专题03 一次函数与几何综合压轴（解答题）专项训练（高效培优专项训练）数学苏科版2024八年级上册

专题03 一次函数与几何综合压轴（九类）（解答题）专项训练 模型一：一次函数与直角三角形综合压轴 模型二：一次函数与等腰三角形综合压轴 模型三：一次函数与等腰直角三角形综合压轴 模型四：一次函数与全等三角形综合压轴 模型五：一次函数与特殊角度综合压轴 模型六：一次函数与长度问题综合压轴 模型七：一次函数与面积问题综合压轴 模型八：一次函数与新定义问题综合压轴 模型九：一次函数与其他问题综合压轴 模型一：一次函数与直角三角形综合压轴 1．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点． (1)求m和的值；(2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①求的面积S与时间t的关系式；②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)m的值是6，b的值是(2)①；②或 【详解】（1）解：∵点在直线上，∴，∴点， ∵函数的图象过点，∴，解得，即m的值是6，b的值是； （2）解：①∵函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，∴点，点， ∵函数的图象与x轴交于点D，∴点D的坐标为，∴， ∵点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动），点E的运动时间为t秒，∴，，， ∴的面积， 即当的面积S与时间t的关系式为； ②如图，分两种情况讨论： 当时，，∵点，点，点，点， ∴，，∴，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，解得，； 当时，∵，，∴， ∵，∴，解得，； 综上所述，当或时，是直角三角形． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线： 与直线 相交于点， 与x轴交于点 ， 直线与x轴交于点C． (1)填空： ， ， ；(2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．①求线段的长度；②当点E落在y轴上时，求点E的坐标；③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标． 【答案】(1)，，；(2)①；②点E的坐标为；③点D的坐标为或． 【详解】（1）解：把代入， ∵，∴，∴直线：， 把代入，∴，∴， 把代入，∵，∴． ∴直线 故答案为：，，； （2）解：①∵直线，当时，解得，∴点C的坐标为， 如下图，过点A作轴于点H，作轴于点G，则，， ∵翻折得到∴，∴； ②当E点落在y轴上时，在中，∵ ∴，∴，∴点E的坐标为； ③如下图，当时，由翻折得，∴， ∵，∴，∴，∴点D的坐标为； 如下图，当时，，设，则， 在中，由勾股定理得：，解得：， ∴，∴点D的坐标为， 综上，点D的坐标为或． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）【初步探究】（1）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与直线交于点，两条直线与轴分别交于点和点，求的面积； 【灵活应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，是某校将要扩建的校园活动区示意图，边所在直线的表达式为，边所在直线的表达式为，与交于点，为垂直于边的一条跑道，点为线段上的动点，连接，为休闲区域，将沿直线翻折得到，线段交轴于点，为运动区域，为扩建的拉伸区域，当为直角三角形时，求出点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【详解】解：（1）把点代入中，得， 所以直线的表达式为，把点代入中， 得，所以，把代入中，得， 所以直线的表达式为，所以当时，，即点， 所以当，的边上的高为4，所以； （2）因为点在直线上，所以，所以，即直线的表达式为， 当时，，解得，即， 当为直角三角形时，共有两种情况， ①如图，当时，由题可得，，所以， 因为轴，所以，所以，因为，所以 ②如图，当时，由题可知，，， 所以，所以， 设，则，在中，， 所以，解得，所以，所以， 综上所述，点的坐标为或 4．（24-25八年级下·四川巴中·期中）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的坐标为． (1)求一次函数的表达式；(2)如图，点为直线上一动点，且位于第二象限，若，求点的坐标；(3)在（）的情形中，如图，点在轴上且在点左侧且，点从点出发，沿射线的方向以的速度运动，当点不与点重合时，将绕点逆时针方向旋转得到，连接．当点在射线上运动时，是否存在以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)点的坐标为 (3)存在以、、为顶点的三角形是直角三角形，此时 【详解】（1）解：将点，代入一次函数中得： ，解得，一次函数的表达式为； （2）解：一次函数的图象与轴交于点，， 当点在延长线上时，如图所示，过点作轴交于点， 设点，则点，， ， ，， ，解得，点的坐标为； 当点在线段上时，如图所示，过点作轴交于点， 设点，直线的解析式为， 则有，解得，， ，，， ，， ，解得， 点的坐标为，由于点位于第二象限，不符合题意，故舍去；综上，点的坐标为； （3）解：存在，由（）可知，点的坐标为， ，，，， ，是等边三角形，，即， 将绕点逆时针方向旋转得到， ，，即 ， 是等边三角形，， 在和中，，，， 当点在之间时，即当时，如图，记与轴的交点为， ，， ，， ， 当以、、为顶点的三角形是直角三角形，有，， 是等边三角形，，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ； 当点在之间时，即当时，如图， ，，， 不存在以、、为顶点的三角形是直角三角形． 综上，存在以、、为顶点的三角形是直角三角形，此时． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，直线与直线相交于点，直线与轴交于点． (1)填空： ， ；(2)求的面积；(3)点是轴上一个动点，①当值最小时，请直接写出点的坐标 ；②当以点为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点的坐标 ． 【答案】(1)2，(2)24(3)①；②或 【详解】（1）解：∵点在直线上，∴，解得，∴点， ∵点在直线上，∴，解得，故答案为：2，； （2）解：∵直线与轴，轴分别交于两点， 令，可得；令，可得，∴点，点， ∵直线与轴交于点，令，可得，∴点， ∴，∴； （3）解：①作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图， 则，此时值最小，最小值为， ∵点，∴点B关于x轴的对称点点， 又点，设直线的表达式为， ∴，解得，∴直线的表达式为， 令，可得，∴点的坐标为；故答案为：； ②∵，∴， 当时，∴，即，∴点的坐标为； 当时，又，∴，即， ∴点的坐标为；综上，点的坐标为或．故答案为：或． 模型二：一次函数与等腰三角形综合压轴 6．（25-26八年级上·河南郑州·期中）在“综合与探究”课上，老师让每位同学在练习本上画出一个长方形，然后以该长方形为基本图形，以小组为单位编制一道综合探究题． 经过思考和讨论，励志小组向全班同学分享了他们编拟的试题，得到了老师的认可．同学们也眼前一亮，纷纷动手，开始了探究．请你也跟他们一起来完成这道试题吧． 如图，分别以长方形的边，所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．已知，，点在线段上，以直线为轴，把翻折，点的对应点恰好落在线段上． (1)请直接写出点的坐标：______，______．(2)当点在运动过程中，设运动时间为秒． ①点从点出发以每秒个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，求的面积与之间的关系式；②点是轴负半轴上的一个动点，若与轴交于点，是否存在等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在本题的探究过程中，让我们感悟的数学思想有______（填序号）． ①方程思想；②数形结合思想；③分类讨论思想． 【答案】(1)，(2)①；②存在，或或 (3)①②③ 【详解】（1）解：由折叠可得，， ，，，， ，，设，则，， ，，，故答案为：，； （2）解：①当点在上时，，此时； 当点在上时，如图，此时， ，，此时； 综上，的面积与之间的关系式为； ②存在等腰三角形，点的坐标是或或，理由如下： 当时，点，，，，； 当时，，， ，； 当时，如图，设，则， ，，， 综上，存在等腰三角形，点的坐标为或或； （3）解：在本题的探究过程中，让我们感悟的数学思想有通过分类讨论求得点坐标，通过设，列出方程求得的长度，所以，让我们感悟的数学思想有方程的思想、数形结合思想和分类讨论的思想方法， 故答案为：①②③． 7．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图1，已知直线分别交x轴、y轴于A，C两点，直线交x轴于点B，且，． (1)求k的值；(2)如图2，D为线段上一点，设点D的横坐标为m，过点D作轴交于点E，使，求m的值；(3)在（2）的条件下，探究x轴上是否存在一个动点P，使得以点D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)、 、、 【详解】（1）解：∵直线交y轴于点C，∴，即， ∵，∴，即， 将代入可得：，解得：． （2）解：∵，∴，即， 设直线的解析式为，将代入，得： ，解得，∴直线的解析式为， ∵D为线段上一点，设点D的横坐标为m，∴， ∵轴，∴点E的纵坐标与点D的纵坐标相同， 将代入直线的解析式，得，解得：， ∴，∴ 的长度为， 由，得，解得：或， ∵D在线段上，，∴，∴． （3）解：由（2）可得，即， 设轴上动点的坐标为，则，，， ①当时，即，解得：或，∴对应点的坐标为和； ②当时，即，解得：或， 当时，P与O重合，不能构成三角形，舍去；当时，P的坐标为，符合条件； ③当时，，解得：，∴对应点的坐标为． 综上，满足条件的点P坐标为、 、、． 8．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴、轴交于点A，B，点在线段的延长线上，且． (1)求线段的长．(2)求点的坐标．(3)如图2，连接，在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在，点的坐标为或 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴；∴． （2）解：∵，，设，∴，，∴，，∴． （3）解：设，而，，∴，，， ∵在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时，∴，∴，∴或， 当时，∴，解得：或（舍去），∴． 综上所述，点D的坐标为或或． 9．