第3章 命题点8 二次函数的图象与性质-【一战成名新中考】2026云南中考数学·一轮复习·知识点精讲（讲册）

命题点8二次函数的图象与性质 (每年在二次函数解答题涉及考查)》 要点归纳 要点1二次函数的图象与性质（图象台抛物线） 概念 形如y=a2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)的函数叫作x的二次函数 三种解析式 一般式 顶点式 交点式 (a≠0) y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+hk y=a(x-x1)(x-x2) a>0 大 开口向上 致 图 象 a<0 开口向下 对称轴 直线x=① 直线x=② 直线x=③ 顶点坐标 ④ ⑤ 时， x=-2 x=h时， +X2时， x= a>0 2 y有最小值⑥ y有最小值⑦ y有最⑧ 香 最 值 X= 2a x=h时， x*2时， a<0 2 y有最大值⑨ y有最大值⑩ y有最① 值 在对称轴左侧时，y随x的增大而② a>0 增 在对称轴右侧时，y随x的增大而③ 减 性 在对称轴左侧时，y随x的增大而④ a<0 在对称轴右侧时，y随x的增大而⑤ 注：特别地，若已知二次函数的解析式为y=ax2+bx,则二次函数图象必过原点；反之，若已知二次 函数y=ax2+bx+c的图象过原点，则必有c=0. 38 知识，点精讲·云南数学 一战成名新中考 要点2对称轴的理解与应用 (1)求对称轴 例1抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过(0,4)和(-6,4)两点，则 解题关键 如图1，若抛物线上两点的 此抛物线的对称轴为 (⑥ 纵坐标相等，则对称轴为直 A.直线x=4 B.直线x=0 C.直线x=-3 D.直线x=-6 x1+x2 线x= 2 (2)利用对称轴求点坐标 例2抛物线y=x2-4x+四与x轴的一个交点的坐标为(1， 解题关键 0),则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标 如图1，已知对称轴为直线 为⑦ x=a,抛物线与x轴的两交 变式如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线L, 点C,D横坐标x,x4满足： 抛物线与直线y=t交于点A(3,t),根据图象可知抛物 x3+x=2a. 线的对称轴为⑧ ,点A关于对称轴对称 的点B的坐标为⑨ 4( B(x2y） 图1 例2变式题图 (3)利用对称轴比较函数值大小 方法指导 例3多解法若二次函数y=a(x-3)2+c(a>0)的图象过 解法一：异侧转化为同侧. A(-1,y1),B(2,y2),C(5,y3),则y1,y2,y3的大小关系 求关于对称轴对称的点的 横坐标，再比较，如图2 是 (20 A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 曾大 C.y2>y1>y3 D.y3>y1>y2 O减小A (4)利用对称轴求函数的最值（涉及分类讨论）》 Ya>Yc>y 图2 例4已知二次函数y=(x+1)+3,当1≤x≤4时，该二 解法二：距离法.先定开口 次函数的最大值为④ 方向，再算“距离”，开口向 变式已知二次函数y=-(x-h)(h为常数)，当自变量x的 上，距离对称轴越远的值越 太；开口向下，距离对称轴 值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为 越远的值越小，如图3. -1,则h的值为 A.3或6 B.1或6 C.1或3 D.4或6 图3 知识，点精讲·云南数学 39 【思路点拨】如图4，通过对称轴在所给区间左侧、内部、右侧三种情况分类讨论，求出符合条件的 h的值. ①当h<2时，有2 =-1,解得3 ②当2≤h≤5时，y=-(x-h)2的最大值为④ ,不符合题意； ③当h>5时，有因 =-1,解得6 【答案】⑦ 要点3二次函数图象与u,b,c的关系 图4 a 决定抛物线的开口方向 a>0,抛物线开口向上；a<0,抛物线开口向下 决定抛物线对称轴的位置（对称轴为 b=0,对称轴为四 a,b ab>0,对称轴在y轴②9 侧； 直线x= ab<0,对称轴在y轴0 侧 c=0,抛物线过原点； 决定抛物线与y轴交点的位置 c>0,抛物线与y轴交于正半轴； c<0,抛物线与y轴交于负半轴 b2-4ac=0时，与x轴有唯一的交点（顶点）； b2- 决定抛物线与x轴的交，点个数 b2-4ac>0时，与x轴有① 交点； Aac b2-4ac<0时，与x轴没有交点 随堂练习 》能力点1二次函数三种解析式之间的转化 1.函数y=-(x-2)2+3化为一般形式为 2.函数y=2x2-4x+1化为顶点式为 3.函数y=(x+1)(x-3)化为一般式为 化为顶点式为 >能力点2根据函数解析式写出基本信息 4.根据表格填空： 顶点式： 交点式： 一般式： 解析式 y=-2(x-1)2+4 y=2(x-1)(x-3) y=x2+2x-4 由解析式 ①顶，点坐标为 ①与x轴交点坐标为 ①与y轴交点坐标为 直接得到 ②对称轴为直线 的信息 ③有最 值为 ②对称轴为直线 ②对称轴为直线 最值 x= 时，y荒大三 时，y装小= x= 时，y最小= )>能力点3根据图象写信息 5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，请结合图象，回答下列问题. (1)对称轴是直线x= ,c的值为 ； (2)与y轴的交点坐标是 ;当x=-2时，y=; (3)用“>”“=”或“<”填空： 第5题图 ①a0:②2a-b 0:③4ac-b20;④a+b+c0; ⑤a-b+c-2. ◆更多云南中考真题改编及变式见《分层作业本》P36~37 40 知识，点精讲·云南数学随堂练习 ,y=2x+1,>,增大，>，正，(-7， 0),(0,1),一、二、三，4,1，-2，-5，y=-3x-2,<,减小，<， 负，（子0），0.-2，二三四 2.(1)m≠-1变式1：(2)-3变式m>1:(3)-1<m≤ 1;(4)p<g变式1m<-1变式2D 3.(1)x=6,x=5变式(7,0)：(2)x>6,x<0: (x=4, 3=-412,8:(4)x≥-3 命题点3 一次函数解析式的确定 及图象的平移 随堂练习 13(27+号 【拓展=子-1【扬展2=-2x【拓展3少=7+1 命题点4一次函数的实际应用 要点归纳 ①x②(100-x）③70x+35(100-x)④35x+3500 ⑤(100-70)x+(75-35)(100-x)⑥-10x+4000⑦35x+ 3500≤6300⑧0<x≤80，且x为整数⑨103465①1 ②3990B购进这批服装的最低费用为3465元，这批服装 全部售出的最大利润为3990元1250.260.25 70.2x+1280.25x (2)B类划算： (3)当通话时间小于240min时，应选择B类；当通话时间 大于240min时，应选择A类；当通话时间为240min时，选 择A,B类都可以 命题点5反比例函数的图象与性质 要点归纳 ①x≠0②>③<④一、三⑤二、四⑥减小⑦增大 随堂练习 1.(1)m≠1(2)m<1;(3)-1:(4)在；(5)-1<y<0,x<-2或 x>0 -,>,一、三，减 654- 33456元 参考答案与重难题 一战成名新中考 小，a<c<b,y=±x,原点：2,3,2,3， 1T0 654 3456x,<,二四，增大，b<c <a,y=±x,原点 命题点6反比例函数解析式的确定 及k的几何意义 要点归纳 ①b②站Bk1④2⑤1⑥1k1⑦118Ik1 随堂练习 L(1)y=,:2)2:(3)4:(4)2 命题点7反比例函数的应用 要点归纳 ①D②y=3x+3,画图略③=6④x>1或-2<x<0 x 9 ⑤0<x≤1或x≤-2⑥ 练习12 命题点8二次函数的图象与性质 要点归纳 ①-6 ②h③，+ 2@六 ⑤(h,k) 2 ⑥4ac-6 4a ⑦k⑧小⑨4ac-b 0k①大②减小 B增大①增大⑤减小6C⑦(3,0)⑧直线x=1 9(-1,t)②①0B④1②2-(2-h)23h=1②40 5-(5-h)26h=6②7B⑧y轴四左0右①两个 随堂练习 1.y=-x2+4x-12.y=2(x-1)2-1 3.y=x2-2x-3,y=(x-1)2-4 4.(1,4),x=1,大，4,1,4：(1,0)(3,0)，x=2,2,-2: (0,-4),x=-1,-1,-5 5.(1)-1,-2:(2)(0,-2),-2:(3)>,=,<,>,< 命题点9二次函数解析式的确定 及图象的平移 要点归纳 ①左②右③上④下 随堂练习 3 人y=-e2+x+12.y=-2x+8x-43y=7 t*3 4.y=2x2-8x+65.y=x2-1 命题点10二次函数图象与性质的应用 要点归纳 ①两个不相等②两个相等③无④x<x,或x>x, 解析·云南数学 3