章节测评卷(五)测试范围：概率-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第一册同步学案（北师大版）

高中数学必修第一册 章节测评卷（五） 测试范围：概率 ◎数理报社试题研究中心 第I卷选择题（共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.某机构对某银行窗口服务进行了一次调查，得到如下数据： 等待时间（分钟） [0,5) [5,10 10,15) [15,20) 20,25 高 人数 8 7 2 数 则估计顾客的等待时间少于15分钟的频率是 ( (A)0.19 (B)0.24 (C)0.38 (D)0.76 必 2.若事件A与B互斥，且P(A)=0.3,P(B)=0.3,则P(AU 第 B) ( ) 册 (A)0.3 (B)0.4 (C)0.5 (D)0.6 3.某地新高考实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物 理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式 某同学已选了物理，记事件A=“他选择政治和地理”，事件B=“他 章节 选择化学和地理”，则事件A与事件B ( (A)是互斥事件，不是对立事件 (B)既是互斥事件，也是对立事件 (C)既不是对立事件，也不是互斥事件 (D)无法判断 4.已知三家公司同时生产某一产品，它们的市场占有率分别为 20%,35%,45%,且对应的次品率为3%，2%，1%，则该产品的次品 率为 (A)6% (B)1.75% (C)1% (D)3% 5.刘徽是魏晋时代著名数学家，他给出 的(2k+1)阶幻方被称为“神农幻方”.所谓 幻方，即把1,2，…，n2排成n×n的方阵，使其 每行、每列和对角线的数字之和均相等.下表是刘徽构作的3阶幻 方，现从中随机抽取和为15的三个数，则含有4或6的概率是 ( 3 (A) 3-8 (B) (C) (D) 6.在贵州“村超足球”比赛中通常要求双方穿着颜色不同的球 衣，已知甲队有白、黑、红、黄4种颜色的球衣，乙队有蓝、白、黑、红4 种颜色的球衣.若甲、乙两队随机挑选一套球衣进行比赛，则他们的 球衣颜色符合要求的概率为 ( )君 (B)君 (c)日 (号 7.某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概 率分别为，分号，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好 投中两次的厨率为子，则p ( () (B)方 (D 8.素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜 想.19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜 想”：对所有自然数k,存在无穷多个素数对(P,p+2k).其中当k=1 时，称(p,P+2)为“孪生素数”，k=2时，称(p,p+4)为“表兄弟素 数”.在不超过30的素数中，任选两个不同的素数p,9(p<q),令事 件A={(p,q)为孪生素数}，B={(p,9)为表兄弟素数}，C={(p, q)Iq-p≤4}，记事件A,B,C发生的概率分别为P(A),P(B), P(C),则下列关系式成立的是 () (A)P(A)P(B)=P(C) (B)P(A)+P(B)=P(C) (C)P(A)+P(B)>P(C) (D)P(A)+P(B)<P(C) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.已知事件A,B满足P(A)=0.2,P(B)=0.6,则（) (A)事件A与B可能为对立事件 (B)若A与B相互独立，则P(AB)=0.48 (C)若A与B互斥，则P(AUB)=0.8 (D)若A与B互斥，则P(AB)=0.12 10.一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字 1,2,3,现分别用三种方案进行摸球游戏.方案一：任意摸出一个球并 选择该球；方案二：先后不放▣的摸出两个球，若第二次摸出的球号 码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球；方 案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球.记三种方案选到3 号球的概率分别为P,P2,P3,则 ( (A)P P2 (B)P P3 (C)P2>P3 (D)P,+P2+P3= 11.如图1所示的电路中，5只箱子表示 保险匣分别为A,B,C,D,E.箱中所示数值表 示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正 确的是 ( (A)AB所在线路畅通的概率为 图 (B)ABC所在线路畅通的概率为 6 (C)DE所在线路畅通的概幸为0 、(D)当开关合上时，整个电路畅通的概率为公 第Ⅱ卷非选择题（共92分) 高 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.抛掷两枚骰子，向上一面的点数之和能被3整除的概率为 13.某商场举行有奖促销活动，购满100元商品得1张奖券，多购 多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二 第 等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B, 册 C,则1张奖券的中奖概率为 14.甲、乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选 詣 手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题 得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为2，乙队中3名选手 版 答对题的概率分别为号，子，子在第一轮比赛中，甲队得x分，乙队 节 得y分，则在这一轮中，满足0<x-y≤2且y≠0的概率为 卷 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分)在一只袋子中装有若干个红玻璃球和绿玻璃球，从 中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率 为5，取得两个绿玻璃球的概率为5 (1)求取得两个同颜色的玻璃球的概率； (2)求至少取得一个红玻璃球的概率. 16.(15分)如图2，在一条无限长的轨道上，一个质点最初位于 位置0，规定：每次投掷一枚质地均匀的硬币，若正面向上，则质点向 右移动一个单位，若反面向上，则质点向左移动一个单位，设投掷 次硬币后，质点位于位置Xn(n=1,2,3,4) (1)请直接写出P(X,=1)和P(X2=1)的数值； (2)用a表示质点向右移动一个单位，用b表示质点向左移动一 个单位，请写出投掷4次硬币的样本空间2，并证明：P(X4=0)> P(X4=2) 4-3-2-101234 图2 高中数学·必修第 17.(15分)某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场 册（北师 脑力竞技赛，A,B两队各由4名选手组成，共赛四局，每局两队各派 名选手比赛，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每 局的负者得0分假设每局比赛A队选手获胜的概率均为子，且各局 章 比赛结果相互独立，求比赛结束时A队的得分高于B队的概率. 测评卷（五） 18.(17分)为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现」 该年级组织了一次测试.已知此次考试共有1000名学生参加，将考 试成绩分成六组：第一组[30,50)，第二组[50,70)，…，第六组[130， 150],整理数据得到如图3所示的频率分布直方图 (1)该校根据试卷的难易程度进行分析，认为此次成绩不低于 110分，则阶段性学习达到“优秀”，试估计这1000名学生中阶段性 学习达到“优秀”的人数： (2)若采用等比例分层随机抽样的方法，从成绩在[50,70)和 [110,130)内的学生中共抽取6人，查看他们的答题情况来分析知 识点的掌握情况，再从中随机选取3人进行面对面调查分析，求这3 人中恰有1人成绩在[110,130)内的概率 频率 个组距 0.020 0.014 0.008 0.004 0.002十 030507090110130150成绩/分 图3 19.(17分)随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉 及到一个国家经济、金融、政治等安全.为提高中学生的网络安全意 识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手 两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解 密，每份文件只有一次解密机会.已知甲每次解开密码的概率为 a(分≤Q<1),乙每次解开密码的概率为B(分≤B<1),每次是 否解开密码也互不影响.设A,={甲成功解密一份文件}，A,={甲 成功解密两份文件}，B,={乙成功解密一份文件{，B2={乙成功解 密两份文件}。 （)已知概率P(4,)=子，P(B,)=子 (i)求a,B的值 (ⅱ)求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率， (2)若女+日-3，求甲，乙两次解密过程中一共解开密码三次 高中数学· 的概率最小值 必修 一册（北师大版）章节测评卷（五） (参考答案见18~20版)18 +13×0.02+14×0.02)=7.68>7.5,故(A)正确； 对于(B),家庭年收入不低于8.5万元所占的比例 为0.1+0.1+0.04+0.02+0.02+0.02=0.3，故(B) 错误； 对于(C),该地农户家庭年收入低于4.5万元的农 户比率估计为(0.02+0.04)×1=6%，故(C)错误； 家庭年收入介于4.5万元至7.5万元之间的频率为 0.1+0.14+0.2=0.44<0.5,故(D)错误 故选(B)(C)(D). 11.设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列 为x1,x2x3,4x5 则x1≤x2≤：≤x4≤x5,x3=26,且24至少出现 2次，故x1=x2=24,（A)正确； 设乙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为 y1,y2,y3,y4,y5, 则y1≤2≤y3≤y4≤y5y3=29,取y1=20,y2= 23,y4=29,y5=29,可得其满足题中条件，但有2场得分 低于24，(B)错误； 设丙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为 21,2223,2425, 由已知5[(a-26)2+(a2-26)2+(23-26)2+ (24-26)2+(25-26)2]=9.6, 所以(21-26)2+(2-26)2+(23-26)2+(24- 26)2+(z5-26)2=48, 若z4≥32，则5≥32， 所以(z1-26)2+(z2-26)2+(3-26)2+(a4- 26)2+(a5-26)2>72,矛盾， 所以5=32，(a1-26)2+(z2-26)2+(23-26)2 +(z4-26)2=12, 因为31,2,3,24,5的平均数为26， 所以名1+2+23+24=98， 取21=23,22=25,23=25,34=25，满足要求，但有 一场得分低于24分，(C)错误； 因为5×60%=3，所以丙球员连续5场比赛得分的 60%分位数为京， 若产≤24，则时产≤24，故+++< 98,矛盾，所以32产>24，所以丙球员连续5场比赛得 分的60%分位数大于24，(D)正确 故选(A)(D). 三、填空题 12.572:13.0.94:14.24. 提示： 12.由题意向右读数依次为：774,946,774,428,114， 572,042,533,…, 所以符合条件的种子中，第4颗被检验的种子编号 为572. 13.估计该地区中学生每天睡眠时间的平均数为 800 1200 1200+800 ×9+1200+800 ×8=8.4(小时)， 估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为 800 1200+800 ×[1+9-84)]+72003 1200 ×[0.5+ (8-8.4)2]=0.94. 14.由于用前n个区间的平均长度估计所有(n+ 1)个区间的平均长度N n+1; 而缴获坦克的编号是3,5,12,18,20，即n=5,x5=20, 故9=3十所以N=24, 则统计学家利用上述方法估计德军每月生产的坦克数 为24. 参考答案 四、解答题 15.解：(1)整理数据如下表： 健康 基本健原 不健康尚能自理 不能自理 80岁及 20 45 20 15 以上人数 80岁 200 225 50 25 以下人数 根据分层随机抽样的知识，从样本中健康状况为不 能自理的老人中抽取8人， 15 80岁及以上老人应抽取8× 25+15 =3(人)， 25 80岁以下老人应抽取8× 25+15 =5(人). (2)在600人中，80岁及以上老人的占比为 15+20+45+20= 600 6 因为户籍人口800万人，其中60岁及以上的老人约 有120万人， 所以80岁及以上老人占该市户籍人口的百分比估 800 16.解：(1)由题意可知：每组的频率依次为0.02， 0.08,0.5a,0.20,0.26,0.5a,0.06,0.04,0.02, 则0.02+0.08+0.5a+0.20+0.26+0.5a+0.06 +0.04+0.02=1,解得a=0.32; 因为全市居民中月均用水量不低于3t的频率为 0.06+0.04+0.02 =0.12, 所以估计全市居民中月均用水量不低于3t的人数 为200×0.12=24（万）. (2)因为0.12<0.15,0.12+0.16=0.28>0.15， 可知x∈[2.5,3)，则0.12+0.32(3-x)=0.15, 解得x= 93 32 ≈2.9. 17.解：(1)15个评分按从小到大的顺序排列为8.2， 8.5,8.6,8.7,8.8,8.9,8.9,8.9,9.0,9.1,9.2,9.5,9.6, 9.7,9.8. 又15×0.25=3.75， 所以25%分位数为从小到大排列后的第4个数，即 8.7分 (2)15×0.95=14.25, 所以95%分位数为从小到大排列后的第15个数， 即9.8分 所以优先推荐酒店的评分必须达到9.8分， 所以若某酒店的评分为9.6分，则该酒店不能被列 为优先推荐酒店。 18.解：(1)频率分布直方图如下图： 频率 组距 质量 0758595105115125指标值 (2)质量指标值的样本平均数为 x=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22 +120×0.08=100. 因为[75,85)，[85,95)总频率为0.32，[95,105)频 率为0.38，所以中位数在[95,105)范围内， 设中位数为x,有0.32+(x-95)×0.038=0.5, 解得x≈99.74， 故质量指标值的样本中位数为99.74. (3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计 值为0.38+0.22+0.08=0.68， 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的 数理极 这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全 部产品80%”的规定 19.解：(1)由题可知，x=30×0.06+40×0.1+50 ×0.16+60×0.3+70×0.2+80×0.1+90×0.08= 61, $2=(30-61)2×0.06+(40-61)2×0.1+(50- 61)2×0.16+(60-61)2×0.3+(70-61)2×0.2+(80 -61)2×0.1+(90-61)2×0.08=241. (2)因为32=241，知s≈16， 则a=5×,}=54=5×[] =75, 所以该抽样数据落在[45,75]内的频率为 0.16+0.3+0.2=0.66=66%>65%, 又4=5×{8号x}=D购=5×[8号x6] =90. 所以该抽样数据落在[30,90]内的频率约为 1-0.03-0.04=0.93=93%<95%, 所以可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但 不能判定生产线技术改造成功： 高中数学必修第一册章节测评卷（五） 一、单项选择题 1.D;2.D;3.A;4.B; 5.C:6.D:7.A:8.D. 提示： 1.由题意可得顾客的等待时间少于15分钟的频率 4+8+7 是4+8+7+4+2 =0.76. 2.由互斥事件的概率加法公式得P(AUB)= P(A)+P(B)=0.3+0.3=0.6. 3.因为事件A和事件B不能同时发生，所以事件A 和事件B是互斥事件 因为该同学还有政治和化学、政治和生物等不同选 择，所以事件A和事件B不是对立事件. 综上所述，事件A和事件B是互斥事件，不是对立 事件 4.由题设，该产品的次品率为20%×3%+35%× 2%+45%×1%=1.75%. 5.所有和为15的3个数的情况为(1,5,9)，(1,6， 8),(2,4,9),(2,5,8),(2,6,7),(3,4,8),(3,5,7),(4, 5,6),共有8种，其中含有4或6的情况共有5种， 所以含有4或6的概率是8 6.双方随机挑选一套球衣进行比赛，则一共有4×4 =16种不同的组合情况， 其中只有双方都选白色或都选黑色或都选红色时 不符合要求，共有3种情况， 故他们的球衣颜色不符合要求的概率为。，符合要 求的概率为1-。-号 16 7.在甲、乙、丙处投篮投中分别记为事件A,B,C, 则P(A)=P,P(B)=,P(C=子 可知恰好投中两次为事件ABC,ABC,ABC, 故恰好投中两次的概率P=p×7×（1-子）+ n×(1-3)×号+1-p)x分x号=5+石 令，解得p=子 8.不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共 10个， 随机选取两个不同的素数p,q(p<q), 数理极 有10×9=45（种）选法， 2 事件A发生的样本点为(3,5)，(5,7)，(11,13)， (17,19),共4个 事件B发生的样本点为(3,7)，(7,11)，(13,17)， (19,23),共4个， 事件C发生的样本点为(2,3)，(2,5)，(3,5)，(3， 7),(5,7),(7,11),(11,13),(13,17),(17,19),(19, 23),共10个， 所以P)=P(B)=若PO=8=子 故P(A)+P(B)<P(C). 二、多项选择题 9.BC:10.ABD:11.BD. 提示： 9.对于(A),由P(A)=0.2,P(B)=0.6,则P(A) +P(B)≠1，(A)错误； 对于(B),A与B相互独立，则A与B相互独立， P(AB)P(A)P(B)=[1 -P(A)]P(B)= 0.48,(B)正确； 对于(C)(D),A,B互斥，则P(AUB)=P(A)+ P(B)=0.8,P(AB)=0,(C)正确，(D)错误 故选(B)(C) 10,方案一：“选到3号球”的概率P=分， 方案二：“选到3号球”的概率P,=名 方案三：同时摸出两个球共有：1,2}，1,3}，2,3 共3个基本事件，“选到3号球”包含{1,3}，2,3}共2 个基木事件，“选到3号球”的概率B=子， 所以P<B,P<P,P<P,P,+B+P=) (A)(B)(D)正确，(C)错误 故选(A)(B)(D). 11.由题意知，A,B,C,D,E保险闸被切断的概率分 别为P(A)=P(B)=3P(C)=子，P(D)=方 P(E)=石，所以A,B两个盒子畅通的概率为) 子，因此(A)错误 D,E两个盒子并联后畅通的概率为1- -0=器，因此(C)错误： 4,B,C三个盘子混联后杨通的概率为1-子×4 =1-石=名，(B)正确 根据上述分析可知，当开关合上时，电路肠通的概 率为器×各-(D)正确 故选(B)(D). 三、填空题 12分：1380：14 61 288 提示： 12.记两枚骰子向上一面的点数分别为a,b,样本空 间的样本点个数为36， “向上一面的点数之和能被3整除”的情形有(1， 2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6), (6,3),(4,5),(5,4),(6,6),共12种 听以向上一面的点数之和能被3整除的概率为 …参考答案 13.设事件M=“1张奖券中奖”，则M=AUBUC, 因为率件AB,C两两互斥，且P(A)=0P(B) = 00-100(C) ,50 1000 20 所以P(M)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+ Pr1d++0=0 =1000 故1张奖券的中奖概率为000 61 14.依题意甲队在一轮比赛中得2分的概率为： 甲队在一轮比赛中得3分的概率为： =xx=名 2 8 乙队在一轮比赛中得1分的概率为： P=子×(-)×(-)+3×(1-号) ×(1-4）+4×(1-)×(1-号)=最 乙队在一轮比赛中得2分的概率为： =号x分×(-)+号×(-)× .1 设在这一轮中，满足0<x-y≤2且y≠0为事件A, 则A包含①甲队得2分，乙队得1分，②甲队得3分， 乙队得1分，③甲队得3分，乙队得2分，共3种情况， 所以P(A)=P,P+P,P1+P,P=x+是X 8×368 +1×是=79 17 36836 -288 即在这一轮中，满足0<x-y≤2且y≠0的概率 79 为288 四、解答题 15.解：(1)设“取得两个红玻璃球”为事件A,“取得 两个绿玻璃球”为事件B, 则P(A)=5,P(B)=5,P(AB)=0, 即事件A,B互斥， 所以取得两个同颜色的玻璃球的概率为 PAU)=PA)+P氏)=S+5=音 (2)至少取得一个红玻璃球的的对立事件为事件B, 所以其概率为1-P()=1-5=号 16.解：(1)P(X=1)=3,P(X,=1)=0. (2)投掷4次硬币的样本空间2为： a,a,a,a,a,a,a,b,a,a,b,aj,a,b,a,aj, b,a,a,aj,a,a,b,bj,ia,b,a,bj,a,b,b,aj,16,b,a, aj,ib,a,a,6,ib,a,b,aj,ia,b,b,b3,ib,a,b,b,1b, b,a,63,16,6,b,aj,16,b,b,6j. X4=2包含的样本点有{a,a,a,b},{a,a,b,a},{a, ba,a,b,aa,a,所以P(X=2)=是=子 16 X4=0包含的样本点有{a,a,b,b},{a,b,a,b},{a, b,b,a,b,b,a,a,b,a,a,b,b,a,b,a,P(X =0)== 故P(X4=0)>P(X4=2) 17.解：比赛结束时A队的得分高于B队有三种情 况： (1)A队5分B队0分，即A队四局全胜，其概率为P =(号)”=始 (2)A队4分B队1分，即A队第一、二、四局中败1 19 局，第三局胜，其概率为P=3×号×（子）×子 27 (3)A队3分B队2分，包括两种情况： ①A队第三局败，其余各局胜；②A队第一、二、四局 中胜1局，第三局胜 其概率为A=(号)×写+3×子×（兮）× -20 由互斥事件的概率加法公式可得所求概率P=16 81 18.解：(1)由频率分布直方图，可得学生成绩在 [130,150]内的频率为0.04，在[110,130)内的频率为 0.16, 故估计这1000名学生中阶段性学习达到“优秀”的 人数为1000×(0.04+0.16)=200. (2)学生成绩在[50,70)内的频率为0.08，在[110， 130)内的频率为0.16， 则抽取的6人中，成绩在[50,70)内的有2人，在 [110,130)内的有4人. 记成绩在[110,130)内的4名学生为a,b,c,d,在 [50,70)内的2名学生为E,F, 则从6人中任选3人，样本空间2={abc,abd,abE, abF,acd,acE,acF,adE,adF,aEF,bed,beE,beF,bdE,bdF, bEF,cdE,cdF,cEF,dEF},共包含20个样本. 用事件A表示“这3人中恰有1人成绩在[110,130) 内”，则A=aEF,bEF,cEF,dEF},包含4个样本. 故所求概率以(A)=去=行 20 19.解：(1(i)由题知P(A)=2a(1-。)=令， P(B,)=E=号 解得Q=子日=子 (i)由(i)知P(4)=d=6,P(B,)=2B1 4 B) 记事件A=“甲、乙两次解密过程中一共解开密码 三次”， 则A=AB2+A2B1, 又AB2与AB,互斥，A1与B2,A2与B1分别相互独立， 所以P(A)=P(AB2)+P(A2B) =P(A1)P(B2)+P(A2)P(B) 4 因此，甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的 概率为号 (2)由题知人+=3，所以a+B=3a, B P(A1)=2a(1-a),P(A2)=a2,P(B1)=2B(1- B),P(B2)=B, 记事件A=“甲、乙两次解密过程中一共解开密码 三次”， 则A=AB2+A2B1, 又A,B2与AB互斥，A1与B2,A2与B,分别相互独立， 所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B,) =P(A)P(B2)+P(A2)P(B) =2a(1-a)B2+2B(1-B)a2 =2aB(a+B-2aB)=2(aB)2, 因为a+B=3a8≥2V师，所以8≥号，当且仅当 20 Q=B=子时等号成立，此时9取最小值号 所以P(4)=2()产取最小值品 故甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率 最小值为导 高中数学必修第一册核心素养综合测评卷（一） 一、单项选择题 1.B;2.C;3.B;4.D; 5.A:6.A;7.B:8.A. 提示： 1要使函数)=人+-x有意义， 则0，。 解得x≤1且x≠0， 11-x≥0， 所以函数f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,1]. 2.存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以3aeR,ax2+1=0有实数解的否定是Ha∈ R,ax2+1=0无实数解. 3.从随机数表的第1行第5列开始从左至右依次选 取两个数字， 则选取的个体编号依次为08,02,14,07,01,04（重 复和不在01~20内的编号剔除)，第6个编号为04 4.记五人分别为1,2,3，甲，乙. 任选两人有(1,2)，(1,3)，(1，甲)，(1，乙)，(2,3)， (2,甲)，(2，乙)，(3，甲)，(3，乙)，（甲，乙），共10个样 本点，其中甲、乙均未人选的情况有(1,2)，(1,3)，(2， 3),共3个样本点， 则甲、乙均未人选的概率为品=03. 所以甲、乙至少有一人入选的概率为1-0.3=0.7. 5.由e*-e≠0，得x≠0，所以f(x)的定义域是 {x1x≠0}，关于原点对称， 因为f-x)=-3x 3x =f代x),所以f(x) e 是偶函数，图象关于y轴对称，排除(D); 当x>0时，e>e,所以f(x)>0,由f代x)是偶函 数可知f(x)>0在(-o,0)U(0,+∞)上恒成立，排 除(C); 当x趋近于+∞时，e趋近于+∞，e趋近于0，且 指数增长快得多，所以f(x)趋近于0，排除(B). 6.2至3月份的收人的变化值为60-80=-20（万 元)，11至12月份的收入的变化值为50-70=-20（万 元)，故(A)正确： 支出最高的月份是2月份为60万元，最低的月份是 5月份为10万元， 故支出最高值与支出最低值的比是6：1，故(B)错误； 7,8,9月份的支出分别为20万元，40万元，40万元. 故这三个月份的平均支出为20+9+如.9g(万元)， 故(C)错误； 利润最高的月份是3月份和10月份，都是30万元， 高于2月份的利润，故(D)错误 7.当x>1时，4+6-3a≥24.6-3a=16 -3a,当且仅当4x=16,即x=2时等号成立， 即当x>1时，函数的最小值为16-3a. 当x≤1时，f(x)=(x-a)2+9-a2, 要使得函数f代x)的最小值为f代1)， 则满足厂a≥L, 解得1≤a≤6， f1)=10-2a≤16-3a, 即实数a的取值范围是[1,6] 8.由对数函数单调性得c=10g163<log164= 参考答案 1og16t= 构造函数f(x)=2+x,x∈R,则f(a)=2“+a= 2,fb)=2+b=5. 因为y=2”和y=x单调递增，所以f(x)单调递增， 由2<5，即f(a)<fb),所以a<b, 又川分）2+分2<2， 所以a)>f(）即a>2 所以c<a<b. 二、多项选择题 9.ACD:10.CD:11.AB. 提示： 9.抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种： (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) 对于(A),A表示第一次向上出现i点(i=1,2,3,4, 5,6),第二次向上任一点，则P(4,)=石，(A)正确： 对于(B),B,C表示第二次向上出现3点且两次向上 点数之和不是7， 则第一次向上的点数不是4，满足题意的有(1,3)， (2,3),(3,3),(5,3),(6,3),共5种， 其概率为P(BC)=无，(B)错误： 对于(C),AB,表示点数组合(1,1)，A2B2表示点数 组合(2,2)，不能同时发生，故A1B与AB2是互斥事件， (C)正确； 对于(D),由(A知P(4,)=右， C表示两次点数之和是7，则C包含的点数为(1,6)， (2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6种，则P(C)= 36 AC表示第一次出现1点，且两次向上的点数之和为 7,满足题意的有(1,6)，则P(A,C)= 36 故P(AC)=P(A1)P(C),则A1与C相互独立，(D) 正确， 故选(A)(C)(D) 10对于(A),设=，则了=公% (化+e)=六∑+e,所以了=x+e,因为e 0,所以x≠y,所以(A)错误； 对于(B),因为y=x+c(i=1,2,…,n),所以y1, y2,…,yn的中位数是x1,2,…,xn的中位数加c,所以 (B)错误； 对于（©）设号=2 、 (y )2, 所以号=(+e--P=∑(， 所以子=子，所以两组数据的方差相同，从而这两组 数据的标准差相同，所以(C)正确. 对于(D),设x1<x2<…<xm,则第一组数据的极 差为xm一x1, 设y1<y2<…<y,则第二组数据的极差为y。-y =(xm+c)-(x1+c)=xm-1, 所以两组数据的极差相同，所以(D)正确. 故选(C)(D). 数理极 11.由函数f(x)满足f(-2-x)=f(x)知， 函数f(x)的图象关于直线x=-1对称， 又对Y1,[-1,+0),）-）<0(x x2-X1 ≠x2), 则函数f(x)在[-1，+∞)上为减函数， 对于(A),因为13-(-1)1>10-（-1)1， 所以f(0)>f代-3)，(A)正确； 对于(B),由已知有f(x)在(-∞，-1]上为增函 数，在[-1，+)上为减函数， 即f代x)mx=f-1),(B)正确； 对于(c),。-a+1=(a-)）+子≥子所以 fa2-a+1)≤f(子)，(C)错误： 对于(D),当f代m)<f(2)时， 由于1m-(-1)1>12-(-1)1, 则m<-4或m>2,(D)错误 故选(A)(B) 三、填空题 提示： 12.因为m-2n=1,则2n-m=-1, 养· 23 202 “=21=7 13因为M={-1,04分71,23,5}所以 集合M的所有非空子集的个数为2°-1=511， 因为若-1∈A,则=-1∈A; 若1∈A,则片=1eA; 若2∈A,则片∈A,2与宁成对出现： 若3eA,则写eA,3与写成对出现。 所以集合M的所有非空子集中，“伙伴关系集合”共 有24-1=15（个）. 所以在集合M的所有非空子集中任选一个集合，则 该架合是“伙件关系柴合”的概率为品 14依题意，函数f代x)在区间[0，。】 上恰好有一 个零点等价于方程(2ax-1)2=log(ax+2)在区间 [0,2]上恰有一个根，即函数8(x)=(2ar-1)2和函 数o()=og.(a+2)的图象在区间[0，]上恰好 有一个交点， 函数gx)=(2ax-1)2关于x=对称，在[0， ]上有最小值0，当x=0或x=时，g()=1, 所以g(x)e[0,1], 函数p(x）=log（ax+2), 当0<a<1时，由复合函数单调性知p(x)= og(ax+2)单调递减，当xe[0,]时，e(x)≤ p(0)=log.2<0, 所以函数g(x)=(2ax-1)2和函数p(x)=log.(ax +2)的图象在区间[0，。]上无交点， 当a>1时，由复合函数单调性知p(x)=log。（ax+ 2)单调递增，如下图，