（24-25八年级下·重庆九龙坡·月考）如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点．(1)求点A、B的坐标以及直线m的解析式；(2)若P为直线m上一动点，，求点P的坐标；(3)在x轴上是否存在一个动点Q，使得为等腰三角形？若存在．请求出Q点的所有坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、，直线的解析式为(2)或 (3)存在， 【详解】（1）解：令则；令则，解得， ∴直线与轴、轴分别交于点、； 设直线的解析式为，代入，得 ，解得，∴直线的解析式为； （2）解：∵直线经过点，且与轴交于点． ∴，∴，，∵为直线上一动点，∴设， 过作轴交于，则，，∴ ∵，∴，整理得， 解得或，∴或； （3）解：∵，∴， 由勾股定理，得， ∵Q在x轴上，∴设，则，， ①当时，∵， ∴，解得或，∴点Q的坐标为或． ②当时，∵， ∴，两边平方，得，即， 解得（与A重合，舍去）或，∴点Q的坐标为， ③当时，∵，∴， 两边平方，得，即，解得，∴点Q的坐标为． 综上所述，满足条件的Q点坐标为：． 10．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，与y轴交于点D，与直线交于点E，且． (1)求直线的解析式；(2)点F在y轴上，过点F作x轴的平行线，交直线于点M，交直线于点N，若，求点F的坐标；(3)如图2，将直线沿y轴向下平移得到直线，直线经过点C，将绕点A顺时针旋转α度（）得到，在旋转过程中，射线，射线分别交直线于点P，Q，当为等腰三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)点F的坐标为或 (3)点Q的坐标为或或 【详解】（1）解：令中，得；令，得， ∴，，∴，∵，∴，∴， 设直线的解析式为，∵直线过点，， ∴，解得，∴直线的解析式为； （2）解：设点F的坐标为，∵过点F作x轴的平行线，交直线于点M，交直线于点N， ∴点M，N的纵坐标都为n，把代入直线，得，解得， 把代入直线，得，解得，∴，， ∵，∴或，∴点F的坐标为或． （3）解：∵将直线沿y轴向下平移得到直线，直线经过点C，∴直线的解析式为， ①当时， ∵，∴， ∴点P与点C重合，即，∴点Q在y轴上，即； ②当时，∵，，∴，∴， 过点Q作轴于点M，则，∴； ③当时，，∵，∴，∴点Q的横坐标为， 当时，，∴， 综上，点Q的坐标为或或． 模型三：一次函数与等腰直角三角形综合压轴 11．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A，B两点，过x轴负半轴上一点C作直线交y轴正半轴于点D，且． (1)求直线的函数表达式；(2)如图2，点是线段上一点，连接，作交于点N，连接，求点N的坐标；(3)如图3，若点为直线上的点，点P为y轴上的点，点Q为直线上的点，且是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时Q点的坐标． 【答案】(1)；(2)点N的坐标为；(3)Q点的坐标为或． 【详解】（1）解：把代入得：，∴点，∴， 把代入得：，∴点，∴， ∵，∴，∴点，点， 设直线的函数表达式为，则，解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵直线对应的函数表达式为，当时，，∴， ∵，∴， 又∵，∴，即， ∵∴，则是等腰直角三角形； ，即，∴，∴， 分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，∴，    ∵，∴， ∴，∴点N的坐标为； （3）解：直线上存在点Q，使是以E为直角顶点的等腰三角形． ∵为直线上的点，∴，∴， ①当点P在点B下方时，如图，连接，过点Q作，交的延长线于M点， ∵，，∴轴，，点M的纵坐标为3，， ∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴Q点的纵坐标为，把代入中得：，∴点； ②当点P在点B上方时，如图，过E点作轴，过点Q作于M点，过P点作交的延长线于N点．则， ∵，，∴N点的横坐标为，则， ∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴M点的纵坐标为，∴Q点的纵坐标为， 把代入中得：，∴；综上所述，直线上存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为或． 12．（25-26八年级上·山东济南·期中）【模型构建】（1）如图1，将含有的三角板的直角顶点C放在直线l上，过点A作于点D，过点B作于点E，请写出图1中（除外）相等的线段，并证明； 【初步感知】（2）如图2，直角三角板放置在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点B坐标为，请求出点A的坐标和直线的表达式； 【深入探究】（3）如图3，点A坐标为，点B坐标为，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点，点D是一次函数图象上的一个动点，当是一个以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点D的坐标． 【答案】（1），；证明见解析；（2）；（3）点D坐标为或 【详解】解：（1），； 证明：由题可知，∴， 在和中，，∴，∴，； （2）如图，过C作轴，再分别过A、B作的垂线段，垂足分别为点D、E， ∵点C的坐标为，点B坐标为，∴，， 由题可知，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴， 设直线表达式为，将点A和点B坐标代入得， ，解得，∴直线的表达式； （3）设点D坐标为，当时，且点D在x轴上方时，如图， 此时，，， 同（1）法可得，∴， ∴，解得，∴； 当时，且点D在x轴下方时，如图，此时， 同理可得，∴， 又∵，∴，此时方程无解，即不存在此种情况； 当时，如图，此时， 同理可得，∴，即，解得，∴； 如图，，点P在左侧，如图，此时，， 同理可得，∴，∴，方程无解，即不存在此种情况； 综上，点D坐标为或． 13．（25-26八年级上·陕西西安·期中）美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：． (1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，点的坐标为，点的坐标为，则点坐标为 ；(2)如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式；(3)如图4，直线分别交轴、轴于点，直线过点交轴于点，且，若点是直线上的一个动点，点是轴上的一个动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点和点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)，或， 【详解】（1）解：如图2，过点轴于E， ∵点C的坐标为，A点的坐标为，∴，， ∵等腰，，，又∵轴，∴， ∴，，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴，故答案为：； （2）解：若将直线绕点A顺时针旋转得到， 如图3，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D， ∵，∴，由（1）的模型可得， ∵与x轴的交点，，∴，，∴， 设直线的解析式为，∴，解得，∴； （3）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A，C，∴，， ∵．∴，∴，设点，点， ∵是以为斜边的等腰直角三角形，∴ ，， 如图4，当点M在上方时， 分别过点Q、B作y轴的平行线、，过点M作x轴的平行线分别交、于点G、H， 由（1）的模型可得：，∴，，即，， 解得，；故点、点； 同理，当点M在下方时，∴，，解得，故点、点； 综上，，或，． 14.（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过两点，点C在x轴正半轴上，且． (1)求直线的函数表达式；(2)连接，在直线上取一点D，且点D在x轴上方，连接，若以A，C，D为顶点的三角形的面积是面积的2倍，求出D点的坐标；(3)在（2）的条件下，在线段，上分别取M，N，且使得线段轴，在x轴上取一点P，连接，，存在点M，使得为等腰直角三角形，请直接写出M点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为(2)点D的坐标为(3)或 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得，∴线段的表达式． （2）解：令，则，∴， ∵，且点在轴正半轴上，， ∴，， 设点的坐标为，如图①，过点作轴的垂线交轴于点， 则，， 即，解得：，∴点的坐标为． （3）解：存在，点的坐标为或， 设直线的表达式为，将点代入， 得，解得，∴直线的表达式． 已知点在线段上，设点的坐标为，则， ∵轴，且点在上，∴将代入，得，解得：． ∴点的坐标为， 分三种情况讨论：①如图②，当为直角顶点时，点的坐标为， ，，解得：，∴点的坐标为． ②如图③，当为直角顶点时，点的坐标与①中情况相同； ③如图④，当为直角顶点时，， 过点作轴，交于点，则点为的中点，且， ∴点的坐标为，， ，，解得：，，∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 15．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点，点的横坐标为， ， ．(1)求、两点的坐标；(2)点在射线上运动，点的横坐标为，的面积为．请用含的式子表示，直接写出的取值范围；(3)在（2）的条件下，当点在第一象限，且时，求此时点的坐标；点是平面上的任意一点，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)，；(2)(3)，点的坐标为或 【详解】（1）解：如图1，过点作轴于点，点的横坐标为，， 在中，，，，， ，，，，，，； （2）当时，由（1）知，，，设直线的解析式为， 则，解得，直线的解析式为，， ， 当时，如图3，；综上所述，； （3）如图4，点在第一象限内，， ，，，过点作，交于，， 过点作于，是等腰直角三角形，，， ，， 在和中，，， ，，，， 过点作于，同理：，综上所述，点的坐标为或． 模型四：一次函数与全等三角形综合压轴 16．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图1：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求点的坐标和直线的解析式；(2)如图2，当点运动到某一位置时，，求此时点的坐标；(3)如图3，当于点，点为直线上不与点、重合的一个动点．在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与全等，若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)或(3)或或或 【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于、两点， ∴，即，∴，即， 将点A坐标代入得：，解得，∴直线的解析式为． （2）解：由（1）可知：，∴， ∵，∴，设点C的横坐标为m，则上边上的高为， ∴，解得：，∵点C在直线上，∴当时，，即； 当时，，即．