第02讲 整式与因式分解（5命题点+15题型+4突破）（复习讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“整式与因式分解”专题，覆盖代数式及求值、整式运算、乘法公式、因式分解等中考核心考点，按“考情剖析-知识网络-考点解析-题型预测-重难突破-分层练习”系统架构，通过考点梳理构建知识体系，方法指导（如整体代入、公式逆用）突破难点，真题训练（近3年广东中考题）强化实战对接。 亮点在于“命题洞悉+思维进阶”双路径设计，如通过数字图形规律探究培养抽象能力，整式运算整体性思维训练提升运算能力，乘法公式几何背景分析发展推理意识。设置“基础巩固-能力提升-全国新趋势”分层练习，配合5分钟微专题突破（如十字相乘法应用），助力学生构建知识网络与应试技巧，教师可精准把握中考动向，优化复习节奏。

第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 17 命题点一 代数式及求值 题型01 列代数式 题型02 求代数式的值 命题点二 整式的相关概念 题型01 整式的相关概念 题型02 单项式、多项式有关的规律探究题 命题点三 整式的运算 题型01合并同类项 题型02 整式的加减运算 题型03 幂的运算 题型04 整式乘法 题型05 整式除法 命题点四 乘法公式 题型01 平方差公式 题型02 完全平方公式 题型03 完全平方公式在几何图形中的应用 命题点五 因式分解 题型01 用公式法分解因式 题型02 十字相乘法与分组分解法 题型03 因式分解的应用 05·重难突破·思维进阶难 46 突破一 数字类、图形类规律探究 突破二 整式运算的整体性思维 突破三 乘法公式的综合运用 突破四 因式分解的综合 06·优题精选·练能提分 62 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 代数式及求值 广州卷T19 广州卷T14 掌握代数式的概念，并会将数代入求值；能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示 整式的相关概念 掌握单项式、多项式的具体概念； 整式的运算 广州卷 T3 广东卷T5 广州卷T3 深圳卷T3 广州卷T4 深圳卷T6 1.了解整数指数罪的意义和基本性质； 2. 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则； 3. 能进行简单的整式加减乘除运算； 4.灵活运用多种方法化简代数式. 乘法公式 深圳卷T5 1. 理解乘法公式，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理； 因式分解 广东卷T11 广东卷T11 广州卷T20 深圳卷T12 能用提公因式法、公式法(直接利用公或不超过二次)进行因式分解(指数为正整数). 命题预测 本专题包含整式的概念、整式的运算及因式分解，是中考的必考内容，广东近三年的中考卷基本都是在基础题考查这专题的内容，难度均不大；乘法公式的灵活运用是整式运算中的重要内容，同时在整式的化简求值及因式分解中也都有所体现.整式求值计算中经常用到整体代入法，在应用的过程中注意观察已知与所求间的关系，因式分解一般以填空题的形式出现，注意分解要彻底. 预计2026年广东中考数学对整式与因式分解这块内容的考查仍以传统计算为主，难度不会很大，但要注意和其他知识点结合考查； 考点一 代数式 知识点01 列代数式 定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式. 代数式的书写要求： 1、数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号. 2、字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写. 3、除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数. 4、若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位. 知识点02 代数式的值 定义：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值. 求代数式的值的步骤： 1、代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； 2、计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的. 1．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键． 由，得，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：11． 2．（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．    【答案】220 【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键．根据，将数值代入计算即可． 【详解】解：， 当，，，时， ， 故答案为：220． 3．（2024·广东·模拟预测）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，整体代入是解题的关键．根据得到，再将其整体代入中求值． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 4．（2023·广东茂名·模拟预测）阅读下列材料：定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“吉祥数”． (1)若，，直接写出，的“吉祥数”； (2)如果，，求，的“吉祥数”，并证明“吉祥数”． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了新定义、完全平方公式等知识，理解并运用“吉祥数”的规定是解决本题的关键． （1）根据新定义进行求解即可； （2）根据新定义求出，利用完全平方公式的非负性证明即可． 【详解】（1）解：，， ∴． ，的“吉祥数”是． （2）解： ． ∵． ∴． 考点二 整式的相关概念 知识点01 单项式 单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 注意：圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数，而不能当成字母； 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 注意：单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关. 例如：单项式的次数是2＋3＋4=9而不是14. 知识点02 多项式 多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式. 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. 多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 注意：1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； 2）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 知识点03 整式 定义：单项式与多项式统称为整式. 5．（2024·广东·模拟预测）单项式的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，单项式的系数是除了字母以外的所有数字因素，据此即可解答． 【详解】解：单项式中除了字母以外的数字因素是， ∴它的系数为， 故选：C． 6．（2024·广东·模拟预测）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…，叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，…，第n个三角形数记为，则的值为（   ） A． B． C．n D． 【答案】A 【分析】根据题意，，，，确定规律，解答即可． 本题考查了数列中的数字规律，正确发现规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，，， 故， 故， ， 故选：A． 7．（2025·广东佛山·三模）若与的和是单项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同类项的定义，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据同类项的定义列出关于、的方程，求出、的值，代入计算即可． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：； 8．（2025·广东惠州·三模）已知多项式的次数为2，则的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的系数和次数，二元一次方程组的应用，正确列出二元一次方程组是关键． 根据多项式次数为2的条件，确定各项次数并建立方程组求解m和n的值． 【详解】解：∵多项式的次数为2， ∴ 解得，， 验证：代入后多项式为，次数为2，符合条件， ∴， 故选：B． 考点三 整式的运算 知识点01 同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 判断同类项的标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，缺一不可. 合并同类项 定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 知识点02 去括号与添括号 添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 知识点03 整式的加减 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 知识点04 幂的运算 幂的运算法则中底数a的规定：底数a可以是单项式，也可以是多项式. 1、同底数幂相乘底数不变，指数相加，即（m，n都是整数） 2、幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n都是整数） 注意：幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“”，指数相乘是指“3×2”． 3、积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即（n为整数） 4、同底数幂的除法底数不变，指数相减，即（a≠0，m，n都为整数） 5、零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）. 知识点05 整式的乘除 1、单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 实质：乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 2、单项式乘多项式运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即. 实质：利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式. 3、多项式乘多项式运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. 【易错易混】 ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 4、单项式除以单项式运算法则：一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 5、多项式除以单项式 运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 实质：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. 知识点06 整式的混合运算 定义：含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算. 运算顺序: 先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 9．（2025·广东深圳·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项及完全平方公式，运用相关运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可． 【详解】解：A．与的指数不同，无法直接相加，故A计算错误； B．，原计算正确，符合题意； C．，原选项计算错误，故不符合题意； D．，原选项缺少项，故D错误． 故选：B． 10．（2024·广东·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 11．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算、积的乘方、二次根式的加减法则．需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，但选项结果为，错误． B． 积的乘方需将每个因式分别乘方，且负数的奇数次方为负数，故，但选项结果为，错误． C． 二次根式相减不能直接合并为被开方数相减．例如，时，，而，错误． D． 同类二次根式相加，系数相加，根式部分不变，故，正确． 综上，正确答案为D． 故选：D． 12．（2024·广东广州·中考真题）若，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘法，同底数幂乘法与除法，掌握相关运算法则是解题关键．通分后变为同分母分数相加，可判断A 选项；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；根据分式乘法法则计算，可判断C选项；根据同底数幂除法，底数不变，指数相减，可判断D 选项． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 考点四 乘法公式 知识点01 乘法公式 1、平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即： 特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. 2、平方差公式的推导 ①用多项式的乘法推导平方差公式 ②通过面积法推导平方差公式： 如图1所示，左侧涂色部分的面积为，右侧涂色部分的面积为，所以可以得到. 【补充】常见验证平方差公式的几何图形 3、完全平方公式 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即. 特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方. 完全平方式的常见变形（①-⑤基础必须掌握）： ① ② ③ ④ ⑤ 知识点02 完全平方公式的推导 ①用多项式的乘法推导完全平方公式： ②通过面积法推导完全平方公式： ①如图甲所示是一个边长为a+b的正方形，面积为，它的面积还可以看成是由两个小正方形与两个长方形的和，即，所以可以得到； ②如图乙所示，边长为a-b的小正方形的面积是，它的面积还可以看成是由大的正方形面积减去两个小的长方形面积，即，所以可以得到. 13．（2024·广东深圳·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式．根据单项式乘以单项式，积的乘方，完全平方公式法则进行计算即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 14．（2025·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的加减、化简求值与合并同类项，解题的关键是先化简再求值． 先去括号，再合并同类项，最后把x、y的值代入计算即可． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 15．（2025·广东佛山·三模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练的进行计算是解题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当，时，原式． 16．（2025·广东广州·二模）已知多项式 (1)化简多项式； (2)若，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解一元二次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键 （1）利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答； （2）根据平方根的定义可得，然后代入（1）中的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）， ， 考点五 因式分解 知识点01 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【补充说明】 1、因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可. 2、要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. 3、因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算，且因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 知识点02 公因式 定义：多项式的各项中都含有相同的因式，我们把这个相同的因式就叫做公因式. 注意：公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式. 知识点03 提公因式法分解因式 定义：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：. 实质：乘法分配律的逆用. 关键：准确找出多项式各项的公因式. 知识点04 公因式法分解因式 定义：运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法. 逆用平方差法分解因式： 逆用完全平方公式分解因式： 17．（2023·广东深圳·中考真题）已知实数a，b，满足，，则的值为 ． 【答案】42 【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可． 【详解】 ． 故答案为：42． 【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 18．（2025·广东·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案． 【详解】解：a2b+ab2=． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 19．（2025·广东汕头·一模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了用完全平方公式因式分解，熟练掌握用完全平方公式因式分解是解题的关键．先去括号，再根据完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 20．（2025·广东韶关·二模）写出一个可以用完全平方公式进行因式分解且只含有和的多项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式，根据完全平方公式写出一个多项式，即可求解． 【详解】解：依题意， 故答案为：（答案不唯一）． 命题点一 代数式及求值 ►题型01 列代数式 列代数式要注意两点： 一是找到数量关系； 二是掌握代数式的书写要求； 1、数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号. 2、字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写. 3、除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数. 4、若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位. 【典例1】（2025·广东东莞·三模）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，用含有a，b的代数式表示y，即y= ．    【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探究，经观察发现：最上面的数与左下的数为两个连续整数，右下的数是最上面的数字加2再乘以左下的数，据此即可求解． 【详解】解：由，，， 得． 故答案为：． 【典例2】（2025·广东深圳·二模）已知两实数的差为m，用它们“平均数的平方”，减去它们“平方的平均数”，得到的差用m可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式，先设设小的实数为，大的实数为，结合题意得，然后去括号，合并同类项，即可作答． 【详解】解：依题意，设小的实数为，大的实数为， ∵用它们“平均数的平方”，减去它们“平方的平均数”， ∴ ． 故选：D． 【变式1】（2025·广东佛山·一模）根据以下素材，完成任务． 素材1 某商店在无促销活动时，若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用外卖配送服务，开展促销活动： ①若消费者使用外卖配送服务，须用25元购买“神券”，则本店内所有商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用外卖配送服务，本店内所有商品一律按标价的八折出售． 问题解决 任务1 （1）该商店无促销活动时，求，商品的销售单价分别是多少？ 任务2 （2）小明在促销期间购买，两款商品共30件，其中商品购买件． ①若使用外卖配送商品，共需要 元； ②若不使用外卖配送商品，共需要 元（结果均用含的代数式表示）． 任务3 （3）在（2）的条件下，什么情况下使用外卖配送服务更合算？ 【答案】（1），商品的销售单价分别是16元，20元；（2）①；②；（3）购买款商品数量小于25得正整数时，使用外卖配送服务更合算 【分析】本题考查二元一次方程的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，理解题意是解决问题的关键． （1）设，商品的销售单价分别是元，元，根据“若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元”列出方程组求解即可； （2）根据题意，列出代数式即可； （3）由题意可知，使用外卖配送服务更合算，再结合实际，即可求解． 【详解】解：（1）设，商品的销售单价分别是元，元， 由题意可知，， 解得：， 答：，商品的销售单价分别是16元，20元； （2）①若使用外卖配送商品，共需要元； ②若不使用外卖配送商品，共需要元； 故答案为：，； （3）由题意得：， 解得：， 又∵，且为整数， ∴购买款商品数量小于25得正整数时，使用外卖配送服务更合算． 【变式2】（2025·广东深圳·一模）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了元，请完成下列问题： (1)降价元后的月销售量为___________件：（用含的式子表示） (2)当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1) (2)当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了元，则降价元后的月销售量为件． （2）设降价降了元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为8400元列方程求解即可． 【详解】（1）解： 降价元后的月销售量为件 故答案为： （2）解：设降价降了元，则每件的利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． ►题型02 求代数式的值 求代数式的值的步骤： 1、代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； 2、计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的. 【典例1】（2025·广东深圳·三模）已知代数式，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是代数式求值，解题关键是将转化为． 根据已知条件将所求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：， 当时， 原式． 故答案为：． 【典例2】（2025·广东佛山·三模）已知，那么（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 先根据非负数的性质可得，求出，再代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． 故选B. 【变式1】（2025·广东广州·二模）已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的意义，求代数式的值等内容，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解的意义． 利用一元二次方程的解的意义得出，然后代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴ ， 故答案为：2025． 【变式2】（2025·广东广州·二模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先由乘法公式去括号，然后合并同类项化简，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 命题点二 整式的相关概念 ►题型01 整式的相关概念 掌握单项式、多项式和整式的具体概念，牢记整式是单项式和多项式的统称； 注意：1、多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； 2、一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 【典例1】（2025·广东东莞·二模）单项式的次数为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了单项式次数的定义，项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，据此求解即可． 【详解】解： 的次数为： 故答案为： 【典例2】（2025·广东云浮·一模）单项式的次数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的系数，理解单项式的系数与次数是解题的关键．直接根据单项式的系数与次数的定义得出答案，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【详解】解：单项式的次数是， 故答案为：． 【变式1】（2025·广东江门·三模）多项式的次数是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多项式的次数，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得答案． 【详解】解：多项式的次数是4， 故答案为：4． 【变式2】（2025·广东·二模）多项式的次数是（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题直接根据多项式次数的定义作答即可． 【详解】解：由题可得：中的次数最高，是3次， 故选：B． ►题型02 单项式、多项式有关的规律探究题 【典例1】（2025·广东韶关·一模）观察下列等式：，，，，…根据以上规律得出的结果是（    ） A．20241 B．20251 C．20201 D．20261 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示等式的规律是解题的关键．观察前4个等式，并依此类推，第个等式为，再代入即可得出答案． 【详解】解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， 第4个等式为， …… 依此类推，第个等式为， 当时，． 故选：A． 【典例2】（2025·广东广州·二模）观察图中数字的排列规律．按照此规律继续排列，若数字2025出现在第m列第n行的位置，则m和n的值分别是（    ） 第1列 第2列 第3列 第4列 … 第1行 1 2 9 10 … 第2行 4 3 8 11 … 第3行 5 6 7 12 … 第4行 16 15 14 13 … 第5行 17 … … … … A．1，45 B．45，1 C．44，2 D．2，44 【答案】B 【分析】本题是对数字变化规律的考查，观察出奇数列、偶数行的数的变化规律是解题的关键． 由表格得：第奇数列的第一行的数为所在列数的平方，然后向下每一行递减一个数至与列数相同的行止，第偶数行的第一列的数是所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，因为，根据此规律即可得到，，即可得到答案． 【详解】解：由表格得，第一行的第1、3、5列的数分别为1、9、25，为所在列数的平方，然后向下每一行递减1至与列数相同的行止，第一列的第2、4、6行的数分别为4、16、36，为所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止， ， 数字2025出现在第行第列的位置， ， 故选：B． 【变式1】（2025·广东韶关·一模）如图1，这是一种海螺，图2是由这种海螺抽象出的螺旋图形，它是由一系列直角三角形组成的，其中，，且每个三角形都以点为顶点． (1)求的值． (2)如图3，若有一个海螺图形恰好由9个直角三角形拼成，其中每一个直角三角形都有一条直角边为1，且这个图形的周长（实线部分）为，则最接近哪个整数？ 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了解直角三角形，估计实数的大小，图形规律型，正确得到规律是解题的关键． （1）根据勾股定理，逐一计算，得到规律，即可解答； （2）计算出第九个直角三角形的斜边长，再计算周长，即可解答． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， ； （2）解：根据（1）中的结论，可知第9个直角三角形的斜边长为， 这个海螺图形的周长为， ，且接近， ，且接近， ，且最接近的整数是13， 即最接近的整数是13． 【变式2】（2024·广东·三模）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数＋烷”来表示，当碳原子数为时，依次用甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构式如图所示，依此规律，己烷的化学式为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形规律探究，解答本题的关键是明确题意，发现分子结构式中“C”的个数，“H”的个数的变化规律． 根据题目中的图形，可以发现分子结构式中“C”的个数，“H”的个数的变化规律，即可得出己烷的化学式． 【详解】解：由题图可得， 第一个甲烷分子结构式中“C”的个数是1，“H”的个数是； 第二个乙烷分子结构式中“C”的个数是2，“H”的个数是； 第三个丙烷分子结构式中“C”的个数是3，“H”的个数是； …， 第n个分子结构式中“C”的个数是n，“H”的个数是； ∴第6个己烷分子结构式中“C”的个数是6，“H”的个数是， ∴己烷的化学式为． 故答案为：． 命题点三 整式的运算 ►题型01 合并同类项 判断同类项的标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，缺一不可. 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 【典例1】（2025·广东东莞·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方运算，完全平方公式以及同底数幂的运算，正确运算是解决本题的关键． 根据合并同类项，幂的乘方运算，完全平方公式以及同底数幂的运算逐一分析各选项的运算是否正确即可． 【详解】解：A选项， ，而非，错误； B选项，，符合幂的乘方法则，正确； C. ，展开后缺少项，错误； D. ，而非，错误． 故选：B ． 【典例2】（2025·广东深圳·三模）下列运算错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂除法以及合并同类项，逐项判定即可． 【详解】解∶A．，故该选项正确，不符合题意； B．，故该选项正确，不符合题意；； C．，故该选项正确，不符合题意； D．与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】（2025·广东深圳·三模）下列计算正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂乘法、平方差公式、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 逐一验证各选项的运算是否正确，结合合并同类项、同底数幂乘法、平方差公式、幂的乘方等法则判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法正确，符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2025·广东·模拟预测）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂的除法，积的乘方，根据以上运算法则解析计算，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． ►题型02 整式的加减运算 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【注意】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 【典例1】（2025·广东阳江·二模）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键，直接合并同类项即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 【典例2】（2025·广东·一模）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）运用合并同类项法则进行计算即可； （2）判断，，求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，且的值和的取值无关， ∴，． ∴，． ∴． 【变式1】（2024·广东汕头·二模）定义一种新运算，规定，例 (1)已知，，分别求A，B (2)通过计算比较A与B的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据，可以将，化简； （2）根据（1）中的结果，求出的值，然后与0比较大小，即可得到与的大小关系． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； ； （2）由（1）知：，， ∴ ， ∴． 【变式2】（2024·广东广州·二模）已知两个多项式． (1)化简； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，解一元二次方程； （1）根据整式的加减进行计算即可求解； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ►题型03 幂的运算 掌握幂的运算相关公式： 1）同底数幂相乘底数不变，指数相加，即（m，n都是整数） 2）幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n都是整数） 3）积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即（n为整数） 4）同底数幂的除法底数不变，指数相减，即（a≠0，m，n都为整数） 【典例1】（2024·广东·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减、单项式乘法、积的乘方以及单项式除法运算，解题的关键是熟练掌握各类整式运算的法则，明确同类项的定义及运算中指数的变化规律． 判断选项A需先明确同类项定义，与所含字母的指数不同，不是同类项，不能合并；判断选项B需依据单项式乘法法则，，而非；判断选项C需运用积的乘方法则，，指数运算错误；判断选项D需按照单项式除法法则，，运算正确． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并为，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项符合题意； 故选：D． 【典例2】（2024·广东·模拟预测）下列运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方．根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方的运算法则，逐项计算，即可求解． 【详解】解：A、，该选项运算正确，故A选项不符合题意； B、，该选项运算错误，故B选项符合题意； C、，该选项运算正确，故C选项不符合题意； D、，该选项运算正确，故D选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方，单项式乘以单项式，合并同类二次根式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，单项式乘以单项式，合并同类二次根式，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、， 故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 【变式2】（2023·广东汕头·一模）计算：． 【答案】 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的运算，涉及负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，逆用积的乘方等知识，准确熟练地进行计算是解题的关键． ►题型04 整式乘法 1、相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； 2、多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 【典例1】（2025·广东佛山·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先利用平方差公式和多项式乘多项式法则化简整式，再将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 . ；. 当时 ． 【典例2】（2024·广东揭阳·一模）先化简，再求值：，其中为方程的解． 【答案】， 【分析】利用平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答； 本题考查了整式的混合运算，化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， ， 当时，原式． 【变式1】（2024·广东清远·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算化简求值，利用完全平方公式和平方差公式对原式进行化简得到原式为，进而把代入即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式2】（2023·广东广州·一模）已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式和多项式乘多项式法则展开，再合并即可得； （2）由得，代入可得． 【详解】（1）解：； （2）解：由（1）知， ∵， ， ． 【点睛】本题主要考查完全平方公式及多项式乘多项式，解题的关键是掌握完全平方公式与项式乘多项式法则． ►题型05 整式除法 【计算技巧】把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. 【单项式除以单项式】首先将系数相除，然后将同底数幂相除，最后将被除式中单独有的字母连同它的指数一起作为商的一个因式，系数相除时要注意先确定商的符号. 【多项式除以单项式】多项式除以单项式所得商的项数与多项式的项数一致,在计算时不要漏项； 计算时，多项式的各项要包括它前面的符号,注意符号的变化. 【典例1】（2024·广东·模拟预测）的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的除法，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据整式的除法、积的乘方法则求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 【典例2】（2024·广东·模拟预测）若则括号内应填的单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式除法的应用，弄清被除式、除式和商之间的关系是解题的关键．将已知条件中的乘法运算可以转化为单项式除以单项式进行计算即可解答． 【详解】解： ， 括号内应填的单项式为， 故选：A． 【变式1】（2025·广东江门·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．首先运用平方差公式，多项式除以单项式计算，最后合并同类项，即可化简，然后把、值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 【变式2】（2023·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值问题，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键，根据相关的运算法则和公式计算即可． 【详解】原式 ， 当时， 原式． 命题点四 乘法公式 ►题型01 平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即： 【典例1】（2025·广东佛山·二模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整数的运算．利用单项式乘多项式、平方差公式展开，再合并同类项即可求解． 【详解】解： ． 【典例2】（2024·广东中山·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，先将原式变形为，再将，代入原式，计算即可． 【详解】解：原式 将，代入原式， 原式， 故答案为：． 【变式1】（2023·广东湛江·模拟预测）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是掌握平方差公式，将所求式子变形．用平方差公式把所求式子变形后，将，的值代入计算即可． 【详解】解： ，， ． 故答案为：． 【变式2】（2024·广东广州·二模）已知． (1)化简T； (2)若a，b互为相反数，求T的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的化简以及求值，熟练掌握平方差公式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的规则是解题的关键． （1）利用平方差公式，单项式乘以多项式规则展开后，合并同类项即可； （2）根据a，b互为相反数，得，代入第（1）问化简的式子即可求解． 【详解】（1） （2） a，b互为相反数， ， ． ►题型02 完全平方公式 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即. 【典例1】（2025·广东珠海·二模）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】，1 【分析】本题考查了整式的运算，涉及完全平方公式、平方差公式和合并同类项等知识，熟练掌握运算法则是关键； 先根据完全平方公式、平方差公式展开，再合并同类项，然后代值计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 【典例2】（2025·广东佛山·二模）若x、a为实数，则M、N的大小关系为 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加减，完全平方公式的应用，计算，进而即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·广东东莞·模拟预测）已知．化简A． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算．利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解： 【变式2】（2025·广东深圳·二模）若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查完全平方公式的应用，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．将等式两边平方，得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． ►题型03 完全平方公式在几何图形中的应用 【典例1】（2025·广东汕头·一模）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据剪拼的过程可知矩形的面积大正方形的面积小正方形的面积，由此列式，然后化简即可． 本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】由题意得，该矩形的面积为： ． 故选：C． 【典例2】（2023·广东肇庆·二模）装饰公司为小明家设计电视背景墙时需用A、B型板材若干块，A型板材规格是，B型板材规格是．现只能购得规格是的标准板材．（单位：cm） (1)若设．一张标准板材尽可能多的裁出A型、B型板材，共有如表三种裁法，如图1是裁法一的裁剪示意图．    裁法一 裁法二 裁法三 A型板材块数 1 2 0 B型板材块数 3 m n 则表中， ， ； (2)为了装修的需要，小明家又购买了若干C型板材，其规格是，并做成如图2的背景墙．请写出图中所表示的等式： ； (3)若给定一个二次三项式，试用拼图的方式将其因式分解．（请仿照（2）在几何图形中标上有关数量） 【答案】(1)1；5 (2) (3)图详见解析； 【分析】本题考查了多项式乘以多项式和几何图形的应用： （1）根据题意，结合图形，即可求解； （2）用正方形的面积公式表示出图形的面积，用各部分面积和表示出图形的面积，进而用等式表示出相等关系便可； （3）仿样例画出长方形，其长为，宽为，结合图形便可得出结果． 【详解】（1）解：按裁法二裁剪时，2块A型板材块的长为，， 所以可以裁出B型板1块； 全部裁出B型板材块，， 所以可以裁出B型板5块． 故答案为：1；5； （2）解：根据题意得：大正方形的面积为，也可以表示为 如图2可得等式． 故答案为：； （3）解：按题意画图如下：    ∵构成的长方形面积等于所给图片的面积之和， ∴． 【变式1】（2023·广东潮州·一模）图①是由4个白色的长方形和1个灰色的正方形构成的正方形，图②是由5个白色的长方形（每个长方形大小和图①相同）和1个灰色的不规则图形构成的长方形．已知图①②中灰色图形的面积分别为35和102，则每个白色长方形的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了完全平方式的几何背景，设每个白色长方形的长为a，宽为b，根据图①得出①，由图②可得，联立①②求出即可．关键是根据图形之间的面积关系进行解答． 【详解】解：设每个白色长方形的长为a，宽为b， 由图①可得， 即①， 由图②可得， 即②， 由①②得， ∴， 即每个白色长方形的面积为8． 故答案为：8． 【变式2】（2024·广东梅州·一模）赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】设直角三角形斜边上为c，根据勾股定理可得，由大正方形的面积为14，可得 ，根据完全平方公式的变形可得，便可求解． 【详解】设直角三角形斜边上为c， 直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为， ， 大正方形的面积为14， ， ， ， ， 所以，小正方形的面积为4， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用及完全平方公式的变形，熟练掌握知识点是解题的关键． 命题点五 因式分解 ►题型01 用公式法分解因式 定义：运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法. 逆用平方差法分解因式： 逆用完全平方公式分解因式： 【典例1】（2024·广东佛山·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式2，再利用平方差公式分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【典例2】（2025·广东深圳·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和因式分解，利用完全平方公式分解即可．熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式2】（2023·广东深圳·模拟预测）分解因式： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】（1）利用平方差公式即可进行因式分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式即可进行因式分解． 【详解】解：（1） （2） 故答案为：（1）；（2） 【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式．根据式子特点选择合适的方法是解题关键． ►题型02 十字相乘法与分组分解法 【典例1】（2024·广东广州·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解，熟练掌握“十字相乘法”是解答此题的关键． 利用“十字相乘法”进行因式分解即可得出答案． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【典例2】（2023·广东佛山·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】先提公因式，然后根据十字相乘法因式分解即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【变式1】（2025·广东梅州·一模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2】（2025·广东珠海·二模）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了公式法因式分解法和分组分解法的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）仿照进行分解即可； （）仿照进行分解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ►题型03 因式分解的应用 【典例1】（2025·广东东莞·三模）如图，某校九年级两个班级的劳动实践基地是两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，分别表示两个阴影部分的面积．若，则（　　） A．6 B．21 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，利用完全平方公式的变形求出的值，得出，进而利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴（取正值）， ∵ ， ∴； 故选：C． 【典例2】（2025·广东清远·一模）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，因此8，16都是“正巧数”． (1)请写出一个30到50之间的“正巧数”：______； (2)已知，为正整数，且，若是“正巧数”，求的最小值． 【答案】(1)32（或40或48） (2) 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算；难点是理解“正巧数”都是8的倍数，如果一个数是8的倍数，那么这个数一定是“正巧数”． （1）根据“正巧数”的定义设0到50之间的“正巧数”为：，为正整数，则，解不等式求出的值即可得出答案； （2）先计算，设两个连续正奇数为，，则， 可得，再求解即可． 【详解】（1）解：根据“正巧数”的定义：“正巧数”等于两个正奇数的平方差， 设0到50之间的“正巧数”为：，为正整数， 则：， 整理得：， 解得：， 为正整数， ，5，6， 到50之间的“正巧数”共有3个，它们分别是：32，40，48． 即：，，． 在32，40，48中任选一个即可， 故答案为：32（或40或48）； （2）解：， 设两个连续正奇数为，， 则，  ， ，为正整数且， 当时，（舍去）； 当时，， ， ，， ． 【变式1】（2024·广东·二模）已知多项式①，②，③． (1)把这三个多项式因式分解； (2)请选择下列其中一个等式（A或B），求与的关系． A．；B．； 【答案】(1)①．②，③ (2)见详解 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）分别根据提公因式法和公式法进行因式分解即可； （2）由题意列得对应的等式，然后变形后进行因式分解，再结合等式成立进行判断即可． 【详解】（1）解：①． ②， ③； （2） ， ， 即． 因式分解得：， 或 解得：或； ， 即 因式分解得：， 或 解得：或． 【变式2】（2023·广东云浮·一模）已知（），则代数式 ． 【答案】6 【分析】先将变形为，再根据得出即，最后对进行因式分解即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式及因式分解，掌握完全平方公式及因式分解的方法是解题的关键． 突破一 数字类、图形类规律探究 【典例1】（2025·广东清远·二模）将连续的奇数1，3，5，7，……排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和是______，设中间数为a，请用含a的代数式表示十字形框中的五个数之和是______． (2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？若有，请说明理由，若没有，也说明理由． (3)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？并说明理由． 【答案】(1)75； (2)这五个数的和还是中间那个数的5倍，理由见解析 (3)不能为2022，可以为2025，理由见解析 【分析】本题考查了探索数字的规律，整式的加减计算，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加即可得出答案；用含a的式子分别表示出其他四个数，再利用整式的加减计算法则求出这五个数的和即可； （2）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出则其余4个数，将这5个数相加即可得； （3）分别计算出2025和2022除以5的结果，所得的结果只要不在最右边或最左边那一列都符合题意． 【详解】（1）解：， ∴十字框中的五个数之和为75； 解：设中间数为a，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此十字框中的五个数之和为． （2）解：这五个数的和还是中间那个数的5倍，理由如下： 设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此这五个数之和还是中间数的5倍． （3）解：不能为2022，可以为2025，理由如下： 由（2）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵，且个位数字为5的数字都在第三列， ∴中间的那个数字为505，满足题意， ∴十字框中五个数之和能为2025， ∵， ∴十字框中五个数之和不能为2022． 【变式1】（2025·广东深圳·二模）如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：（   ） 求的值 解：令， 则 故， 因此 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字规律类探索，含乘方的有理数的混合运算，设，则，用即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意， 设， ∴， 得：， ∴， 故选：A． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第个；在边上任取一点，延长到，使，得到第个，，按此方法继续下去，第个等腰三角形的底角度数是 ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求得的度数，再由三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，的度数，找出规律即可求解． 【详解】解：， ∴， 即第一个等腰三角形的底角度数为； ， ∴， 即第二个等腰三角形的底角度数为； 同理可得： 第三个等腰三角形的底角度数为； 第四个等腰三角形的底角度数为； … 综上所述，第个等腰三角形的底角的度数是； ∴第个等腰三角形的底角度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形中角度规律，涉及等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，由前面几个等腰三角形，找出底角度数规律是解题的关键． 【变式3】（2023·广东广州·一模）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第一个图形需要3根小木棒，拼第二个图形需要5根小木棒，拼第3个图形需要7根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2023根小木棒，则（　　） A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 【答案】B 【分析】探索遵循的规律是，建立方程计算即可． 【详解】根据题意，遵循的基本规律是第n个图形需要根小木棒， ∴， 解得， 故选B． 【点睛】本题考查了整式的加减中规律探索，一元一次方程的解法，熟练掌握探索规律，灵活解方程是解题的关键． 突破二 整式运算的整体性思维 【典例1】（2025·广东江门·一模）【问题情境】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．例如：已知，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． (1)【探索发现】如图所示，若，求长方形A与B的面积差． (2)【尝试应用】若当时，代数式的值为，当时，求代数式的值．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，整式加减的应用等知识点，学会运用整体代入法求值是解题的关键． （1）先将长方形与的面积差表示为，然后化简，最后运用整体代入法求值即可； （2）由已知条件可得，再把代入要求值的代数式，得到 ，然后运用整体代入法求值即可． 【详解】（1）∵ ∴长方形与的面积差 ； （2）当时，则，    ， 当时， ． 【变式1】（2025·广东江门·一模）综合与实践 “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 【拓广探索】 （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了整体思想在整式加减中的应用． （1）通过合并同类项系数求解； （2）将已知条件整体代入求值； （3）通过等式变换和整体代入求值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∴ ； （3）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ． 【变式2】理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：如果，求代数式的值． 我们可以将作为一个整体代入： 请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，则代数式的值为______； (2)如果，求代数式的值． (3)如果，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了代数式求值，整式的化简求值： （1）仿照题意利用整体代入法计算求解即可； （2）根据，利用整体代入法计算求解即可； （3）利用整式的加减计算法则把所求式子化简，再利用整体代入法计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 【变式3】理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则________； 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题 (1)如果，求的值； (2)若，，求的值； (3)当时，代数式的值为m，求当时，代数式的值（请用含有m的代数式表示）． 【答案】(1)20 (2)26 (3) 【分析】本题主要考查了整式加减化简求值，代数式求值，解题的关键是： （1）将直接代入计算； （2）将变形为，再整体代入计算； （3）先把代入原式得到，进而求出当时，代数式的值． 【详解】（1）解：， ； （2）∵，， ； （3）时， ， ∴， 时，． 突破三 乘法公式的综合运用 【典例1】（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可；当时，，，则也可以按公式（当且仅当时取等号）来计算； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，则，可得，推出篱笆长，利用题中结论解决问题即可 （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 当时，， 故答案为：，2； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米， 则， ， 这个篱笆长米， 根据材料可得，，当时，的值最小， 或（舍弃）， ， ∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米． （3）设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简； 类比猜想：参考发现问题的举例和推理过程计算即可； 深入思考：由m， n为两个连续奇数， ，可得，，然后代入计算即可． 【详解】解：类比猜想：（1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数的平方数． 深入思考：∵m， n为两个连续奇数，， ∴， ∴， ∴， ∴p一定是偶数． 【变式2】（2023·广东清远·二模）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（）．例如，当时，表示的两位数是45． (1)尝试： ①当时，； ②当时，； ③当时，　 　；… (2)归纳：　 　． 论证：请证明你归纳所得的结论． (3)运用：若与的差为2525，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】（1）类比①②即可解答； （2）根据的定义可得，然后根据完全平方公式计算即可； （3）根据“与的差为2525”列关于a的方程解答即可． 【详解】（1）解：∵①当时，； ②当时，； ∴③当时，. 故答案为：． （2）解：∵， ∴． 故答案为：． （3）解：由题知，，即，解得或（舍去）． ∴a的值为5． 【点睛】本题主要考查了数字规律、完全平方公式、解二元一次方程等知识点，理解数字规律是解答本题的关键． 【变式3】（2023·广东深圳·模拟预测）对于“已知，求xy的最大值”这个问题，小明是这样求解的： ∵，∴，∴ ∴，所以xy的最大值为． 请你按照这种方法计算：当（，）时，的最小值． 【答案】2 【分析】由得出．将通分得，再将代入，结合完全平方公式可得出，结合二次函数的性质即可求出的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴的最小值为2． 【点睛】本题考查分式的加减混合运算，二次函数的最值等知识．理解题意，掌握其运算方法是解题关键． 突破四 因式分解的综合 【典例1】（2024·广东·模拟预测）一个正整数p能写成（m、n均为正整数，且），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时．例如：，因为，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以． (1)= ； (2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y，q为“平方差数”且能被7整除，求的最小值． 【答案】(1)130 (2)34 【分析】本题考查因式分解在新定义题型中的应用，能根据新定义将一个正整数进行分解是解决问题的前提． （1），根据的定义即可得到答案； （2）根据题意对x、y的取值进行分类讨论，再根据的定义即可得到答案． 【详解】（1）． ∵， ∴， 故答案为：． （2）∵能被7整除，， ∴或， ∴或或或， 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，此时q不是平方差数，不符合题意； 当，时，， ∵， ∴． ∵， ∴的最小值为34． 【变式1】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有4张，边长分别为的矩形卡片有12张，边长为的正方形卡片有9张． (1)取甲、乙卡片各一张，其面积和为______； (2)用这25张卡片拼成一个正方形，求这个正方形的边长；（用含的代数式表示） (3)取其中的若干张拼成一个矩形（三种卡片都要用到且不重叠），使其面积为，则可能的整数值有______个． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查完全平方公式的几何意义． （1）先分别计算甲，乙的面积，再求其和即可； （2）先求出25个卡片的总面积，再求其算术平方根即可； （3）根据题意知能分解成两个因式的积，再对其进行因式分解即可． 【详解】（1）解：取甲、乙卡片各一张，其面积和为 故答案为：； （2）这25张卡片拼成一个正方形面积为 这个正方形的边长为； （3）拼成一个矩形面积为 能分解成两个因式的积 或 得 或得 可能的整数值有2个． 【变式2】（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 形如是常数，的多项式叫做关于x的二次三项式．我们已经学习了利用因式分解求解一些一元二次方程．反过来，是否可以利用求一元二次方程的根的方法，把一些二次三项式分解因式呢？根据下面的代数推理，可以得出结果： 设一元二次方程的两个实数根为，，计算： 解： 即 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成的形式，即通过解一元二次方程可以将一些二次三项式分解因式． 任务： (1)已知p，q是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，，则二次三项式分解因式的结果是______； (2)已知是多项式的一个因式，则______； (3)请用阅读内容中的方法，在实数范围内分解因式：注：实数范围内分解因式是指因式中的系数和常数项是实数 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了解一元二次方程． （1）利用直接求解； （2）设多项式的另一个因式为，则，再利用恒等得到，，然后解方程组即可； 先利用求根公式解方程得到，，然后利用求解． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个实数根为，， ； 故答案为：； （2）设多项式的另一个因式为， ， 即， ，， 解得，； 故答案为：； （3）解方程， ， ， ，， ． 【变式3】（24-25八年级下·广东梅州·月考）我们把多项式 和 叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 ． 例如：求多项式 的最小值，由 可知，当时，多项式 有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． (3)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)当，时，原式有最小值，最小值为5 (3)当时，原式有最小值，最小值为23． 【分析】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质．本题的解答关键在于熟练的掌握因式分解的方法． （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答； （3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴当，时，有最小值，最小值为5． 即，时，原式有最小值，最小值为5． （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，即当时，原式有最小值，最小值为23． 1．（2025·广东东莞·二模）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式和二次根式的有关运算，解题关键是熟练掌握积的乘方法则、幂的乘方法则、二次根式的除法法则和平方差公式． A.根据积的乘方法则和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可； B．根据二次根式的除法法则进行计算，然后判断即可； C．先把化成最简二次根式，然后合并同类二次根式，最后进行判断即可； D．根据平方差公式进行计算，然后判断即可． 【详解】解：A.，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．，此选项的计算正确，故此选项符合题意； D．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（2025·广东广州·模拟预测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，同底数幂乘法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；利用完全平方公式，同底数幂乘法法则，幂的乘方法则，合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：，则A不符合题意， ，则B不符合题意， ，则C符合题意， 与不是同类项，无法合并，则D不符合题意， 故选：C． 3．（2025·广东深圳·三模）下表是小颖同学课堂检测的完成情况，她最后的得分是（   ） 课堂检测得分___________ 填空题（评分标准：每道题3分） （1） （2）（1） （3） （4） A．3分 B．6分 C．9分 D．12分 【答案】B 【分析】本题主要查了合并同类项，幂的乘方，算术平方根的性质．根据合并同类项，幂的乘方，算术平方根的性质，逐项计算即可． 【详解】解：（1），正确； （2），原计算错误； （3），正确； （4），原计算错误； 故她最后的得分是6分． 故选：B 4．（2025·广东清远·二模）代数推理是一种数学推理方法，它主要基于代数运算和代数结构的性质来进行逻辑推导和证明． ； ； ； ； 观察以上各式，用含有字母的式子归纳表示为：；当时，左右两边取等号．为了证明上述规律，下列选项做法正确的是（　　） A．证明：， B．证明：， C．证明： ， D．证明：， 【答案】A 【分析】本题考查了代数推理和完全平方公式，解题的关键是运用完全平方公式进行变形和推导． 通过完全平方公式将不等式转化为易于分析的形式，判断各选项证明方法的正确性，从而确定符合题目要求的选项． 【详解】根据题意可知：；当时，左右两边取等号． A．通过完全平方公式将转化为 ，而总是大于或等于0．因此，这个推理是正确的，故该选项符合题意； B．并不等于而是等于 ，这不等于0，因此，这个推理是错误的，故该选项不符合题意； C．虽然是正确的，但 仅在时成立，这与题目要求的 时取等号不符，故该选项不符合题意； D．并不等于，且 仅在时时成立，这与题目要求的时取等号不符，故该选项不符合题意； 故选：A． 5．（2025·广东东莞·模拟预测）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式； 直接利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 6．（2025·广东茂名·模拟预测）若，则 ． 【答案】9 【分析】该题考查了代数式求值，根据得出，再将其代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：9． 7．（2025·广东清远·二模）若单项式与的和仍是一个单项式，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了同类项的运用，负指数幂的计算，理解同类项的定义，正确列式是关键． 根据题意得到，由此得到的值，由此即可求解． 【详解】解：单项式与的和仍是一个单项式， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： ． 8．（2025·广东汕头·一模）《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当时，多项式的值．”按照秦九韶算法，多项式．当时，． 参考上述方法，当时，多项式的值是 ． 【答案】49 【分析】本题主要考查代数式求值，先化简再求值；先提取公因式化简，再代入计算即可求出． 【详解】解：当时， 故答案为：49． 9．（2025·广东汕头·三模）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的知识点是整式的混合运算法则、整式的化简求值，解题关键是熟练掌握整式的相关运算． 先根据整式的运算法则进行化简，再将，代入即可得解． 【详解】解：， ， ， ， 当，时， 原式． 10．（2024·广东汕头·一模）设a，b为整数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质应用．将已知利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质列式求得a，b的值，再代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ，， ． 1．（2024·广东·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂相乘和幂的乘方，根据相关知识点一一判断即可； 【详解】解：∵，故A错误； ∵中和不是同类项，不能合并，故B错误； ∵，故C错误； ∵，故D正确； 故选：D． 2．（2024·广东·模拟预测）如果关于x的一元二次方程 的一个解是，那么代数式的值为（   ） A． B．2023 C． D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握方程的解是方程成立的未知数的值成为解题的关键． 由题意知，，则，根据，然后代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个解是， ∴，则， ∴． 故选：D． 3．（2024·广东广州·二模）如图的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，长为1的线段和为4，第二个图形有个小正方形，长为1的线段和为12，第三个图形有个小正方形，长为1的线段和为24，按此规律，则第50个图形中长为1的线段和为（    ） A．5100 B．3800 C．2650 D．588 【答案】A 【分析】本题考查了规律型-图形的变化类，找出前四个图形的规律是解题的关键．通过第1、2、3和4个图案找出规律，进而得出第n个图案中长为1的线段和为，代入即可求解． 【详解】解：观察图形可知： 第1个图案由1个小正方形组成，长为1的线段和为 第2个图案由4个小正方形组成，长为1的线段和为 第3个图案由9个小正方形组成，长为1的线段和为 第4个图案由16个小正方形组成，长为1的线段和为 … 由此发现规律是： 第n个图案由个小正方形组成，长为1的线段和为， 第50个图形中长为1的线段和为． 故选：A． 4．（2024·广东·模拟预测）已知与是同类项，则在平面直角坐标系中离原点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，二元一次方程组的求解，点到原点的距离，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据同类项，可得，解得，然后再计算其到原点的距离即可． 【详解】解：与是同类项， ， ， 为， 到原点的距离为， 故答案为：． 1．（2024·广东·二模）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解、代数式求值．先提公因式得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 6．（2024·广东梅州·模拟预测）已知，则代数式的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式变形等．根据题意先将变形为，继而利用条件即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故答案为：15． 7．（2024·广东东莞·二模）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据完全平方公式、多项式除以单项式去括号，再合并同类项即可化简，代入计算即可得出答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 8．（2024·广东东莞·一模）综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（），；（），理由见解析；（），理由见解析． 【分析】（）利用作差法即可求解； （）利用作差再结合配方法法即可求解； （）利用作差即可求解； 本题考查了整式和实数的大小比较，掌握作差法是解题的关键． 【详解】（）∵， ∴， 故答案为：； ∵， ∴， 故答案为：； （）． 理由如下： ， ∵， ∴， ∴； （），理由如下： ∵，， ∴， ∴． 1．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查找几何图形中的数字规律，根据前面几个图归纳出数字规律是解决问题的关键．先观察图形，得到每个图形中小正方形的个数，进而得到数字规律，即可求解． 【详解】解：拼第一个正方形需要个小正方形； 拼第二个正方形需要个小正方形； 拼第三个正方形需要个小正方形； ．．．．．． 按照这样的方法拼成的第个正方形需要个小正方形； 第六个正方形需要个小正方形， 故选：C． 3．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；由题意易得，即可求解． 【详解】解：， ， 故选：A． 4．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：. 故选：C 5．（2025·广西·中考真题）因式分解：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解．利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：． 故选：A 6．（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键．该组数的规律从两方面分析：①整数部分：每次增加2；②小数部分：每次增加一个9，据此即可得到答案． 【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是， 小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9， ∴第n个数小数部分是， ∴第n个数是， 故选：A． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算． 【详解】解：由题意得，； 故答案为 ． 8．（2025·四川·中考真题）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，先分析待求式与已知式的结构，发现；再将已知条件代入该式，计算出的值；最后用计算结果减去9，得到最终答案． 【详解】解：∵，且已知， ∴将代入得：， 则． 故答案为：． 9．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 ．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律即可．观察图形，发现后面一个图案比前一个图案多3个黑色棋子即可解决． 【详解】解：观察发现： 第一个图形有个黑色棋子， 第二个图形有个黑色棋子， 第三个图形有个黑色棋子， …， 第n个图形有个黑色棋子， 故答案为：． 10．（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求代数式的值，掌握整体思想是解题的关键． 将化为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：3． 11．（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键． 根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦”即可列代数式． 【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为：， 故答案为：． 12．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可． 【详解】解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形； 第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形； ； 第n个图形中有个三角形． 故答案为： 13．（2025·山东东营·中考真题）因式分解 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： 故答案为： 14．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 15．（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式以及化简求值，二次根式的性质，正确计算是解题的关键． 首先根据单项式乘以多项式，完全平方公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 16．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析． 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 17．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【答案】(1) (2)，，，其中、、都是正整数，，证明见解析 (3)280 【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案． 【详解】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， ， 解得或（舍去）； 故答案为：24． （2）解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下： ，，， ， ， ， ， ； （3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 代数式及求值 题型01 列代数式 题型02 求代数式的值 命题点二 整式的相关概念 题型01 整式的相关概念 题型02 单项式、多项式有关的规律探究题 命题点三 整式的运算 题型01合并同类项 题型02 整式的加减运算 题型03 幂的运算 题型04 整式乘法 题型05 整式除法 命题点四 乘法公式 题型01 平方差公式 题型02 完全平方公式 题型03 完全平方公式在几何图形中的应用 命题点五 因式分解 题型01 用公式法分解因式 题型02 十字相乘法与分组分解法 题型03 因式分解的应用 05·重难突破·思维进阶难 24 突破一 数字类、图形类规律探究 突破二 整式运算的整体性思维 突破三 乘法公式的综合运用 突破四 因式分解的综合 06·优题精选·练能提分 30 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 代数式及求值 广州卷T19 广州卷T14 掌握代数式的概念，并会将数代入求值；能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示 整式的相关概念 掌握单项式、多项式的具体概念； 整式的运算 广州卷 T3 广东卷T5 广州卷T3 深圳卷T3 广州卷T4 深圳卷T6 1.了解整数指数罪的意义和基本性质； 2. 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则； 3. 能进行简单的整式加减乘除运算； 4.灵活运用多种方法化简代数式. 乘法公式 深圳卷T5 1. 理解乘法公式，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理； 因式分解 广东卷T11 广东卷T11 广州卷T20 深圳卷T12 能用提公因式法、公式法(直接利用公或不超过二次)进行因式分解(指数为正整数). 命题预测 本专题包含整式的概念、整式的运算及因式分解，是中考的必考内容，广东近三年的中考卷基本都是在基础题考查这专题的内容，难度均不大；乘法公式的灵活运用是整式运算中的重要内容，同时在整式的化简求值及因式分解中也都有所体现.整式求值计算中经常用到整体代入法，在应用的过程中注意观察已知与所求间的关系，因式分解一般以填空题的形式出现，注意分解要彻底. 预计2026年广东中考数学对整式与因式分解这块内容的考查仍以传统计算为主，难度不会很大，但要注意和其他知识点结合考查； 考点一 代数式 知识点01 列代数式 定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式. 代数式的书写要求： 1、数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号. 2、字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写. 3、除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数. 4、若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位. 知识点02 代数式的值 定义：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值. 求代数式的值的步骤： 1、代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； 2、计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的. 1．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ． 2．（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．    3．（2024·广东·模拟预测）若，则的值为 ． 4．（2023·广东茂名·模拟预测）阅读下列材料：定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“吉祥数”． (1)若，，直接写出，的“吉祥数”； (2)如果，，求，的“吉祥数”，并证明“吉祥数”． 考点二 整式的相关概念 知识点01 单项式 单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 注意：圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数，而不能当成字母； 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 注意：单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关. 例如：单项式的次数是2＋3＋4=9而不是14. 知识点02 多项式 多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式. 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. 多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 注意：1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； 2）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 知识点03 整式 定义：单项式与多项式统称为整式. 5．（2024·广东·模拟预测）单项式的系数是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广东·模拟预测）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…，叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，…，第n个三角形数记为，则的值为（   ） A． B． C．n D． 7．（2025·广东佛山·三模）若与的和是单项式，则 ． 8．（2025·广东惠州·三模）已知多项式的次数为2，则的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 考点三 整式的运算 知识点01 同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 判断同类项的标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，缺一不可. 合并同类项 定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 知识点02 去括号与添括号 添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 知识点03 整式的加减 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 知识点04 幂的运算 幂的运算法则中底数a的规定：底数a可以是单项式，也可以是多项式. 1、同底数幂相乘底数不变，指数相加，即（m，n都是整数） 2、幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n都是整数） 注意：幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“”，指数相乘是指“3×2”． 3、积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即（n为整数） 4、同底数幂的除法底数不变，指数相减，即（a≠0，m，n都为整数） 5、零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）. 知识点05 整式的乘除 1、单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 实质：乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 2、单项式乘多项式运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即. 实质：利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式. 3、多项式乘多项式运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. 【易错易混】 ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 4、单项式除以单项式运算法则：一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 5、多项式除以单项式 运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 实质：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. 知识点06 整式的混合运算 定义：含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算. 运算顺序: 先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 9．（2025·广东深圳·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·广东·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（2024·广东广州·中考真题）若，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 考点四 乘法公式 知识点01 乘法公式 1、平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即： 特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. 2、平方差公式的推导 ①用多项式的乘法推导平方差公式 ②通过面积法推导平方差公式： 如图1所示，左侧涂色部分的面积为，右侧涂色部分的面积为，所以可以得到. 【补充】常见验证平方差公式的几何图形 3、完全平方公式 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即. 特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方. 完全平方式的常见变形（①-⑤基础必须掌握）： ① ② ③ ④ ⑤ 知识点02 完全平方公式的推导 ①用多项式的乘法推导完全平方公式： ②通过面积法推导完全平方公式： ①如图甲所示是一个边长为a+b的正方形，面积为，它的面积还可以看成是由两个小正方形与两个长方形的和，即，所以可以得到； ②如图乙所示，边长为a-b的小正方形的面积是，它的面积还可以看成是由大的正方形面积减去两个小的长方形面积，即，所以可以得到. 13．（2024·广东深圳·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 15．（2025·广东佛山·三模）先化简，再求值：，其中，． 16．（2025·广东广州·二模）已知多项式 (1)化简多项式； (2)若，求A的值． 考点五 因式分解 知识点01 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【补充说明】 1、因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可. 2、要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. 3、因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算，且因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 知识点02 公因式 定义：多项式的各项中都含有相同的因式，我们把这个相同的因式就叫做公因式. 注意：公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式. 知识点03 提公因式法分解因式 定义：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：. 实质：乘法分配律的逆用. 关键：准确找出多项式各项的公因式. 知识点04 公因式法分解因式 定义：运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法. 逆用平方差法分解因式： 逆用完全平方公式分解因式： 17．（2023·广东深圳·中考真题）已知实数a，b，满足，，则的值为 ． 18．（2025·广东·中考真题）因式分解： ． 19．（2025·广东汕头·一模）因式分解： ． 20．（2025·广东韶关·二模）写出一个可以用完全平方公式进行因式分解且只含有和的多项式 ． 命题点一 代数式及求值 ►题型01 列代数式 列代数式要注意两点： 一是找到数量关系； 二是掌握代数式的书写要求； 1、数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号. 2、字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写. 3、除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数. 4、若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位. 【典例1】（2025·广东东莞·三模）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，用含有a，b的代数式表示y，即y= ．    【典例2】（2025·广东深圳·二模）已知两实数的差为m，用它们“平均数的平方”，减去它们“平方的平均数”，得到的差用m可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东佛山·一模）根据以下素材，完成任务． 素材1 某商店在无促销活动时，若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用外卖配送服务，开展促销活动： ①若消费者使用外卖配送服务，须用25元购买“神券”，则本店内所有商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用外卖配送服务，本店内所有商品一律按标价的八折出售． 问题解决 任务1 （1）该商店无促销活动时，求，商品的销售单价分别是多少？ 任务2 （2）小明在促销期间购买，两款商品共30件，其中商品购买件． ①若使用外卖配送商品，共需要 元； ②若不使用外卖配送商品，共需要 元（结果均用含的代数式表示）． 任务3 （3）在（2）的条件下，什么情况下使用外卖配送服务更合算？ 【变式2】（2025·广东深圳·一模）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了元，请完成下列问题： (1)降价元后的月销售量为___________件：（用含的式子表示） (2)当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ ►题型02 求代数式的值 求代数式的值的步骤： 1、代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； 2、计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的. 【典例1】（2025·广东深圳·三模）已知代数式，则代数式的值是 ． 【典例2】（2025·广东佛山·三模）已知，那么（    ） A． B． C．6 D．8 【变式1】（2025·广东广州·二模）已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【变式2】（2025·广东广州·二模）已知，求代数式的值． 命题点二 整式的相关概念 ►题型01 整式的相关概念 掌握单项式、多项式和整式的具体概念，牢记整式是单项式和多项式的统称； 注意：1、多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； 2、一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 【典例1】（2025·广东东莞·二模）单项式的次数为 ． 【典例2】（2025·广东云浮·一模）单项式的次数是 ． 【变式1】（2025·广东江门·三模）多项式的次数是 ． 【变式2】（2025·广东·二模）多项式的次数是（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 ►题型02 单项式、多项式有关的规律探究题 【典例1】（2025·广东韶关·一模）观察下列等式：，，，，…根据以上规律得出的结果是（    ） A．20241 B．20251 C．20201 D．20261 【典例2】（2025·广东广州·二模）观察图中数字的排列规律．按照此规律继续排列，若数字2025出现在第m列第n行的位置，则m和n的值分别是（    ） 第1列 第2列 第3列 第4列 … 第1行 1 2 9 10 … 第2行 4 3 8 11 … 第3行 5 6 7 12 … 第4行 16 15 14 13 … 第5行 17 … … … … A．1，45 B．45，1 C．44，2 D．2，44 【变式1】（2025·广东韶关·一模）如图1，这是一种海螺，图2是由这种海螺抽象出的螺旋图形，它是由一系列直角三角形组成的，其中，，且每个三角形都以点为顶点． (1)求的值． (2)如图3，若有一个海螺图形恰好由9个直角三角形拼成，其中每一个直角三角形都有一条直角边为1，且这个图形的周长（实线部分）为，则最接近哪个整数？ 【变式2】（2024·广东·三模）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数＋烷”来表示，当碳原子数为时，依次用甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构式如图所示，依此规律，己烷的化学式为 ． 命题点三 整式的运算 ►题型01 合并同类项 判断同类项的标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，缺一不可. 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 【典例1】（2025·广东东莞·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·广东深圳·三模）下列运算错误的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东深圳·三模）下列计算正确的是（　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东·模拟预测）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． ►题型02 整式的加减运算 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【注意】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 【典例1】（2025·广东阳江·二模）化简： ． 【典例2】（2025·广东·一模）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【变式1】（2024·广东汕头·二模）定义一种新运算，规定，例 (1)已知，，分别求A，B (2)通过计算比较A与B的大小． 【变式2】（2024·广东广州·二模）已知两个多项式． (1)化简； (2)若，求x的值． ►题型03 幂的运算 掌握幂的运算相关公式： 1）同底数幂相乘底数不变，指数相加，即（m，n都是整数） 2）幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n都是整数） 3）积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即（n为整数） 4）同底数幂的除法底数不变，指数相减，即（a≠0，m，n都为整数） 【典例1】（2024·广东·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·广东·模拟预测）下列运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2023·广东汕头·一模）计算：． ►题型04 整式乘法 1、相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； 2、多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 【典例1】（2025·广东佛山·二模）先化简，再求值：，其中． 【典例2】（2024·广东揭阳·一模）先化简，再求值：，其中为方程的解． 【变式1】（2024·广东清远·二模）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（2023·广东广州·一模）已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若，求A的值． ►题型05 整式除法 【计算技巧】把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. 【单项式除以单项式】首先将系数相除，然后将同底数幂相除，最后将被除式中单独有的字母连同它的指数一起作为商的一个因式，系数相除时要注意先确定商的符号. 【多项式除以单项式】多项式除以单项式所得商的项数与多项式的项数一致,在计算时不要漏项； 计算时，多项式的各项要包括它前面的符号,注意符号的变化. 【典例1】（2024·广东·模拟预测）的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·广东·模拟预测）若则括号内应填的单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东江门·一模）先化简，再求值：，其中，． 【变式2】（2023·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 命题点四 乘法公式 ►题型01 平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即： 【典例1】（2025·广东佛山·二模）计算： 【典例2】（2024·广东中山·模拟预测）已知，则 ． 【变式1】（2023·广东湛江·模拟预测）已知，，则的值为 ． 【变式2】（2024·广东广州·二模）已知． (1)化简T； (2)若a，b互为相反数，求T的值． ►题型02 完全平方公式 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即. 【典例1】（2025·广东珠海·二模）先化简，再求值： ，其中，． 【典例2】（2025·广东佛山·二模）若x、a为实数，则M、N的大小关系为 【变式1】（2025·广东东莞·模拟预测）已知．化简A． 【变式2】（2025·广东深圳·二模）若，则 ． ►题型03 完全平方公式在几何图形中的应用 【典例1】（2025·广东汕头·一模）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·广东肇庆·二模）装饰公司为小明家设计电视背景墙时需用A、B型板材若干块，A型板材规格是，B型板材规格是．现只能购得规格是的标准板材．（单位：cm） (1)若设．一张标准板材尽可能多的裁出A型、B型板材，共有如表三种裁法，如图1是裁法一的裁剪示意图．    裁法一 裁法二 裁法三 A型板材块数 1 2 0 B型板材块数 3 m n 则表中， ， ； (2)为了装修的需要，小明家又购买了若干C型板材，其规格是，并做成如图2的背景墙．请写出图中所表示的等式： ； (3)若给定一个二次三项式，试用拼图的方式将其因式分解．（请仿照（2）在几何图形中标上有关数量） 【变式1】（2023·广东潮州·一模）图①是由4个白色的长方形和1个灰色的正方形构成的正方形，图②是由5个白色的长方形（每个长方形大小和图①相同）和1个灰色的不规则图形构成的长方形．已知图①②中灰色图形的面积分别为35和102，则每个白色长方形的面积为 ． 【变式2】（2024·广东梅州·一模）赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 命题点五 因式分解 ►题型01 用公式法分解因式 定义：运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法. 逆用平方差法分解因式： 逆用完全平方公式分解因式： 【典例1】（2024·广东佛山·一模）分解因式： ． 【典例2】（2025·广东深圳·二模）因式分解： ． 【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）因式分解： ． 【变式2】（2023·广东深圳·模拟预测）分解因式： （1） ； （2） ． ►题型02 十字相乘法与分组分解法 【典例1】（2024·广东广州·模拟预测）因式分解： ． 【典例2】（2023·广东佛山·模拟预测）因式分解： ． 【变式1】（2025·广东梅州·一模）因式分解： ． 【变式2】（2025·广东珠海·二模）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： (1)分解因式：； (2)分解因式：． ►题型03 因式分解的应用 【典例1】（2025·广东东莞·三模）如图，某校九年级两个班级的劳动实践基地是两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，分别表示两个阴影部分的面积．若，则（　　） A．6 B．21 C． D． 【典例2】（2025·广东清远·一模）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，因此8，16都是“正巧数”． (1)请写出一个30到50之间的“正巧数”：______； (2)已知，为正整数，且，若是“正巧数”，求的最小值． 【变式1】（2024·广东·二模）已知多项式①，②，③． (1)把这三个多项式因式分解； (2)请选择下列其中一个等式（A或B），求与的关系． A．；B．； 【变式2】（2023·广东云浮·一模）已知（），则代数式 ． 突破一 数字类、图形类规律探究 【典例1】（2025·广东清远·二模）将连续的奇数1，3，5，7，……排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和是______，设中间数为a，请用含a的代数式表示十字形框中的五个数之和是______． (2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？若有，请说明理由，若没有，也说明理由． (3)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？并说明理由． 【变式1】（2025·广东深圳·二模）如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：（   ） 求的值 解：令， 则 故， 因此 A． B． C． D． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第个；在边上任取一点，延长到，使，得到第个，，按此方法继续下去，第个等腰三角形的底角度数是 ． 【变式3】（2023·广东广州·一模）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第一个图形需要3根小木棒，拼第二个图形需要5根小木棒，拼第3个图形需要7根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2023根小木棒，则（　　） A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 突破二 整式运算的整体性思维 【典例1】（2025·广东江门·一模）【问题情境】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．例如：已知，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． (1)【探索发现】如图所示，若，求长方形A与B的面积差． (2)【尝试应用】若当时，代数式的值为，当时，求代数式的值．（用含的代数式表示） 【变式1】（2025·广东江门·一模）综合与实践 “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 【拓广探索】 （3）已知，，，求的值． 【变式2】理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：如果，求代数式的值． 我们可以将作为一个整体代入： 请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，则代数式的值为______； (2)如果，求代数式的值． (3)如果，求代数式的值． 【变式3】理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则________； 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题 (1)如果，求的值； (2)若，，求的值； (3)当时，代数式的值为m，求当时，代数式的值（请用含有m的代数式表示）． 突破三 乘法公式的综合运用 【典例1】（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． 【变式2】（2023·广东清远·二模）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（）．例如，当时，表示的两位数是45． (1)尝试： ①当时，； ②当时，； ③当时，　 　；… (2)归纳：　 　． 论证：请证明你归纳所得的结论． (3)运用：若与的差为2525，求a的值． 【变式3】（2023·广东深圳·模拟预测）对于“已知，求xy的最大值”这个问题，小明是这样求解的： ∵，∴，∴ ∴，所以xy的最大值为． 请你按照这种方法计算：当（，）时，的最小值． 突破四 因式分解的综合 【典例1】（2024·广东·模拟预测）一个正整数p能写成（m、n均为正整数，且），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时．例如：，因为，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以． (1)= ； (2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y，q为“平方差数”且能被7整除，求的最小值． 【变式1】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有4张，边长分别为的矩形卡片有12张，边长为的正方形卡片有9张． (1)取甲、乙卡片各一张，其面积和为______； (2)用这25张卡片拼成一个正方形，求这个正方形的边长；（用含的代数式表示） (3)取其中的若干张拼成一个矩形（三种卡片都要用到且不重叠），使其面积为，则可能的整数值有______个． 【变式2】（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 形如是常数，的多项式叫做关于x的二次三项式．我们已经学习了利用因式分解求解一些一元二次方程．反过来，是否可以利用求一元二次方程的根的方法，把一些二次三项式分解因式呢？根据下面的代数推理，可以得出结果： 设一元二次方程的两个实数根为，，计算： 解： 即 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成的形式，即通过解一元二次方程可以将一些二次三项式分解因式． 任务： (1)已知p，q是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，，则二次三项式分解因式的结果是______； (2)已知是多项式的一个因式，则______； (3)请用阅读内容中的方法，在实数范围内分解因式：注：实数范围内分解因式是指因式中的系数和常数项是实数 【变式3】（24-25八年级下·广东梅州·月考）我们把多项式 和 叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 ． 例如：求多项式 的最小值，由 可知，当时，多项式 有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． (3)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． 1．（2025·广东东莞·二模）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·模拟预测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·广东深圳·三模）下表是小颖同学课堂检测的完成情况，她最后的得分是（   ） 课堂检测得分___________ 填空题（评分标准：每道题3分） （1） （2）（1） （3） （4） A．3分 B．6分 C．9分 D．12分 4．（2025·广东清远·二模）代数推理是一种数学推理方法，它主要基于代数运算和代数结构的性质来进行逻辑推导和证明． ； ； ； ； 观察以上各式，用含有字母的式子归纳表示为：；当时，左右两边取等号．为了证明上述规律，下列选项做法正确的是（　　） A．证明：， B．证明：， C．证明： ， D．证明：， 5．（2025·广东东莞·模拟预测）已知，则 ． 6．（2025·广东茂名·模拟预测）若，则 ． 7．（2025·广东清远·二模）若单项式与的和仍是一个单项式，则 ． 8．（2025·广东汕头·一模）《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当时，多项式的值．”按照秦九韶算法，多项式．当时，． 参考上述方法，当时，多项式的值是 ． 9．（2025·广东汕头·三模）先化简再求值：，其中，． 10．（2024·广东汕头·一模）设a，b为整数，且，求的值． 1．（2024·广东·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）如果关于x的一元二次方程 的一个解是，那么代数式的值为（   ） A． B．2023 C． D．2024 3．（2024·广东广州·二模）如图的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，长为1的线段和为4，第二个图形有个小正方形，长为1的线段和为12，第三个图形有个小正方形，长为1的线段和为24，按此规律，则第50个图形中长为1的线段和为（    ） A．5100 B．3800 C．2650 D．588 4．（2024·广东·模拟预测）已知与是同类项，则在平面直角坐标系中离原点的距离是 ． 1．（2024·广东·二模）若，则 ． 6．（2024·广东梅州·模拟预测）已知，则代数式的值为 ． 7．（2024·广东东莞·二模）化简求值：，其中． 8．（2024·广东东莞·一模）综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 1．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 3．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·广西·中考真题）因式分解：（   ） A． B． C． D． 6．（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 8．（2025·四川·中考真题）若，则 ． 9．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 ．（用含n的代数式表示） 10．（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为 ． 11．（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 12．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 13．（2025·山东东营·中考真题）因式分解 ． 14．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 15．（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 16．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 17．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $