专题01 一次函数选填题压轴专项训练（一）（高效培优专项训练）数学苏科版2024八年级上册

专题01 一次函数选填题压轴专项训练（一） 模型一：一次函数与几何变换综合压轴-平移 模型二：一次函数与几何变换综合压轴-对称（翻折） 模型三：一次函数与几何变换综合压轴-旋转 模型四：一次函数与轨迹问题综合压轴 模型五：一次函数与几何最值综合压轴-将军饮马 模型六：一次函数与几何最值综合压轴-逆等线 模型七：一次函数与几何最值综合压轴-瓜豆原理 模型八：一次函数与几何最值综合压轴-胡不归 模型九：一次函数与几何最值综合压轴-其他类型 模型十：一次函数与探究规律综合压轴 模型一：一次函数与几何变换综合压轴-平移 1．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A，以为斜边在x轴上方作等腰直角三角形，将沿y轴向下平移，当点B落在直线上时，平移后A点坐标为 ． 2．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，已知，点C为的中点，过点C作轴，垂足为D．将向右平移，当点C的对应点落在边上时，点D的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向下平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段沿轴正方向平移至，若为等腰三角形，则平移的距离为 ． 模型二：一次函数与几何变换综合压轴-对称（翻折） 6．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后的反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值是 ． 7．（25-26八年级上·福建三明·阶段练习）已知直线分别交轴、轴于点、，点在第一象限内，且纵坐标为4．若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为 ． 8．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上一点，将沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是 ． 9．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，直线分别与、轴交于、两点，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点的坐标为；③直线的解析式为；④点的坐标为．正确的有（    ） A．①②③ B．①③ C．①④ D．①③④ 10．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，直线分别与轴、轴交于两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，又经直线反射后回到点，则光线所经过的路线长是（   ）    A． B．2 C． D． 模型三：一次函数与几何变换综合压轴-旋转 11．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可） 12．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ． 13．（2025·江苏·校考一模）已知直线过点且平行于轴，点的坐标为，将直线绕点逆时针旋转60°，则旋转后的直线对应的函数表达式为 ． 14．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转得到点B，在，，，四个点中，直线经过的点是（    ）    A． B． C． D． 15．（2025·陕西西安·一模）直线与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 模型四：一次函数与轨迹问题综合压轴 16．（2025·广东佛山·一模）在平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足．点Q为线段的中点，则点Q运动路径的长为 ． 17．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）平面直角坐标系中，点在轴的非负半轴上运动，点在轴上从点向点运动，且，为线段的中点，以点为旋转中心将点逆时针旋转至点，则点运动的总路程是（   ） A． B．8 C． D． 18．（24-25八年级下·四川广元·期末）在平面直角坐标系中，经过点且与平行的直线，交x轴于点B，现在有点在线段上运动，点在x轴上，N为线段的中点，当点C从点A运动到点B时，则点N运动的轨迹长度是 ． 19．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点．经过点A且与直线平行的直线交x轴于点B，现有点在线段上运动，点在x轴上，M为线段的中点．当C从点A开始运动，到点B停止运动，M点的运动路径长为 ． 20．（2025·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在轴运动，点在轴上运动，满足．点为线段的中点，则点运动路径的长为 ． 模型五：一次函数与几何最值综合压轴-将军饮马 21．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是线段的中点，点D是直线上的点，且点D的横坐标为2，点P为线段上的动点，连接，，当值最小时，点P的坐标为 ． 22．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当的周长最小时，点C的坐标是 ． 23．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B．