∴点C的坐标为或． （3）解：存在满足条件的点Q， ∵，∴， ∴以O、P、Q为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，. ①当时，∴，即点P的横坐标为或，如图： ∴点P的纵坐标为或，∴点Q的坐标为或； ②当时，，即点P、Q的纵坐标为或，如图所示： ∴点Q的坐标为或． 综上，点Q的坐标为或或或． 17．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，且． (1)求的值；(2)若点为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点落在轴的点处，求点的坐标；(3)如图2，作，点为直线上一动点，点为轴上一动点，是否存在以为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在；或，或． 【详解】（1）解：当时，，∴，∴ ∵，∴，∴，把代入，即解得． （2）解：∵，，∴， 由折叠的性质可知：，，∴， ∴，∴．设， 则，，则，在中，， 即，解得：，∴ （3）解：∵，，∴， ∴以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，， 当时，∴，∴点E的横坐标为：或， 由（1）直线的解析式为， ∴点E的纵坐标为：，或，故或 当时，∴，∴点纵坐标为或， ∴点E的纵坐标为或，即或， 解得：或，∴或 综上：存在以为顶点的三角形与全等，则点E的坐标为：或，或． 18．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点． (1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______．(2)求的面积， (3)连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标． 【答案】(1)，，(2)(3)所有满足条件的点Q坐标为或或 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，，∴，设，则， 由折叠的性质可得，，∴， 由勾股定理可得：，∴，解得：，∴； （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可得：，，代入表达式可得， 解得，∴直线的表达式为， 联立，解得，∴，∴； （3）解：由（1）（2）可得：，，，∴， ∵，，， ∴，∴为直角三角形，且， ， ∵与全等（点P与点C不重合）， ∴当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴，如图： ∵，∴，把代入可得， ，此时； 当点在的延长线上时，当时，过点作轴，如图：， 由题意可得：，，∴， ∵，∴，把代入可得，，此时； 当点在上时，∵点与点不重合，∴不存在； 当点在上时，当，如图： ∵，∴，∴把代入可得，，此时； 综上所述，所有满足条件的点Q坐标为或或． 19．（25-26八年级上·吉林通化·月考）如图①，已知的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，且．点A的坐标为，点B的坐标为，． (1)求点C的坐标；(2)如图②，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E． ①求线段的长；②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M、C、D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)①；②存在，或或 【详解】（1）由题知，， ， 过作轴，，， ，，， ，， ，， 又在第二象限，所以点C的坐标为． （2）①由（1）知，轴交于点D， 点D的纵坐标为1，将代入，得，，； ②存在，点M、C、D为顶点的三角形与全等，则M与B对应， 有如下三种情况：当时，则点和点B关于直线对称，则M的坐标为； 当时，则点和点B关于的中垂线对称，故的坐标为； 当时，则点和点关于对称，故的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或． 20．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． (1)点B的坐标为______（直接填空）；(2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点，交于点D，连接，求点D的坐标；(3)在坐标平面内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)点P的横坐标为0或或 【详解】（1）解：对于直线，令，则，解得； 令，则；∴，，∴，， ∴在长方形中，，，， ∴点B的坐标为；故答案为：； （2）解：∵四边形是长方形，∴，由折叠的性质得， 设，则，在中， ∴，解得，∴，∴点D的坐标为； （3）解：①当点P与点O重合时，，此时点P的横坐标为0； ②当点P在第一象限时，则，设与交于点， ∴，，，， ∴，∴，∴， 过点作，∵，∴， ∴点P的横坐标为； ③当点P在第二象限时，则，设与交于点， ∵，∴， ∴，，，， ∴，∴，即，设， 在中，，∴，解得，∴， ∴，过点作，∵， ∴，∴点P的横坐标为；∴综上所述，点P的横坐标为0或或． 模型五：一次函数与特殊角度综合压轴 21．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于．直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式；(2)若点在直线上，且为直角三角形，直接写出点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)点，直线的表达式为：．(2)点E的坐标为或； (3)存在，点P的坐标为或 【详解】（1）解：当时，，解得：，即点， ∵直线经过点，∴，解得：，则直线的表达式为：． （2）当中时，，解得∴， 当中时，，解得∴， 当时，为直角三角形，此时，则，故； 当时，为直角三角形，过作于F， ∵，，∴， ∴，∴，∴， 当时，，得，∴， 综上，点E的坐标为或； （3）存在，理由：当点P在y轴左侧时， ∵，则，即， 设，由点A，P，C的坐标得，，，得，即点； 当点在y轴右侧时，则与左侧时的点P关于点H对称，故此时 综上，存在，点的坐标为或 22．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线相交于点，与轴交于点，与轴交于点，且，满足． (1)求一次函数的解析式；(2)若点为直线上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，点在第一象限，连接，，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，，求的长． 【答案】(1)(2)点的坐标为或(3) 【详解】（1）解：，，，，，，， ，解得， （2）如图，过点作轴，交直线于点， 直线的解析式为，且与直线相交于点，，解得，， ，，，， 设直线的解析式为，则，，直线的解析式为， 设，则，，， 即解得：或， 点的坐标为或 （3）在上截取线段，使得， ∴， ∵∴为等边三角形∴ ∴即 在和中∴∴ ∵∴∴ ∵在中，，，∴∴ ∴∵在中，∴ 23．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，且直线与直线平行． (1)k= ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；(2)在y轴正半轴上有一点C满足，与连成直线，直线与直线交点为E．直线上有一动点P，满足，求P点坐标； (3)将直线绕点E顺时针旋转后得到一条直线l，求直线l的表达式． 【答案】(1)，，(2)或(3) 【详解】（1）解：∵直线与直线平行，∴，则直线的解析式为． 当时，，所以点的坐标为． 当时，，解得，所以点的坐标为．故答案为：，，； （2）解：由，且点在轴正半轴上，∴． 设直线的解析式为，∵直线过点和， ∴，解得，∴直线解析式为． 联立直线和的解析式得：解得，代入得， ∴点的坐标为．的面积，则． 设点的坐标为，如图，过点作轴的平行线交直线于点， 当时，，解得，，， 当点在线段的延长线上时，如图， 解得：，点的坐标为； 当点在线段的延长线上时，即为图中点，解得：，点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：如图，将线段绕点沿顺时针方向旋转得线段，过点作，过点G作轴的平行线交轴于点，过点作于点， 设，，∴，∴， ，∴， ∴，∴，∴， ，，∴，解得，∴， 由题意可得将直线绕点E顺时针旋转后得到一条直线l，此时直线l过点， 设直线l的关系式为，则，解得，∴直线l的关系式为， 24．（24-25八年级下·重庆荣昌·期末）如图，已知一次函数图像分别与轴交于点，两点，正比例函数图象与交于点，已知点的横坐标是1． (1)求该一次函数的解析式；(2)轴上有一动点，连接，，当取最小值时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，将正比例函数的图象沿轴向下平移1个单位长度，点对应点为，点对应点为，点是直线图象上一点，当时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1，当时，，∴，设直线的解析式为， 把，代入，得：，解得：，∴； （2）作关于轴的对称点，则：， ∴当在线段上时，取的最小值， ∵，，同（1）法可得，直线的解析式为：， ∴当时，，∴； （3）当时，，∴，∴， ∵，∴，∴， 将正比例函数的图象沿轴向下平移1个单位长度，得到，点对应点为， ∴，当时，， 设，过点作，且，连接，则：， 当点在直线下方时，过点作轴于点，作，交的延长线于点， 则：，， ∴，， 又∵，∴，∴， ∴，∴，同法可得，直线的解析式为：， ∵，∴点为直线与直线的交点， 联立，解得：，∴； 当点在直线上方时，同法可得：，直线的解析式为：， 联立，解得：，∴；综上：或． 25．