专题03 期末复习之代数式与整式的加减（考情分析+8大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学七年级上册易错点重难点培优专题复习

该初中数学讲义以“代数式与整式的加减”为核心，通过考情分析表格系统梳理8个期末考点，涵盖定义、运算、应用等模块，结合错题警示提炼易错点，构建“考点-错点-题型”三维知识体系，清晰呈现重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型强化同类项判定、整式加减等运算能力，提升题型结合几何图形培养几何直观，培优题型通过规律探究发展推理意识。同步练习包含综合实践题，如分段计费方案设计，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供系统支持。

专题03 代数式与整式的加减 期末考点 复习目标 考察形式 1.代数式的定义与书写规范 1.明确代数式定义（含字母、数字、运算符号，不含等号/不等号）； 2.掌握书写规则（数字在前、字母在后，乘号省略） 基础必考题，多为选择/填空（1题），侧重规范书写判断 2.单项式与多项式概念 1.识别单项式、多项式； 2.求系数、次数、项数、常数项 高频基础题，选择/填空（1-2题），易混淆系数符号与次数计算 3.同类项判定与合并 1.掌握同类项核心条件； 2.熟练合并同类项（系数相加，字母不变） 基础必考题，选择/填空/解答（1题），常结合参数求值 4.去括号与添括号 1.掌握去括号符号法则； 2.理解添括号与去括号的互逆性 核心运算考点，融入整式加减解答题，易因符号出错 5.整式的加减运算 1.掌握“去括号→合并同类项”运算顺序； 2.化简整式表达式 必考题型，解答题（1-2题），覆盖基础到提升难度 6.代数式求值 1.直接代入求值； 2.整体代入思想应用； 3.结合非负性求值 重点题型，选择/填空/解答（1题），基础题直接代入，提升题侧重整体思想 7.整式加减的应用 1.结合几何图形（周长/面积）列整式； 2.生活/跨学科情境建模 创新题型，解答题（1题），体现素养导向，难度中等 8.整式规律探究 1.图形/数字序列规律提炼； 2.用含n的整式表示规律 培优题型，选择/填空压轴（1题），难度较高，侧重探究能力 【题型1】去括号符号处理易错 1.易错点总结 括号前是“-”时，仅改变括号内第一项符号，忽略括号内所有项都需变号(如误化为)； 括号前有数字因数时，未将数字与括号内每一项分别相乘(如误化为)。 2.避坑攻略 严格遵循法则：括号前是“+”，去括号后各项符号不变；括号前是“-”，去括号后各项符号全变； 分步操作：先将数字因数分配到括号内每一项，再处理符号(如)。 【例题1】.（25-26七年级上·四川成都·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·重庆·期中）化简： (1)； (2)． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·重庆·期中）已知，，在数轴上的对应点如图所示，化简 ． 【基础题型】 【题型2】同类项的判定与参数求值 1.期末考点总结 同类项的判定； 利用同类项条件求字母参数值； 合并同类项(系数相加，字母及指数不变)。 2.解题攻略 由同类项条件列方程：相同字母的指数分别相等，如与是同类项，则，； 合并同类项：先找同类项(标记相同符号)，再将系数相加，如。 【例题2】.（25-26七年级上·四川乐山·期中）下列各式中，是的同类项的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若与是同类项，则 ． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）a、b互为相反数，c、d互为倒数，与为同类项．则的值是多少． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·江苏徐州·期中）已知多项式合并同类项后不含x的三次项和一次项，则的值为（   ） A．48 B．49 C．50 D．51 【题型3】整式的加减运算 1.期末考点总结 去括号法则的灵活应用； 合并同类项的步骤； 整式加减的运算顺序(先去括号，再合并同类项)。 2.解题攻略 标准步骤：①去括号(括号前是“-”全变号，有数字先分配)；②找同类项(按字母及指数分组)；③合并同类项(系数运算，字母不变)； 示例：化简。 【例题3】.（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)合并同类项：； (2)计算：． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·吉林长春·期中）化简： （1）； （2）． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·江苏扬州·期中）先化简，再求值，其中，． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·江苏南通·期中）先化简，再求值：，其中． 【题型4】代数式求值(整体代入+非负性) 1.期末考点总结 整体代入思想(不直接求单个字母值)； 利用绝对值、平方数的非负性求字母值； 化简整式后求值的规范步骤。 2.解题攻略 整体代入：观察已知与所求的倍数关系，如已知，求，变形为； 非负性应用：若，则且，解得，，再代入求值。 【例题4】.（25-26七年级上·四川泸州·期中）如果，那么的值等于 ． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·福建莆田·期中）已知代数式的值是3，则代数式的值是 ． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·陕西西安·期中）当时，代数式的值为3，则当时，代数式的值为 【变式题4-3】.（25-26六年级上·山东泰安·期中）如果，则的值为 ． 【提升题型】 【题型5】整式加减与几何图形综合 1.期末考点总结 用整式表示几何图形的边长、周长、面积； 结合整式加减求图形的周长差、面积和(差)。 2.解题攻略 第一步：根据图形性质列整式(如长方形周长，三角形面积)； 第二步：化简整式，代入已知条件计算，如长方形长为，宽为，周长化简为。 【例题5】.（25-26七年级上·江苏南通·期中）如图，阴影部分是正方形，图中最大的长方形的周长是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式题5-1】.（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）一条长为的铝条，裁剪一部分围成一个长方形铝框（部分数据如图所示）． (1)围成长方形铝框的周长是______（用含、的代数式表示）； (2)若，，探索剩下的铝条是否够围成一个边长为4的正方形，请说明理由． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·广东江门·期中）【问题情境】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．例如：已知，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． (1)【探索发现】如图所示，若，求长方形A与B的面积差． (2)【尝试应用】若当时，代数式的值为，当时，求代数式的值．（用含的代数式表示） 【变式题5-3】.（25-26七年级上·陕西安康·期中）如图，用5个完全相同的边长为，的小长方形（图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为12的大长方形（图2）． (1)请用含，的代数式表示阴影长方形的面积； (2)请说明阴影长方形与阴影长方形的周长的和与的取值无关． 【题型6】整式规律探究(图形/数字类) 1.期末考点总结 观察图形变化或数字序列，提炼变化规律； 用含(正整数)的整式表示第个对象的相关量。 2.解题攻略 三步法：①列实例：写出前3-4个序号对应的量(如第1个、第2个、第3个图形的边长/个数)；②找差值：分析相邻实例的变化量(固定差值或倍数关系)；③列整式：根据差值推导含的表达式，代入验证(如第个图形有个小正方形)。 【例题6】.（25-26七年级上·全国·课后作业）请观察下面按照某种规律排列的一组单项式： ，， ，，，，… (1)第3个单项式应该是 ． (2)按此规律排列，次数是7的单项式的系数应该是 ． (3)第n个单项式应该是 ． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·安徽滁州·期中）【观察思考】 【规律发现】 如图所示的图案都是由正八边形构成的图案，正八边形的每个顶点上都有“”或“”． 第1个图案中“”有个；“”有个； 第2个图案中“”有个；“”有个； 第3个图案中“”有个；“”有个； 第4个图案中“”有个；“”有个；． （1）第99个图案中“”有______个；“”有______个； （2）第个图案中“”有______个，“”有______个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （3）在第2025个图案中，求“”的个数比“”的个数少多少． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·江苏徐州·期中）一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． (1)观察填空：①；② … 小明猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被___________整除． (2)若这个“对称数”是979，请通过计算验证小明的猜想 (3)设为一个对称数，请你通过计算和推理说明小明的猜想是正确的． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）观察下列各式的特征： ；；；，根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①_____； ②_____； (2)当时， _______，当时，_____； (3)用合理的方法计算： ． 【培优题型】 【题型7】分段计费中的整式方案问题 1.题型考点总结 结合生活中的分段计费(水费、电费、购物优惠)，考查分段代数式构建和整式加减比较。 核心：根据不同区间的计费规则，构建对应的整式模型。 2.解题攻略 明确分段节点，按“区间→计费规则→代数式”的逻辑构建分段表达式，如电费计费：不超过度时，每度元；超过度的部分，每度元，则电费(元)与用电量(度)的关系为：当时，；当时，。 代入具体数值计算不同方案的费用，通过整式加减比较差值，选择最优方案。 【例题7】.（25-26七年级上·吉林长春·月考）我校计划在网上购买篮球和跳绳供同学们体育锻炼．在查阅天猫网店后发现篮球每个定价130元，跳绳每条定价20元．已知学校要购买篮球60个，跳绳条（）．现有甲、乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案，甲网店：买一个篮球送一条跳绳；乙网店：篮球和跳绳都按定价的付款． (1)若在甲网店购买，需付款______元（用含的代数式表示并写成最简形式）；若在乙网店购买，需付款______元（用含的代数式表示并写成最简形式）； (2)当时，请通过计算说明学校在哪家网店购买较为合算． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·福建漳州·期中）在“珍爱生命，幸‘盔’有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高．某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： 您好，请问安全头盔和手套的批发价 分别是多少元？ 您好，头盔40元/个，手套20元/副， 有以下两种优惠方案：方案一：整体打九折； 方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套． (1)电动自行车店计划购买30个安全头盔和a副手套（），若选择方案一购买，需要花费 元（用含a的代数式表示），若选择方案二购买，需要花费 元（用含a的代数式表示）； (2)当时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 【变式题7-2】.（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）为了提高学生的身体素质，学校积极倡导“每天运动一小时，幸福快乐一辈子”的健康理念．为此，学校体育部计划采购羽毛球拍60副，羽毛球筒，以丰富学生的体育活动，鼓励他们积极参与体育锻炼．某商店羽毛球拍的定价为150元/副，羽毛球的定价为30元/筒，商店为学校提供了两种采购方案． 方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球． 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的收费． (1)如果学校按方案一采购，需要付款________元；如果学校按方案二采购，需要付款________元．（用含的代数式表示） (2)若，请你通过计算说明学校按哪个方案采购比较划算． (3)在（2）的条件下，若两种优惠方案可同时使用，你能再给出一种更省钱的采购方案吗？请写出采购方案和具体费用． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·北京·期中）我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或整式的大小．而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个代数式，的大小，只要求出它们的差，若，则；若，则；，则． 请你用“作差法”解决以下问题： (1)用作差法比较和的大小； (2)某工厂制作两种规格的同一产品，需要用到、两种不同型号的钢板，已知一块型钢板的面积大于，且一块型钢板的面积比一块型钢板大．现有两种用料方案： 方案一：用3块型钢板和6块型钢板； 方案二：用2块型钢板和8块型钢板． 如果设每块型钢板的面积是，从省料角度考虑，应选哪种方案？请说明理由； (3)已知有理数，，，则与的大小关系是______． 【题型8】整式加减中的“无关/定值/不变”问题 1.期末考点总结 掌握“与某字母无关”的核心条件：该字母的系数为0； 能通过整式化简判断结果是否为定值（不含变量字母）； 结合生活/几何情境分析“不变量”，用整式运算验证。 2.解题攻略 四步解题法：①化简整式：按“去括号→合并同类项”整理为“含参数项+含变量项+常数项”；②定位变量：找出题目中“无关”的字母（如“与x无关”则x为变量）；③令系数为0：将变量字母的所有项的系数等式为0，求解参数（如化简后含x项为，则且，得、)；④验证定值：代入参数值，化简结果为常数，即为定值； 【例题8】.（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图1，用四种大小不同的五个正方形和一个长方形（阴影部分）无重叠地拼成长方形，其中，最小的正方形的边长为x． (1)___________；___________．（用含x的代数式表示） (2)用含x的代数式表示长方形的周长，并求当时，该周长的值． (3)如图2，将正方形沿方向向右平移，得到两块阴影部分．若x为定值，则图中两块阴影部分的周长之差是否为定值，若是用含x的代数式表示该定值，若不是请说明理由． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·江西赣州·期中）已知：b是最小的正整数；且a、b满足，请回答问题： (1)请直接写出a、b、c的值： ； ； (2)数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点A，B，C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，回答下列问题： ①经过1秒后，求出点A与点C之间的距离． ②经过t秒后，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4． (1)图中小长方形的较长边为_____；（用代数式表示） (2)求图中阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和；（用含x，y的式子表示） (3)若x为定值，判断阴影A和阴影B的周长值之和是否为定值，说明理由． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·江苏南通·期中）在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则，两点间的距离可记为．请根据上述结论，解答下列问题： (1)在数轴上表示2与的点之间的距离是______；在数轴上表示数与2的点之间的距离用含的代数式表示为_____． (2)已知，． ①若数轴上一点表示的数是，且满足，则的值为_____； ②若点，分别从点，，同时出发，沿数轴向左运动，点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度．同时点从表示数9的点出发，也沿数轴向左运动，速度为每秒4个单位长度．在运动过程中，小明同学发现：的值是一个定值（QR表示以，为端点的线段，表示以，为端点的线段），请求出所有满足条件的的值． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）小明用棋子按如图所示的规律摆出图形，则第33个图形中棋子的枚数为（    ）． A．102 B．101 C．99 D．100 2．（24-25七年级上·北京·期中）下列各组式子中，不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 二、填空题 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知，则代数式的值为 ． 4．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）若代数式中不含项，则k的值为 ． 5．（25-26七年级上·广东江门·期中）若单项式与是同类项，则 ． 三、解答题 6．（25-26七年级上·重庆·期中）合并同类项： (1)； (2)． 7．（25-26七年级上·江西赣州·期中）化简∶ (1) (2)． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知，． (1)请化简代数式； (2)若代数式的值与的取值无关，求的值． 9．（25-26七年级上·重庆·期中）为鼓励节约用电，某地用电收费标准规定：如果每月每户用电不超过150度，那么每度电元；如果该月用电超过150度，那么超过部分每度电元． (1)如果小张家一个月用电130度，那么这个月应缴纳电费多少元？ (2)如果小张家一个月用电a度（），那么这个月应缴纳电费多少元？（用含a的代数式表示，并化简） (3)如果小张家八月份用电230度，那么这个月应交电费多少元？ 10．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，正方形内部摆放着三个边长为2的正方形，序号分别是①，②，③． (1)根据图形，写出三个正方形的叠放顺序，从下到上依次是____（填序号）； (2)若图中阴影部分的面积为3，求正方形的边长； (3)图中阴影部分的周长是否与正方形的边长有关？若有关，用含边长的代数式表示阴影部分的周长；若无关，请说明理由． 11．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）为节约能源，鼓励居民节约用电，我国电价实施阶梯收费，即用电价格随用电量增加呈阶梯递增．已知某市居民每月用电按如下标准收费： 档次 每户每月用电量 非夏季标准单价 第一档 不超过200度的部分 元/度 第二档 超过200度但不超过400度的部分 元/度 第三档 超过400度的部分 元/度 (1)小明家、小兰家9月份用电分别是280度、440度，请你算算两家该月分别要交多少电费； (2)设每户家庭月用电量为度，当时，每户家庭缴纳电费______元（用含的代数式表示）；当时，每户家庭缴纳电费______元（用含的代数式表示）； (3)小明家和小兰家上个月共用电800度，其中小明家用电量小于400度，现设小明家用电量为度，请你用含的代数式直接写出小兰家该月共应缴纳的电费． 12．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）学校附近水果超市新进了一批草莓，进价为每斤8元，为了合理定价，在第一周采取机动价格，销售时每斤以元为标准，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，超市记录第一周草莓的售价和销售量情况，如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元）                               销售数量（斤）                     5           (1)这一周超市销售草莓的收益如何？（盈利或亏损的钱数） (2)超市为了促销这种草莓，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过斤草莓，每斤元；超过斤的部分，每斤售价打8折； 方式二：每斤售价元． ①顾客买斤草莓，请用含的代数式分别表示按照方式一，方式二购买，各需要多少钱？ ②学校食堂决定买斤草莓，通过计算说明用哪种方式购买更省钱． 13．（25-26七年级上·四川自贡·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项是“准同类项”．例如：与是“准同类项”． (1)给出下列四个单项式：①；②；③；④，其中与是“准同类项”的是 （填写序号） (2)已知均为关于的多项式，，，．若C的任意两项都是“准同类项”，求n的值． 14．（25-26八年级上·广东江门·期中）综合与实践 数学活动－－探究日历中的数学规律 如图①是2025年8月份的日历，亮亮在其中任意画的方框，方框内的数字分别用a，b，c，d表示（如图②），他准备计算“”的值，并探索其运算结果的规律． 【特例探究】（1）计算图①中方框内的结果： ， ； 【推理演绎】（2）亮亮通过特例分析，猜想所有日历中，方框内“”的结果都不变，请你将他的证明过程补充完整； 证明：设，则，，． ……； 【类比应用】（3）乐乐学习亮亮的方法，借助2025年8月份的日历，继续进行如下探究：在日历中用“十字框”框住五个数（字母表示如图③所示），再探究“”的值的规律．请你帮他写出结论，并说明理由． 15．（25-26七年级上·重庆·期中）将若干个长为、宽为的甲种小长方形纸片和长为、宽为的乙种小长方形纸片不重叠地放在一个大长方形内，其中未被覆盖的部分用阴影表示． (1)如图1，若用5张甲长方形纸片覆盖大长方形，其中，． ①若，则______，此时，______（用含代数式表示）； ②是否存在符合条件的，使得长方形的周长等于长方形的周长？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (2)如图2和图3所示，将4张甲长方形纸片和3张乙长方形纸片分别按照两种不同的方式不重叠地放置在大长方形中，结果发现两种方式下未覆盖部分的周长相等．求甲、乙两种长方形面积的比值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项03 代数式与整式的加减 期末考点 复习目标 考察形式 1.代数式的定义与书写规范 1.明确代数式定义（含字母、数字、运算符号，不含等号/不等号）； 2.掌握书写规则（数字在前、字母在后，乘号省略） 基础必考题，多为选择/填空（1题），侧重规范书写判断 2.单项式与多项式概念 1.识别单项式、多项式； 2.求系数、次数、项数、常数项 高频基础题，选择/填空（1-2题），易混淆系数符号与次数计算 3.同类项判定与合并 1.掌握同类项核心条件； 2.熟练合并同类项（系数相加，字母不变） 基础必考题，选择/填空/解答（1题），常结合参数求值 4.去括号与添括号 1.掌握去括号符号法则； 2.理解添括号与去括号的互逆性 核心运算考点，融入整式加减解答题，易因符号出错 5.整式的加减运算 1.掌握“去括号→合并同类项”运算顺序； 2.化简整式表达式 必考题型，解答题（1-2题），覆盖基础到提升难度 6.代数式求值 1.直接代入求值； 2.整体代入思想应用； 3.结合非负性求值 重点题型，选择/填空/解答（1题），基础题直接代入，提升题侧重整体思想 7.整式加减的应用 1.结合几何图形（周长/面积）列整式； 2.生活/跨学科情境建模 创新题型，解答题（1题），体现素养导向，难度中等 8.整式规律探究 1.图形/数字序列规律提炼； 2.用含n的整式表示规律 培优题型，选择/填空压轴（1题），难度较高，侧重探究能力 【题型1】去括号符号处理易错 1.易错点总结 括号前是“-”时，仅改变括号内第一项符号，忽略括号内所有项都需变号(如误化为)； 括号前有数字因数时，未将数字与括号内每一项分别相乘(如误化为)。 2.避坑攻略 严格遵循法则：括号前是“+”，去括号后各项符号不变；括号前是“-”，去括号后各项符号全变； 分步操作：先将数字因数分配到括号内每一项，再处理符号(如)。 【例题1】.（25-26七年级上·四川成都·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、去括号等基本法则，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：选项A：∵ ， ∴ A错误． 选项B：∵ ， ∴ B错误． 选项C：∵ ， ∴ C错误． 选项D：∵ ，与右边相等， ∴ D正确． 故选：D 【变式题1-1】.（25-26七年级上·重庆·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握合并同类项法则和去括号法则是关键． （1）合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） 【变式题1-2】.（25-26七年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查了整式加减中的化简求值，先去括号，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式 【变式题1-3】.（25-26七年级上·重庆·期中）已知，，在数轴上的对应点如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，根据数轴可判断出的符号，据此化简绝对值，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【基础题型】 【题型2】同类项的判定与参数求值 1.期末考点总结 同类项的判定； 利用同类项条件求字母参数值； 合并同类项(系数相加，字母及指数不变)。 2.解题攻略 由同类项条件列方程：相同字母的指数分别相等，如与是同类项，则，； 合并同类项：先找同类项(标记相同符号)，再将系数相加，如。 【例题2】.（25-26七年级上·四川乐山·期中）下列各式中，是的同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类项的定义，熟练掌握“同类项需满足字母相同且对应字母的指数也相同”是解题的关键．根据同类项的定义，判断各选项与的字母及对应指数是否相同，进而确定同类项． 【详解】解：选项A：∵ 的字母是、，的字母是、， ∴ 不是同类项； 选项B：∵ 中的指数是、的指数是，中的指数是、的指数是， ∴ 不是同类项； 选项C：∵ 的字母是、，且的指数是、的指数是，与的字母及对应指数都相同， ∴ 是同类项； 选项D：∵ 中的指数是，中的指数是， ∴ 不是同类项； 故选：． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，解题的关键在于明确同类项的两相同：①所含字母相同，②相同字母的指数相同， 根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项，由此列出方程求解． 【详解】 与是同类项， 的指数相等，即， 的指数相等，即， ，， ． 故答案是：． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）a、b互为相反数，c、d互为倒数，与为同类项．则的值是多少． 【答案】17 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、同类项的定义，熟练掌握这些定义并能准确代入求值是解题的关键． 先根据相反数、倒数、同类项的定义分别求出、、的值，再代入式子计算． 【详解】解：∵、互为相反数， ∴， ∵、互为倒数， ∴， ∵与为同类项， ∴， 当，，时， 原式 ， 故答案为：． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·江苏徐州·期中）已知多项式合并同类项后不含x的三次项和一次项，则的值为（   ） A．48 B．49 C．50 D．51 【答案】A 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，合并同类项后，根据不含三次项和一次项的条件，令对应系数为零，求出a和b的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵多项式合并同类项后为，且不含的三次项和一次项， ∴和， 解得，， ∴， 故选：A． 【题型3】整式的加减运算 1.期末考点总结 去括号法则的灵活应用； 合并同类项的步骤； 整式加减的运算顺序(先去括号，再合并同类项)。 2.解题攻略 标准步骤：①去括号(括号前是“-”全变号，有数字先分配)；②找同类项(按字母及指数分组)；③合并同类项(系数运算，字母不变)； 示例：化简。 【例题3】.（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)合并同类项：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查合并同类项，整式的加减； （1）先找到同类项，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·吉林长春·期中）化简： （1）； （2）． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查的是整式的加减运算． （1）直接合并同类项即可． （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·江苏扬州·期中）先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·江苏南通·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是正确去括号、合并同类项． 先去括号，再合并同类项化简代数式，最后代入、的值计算． 【详解】解： ； 当，时， 原式 【题型4】代数式求值(整体代入+非负性) 1.期末考点总结 整体代入思想(不直接求单个字母值)； 利用绝对值、平方数的非负性求字母值； 化简整式后求值的规范步骤。 2.解题攻略 整体代入：观察已知与所求的倍数关系，如已知，求，变形为； 非负性应用：若，则且，解得，，再代入求值。 【例题4】.（25-26七年级上·四川泸州·期中）如果，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质，绝对值和平方的非负性，以及代数式的求值，根据非负数的和为零，则每个非负数均为零，求出和的值，再代入计算即可，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·福建莆田·期中）已知代数式的值是3，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值．将已知代数式的值整体代入所求代数式进行求解，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·陕西西安·期中）当时，代数式的值为3，则当时，代数式的值为 【答案】11 【分析】本题主要考查代数式求值，将代入代数式得到关于a和b的方程，再利用该方程求时的值即可． 【详解】解：当时，代数式的值为3， ∴， ∴， 当时，代数式为． 故答案为：11． 【变式题4-3】.（25-26六年级上·山东泰安·期中）如果，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查绝对值和平方运算的非负性，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．根据非负数的性质，绝对值和平方项的和为零，则每个部分均为零，从而求出 a 和 b 的值． 【详解】解：∵， ∴， ， ． 【提升题型】 【题型5】整式加减与几何图形综合 1.期末考点总结 用整式表示几何图形的边长、周长、面积； 结合整式加减求图形的周长差、面积和(差)。 2.解题攻略 第一步：根据图形性质列整式(如长方形周长，三角形面积)； 第二步：化简整式，代入已知条件计算，如长方形长为，宽为，周长化简为。 【例题5】.（25-26七年级上·江苏南通·期中）如图，阴影部分是正方形，图中最大的长方形的周长是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了长方形周长的计算，整式加减的应用，解题的关键是利用正方形的边长相等，确定长方形的长与宽的和． 设正方形的边长为，则长方形的长为，宽为；周长为，进而判断选项． 【详解】解：设正方形的边长为，则最大长方形的长为，宽为． 其周长为． 故选：C． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）一条长为的铝条，裁剪一部分围成一个长方形铝框（部分数据如图所示）． (1)围成长方形铝框的周长是______（用含、的代数式表示）； (2)若，，探索剩下的铝条是否够围成一个边长为4的正方形，请说明理由． 【答案】(1) (2)可以围成一个边长为正方形，理由见解析 【分析】本题考查了代数式，整式加减运算，长方形周长公式，正方形周长公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意利用长方形周长公式计算即可； （2）先计算剩余线段长，再将，代入剩余线段长代数式中求出具体数值，再求出边长为4的正方形周长，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：长方形的周长为：； （2）解：可以围成一个边长为正方形，理由如下： ， 当，时， ， ， ∴可以围成一个边长为正方形． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·广东江门·期中）【问题情境】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．例如：已知，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． (1)【探索发现】如图所示，若，求长方形A与B的面积差． (2)【尝试应用】若当时，代数式的值为，当时，求代数式的值．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，整式加减的应用等知识点，学会运用整体代入法求值是解题的关键． （1）先将长方形与的面积差表示为，然后化简，最后运用整体代入法求值即可； （2）由已知条件可得，再把代入要求值的代数式，得到 ，然后运用整体代入法求值即可． 【详解】（1）∵ ∴长方形与的面积差 ； （2）当时，则，    ， 当时， ． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·陕西安康·期中）如图，用5个完全相同的边长为，的小长方形（图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为12的大长方形（图2）． (1)请用含，的代数式表示阴影长方形的面积； (2)请说明阴影长方形与阴影长方形的周长的和与的取值无关． 【答案】(1)阴影长方形的面积 (2)见解析 【分析】本题考查整式的混合运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． （1）由图可知，阴影长方形的长为，宽为，再根据长方形的面积公式求解即可； （2）分别表示出阴影和阴影的长和宽，再求出阴影和阴影的周长和即可． 【详解】（1）解：由图可知，阴影长方形的长为，宽为， 所以阴影长方形的面积． （2）阴影长方形的长为，宽为，阴影长方形的长为，宽为， 阴影与阴影的周长的和为： 阴影长方形与阴影长方形的周长的和与的取值无关． 【题型6】整式规律探究(图形/数字类) 1.期末考点总结 观察图形变化或数字序列，提炼变化规律； 用含(正整数)的整式表示第个对象的相关量。 2.解题攻略 三步法：①列实例：写出前3-4个序号对应的量(如第1个、第2个、第3个图形的边长/个数)；②找差值：分析相邻实例的变化量(固定差值或倍数关系)；③列整式：根据差值推导含的表达式，代入验证(如第个图形有个小正方形)。 【例题6】.（25-26七年级上·全国·课后作业）请观察下面按照某种规律排列的一组单项式： ，， ，，，，… (1)第3个单项式应该是 ． (2)按此规律排列，次数是7的单项式的系数应该是 ． (3)第n个单项式应该是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式,确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键，解决本题的关键是要分别找出单项式的系数和次数的规律． （1）通过观察可得到答案； （2）根据题意得，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数，系数为，字母为， 得出第n个单项式为，然后将代入计算即可； （3）根据题意即可求解． 【详解】（1）解：依题意得，故第3个单项式的系数为，第3个单项式的字母为， ∴第3个单项式为； 故答案为：； （2）解：根据题意得：各单项式系数均为偶数，依次为，，……，，，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数， 第n个单项式的系数为，第n个单项式的字母为， ∴第n个单项式为， ∴当时，， 故答案为：； （3）由（2）得第n个单项式应该是， 故答案为：． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·安徽滁州·期中）【观察思考】 【规律发现】 如图所示的图案都是由正八边形构成的图案，正八边形的每个顶点上都有“”或“”． 第1个图案中“”有个；“”有个； 第2个图案中“”有个；“”有个； 第3个图案中“”有个；“”有个； 第4个图案中“”有个；“”有个；． （1）第99个图案中“”有______个；“”有______个； （2）第个图案中“”有______个，“”有______个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （3）在第2025个图案中，求“”的个数比“”的个数少多少． 【答案】（1）99；99；（2）；；（3）2024 【分析】本题考查了图形类规律，有理数的混合运算，整式的加减，发现规律是关键． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据前几个图案的规律，即可求解； （3）计算，再将代入计算即可得出答案． 【详解】解：（1）第99个图案中“”有个；“”有个； 故答案为：99；99； （2）第个图案中“”有个，“”有个，即个； 故答案为：；； （3）， 当时，， 即在第2025个图案中，求“”的个数比“”的个数少2024个． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·江苏徐州·期中）一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． (1)观察填空：①；② … 小明猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被___________整除． (2)若这个“对称数”是979，请通过计算验证小明的猜想 (3)设为一个对称数，请你通过计算和推理说明小明的猜想是正确的． 【答案】(1)9 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查有理数的四则混合运算的应用、整式的加减应用，理解题中定义是解答的关键． （1）根据所求结果，分解因数即可求解； （2）根据（1）中所猜测求解验证即可； （3）化简即可验证猜想的正确性． 【详解】（1）解：①；②， 故猜测：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除， 故答案为：9． （2）解：， 故将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除； （3）解：， ∵为整数， ∴能被9整除， 故小明的猜想是正确的． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）观察下列各式的特征： ；；；，根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①_____； ②_____； (2)当时， _______，当时，_____； (3)用合理的方法计算： ． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了化简绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值的它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （1）根据正数的绝对值的它本身，负数的绝对值是它的相反数，即可解答； （2）根据正数的绝对值的它本身，负数的绝对值是它的相反数，即可解答； （3）先将绝对值化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：①，② 故答案为：，； （2）解：当时， 当时， 故答案为：， （3）解： ． 【培优题型】 【题型7】分段计费中的整式方案问题 1.题型考点总结 结合生活中的分段计费(水费、电费、购物优惠)，考查分段代数式构建和整式加减比较。 核心：根据不同区间的计费规则，构建对应的整式模型。 2.解题攻略 明确分段节点，按“区间→计费规则→代数式”的逻辑构建分段表达式，如电费计费：不超过度时，每度元；超过度的部分，每度元，则电费(元)与用电量(度)的关系为：当时，；当时，。 代入具体数值计算不同方案的费用，通过整式加减比较差值，选择最优方案。 【例题7】.（25-26七年级上·吉林长春·月考）我校计划在网上购买篮球和跳绳供同学们体育锻炼．在查阅天猫网店后发现篮球每个定价130元，跳绳每条定价20元．已知学校要购买篮球60个，跳绳条（）．现有甲、乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案，甲网店：买一个篮球送一条跳绳；乙网店：篮球和跳绳都按定价的付款． (1)若在甲网店购买，需付款______元（用含的代数式表示并写成最简形式）；若在乙网店购买，需付款______元（用含的代数式表示并写成最简形式）； (2)当时，请通过计算说明学校在哪家网店购买较为合算． 【答案】(1)； (2)在甲网店购买较为合算 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，根据数量关系列出代数式是正确计算的前提，理解各个网店的优惠方案是解决问题的关键． （1）根据甲，乙两个网店的优惠方案所提供的数量关系直接列代数式化简即可； （2）把代入两个代数式计算，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得： 在甲网店购买需付款：元； 在乙网店购买需付款：元； 故答案为：；； （2）解：当时， 在甲网店购买需付款：（元）； 在乙网店购买需付款：（元）， 因为， 所以当时，应选择在甲网店购买较为合算． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·福建漳州·期中）在“珍爱生命，幸‘盔’有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高．某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： 您好，请问安全头盔和手套的批发价 分别是多少元？ 您好，头盔40元/个，手套20元/副， 有以下两种优惠方案：方案一：整体打九折； 方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套． (1)电动自行车店计划购买30个安全头盔和a副手套（），若选择方案一购买，需要花费 元（用含a的代数式表示），若选择方案二购买，需要花费 元（用含a的代数式表示）； (2)当时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 【答案】(1)， (2)此时按方案二购买更合算，理由见解析 【分析】本题考查了代数式的列写与求值，解题的关键是根据两种优惠方案的规则分别计算购买所需的花费． （1）方案一计算头盔与手套的原价总和后打九折；方案二先求赠送的手套数，再计算需付费的手套数，进而求总花费； （2）将代入两种方案的代数式，计算后比较花费多少． 【详解】（1）解：方案一：原价总和为， 九折后花费：； 方案二：赠送手套数为，需付费手套数为， 花费： 故答案为：；． （2）解：当时， 方案一花费： ； 方案二花费： ； 因为， 答：此时按方案二购买较合算． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）为了提高学生的身体素质，学校积极倡导“每天运动一小时，幸福快乐一辈子”的健康理念．为此，学校体育部计划采购羽毛球拍60副，羽毛球筒，以丰富学生的体育活动，鼓励他们积极参与体育锻炼．某商店羽毛球拍的定价为150元/副，羽毛球的定价为30元/筒，商店为学校提供了两种采购方案． 方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球． 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的收费． (1)如果学校按方案一采购，需要付款________元；如果学校按方案二采购，需要付款________元．（用含的代数式表示） (2)若，请你通过计算说明学校按哪个方案采购比较划算． (3)在（2）的条件下，若两种优惠方案可同时使用，你能再给出一种更省钱的采购方案吗？请写出采购方案和具体费用． 【答案】(1)； (2)按方案一采购比较划算. (3)先按方案一采购60副羽毛球拍，再按方案二采购20筒羽毛球，需要付款9540元 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算的应用． （1）根据两种方案分别列式求解即可； （2）将根据（1）所得的代数式计算，再比较大小即可； （3）结合采购方案选择更省钱的采购方案即可． 【详解】（1）解：如果学校按方案一采购，需要付款元， 如果学校按方案二采购，需要付款元； （2）解：根据题意，当时， （元）， （元）， 因为， 所以按方案一采购比较划算； （3）解：先按方案一采购60副羽毛球拍，再按方案二采购20筒羽毛球， 需要付款（元）． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·北京·期中）我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或整式的大小．而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个代数式，的大小，只要求出它们的差，若，则；若，则；，则． 请你用“作差法”解决以下问题： (1)用作差法比较和的大小； (2)某工厂制作两种规格的同一产品，需要用到、两种不同型号的钢板，已知一块型钢板的面积大于，且一块型钢板的面积比一块型钢板大．现有两种用料方案： 方案一：用3块型钢板和6块型钢板； 方案二：用2块型钢板和8块型钢板． 如果设每块型钢板的面积是，从省料角度考虑，应选哪种方案？请说明理由； (3)已知有理数，，，则与的大小关系是______． 【答案】(1) (2)从省料角度应选方案一，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，整式的加减计算，绝对值的几何意义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意计算出的结果即可得到答案； （2）分别表示出两种方案需要的材料，再利用作差法求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可证明，则． 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解：从省料角度应选方案一，理由如下： 由题意得，方案一需要材料， 方案二需要材料， ， ∵一块型钢板的面积大于，即， ∴， ∴， ∴从省料角度应选方案一； （3）解：设a、b为两个有理数，点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，点O在数轴上表示原点， ∴，； 当点A和点B在原点同侧（包含原点时），则， ∴此时； 当点A和点B在原点的两侧时，，， ∵， ∴； 综上所述，， ∴． 【题型8】整式加减中的“无关/定值/不变”问题 1.期末考点总结 掌握“与某字母无关”的核心条件：该字母的系数为0； 能通过整式化简判断结果是否为定值（不含变量字母）； 结合生活/几何情境分析“不变量”，用整式运算验证。 2.解题攻略 四步解题法：①化简整式：按“去括号→合并同类项”整理为“含参数项+含变量项+常数项”；②定位变量：找出题目中“无关”的字母（如“与x无关”则x为变量）；③令系数为0：将变量字母的所有项的系数等式为0，求解参数（如化简后含x项为，则且，得、)；④验证定值：代入参数值，化简结果为常数，即为定值；【例题8】.（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图1，用四种大小不同的五个正方形和一个长方形（阴影部分）无重叠地拼成长方形，其中，最小的正方形的边长为x． (1)___________；___________．（用含x的代数式表示） (2)用含x的代数式表示长方形的周长，并求当时，该周长的值． (3)如图2，将正方形沿方向向右平移，得到两块阴影部分．若x为定值，则图中两块阴影部分的周长之差是否为定值，若是用含x的代数式表示该定值，若不是请说明理由． 【答案】(1)； (2)，126 (3) 【分析】本题主要考查整式加减的应用，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键； （1）由图及题意可直接进行求解； （2）由（1）可知：，，然后可得，进而可得长方形的周长为，最后代值求解即可； （3）设正方形沿方向向右平移，则有，阴影部分②的长为，宽为，然后分别得出阴影部分的周长，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由图可知：； 故答案为；； （2）解：由（1）可知：，， ∴， ∴，， ∴长方形的周长为， 当时，则； （3）解：如图， 设正方形沿方向向右平移，则有，阴影部分②的长为，宽为， 阴影部分①的周长为； 阴影部分②的周长为； ∴它们的周长之差为． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·江西赣州·期中）已知：b是最小的正整数；且a、b满足，请回答问题： (1)请直接写出a、b、c的值： ； ； (2)数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点A，B，C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，回答下列问题： ①经过1秒后，求出点A与点C之间的距离． ②经过t秒后，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)；1；4 (2)①12；②不变；定值为，理由见解析 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、两点距离、绝对值与偶次幂的非负性及整式加减的应用，熟练掌握数轴上有理数的表示、两点距离、绝对值与偶次幂的非负性及整式加减的应用是解题的关键； （1）根据“b是最小的正整数”可得，然后根据绝对值与偶次幂的非负性可求解a、c的值； （2）①由题意得：经过1秒后，点A表示的数为；点C表示的数为；然后问题可求解； ②由题意易得t秒后，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为；然后根据数轴上两点距离可进行求解． 【详解】（1）解：由b是最小的正整数，可得， ∵，且， ∴， ∴； 故答案为；1；4； （2）解：①由题意得：经过1秒后，点A表示的数为；点C表示的数为； ∴点A与点C之间的距离； ②的值不会随着时间t的变化而改变，理由如下： 由题意得：t秒后，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为； ∴，， ∴． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4． (1)图中小长方形的较长边为_____；（用代数式表示） (2)求图中阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和；（用含x，y的式子表示） (3)若x为定值，判断阴影A和阴影B的周长值之和是否为定值，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，若x为定值，则和是否为定值． 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，解题的关键是正确理解题意，根据图形写出正确的代数式进行计算． （1）根据图形可知，小长方形的较长边等于y减去三个较短边，即可进行解答； （2）根据图形可知，阴影B的较短边等于x减去小长方形的较长边，阴影A的一条较短边等于x减去2个较短边，即可进行解答； （3）分别将阴影A的长和宽与阴影B的长与宽表示出来，求出周长之和即可． 【详解】（1）解：根据图形可知，小长方形的较长边等于y减去三个较短边， ∵小长方形的较短边为4， ∴小长方形的较长边为：， 故答案为：． （2）根据图形可知，阴影B的较短边等于x减去小长方形的较长边， ∵小长方形的较长边为：， ∴阴影B的较短边为：， 阴影A的一条较短边等于x减去2个较短边，即， 阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为． （3）阴影的周长为：== 阴影的周长为： = ∴阴影的周长与阴影的周长之和为： = 故阴影的周长与阴影的周长之和与的值无关．若x为定值，阴影A和阴影B的周长值之和为定值． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·江苏南通·期中）在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则，两点间的距离可记为．请根据上述结论，解答下列问题： (1)在数轴上表示2与的点之间的距离是______；在数轴上表示数与2的点之间的距离用含的代数式表示为_____． (2)已知，． ①若数轴上一点表示的数是，且满足，则的值为_____； ②若点，分别从点，，同时出发，沿数轴向左运动，点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度．同时点从表示数9的点出发，也沿数轴向左运动，速度为每秒4个单位长度．在运动过程中，小明同学发现：的值是一个定值（QR表示以，为端点的线段，表示以，为端点的线段），请求出所有满足条件的的值． 【答案】(1)7； (2)①的值为或；②的值为． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，整式加减的应用． （1）利用两点间的距离公式即可； （2）①分当和时，两种情况讨论，即可求解； ②求得秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：在数轴上表示2与的点之间的距离是； 在数轴上表示数与2的点之间的距离用含的代数式表示为． 故答案为：7；； （2）解：①由题意得， ∵， ∴或， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 综上，的值为或； ②由题意得：秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 当点在点右侧时， ∴ ， 当即时，的值是一个定值； 当点在点左侧时， ， 当即时，的值是一个定值； 综上，的值为． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）小明用棋子按如图所示的规律摆出图形，则第33个图形中棋子的枚数为（    ）． A．102 B．101 C．99 D．100 【答案】D 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．第1个图形需要棋子数为，观察发现后面每个图形比它前面的图形多3枚棋子，然后找出3的倍数与序号数的关系即可得到第33个图形中棋子的枚数． 【详解】解：第1个图形需要棋子数为， 第2个图形中棋子的枚数为， 第3个图形中棋子的枚数为， …， 所以第33个图形中棋子的枚数为， 故选：D． 2．（24-25七年级上·北京·期中）下列各组式子中，不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查同类项的概念，解题关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同． 根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项；常数项也是同类项． 【详解】解：A中和都是常数，是同类项； B中和的字母相同，且相同字母的指数相同（m和n的指数均为1），是同类项； C中和的字母相同，且相同字母的指数相同（m的指数为2，n的指数为1），是同类项； D中和的字母相同，但相同字母的指数不同（前者m指数2、n指数3，后者m指数3、n指数2），不是同类项． 故选：D． 二、填空题 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的加法与减法，将代数式变形为含的形式，再利用已知条件代入计算即可． 【详解】． 将代入，得原式． 故答案为： 4．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）若代数式中不含项，则k的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查多项式中不含某一项的问题，根据多项式中不含项，得到含项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，，解得； 故答案为：1． 5．（25-26七年级上·广东江门·期中）若单项式与是同类项，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类项．根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，因此列出关于和的方程，求解后计算的值，即可作答． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴且， 得，， ∴． 故答案为：3． 三、解答题 6．（25-26七年级上·重庆·期中）合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法． （1）合并同类项即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： 7．（25-26七年级上·江西赣州·期中）化简∶ (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查合并同类项及去括号，熟练掌握合并同类项及去括号是解题的关键； （1）根据合并同类项可进行求解； （2）先去括号，然后再进行合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知，． (1)请化简代数式； (2)若代数式的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减． （1）根据去括号、合并同类项的法则，将化简即可； （2）根据题意可知，的系数为． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 由的值与的取值无关， 可得， 解得． 9．（25-26七年级上·重庆·期中）为鼓励节约用电，某地用电收费标准规定：如果每月每户用电不超过150度，那么每度电元；如果该月用电超过150度，那么超过部分每度电元． (1)如果小张家一个月用电130度，那么这个月应缴纳电费多少元？ (2)如果小张家一个月用电a度（），那么这个月应缴纳电费多少元？（用含a的代数式表示，并化简） (3)如果小张家八月份用电230度，那么这个月应交电费多少元？ 【答案】(1)这个月应缴纳电费元 (2)这个月应缴纳电费元 (3)这个月应缴纳电费元 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减． （1）根据不超过150度，每度电元进行计算即可； （2）根据超过150度，超过部分每度电元列代数式即可； （3）把代入（2）中的代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：（元）， 答：这个月应缴纳电费65元； （2）解：由题意得：元， 答：这个月应缴纳电费元； （3）解：把代入得：（元）， 答：这个月应交电费元． 10．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，正方形内部摆放着三个边长为2的正方形，序号分别是①，②，③． (1)根据图形，写出三个正方形的叠放顺序，从下到上依次是____（填序号）； (2)若图中阴影部分的面积为3，求正方形的边长； (3)图中阴影部分的周长是否与正方形的边长有关？若有关，用含边长的代数式表示阴影部分的周长；若无关，请说明理由． 【答案】(1)①②③ (2) (3)阴影部分的周长与正方形的边长无关，理由见详解 【分析】本题主要考查代数式与图形面积、周长的计算，理解图示，掌握整式的混合运算是解题的关键． （1）根据图形的特点，正方形的特点进行分析即可求解； （2）根据题意设，，结合图形分别表示出各部分的面积，由，代入计算即可求解； （3）根据阴影部分的周长的计算进行判定即可求解． 【详解】（1）解：正方形内部摆放着三个边长为2的正方形，序号分别是①，②，③，即③遮住了②①，②遮住了①， ∴三个正方形的叠放顺序，从下到上依次是①②③， 故答案为：①②③； （2）解：如图所示， ∵正方形内部摆放着三个边长为2的正方形， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积， ， 整理得，， ∴， 解得，， ∴； （3）解：阴影部分的周长与正方形的边长无关，理由如下， 阴影部分的周长， 其中，，，， ∴原式， ∴阴影部分的周长与正方形的边长无关． 11．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）为节约能源，鼓励居民节约用电，我国电价实施阶梯收费，即用电价格随用电量增加呈阶梯递增．已知某市居民每月用电按如下标准收费： 档次 每户每月用电量 非夏季标准单价 第一档 不超过200度的部分 元/度 第二档 超过200度但不超过400度的部分 元/度 第三档 超过400度的部分 元/度 (1)小明家、小兰家9月份用电分别是280度、440度，请你算算两家该月分别要交多少电费； (2)设每户家庭月用电量为度，当时，每户家庭缴纳电费______元（用含的代数式表示）；当时，每户家庭缴纳电费______元（用含的代数式表示）； (3)小明家和小兰家上个月共用电800度，其中小明家用电量小于400度，现设小明家用电量为度，请你用含的代数式直接写出小兰家该月共应缴纳的电费． 【答案】(1)小明家该月要交 152 元，小兰家该月要交 258 元 (2)； (3) 【分析】本题主要考查了列代数式及有理数的混合运算，能根据所给收费标准及用电量进行准确的计算是解题的关键． （1）根据所给收费标准及两家的用电量进行计算即可； （2）根据所给收费标准，分别表示出所缴纳的电费即可； （3）根据所给收费标准及小明家的用电量，得出小兰家的用电量超过 400 度，据此即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，因为（元），（元）， 所以小明家该月要交 152 元，小兰家该月要交 258 元； （2）解：当时，元， 即需要缴纳电费元； 当时，元， 即需要缴纳电费元． 故答案为：； （3）解：由题知，小兰家该月用电度， 因为小明家用电量小于 400 度， 所以小兰家的用电量超过度， 则元， 所以小兰家该月共应缴纳的电费为元． 12．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）学校附近水果超市新进了一批草莓，进价为每斤8元，为了合理定价，在第一周采取机动价格，销售时每斤以元为标准，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，超市记录第一周草莓的售价和销售量情况，如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元）                               销售数量（斤）                     5           (1)这一周超市销售草莓的收益如何？（盈利或亏损的钱数） (2)超市为了促销这种草莓，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过斤草莓，每斤元；超过斤的部分，每斤售价打8折； 方式二：每斤售价元． ①顾客买斤草莓，请用含的代数式分别表示按照方式一，方式二购买，各需要多少钱？ ②学校食堂决定买斤草莓，通过计算说明用哪种方式购买更省钱． 【答案】(1)盈利155元； (2)①方式一购买需要元，方式二购买需要元；②方式一购买更省钱 【分析】本题考查了有理数混合运算、列代数式及促销方案选择问题，解题的关键是准确计算实际售价与总销售额，根据购买量分情况列代数式并通过计算对比方案． （1）先根据每日价格偏差算出实际售价，结合销售量求总销售额；计算总销售量后，用总销售量乘进价得总成本，再通过总销售额减总成本得出收益． （2）①因，方式一需分别计算10斤内原价部分和超出部分折后价，方式二直接按单价乘数量列代数式；②将代入两种方式的代数式，计算费用后比较大小． 【详解】（1）解：总销售额： （元） 总销售量：（斤） 总成本：（元） 收益：（元） 答：这一周超市盈利155元； （2）①方式一：（元） 方式二：（元） ②当时 方式一费用：（元） 方式二费用：（元） ， 方式一更省钱 答：①方式一需要元，方式二需要元；②选择方式一购买更省钱． 13．（25-26七年级上·四川自贡·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项是“准同类项”．例如：与是“准同类项”． (1)给出下列四个单项式：①；②；③；④，其中与是“准同类项”的是 （填写序号） (2)已知均为关于的多项式，，，．若C的任意两项都是“准同类项”，求n的值． 【答案】(1)①③ (2)3或4 【分析】本题主要考查了整式的加减、绝对值，理解“准同类项”的定义是解题的关键． （1）根据“准同类项”的定义逐个分析验证即可； （2）利用整式的加减计算出表示的多项式，再根据“准同类项”的定义列出关于的不等式，再结合为整数即可求解． 【详解】（1）解：与所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1， 所以与是“准同类项”，故①符合题意； 与所含字母相同，但是的指数之差的绝对值大于1， 所以与不是“准同类项”，故②不符合题意； 与所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1， 所以与是“准同类项”，故③符合题意； 与所含字母不相同， 所以 与不是“准同类项”，故④不符合题意； 故答案为：①③； （2）解： ， ∵C的任意两项都是“准同类项”， ∴与是“准同类项”，与是“准同类项”，与是“准同类项”， ∴且， 解得， 由多项式的定义可知，为整数， ∴或， ∴n的值为3或4． 14．（25-26八年级上·广东江门·期中）综合与实践 数学活动－－探究日历中的数学规律 如图①是2025年8月份的日历，亮亮在其中任意画的方框，方框内的数字分别用a，b，c，d表示（如图②），他准备计算“”的值，并探索其运算结果的规律． 【特例探究】（1）计算图①中方框内的结果： ， ； 【推理演绎】（2）亮亮通过特例分析，猜想所有日历中，方框内“”的结果都不变，请你将他的证明过程补充完整； 证明：设，则，，． ……； 【类比应用】（3）乐乐学习亮亮的方法，借助2025年8月份的日历，继续进行如下探究：在日历中用“十字框”框住五个数（字母表示如图③所示），再探究“”的值的规律．请你帮他写出结论，并说明理由． 【答案】（1）7；7；（2）见解析；（3）的值保持不变，始终为 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键； （1）根据题意直接进行求解即可； （2）由题意可知，然后进行求解即可； （3）设，则有，然后计算的值即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：7；7； （2）证明：设，则，，， ∴ ； ∴方框内“”的结果都不变； （3）设，则有， ∴ ； ∴的值保持不变，始终为． 15．（25-26七年级上·重庆·期中）将若干个长为、宽为的甲种小长方形纸片和长为、宽为的乙种小长方形纸片不重叠地放在一个大长方形内，其中未被覆盖的部分用阴影表示． (1)如图1，若用5张甲长方形纸片覆盖大长方形，其中，． ①若，则______，此时，______（用含代数式表示）； ②是否存在符合条件的，使得长方形的周长等于长方形的周长？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (2)如图2和图3所示，将4张甲长方形纸片和3张乙长方形纸片分别按照两种不同的方式不重叠地放置在大长方形中，结果发现两种方式下未覆盖部分的周长相等．求甲、乙两种长方形面积的比值． 【答案】(1)①19；；②存在使得长方形的周长等于长方形的周长； (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，整式的加减计算，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据题意可得，据此可求出m的值；再根据可求出的值；②分别表示出两个长方形的周长，根据两个长方形的周长相等得到关于m、n的等式，再结合得到关于n的方程，解方程即可得到答案； （2）设，分别表示出图2和图3中未覆盖的图形的周长，根据图2和图3中未覆盖部分的周长相等，可推出a与n的关系式，根据的长度不变可推出b与m的关系式，据此根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，， ∵， ∴； ∵， ∴； ②由题意得，长方形的周长， 长方形的周长， ∵长方形的周长等于长方形的周长， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴存在使得长方形的周长等于长方形的周长； （2）解：设， 图2中未覆盖部分的周长为， 且， 图3中未覆盖部分的周长为， 且， ∴ ∵图2和图3中未覆盖部分的周长相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 甲长方形的面积为，乙长方形的面积为， ∴甲、乙两种长方形面积的比值为． 学科网（北京）股份有限公司 $