C，D分别为线段上的两个动点，点P的坐标为，则的周长的最小值为 ． 24．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，当取最小值时，点的坐标为 ． 25．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，与轴、轴分别交于点和点，点、分别为线段、的中点，点为线段上一动点，当的值最小时，则点的坐标为 ． 模型六：一次函数与几何最值综合压轴-逆等线 26．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，中，，则点B的坐标为 ；若点E，F分别是的边上的动点，且，当的值最小时，点E的坐标为 ． 27．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴建立直角坐标系，分别为线段和线段上一动点，且．当的值最小时，点的坐标为 ． 28．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，中，，，则点的坐标为 ；若点，分别是的边，上的动点，且，当的值最小时，点的坐标为 ． 29．（2025·山东·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，等腰三个顶点在坐标轴上，，点D，E分别为上的两个动点，且．当的值最小时，则点D的坐标为 ． 30．（24-25八年级下·绵阳市·专题练习）如图，已知直线分别交x轴、y轴于点B、A两点，，D、E分别为线段和线段上一动点，交y轴于点H，且．当的值最小时，则H点的坐标为      模型七：一次函数与几何最值综合压轴-瓜豆原理 31．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，，过点 B 作直线l x 轴，点 是直线上的动点，以 为边在右侧作等腰，，直线 交 y 轴于点 C ．当点 P 在直线上运动时，点 Q 也随之运动．当 时，的值最小为 ． 32．（2025·河南南阳·二模）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段绕点P逆时针旋转得到线段，就称点B是点A关于点P的“等垂点”，如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“等垂点”，连接，则的最小值是 ，此时点P的坐标为 ． 33．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点，A为x轴上一动点，将线段绕点A顺时针旋转得到连接当取最小值时，点A的坐标是 ． 34．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点，，P为x轴正半轴上的一动点，以P为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接，则的最大值为 ． 35．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值是 ．    模型八：一次函数与几何最值综合压轴-胡不归 36．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与轴、轴交于，两点，点为线段的中点，点为上一动点，连接，则的最小值为 ． 37．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，已知直线：与x轴交于点B，点C在直线上，且点C的横坐标为，点F为线段上一点（不含端点），点，连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段以每秒个单位的速度运动到C后停止，当点M在整个运动过程中用时最少时点F的坐标为（   ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，直线交x轴于点，交y轴于点C，点D在直线上，且D的横坐标为3，E是线段上的点（不和端点重合），连接，一动点M从点A出发沿线段以每秒1个单位的速度运动到E，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点E的坐标是 时，点M在整个运动过程中用时最少．    39．（24-25八年级·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l1和直线l2:相交于y轴上的点B，分别交x轴于A、C且∠OBC＝30度．点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，当EF＋CF最小时，此时的最小值为 ． 40．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 模型九：一次函数与几何最值综合压轴-其他类型 41．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴交于点、两点，点为线段外一动点，且，以为直角边作等腰直角三角形，其中．连接，求线段长的最大值 ，此时点的坐标为 ． 42．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 43．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C的坐标为．给出下面四个结论： ①点A的坐标为；②是等腰三角形；③若点、在直线AB上，则一定有；④若点P是直线上的一个动点，则的最小值为4．上述结论中，正确结论的序号有 ． 44．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上，轴，垂足为C，则周长的最小值为 ． 