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点． (1)求，两点的坐标；(2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，在轴上找一点，当的值最小时，求点坐标； (3)在（2）的基础上，在直线上找一点，使，直接写出点的坐标； (4)如图2，若，过点作，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)(3)或(4)存在，或 【详解】（1）解：∵直线分别与轴，轴交于，两点， ∴当时，，即；当时，，即； （2）设直线与直线交点为，作点关于轴的对称点，连接与，且与轴交于点，再连接， ∴，∴，即最小值为， ∵于点，，∴，∴， ∵，，点是线段的中点，∴，，∴，， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴， ∵点在直线：上，∴，∴，∴直线表达式为， 联立，解得：，∴， 设直线表达式为，过点，， ∴，解得：，∴直线表达式为， 当时，，∴点坐标为； （3）∵，，，∴，，∴， 如图，过点作的垂线，垂足为，连接、， ∵，∴，即，∴，∴点的纵坐标为， 把点纵坐标代入直线表达式中，得，∴点的坐标为或； （4）过点作射线交轴于点，使，过点作射线交射线于点，再过作轴于点， ∵，直线：，∴设直线表达式为，过点， ∴，∴直线表达式为，当时，，∴，∴， ∵，∴， ∵，轴，∴，， ∴，∴为等腰直角三角形，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴， 设直线表达式为，过点，， ∴，解得：，∴直线表达式为，当时，，∴， 由对称性可知，另一个点在原点左边，即， 综上所述，在轴上存在点，使，点的坐标为或． 模型六：一次函数与长度问题综合压轴 26．（25-26八年级上·湖北恩施·期中）如图1所示，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，． (1)若点．①求点B的坐标；②如图2，若垂直y轴于点C，轴于D，与交于点E，求点E的坐标（直接写出结果）； (2)如图3，P为第一象限的一动点，Q为x轴上的点，，且，M为的中点，试探究与的数量关系与位置关系． 【答案】(1)①；②(2)，详见解析 【详解】（1）解：①如图，作轴交x轴于点，作轴交x轴于点， ∵，∴，， ∵轴，∴， ∵，∴，∴， ∵为等腰直角三角形，，∴， 在和中，∴， ∴，，即； ②解：∵，∴，， ∵垂直y轴于点C，轴于D，∴ ∵，∴，，∴， ∵为等腰直角三角形，，∴， 在和中，∴， ∴，，即，；设直线解析式为， 将，代入得：，解得：，即直线解析式为， 同理可得直线解析式为，当时，，此时，即； （2）解：，理由如下：如图，延长，使，连接，，， ∵M为的中点，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，，∴， ∵，，∴，，∴， ∵，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵为等腰直角三角形，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，即为等腰直角三角形， ∵，∴M为等腰直角三角形斜边上的中点，∴． 27．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，与直线相交于第二象限，交点为点，且点的纵坐标为． (1)点的坐标为_____________，点的坐标为_____________；(2)点为直线上一点，且点在第一象限，若的面积与的面积相等，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点为线段上一点，过点作轴的平行线，与直线，直线分别相交于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)；(2)(3)点的坐标为或． 【详解】（1）一次函数的图象分别交轴，轴于点， 令，则，解得：，； 令，则，；故答案为：； （2）因为点的纵坐标为，把代入，得，所以，设， 因为的面积与的面积相等，所以，解得，所以， 设直线的函数表达式为，将代入，得，解得． 所以直线的函数表达式为． （3）设直线的函数表达式为，将代入，得，解得， 所以直线的函数表达式为， 设，所以， 如图-1，当点在线段上时，因为，所以 所以，所以点的坐标为； 如图-2，当点在线段上时，因为，所以， 所以，所以点的坐标为，综上所述，点的坐标为或． 28．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与直线交于点．直线与轴交于点． (1)求点，点的坐标；(2)如图2，为直线上的一个动点，当，求点坐标； (3)如图3，为线段上的一个动点，点关于直线的对称点为，当恰好落在轴上时，直接写出点的坐标；(4)如图4，已知点，在轴负半轴上运动，在线段上运动，且，则最小值为_____． 【答案】(1)，(2)或(3)或(4) 【详解】（1）解：联立，解得：，∴， 令，则：，∴； （2）当时，， 设则或或 （3） 设，点关于直线的对称点， ，解得：，或 当时，的中点坐标为轴 此时，解得：， 当时，的中点坐标为，即为点， 设直线与轴交于点，则， ，解得： 设直线的解析式为：，把代入，得：解得： 联立解得：综上：或 （4）在轴的正半轴上截取，如图： 连接，交轴于，在轴的负半轴上截取，连接， 在和中， 此时的值最小，最小为 的最小值为故答案为： 29．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，正比例函数与经过点的一次函数相交于点，点的坐标为． (1)观察图象，当时，自变量的取值范围是______；(2)点为正比例函数上一动点，作轴交一次函数于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）解：观察图象得当时，函数的图象在函数的图象的上方， ∴当时，自变量的取值范围是．故答案为：． （2）解：∵正比例函数经过点，∴，∴， ∵一次函数的图象经过点和， ∴，解得∶，∴一次函数的表达式为； 设点C的坐标为，∵轴，∴点D的坐标为， ∵，∴，解得或，∴点C的坐标为或． 30．（25-26八年级上·福建漳州·期中）设直线（）与轴，轴分别交于，两点．设直线交轴于点，过点作垂线交直线于点． (1)求点的坐标．(2)当时，记点，点是轴负半轴上一点，且，连接．试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． (3)动点在直线上，从点出发，以每秒1个单位长度的速度向上运动，连接，在运动过程中，直线交轴于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)点的坐标为(2)直线经过点(3)当时，；当时， 【详解】（1）解：对于直线（）， 当时，，点的坐标为． （2）解：直线经过点． 理由如下：直线与轴交于点， ，，，当时，，点的坐标为． 如图，过点作轴， ，， ，，， 由题意知点的横坐标为，，，， ，，， 点是轴负半轴上一点，且，， 设直线的解析式为，将，代入， 得，解得，直线的解析式为， 时，，直线经过点． （3）解：如图，，设点的运动时间为秒，则， 设直线的解析式为，则，，， 当时，，解得，； 如图，当时，点在点右侧，， ，， 又，，，即； 如图，当时，点在点左侧，则，， ，，即， 综上所述，当时，；当时，． 模型七：一次函数与面积问题综合压轴 31．（25-26八年级上·内蒙古包头·月考）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线与直线交于点．已知直线与y轴交于点，与x轴交于点E． (1)求点A、B的坐标；(2)求直线的解析式；(3)求的面积；(4)在直线上有一点P，且满足的面积是面积的，求点P的坐标． 【答案】(1)，(2)(3)5(4)和 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时，，即；当时，，即． （2）解：∵直线经过点，，， 设直线的解析式为，∴，即，∴直线的解析式为． （3）解：∵，，∴，∴． （4）解：∵直线的解析式为．∴，∴， ∴，∴； ①如图，当点P在点D的上方， 设点P的坐标为， ∵，∴，解得：，∴； ②如图，当点P在点D的下方， 设点P的坐标为， ∵，∴，解得：，∴． 综上，点P的坐标为和． 32．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图1，直线的函数表达式为：，直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点，直线与轴，轴分别交于点，点． (1)求直线函数表达式；(2)如图2，点是轴上的一个动点，过点作直线垂直于轴于点，交直线，直线分别于点，点，设点的纵坐标为，当时，求的值；(3)在直线上存在另一点，使得的面积是面积的2倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1)(2)或(3)或 【详解】（1）解：将点代入中，得，解得． ∴点的坐标为设直线函数表达式为 将点、代入中，得解得∴直线函数表达式为． （2）解：如图所示：中，当时，∴点的坐标为 在直线中，当时，∴点A的坐标为∴． ∵直线轴于点，点的纵坐标为∴点，点的纵坐标都为 ∵点在直线上∴点的坐标为． ∵点在直线上∴点的坐标为．∴ ∵∴解得，或． （3）解：令的得，∴， ，故面积为． 设，，，得， 即，对应或． 33．（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系与几何图形变换的综合问题中，我们常常通过旋转构造、函数性质、全等图形等变换方式探究点的坐标与图形性质并解决问题．运用几何与函数结合的模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何与函数模型的“数学之美”． 【图形旋转与全等】（1）如图1，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长线交于点，连接，过点作交直线于点．求证：； 【一次函数与旋转交线】（2）如图2，将图1以为原点建立平面直角坐标系，若边所在直线为，分别与轴、轴交于点、点．①求边所在直线的函数表达式；②若点是直线上的动点，当的值最小时，求此时点的坐标． 【面积与点的坐标】（3）在（2）的条件下，点是直线上一动点，当的面积为30时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）证明见解析；（2）①边所在直线的函数表达式；②点的坐标为； （3）点坐标为或． 【详解】（1）解：将绕点逆时针旋转得到， ，，，，，， ，，， ，， 在和中，,， ，则为等腰直角三角形，． （2）①解：边所在直线为，令，则，令，则， 点A的坐标为，点B的坐标为，根据旋转的性质，点的坐标为，点的坐标为， 设所在直线为，将坐标代入得，可得，直线表达式为． 答：边所在直线的函数表达式． ②解：，，，，， 直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短，当点与点重合时，的值最小， 联立直线与直线，可得，解得，故点坐标为． 答：当的值最小时，点的坐标为． （3）解：如图，过点作垂直于轴，与交于. 设点， 可得，，． 设到直线的距离为，根据（2）可知直线与直线垂直，故． ，的面积为30，，可得， ，， ， 当以为底时，的面积可表示为：， 当以为底时，的面积可表示为：， ，，，即， 当，解得，将代入，得，点坐标为； 当，解得，将代入得，点坐标为． 综上，点坐标为或．答：点坐标为或． 34．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． (1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）．②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ． (2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 【答案】(1)①是；②或(2)或(3) 【详解】（1）解：①∵点，∴， ∵，∴，∴，则是2的“等垂点”，故答案为：是． ②当点C在点B上方时，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点E， ∵点，，且点是4的“等垂点”，∴，，，， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴． 当点C在点B下方时，过点B作轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示： ∵点，，且点是4的“等垂点”，∴，，，， 同理得：，∴， ∴，∴，∴．故答案为：或． （2）解：设当时，如图，过作轴于点， ∵轴，∴，∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，即或， ∵点在上，∴或，解得或(舍)，∴． 当时，如图，过作轴于点，同理可得或， ∵点在上，∴或，解得(舍)或， ∴．综上所述：或． （3）解：∵直线上存在无数个5的“等垂点”， ∴直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴，解得：，∴直线解析式为， 如图，过点分别作轴于点Q，轴于点H，交于点N， ∵，，，∴，∴为直角三角形， ∴，∴， ∴， 即，解得：， ∴． 35．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，已知一次函数分别交轴、轴于点、，过点的直线与交于点． (1)求直线的解析式；(2)如图1，连接，将直线绕点旋转，交直线于点，求的坐标； (3)如图2，以为边向上方作正方形，正方形以每秒个单位长度的速度沿轴正方向平移，与重叠部分面积记为，请直接写出与时间的表达式（并写出自变量t的取值范围）． 【答案】(1)直线的解析式为(2)或(3) 【详解】（1）解：设直线的解析式为，代入，． ∴解得：∴直线的解析式为 （2）解：∵是与轴的交点，对于，当时，∴ ∵一次函数分别交轴、轴于点、，当时，，当时，∴， ∵，，∴，， ∴，∴是等腰直角三角形，且 ∴∴当点顺时针旋转，点与点重合，此时 当点逆时针旋转时，则是等腰直角三角形， ∴，即点是点和点中点， ∵，，∴即综上所述，或 （3）∵，则，即正方形的边长为， 如图，设正方形平移后的正方形为，设，交于点， ∴， 当时，，当时，， ∴，当点和重合时，此时，当时，， ∴当时， 当经过点时， 如图，设和交于点，则 ∴当时， 当和重合时，， ∴当时， 如图，，，， 当过点时， 当时，如图，设，交于点， ∵直线的解析式为， 当时， ∴，， ∴ 综上所述， 模型八：一次函数与新定义问题综合压轴 36．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【材料：学习理解】 定义1：在平面直角坐标系中，点到点的“纵横值”定义为：．例如：到的“纵横值”． 定义2：在平面直角坐标系中，点到射线（或线段）的“纵横值”定义为：点到上所有的“纵横值”的最小值，此时上的对应点称为点在上的“纵横点”．例：求到射线的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标． 分析：射线上任一点的坐标可表示为，则．结合正比例函数的图象可知，当时，的最小值为，即“纵横值”，此时在上的“纵横点”为． 【任务1：特值感悟】若坐标为，①到的“纵横值” （直接写出）； ②求到线段的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标（写过程）； 【任务2：拓展应用】若，，且，则与的关系式为： （直接写出）； 【任务3：能力提升】若点在某条线段上的“纵横点”坐标为，相应的“纵横值”是8，点在直线上，①所有满足条件的点和直线以及轴组成了一个封闭图形，请在下图中的平面直角坐标系中画出该封闭图形；②若，过点的直线将任务3的①中封闭图形的面积分成两部分，直接写出直线的表达式 ． 【答案】任务1：①，②，；任务2：；任务3：①见详解，②或 【详解】解：任务1：①；故答案为：； ②设线段上任一点的坐标为，， ，，当时，， 即“纵横值”，此时在上的“纵横点”为． 任务2：，， 整理得：，故答案为：； 任务3：①设，“纵横点”坐标为，“纵横值”是8， ，整理得：， 所有满足条件的点和直线以及轴组成了一个封闭图形，如下： ②设，， ，，整理得：，， 联立得，解得，点为直线与直线的交点， 由图得，，，，， 设直线的解析式为，则有，解得，直线的解析式为； 同理可求直线的解析式为；故答案为：或． 37．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即， 定义理解：（1）如图2，若直线l的表达式为 与x轴和y轴分别交于A，B两点，求．（点O为坐标原点）； 定义运用：（2）如图3，将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m，与x轴和y轴分别交于D，C两点，当 时 （点O为坐标原点），求平移距离n的值； 定义拓展：（3）在（2）的条件下，y轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形，且点Q关于直线l的“L路径”与直线m有交点．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为或或 【详解】解：（1）把代入得：，把代入得：，解得， 、，，，； （2）∵将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m，∴直线m： ， 把代入得：，把代入得：，解得， 、，，， ，，解得：； （3），、，根据勾股定理可得：， 点Q在y轴上，共分为三种情况：第一种情况，当时，或， 点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符题意，即只有符合题意； 第二种情况，当时，，，； 第三种情况，当时， 设，， 根据勾股定理可得：，则，解得：，； 综上所述，存在，点的坐标为或或． 38．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形．） (1)点的关联点的坐标为 ；(2)点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标；(3)如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断的形状并证明； (4)已知，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)(3)为等腰直角三角形，详见解析(4) 【详解】（1）解：根据关联点的定义可知：，， 点的关联点的坐标为，故答案为：； （2）解：点在直线上，可设点的坐标为， 又，，点的关联点的坐标为， 点在直线，，解得，，点的坐标为； （3）解：为等腰直角三角形，证明如下： ，点和点在坐标系中的位置如图所示， 过作轴，交轴于点，过作于点，则， ，，，，，，，， 在和中，，，，， ，，，为等腰直角三角形； （4）解：，，，，点关联点，点关联点，点关联点，点关联点，如图，在平面直角坐标系画出图形， 由图易知，重叠部分为等腰直角三角形，， 解得（负值舍去），，，， 直线经过点，设直线， 若直线与该关联图形有交点，则两个临界点为和， 当该直线经过点时，可有，解得， 当该直线经过点时，可有，解得， ∴取值范围为．∴最小值为． 39．（25-26八年级上·广东佛山·期中）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即． 定义理解(1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点）； (2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值； (3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在，点的坐标为或或 【详解】（1）把代入得：，把代入得：，解得， 、，，，； （2）把代入得：， 把代入得：，解得， 、，，， ，，解得：； （3），、，根据勾股定理可得：， 点Q在y轴上，共分为三种情况：第一种情况，当时，或， 点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符合题意， 即只有符合题意； 第二种情况，当时，，， 第三种情况，当时， 设，， 根据勾股定理可得：，则，解得：，； 综上所述，存在，点的坐标为或或． 40．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）在平面直角坐标系中，对于任意两点，的“特别距离”，给出如下定义：若，则点，的“特别距离”为；若，则，的“特别距离”为；例如：点，点，因为，所以点与点的“特别距离”为，也就是图中线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）． (1)已知点，B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“特别距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标　　　；②直接写出点A与点B的“特别距离”的最小值　　　． (2)已知C是直线上的一个动点，点D的坐标是，求点C与点D的“特别距离”的最小值及相应的点C的坐标． 【答案】(1)①或；②；(2)， 【详解】（1）解：（1）①∵B为y轴上的一个动点，∴设点B的坐标为． ∵，∴，解得或； ∴点B的坐标是或，故答案为：或； ②设点B的坐标为，当点A与点B的“特别距离”取最小值时，根据运算定义可知， ∴，∴当时，点A与点B的“特别距离”最小，最小值为；故答案为：； （2）解：当点C与点D的“特别距离”取最小值时，根据运算定义可知， ∵C是直线上的一个动点，点D的坐标是，∴设点C的坐标为， ∴，，∴，此时，，∴， ∴点C与点D的“特别距离”的最小值为：，此时． 模型九：一次函数与其他问题综合压轴 41．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，直线 ：（k为常数，） 与 y轴交于点 A，直线：与 y轴交于点 B，两直线交于点 C． (1)若点 B坐标为，求 k的值和点 C坐标；(2)在（1）的条件下，探究直线与直线的位置关系，并说明理由；(3)规定：横、纵坐标均为整数的点为整点，当 k为整数时，求 C为整点时的坐标； (4)设直线落在内部（不含边界）整点的个数为 m，直接写出 m的值． 【答案】(1)2，(2)，理由见详解(3)(4)或 【详解】（1）解：将点代入直线：，可得，解得， ∴直线的解析式为，∴直线 的解析式为， 联立直线和的解析式，可得，解得，∴点 C坐标为； （2），理由如下：设直线交轴于点，直线交轴于点，如下图， 对于直线：，当时，可有，解得，∴， ∵，∴，对于直线：， 当时，可有，即， 当时，可有，解得，即，∴，，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，即； （3）联立直线和的解析式，可得，解得，∴， ∵为整点，∴为整数，为整数，又∵，为整数，∴，∴点C的坐标为； （4）把代入直线：，得， 把代入直线：，得， ∵，∴直线与直线和的两个交点间距离为，且， 当直线与直线和的两个交点中有一个点是整点时，可有； 当直线与直线和的两个交点中都不是整点时，可有．综上可知，或． 42．（24-25八年级下·江苏南通·期中）已知y关于x的一次函数的图象为直线． (1)试说明：无论k为何值，直线总经过点； (2)当时，函数最大值与最小值的差为4，求的解析式； (3)已知y关于x的一次函数图象为直线，点E为上任意一点，过点E作y轴的平行线交于点F．若点E始终在点F的上方，试探究k与m的数量关系，并求出k的取值范围． 【答案】(1)见解析(2)或(3)且 【详解】（1）证明：∵， ∴当时，，∴无论为何值，直线总经过点； （2）解：， 当时，随增大而增大，则当时，当时，函数有最小值，最小值为 当时，函数有最大值，最大值为 ∵函数最大值与最小值的差为4 ，∴，解得：，∴此时的解析式为； 当时，随增大而减小，则当时，当时，函数有最大值，最大值为， 时，函数有最小值，最小值为 ∵函数最大值与最小值的差为 4 ，∴，解得：， 此时，的解析式为；综上，的解析式为或； （3）解：设点的坐标为， ∵过点作轴的平行线，交于点，∴点的坐标为， ∵点始终在点的上方，∴，∴恒成立， ∴，对于任意都成立，，即， 此时，即，解得：，综上，且． 43．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）（1）【知识结论】我们知道一次函数的图象可以由直线平移个单位得到． 那么将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数表达式为：________； （2）【拓展探究】我们已学过平移、轴对称两种基本的图形变换，某数学小组利用平移和轴对称开展“探究一次函数图象经过图形变换后的函数表达式”的数学活动． ①（平移变换）将图1中一次函数的图象沿着轴向左平移个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．小组探究发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在原图象上任取两点，，将这两点沿着轴向左平移个单位长度，得到对应点，，其坐标分别为（________），（________），从而求出直线对应的函数表达式为：______________________________； ②（轴对称变换）将图1中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：________________； （3）【学以致用】将一次函数的图象沿轴翻折，然后将翻折后的部分先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数图象对应的函数为．由和的图象组成的函数图象对应的函数为．当时，，则的取值范围为________．    【答案】（1）；（2）①，，；②；（3） 【详解】解：（1）将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数表达式为， 故答案为：； （2）①，两点沿着轴向左平移个单位长度，得到对应点，， 设直线的解析式为，将点，代入得，解得， 直线对应的函数表达式为，故答案为：，，； ②在一次函数的图象上任取两点，，则，两点关于轴的对称点为，， 设直线的解析式为，将，代入得，解得， 直线的解析式为，即一次函数的图象关于轴对称的函数表达式为， 故答案为：； （3），函数与轴交点为，与轴交于点． 这两点关于轴对称的对称点坐标分别为，． 将其向左平移个单位，再向上平移个单位得到对应点的坐标分别为， 函数的解析式为．， 当时，，随的增大而减小． 当时，， 当时，代入，得到， ，，矛盾，不合题意，舍去； 当，即时，，随的增大而增大， 当时，，，，不合题意，舍去； 当，即时，由图象知函数最小值为． ，，，，， 当时，，当时，， 当时，，则，当时，，则， ，．    44．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）【问题探究】（1）在如图1所示的平面直角坐标系中，直线过点，且与直线交于点，直线与轴交于点．①求直线的函数表达式；②若的面积为9，且点在轴正半轴上，求点的坐标． 【问题解决】（2）如图2，在平面直角坐标系中，经过、两点的直线是某城市景观规划中的一条景观大道，它与轴正半轴上的点处的景观支线（轴）相连，景观设计部门计划在轴正半轴上找一个点，使得由点A、B、C所构成的（特色景观区域）为等腰三角形，求经过B、C两点的景观道路所在的直线的函数表达式． 【答案】（1）①；②；（2）或或 【详解】解：（1）①设直线的解析式为：， ∵直线过点、点， ∴，解得：，∴直线的函数表达式为：； ②∵的面积为 9 ，，， ，或，或． ∵点C在轴正半轴上，∴． （2）分三种情况：①如图 1 ，当时， ，，， ，，，设直线的解析式为：， 把和代入得：，解得：，∴直线的函数表达式为：； ②如图2，，∵轴， 同理可得直线的解析式为：； ③如图，∵轴， 设，则，根据勾股定理得：， ，解得：，，， 同理可得直线的解析式为：； 综上，直线的解析式为：或或． 45．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． 【问题提出】（1）求直线的函数表达式； 【初步探究】（2）如图1，若M是直线上的动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图2，点D的坐标为，P为x轴正半轴上的动点，以点P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接，过点Q作轴交于点G，求的最小值． 【答案】（1）；（2）或 ；（3） 【详解】(1) 解：将代入，则，∴点C的坐标为， 设直线的函数表达式为，将点，代入， 得，解得，∴直线的函数表达式为； (2) 存在．令，解得，∴点B的坐标为， ∵点，，∴，，， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∴当时，，解得，点M的坐标为； 当时，，解得，点M的坐标为． 综上所述存在点M的坐标为或，使得； (3) 如图，连接， ∵，∴当C，Q，D三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，，∴，，∴，即的最小值为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数与几何综合压轴（九类）（解答题）专项训练 模型一：一次函数与直角三角形综合压轴 模型二：一次函数与等腰三角形综合压轴 模型三：一次函数与等腰直角三角形综合压轴 模型四：一次函数与全等三角形综合压轴 模型五：一次函数与特殊角度综合压轴 模型六：一次函数与长度问题综合压轴 模型七：一次函数与面积问题综合压轴 模型八：一次函数与新定义问题综合压轴 模型九：一次函数与其他问题综合压轴 模型一：一次函数与直角三角形综合压轴 1．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．(1)求m和的值；(2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒．①求的面积S与时间t的关系式；②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线： 与直线 相交于点， 与x轴交于点 ， 直线与x轴交于点C． (1)填空： ， ， ；(2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．①求线段的长度；②当点E落在y轴上时，求点E的坐标；③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）【初步探究】（1）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与直线交于点，两条直线与轴分别交于点和点，求的面积； 【灵活应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，是某校将要扩建的校园活动区示意图，边所在直线的表达式为，边所在直线的表达式为，与交于点，为垂直于边的一条跑道，点为线段上的动点，连接，为休闲区域，将沿直线翻折得到，线段交轴于点，为运动区域，为扩建的拉伸区域，当为直角三角形时，求出点的坐标． 4．（24-25八年级下·四川巴中·期中）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的坐标为． (1)求一次函数的表达式；(2)如图，点为直线上一动点，且位于第二象限，若，求点的坐标；(3)在（）的情形中，如图，点在轴上且在点左侧且，点从点出发，沿射线的方向以的速度运动，当点不与点重合时，将绕点逆时针方向旋转得到，连接．当点在射线上运动时，是否存在以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，直线与直线相交于点，直线与轴交于点．(1)填空： ， ；(2)求的面积；(3)点是轴上一个动点，①当值最小时，请直接写出点的坐标 ；②当以点为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点的坐标 ． 模型二：一次函数与等腰三角形综合压轴 6．（25-26八年级上·河南郑州·期中）在“综合与探究”课上，老师让每位同学在练习本上画出一个长方形，然后以该长方形为基本图形，以小组为单位编制一道综合探究题． 经过思考和讨论，励志小组向全班同学分享了他们编拟的试题，得到了老师的认可．同学们也眼前一亮，纷纷动手，开始了探究．请你也跟他们一起来完成这道试题吧． 如图，分别以长方形的边，所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．已知，，点在线段上，以直线为轴，把翻折，点的对应点恰好落在线段上． (1)请直接写出点的坐标：______，______．(2)当点在运动过程中，设运动时间为秒． ①点从点出发以每秒个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，求的面积与之间的关系式；②点是轴负半轴上的一个动点，若与轴交于点，是否存在等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在本题的探究过程中，让我们感悟的数学思想有______（填序号）． ①方程思想；②数形结合思想；③分类讨论思想． 7．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图1，已知直线分别交x轴、y轴于A，C两点，直线交x轴于点B，且，．(1)求k的值；(2)如图2，D为线段上一点，设点D的横坐标为m，过点D作轴交于点E，使，求m的值；(3)在（2）的条件下，探究x轴上是否存在一个动点P，使得以点D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴、轴交于点A，B，点在线段的延长线上，且．(1)求线段的长．(2)求点的坐标．(3)如图2，连接，在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 9．（24-25八年级下·重庆九龙坡·月考）如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点．(1)求点A、B的坐标以及直线m的解析式；(2)若P为直线m上一动点，，求点P的坐标；(3)在x轴上是否存在一个动点Q，使得为等腰三角形？若存在．请求出Q点的所有坐标，若不存在，请说明理由． 10．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，与y轴交于点D，与直线交于点E，且．(1)求直线的解析式；(2)点F在y轴上，过点F作x轴的平行线，交直线于点M，交直线于点N，若，求点F的坐标；(3)如图2，将直线沿y轴向下平移得到直线，直线经过点C，将绕点A顺时针旋转α度（）得到，在旋转过程中，射线，射线分别交直线于点P，Q，当为等腰三角形时，直接写出点Q的坐标． 模型三：一次函数与等腰直角三角形综合压轴 11．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A，B两点，过x轴负半轴上一点C作直线交y轴正半轴于点D，且． (1)求直线的函数表达式；(2)如图2，点是线段上一点，连接，作交于点N，连接，求点N的坐标；(3)如图3，若点为直线上的点，点P为y轴上的点，点Q为直线上的点，且是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时Q点的坐标． 12．（25-26八年级上·山东济南·期中）【模型构建】（1）如图1，将含有的三角板的直角顶点C放在直线l上，过点A作于点D，过点B作于点E，请写出图1中（除外）相等的线段，并证明； 【初步感知】（2）如图2，直角三角板放置在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点B坐标为，请求出点A的坐标和直线的表达式； 【深入探究】（3）如图3，点A坐标为，点B坐标为，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点，点D是一次函数图象上的一个动点，当是一个以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点D的坐标． 13．（25-26八年级上·陕西西安·期中）美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：． (1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，点的坐标为，点的坐标为，则点坐标为 ；(2)如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式；(3)如图4，直线分别交轴、轴于点，直线过点交轴于点，且，若点是直线上的一个动点，点是轴上的一个动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点和点的坐标． 14.（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过两点，点C在x轴正半轴上，且．(1)求直线的函数表达式；(2)连接，在直线上取一点D，且点D在x轴上方，连接，若以A，C，D为顶点的三角形的面积是面积的2倍，求出D点的坐标；(3)在（2）的条件下，在线段，上分别取M，N，且使得线段轴，在x轴上取一点P，连接，，存在点M，使得为等腰直角三角形，请直接写出M点的坐标． 15．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点，点的横坐标为， ， ．(1)求、两点的坐标；(2)点在射线上运动，点的横坐标为，的面积为．请用含的式子表示，直接写出的取值范围；(3)在（2）的条件下，当点在第一象限，且时，求此时点的坐标；点是平面上的任意一点，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时点的坐标． 模型四：一次函数与全等三角形综合压轴 16．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图1：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求点的坐标和直线的解析式；(2)如图2，当点运动到某一位置时，，求此时点的坐标；(3)如图3，当于点，点为直线上不与点、重合的一个动点．在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与全等，若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，且． (1)求的值；(2)若点为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点落在轴的点处，求点的坐标；(3)如图2，作，点为直线上一动点，点为轴上一动点，是否存在以为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点． (1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______．(2)求的面积， (3)连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标． 19．（25-26八年级上·吉林通化·月考）如图①，已知的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，且．点A的坐标为，点B的坐标为，． (1)求点C的坐标；(2)如图②，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E． ①求线段的长；②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M、C、D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． (1)点B的坐标为______（直接填空）；(2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点，交于点D，连接，求点D的坐标；(3)在坐标平面内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 模型五：一次函数与特殊角度综合压轴 21．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于．直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式；(2)若点在直线上，且为直角三角形，直接写出点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 22．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线相交于点，与轴交于点，与轴交于点，且，满足． (1)求一次函数的解析式；(2)若点为直线上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，点在第一象限，连接，，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，，求的长． 23．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，且直线与直线平行． (1)k= ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；(2)在y轴正半轴上有一点C满足，与连成直线，直线与直线交点为E．直线上有一动点P，满足，求P点坐标； (3)将直线绕点E顺时针旋转后得到一条直线l，求直线l的表达式． 24．（24-25八年级下·重庆荣昌·期末）如图，已知一次函数图像分别与轴交于点，两点，正比例函数图象与交于点，已知点的横坐标是1． (1)求该一次函数的解析式；(2)轴上有一动点，连接，，当取最小值时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，将正比例函数的图象沿轴向下平移1个单位长度，点对应点为，点对应点为，点是直线图象上一点，当时，请直接写出点的坐标． 25．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点． (1)求，两点的坐标；(2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，在轴上找一点，当的值最小时，求点坐标； (3)在（2）的基础上，在直线上找一点，使，直接写出点的坐标； (4)如图2，若，过点作，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 模型六：一次函数与长度问题综合压轴 26．（25-26八年级上·湖北恩施·期中）如图1所示，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，． (1)若点．①求点B的坐标；②如图2，若垂直y轴于点C，轴于D，与交于点E，求点E的坐标（直接写出结果）； (2)如图3，P为第一象限的一动点，Q为x轴上的点，，且，M为的中点，试探究与的数量关系与位置关系． 27．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，与直线相交于第二象限，交点为点，且点的纵坐标为． (1)点的坐标为_____________，点的坐标为_____________；(2)点为直线上一点，且点在第一象限，若的面积与的面积相等，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点为线段上一点，过点作轴的平行线，与直线，直线分别相交于点，若，求点的坐标． 28．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与直线交于点．直线与轴交于点． (1)求点，点的坐标；(2)如图2，为直线上的一个动点，当，求点坐标； (3)如图3，为线段上的一个动点，点关于直线的对称点为，当恰好落在轴上时，直接写出点的坐标；(4)如图4，已知点，在轴负半轴上运动，在线段上运动，且，则最小值为_____． 29．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，正比例函数与经过点的一次函数相交于点，点的坐标为． (1)观察图象，当时，自变量的取值范围是______；(2)点为正比例函数上一动点，作轴交一次函数于点，若，求点的坐标． 30．（25-26八年级上·福建漳州·期中）设直线（）与轴，轴分别交于，两点．设直线交轴于点，过点作垂线交直线于点． (1)求点的坐标．(2)当时，记点，点是轴负半轴上一点，且，连接．试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． (3)动点在直线上，从点出发，以每秒1个单位长度的速度向上运动，连接，在运动过程中，直线交轴于点，请直接写出与的数量关系． 模型七：一次函数与面积问题综合压轴 31．（25-26八年级上·内蒙古包头·月考）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线与直线交于点．已知直线与y轴交于点，与x轴交于点E． (1)求点A、B的坐标；(2)求直线的解析式；(3)求的面积；(4)在直线上有一点P，且满足的面积是面积的，求点P的坐标． 32．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图1，直线的函数表达式为：，直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点，直线与轴，轴分别交于点，点． (1)求直线函数表达式；(2)如图2，点是轴上的一个动点，过点作直线垂直于轴于点，交直线，直线分别于点，点，设点的纵坐标为，当时，求的值；(3)在直线上存在另一点，使得的面积是面积的2倍，直接写出点的坐标． 33．（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系与几何图形变换的综合问题中，我们常常通过旋转构造、函数性质、全等图形等变换方式探究点的坐标与图形性质并解决问题．运用几何与函数结合的模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何与函数模型的“数学之美”． 【图形旋转与全等】（1）如图1，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长线交于点，连接，过点作交直线于点．求证：； 【一次函数与旋转交线】（2）如图2，将图1以为原点建立平面直角坐标系，若边所在直线为，分别与轴、轴交于点、点．①求边所在直线的函数表达式；②若点是直线上的动点，当的值最小时，求此时点的坐标． 【面积与点的坐标】（3）在（2）的条件下，点是直线上一动点，当的面积为30时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 34．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． (1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）．②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ． (2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 35．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，已知一次函数分别交轴、轴于点、，过点的直线与交于点． (1)求直线的解析式；(2)如图1，连接，将直线绕点旋转，交直线于点，求的坐标； (3)如图2，以为边向上方作正方形，正方形以每秒个单位长度的速度沿轴正方向平移，与重叠部分面积记为，请直接写出与时间的表达式（并写出自变量t的取值范围）． 模型八：一次函数与新定义问题综合压轴 36．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【材料：学习理解】 定义1：在平面直角坐标系中，点到点的“纵横值”定义为：．例如：到的“纵横值”． 定义2：在平面直角坐标系中，点到射线（或线段）的“纵横值”定义为：点到上所有的“纵横值”的最小值，此时上的对应点称为点在上的“纵横点”．例：求到射线的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标． 分析：射线上任一点的坐标可表示为，则．结合正比例函数的图象可知，当时，的最小值为，即“纵横值”，此时在上的“纵横点”为． 【任务1：特值感悟】若坐标为，①到的“纵横值” （直接写出）； ②求到线段的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标（写过程）； 【任务2：拓展应用】若，，且，则与的关系式为： （直接写出）； 【任务3：能力提升】若点在某条线段上的“纵横点”坐标为，相应的“纵横值”是8，点在直线上，①所有满足条件的点和直线以及轴组成了一个封闭图形，请在下图中的平面直角坐标系中画出该封闭图形；②若，过点的直线将任务3的①中封闭图形的面积分成两部分，直接写出直线的表达式 ． 37．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即， 定义理解：（1）如图2，若直线l的表达式为 与x轴和y轴分别交于A，B两点，求．（点O为坐标原点）； 定义运用：（2）如图3，将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m，与x轴和y轴分别交于D，C两点，当 时 （点O为坐标原点），求平移距离n的值； 定义拓展：（3）在（2）的条件下，y轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形，且点Q关于直线l的“L路径”与直线m有交点．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 38．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形．） (1)点的关联点的坐标为 ；(2)点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标；(3)如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断的形状并证明； (4)已知，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的最小值． 39．（25-26八年级上·广东佛山·期中）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即． 定义理解(1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点）； (2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值； (3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 40．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）在平面直角坐标系中，对于任意两点，的“特别距离”，给出如下定义：若，则点，的“特别距离”为；若，则，的“特别距离”为；例如：点，点，因为，所以点与点的“特别距离”为，也就是图中线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）． (1)已知点，B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“特别距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标　　　；②直接写出点A与点B的“特别距离”的最小值　　　． (2)已知C是直线上的一个动点，点D的坐标是，求点C与点D的“特别距离”的最小值及相应的点C的坐标． 模型九：一次函数与其他问题综合压轴 41．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，直线 ：（k为常数，） 与 y轴交于点 A，直线：与 y轴交于点 B，两直线交于点 C． (1)若点 B坐标为，求 k的值和点 C坐标；(2)在（1）的条件下，探究直线与直线的位置关系，并说明理由；(3)规定：横、纵坐标均为整数的点为整点，当 k为整数时，求 C为整点时的坐标； (4)设直线落在内部（不含边界）整点的个数为 m，直接写出 m的值． 42．（24-25八年级下·江苏南通·期中）已知y关于x的一次函数的图象为直线． (1)试说明：无论k为何值，直线总经过点； (2)当时，函数最大值与最小值的差为4，求的解析式； (3)已知y关于x的一次函数图象为直线，点E为上任意一点，过点E作y轴的平行线交于点F．若点E始终在点F的上方，试探究k与m的数量关系，并求出k的取值范围． 43．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）（1）【知识结论】我们知道一次函数的图象可以由直线平移个单位得到． 那么将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数表达式为：________； （2）【拓展探究】我们已学过平移、轴对称两种基本的图形变换，某数学小组利用平移和轴对称开展“探究一次函数图象经过图形变换后的函数表达式”的数学活动． ①（平移变换）将图1中一次函数的图象沿着轴向左平移个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．小组探究发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在原图象上任取两点，，将这两点沿着轴向左平移个单位长度，得到对应点，，其坐标分别为（________），（________），从而求出直线对应的函数表达式为：______________________________； ②（轴对称变换）将图1中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：________________； （3）【学以致用】将一次函数的图象沿轴翻折，然后将翻折后的部分先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数图象对应的函数为．由和的图象组成的函数图象对应的函数为．当时，，则的取值范围为________．    44．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）【问题探究】（1）在如图1所示的平面直角坐标系中，直线过点，且与直线交于点，直线与轴交于点．①求直线的函数表达式；②若的面积为9，且点在轴正半轴上，求点的坐标． 【问题解决】（2）如图2，在平面直角坐标系中，经过、两点的直线是某城市景观规划中的一条景观大道，它与轴正半轴上的点处的景观支线（轴）相连，景观设计部门计划在轴正半轴上找一个点，使得由点A、B、C所构成的（特色景观区域）为等腰三角形，求经过B、C两点的景观道路所在的直线的函数表达式． 45．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． 【问题提出】（1）求直线的函数表达式； 【初步探究】（2）如图1，若M是直线上的动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图2，点D的坐标为，P为x轴正半轴上的动点，以点P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接，过点Q作轴交于点G，求的最小值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $