专题 证比例式或等积式的七种技巧（专项训练）数学沪科版九年级上册

专题09证比例式或等积式的七种技巧 题型01构造平行线法 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·广东河源·期末）是的中线，E是上一点，，的延长线交于F，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．作交于H，根据三角形中位线定理得到，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案． 【详解】解：作交于H， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵，且 ∴， ∴， 故选：C 【例1-2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，点是延长线上一点，，连接交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，如图，设交于点，可得，进而得，即得，得到，再由得到，设，则，，可得，即得，得到，再代入代数式即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设交于点， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例1-3】（23-24八年级·广东潮州·期中）中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理，作的中点G，连接，证明，即可得出，进而可证明，即可得出． 【详解】证明：作的中点G，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，E、F分别是，的中点，动点P在射线上，交于点D，的平分线交于Q，当时，（　　） A．8 B． C．4 D．10 【答案】A 【分析】延长交射线于，根据三角形中位线定理可得，从而得到，由角平分线的性质可得，从而得到，即，得到，根据，求出，最后根据三角形相似的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，延长交射线于， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、角平分线的定义、三角形相似的判定与性质，等角对等边，熟练掌握三角形中位线定理、角平分线的定义、三角形相似的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 【变式1-2】（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）在中，，、分别是、上的点，且，连接、交于点，若，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．作交于D，得到，进而得到，设，，证明，得到，推出，进一步计算即可求解． 【详解】解：作交于D，如图， ∵， ∴， ∴， 设，，则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级上·上海·假期作业）已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】过点作，构造平行四边形，得到，再根据平行线分线段成比例定理，得到和，结合即可得证． 【详解】证明：过点分别作，， 得到四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形性质、平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 题型02三点定型法 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，正方形中，点E是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连结，． (1)写出和的数量关系，并证明． (2)求证： (3)若正方形的边长为3，，求的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由“”可证，即可求解； （2）证明，可得，结合，即可证明； （3）通过证明，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ， ； （3）解：，， ， 四边形是正方形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键 【例2-2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，与交于点，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）证明可得，进而由即可求证； （）设，则，，由（）得，可得，再根据相似三角形的性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，由得，，， 由（）得，，即， 解得或（不合，舍去）， ∵， ∴． 【例2-3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，，M为的中点，交的延长线于D，交于E．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先证明，再证明，得出，根据证明，得出即可得出答案． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵M为的中点，， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，余角的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·江西赣州·期末）课本再现： （1）如图（1），是的一个外角，写出与，的数量关系______． 类比探究： （2）如图（2），是与的公共边．，． ①与的数量关系是______． ②求证：． 【答案】（1） （2）①；②详见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义以及性质，角度的相关计算，相似三角形的判定以及性质， （1）根据三角形的外角定理可得； （2）①根据1周角 ，可得，由此可得； ②证明，则可得，由此可得； 【详解】解：（1）∵是的一个外角， ∴； 故答案为：； （2）①，且， ． ， ． 故答案为∶ ； ②中， ． 又， ， ， ， ． 【变式2-2】（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，在正方形中，点关于直线的对称点为，为边上一动点，交于点，交于点． (1)当点为中点时，求证：； (2)当时，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】此题考查了正方形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质和相似三角形判定与性质是解题的关键． （）利用正方形的性质，轴对称的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （）先证明，再根据性质得出，由轴对称的性质可得，可证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【变式2-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，中，，，点是上一点，连接，过作，交于，交于． (1)求证：； (2)当为边的中点时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质： （1）证明即可； （2）过作交延长线于点，证明，得，，再证明即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， （2）解：如图，过作交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ∵为边的中点， ， ， ， ， ． 题型03构造相似三角形法 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，中，，，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质；过作交于，由相似三角形的判定方法得，，由相似三角形的性质得，，由此可得，即可求证；掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：过作交于， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【例3-2】（2024九年级·上海·专题练习）已知：如图，在四边形中，为上一点，，． (1)求证：； (2)如果、、分别是、、的中点，连接、、、．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）将变形为，由，根据三角形的内角和定理推导出，即可证明； （2）根据三角形的中位线定理得，，，，，可证明四边形是平行四形，则，再证明，得，所以． 【详解】（1）证明：如图1， ， ， ， ， ，， ， ． （2）如图2，、、分别是、、的中点， ，，，，， ，， 四边形是平行四形， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查三角形的内角和定理、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、平行线边形的判定等知识，证明四边形是平行四形及是解题的关键． 【例3-3】（22-23九年级上·四川成都·期中）已知四边形的一组对边的延长线相交于点E． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2．若，的面积为6，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形以及勾股定理等知识点，熟记相关定理内容是解题关键． （1）证即可； （2）过C作于F，于G．可求出；证得，即可求解； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：如图2中，过C作于F，于G． 在中，， ∴°， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在菱形中，，E是射线上一点，F是上一点，且，    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）连接，根据菱形的性质得出，推出是等边三角形，求得，，再根据相似三角形的性质得到，再利用等量代换即可得出结论； （2）由（1）可得，求得，根据相似三角形的性质得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴；    （2）证明：由（1）可得，， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键 【变式3-2】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在等边三角形中，点P是边上任意一点，的垂直平分线分别交，于点M，N．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】如图，由线段线段垂直平分线的性质得出，，根据等边对等角得到，．不规则由等边三解形性质得到．而可得出，即可由相似三角形判定定理得到，然后由相似三角形的性质得出结论． 【详解】证明：如图，连接，． ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴，． 又∵是等边三角形， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 即BP·CP＝BM·CN． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定定理是解题的关键 【变式3-3】（2024·九年级·上海）已知：如图，四边形中，，点在边上，与的延长线交于点，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)联结，分别延长、交于点，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定； （1）根据，可得得出，结合已知条件可得，即可得证； （2）根据已知可证明得出，，进而证明，得出，即可得出，进而根据平行四边形的性质可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图所示， ∵， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即． 题型04等比过渡法 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，四边形是平行四边形，点E是延长线上一点，连接分别与交于点F，G．    (1)若，，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，通过平行四边形对边相等且平行结合相似三角形的判定定理以及相似三角形对应边成比例进行求解是解题的关键。 （1）根据平行四边形的性质得到，进而证明，再证明，进而得到，由此可得答案； （2）先分别证明，利用相似三角形的性质推出，即． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ，即． 【例4-2】（22-23九年级上·湖南湘潭·期中）如图，在平行四边形的对角线上任取一点，过点引一直线分别与，两边的延长线交于，两点，又与，两边分别交于点，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质可得，，从而可得，，由相似三角形的性质可得比例式，两组比例式中有一组相等，则问题得证． 【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形 ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【例4-3】（22-23九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD，点E为线段AD上一点，连结CE并延长交BA的延长线于点F，连结BE、DF． (1)若△AEF面积为2，△AEB面积为3，求△FDC的面积； (2)当∠ABE＝∠DFE时，求证：． 【答案】(1)△FDC的面积为 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据等高的两个三角形的面积的比等于底的比得到，再根据平行四边形的性质和平行线分线段成比例得到，进而可求得和即可求解； （2）根据相似三角形的判定与性质证明△FBE∽△CFD得到，再由AEBC得到，进而有，即可证得结论． 【详解】（1）解：∵△AEF面积为2，△AEB面积为3， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，ABCD， ∴， ∴，， ∴=，， ∴； （2）解：∵ABCD， ∴∠BFE=∠FCD，又∠ABE＝∠DFE， ∴△FBE∽△CFD， ∴， ∵AEBC， ∴即， ∴， 即． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用等高的两个三角形的面积的比等于底的比解决问题是解答的关键． 【变式演练】 【变式4-1】（22-23九年级上·四川遂宁·期中）如图，平行四边形中，M是上的一点，连接并延长交的延长线于P，交对角线于N．求证： 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定得出，，再由相似三角形的性质即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 【变式4-2】（22-23九年级上·上海松江·期中）已知：如图，在平行四边形中，点E为线段延长线上一点，连接交于点F，且． (1)求证； (2)连接，当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，可证得，可得到，即可求证； （2）先证明，可得，再证明，可得，即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）证明：如图， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式4-3】（22-23九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在平行四边形中，点G是延长线上一点，与交于点E，与交于点F．    (1)求证：； (2)若，则与的周长之比为_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形得到，继而得到，列出比例式证明即可． （2）根据平行四边形得到，继而得到，列出比例式，结合计算即可． 【详解】（1）∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则与的周长之比为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 题型05两次相似法 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，D、E、F分别是上的点，且，．求证：．    【答案】见解析 【分析】由题意可分别证明，，分别得出，，从而得出，即． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题关键． 【例5-2】（23-24九年级上·浙江温州）如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用平行四边形性质证三角形相似求解． （1）根据平行四边形的性质，可得，，，从而可证，利用相似三角形性质求解，即可求得的长； （2）根据平行四边形的性质，可证，，从而可得，，再可得，从而证得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：在平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， ， ． 【例5-3】（23-24九年级上·福建莆田）如图所示，点P是的边的延长线上一点，连结分别交、于点M、N．    (1)图中有_________对相似三角形，请写出其中任意三对相似三角形． (2)求证：． 【答案】(1)5；， (2)见解析 【分析】（1）根据相似三角形的判定方法结合平行四边形的性质可得结论； （2）证明得到，再证明得出，从而得到，故可得出结论． 【详解】（1）图中有5对相似三角形，为： 故答案为：5； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又 ∴， ∴， ∵， ∴ 又， ∴ ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练证明相似三角形是解答本题的关键． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·上海松江·期末）已知：如图，在中，点D、E分别在边、上，，．求证： (1)； (2) 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理得到，利用相似三角形的性质得到，再证明，利用相似三角形的性质和等量代换的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， 【变式5-2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形相似的额判定与性质． （1）根据，证明，得到，由，得到，进而得到，求出，即可求解； （2）由（1）知，得到，推出，根据，证明，得到，推出，即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，即， 的值为； （2）证明：， ，即， ， ， ， ， 点D是中点， ， ， ，即， ． 【变式5-3】（22-23九年级上·山西运城·期末）如图，矩形的对角线、相交于点，延长到点，使，连接，连接交于点，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； (3)若，，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）由已知可证得，，根据相似三角形的对应边成比例即可得到； （3）由已知可得到，的长，又因为，从而求得的长，则根据就得到了线段的长度． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ∴，， 延长到点，使， ∴，， 四边形是平行四边形； （2）证明：是矩形，且， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ， ； （3）解：四边形为平行四边形，，相交点， ，， 在中， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题． 题型06等积代换法 【典例分析】 【例6-1】（21-22九年级上·上海青浦·期中）已知：如图，在中，，点P、D分别在边、上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明，再利用相似三角形的性质可得结论； 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【例6-2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在四边形中，，过D作交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线性质，得，结合，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得到证明即可． （2）根据，结合得，只需证明即，故证明即可． 本题考查了平行线的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【例6-3】（23-24九年级上·北京·期末）如图，在中，，点E，F在上，点D，G分别在上，且四边形是正方形，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，根据正方形的性质可得，，通过导角可得，进而可证，根据对应边成比例可得，等量代换可得，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴AF·BE=DE·GF，AF·BE=EF·EF ∴． 【变式演练】 【变式6-1】（九年级上·全国·专题练习）如图，是斜边上的高，在的延长线上任取一点P，连接，作于点G，交于点D．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】首先证明，得出；再通过证明，得出，两式联立即可得出． 【详解】证明：，， ． ，． ． ． ．即． 又， ． 又， ． ． ． ．即． ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等角的余角相等，熟练掌握相似三角形的判定和性质证明是解题的关键． 【变式6-2】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）在正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （）利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质定理解答即可； （）利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【变式6-3】（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在正方形中，、分别为边、的中点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如图，连接，，交于点． ①求证：； ②若，求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，由可证，可得，由余角的性质可得结论； （2）①过点作于，由可证，可得，，由平行线分线段成比例可得，由勾股定理可得结论； ②由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由相似三角形的性质可求的长，由三角形的面积可求解． 【详解】（1）证明：正方形，、分别为边、的中点， ，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：①如图，过点作于， ，，， ，， ， ∴， ，且， ， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ，且， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 题型07等线段代换法 【典例分析】 【例7-1】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，过菱形的顶点D作直线，分别交的延长线于点B，交的延长线于点C． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，掌握相关图形的性质，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，，，进而可证，可得，即可证明结论； （2）设，可知，，由（1）可得，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； （2）设， ∵，， ∴，， 由（1）可得， 解得，即． 【例7-2】（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，已知和为等腰三角形，其中，，，点B、C、D在同一直线上，连接，过点D作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质： （1）根据等边对等角得到，由根据平行线的性质得到，易证四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质可证； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形求得结合已知证得，利用相似三角形的性质可得，即，结合可得结果； 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）由（1）可知，，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； 【例7-3】（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在四边形中，，点在边上，连接、，满足，且． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求证；． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰梯形的判定、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，从而推出，得到，即可得证； （2）证明，得出，证明，再由相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形； （2）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式演练】 【变式7-1】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）已知：如图，在四边形中，，对角线与相交于点，过点作，交于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握利用两组对应角相等的三角形是相似三角形是解题的关键． （1）利用平行线的性质推导，，从而得证； （2）利用推导，再证明推导从而得证． 【详解】（1），， ，， ； （2）， ， ，且， ， ， ． 【变式7-2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知在中，是的中线，，点在边上，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质， （1）根据，得到，进而得到，再结合，从而可得结论； （2）先证明，可得，可得，再证明，可得，可得，从而可得答案． 熟练的证明三角形相似是解本题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ； （2）， ． ， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ， ，， ， ， ， 由①②可得，． 【变式7-3】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，已知中，，点E、F在边上，满足．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． （1）证明，得出，即可得出结论； （2）证明，得出，即，同理，得出，即，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ， 同理：， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09证比例式或等积式的七种技巧 题型01构造平行线法 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·广东河源·期末）是的中线，E是上一点，，的延长线交于F，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，点是延长线上一点，，连接交于点，则的值为 ． 【例1-3】（23-24八年级·广东潮州·期中）中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，E、F分别是，的中点，动点P在射线上，交于点D，的平分线交于Q，当时，（　　） A．8 B． C．4 D．10 【变式1-2】（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）在中，，、分别是、上的点，且，连接、交于点，若，的值为 ． 【变式1-3】（24-25九年级上·上海·假期作业）已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 题型02三点定型法 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，正方形中，点E是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连结，． (1)写出和的数量关系，并证明． (2)求证： (3)若正方形的边长为3，，求的长． 【例2-2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，与交于点，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【例2-3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，，M为的中点，交的延长线于D，交于E．求证：． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·江西赣州·期末）课本再现： （1）如图（1），是的一个外角，写出与，的数量关系______． 类比探究： （2）如图（2），是与的公共边．，． ①与的数量关系是______． ②求证：． 【变式2-2】（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，在正方形中，点关于直线的对称点为，为边上一动点，交于点，交于点． (1)当点为中点时，求证：； (2)当时，求证：． 【变式2-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，中，，，点是上一点，连接，过作，交于，交于． (1)求证：； (2)当为边的中点时，求的值． 题型03构造相似三角形法 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，中，，，求证：． 【例3-2】（2024九年级·上海·专题练习）已知：如图，在四边形中，为上一点，，． (1)求证：； (2)如果、、分别是、、的中点，连接、、、．求证：． 【例3-3】（22-23九年级上·四川成都·期中）已知四边形的一组对边的延长线相交于点E． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2．若，的面积为6，求四边形的面积． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在菱形中，，E是射线上一点，F是上一点，且，    (1)求证：； (2)求证：． 【变式3-2】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在等边三角形中，点P是边上任意一点，的垂直平分线分别交，于点M，N．求证：． 【变式3-3】（2024·九年级·上海）已知：如图，四边形中，，点在边上，与的延长线交于点，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)联结，分别延长、交于点，如果，求证：． 题型04等比过渡法 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，四边形是平行四边形，点E是延长线上一点，连接分别与交于点F，G．    (1)若，，求的长； (2)求证：． 【例4-2】（22-23九年级上·湖南湘潭·期中）如图，在平行四边形的对角线上任取一点，过点引一直线分别与，两边的延长线交于，两点，又与，两边分别交于点，． 求证：． 【例4-3】（22-23九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD，点E为线段AD上一点，连结CE并延长交BA的延长线于点F，连结BE、DF． (1)若△AEF面积为2，△AEB面积为3，求△FDC的面积； (2)当∠ABE＝∠DFE时，求证：． 【变式演练】 【变式4-1】（22-23九年级上·四川遂宁·期中）如图，平行四边形中，M是上的一点，连接并延长交的延长线于P，交对角线于N．求证： 【变式4-2】（22-23九年级上·上海松江·期中）已知：如图，在平行四边形中，点E为线段延长线上一点，连接交于点F，且． (1)求证； (2)连接，当时，求证：． 【变式4-3】（22-23九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在平行四边形中，点G是延长线上一点，与交于点E，与交于点F．    (1)求证：； (2)若，则与的周长之比为_______． 题型05两次相似法 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，D、E、F分别是上的点，且，．求证：．    【例5-2】（23-24九年级上·浙江温州）如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 【例5-3】（23-24九年级上·福建莆田）如图所示，点P是的边的延长线上一点，连结分别交、于点M、N．    (1)图中有_________对相似三角形，请写出其中任意三对相似三角形． (2)求证：． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·上海松江·期末）已知：如图，在中，点D、E分别在边、上，，．求证： (1)； (2) 【变式5-2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 【变式5-3】（22-23九年级上·山西运城·期末）如图，矩形的对角线、相交于点，延长到点，使，连接，连接交于点，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； (3)若，，求线段的长度． 题型06等积代换法 【典例分析】 【例6-1】（21-22九年级上·上海青浦·期中）已知：如图，在中，，点P、D分别在边、上，，求证：． 【例6-2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在四边形中，，过D作交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，求证：． 【例6-3】（23-24九年级上·北京·期末）如图，在中，，点E，F在上，点D，G分别在上，且四边形是正方形，求证：． 【变式演练】 【变式6-1】（九年级上·全国·专题练习）如图，是斜边上的高，在的延长线上任取一点P，连接，作于点G，交于点D．求证：． 【变式6-2】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）在正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【变式6-3】（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在正方形中，、分别为边、的中点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如图，连接，，交于点． ①求证：； ②若，求三角形的面积． 题型07等线段代换法 【典例分析】 【例7-1】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，过菱形的顶点D作直线，分别交的延长线于点B，交的延长线于点C． (1)求证： (2)若，，求的长． 【例7-2】（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，已知和为等腰三角形，其中，，，点B、C、D在同一直线上，连接，过点D作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【例7-3】（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在四边形中，，点在边上，连接、，满足，且． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求证；． 【变式演练】 【变式7-1】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）已知：如图，在四边形中，，对角线与相交于点，过点作，交于点．求证： (1)； (2)． 【变式7-2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知在中，是的中线，，点在边上，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式7-3】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，已知中，，点E、F在边上，满足．求证： (1)； (2)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$