46．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，C为中点(O为坐标原点)，D点在第四象限，且满足，则线段长度的最大值等于 ． 模型十：一次函数与探究规律综合压轴 46．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点、，的面积为，则 ． 47．（25-26八年级上·陕西西安·期中）《庄子天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则（    ） A． B． C． D． 48．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；…，按此规律作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 49．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为 ． 50．（25-26八年级上·安徽六安·月考）正方形，，，…，按如图的方式放置，点和点分别在直线和轴上，则点的坐标是 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一次函数选填题压轴专项训练（一） 模型一：一次函数与几何变换综合压轴-平移 模型二：一次函数与几何变换综合压轴-对称（翻折） 模型三：一次函数与几何变换综合压轴-旋转 模型四：一次函数与轨迹问题综合压轴 模型五：一次函数与几何最值综合压轴-将军饮马 模型六：一次函数与几何最值综合压轴-逆等线 模型七：一次函数与几何最值综合压轴-瓜豆原理 模型八：一次函数与几何最值综合压轴-胡不归 模型九：一次函数与几何最值综合压轴-其他类型 模型十：一次函数与探究规律综合压轴 模型一：一次函数与几何变换综合压轴-平移 1．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A，以为斜边在x轴上方作等腰直角三角形，将沿y轴向下平移，当点B落在直线上时，平移后A点坐标为 ． 【答案】 【详解】解：当时，，解得：，即，∴ 如图，过作于， 是以为斜边的等腰直角三角形，，即点的坐标是， 设平移的距离为，则点的对应点的坐标为， 代入得：，解得：，即平移的距离是， ∵A点坐标为，沿y轴向下平移单位后，∴ 平移后的'坐标为，故答案为：． 2．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，已知，点C为的中点，过点C作轴，垂足为D．将向右平移，当点C的对应点落在边上时，点D的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解∶如图，过点B作轴于点P， ∵，∴点，， ∴，∴，∴，∴点， ∵点C为的中点，∴点，∵轴，∴， ∵将向右平移，点C的对应点为点，点D的对应点为点， ∴点，的纵坐标均为，，轴， 设直线的解析式为，把点，代入得： ，解得：，∴直线的解析式为， 当时，，解得：，∴点， ∴点的横坐标为，∴点的坐标为．故选：B 3．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设直线的解析式为，代入 ∴∴∴直线的解析式为 ∵，A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意，B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意，故选：A． 4．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向下平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点的坐标为，正方形边长为3， ∴，，，将直线沿轴向下平移个单位，则平移后解析式为， 当过时，，解得； 当过时，，解得； ∴平移后的直线与正方形有交点，的取值范围是，故选：D． 5．（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段沿轴正方向平移至，若为等腰三角形，则平移的距离为 ． 【答案】13或24或 【详解】解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 令，解得：，将代入，则，,∴点，， ∴，由平移可知：，， ∵为等腰三角形，当时，如图1：设，则， ∵，∴，解得：，即； 当时，如图2： 当时，如图3：则，∴， 综上所述平移的距离为或或．故答案为：或或． 模型二：一次函数与几何变换综合压轴-对称（翻折） 6．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后的反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值是 ． 【答案】/ 【详解】解：延长交x轴于点D， 入射角等于反射角，，又∵，， ，，，， ，， ， 将代入得，解得：，故答案为：． 7．（25-26八年级上·福建三明·阶段练习）已知直线分别交轴、轴于点、，点在第一象限内，且纵坐标为4．若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为 ． 【答案】 【详解】解：直线，当时，，当时，， ∴，∴， ∵点在第一象限内，且纵坐标为4，若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上， ∴点的纵坐标为，轴，，设垂足为点，如图所示，连接， ∴，即线段与直线的交点的纵坐标为，∴当时，，解得，， ∴线段与直线的交点的横坐标为，∴线段与直线的交点坐标为， ∴，则，∴， 又，∴，∴， ∵对称，∴，且，∴， ∴，则，设，则， ∴，∴，在中，， ∴，解得，，∴，∴，故答案为： ． 8．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上一点，将沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是 ． 【答案】 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点，，， 在中，由勾股定理可知：，由折叠性质可知， ，设，则，由勾股定理得：，解得，， 设直线解析式为，代入点坐标得：，解得， 直线的函数解析式是．故答案为：． 9．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，直线分别与、轴交于、两点，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点的坐标为；③直线的解析式为；④点的坐标为．正确的有（    ） A．①②③ B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：直线分别与、轴交于点、， 点，点，，，，故①正确； 线段沿翻折，点落在边上的点处， ，，，， ，，，点，故②不正确； 设直线的解析式为：，，， 直线的解析式为：，故③正确；如图，过点作于， ，，， ，当时，，，点的坐标为，故④正确．故选：D． 10．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，直线分别与轴、轴交于两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，又经直线反射后回到点，则光线所经过的路线长是（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知中，当时，，当时，，得到； ∴点，点，∴，∴，    ∵点，设光线分别射在上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点， 根据反射规律，则． 作出点P关于的对称点，作出点P关于的对称点， 则， ∴共线，，∵，即； ∴．故选：A． 模型三：一次函数与几何变换综合压轴-旋转 11．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可） 【答案】6（答案不唯一，大于5均可） 【详解】解：直线经过点，，即 设直线分别交x轴和y轴与、两点， 当时，；当时，，即，，∴，， 过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图， 则轴，，∴，∴ ∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置， ∵点在上，∴当，则点在点的右上方，此时， 故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）． 12．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ． 【答案】 【详解】解：依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象，如图所示∶    设与y轴的交点为点B， 令，得；令，即， ∴， ，∴，，即 ∵直线绕点A逆时针旋转，得到直线，∴，， ∴，则点， 设直线的解析式为，则，解得， 那么，直线的解析式为，故答案为：． 13．（2025·江苏·校考一模）已知直线过点且平行于轴，点的坐标为，将直线绕点逆时针旋转60°，则旋转后的直线对应的函数表达式为 ． 【答案】 【详解】解：设绕点逆时针旋转的对应点为，旋转后的直线交直线于，过作直线于，如图：绕点逆时针旋转的对应点为，，，是等边三角形， ，，，，， ，， ，，，∴ 设直线解析式为，将，代入得： ，解得，直线解析式为；故答案为：． 14．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转得到点B，在，，，四个点中，直线经过的点是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点，点，    ∴轴，，由旋转得：， 如图，过点B作轴于C，∴，∴，∴）， 设直线的解析式为：， 则，∴，∴直线的解析式为：， 当时，，∴点不在直线上， 当时，，∴在直线上， 当时，∴不在直线上， 当时，，∴不在直线上．故选：B． 15．（2025·陕西西安·一模）直线与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设直线与轴交于点，与轴交于点， 在中，当时，，当时，，解得， ∴直线与轴交于点，与轴交于点，， ，是等腰直角三角形，， 设直线绕点逆顺时针旋转后所得直线与轴交于点，如图所示， 则，， ，∴， 设直线的解析式为，把点代入，得，解得， ∴直线的解析式为．故选：C． 模型四：一次函数与轨迹问题综合压轴 16．（2025·广东佛山·一模）在平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足．点Q为线段的中点，则点Q运动路径的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动， 设点M的坐标为，点N的坐标为， ∵点Q为线段的中点，则点Q的坐标为， ∵，∴，（，）， ∵当时，，∴，∴， ∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的负半轴上，坐标为，另一端在y轴的非负半轴上，坐标为，∴此时点Q的运动路径长为； ∵当时，，∴，∴， ∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的正半轴上，坐标为，另一端在y轴的非负半轴上，坐标为，∴此时点Q的运动路径长为； 综上分析可知，点Q运动路径的长为．故答案为：． 17．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）平面直角坐标系中，点在轴的非负半轴上运动，点在轴上从点向点运动，且，为线段的中点，以点为旋转中心将点逆时针旋转至点，则点运动的总路程是（   ） A． B．8 C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，    ∵以点为旋转中心将点逆时针旋转至点，∴，， ∵为线段的中点，∴，∴， ∴点Q可以看作是点N绕点P顺时针旋转得到， ∵点在轴上从点向点运动，∴点Q的轨迹是一条线段，且运动的路程等于点N运动的路程， ∵点N运动的总路程为，∴点运动的总路程是8．故选：B． 18．（24-25八年级下·四川广元·期末）在平面直角坐标系中，经过点且与平行的直线，交x轴于点B，现在有点在线段上运动，点在x轴上，N为线段的中点，当点C从点A运动到点B时，则点N运动的轨迹长度是 ． 【答案】 【详解】解：直线与直线平行，可设直线的解析式为， 将点的坐标代入，得，直线的解析式为， 令，则，解得，， 点在线段上运动，，且， 设点N的坐标为，N为线段的中点， ，消去m，得， ，，，解得， 令，则，令，则，设，， 则点N运动的轨迹长度为线段的长，且．故答案为：． 19．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点．经过点A且与直线平行的直线交x轴于点B，现有点在线段上运动，点在x轴上，M为线段的中点．当C从点A开始运动，到点B停止运动，M点的运动路径长为 ． 【答案】) 【详解】解：设直线的解析式为，将代入关系式，得， ∴直线的解析式为：，令时，解得：， ∴，，， 取的中点，连接，，，∴； 将代入直线解析式可得，， 点M是的中点，，， 点C在直线上运动，点C从点A开始运动，到点B停止运动， 当时，此时的中点坐标为，当时，此时的中点坐标为， 设过这两个中点坐标的直线解析式为，代入这两点，得：， 解得：∴过这两个中点坐标的直线解析式为， 将点代入直线解析式，即，点M满足直线解析式， ∴点M的运动轨迹是一条从点运动到的线段， ，∴M点的运动轨迹长度为；故答案为：． 20．（2025·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在轴运动，点在轴上运动，满足．点为线段的中点，则点运动路径的长为 ． 【答案】 【详解】解：当点M和点N都在正半轴上时，设点M的坐标为，点N的坐标为，则点Q的坐标为，此时点Q在第一象限， ∵，∴，∴，即， ∴此时点Q在一条线段上运动，线段的两个端点都在正半轴上，坐标为和， ∴此时点Q的运动路径长为；同理，点Q可能在第二、三、四象限， 综上分析可知，点Q运动路径的长为．故答案为：． 模型五：一次函数与几何最值综合压轴-将军饮马 21．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是线段的中点，点D是直线上的点，且点D的横坐标为2，点P为线段上的动点，连接，，当值最小时，点P的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于轴对称的点，连接交轴于点， 根据轴对称可知：，∴， ∵两点之间线段最短，∴此时最小，即最小， 在中，当时，，即，当时，，即， ∵点C是线段的中点，∴，∴，设直线的解析式为， 将，代入解析式可得，解得：，∴直线的解析式为， 当时，，解得，∴，故答案为：． 22．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当的周长最小时，点C的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：作点A关于y轴的对称点，连接，，，如图所示： 根据轴对称可知：，∴， ∵为定值，两点之间线段最短，∴当点C在点处时，最小，即的周长最小， 点关于轴的对称点，设的解析式是， 则，解得：，则一次函数的解析式是， 当时，，∴此时点的坐标是．故答案为：． 23．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B．C，D分别为线段上的两个动点，点P的坐标为，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】由直线的函数表达式，得点，，，则． 点P的坐标为，，，如图， 作点P关于y轴的对称点，点P关于直线的对称点N，则， 连接，交于点C，交y轴于点D，此时，的周长最小， 的周长． 连接，由对称可知，，，， ∴点N的坐标为．，的周长的最小值为．故答案为． 24．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，当取最小值时，点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点D，连接，作点B关于直线的对称点E，连接，则，∴， 即当点D，P，Q，E四点共线时，取最小值，最小值为的长， ∵、，∴点， 设直线的解析式为，∴，解得：， ∴直线的解析式为，当时，，∴点．故答案为： 25．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，与轴、轴分别交于点和点，点、分别为线段、的中点，点为线段上一动点，当的值最小时，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：对于，令，则，解得，故； 令，则，故；是中点，故；是中点，故 作关于轴的对称点，设直线的解析式为， 代入、，得，，解得， 故直线的解析式为．令，则，解得，故．故答案为：． 模型六：一次函数与几何最值综合压轴-逆等线 26．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，中，，则点B的坐标为 ；若点E，F分别是的边上的动点，且，当的值最小时，点E的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：作轴于点D，则， ∵点，中，，，∴∴ ∵，∴，解得， ∴，∴点D的坐标是，∴点B的坐标是， 将线段绕点A逆时针旋转得到线段，作轴于点H，则， ∵∴，∴， ∴，，∴， ∴点C的坐标为，连接交于点P，连接， 设直线的函数解析式为，则，解得，∴， 设直线的解析式为， ，解得，∴直线的解析式为， 联立得到，解得，∴点P的坐标为， ∵，∴，∴， ∵，，∴当点E与点P重合时，取得最小值， ∴当的值最小时，点的坐标为，故答案为：， 27．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴建立直角坐标系，分别为线段和线段上一动点，且．当的值最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：过点作，使，连接，，， ∵，∴，∴， ∵，，∴，，∴，，， ∵，，∴，∴，∴， ∴当三点共线时，的值最小， 此时，点为线段与线段的交点， ∵，，∴，∴， ∵，，，∴， 设线段的函数解析式为，把、代入得， ，解得，∴线段的函数解析式为， 设线段的函数解析式为，把、代入得， ，解得，∴线段的函数解析式为， 联立函数式得，，解得，∴点的坐标为 ，故答案为：． 28．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，中，，，则点的坐标为 ；若点，分别是的边，上的动点，且，当的值最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：作轴于点D，则， ∵点，中，，，∴∴ ∵，∴，解得， ∴，∴点D的坐标是，∴点B的坐标是， 将线段绕点A逆时针旋转得到线段，作轴于点H，则， ∵∴，∴， ∴，，∴， ∴点C的坐标为，连接交于点P，连接， 设直线的函数解析式为，则，解得，∴， 设直线的解析式为，，解得，∴直线的解析式为， 联立得到，解得，∴点P的坐标为， ∵，∴，∴， ∵，，∴当点E与点P重合时，取得最小值， ∴当的值最小时，点的坐标为，故答案为：， 29．（2025·山东·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，等腰三个顶点在坐标轴上，，点D，E分别为上的两个动点，且．当的值最小时，则点D的坐标为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图：过点C作使，连接， 在和中，，∴，∴，， ∴最小值可转化成最小值， 当A、D、B在同一直线上时，最小，即长度； ∵，∴，∴ 设表达式为:，由题意可得： ，解得：， ∴表达式为:， 将代入得: ，解得：，∴D点坐标为．故答案为：． 30．（24-25八年级下·绵阳市·专题练习）如图，已知直线分别交x轴、y轴于点B、A两点，，D、E分别为线段和线段上一动点，交y轴于点H，且．当的值最小时，则H点的坐标为      【答案】 【详解】解：令，则，∴， 令，则，解得：，∴， ∵，∴，取点连接． ∵，∴，∴，， ∵，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴的最小值为线段的长， ∴当B，E，F共线时，的值最小，设直线的解析式为：， 把，代入，得，解得：，∴， 当，则，∴，∴当的值最小时，则H点的坐标为． 模型七：一次函数与几何最值综合压轴-瓜豆原理 31．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，，过点 B 作直线l x 轴，点 是直线上的动点，以 为边在右侧作等腰，，直线 交 y 轴于点 C ．当点 P 在直线上运动时，点 Q 也随之运动．当 时，的值最小为 ． 【答案】 【详解】解：作轴，，则：， ∵为等腰直角三角形，，∴， ∵轴，∴，∴， 又∵，，∴，∴， ∵，，∴， ∴，即：，令，则：， ∴，∴点在直线上运动， 设直线与轴分别交于点，当时，，当时，， ∴，∴，∴， 作点关于直线的对称点，连接，则，，， ∴，即：，∴，∵，∴， ∴当点在直线上时，的长最小，为的长， ∵，，∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得，∴， 联立，解得，故当，即，解得时，的值最小为； 故答案为：，． 32．（2025·河南南阳·二模）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段绕点P逆时针旋转得到线段，就称点B是点A关于点P的“等垂点”，如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“等垂点”，连接，则的最小值是 ，此时点P的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图，设，过点作轴， ，，， ，，， ，∴，∵，，点在上， 当垂直直线时，取得最小值，设直线与轴和轴的交点分别为， 令，得，令，得，∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，即的最小值是，此时，点的坐标为， ∴点的坐标为，∵，∴，∴点的坐标为，故答案为：，． 33．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点，A为x轴上一动点，将线段绕点A顺时针旋转得到连接当取最小值时，点A的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：在x轴的正半轴上取一点H，使得，在上取一点D，使得． ，，， ，，， ，，， ，，，，， 设直线的解析式为，，直线的解析式为， 点C在直线上运动，作于点P，， 此时点，即，设， ，，解得，点故答案为：． 34．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点，，P为x轴正半轴上的一动点，以P为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：∵直线分别与轴交于两点，令，则，∴，且， ∵为轴正半轴上的一动点，∴设，∴在中，， ∵是等腰直角三角形，，∴；如图所示，过点作轴于， 在中，，， ∴，∴，∴， ∴，，∴， ∴，且轴，∴是等腰直角三角形，， 则点的轨迹在射线上，如图所示，作点关于直线的对称点， 连接，，，， ∵是等腰直角三角形，即，根据对称性质， ∴，∴轴，且，∴，则， 如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值； ∴由勾股定理得：，故答案为：． 35．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值是 ．    【答案】3． 【详解】如图，作DH⊥x轴于H．     ∵∠AOB=∠ABD=∠BHD=90°，∴∠ABO+∠BAO=90°，∠ABO+∠DBH=90°，∴∠BAO=∠DBH， ∵AB=DB，∴△ABO≌△BDH（AAS），∴OA=BH=3，OB=DH，∴HD=OH-3，∴点D在直线y=x-3上运动， 作O关于直线y=x-3的对称点E′，连接AE′交直线y=x-3于D′，连接OD′,则OD′= D′E′ 根据“两点之间，线段最短”可知此时OD+AD最小，最小值为AE′， ∵O（0，0），O关于直线y=x-3的对称点为E′，∴E′（3，-3）， ∵A（0，3），∴AE′=3，∴OD+AD的最小值是3，故答案为：3． 模型八：一次函数与几何最值综合压轴-胡不归 36．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与轴、轴交于，两点，点为线段的中点，点为上一动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：直线与轴、轴交于，两点， 令，则有，令，则有，解得， ，，即，，， ，，，如图所示，连接， 点为线段的中点，，， ，为等边三角形， 过点作并延长与轴的交点即为所求的点，作点关于轴的对称点，连接， 则有，， 为等边三角形，，， ，为线段的垂直平分线， ，，，， 当、、三点共线时，值最小，最小值即为的长， 轴，轴，，， ，．故答案为： ． 37．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，已知直线：与x轴交于点B，点C在直线上，且点C的横坐标为，点F为线段上一点（不含端点），点，连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段以每秒个单位的速度运动到C后停止，当点M在整个运动过程中用时最少时点F的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 如图，分别作轴，轴，使直线交于点， ∵与x轴交于点B，∴时，，即， ∵点C的横坐标为，∴点C的纵坐标为，，， 又，为等腰直角三角形，过点作于点，连接， ，∴， 又当时，取得最小值此时即此时与交于 的横坐标等于的横坐标把代入得 即当时，在整个运动过程中用时最少．故选：A 38．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，直线交x轴于点，交y轴于点C，点D在直线上，且D的横坐标为3，E是线段上的点（不和端点重合），连接，一动点M从点A出发沿线段以每秒1个单位的速度运动到E，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点E的坐标是 时，点M在整个运动过程中用时最少．    【答案】 【详解】解：如图，过点作轴，轴点．过点作，交延长线于点．    动点从点出发沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止点在整个运动过程的用时， 点在直线上，，解得， 直线的解析式为：点的坐标为：， ，即点在整个运动过程所用的时间是线段与的长度之和， 当、、三点共线时，取得最小值．点的横坐标与点的横坐标相等，点在直线上 点的坐标为：点的坐标为故答案为：． 39．（24-25八年级·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l1和直线l2:相交于y轴上的点B，分别交x轴于A、C且∠OBC＝30度．点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，当EF＋CF最小时，此时的最小值为 ． 【答案】F（1，），PF+OP的最小值为 ； 【详解】解：令x=0，则y=，∴B（0，），∴OB=， ∵∠OBC=30°，∴OC=×，∴C（1，0）， 令y=0，则，∴x=3，∴A（3，0），∴OA=3，∴AB=2， ∴∠ABO=60°，∴∠ABC=90°，∴C点关于直线l1的对称点C'在l2上， 如图1，过点C'作C'K⊥y轴交K点， ∵∠KBC'=∠CBO，∠C'KB=∠BOC，BC=BC'，∴△C'KB≌△COB（AAS），∴BK=BO=， ∴C'的纵坐标为2，∴，∴x=1，∴C'（1，2）， 连接C'E交l1于F，∵EF+CF=EF+C'F≥C'E，∴当C'、E、F三点共线时，EF+CF的值最小为C'E， 设直线C'E的解析式为y=kx+b， ∵E（5，0），C'（-1，2），则，∴，∴， ∴，解得x=1，∴F（1，）， 作第二、四象限的角平分线l3，，过点F作FQ⊥l3，，交y轴于点P，交l3，于点Q， 在Rt△PQO中，∠POQ=45°，∴，∴PF+OP=PF+PQ≥FQ， 当P、F、Q三点共线时，PF+OP的值最小， 过F作FG⊥x轴交l3，于点G，∴△FQG为等腰直角三角形，∴FQ=FG， ∵l3，的解析式为y=x，∴G（1，1），∴FG=1+，∴FQ=+， ∴PF+OP的最小值为+． 40．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 【答案】6 【详解】如图所示，作，过点C作于D，则； 在中，当时，，当时，， ∴，∴，， ∴，∴；∵， ∴当有最小值时有最小值，此时B、C、D三点共线， 在中，BD=3，∴的最小值为6． 模型九：一次函数与几何最值综合压轴-其他类型 41．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴交于点、两点，点为线段外一动点，且，以为直角边作等腰直角三角形，其中．连接，求线段长的最大值 ，此时点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵直线：与坐标轴交于点、两点， 当时，，即，当时，，即， ∴，是等腰直角三角形，∴， 如图，以为直角边作等腰直角三角形，连接，∴，， ∵等腰直角三角形，，∴， ∴即，∴，∴， ∵，∴∴，当在上时取得等于号， 此时，即线段长的最大值为； ∵等腰直角三角形，在上，∴ ∵∴又∵∴ ∵是等腰直角三角形，∴∴ 如图所示，过点作轴于点，∴是等腰直角三角形，∴ ∵∴，∴．故答案为：；． 42．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设直线分别与x轴，y轴交于G，H，连接， 在中，当时，，当时，， ∴，∴，∴； 设，∵点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为， ∴，，∴点D和点E关于原点对称， ∴三点共线，∴，∴当时，有最小值，即此时有最小值， ∵此时，∴，∴的最小值为， 故选：D． 43．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C的坐标为．给出下面四个结论： ①点A的坐标为；②是等腰三角形；③若点、在直线AB上，则一定有；④若点P是直线上的一个动点，则的最小值为4．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【详解】解：当时，；当时，，解得， ∴，，故①正确；∴， 又，∴，∴，∴是等腰三角形，故②正确； ∵直线中， ，∴y随x 的增大而减小， ∵点、在直线AB上，，∴，故③错误； ∵点P是直线上的一个动点，∴当时，最小， 设的最小值为h，则，∴，∴， ∴的最小值为4，故④正确；故答案为：①②④． 44．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上，轴，垂足为C，则周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在函数中，当时，，当时，， ，，∴，∴，， ∵轴，∴为等腰直角三角形，∴， ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小，∴当时，最小， 此时：，∴，∴， ∴的周长最小为；故答案为：． 46．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，C为中点(O为坐标原点)，D点在第四象限，且满足，则线段长度的最大值等于 ． 【答案】 【详解】解：∵直线分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴，∴，∴， 取中点E，连接、、，作交延长线于M， ∵，∴，∴，∴为等腰直角三角形， ∵，∴，即， 在和中，，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，故的最大值为，故答案为： 模型十：一次函数与探究规律综合压轴 46．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点、，的面积为，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：和分别是直线与x轴，y轴的交点， 当时，当时， ∴，，∴，，∴， ∴， ，故答案为：． 47．（25-26八年级上·陕西西安·期中）《庄子天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：把代入：得，∴，∴，即， ∵过点A作x轴的平行线交直线于点，把代入得，∴， ∵过点作轴的平行线交直线于点，把代入得， ∴，∴，即，同理可得，， ∴，即，∴， ∴， ∴当时得到：，故选：． 48．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；…，按此规律作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点，轴，轴，轴，轴，……，轴，轴，点与点O关于直线对称；∴点，即； 点与点O关于直线对称；∴点，即； 点与点O关于直线对称；∴点，即；……，∴， 当时，，代入，得，∴．故选：B． 49．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点、、、、、、、、、等的坐标．解：当时，，点的坐标为；当时，，∴点的坐标为； 同理可得：，，，，，，，． 故答案为：． 50．（25-26八年级上·安徽六安·月考）正方形，，，…，按如图的方式放置，点和点分别在直线和轴上，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：如图， ∵直线，∴当时，，∴， ∴的横坐标是，的纵坐标是， 当时，，∴，∴的横坐标是，的纵坐标是， 当时，，∴，∴的横坐标是，的纵坐标是，…… ∴的横坐标是，的纵坐标是∴点的坐标是，即． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $