第七章概率（单元测试·基础卷）数学北师大版2019必修第一册

2025-2026学年高一必修第一册数学单元检测卷 第七章 概率·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．某人从湖里打了一网鱼，共60条，做上记号再放入湖中，数日后又打了一网共100条，其中做记号的15条，根据频率的稳定性，估计湖中有鱼（    ）条 A．150 B．300 C．400 D．600 3．集合，集合，从，中各任意取一个数，构成一个两位数，则这个两位数是奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 4．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现偶数点”，“第二枚出现点数超过3”，则事件A与事件B的关系为（    ） A．相互独立 B．互斥 C．互为对立 D．相等 5．已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，用三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知正常工作的概率依次为，则系统不能正常工作的概率为（   ） A．0.846 B．0.154 C．0.181 D．0.504 7．事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题不成立的是（ ） A． B． C． D． 8．将连续正整数1，2，3，…，从小到大排列构成一个数123…n，为这个数的位数，例如，当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则，现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率，则为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中，，，，下列结论正确的有（   ） A． B．事件A与B互斥 C． D．事件与B相互独立 10．某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD,且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（    ） A．甲仅随机选一个选项得5分的概率是. B．乙仅随机选两个选项得10分的概率是. C．丙随机选择选项得分的概率是. D．丁随机至少选择两个选项得分的概率是 11．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件“得到的点数为”，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设是两个相互独立事件，且，，则 . 13．甲、乙、丙投篮各自命中的概率分别为、、.现三人各投篮一次，且三人是否命中互不影响，则至少有一人命中的概率为 . 14．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图案，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15．如图，若从四个阴数中随机抽取2数，则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球． (1)写出这个试验的一个等可能的样本空间； (2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”．判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由． 16．（15分） 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机后去了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差； (3)现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率. 17．（15分） 在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． (1)求打完两局比赛结束的概率． (2)求比赛打满6局结束的概率． (3)若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 18．（17分） 某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成．如图所示，部件是由元件与元件组成的串联电路，已知元件，正常工作的概率都为，且元件工作是相互独立的． (1)求部件正常工作的概率； (2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案： 方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联； 方案二：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？ 19．（17分） 甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立. (1)求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率； (2)求前4局中甲参与了3局的概率； (3)求第4局是甲、乙对打的概率. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一必修第一册数学单元检测卷 第七章 概率·基础通关（参考答案） 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C C A A B C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．/0.75 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1)答案见解析； (2)相互独立，理由见解析. 【分析】（1）根据题意，用列举法进行求解； （2）根据相互独立事件的定义，结合古典概型公式进行求解. 【详解】（1）依题意，样本空间为.………（3分） （2）事件A和事件B相互独立，理由如下： 因为，，.………（6分） 所以，，.………（8分） 因为，所以，.………（10分） 因为，所以事件A和事件B相互独立..………（13分） 16．（15分） 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的小长方体的面积和为1求解； （2）利用分层随机抽样的平均数公式与方差公式求解； （3）由按比例分配的分层随机抽样，确认在中抽5人，在中抽2人，列出样本空间和满足事件的总情况，利用求解. 【详解】（1）根据题意可得，解得..………（2分） （2）因为的人数为， 的人数为，.………（4分） 所以在平均成绩为，.………（6分） 在的成绩的方差为..………（8分） （3）因为和这两组的频率之比为， 所以在中抽5人，在中抽2人， 设从学生中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2，.………（10分） 则这个试验的样本空间为， 故，.………（12分） 又因为，则，.………（14分） 所以事件的概率为..………（15分） 17．（15分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据获胜规则，结合相互独立事件的概率乘法公式可得； （2）根据前4局甲乙各胜两局求解即可； （3）根据2局结束比赛、4局结束比赛和6局结束比赛，利用相互独立事件的概率乘法公式求解可得. 【详解】（1）打完两局比赛结束说明甲连胜两局或乙连胜两局， 记甲第局胜为事件，乙第局胜为事件，.………（2分） 所以，打完两局比赛结束的概率为： .………（5分） （2）打满局结束，当且仅当比赛在前局和前局均未结束， 即前局比分为且前局比分为， 所以，所求概率为： .………（9分） （3）甲获胜包括：前两局甲获胜，或前4局中甲胜3局乙胜1局，或前4局甲乙各胜两局且第5、6局甲获胜..………（11分） 所以，甲获胜的概率： .………（15分） 18．（17分） 【答案】(1) (2)选择方案二可以使部件正常工作的概率最大． 【分析】（1）利用事件的基本关系与相互独立事件的乘法公式计算即可； （2）利用和事件与积事件的关系结合对立事件的乘法公式计算两方案的概率，作差比较大小即可. 【详解】（1）记事件分别表示元件正常工作，则，.………（1分） 事件表示正常工作， 由元件工作是相互独立的，则．.………（3分） （2）设方案一、二正常工作的概率分别为，设新增的两个元件为， 记事件分别表示新增的两个元件正常工作，则． 事件分别表示元件不正常工作，由于四个元件工作相互独立，.………（5分） 则 ．.………（10分） 所以；.………（12分） .………（14分） 所以，.………（16分） 所以选择方案二可以使部件正常工作的概率最大．.………（17分） 19．（17分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分第2局甲轮空，第3局乙轮空；和第2局乙轮空，第3局甲轮空两种情况分别计算即可； （2）分甲第2局轮空，第3局轮空，第4局轮空三种情况分别计算即可； （3）第4局是甲、乙对打，有两种情况：情况一，第2局为甲、丙对打，第3局为乙、丙对打；情况二，第2局为乙、丙对打，第3局为甲、丙对打.分别计算两种情况下第4局为甲、乙对打的概率. 【详解】（1）若第2局甲轮空，第3局乙轮空，其概率为..………（1分） 若第2局乙轮空，第3局甲轮空，其概率为..………（2分） 故所求概率为..………（3分） （2）分三种情况. 第一种情况：甲第2局轮空，则其他3局都参与了. 因为甲第2局轮空，所以第3局一定有甲参与，且由甲开球，而要参与第4局，则第3局甲胜， 其概率为..………（5分） 第二种情况：甲第3局轮空，则其他3局都参与了. 因为甲第3局轮空，所以第4局一定有甲参与，且第2局甲负， 其概率为..………（7分） 第三种情况：甲第4局轮空，则其他3局都参与了. 其概率为..………（9分） 故所求概率为..………（10分） （3）第4局是甲、乙对打，分两种情况讨论： 情况一：第1局甲胜，第2局丙胜，第3局乙胜. 此时第2局为甲丙对打，第3局为乙丙对打（甲轮空），第4局为甲乙对打..………（12分） 其概率为. .………（14分） 情况二：第1局乙胜，第2局丙胜，第3局甲胜. 此时第2局为乙丙对打，第3局为甲丙对打（乙轮空），第4局为甲乙对打. 其概率为. .………（16分） 故所求概率为.………（17分） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一必修第一册数学单元检测卷 第七章 概率·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．某人从湖里打了一网鱼，共60条，做上记号再放入湖中，数日后又打了一网共100条，其中做记号的15条，根据频率的稳定性，估计湖中有鱼（    ）条 A．150 B．300 C．400 D．600 3．集合，集合，从，中各任意取一个数，构成一个两位数，则这个两位数是奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 4．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现偶数点”，“第二枚出现点数超过3”，则事件A与事件B的关系为（    ） A．相互独立 B．互斥 C．互为对立 D．相等 5．已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，用三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知正常工作的概率依次为，则系统不能正常工作的概率为（   ） A．0.846 B．0.154 C．0.181 D．0.504 7．事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题不成立的是（ ） A． B． C． D． 8．将连续正整数1，2，3，…，从小到大排列构成一个数123…n，为这个数的位数，例如，当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则，现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率，则为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中，，，，下列结论正确的有（   ） A． B．事件A与B互斥 C． D．事件与B相互独立 10．某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD,且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（    ） A．甲仅随机选一个选项得5分的概率是. B．乙仅随机选两个选项得10分的概率是. C．丙随机选择选项得分的概率是. D．丁随机至少选择两个选项得分的概率是 11．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件“得到的点数为”，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设是两个相互独立事件，且，，则 . 13．甲、乙、丙投篮各自命中的概率分别为、、.现三人各投篮一次，且三人是否命中互不影响，则至少有一人命中的概率为 . 14．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图案，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15．如图，若从四个阴数中随机抽取2数，则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球． (1)写出这个试验的一个等可能的样本空间； (2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”．判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由． 16．（15分） 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机后去了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差； (3)现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率. 17．（15分） 在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． (1)求打完两局比赛结束的概率． (2)求比赛打满6局结束的概率． (3)若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 18．（17分） 某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成．如图所示，部件是由元件与元件组成的串联电路，已知元件，正常工作的概率都为，且元件工作是相互独立的． (1)求部件正常工作的概率； (2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案： 方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联； 方案二：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？ 19．（17分） 甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立. (1)求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率； (2)求前4局中甲参与了3局的概率； (3)求第4局是甲、乙对打的概率. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一必修第一册数学单元检测卷 第七章 概率·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确. 故选：C 2．某人从湖里打了一网鱼，共60条，做上记号再放入湖中，数日后又打了一网共100条，其中做记号的15条，根据频率的稳定性，估计湖中有鱼（    ）条 A．150 B．300 C．400 D．600 【答案】C 【分析】借助频率定义计算即可得. 【详解】设湖中有条鱼，则有，解得. 故选：C. 3．集合，集合，从，中各任意取一个数，构成一个两位数，则这个两位数是奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用列举法写出样本空间，再由概率公式计算． 【详解】组成两位数的样本空间，有11个； 样本点这个两位数是奇数的两位数为，有5个. 故所求概率为. 故选：C 4．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现偶数点”，“第二枚出现点数超过3”，则事件A与事件B的关系为（    ） A．相互独立 B．互斥 C．互为对立 D．相等 【答案】A 【分析】先计算事件的概率及，得出，满足相互独立事件定义，从而得出正确选项． 【详解】事件“第一枚出现偶数点”， ， 事件“第二枚出现点数超过3”， ， 事件“第一枚出现偶数点，第二枚出现点数超过3”， ， 事件和事件是相互独立事件，故A正确； 可以同时发生，故不互斥，不相等，故B，D错误； “第一枚出现奇数点”，“第二枚出现点数不超过3”， 不是对立事件，故C错误． 故选：A． 5．已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率的加法公式求得. 【详解】由题意可得，. 故选：A 6．如图，用三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知正常工作的概率依次为，则系统不能正常工作的概率为（   ） A．0.846 B．0.154 C．0.181 D．0.504 【答案】B 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式，再结合对立事件来求解即可. 【详解】系统能正常工作的概率为， 所以系统不能正常工作的概率为. 故选：B 7．事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的定义、性质，结合概率的基本性质逐项判断. 【详解】对于A，由是独立事件，得，A正确； 对于B，由是独立事件，得相互独立，则，B正确； 对于C，，C错误； 对于D， 由是独立事件，得也是相互独立事件， 则，D正确， 故选：C 8．将连续正整数1，2，3，…，从小到大排列构成一个数123…n，为这个数的位数，例如，当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则，现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，求出含0的个数，利用概率公式求出. 【详解】从1到9共有9个数字，从10到99共有90个数，共有个数字，从100到101共有2个数，共有个数字，，其中含有0的数有10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，101，这些数中共有12个0，. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中，，，，下列结论正确的有（   ） A． B．事件A与B互斥 C． D．事件与B相互独立 【答案】ACD 【分析】根据计算，判断A的真假；计算，判断B的真假；根据。利用古典概型概率公式，求，判断C的真假；分别计算和，可判断D的真假. 【详解】∵，A对； ∵，∴，∴A与B不互斥，B错； ，C对； ∵， 又，， ∴ ∴事件与B相互独立D对． 故选：ACD 10．某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD,且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（    ） A．甲仅随机选一个选项得5分的概率是. B．乙仅随机选两个选项得10分的概率是. C．丙随机选择选项得分的概率是. D．丁随机至少选择两个选项得分的概率是 【答案】BC 【分析】写出每个选项中可能的选择情况，再计算满足选项的情况占可能情况的比例. 【详解】当至少选择一个选项，所有等可能的选择情况有15种，分别为A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD． 对于A：甲同学仅随机选一个选项有4种情况，能得5分的2种情况为选C或选D,则能得5分的概率是＝,故A错误； 对于B：乙同学仅随机选两个选项有6种情况，能得10分的1种情况仅为CD,则能得10分的概率,故B正确； 对于C：丙同学随机选择选项有15种情况（选一个选项有4种情况，选两个选项有6种情况，选三个选项有4种情况，选四个选项有1种情况），能得分的3种情况为C,D,CD,则能得分的概率是＝,故C正确； 对于D：丁同学随机至少选择两个选项有11种情况，能得分的1种情况为CD,则能得分的概率是,故D错误． 故选：BC． 11．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件“得到的点数为”，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】列出事件所包含的样本点，再根据古典概型的概率公式计算依次判断选项即可； 【详解】由题意可知事件，事件，事件， 对于A，因为事件，所以，故A不正确； 对于B，因为事件，所以，故B正确； 对于C，因为事件，所以，故C正确； 对于D，， 因为，所以，故D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设是两个相互独立事件，且，，则 . 【答案】 【分析】根据独立事件的概率乘法公式与和事件的概率公式计算即得. 【详解】因是两个相互独立事件，则也相互独立，即， 因，则， 则 . 故答案为：. 13．甲、乙、丙投篮各自命中的概率分别为、、.现三人各投篮一次，且三人是否命中互不影响，则至少有一人命中的概率为 . 【答案】/0.75 【分析】记三人各投篮一次至少有一人命中为事件，根据独立事件的概率公式先求，再用即可求得结果. 【详解】记三人各投篮一次至少有一人命中为事件， 则，所以. 故答案为：. 14．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图案，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15．如图，若从四个阴数中随机抽取2数，则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是 ． 【答案】 【分析】先列举出从四个阴数中随机抽取2个数，共有6种取法，其中满足题意的有两种，求概率即可. 【详解】根据题意，阴数为2，4，6，8四个， 所以从四个阴数中随机抽取2个数，有，，，，，， 共有6种取法， 其中满足题意的取法有两种：和， 所以能使这两数与居中阳数之和等于15的概率． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球． (1)写出这个试验的一个等可能的样本空间； (2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”．判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析； (2)相互独立，理由见解析. 【分析】（1）根据题意，用列举法进行求解； （2）根据相互独立事件的定义，结合古典概型公式进行求解. 【详解】（1）依题意，样本空间为.………（3分） （2）事件A和事件B相互独立，理由如下： 因为，，.………（6分） 所以，，.………（8分） 因为，所以，.………（10分） 因为，所以事件A和事件B相互独立..………（13分） 16．（15分） 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机后去了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差； (3)现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的小长方体的面积和为1求解； （2）利用分层随机抽样的平均数公式与方差公式求解； （3）由按比例分配的分层随机抽样，确认在中抽5人，在中抽2人，列出样本空间和满足事件的总情况，利用求解. 【详解】（1）根据题意可得，解得..………（2分） （2）因为的人数为， 的人数为，.………（4分） 所以在平均成绩为，.………（6分） 在的成绩的方差为..………（8分） （3）因为和这两组的频率之比为， 所以在中抽5人，在中抽2人， 设从学生中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2，.………（10分） 则这个试验的样本空间为， 故，.………（12分） 又因为，则，.………（14分） 所以事件的概率为..………（15分） 17．（15分） 在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． (1)求打完两局比赛结束的概率． (2)求比赛打满6局结束的概率． (3)若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据获胜规则，结合相互独立事件的概率乘法公式可得； （2）根据前4局甲乙各胜两局求解即可； （3）根据2局结束比赛、4局结束比赛和6局结束比赛，利用相互独立事件的概率乘法公式求解可得. 【详解】（1）打完两局比赛结束说明甲连胜两局或乙连胜两局， 记甲第局胜为事件，乙第局胜为事件，.………（2分） 所以，打完两局比赛结束的概率为： .………（5分） （2）打满局结束，当且仅当比赛在前局和前局均未结束， 即前局比分为且前局比分为， 所以，所求概率为： .………（9分） （3）甲获胜包括：前两局甲获胜，或前4局中甲胜3局乙胜1局，或前4局甲乙各胜两局且第5、6局甲获胜..………（11分） 所以，甲获胜的概率： .………（15分） 18．（17分） 某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成．如图所示，部件是由元件与元件组成的串联电路，已知元件，正常工作的概率都为，且元件工作是相互独立的． (1)求部件正常工作的概率； (2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案： 方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联； 方案二：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？ 【答案】(1) (2)选择方案二可以使部件正常工作的概率最大． 【分析】（1）利用事件的基本关系与相互独立事件的乘法公式计算即可； （2）利用和事件与积事件的关系结合对立事件的乘法公式计算两方案的概率，作差比较大小即可. 【详解】（1）记事件分别表示元件正常工作，则，.………（1分） 事件表示正常工作， 由元件工作是相互独立的，则．.………（3分） （2）设方案一、二正常工作的概率分别为，设新增的两个元件为， 记事件分别表示新增的两个元件正常工作，则． 事件分别表示元件不正常工作，由于四个元件工作相互独立，.………（5分） 则 ．.………（10分） 所以；.………（12分） .………（14分） 所以，.………（16分） 所以选择方案二可以使部件正常工作的概率最大．.………（17分） 19．（17分） 甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立. (1)求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率； (2)求前4局中甲参与了3局的概率； (3)求第4局是甲、乙对打的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分第2局甲轮空，第3局乙轮空；和第2局乙轮空，第3局甲轮空两种情况分别计算即可； （2）分甲第2局轮空，第3局轮空，第4局轮空三种情况分别计算即可； （3）第4局是甲、乙对打，有两种情况：情况一，第2局为甲、丙对打，第3局为乙、丙对打；情况二，第2局为乙、丙对打，第3局为甲、丙对打.分别计算两种情况下第4局为甲、乙对打的概率. 【详解】（1）若第2局甲轮空，第3局乙轮空，其概率为..………（1分） 若第2局乙轮空，第3局甲轮空，其概率为..………（2分） 故所求概率为..………（3分） （2）分三种情况. 第一种情况：甲第2局轮空，则其他3局都参与了. 因为甲第2局轮空，所以第3局一定有甲参与，且由甲开球，而要参与第4局，则第3局甲胜， 其概率为..………（5分） 第二种情况：甲第3局轮空，则其他3局都参与了. 因为甲第3局轮空，所以第4局一定有甲参与，且第2局甲负， 其概率为..………（7分） 第三种情况：甲第4局轮空，则其他3局都参与了. 其概率为..………（9分） 故所求概率为..………（10分） （3）第4局是甲、乙对打，分两种情况讨论： 情况一：第1局甲胜，第2局丙胜，第3局乙胜. 此时第2局为甲丙对打，第3局为乙丙对打（甲轮空），第4局为甲乙对打..………（12分） 其概率为. .………（14分） 情况二：第1局乙胜，第2局丙胜，第3局甲胜. 此时第2局为乙丙对打，第3局为甲丙对打（乙轮空），第4局为甲乙对打. 其概率为. .………（16分） 故所求概率为.………（17分） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $