（　　） A． B． C． D． 3．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（    ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A． B． C． D． 4．小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是（ ） A． B． C． D． 5．如图，两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均相等，那么，指针同时指向偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 6．在数轴上，有一点A在数之间，那么，该点落在之间的概率为（   ） A． B． C． D． 7．某路口的交通信号灯设置每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，看到哪种灯的可能性最大（   ） A．绿灯 B．黄灯 C．红灯 D．可能性相等 8．物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有 种． 10．“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形中，，，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为 ． 11．篮球板的长为，宽为，篮板上在圆形球框的上方有一个长 ，宽的投球框．一般情况下，投篮板球时，只要篮球磕到这个投球框内，就能投中．某班学生学习投篮板球，试求事件“投球一次，恰好投中”的概率为 ．（以上数据均属假设，并且，每次投篮时，篮球都能与篮球板接触） 12．如图，直线上A，B两点间的距离为，动点P从点A出发向右移动，每次都随机移动或或，则经过两次移动后，点P恰好和点B重合的概率为 ． 13．如图，已知边长为的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取个点，若有个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 ． 14．如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是 ． 15．一个人在直角坐标系上从走到，每次他可以往上走一个单位长度或往右走一个单位长度且它的横坐标和纵坐标的绝对值至少有一个大于等于二，则这个人有 种走法． 16．从不等式的负整数解中任意取一个数作为的值，则关于的分式方程的解是正整数的概率为 ． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．如图为一个的正方形格子，现在给其中的三个小正方形染色，求被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率． 18．如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1、2、3，那么从每组牌中各摸出一张牌． (1)摸出两张牌的数字之和为4的概率为多少？ (2)摸出两张牌的数字相等的概率为多少？ 19．甘肃省海拔大多在1000米以上，有直插云天的皑皑雪峰、有一望无垠的辽阔草原、也有郁郁葱葱的森林．如图1，现有2张形状、大小相同但画面不同的风景图片，分别是祁连雪山和桑科草原，小颖将这2张图片全部从中间剪断（如图2），然后将所得到的4张小的图片混合均匀． (1)求小颖从这4张小的图片中随机抽出1张恰好是祁连雪山部分图的概率； (2)用画树状图或列表的方法，求小颖从4张小的图片中随机抽出2张恰好组成一张完整风景图的概率． 20．如图，一个质地均匀的正四面体（四个面都是正三角形），四个面上分别标有数字1、2、3、4．若连续投掷这个四面体两次，试用适当的方法求出下列各事件的概率． (1)“ 朝下的面上的数字之和是5” (2)“ 朝下的面上的数字之和是奇数” (3)“ 朝下的面上的数字之和是偶数” 21．甲、乙两个人乘坐轨道交通6号线，在长影世纪城站下车，现有A、C、D三个出口，假设他们从任意出口通过的可能性均等．        (1)请用树状图或表格法求甲、乙两人走同一出口的概率． (2)甲准备乘坐轨道交通6号线回家在长影世纪城站A出口的概率是______． 22．（1）一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，求最终停在阴影方砖上的概率； （2）在中，是两条对角线，现有以下条件：①；②；③；④．从中任取一个作为条件，求可判定是菱形的概率． 23．为庆祝中国共产党建党周年，我区某校组织全校名学生进行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题： (1)本次被抽取的部分人数是 名，扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是 ； (2)根据抽样结果，请估计该校获得特等奖的人数为 名； (3)某班有4名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率． 24．如图所示，小明和小亮用转盘做游戏，小明转动的A盘被等分成4个扇形，小亮转动的B盘被等分成3个扇形，两人分别转动转盘一次． (1)用列表法或画树状图法表示出所有可能出现的结果； (2)若“配成橙色”（黄色与红色配成橙色），小明胜；否则小亮胜．这个“配色”游戏对双方公平吗？说说你的理由． 25．“唐妞”人物形象是以陕西历史博物馆的唐朝仕女俑为原型打造，糅合了西安十三朝古都的历史文化底蕴，打造出的独特卡通人物．刘云节假日期间来陕西旅游时，准备购买与“唐妞”有关的文创产品、她计划在“A．冰箱贴”、“B．团扇”、“C．公仔”、“D．手机壳”、“E．钥匙扣”中选择购买． （1）若刘云随机选择一种购买，则她选择购买“A．冰箱贴”的概率是______； （2）若刘云随机选择两种购买，请用列表或画树状图的方法，求她购买的两种文创产品中，没有“C．公仔”的概率． 26．如图，这是正面分别印有1，2，3三个数字的三张卡片，卡片大小、形状及背面图案完全相同，现将三张卡片背面朝上放置在桌面上且打乱顺序，每次从中随机选取一张． (1)若选取一张，则抽中的卡片上的数字为偶数的概率为 ． (2)若选取一张后，将卡片背面朝上放回，打乱顺序再重新抽取一张，分别记下两次卡片的数字，按先后顺序组成一个两位数（第一次记下的数字为十位数字，第二次记下的数字为个位数字），用画树状图或列表的方法，求组成的两位数为五月的某一个日期的概率． 27．如图，在平面直角坐标系中，， (1)若点与点关于轴对称，则点的坐标为_______； (2)将点向右平移5个单位得到点，则点的坐标为______； (3)由点，，，组成的四边形内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率． 28．在“趣味化学实验室”选修课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立马显现出红色的文字，这是酚酞溶液产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色、现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液： (1)小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是______； (2)张老师随机从两瓶溶液中各取一定量的溶液混合均匀，请用列表格或画树状图的方法求出混合后的溶液变红色的概率． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 九下第二十五章 概率的求法与应用测试（参考答案） 一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1 2 3 4 5 6 7 8 A B D D C B C A 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．16 10． 11． 12． 13． 14． 15．74 16． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．（5分） 【详解】解：由题意知，给其中任意三个小正方形染色共有种情况，其中三个小正方形不同行也不同列的共有种情况， ∵， ∴被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率为． （5分） 18．（5分） 【详解】（1）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中摸出两张牌的数字之和为4的结果数有3种， ∴摸出两张牌的数字之和为4的概率为； （2分） （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中摸出两张牌的数字相等的结果数有3种， ∴摸出两张牌的数字相等的概率为． （5分） 19．（5分） 【详解】（1）解：∵4张小的图片中有2张祁连雪山部分图形， ∴小颖从这4张小的图片中随机抽出1张恰好是祁连雪山部分图的概率； （2分） （2）解：用、表示祁连雪山风景图片被剪成的两半，用、表示桑科草原风景图片被剪成的两半， 画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中2张图片恰好组成一张完整风景图的结果数为， 所以2张图片恰好组成一张完整风景图的概率． （5分） 20．（6分） 【详解】（1）解：由题意，列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 共16种等可能的结果，其中和为5的结果有4种， ∴“底面上的数字之和是5”的概率为； （2分） （2）由（1）中表格可知，共16种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种， ∴“底面上的数字之和是奇数”的概率为； （4分） （3）由（1）中表格可知，共16种等可能的结果，其中和为偶数的结果有8种， ∴“底面上的数字之和是偶数”的概率为． （6分） 21．（6分） 【详解】（1）解：用树状图表示甲、乙两人走同一出口的概率： ∴一共有9种等可能情况，其中甲、乙两人走同一出口的情况有3种， ∴甲、乙两人走同一出口的概率为； （4分） （2）解：根据题意得：甲准备乘坐轨道交通6号线回家在长影世纪城站A出口的概率是． 故答案为： （6分） 22．（5分） 【详解】解：（1）设每个小正方形的边长为1，则， （最终停在阴影方砖上）． （2分） （2）①四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形； ②四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形； ③四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形； ④四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形． 只有①③可判定是菱形， ∴可判定是菱形的概率是． （5分） 23．（5分） 【详解】（1）解∶本次抽样测试的人数为∶ (名)， ∴扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是 故答案为∶，． （2分） （2）解：估计该校获得特等奖的人数为∶ (名)， 故答案为∶． （3分） （3）解：把小利、小芳、小明、小亮分别记为A、B、C、D， 画树状图如图∶ 共有种等可能的结果，小利被选中的结果有6种， 小利被选中的概率为∶． 答：小利被选中的概率为． （5分） 24．（6分） 【详解】（1）解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下： 红 蓝 蓝 蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 红 （红，红） （蓝，红） （蓝，红） 黄 （红，黄） （蓝，黄） （蓝，黄） 红 （红，红） （蓝，红） （蓝，红） （4分） （2）解：不公平． 理由如下：由（1）可知，共有12种等可能的结果，其中只有1种结果可以“配成橙色”， 故“配成橙色”的概率是，即小明胜的概率是， 小亮胜的概率为． 小亮胜的概率大， 这个“配色”游戏对双方不公平． （6分） 25．（5分） 【详解】解：（1）总共有 5 种文创产品，“A．冰箱贴”只有 1 种， 根据概率公式，可得她选择购买“A．冰箱贴”的概率是 故答案为：； （2分） （2）解：列表如下： E E 共有20种等可能的结果， 没有“C．公仔”的结果有：、、、、、、、、、、，共12种， 根据概率公式，其中（总结果数），（没有“C．公仔”的结果数），可得她购买的两种文创产品中没有“C．公仔”的概率． 答：她购买的两种文创产品中，没有“C．公仔”的概率为． （5分） 26．（6分） 【详解】（1）三张卡片上的数字为，其中偶数为2，只有一个． 概率为． （2分） （2）列表如下： 第一次第二次 1 2 3 1 11 12 13 2 21 22 23 3 31 32 33 共有种等可能结果，其中属于五月日期的有种， 概率为． （6分） 27．（7分） 【详解】（1）解：∵，且点与点关于轴对称， ∴点的坐标为； 故答案为； （2分） （2）解：∵，且点向右平移5个单位得到点， ∴点的坐标为； 故答案为； （4分） （3）解：由（1）（2）可得点A、B、C、D的位置如图所示： 由图可知：在四边形内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点的坐标有，，共15种可能性，其中所取的点横、纵坐标之和恰好为零的有3种可能性，所以所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率为． （7分） 28．（7分） 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种， ∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是； 故答案为：． （3分） （2）解：列表如下， A B C D A B C D 共有12种等可能结果，其中混合后的溶液变红色的结果有：，共2种， ∴混合后的溶液变红色的概率为． （7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $