第七章 概率 章末检测卷-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

北师大必修一第七章概率章末检测卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知袋中有大小、形状完全相同的张红色、张蓝色卡片，从中任取张卡片，则下列判断不正确的是(    ) A. 事件“都是红色卡片”是随机事件 B. 事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C. 事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件 D. 事件“有张红色卡片和张蓝色卡片”是随机事件 2.集合，从中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为(    ) A. B. C. D. 3.从名男同学和名女同学中任选人参加社区服务，则选中的人都是女同学的概率为(    ) A. B. C. D. 4.在一个实验中，某种豚鼠被感染病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定，，，表示被感染，，，，，，表示没有被感染．经随机模拟产生了如下组随机数： 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为(    ) A. B. C. D. 5.如图，三个自动开关，，正常工作的概率都是，且是互相独立的若将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是(    ) A. B. C. D. 6.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为，，，，，的个小球，从中任意摸出两个球设事件“摸出的两个球的编号之和不超过”，事件“摸出的两个球的编号都大于”，事件“摸出的两个球中有编号为的球”，则(    ) A. 事件与事件是相互独立事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件是互斥事件 D. 事件与事件是互斥事件 7.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有，，，四个数字，这些小球除数字外都相同．小红、小明两人玩“猜数字”游戏，小红先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为，再由小明猜这个小球上的数字，记为如果，满足，那么就称小红、小明两人“心心相印”，则两人“心心相印”的概率是(    ) A. B. C. D. 8.已知，，，，，，均为正整数，这七个数的平均数为，方差为，若从这个数中随机抽取一个数，则该数为奇数的概率为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是(    ) A. 数据，，，，，，，的第百分位数是 B. 若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥 D. 若事件与事件相互独立，，，则 10.一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球标号为和，个白色球标号为和，从袋中不放回地依次随机摸出个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于”，则 A. 与互斥 B. 与相互独立 C. D. 11.不透明的袋子中装有两个分别标有数字，的红球和四个分别标有数字，，，的黄球，这些球除颜色和数字外完全相同，从袋子中随机取出两个球，则(    ) A. 这两个球颜色相同的概率小于颜色不同的概率 B. 至少有一个红球被取出的概率为 C. 这两个球上的数字相同的概率为 D. 这两个球上的数字之和为偶数的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行次后统计发现，红色小球出现了次，黄色小球出现了次则袋中红球最有可能有          个 13.某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件为“只订甲报纸”，事件为“至少订一种报纸”，事件为“至多订一种报纸”，事件为“不订甲报纸”，事件为“一种报纸也不订”下列命题正确的是          ． 与是互斥事件    与是互斥事件，且是对立事件 与不是互斥事件    与是互斥事件 14.甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛，最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 写出下列随机试验的样本空间： 连续抛掷一枚硬币次，记录正面出现的次数 从一副扑克牌去掉大、小王，共张中随机选取张，记录它的花色． 16.本小题分 某社团为统计居民运动时长，调查了某小区名居民平均每天的运动时长单位：，并根据统计数据分为，，，，，六个小组所调查的居民平均每天的运动时长均在内，得到的频率分布直方图如图所示． 求出图中的值，并估计这名居民平均每天的运动时长的中位数； 按分组用分层随机抽样的方法从平均每天的运动时长在，这两个时间段内的居民中抽出人分享运动心得，若再从这人中选出人发言，求这人来自不同分组的概率． 17.本小题分 新高考实行“”选科模式，其中“”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考；“”为首选科目，从物理、历史中选择一科；“”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科． 写出所有选科组合的样本空间从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率； 甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率． 18.本小题分 有，，，四位贵宾，应分别坐在，，，四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．     求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；     求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；     求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率 19.本小题分 甲、乙、丙、丁名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同． 求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率； 求甲获得冠军的概率； 求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率． 答案和解析 1.【答案】  【解析】袋中有大小、形状完全相同的张红色、张蓝色卡片，从中任取张卡片， 在中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确； 在中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确； 在中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误； 在中，事件“有张红色卡片和张蓝色卡片”是随机事件，故D正确． 故选：． 2.【答案】  【解析】若个位数取自集合，十位数取自集合，则共有个； 若个位数取自集合，十位数取自集合，则共有个， 这两类取法中重复的有数字，故所有样本点的个数为． 故选：． 3.【答案】  【解析】名男同学设为，，名女同学设为，，， 从个人中任选人参加社区服务，包含的基本事件为： ，，，，，，，，，，共个， 其中，选中的人都是女同学有：，，，共个， 故选中的人都是女同学的概率． 故选：． 4.【答案】  【解析】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染， 随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有，，，，共个， 故三只豚鼠都没被感染的概率为， 则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为， 故选：． 5.【答案】  【解析】记“三个元件，，正常工作”分别为事件，，， 则，，， ， 不发生故障的事件为， 不发生故障的概率为． 故选：． 6.【答案】  【解析】事件空间为，其中表示编号为和的两小球共个 列举各事件如下：  ，共个  ，共个  ，共个 对于：因为 ，事件与事件不是相互独立事件，故A错误； 对于：事件，事件与事件不是互斥事件，一定不是对立事件，故B错误； 对于：事件，事件与事件不是互斥事件，故C错误； 对于：事件 ，事件，，事件与事件是互斥事件，故D正确． 故选：． 7.【答案】  【解析】根据题意，，的情况如下：，，，，，，，，，，，，，，，，共种情况， 其中，满足的情况如下： ，，，，，，，，，，共种情况， 所以两人“心心相印”的概率是， 故选：． 8.【答案】  【解析】由平均数为，得七个数总和为， 根据方差公式，得， 设为正整数，故，则且， 为整数，可能取值为， 设中取的有个，的有个，的有个，的有个，的有个，的有个， 满足：总数，和为，平方和为， 解得可能的组合如；；， 对应分别为：奇数为，，，共个奇数为，，，共个奇数为，，，共个，，，，，，奇数为，，，共个，无论哪种组合，奇数个数均为，概率为． 故选：． 9.【答案】  【解析】选项 A：因为， 则第百分位数是，故A错误； 选项B：因为原样本数据的方差为， 则新数据的方差为，故B正确； 选项C：“第一次正面朝上”与“第二次反面朝上”可同时发生，不满足互斥事件的定义，故C错误； 选项D：因事件与相互独立，故， 则，故D正确． 故选：． 10.【答案】  【解析】 对于选项A，当摸出号和号球或号和号球时，、同时发生，故A与不互斥，所以选项A错误； 对于选项B，一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球标号为和，个白色球标号为和，从袋中不放回地依次随机摸出个球． 样本空间，，，，，， ，，，，，，共个， 事件，，，，，，，， 事件，，，，，，，， 事件，，，，，， 所以，，，， 所以，所以与相互独立，所以选项B正确； 对于选项C，，所以选项C正确； 对于选项D，，， 所以，所以选项D错误． 11.【答案】  【解析】从袋子中随机取出两个球，样本空间红，红，红，黄，红，黄， 红，黄，红，黄，红，黄，红，黄，红，黄，红，黄， 黄，黄，黄，黄，黄，黄，黄，黄，黄，黄，黄，黄． 选项，样本空间共种情况数，其中两个球颜色相同的情况有种，颜色不同的有种， 这两个球颜色相同的概率为，颜色不同的概率为是，A正确． 选项，至少有一个红球的情况有种，故概率为是，不正确． 选项，这两个球上的数字相同情况有种，故概率为，C正确． 选项，这两个球上的数字之和为偶数的情况有种，概率为，不正确． 故选： 12.【答案】  【解析】红色出现的频率为，所以红球出现的概率应接近， 设袋子中红球的个数为， 当时，， 当时，， 当时，， 所以当时，最接近， 所以袋中红球最有可能有个． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】由于事件“至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件与事件有可能同时发生，故A与不是互斥事件，错误； 事件“至少订一种报”与事件“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与是互斥事件．由于事件不发生可导致事件一定发生，且事件不发生会导致事件一定发生，故B与是对立事件，正确； 事件“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”、“只订乙报”、“订甲、乙两种报”；事件“至多订一种报”中有这些可能：“什么报也不订”、“只订甲报”、“只订乙报，故B与不是互斥事件，正确； 易知事件“一种报也不订”只是事件的一种可能，事件与事件有可能同时发生，故C与不互斥，错误． 故答案为． 14.【答案】  【解析】甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分， 三队中选一队与甲比赛，甲输，例如是丙甲概率是， 若甲与乙、丁两场比赛都输，则乙、丁、丙积分都大于甲，不合题意； 若甲与乙、丁两场比赛都平，则丙积分一定大于甲，不合题意； 若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得分， 这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于分，不合题意， 在丙输的情况下，乙、丁已有分， 那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中至少有一人得分不小于分，不合题意； 若甲与乙、丁的两场比赛一赢一输或一平一输，则甲的积分一定不大于丙，不合题意； 若甲与乙、丁两场比赛全赢概率是时，甲得分，则其他人分数最高为分， 这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢， 否则丙的分数不小于分，只有全平或全输或一输一平， 若丙一平一输，概率，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率； 若丙两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意； 若两场丙都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是； 综上概率为． 故答案为：． 15.【解析】连续抛掷一枚硬币次，正面出现的次数可能为，，，，，， 故样本空间为． 从一副扑克牌去掉大、小王，共张中随机选取张，它的花色可能为红桃，黑桃，方块，梅花， 故样本空间为红桃，黑桃，方块，梅花．  16.【解析】根据题意可得，所以． 因为前几组的频率依次为，，， 所以中位数在内，设中位数为，则，得； 由题知，平均每天运动时长在，内的频率分别为，， 则应从平均每天运动时长在，内的居民中分别抽出人，人． 记时间段内的人分别为，，，，， 记时间段内的人为， 则从这人中选出人的所有可能有： ，，，，，， ，，，，，， ，，，共个， 人来自不同分组的所有可能为：，，，，，共个， 所以这人来自不同分组的概率为．  17.【解析】依题意，样本空间为物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，史化生，史化地，史化政，史生地，史生政，史地政，， 记事件“所选组合符合该大学某专业报考条件”， 则物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，， 所以；   记事件“甲符合该大学某专业报考条件”， 事件“乙符合该大学某专业报考条件”， 事件“甲、乙两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件”， 由可知，， 所以 ． 18. 【解析】将，，，四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来．                              席位  席位  席位  席位  席位  席位  席位  席位                                席位  席位  席位  席位    席位  席位  席位  席位 由图可知，所有的样本点共有个． 设事件为“这四人恰好都坐在自己的席位上”， 则事件只包含个基本事件，所以． 设事件为“这四人恰好都没坐自己的席位上”， 则事件包含个基本事件，所以． 设事件为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”， 则事件包含个基本事件，所以． 19.【解析】 由题意知乙仅参加两场比赛连负两场，即第、场比赛皆负， 概率为  ； 甲要获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种：胜胜胜；负胜胜胜；胜负胜胜， 故甲获得冠军的概率为   ； 若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有种情况：甲胜胜，乙负胜胜；甲负胜胜，乙胜胜； 所以甲乙在决赛第二次相遇的概率为   ； 若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第场和第场相遇， 两人参加的比赛结果有种情况：乙胜胜，丙胜负胜；乙胜负胜，丙胜胜； 同时要考虑甲在第场和第场的胜负情况， 故乙丙在第场和第场相遇的概率为    ， 若乙的决赛对手是丁，情况和丙一样， 故乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $