第03讲：带电粒子在匀强磁场中的运动【七大考点+七大题型】-2025-2026学年高二下学期物理精讲与精练高分突破考点专题系列（人教版选择性必修第二册）

本讲义聚焦带电粒子在匀强磁场中的运动核心知识点，从v与B平行（匀速直线）、垂直（匀速圆周）的运动情况出发，梳理半径r=mv/qB、周期T=2πm/qB的推导过程，再通过几何方法确定圆心（入射出射方向垂线交点等）、半径（直角三角形关系）、时间（圆心角与周期关系），构建从基础规律到几何应用的学习支架。 该资料亮点在于题型系统全面，涵盖直/弧形边界、多解问题及重力参与的运动，例题与变式题选自各地期末及模拟真题，强化科学思维中的模型建构与几何推理能力。课中助力教师分层教学，课后通过多样化练习帮助学生查漏补缺，提升解决复杂磁场运动问题的能力。

第03讲：带电粒子在匀强磁场中的运动 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点01、带电粒子在匀强磁场中的运动 1．若v∥B，带电粒子以速度v做匀速直线运动，其所受洛伦兹力F＝0. 2．若v⊥B，此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向垂直，粒子在垂直于磁场方向的平面内运动． (1)洛伦兹力与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小． (2)带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力． 知识点02、带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1．由qvB＝m，可得r＝. 2．由r＝和T＝，可得T＝.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径和运动速度无关． 知识点03、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 1．圆心的确定：圆心位置的确定通常有以下两种基本方法： (1)已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)． (2)已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连线入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)． 2．半径的确定 半径的计算一般利用几何知识解直角三角形．做题时一定要作好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．由直角三角形的边角关系或勾股定理求解． 3．粒子在匀强磁场中运动时间的确定 (1)粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动轨迹的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝T(或t＝T)．确定圆心角时，利用好几个角的关系，即圆心角＝偏向角＝2倍弦切角． (2)当v一定时，粒子在匀强磁场中运动的时间t＝，l为带电粒子通过的弧长． 【题型探究】 题型一：带电粒子在匀强磁场中圆周运动基本计算 【例1】．（24-25高二上·北京顺义·期末）如图所示，一质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v垂直射入一有界匀强磁场区域内，速度方向跟磁场左边界垂直，从右边界离开磁场时速度方向偏转角磁场区域的宽度为d，求： (1)粒子的运动半径 (2)粒子在磁场中运动的时间 (3)粒子在磁场中运动的加速度大小 【变式1】．（24-25高二下·贵州黔东南·期中）在中国“夸父一号”太阳探测卫星的离子推进器测试中，需研究带电粒子仅在磁场力作用下在磁场中的运动规律。科学家设计了一个正方形匀强磁场区域abcd，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外。一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v0垂直于ab边从a点射入磁场区域并从b点离开磁场。 (1)求带电粒子在磁场中运动的半径和磁场区域的边长； (2)求带电粒子在磁场中运动的时间； (3)其他条件不变，当从a点的入射速度为多大时，粒子从cd边中点射出。 【变式2】．（2024·广西柳州·一模）ab边界下方存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一质量为m的带电粒子，从Q点以大小为v的初速度与ab边界成60°角射入磁场（如图），粒子经磁场偏转后，从边界上的M点射出磁场，粒子在磁场中的运动半径为r。粒子重力不计，求： (1)粒子的电性和电量q； (2)Q、M两点间距离L； (3)粒子由Q点运动至M点所用的时间t。 题型二：带电微粒（考虑重力）在磁场中的运动 【例2】．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）质量为m、带电荷量为q的小物块，从倾角为的绝缘斜面上由静止下滑，物块与斜面间的动摩擦因数为，整个斜面置于方向垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，如图所示。若带电小物用块下滑后某时刻对斜面的作用力恰好为零，下列说法中正确的是（　　） A．小物块可能带正电荷 B．小物块在斜面上运动时做匀加速直线运动，且加速度大小为 C．小物块在斜面上做加速度增大的变加速直线运动 D．小物块在斜面上下滑过程中，当小物块对斜面的压力为零时的速率为 【变式1】．（2025·重庆万州·一模）如图所示，平行板电容器的两个极板与水平方向成θ角，极板间距为d，两极板M、N与一直流电源相连，且M板接电源正极，MN间电势差为U，现有一带电粒子以初速度v0进入并恰能沿图中所示水平直线从左向右通过电容器。若将电容器撤走，在该区域重新加上一个垂直于纸面的匀强磁场，使该粒子仍以原来初速度进入该区域后的运动轨迹不发生改变，则所加匀强磁场的磁感应强度方向和大小正确的是（ ） A．垂直于纸面向里 B．垂直于纸面向里 C．垂直于纸面向外 D．垂直于纸面向外 【变式2】．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）如图所示，一根固定的足够长的光滑绝缘细杆与水平面成角，质量为、电荷量为的带电小球套在细杆上，小球始终处于磁感应强度大小为的匀强磁场中，磁场方向垂直细杆所在的竖直平面，不计空气阻力。若小球以初速度沿细杆向上运动，经过一定的时间又回到出发点，则该过程中小球（　　） A．机械能减小 B．上滑时间大于下滑时间 C．向上滑动的最大位移为 D．向下滑动时受到细杆的弹力大小一定先减小后增大 题型三：带电粒子在直边界磁场的运动 【例3】．（25-26高二上·河北衡水·期中）如图，水平放置的挡板上方有垂直纸面的匀强磁场，一带正电粒子垂直于纸板从板上的小孔射入磁场，另一带电粒子垂直于磁场且与挡板成角射入磁场，、两个带电粒子比荷大小相等，两粒子恰好都打在板上点，不计重力，下列说法正确的是（    ） A．粒子带负电 B．在磁场中的运动时间一定大于在磁场中的运动时间 C．若磁场方向垂直纸面向里，则、的初速度大小之比为 D．若磁场方向垂直纸面向外，则、的初速度大小之比为 【变式1】．（25-26高二上·江西赣州·阶段练习）如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为的带电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，则下列说法正确的是（　　） A．粒子可能从B点射出 B．若粒子垂直于BC边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为 C．若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为 D．若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短 【变式2】．（25-26高二上·江苏连云港·月考）如图，在竖直平面内的直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为 D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 题型四：带电粒子在弧形边界磁场的运动 【例4】．（25-26高二上·重庆·期中）如图所示，一半径为R的圆形区域内充满垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，O为圆形磁场区域的圆心。一带电粒子以速度v从磁场边界P点垂直射入磁场，射入时的速度方向与PO夹30°角，最后从磁场边界Q点射出。已知∠POQ=120°，不计粒子重力，则（    ） A．该粒子带正电 B．该粒子沿OQ方向射出磁场 C．该粒子在磁场中运动的半径为R D．该粒子在磁场中运动的时间为 【变式1】．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）如图，在半径为的圆形区域内有水平向里的匀强磁场，磁感应强度为B。圆形区域右侧有一竖直感光板MN。带正电粒子从圆弧顶点P以速率v0平行于纸面进入磁场，已知粒子质量为m，电量为q，粒子重力不计。若粒子对准圆心射入，则下列说法中错误的是（　　） A．粒子一定沿半径方向射出 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．若粒子速率变为2v0，穿出磁场后一定垂直打到感光板MN上 D．粒子以速度v0从P点以任意方向射入磁场，离开磁场后一定垂直打在感光板MN上 【变式2】．（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，C、D、E为以O为圆心、半径为R的圆周上的点，，A为CD的中点，在OCEDO内充满垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出，O点处也有磁场），磁感应强度大小为B。一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速率从AC部分垂直于AC射向磁场区域，忽略粒子间的相互作用以及粒子的重力，只考虑粒子在一次进出磁场中的运动。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的轨道半径为R B．从CO射出磁场的粒子运动时间不同 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．粒子可能从圆弧边界射出 题型五：带电粒子的运动确定磁场范围问题 【例5】．（23-24高二上·山西长治·期末）如图所示，矩形ABCD中、。其内部有一圆形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一个质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子，从CD的中点以速度v垂直于CD射入正方形区域，经圆形磁场偏转后沿着AC方向从C点飞出矩形区域，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　）    A．粒子在磁场里运动的时间为 B．粒子在磁场里运动的时间为 C．圆形磁场区域的最小面积为 D．圆形磁场区域的最小面积为 【变式1】．（22-23高二上·湖北孝感·期末）如图所示，在正方形ABCD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，F点和E点分别是AB边和BC边的中点。甲、乙、丙三个质量和电量完全相同速度不同且重力不计的带电粒子从E点垂直BC边向上进入磁场区域，甲、乙、丙分别从G点（G点在B点和E点之间）、B点、F点射出磁场区域，对三个粒子在磁场中的运动下列说法正确的是（　　） A．乙粒子在磁场中的运动时间大于甲粒子在磁场中的运动时间 B．三个粒子均带正电 C．丙粒子的运动时间是甲的一半 D．如果增大甲粒子的入射速度，甲粒子在磁场中的运动时间一定变小 【变式2】．（20-21高二下·江西新余·阶段练习）如图所示，坐标平面内有边界过P （0， L）点和坐标原点O的圆形匀强磁场区域。方向垂直于坐标平面，一质量为m、电荷量为e的电子（不计重力），从P点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场区域，从x轴上的Q点射出磁场区域，此时速度与x铀正方向的夹角为60°。下列说法正确的是（　　） A．磁场方向垂直于坐标平面向外 B．磁场的磁感应强度 C．圆形磁场区域的半径为2L D．带电粒子做圆周运动的半径为L 题型六：带电粒子在磁场中运动多解问题 【例6】．（23-24高二上·山东青岛·期末）长度为L的水平板上方区域存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，从距水平板中心正上方的P点处以水平向右的速度释放一个质量为m、电荷量为e的电子，若电子能打在水平板上，速度应满足（　　） A． B． C． D．或 【变式1】．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期末）如图，空间分布着磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。关于O点对称的薄板MN的长度为3a，O点到MN的距离为a。O点有一粒子源，能沿纸面内任意方向发射速率相同、质量为m、电荷量为q的正电粒子。已知水平向右发射的粒子恰能垂直打在MN上，打到MN上、下表面的粒子均被吸收。不计粒子的重力，则被MN吸收的粒子在磁场中运动的最长时间为（　　）    A． B． C． D． 【变式2】．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷，则以下说法正确的是（    ）    A．质子的速度可能为 B．质子的速度可能为 C．质子由A到C的时间可能为 D．质子由A到C的时间可能为 题型七：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动的问题 【例7】．（25-26高二上·宁夏吴忠·期中）如图所示，边长为L的等边三角形内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，D是边的中点，一质量为m、电荷量为的带电的粒子从D点以速度v平行于边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力。 (1)若粒子垂直于边射出，求粒子做匀速圆周运动的半径； (2)若粒子从C点射出，求粒子在磁场中运动的时间t。 【变式1】．（25-26高三上·天津西青·期中）控制带电粒子的运动在现代科学实验、生产生活、仪器和电器等方面有广泛的应用。现有这样一个简化模型：如图所示，在平面的第一象限存在沿y 轴正方向的匀强电场，第四象限存在垂直于平面向里的匀强磁场。第二象限内M、N两个平行金属板之间的电压为U，一质量为、电荷量为粒子（不计粒子重力）从靠近M 板的S 点由静止开始做加速运动，粒子从y轴上的P点垂直于y 轴向右射出，然后从x 轴上的a点（d，0）离开电场进入磁场，最后从y轴上的b点离开磁场区域，粒子在b点的速度方向与y轴正方向的夹角 。求： (1)粒子运动到P 点射入电场的速度大小； (2)第一象限电场强度的大小E； (3)第四象限内磁感应强度的大小B。 【变式2】．（25-26高三上·河北·开学考试）如图所示，竖直平面内半径为R的圆形区域内存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里。MN为圆形区域水平直径，OK为圆形区域竖直半径，点P到直径MN的距离。一束质量为m、电荷量为−q的带电粒子沿平行于MN的方向以不同速率从P点进入匀强磁场，不计粒子重力。 (1)若粒子恰好能经过O点，求入射速度大小； (2)若粒子恰好能从N点射出，求入射速度大小； (3)求带电粒子在第（1）问和第（2）问在磁场中的运动时间之比。 【变式3】．（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，与的夹角为。一质量为、带电量为的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点处沿与成角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于的方向经过圆心进入Ⅱ区，最后再从处射出磁场。已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为，求： (1)粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的轨道半径和比值； (2)Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小（忽略粒子重力）。 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在粒子物理研究中，带电粒子在云室等探测装置中的径迹是非常重要的实验证据。右图是1932年安德森利用放在匀强磁场中的云室记录的正电子的径迹，云室中放有厚的铅板，磁场方向垂直纸面，A、B是径迹上的两个点，若不计正电子受到的重力及运动过程的阻力，下列说法正确的是（    ） A．磁场方向垂直纸面向外 B．正电子的运动方向是从A到B C．正电子在A、B两点受到的洛仑兹力大小相等 D．正电子经过铅板后，运动的周期变小 2．（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）质子（）和氘核（）以相同速度分别从同一位置垂直于边界射入匀强磁场，两条运动轨迹如图中a、b所示，a的半径为，b的半径为。设、和、分别是质子、氘核在磁场中所受的洛伦兹力和运动时间，则（　　） A．质子就是元电荷，轨迹b是质子的运动轨迹 B． C． D． 3．（25-26高三上·北京东城·月考）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l（）。带电粒子束持续以某一速度v沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为+q，不计粒子的重力、粒子间的相互作用，下列说法不正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为a B．粒子质量为 C．管道内的等效电流为nq D．粒子束对管道的平均作用力大小为Bnq 4．（25-26高三上·广西河池·阶段练习）如图所示，水平直线的上方存在着方向垂直纸面的匀强磁场，a、b是直线边界上的两点。一带电粒子以速度v从a点以与直线成角的方向射入磁场中，经过时间t后，从b点离开磁场。不计粒子的重力，由以上条件可以确定（　　） A．粒子的比荷 B．磁感应强度的大小 C．磁感应强度的方向 D．a、b两点间的距离 5．（24-25高二下·全国·课后作业）质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场并最终打在金属板上，运动的半圆轨迹如图中虚线所示，不计重力，下列表述正确的是（　　） A．M带负电，N带正电 B．M的速率小于N的速率 C．洛伦兹力对M、N做正功 D．M的运动时间大于N的运动时间 6．（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，粒子a和粒子b所带的电荷量相同，以相同的动能从A点射入匀强磁场中，做圆周运动的半径ra＝2rb，则下列说法正确的是（重力不计）（　　） A．两粒子都带正电，质量之比＝4 B．两粒子都带负电，质量之比＝4 C．两粒子都带正电，质量之比＝ D．两粒子都带负电，质量之比＝ 7．（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，MN为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于纸面的匀强磁场（未画出），一带电粒子从紧贴铝板上表面的P点垂直于铝板向上射出，从Q点穿越铝板后到达PQ的中点O。已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变，不计重力。铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为（　　） A．2∶1 B．∶1 C．1∶1 D．∶2 8．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子从b点沿ba方向射入磁场，粒子恰好能通过c点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为（　　） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·安徽·阶段练习）如图所示，空间分布有很多水平方向足够长的条形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B=1T，方向垂直纸面向里，其宽度均为，相邻两磁场区域的间距为。现将一比荷为的带正电的粒子（不计重力）从第一个条形磁场区域上边界O点以大小为的速度垂直边界进入磁场，则粒子再次回到第一个条形磁场区域上边界的时间为（取π≈3）（　　） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·安徽·开学考试）如图，为范围足够大的匀强磁场的下边界，垂直纸面向外的匀强磁场的磁感应强度为。质量为、电荷量为带正电的粒子从点以速度与成角垂直射入磁场中，经过一段时间从点（图中没有标出）离开磁场，只考虑粒子所受的洛伦兹力作用。粒子从点运动到点的过程中（　　） A．粒子所受洛伦兹力冲量为零 B．粒子运动的时间最长为 C．时粒子运动的轨迹长为 D．时两点间距离大于时两点间距离 二、多选题 11．（25-26高二下·全国·课后作业）云室是借助过饱和水蒸气在离子上凝结来显示带电粒子径迹的装置。云室中加了垂直于纸面向里的磁场，在一张云室中拍摄的照片中a、b、c、d、e是从O点发出的一些正电子或负电子的径迹。关于a、b、c三条径迹判断正确的是（　　） A．a、b、c都是负电子的径迹 B．c径迹对应的粒子轨迹半径最大 C．a径迹对应的粒子动量最大 D．c径迹对应的粒子运动时间最长 12．（25-26高二下·全国·随堂练习）如图所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（　　） A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v> C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度<v< 13．（25-26高二下·全国·课后作业）如图所示，在平面直角坐标系中有一个垂直纸面向里的圆形匀强磁场，其边界过原点O和y轴上的点a（0，2L）。一质量为m、电荷量为e的电子从a点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场，并从x轴上的b点射出磁场，此时速度的方向与x轴正方向的夹角为60°。下列说法正确的是（　　） A．电子在磁场中运动的时间为 B．电子在磁场中运动的时间为 C．电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为（0，－2L） D．电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为（0，－L） 14．（25-26高二下·全国·课后作业）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m（重力不计）、电荷量为q（q＞0）的同种粒子，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是（　　） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·重庆·期中）如图所示，平面直角坐标系xOy中，x轴上方充满磁感应强度大小为B、垂直纸面向外的匀强磁场。在O点有一可视为质点的粒子源，沿纸面不断放出同种带负电粒子，且粒子的速率均为v，粒子射入磁场时的速度方向与x轴正方向的夹角θ的范围为60°~120°。不计粒子重力及粒子间的相互作用，已知粒子在y轴上能到达的最远距离为a，则下列说法正确的是（    ） A．粒子在磁场中运动的半径为a B．粒子射出磁场时到O点的最远距离为2a C．粒子射出磁场时到O点的最近距离为a D．从距O点最近的位置射出磁场的粒子在磁场中运动的时间可能为 16．（25-26高二上·重庆·期中）如图所示，直角三角形AOC内（含边界）充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，已知∠A=30°，AO=L。在O点放置一可视为质点的粒子源，能在纸面内发射各种速率、比荷为k的带负电粒子，且粒子发射时的速度方向与边界OA的夹角均为θ。不计粒子重力和粒子间的相互作用，则（    ） A．若θ=45°，则有粒子从A点射出磁场 B．若θ=30°，则从边界OA射出磁场的粒子的最大速率为BkL C．若θ=90°，则边界OA有粒子射出的长度为 D．若θ=90°，则从边界AC射出磁场的粒子速率均大于 17．（25-26高二上·吉林长春·期中）如图所示，虚线框MNPQ内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c三个带电粒子，它们在纸面内从边的中点垂直于边射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。若不计粒子所受重力，则下列说法正确的是（    ） A．粒子a带正电，粒子b、c带负电 B．若三个粒子比荷相同，则粒子c在磁场中的速度最大 C．若三个粒子入射的速度相同，则粒子c在磁场中的加速度最大 D．若三个粒子入射的动量相同，则粒子b的带电荷量最大 18．（25-26高二上·广西钦州·期中）如图所示，半径为的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为，为圆心。在磁场边界上点有一粒子源，粒子可以沿圆面向磁场内各个方向射出质量均为、电荷量均为的带正电的粒子，粒子射出的初速度大小相同，沿与成角斜向右下射出的粒子1在磁场中运动经过点，不计粒子的重力，则下列说法正确的是（    ） A．粒子1在磁场中做圆周运动半径等于 B．粒子1在磁场中运动的偏向角为 C．粒子1在磁场中运动的时间为 D．沿方向射入的粒子从磁场出射速度与粒子1从磁场出射速度方向相同 三、解答题 19．（25-26高二下·全国·课后作业）如图所示，平面直角坐标系的第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），一带正电的粒子，电荷量为q，质量为m，从y轴上的点A沿如图所示方向射入磁场，若干时间后到达第四象限的点B，粒子在点B的速度大小为v，方向与y轴平行，不计粒子重力，求： (1)匀强磁场磁感应强度的大小； (2)粒子从点A到点B的运动时间t。 20．（25-26高二上·宁夏银川·月考）一个重力不计的带电粒子以大小为的速度从坐标为（0，L）的点，平行于轴射入磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，并从轴上的点射出磁场，射出磁场时的速度方向与轴正方向的夹角为，如图所示。 (1)判断粒子的电性并用尺规作图法画出粒子的运动轨迹； (2)求粒子的比荷； (3)求粒子从点运动到点的时间。 21．（25-26高二上·山东·期中）如图所示，在直角坐标系中，轴右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，在处放置垂直于轴的足够大的接收屏。位于原点的粒子源可沿平面向轴右侧各个方向发射相同的正电粒子，粒子速度大小相等，轨迹半径为。已知粒子的质量为，电荷量为，粒子打到接收屏上即被吸收，不计空气阻力、粒子重力及粒子间相互作用。求： (1)粒子的速度大小； (2)粒子打到接收屏上区域的长度； (3)能打到接收屏上的粒子在磁场中运动的最短时间。 22．（24-25高二下·广西河池·阶段练习）如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场，磁感应强度为B。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量大小为q（电性未知），，不计重力。根据上述信息，求： (1)带电粒子的电性，在磁场中运动的速率； (2)带电粒子在磁场中运动的时间； (3)带电粒子在磁场中运动垂直于y轴射出磁场的坐标。 23．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）如图甲所示，在水平面内建立坐标系，区域内有竖直向上的匀强磁场。一个质量为m、电荷量大小为q的带负电荷的粒子，从x轴上的P点以垂直于磁场的速度v射入第一象限，从y轴上某点垂直于y轴射出磁场区域。已知速度v与x轴正方向的夹角，不计粒子的重力，P点与原点O之间的距离为a。 (1)求磁感应强度B的大小； (2)若将粒子速度的大小改为，角可变，求粒子在磁场中运动的最短时间。 24．（24-25高二下·广西柳州·阶段练习）如图所示，真空无重力空间中有一恒定的匀强磁场，处在平面第Ⅰ象限，磁感应强度的方向垂直于平面向外，大小为。沿轴放置一个垂直于平面的较大的荧光屏，点位于荧光屏上，在轴上的点放置一放射源，可以不断地沿平面内的不同方向以大小不等的速度向第Ⅰ象限放射出质量为、电荷量为的同种正粒子，这些粒子打到荧光屏上能在屏上形成一条亮线，点处在亮线上，已知，与轴负方向夹角为，且。 (1)若粒子能打到点，则粒子速度的最小值为多少？ (2)若粒子能打到点，则粒子在磁场中运动的最长时间为多少？ 25．（24-25高二下·云南昭通·期末）如图所示，平面内，在轴下方存在匀强磁场，方向垂直于纸面向外；在的区域存在匀强电场，电场强度大小为，方向与方向夹角为。一质量为、电荷量为的带正电的粒子以大小为的初速度从原点沿轴正方向射出，一段时间后粒子第一次从点进入磁场，在磁场中运动一段时间后回到原点再进入电场。不计粒子的重力，取，。 (1)求到点的距离 (2)求磁感应强度的大小。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲：带电粒子在匀强磁场中的运动 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点01、带电粒子在匀强磁场中的运动 1．若v∥B，带电粒子以速度v做匀速直线运动，其所受洛伦兹力F＝0. 2．若v⊥B，此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向垂直，粒子在垂直于磁场方向的平面内运动． (1)洛伦兹力与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小． (2)带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力． 知识点02、带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1．由qvB＝m，可得r＝. 2．由r＝和T＝，可得T＝.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径和运动速度无关． 知识点03、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 1．圆心的确定：圆心位置的确定通常有以下两种基本方法： (1)已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)． (2)已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连线入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)． 2．半径的确定 半径的计算一般利用几何知识解直角三角形．做题时一定要作好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．由直角三角形的边角关系或勾股定理求解． 3．粒子在匀强磁场中运动时间的确定 (1)粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动轨迹的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝T(或t＝T)．确定圆心角时，利用好几个角的关系，即圆心角＝偏向角＝2倍弦切角． (2)当v一定时，粒子在匀强磁场中运动的时间t＝，l为带电粒子通过的弧长． 【题型探究】 题型一：带电粒子在匀强磁场中圆周运动基本计算 【例1】．（24-25高二上·北京顺义·期末）如图所示，一质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v垂直射入一有界匀强磁场区域内，速度方向跟磁场左边界垂直，从右边界离开磁场时速度方向偏转角磁场区域的宽度为d，求： (1)粒子的运动半径 (2)粒子在磁场中运动的时间 (3)粒子在磁场中运动的加速度大小 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子运动的轨迹如图，由几何知识得 （2）电子做圆周运动的周期 粒子在磁场中的运动时间 （3）由洛伦兹力提供向心力有 解得粒子在磁场中运动的加速度大小为 【变式1】．（24-25高二下·贵州黔东南·期中）在中国“夸父一号”太阳探测卫星的离子推进器测试中，需研究带电粒子仅在磁场力作用下在磁场中的运动规律。科学家设计了一个正方形匀强磁场区域abcd，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外。一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v0垂直于ab边从a点射入磁场区域并从b点离开磁场。 (1)求带电粒子在磁场中运动的半径和磁场区域的边长； (2)求带电粒子在磁场中运动的时间； (3)其他条件不变，当从a点的入射速度为多大时，粒子从cd边中点射出。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由题干可知粒子在匀强磁场中运动半个圆周，由题意可知 解得带电粒子在磁场中运动的半径 磁场区域的边长，解得 （2）带电粒子在磁场中运动的时间 由，解得 （3）粒子从cd边中点射出，由几何关系可得 解得 再由，得 【变式2】．（2024·广西柳州·一模）ab边界下方存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一质量为m的带电粒子，从Q点以大小为v的初速度与ab边界成60°角射入磁场（如图），粒子经磁场偏转后，从边界上的M点射出磁场，粒子在磁场中的运动半径为r。粒子重力不计，求： (1)粒子的电性和电量q； (2)Q、M两点间距离L； (3)粒子由Q点运动至M点所用的时间t。 【答案】(1)带负电， (2) (3) 【详解】（1）根据左手定则，磁场垂直纸面向外，粒子的运动轨迹是向上偏转，所以粒子带负电。 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即 整理可得 （2）如图所示 粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角 根据几何关系，Q、M两点间距离L为 代入数据得 （3）粒子做匀速圆周运动的周期 粒子在磁场中运动的时间t与周期T的关系为 代入数据得 题型二：带电微粒（考虑重力）在磁场中的运动 【例2】．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）质量为m、带电荷量为q的小物块，从倾角为的绝缘斜面上由静止下滑，物块与斜面间的动摩擦因数为，整个斜面置于方向垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，如图所示。若带电小物用块下滑后某时刻对斜面的作用力恰好为零，下列说法中正确的是（　　） A．小物块可能带正电荷 B．小物块在斜面上运动时做匀加速直线运动，且加速度大小为 C．小物块在斜面上做加速度增大的变加速直线运动 D．小物块在斜面上下滑过程中，当小物块对斜面的压力为零时的速率为 【答案】C 【详解】A．根据磁场方向和小物块的运动方向，由左手定则可知，小物块所受的洛伦兹力方向垂直于斜面，因带电小物块下滑后某时刻对斜面的作用力恰好为零，则洛伦兹力方向垂直于斜面向上，根据左手定则判断可知小物块带负电，故A错误； BC．小物块在斜面上运动时，对小物块受力分析，可知小物块所受合力 随着v增大，洛伦兹力增大，增大，a增大，则小物块在斜面上做加速度增大的变加速直线运动，故B错误，C正确； D．小物块对斜面压力为零时，有 解得 故D错误。 故选C。 【变式1】．（2025·重庆万州·一模）如图所示，平行板电容器的两个极板与水平方向成θ角，极板间距为d，两极板M、N与一直流电源相连，且M板接电源正极，MN间电势差为U，现有一带电粒子以初速度v0进入并恰能沿图中所示水平直线从左向右通过电容器。若将电容器撤走，在该区域重新加上一个垂直于纸面的匀强磁场，使该粒子仍以原来初速度进入该区域后的运动轨迹不发生改变，则所加匀强磁场的磁感应强度方向和大小正确的是（ ） A．垂直于纸面向里 B．垂直于纸面向里 C．垂直于纸面向外 D．垂直于纸面向外 【答案】C 【详解】根据题意可知，粒子做直线运动，则电场力与重力的合力与速度在同一直线上，所以电场力只能垂直极板向上，受力如图所示 因为上极板带正电，电场力方向与板间场强方向相反，故微粒带负电；根据受力图，粒子做直线运动，则电场力与重力的合力与速度方向反向，在竖直方向 在该区域重新加上一个垂直于纸面的匀强磁场，粒子做直线运动，由于粒子受到的洛伦兹力的方向始终与速度的方向垂直，则根据二力平衡可知，洛伦兹力的方向向上，根据左手定则可知，磁场的方向垂直于纸面向外。根据二力平衡得 所以 故C正确ABD错误。 故选C。 【变式2】．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）如图所示，一根固定的足够长的光滑绝缘细杆与水平面成角，质量为、电荷量为的带电小球套在细杆上，小球始终处于磁感应强度大小为的匀强磁场中，磁场方向垂直细杆所在的竖直平面，不计空气阻力。若小球以初速度沿细杆向上运动，经过一定的时间又回到出发点，则该过程中小球（　　） A．机械能减小 B．上滑时间大于下滑时间 C．向上滑动的最大位移为 D．向下滑动时受到细杆的弹力大小一定先减小后增大 【答案】C 【详解】A．小球运动过程中，只受到竖直向下的重力、与杆垂直的洛伦兹力和弹力，由于洛伦兹力和弹力不做功，所以小球的机械能守恒，故A错误； B．小球上滑时，根据牛顿第二定律 下滑时，根据牛顿第二定律 所以 根据可知，上滑时间等于下滑时间，故B错误； C．小球向上滑动的最大位移为 故C正确； D．小球向下滑动时受到竖直向下的重力、垂直杆向上的洛伦兹力、与杆垂直的弹力，小球向下加速时，根据可知，小球受到的洛伦兹力增大，若小球回到出发点加速到时，小球受到的洛伦兹力仍小于小球垂直杆方向的分力，则根据平衡条件可知，杆对小球的弹力一直垂直杆向上减小，故D错误。 故选C。 题型三：带电粒子在直边界磁场的运动 【例3】．（25-26高二上·河北衡水·期中）如图，水平放置的挡板上方有垂直纸面的匀强磁场，一带正电粒子垂直于纸板从板上的小孔射入磁场，另一带电粒子垂直于磁场且与挡板成角射入磁场，、两个带电粒子比荷大小相等，两粒子恰好都打在板上点，不计重力，下列说法正确的是（    ） A．粒子带负电 B．在磁场中的运动时间一定大于在磁场中的运动时间 C．若磁场方向垂直纸面向里，则、的初速度大小之比为 D．若磁场方向垂直纸面向外，则、的初速度大小之比为 【答案】C 【详解】A．根据题意可知，两粒子在磁场中的偏转方向相同，所以根据左手定则可知，两粒子的电性相同，所以带正电，故A错误； B．根据粒子在磁场中做圆周运动周期 又因为，粒子比荷大小相等，所以二者周期相同。若磁场方向垂直纸面向里，粒子的运动轨迹如图1所示，此时在磁场中运动的时间大于，若磁场方向垂直纸面向外，粒子的运动轨迹如图2所示，此时在磁场中运动的时间大于，故B错误。 CD．无论磁场方向是垂直纸面向里还是向外，根据几何知识有 因为 所以粒子做圆周运动的速度为 则，故C正确，D错误。 故选C。 【变式1】．（25-26高二上·江西赣州·阶段练习）如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为的带电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，则下列说法正确的是（　　） A．粒子可能从B点射出 B．若粒子垂直于BC边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为 C．若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为 D．若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短 【答案】C 【详解】B．粒子垂直于BC边射出，其运动轨迹如图甲所示 则粒子做匀速圆周运动的半径等于D点到BC边的距离，可得，故B错误； C．粒子从C点射出，其运动轨迹如图乙所示 根据几何关系可得 解得 粒子运动轨迹对应的圆心角的正弦值为 可得θ=60° 粒子在磁场中运动的时间为，故C正确； D．由洛伦兹力提供向心力得 解得 若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，轨迹半径越大，如下图所示 粒子从AB边射出时的圆心角相同，其在磁场中运动的时间相同，故D错误； A．根据D选项的分析，可知由于BC边的限制，粒子不能到达B点，故A错误。 故选C。 【变式2】．（25-26高二上·江苏连云港·月考）如图，在竖直平面内的直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为 D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【答案】B 【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力有 可得，故A错误； B．当粒子沿x轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离y轴最近，如图轨迹1，根据几何关系可知 当粒子恰能通过N点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y轴最远，如图轨迹2，根据几何关系可知 故上表面接收到粒子的区域长度为，故B正确； C．根据图像可知，粒子可以恰好打到下表面N点；当粒子沿y轴正方向射出时，粒子下表面接收到的粒子离y轴最远，如图轨迹3，根据几何关系此时离y轴距离为d，故下表面接收到粒子的区域长度为d，故C错误； D．根据图像可知，粒子恰好打到下表面N点时转过的圆心角最小，用时最短，有，故D错误。 故选B。 题型四：带电粒子在弧形边界磁场的运动 【例4】．（25-26高二上·重庆·期中）如图所示，一半径为R的圆形区域内充满垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，O为圆形磁场区域的圆心。一带电粒子以速度v从磁场边界P点垂直射入磁场，射入时的速度方向与PO夹30°角，最后从磁场边界Q点射出。已知∠POQ=120°，不计粒子重力，则（    ） A．该粒子带正电 B．该粒子沿OQ方向射出磁场 C．该粒子在磁场中运动的半径为R D．该粒子在磁场中运动的时间为 【答案】C 【详解】ABC．带电粒子在洛伦兹力作用下在磁场中做匀速圆周运动，设圆心为，运动轨迹如图所示 由几何知识可知，在圆形磁场边界上，四边形为菱形，粒子运动轨迹的轨道半径为，由左手定则知粒子带负电，粒子离开磁场时的径向平行于，故粒子离开磁场时速度方向垂直，故AB错误，C正确； D．带电粒子在磁场中做圆周运动的偏转角度为，运动时间为，故D错误。 故选C。 【变式1】．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）如图，在半径为的圆形区域内有水平向里的匀强磁场，磁感应强度为B。圆形区域右侧有一竖直感光板MN。带正电粒子从圆弧顶点P以速率v0平行于纸面进入磁场，已知粒子质量为m，电量为q，粒子重力不计。若粒子对准圆心射入，则下列说法中错误的是（　　） A．粒子一定沿半径方向射出 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．若粒子速率变为2v0，穿出磁场后一定垂直打到感光板MN上 D．粒子以速度v0从P点以任意方向射入磁场，离开磁场后一定垂直打在感光板MN上 【答案】C 【详解】A．带正电粒子从圆弧顶点P以速率v0平行于纸面且对准圆心射入磁场，根据对称性，一定沿半径方向射出，A正确； B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有 可得 粒子在磁场中运动的周期 可得 画出粒子运动轨迹如图所示 由图知，轨迹圆弧对应的圆心角为，故运动时间为，B正确； C．若粒子速率变为2v0，则轨道半径变为2R，运动轨迹如图 粒子不是垂直打到感光板MN上，C错误； D．当带电粒子以v0射入时，带电粒子在磁场中的运动轨道半径为R，设粒子射入方向与PO方向夹角为θ，带电粒子从区域边界S射出，带电粒子运动轨迹如图所示 由几何知识，可知四边形POSO3为菱形，，因此，带电粒子射出磁场时的方向为水平方向，与入射的方向无关，离开磁场后一定垂直打在感光板MN上，D正确。 由于本题选择错误的，故选C。 【变式2】．（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，C、D、E为以O为圆心、半径为R的圆周上的点，，A为CD的中点，在OCEDO内充满垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出，O点处也有磁场），磁感应强度大小为B。一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速率从AC部分垂直于AC射向磁场区域，忽略粒子间的相互作用以及粒子的重力，只考虑粒子在一次进出磁场中的运动。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的轨道半径为R B．从CO射出磁场的粒子运动时间不同 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．粒子可能从圆弧边界射出 【答案】C 【详解】 A．如图所示，由洛伦兹力提供向心力 代入数据可得，故A错误； B．粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，则有 由图可知，部分粒子从OC边射入磁场，又从OC边射出磁场，由对称性可知，粒子偏转的圆心角为，时间为，故B错误； C．沿AO入射的粒子，与磁场圆在最低点内切，圆心角为270°，粒子在磁场中运动的最长时间为，故C正确； D．从图中可知，粒子不会从圆弧边界射出，故D错误。 故选C。 题型五：带电粒子的运动确定磁场范围问题 【例5】．（23-24高二上·山西长治·期末）如图所示，矩形ABCD中、。其内部有一圆形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一个质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子，从CD的中点以速度v垂直于CD射入正方形区域，经圆形磁场偏转后沿着AC方向从C点飞出矩形区域，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　）    A．粒子在磁场里运动的时间为 B．粒子在磁场里运动的时间为 C．圆形磁场区域的最小面积为 D．圆形磁场区域的最小面积为 【答案】C 【详解】AB．依题意，该粒子的运动轨迹如图所示    由几何关系可知 解得 可知粒子在磁场中轨迹所对的圆心角为，所以粒子在磁场里运动的时间为 又 联立，解得 故AB错误； CD．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，可得 当ab为匀强磁场的直径时，圆形磁场面积最小，设其半径为R，由几何关系可得 可得最小面积为 联立，解得 故C正确；D错误。 故选C。 【变式1】．（22-23高二上·湖北孝感·期末）如图所示，在正方形ABCD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，F点和E点分别是AB边和BC边的中点。甲、乙、丙三个质量和电量完全相同速度不同且重力不计的带电粒子从E点垂直BC边向上进入磁场区域，甲、乙、丙分别从G点（G点在B点和E点之间）、B点、F点射出磁场区域，对三个粒子在磁场中的运动下列说法正确的是（　　） A．乙粒子在磁场中的运动时间大于甲粒子在磁场中的运动时间 B．三个粒子均带正电 C．丙粒子的运动时间是甲的一半 D．如果增大甲粒子的入射速度，甲粒子在磁场中的运动时间一定变小 【答案】C 【详解】A．甲、乙两粒子均做圆周运动，垂直于磁场边界进入，垂直于磁场边界射出，运动的轨迹均为半圆，圆心角均为180°，根据周期公式 可知，周期与速度无关，所以甲、乙两粒子在磁场中运动的时间相同，A错误； B．根据左手定则，可知三个粒子均带负电，B错误； C．丙粒子运动的轨迹圆心角为90°，为甲粒子轨迹圆心角的一半，所以运动时间也为甲的一半，C正确； D．如果增大甲的速度增大，可能甲粒子的运动轨迹所对圆心角依然为180°，所以甲粒子在磁场中的运动时间可能不变，D错误。 故选C。 【变式2】．（20-21高二下·江西新余·阶段练习）如图所示，坐标平面内有边界过P （0， L）点和坐标原点O的圆形匀强磁场区域。方向垂直于坐标平面，一质量为m、电荷量为e的电子（不计重力），从P点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场区域，从x轴上的Q点射出磁场区域，此时速度与x铀正方向的夹角为60°。下列说法正确的是（　　） A．磁场方向垂直于坐标平面向外 B．磁场的磁感应强度 C．圆形磁场区域的半径为2L D．带电粒子做圆周运动的半径为L 【答案】B 【详解】 A．粒子运动轨迹如图，根据左手定则，可知磁场垂直纸面向里，A错误； BD．根据几何知识，可知粒子的轨道半径 为 又洛伦兹力提供向心力，可得 所以 D错误，B正确； C．根据几何知识可知，，所以PQ为圆形磁场的直径，所以有 所以磁场区域的半径为 C错误。 题型六：带电粒子在磁场中运动多解问题 【例6】．（23-24高二上·山东青岛·期末）长度为L的水平板上方区域存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，从距水平板中心正上方的P点处以水平向右的速度释放一个质量为m、电荷量为e的电子，若电子能打在水平板上，速度应满足（　　） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 根据分析，当半径很小或者半径很大时，电子均不能够到达水平板上，两个临界点轨迹分别与水平板相切、轨迹恰好经过水平板两端点，如图所示 根据几何关系可知 ， 解得 或 则有 故选C。 【变式1】．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期末）如图，空间分布着磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。关于O点对称的薄板MN的长度为3a，O点到MN的距离为a。O点有一粒子源，能沿纸面内任意方向发射速率相同、质量为m、电荷量为q的正电粒子。已知水平向右发射的粒子恰能垂直打在MN上，打到MN上、下表面的粒子均被吸收。不计粒子的重力，则被MN吸收的粒子在磁场中运动的最长时间为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角越大，在磁场中运动的时间越长，由题可知，水平向右发射的粒子恰能垂直打在MN上，故粒子粒子轨迹的半径为a，打到MN上、下表面的粒子均被吸收，如图所示有两种情况    打在MN上表面时，粒子运动轨迹最大的圆心角为，当粒子打在MN下表面时，若OP为轨迹圆的弦，则轨迹所对圆心角最大，其中 故粒子运动轨迹最大的圆心角为 根据可知 粒子在磁场中运动的时间为 故粒子在磁场中运动的最长时间为 故选A。 【变式2】．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷，则以下说法正确的是（    ）    A．质子的速度可能为 B．质子的速度可能为 C．质子由A到C的时间可能为 D．质子由A到C的时间可能为 【答案】C 【详解】AB．因质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示    所有圆弧所对圆心角均为，质子可能的运动半径 （n=1，2，3，…） 由洛伦兹力提供向心力得 即 （n=1，2，3，…） 质子的速度不可能为和，故AB错误； CD．质子由A到C的时间可能为 （n=1，2，3，…） 故C正确；D错误。 故选C。 题型七：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动的问题 【例7】．（25-26高二上·宁夏吴忠·期中）如图所示，边长为L的等边三角形内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，D是边的中点，一质量为m、电荷量为的带电的粒子从D点以速度v平行于边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力。 (1)若粒子垂直于边射出，求粒子做匀速圆周运动的半径； (2)若粒子从C点射出，求粒子在磁场中运动的时间t。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，若粒子垂直于边射出，画出粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可得，粒子做匀速圆周运动的半径 （2）根据题意，若粒子从C点射出，画出粒子的运动轨迹如图所示 设粒子的运动半径为，由几何关系有 解得 又有 解得 粒子在磁场中运动的周期为 则粒子在磁场中运动的时间 【变式1】．（25-26高三上·天津西青·期中）控制带电粒子的运动在现代科学实验、生产生活、仪器和电器等方面有广泛的应用。现有这样一个简化模型：如图所示，在平面的第一象限存在沿y 轴正方向的匀强电场，第四象限存在垂直于平面向里的匀强磁场。第二象限内M、N两个平行金属板之间的电压为U，一质量为、电荷量为粒子（不计粒子重力）从靠近M 板的S 点由静止开始做加速运动，粒子从y轴上的P点垂直于y 轴向右射出，然后从x 轴上的a点（d，0）离开电场进入磁场，最后从y轴上的b点离开磁场区域，粒子在b点的速度方向与y轴正方向的夹角 。求： (1)粒子运动到P 点射入电场的速度大小； (2)第一象限电场强度的大小E； (3)第四象限内磁感应强度的大小B。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据动能定理可得 解得粒子运动到P 点射入电场的速度大小 （2）粒子在第一象限的电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，则有 竖直方向做匀加速直线运动，则有 对粒子受力分析，由牛顿第二定律可得 联立解得 （3）结合上述分析可知 解得 设粒子离开电场的速度与x轴正方向的夹角为，由几何关系 解得 则粒子进入磁场中的速度 作出粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 根据几何关系可知 解得 粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 联立解得 【变式1】．（25-26高三上·河北·开学考试）如图所示，竖直平面内半径为R的圆形区域内存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里。MN为圆形区域水平直径，OK为圆形区域竖直半径，点P到直径MN的距离。一束质量为m、电荷量为−q的带电粒子沿平行于MN的方向以不同速率从P点进入匀强磁场，不计粒子重力。 (1)若粒子恰好能经过O点，求入射速度大小； (2)若粒子恰好能从N点射出，求入射速度大小； (3)求带电粒子在第（1）问和第（2）问在磁场中的运动时间之比。 【答案】(1) (2) (3)4∶1 【详解】（1）粒子轨迹如图所示 若粒子恰好能经过O点，则 解得 根据牛顿第二定律 解得 （2）若粒子恰好能从N点射出，则有 解得 根据牛顿第二定律 解得 （3）若粒子恰好能经过O点，从K点射出，所用时间 若粒子恰好能从N点射出，根据几何关系有 则β=30°，粒子所用时间为 则 【变式2】．（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，与的夹角为。一质量为、带电量为的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点处沿与成角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于的方向经过圆心进入Ⅱ区，最后再从处射出磁场。已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为，求： (1)粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的轨道半径和比值； (2)Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小（忽略粒子重力）。 【答案】(1)2:1 (2)， 【详解】（1）画出粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的运动轨迹如图所示 设粒子的入射速度为v，已知粒子带正电，故它在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针做圆周运动，最后从点射出，用、、、、、分别表示在磁场Ⅰ区、Ⅱ区的磁感应强度、轨道半径和周期，设圆形区域的半径为r，如图所示，已知带电粒子过圆心且垂直进入Ⅱ区磁场，连接，则为等边三角形，为带电粒子在Ⅰ区磁场中运动轨迹的圆心，其半径 在Ⅱ区磁场中运动的半径 即 （2）粒子在两磁场中运动的过程有， 得， 故， 圆心角，带电粒子在Ⅰ区磁场中运动的时间为 在Ⅱ区磁场中运动时间为 带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间 由以上各式可得， 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在粒子物理研究中，带电粒子在云室等探测装置中的径迹是非常重要的实验证据。右图是1932年安德森利用放在匀强磁场中的云室记录的正电子的径迹，云室中放有厚的铅板，磁场方向垂直纸面，A、B是径迹上的两个点，若不计正电子受到的重力及运动过程的阻力，下列说法正确的是（    ） A．磁场方向垂直纸面向外 B．正电子的运动方向是从A到B C．正电子在A、B两点受到的洛仑兹力大小相等 D．正电子经过铅板后，运动的周期变小 【答案】A 【详解】B．正电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 可得运动速率为 由题图可知正电子在铅板上方的轨迹半径比在铅板下方的小，则正电子在铅板上方的速率比在铅板下方的速率小，因穿过铅板后速率会减小，故正电子从下向上穿过铅板，即正电子从B运动到A，故B错误； A．正电子从B运动到A沿顺时针方向偏转，由左手定则可知，磁场的方向垂直纸面向外，故A正确； C．洛伦兹力，由于正电子在A点的速率大于B点速率，所以正电子在A点比在B点所受的洛伦兹力大，故C错误； D．根据洛伦兹力提供向心力 其中，可得 故粒子穿过铅板后在磁场中做圆周运动的周期不变，故D错误。 故选A。 2．（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）质子（）和氘核（）以相同速度分别从同一位置垂直于边界射入匀强磁场，两条运动轨迹如图中a、b所示，a的半径为，b的半径为。设、和、分别是质子、氘核在磁场中所受的洛伦兹力和运动时间，则（　　） A．质子就是元电荷，轨迹b是质子的运动轨迹 B． C． D． 【答案】B 【详解】A．质子所带的电荷量等于元电荷，但不能说质子就是元电荷，由于洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 解得 由于粒子的速度、所处磁场的磁感应强度相同，故越大，粒子圆周运动的半径越大，因此轨迹b是氘核的运动轨迹，故A错误； B．根据上述分析可知，故B正确； C．根据题意可知，故C错误； D．粒子在磁场中运动的时间之比为，故D错误。 故选B。 3．（25-26高三上·北京东城·月考）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l（）。带电粒子束持续以某一速度v沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为+q，不计粒子的重力、粒子间的相互作用，下列说法不正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为a B．粒子质量为 C．管道内的等效电流为nq D．粒子束对管道的平均作用力大小为Bnq 【答案】D 【详解】A．由图可知，粒子在磁场中运动的圆弧半径为，故A正确，不符合题意； B．粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，则有 其中 解得，故B正确，不符合题意； C．管道内的等效电流为，故C正确，不符合题意； D．粒子束对管道的平均作用力大小等于等效电流受的安培力，则有，故D错误，符合题意。 故选D。 4．（25-26高三上·广西河池·阶段练习）如图所示，水平直线的上方存在着方向垂直纸面的匀强磁场，a、b是直线边界上的两点。一带电粒子以速度v从a点以与直线成角的方向射入磁场中，经过时间t后，从b点离开磁场。不计粒子的重力，由以上条件可以确定（　　） A．粒子的比荷 B．磁感应强度的大小 C．磁感应强度的方向 D．a、b两点间的距离 【答案】D 【详解】ABC．由题可知，粒子从b点离开磁场时速度方向与直线的夹角仍为，则粒子在磁场中运动时速度的偏转角为2，根据 可得 结合 可知，则不能求解粒子的比荷和磁感应强度大小，由于粒子的电性不确定，也不能确定磁感应强度的方向，ABC错误； D．可确定a、b两点间的距离，D正确。 故选D。 5．（24-25高二下·全国·课后作业）质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场并最终打在金属板上，运动的半圆轨迹如图中虚线所示，不计重力，下列表述正确的是（　　） A．M带负电，N带正电 B．M的速率小于N的速率 C．洛伦兹力对M、N做正功 D．M的运动时间大于N的运动时间 【答案】A 【详解】A．根据左手定则可知N带正电，M带负电，故A正确； B．由洛伦兹力提供向心力，有 解得r＝ 而M的轨迹半径大于N的轨迹半径，所以M的速率大于N的速率，故B错误； C．洛伦兹力与速度垂直，所以洛伦兹力不做功，故C错误； D．M和N的运动时间都为，故D错误。 故选A。 6．（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，粒子a和粒子b所带的电荷量相同，以相同的动能从A点射入匀强磁场中，做圆周运动的半径ra＝2rb，则下列说法正确的是（重力不计）（　　） A．两粒子都带正电，质量之比＝4 B．两粒子都带负电，质量之比＝4 C．两粒子都带正电，质量之比＝ D．两粒子都带负电，质量之比＝ 【答案】B 【详解】由动能表达式Ek＝mv2 粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得粒子做圆周运动的半径r＝ 联立可得 根据题意有qa＝qb、Eka＝Ekb，可知质量m与半径r的平方成正比，故 再根据左手定则可知两粒子都带负电，故选B。 7．（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，MN为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于纸面的匀强磁场（未画出），一带电粒子从紧贴铝板上表面的P点垂直于铝板向上射出，从Q点穿越铝板后到达PQ的中点O。已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变，不计重力。铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为（　　） A．2∶1 B．∶1 C．1∶1 D．∶2 【答案】D 【详解】根据几何关系可知，带电粒子在铝板上方做匀速圆周运动的轨迹半径r1是其在铝板下方做匀速圆周运动的轨迹半径r2的2倍，设粒子在P点的速度大小为v1，动能为Ek，根据牛顿第二定律可得 因 联立可得 同理， 所以 ，故选D。 8．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子从b点沿ba方向射入磁场，粒子恰好能通过c点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图 根据几何关系，射出磁场时的速度反向延长线通过a点，磁场的半径为L，设粒子的轨迹半径为r，由几何关系得L＋r＝L 由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m 联立解得v＝ 故选C。 9．（24-25高二下·安徽·阶段练习）如图所示，空间分布有很多水平方向足够长的条形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B=1T，方向垂直纸面向里，其宽度均为，相邻两磁场区域的间距为。现将一比荷为的带正电的粒子（不计重力）从第一个条形磁场区域上边界O点以大小为的速度垂直边界进入磁场，则粒子再次回到第一个条形磁场区域上边界的时间为（取π≈3）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 粒子进入下方磁场区，圆周运动半径为R，根据洛伦兹力提供向心力 解得，粒子做圆周运动的周期为 根据粒子在空间运动的轨迹可知，它最低能进入第二个磁场区，它在磁场区运动的总时间为半个周期，它经过第一无磁场区运动方向与水平方向的夹角θ满足，所以它在无磁场区的路程 在无磁场区运动时间，总时间 故选C。 10．（25-26高三上·安徽·开学考试）如图，为范围足够大的匀强磁场的下边界，垂直纸面向外的匀强磁场的磁感应强度为。质量为、电荷量为带正电的粒子从点以速度与成角垂直射入磁场中，经过一段时间从点（图中没有标出）离开磁场，只考虑粒子所受的洛伦兹力作用。粒子从点运动到点的过程中（　　） A．粒子所受洛伦兹力冲量为零 B．粒子运动的时间最长为 C．时粒子运动的轨迹长为 D．时两点间距离大于时两点间距离 【答案】C 【详解】A．洛伦兹力不做功，由于粒子在磁场中不会做完整的圆周运动，粒子的动量变化不为零，粒子受到的洛伦兹力的冲量不为零，故A错误； B．粒子在磁场中运动的周期为 粒子在磁场中运动的时间为 因为，所以粒子运动的最长时间将大于，故B错误； C．当时粒子运动的轨迹为半个圆周，根据洛伦兹力提供向心力，有 解得圆的半径为 所以轨迹的长为 故C正确； D．由几何关系可知，当时PQ两点间距离等于 当时PQ两点间距离等于 故D错误。 故选C。 二、多选题 11．（25-26高二下·全国·课后作业）云室是借助过饱和水蒸气在离子上凝结来显示带电粒子径迹的装置。云室中加了垂直于纸面向里的磁场，在一张云室中拍摄的照片中a、b、c、d、e是从O点发出的一些正电子或负电子的径迹。关于a、b、c三条径迹判断正确的是（　　） A．a、b、c都是负电子的径迹 B．c径迹对应的粒子轨迹半径最大 C．a径迹对应的粒子动量最大 D．c径迹对应的粒子运动时间最长 【答案】AB 【详解】A．带电粒子在垂直于纸面向里的磁场中运动，根据左手定则可知a、b、c都是负电子的径迹，故A正确； B．由图可知，故B正确； C．带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得 a、b、c三个粒子都是负电子，q和m相同，都在同一磁场中运动，B相同，根据动量 可得，即径迹对应的粒子动量最大，故C错误； D．带电粒子在磁场中运动的周期 所以 粒子在磁场中运动的时间 其中为粒子在磁场中的偏转角度，由图可知a径迹对应的偏转角度最大，则a径迹对应的粒子运动时间最长，故D错误。 故选AB。 12．（25-26高二下·全国·随堂练习）如图所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（　　） A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v> C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度<v< 【答案】AB 【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即 可得粒子的半径公式 当粒子从左边射出磁场时，不打在极板上，其圆周运动的半径，则有 当粒子从极板右边射出时，不打在极板上，设粒子打在极板上的最大半径为R，由几何关系可得 可得粒子打在极板上最大半径 则要粒子从右边极板飞出，不打在极板上，应满足，即 欲使粒子不打在极板上，粒子的速度v满足v<或v>。 故选AB。 13．（25-26高二下·全国·课后作业）如图所示，在平面直角坐标系中有一个垂直纸面向里的圆形匀强磁场，其边界过原点O和y轴上的点a（0，2L）。一质量为m、电荷量为e的电子从a点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场，并从x轴上的b点射出磁场，此时速度的方向与x轴正方向的夹角为60°。下列说法正确的是（　　） A．电子在磁场中运动的时间为 B．电子在磁场中运动的时间为 C．电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为（0，－2L） D．电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为（0，－L） 【答案】AC 【详解】AB．根据题意，画出电子运动轨迹，如图所示 由几何关系可知电子的偏转角为，做圆周运动的半径为 则电子在磁场中运动的时间为，故A正确，B错误； CD．由几何关系可知，电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为（0，－2L），故C正确，D错误。 故选AC。 14．（25-26高二下·全国·课后作业）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m（重力不计）、电荷量为q（q＞0）的同种粒子，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由题意可知，粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧所对的圆心角均为120°，所以粒子运动的半径满足 即r＝·（n=1，2，3，…） 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，得qvB＝m 则v＝＝·（n=1，2，3，…） 当n=1、2时可得或 选项AB。 15．（25-26高二上·重庆·期中）如图所示，平面直角坐标系xOy中，x轴上方充满磁感应强度大小为B、垂直纸面向外的匀强磁场。在O点有一可视为质点的粒子源，沿纸面不断放出同种带负电粒子，且粒子的速率均为v，粒子射入磁场时的速度方向与x轴正方向的夹角θ的范围为60°~120°。不计粒子重力及粒子间的相互作用，已知粒子在y轴上能到达的最远距离为a，则下列说法正确的是（    ） A．粒子在磁场中运动的半径为a B．粒子射出磁场时到O点的最远距离为2a C．粒子射出磁场时到O点的最近距离为a D．从距O点最近的位置射出磁场的粒子在磁场中运动的时间可能为 【答案】ABD 【详解】ABC．如图所示 粒子从最右侧射入时，轨迹圆心为，根据几何关系可知为等边三角形，所以，故AB正确，C错误； D．从点离开磁场的粒子在磁场中转过的角度可能为，也可能是，则在磁场中运动的时间可能为 也可能是 故D正确。 故选ABD。 16．（25-26高二上·重庆·期中）如图所示，直角三角形AOC内（含边界）充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，已知∠A=30°，AO=L。在O点放置一可视为质点的粒子源，能在纸面内发射各种速率、比荷为k的带负电粒子，且粒子发射时的速度方向与边界OA的夹角均为θ。不计粒子重力和粒子间的相互作用，则（    ） A．若θ=45°，则有粒子从A点射出磁场 B．若θ=30°，则从边界OA射出磁场的粒子的最大速率为BkL C．若θ=90°，则边界OA有粒子射出的长度为 D．若θ=90°，则从边界AC射出磁场的粒子速率均大于 【答案】BD 【详解】A．粒子能从OA边射出，如图 若θ=45°，假如有粒子从A点射出，则出射方向与OA夹角为45°>30°，说明轨迹已经到达三角形区域外侧，故假设不成立，则没有粒子从A点射出，故A错误； B．若θ=30°，轨迹与斜边相切时，从OA射出时，半径最大，由几何关系知，半径最大为 根据 解得最大速率为BkL，故B正确； CD．若θ=90°，轨迹与斜边相切时，半径最大，由几何关系知 解得 则边界OA有粒子射出的长度为 根据 解得从边界OA射出粒子最大速度为 则从边界AC射出磁场的粒子速率均大于，故C错误，D正确。 故选BD。 17．（25-26高二上·吉林长春·期中）如图所示，虚线框MNPQ内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c三个带电粒子，它们在纸面内从边的中点垂直于边射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。若不计粒子所受重力，则下列说法正确的是（    ） A．粒子a带正电，粒子b、c带负电 B．若三个粒子比荷相同，则粒子c在磁场中的速度最大 C．若三个粒子入射的速度相同，则粒子c在磁场中的加速度最大 D．若三个粒子入射的动量相同，则粒子b的带电荷量最大 【答案】AC 【详解】A．由左手定则可知a带正电，b、c带负电，故A正确； BCD．由图可知Rb＞Ra＞Rc，由粒子在磁场中的运动时洛伦兹力产生向心加速度 解得，， 若三个粒子比荷相同，则粒子c在磁场中的运动速度最小；若三个粒子入射的速度相同，则粒子c在磁场中的加速度最大；若三个粒子入射的动量相同，则粒子c的带电荷量最大，故BD错误，C正确。 故选AC。 18．（25-26高二上·广西钦州·期中）如图所示，半径为的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为，为圆心。在磁场边界上点有一粒子源，粒子可以沿圆面向磁场内各个方向射出质量均为、电荷量均为的带正电的粒子，粒子射出的初速度大小相同，沿与成角斜向右下射出的粒子1在磁场中运动经过点，不计粒子的重力，则下列说法正确的是（    ） A．粒子1在磁场中做圆周运动半径等于 B．粒子1在磁场中运动的偏向角为 C．粒子1在磁场中运动的时间为 D．沿方向射入的粒子从磁场出射速度与粒子1从磁场出射速度方向相同 【答案】BCD 【详解】A．沿与成角斜向右下射出的粒子1在磁场中运动经过O点，运动轨迹如图所示 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，根据几何关系可知，故A错误； B．粒子从磁场出射时，速度与垂直，即偏向角为，故B正确； C．粒子1在磁场中，根据牛顿第二定律 周期为 粒子1在磁场中运动的时间为 联立，解得，故C正确； D．由于粒子在磁场中做圆周运动的半径等于圆形有界场的半径，因此根据磁场发散原理可知，所有粒子从磁场出射的速度方向相同，故D正确。 故选BCD。 三、解答题 19．（25-26高二下·全国·课后作业）如图所示，平面直角坐标系的第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），一带正电的粒子，电荷量为q，质量为m，从y轴上的点A沿如图所示方向射入磁场，若干时间后到达第四象限的点B，粒子在点B的速度大小为v，方向与y轴平行，不计粒子重力，求： (1)匀强磁场磁感应强度的大小； (2)粒子从点A到点B的运动时间t。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由几何关系有 解得 又有 解得 （2）设粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹的圆心角为，由几何关系有 解得 则粒子在磁场中的运动时间为 粒子在第四象限运动的时间为 则粒子从点A到点B的运动时间 20．（25-26高二上·宁夏银川·月考）一个重力不计的带电粒子以大小为的速度从坐标为（0，L）的点，平行于轴射入磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，并从轴上的点射出磁场，射出磁场时的速度方向与轴正方向的夹角为，如图所示。 (1)判断粒子的电性并用尺规作图法画出粒子的运动轨迹； (2)求粒子的比荷； (3)求粒子从点运动到点的时间。 【答案】(1)正电， (2) (3) 【详解】（1）画出粒子的运动轨迹如图所示 根据左手定则可知，粒子带正电。 （2）由几何知识得 解得 洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得， 解得 （3）粒子做圆周运动的周期为 则粒子从a运动到b所用的时间为 21．（25-26高二上·山东·期中）如图所示，在直角坐标系中，轴右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，在处放置垂直于轴的足够大的接收屏。位于原点的粒子源可沿平面向轴右侧各个方向发射相同的正电粒子，粒子速度大小相等，轨迹半径为。已知粒子的质量为，电荷量为，粒子打到接收屏上即被吸收，不计空气阻力、粒子重力及粒子间相互作用。求： (1)粒子的速度大小； (2)粒子打到接收屏上区域的长度； (3)能打到接收屏上的粒子在磁场中运动的最短时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力 解得 （2）由几何关系，粒子轨迹恰好与相切时，打到接收屏上的位置最高， 粒子沿方向进入磁场时，打到接收屏上的位置最低， 则粒子打到接收屏上区域的长度 （3）由几何关系可知，运动到点的粒子轨迹的圆心角最小， 则相应粒子运动的最短时间 解得 22．（24-25高二下·广西河池·阶段练习）如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场，磁感应强度为B。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量大小为q（电性未知），，不计重力。根据上述信息，求： (1)带电粒子的电性，在磁场中运动的速率； (2)带电粒子在磁场中运动的时间； (3)带电粒子在磁场中运动垂直于y轴射出磁场的坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由粒子的运动轨迹可知此粒子带正电，粒子恰好垂直于轴射出磁场，作两速度的垂线交点为圆心，轨迹如图所示 由几何关系可知， 洛伦兹力提供向心力，有 解得带电粒子在磁场中运动的速率为 （2）带电粒子圆周的圆心角为，而周期为 则带电粒子在磁场中运动的时间为 （3）粒子恰好垂直于轴射出磁场，圆心在轴上，圆心的横坐标为0，带电粒子在磁场中运动垂直于轴射出磁场的坐标， 带电粒子在磁场中运动垂直于轴射出磁场的坐标为。 23．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）如图甲所示，在水平面内建立坐标系，区域内有竖直向上的匀强磁场。一个质量为m、电荷量大小为q的带负电荷的粒子，从x轴上的P点以垂直于磁场的速度v射入第一象限，从y轴上某点垂直于y轴射出磁场区域。已知速度v与x轴正方向的夹角，不计粒子的重力，P点与原点O之间的距离为a。 (1)求磁感应强度B的大小； (2)若将粒子速度的大小改为，角可变，求粒子在磁场中运动的最短时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意作出粒子的轨迹如图所示 由几何关系 由洛伦兹力提供向心力得 联立解得 （2）粒子速度的大小改为后，轨迹半径变为 从O点射出时，轨迹对应的弦长最短，对应的圆心角最小，粒子运动的时间最短，如图所示 根据几何关系得 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 粒子在磁场中运动的最短时间为 24．（24-25高二下·广西柳州·阶段练习）如图所示，真空无重力空间中有一恒定的匀强磁场，处在平面第Ⅰ象限，磁感应强度的方向垂直于平面向外，大小为。沿轴放置一个垂直于平面的较大的荧光屏，点位于荧光屏上，在轴上的点放置一放射源，可以不断地沿平面内的不同方向以大小不等的速度向第Ⅰ象限放射出质量为、电荷量为的同种正粒子，这些粒子打到荧光屏上能在屏上形成一条亮线，点处在亮线上，已知，与轴负方向夹角为，且。 (1)若粒子能打到点，则粒子速度的最小值为多少？ (2)若粒子能打到点，则粒子在磁场中运动的最长时间为多少？ 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力。设粒子的初速度大小为时，其在磁场中的运动半径为，由洛伦兹力提供向心力得 若粒子以最小的速度到达点，其运动轨迹一定是以为直径的圆（如图中圆心为的圆） 则有 解得粒子的最小速度为 （2）粒子在磁场中的运动周期为 设粒子在磁场中运动时其轨迹所对应的圆心角为α，则粒子在磁场中的运动时间为 带电粒子在磁场中运动要过、两点，其运动轨迹的圆心必在连线的垂直平分线上，由图可知，在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图中轨迹圆所示。 ①如果时，则垂直轴，由几何关系有 则粒子在磁场中运动的最长时间 ②如果时，则垂直轴，由几何关系有 则粒子在磁场中运动的最长时间 25．（24-25高二下·云南昭通·期末）如图所示，平面内，在轴下方存在匀强磁场，方向垂直于纸面向外；在的区域存在匀强电场，电场强度大小为，方向与方向夹角为。一质量为、电荷量为的带正电的粒子以大小为的初速度从原点沿轴正方向射出，一段时间后粒子第一次从点进入磁场，在磁场中运动一段时间后回到原点再进入电场。不计粒子的重力，取，。 (1)求到点的距离 (2)求磁感应强度的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】带电粒子在电场中运动时，方向有 解得 粒子经第一次到达点，此时粒子在方向上速度为，则 联立解得 对粒子，方向有 解得 由 联立解得 设粒子第一次经过点时速度大小为，方向与轴正向夹角为，有 解得第一次在磁场中圆周运动半径 半径在轴方向的投影 由 联立解得 2 学科网（北京）股份有限公司 $