第二十五章 概率的求法与应用（复习讲义）数学北京版九年级下册

该初中数学概率复习讲义通过知识框架系统梳理了概率的知识体系，从概率的意义、计算公式到古典概型与几何概型的区别，再到列表法、树状图法等求解工具，层层递进呈现知识脉络，突出概率与频率的关系及实际应用等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的频率计算到综合的游戏公平性分析，如通过摸球试验中频率稳定值估计概率，培养数据意识和推理能力。基础题巩固概念，提升题发展建模能力，助力教师实施分层教学，学生自主复习时可精准突破薄弱点。

第二十五章 概率的求法与应用（复习讲义） 1.理掌握概率的基本概念和计算公式。 通过案例分析培养概率思维。 2.理解古典概型与几何概型的区别与应用。 学会用树状图、列表法等工具求解复杂概率问题。 3.能够运用概率知识解决实际问题。 发展数学建模能力。 知识点01 概率的意义 1.一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． 2.概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． 3.概率取值范围：0≤p≤1． 4.必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． 知识点02 概率公式 1 随机事件A的概率P（A）＝． 2 P（必然事件）＝1． 3. P（不可能事件）＝0． 知识点03几何概率 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 知识点04 列表法与树状图法 1.当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． 2.列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． 3.列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． 4.树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． 5.当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 知识点05 游戏公平性 1.判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． 2.概率＝． 知识点06 利用频率估计概率 1.大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 2.用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 3.当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 题型一 求频率 【例1】．调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【变式1-1】“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】．在一个样本中，个数据分别落在个小组内，第小组的频数分别是，则第小组的频率是（    ） A． B． C． D． 题型二 用频率估计概率 【例2】．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（    ） 累计抽测的学生数 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 A．0.400 B．0.410 C．0.413 D．0.423 【变式2-1】体育，让生活更精彩；运动，让身体更健康．某校为了解九年级学生的排球垫球水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，其中有35人连续垫球超过40个．已知该年级共有450名学生，据此估计，从该年级任意抽取一名学生，这名学生连续垫球超过40个的概率约为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“8个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 50 100 150 200 250 … “有2个人同月过生日”的次数 47 95 143 191 238 … “有2个人同月过生日”的频率 … 通过试验，该小组估计“8个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　） A．0.52 B．0.55 C．0.58 D．0.63 题型三 几何概率 【例3】．小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】假如小蚂蚁在如下图所示的地砖上自由爬行，它最终停在黑色方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】．王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，将一个飞镖随机投掷到方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 题型四 利用概率求个数 【例4】一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共30个，这些球除颜色外都相同．小红通过多次重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定于，则布袋中白球可能有（    ） A．20个 B．21个 C．22个 D．23个 【变式4-1】．在一个不透明的口袋里装有3个黑球和若干白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，充分摇匀后，再随机摸出一球，记下颜色……不断重复上述过程，小明共摸球次，其中次摸到黑球，则估计口袋中白球大约有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式4-2】．一个不透明的袋中有120个除颜色外完全相同的小球，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现，从中随机摸出一个红球的频率稳定在0.35，则估计袋中红球的个数为（   ） A．32个 B．35个 C．40个 D．42个 【变式4-3】一个不透明的盒子里有“中秋”主题和“国庆”主题的贺卡共30张，这些贺卡的外观、大小、质地完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“国庆”主题贺卡的频率稳定在，则估计盒子中“中秋”主题贺卡有（   ） A．18张 B．12张 C．10张 D．8张 题型五 列举法求概率 【例5】．某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，先后摸出两个小球（每次只摸出一个球，第一次摸出后放回），摸出的两球上金额的和为50元的概率是 ． 【变式5-1】．从由1，2，3，4，5，6组成的三位渐升数（如123，145）中任取一个数，则这个三位渐升数能被9整除的概率为 ． 【变式5-2】．将数字1，2，3随机填入到右面的方格中，摆出的三位数是4的倍数的概率是 ． 【变式5-3】．小侯和爸爸、妈妈、姐姐暑假乘坐高铁来十堰旅游，如图，买了同车同排四张高铁票，上车后随机坐到这四个位置（深色B，C，D，F），乘务员验票时发现是一家四口的座位，但四个人都没有坐到车票上名字所对应的位置，请问四人都没坐到车票上名字所对应位置的概率是 ． 题型六 列表法求概率 【例6】．小明和小刚各有一枚硬币，小明在硬币的正面贴上黄色标签，反面贴上红色标签；小刚在硬币的正面贴上蓝色标签，反面贴上红色标签，两人分别抛掷各自的硬币．求硬币落地后出现颜色相同的概率． 解：列表如下（请补充下表）． 小明 小刚 篮 红 黄 红 总共有 种可能的结果，每种结果出现的可能性 ．其中硬币落地后出现颜色相同的结果有 种，其概率为 ． 小明 小刚 蓝 红 黄 黄，蓝 黄，红 红 红，蓝 红，红 【变式6-1】．随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则能让灯泡发光的概率是（    ） A.  　B．   C.  　D． 列表如下： S1 S2 S3 S1 (S2，S1) (S3，S1) S2 (S1，S2) (S3，S2) S3 (S1，S3) (S2，S3) 共有 种等可能的情况，必须闭合开关S3灯泡才亮，即能让灯泡发光的概率是 ＝． 【变式6-2】．甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，第二次由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人．我们可以用下面的列表来分析第二次传球所有可能出现的结果．则第二次传球后球回到甲手里的概率为 ． 第2次第1次 甲 乙 丙 丁 乙 乙甲 / 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 / 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 / 【变式6-3】．随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，求能让灯泡发光的概率 列表如下： S1 S2 S3 S1 (S2，S1) (S3，S1) S2 (S1，S2) (S3，S2) S3 (S1，S3) (S2，S3) 共有 种等可能的情况，必须闭合开关S3灯泡才亮，即能让灯泡发光的概率是 ． 题型七 树状图法求概率 【例7】．为解决“在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球”的问题，小明画出图2所示的树状图.已知这些球除颜色外无其他差别，根据树状图，小明从两个口袋中各随机取出的1个球恰好是1个白球和1个黑球的结果共有 种．              【变式7-1】．掷--枚硬币两次，可能出现的结果有四种.我们可以利用如图所示的树状图来分析所有可能出现的结果.那么掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的概率是 . 【变式7-2】．将三张除了正面所标数字不同外 （分别写有数字3、4、5）其余均相同的扑克牌倒扣在桌面上，嘉淇根据抽牌结果画出了如图所示正确的树状图，对于抽牌规则，有下列说法： ①随机抽出一张牌放回，再随机抽出一张牌； ②随机抽出一张牌不放回，再随机抽出一张牌； ③同时随机抽出两张牌． 其中符合树状图抽牌规则的是 （       ） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【变式7-3】．有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（　　） A．随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球 B．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球 C．随机摸出一个球后放回，再随机摸出2个球 D．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出2个球 题型八 游戏的公平性 【例8】．小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 【变式8-1】．某班在选拔人员参加年级数学竞赛过程中，有A，B两同学分数相同，由于参赛名额所限，这两人中只能一个参赛，经商议决定采取摸球方式解决，将2个红球、1个绿球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出2个球． (1)“摸出的2个球，都是红球”是________事件；（填“随机”或“不可能”或“必然”） (2)若两同学以摸球方式决定代表参加数学竞赛，摸出的2个球，若颜色相同，则同学去参赛；若颜色不同，则同学去参赛，这游戏方案设计公平吗？说明理由． 【变式8-2】．电影《志愿军：浴血和平》于2025年9月30日上映，小明和小刚都想去看，但只有一张电影票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则如下： 将四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，记下数字后放回，另一人再从袋中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字之和大于5，则小明获胜；否则小刚获胜． (1)请利用画树状图或列表的方法，求小明获胜的概率； (2)这个游戏规则是否公平？请说明理由． 【变式8-3】．为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表． 垃圾分类知识测试成绩统计表 测试等级 百分比 人数 A．优秀 5% 10 B．良好 30 C．及格 45% m D．不及格 n 请结合统计表，回答下列问题： (1)求本次参与调查的学生人数及m，n的值； (2)如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为3600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数； (3)为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平． 基础巩固通关测 一、单选题 1．不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是绿球的概率是（    ） A． B． C． D． 2．为了培养学生的劳动能力，学校将一块正方形实验地分成A，B，C，D四部分给学生种白菜、茄子、辣椒、毛豆四种蔬菜（如图所示），每块实验田只能种一种农作物，则白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（   ） A． B． C． D． 3．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（    ）种不同的可能？ A．12 B．6 C．5 D．2 4．从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币，当次数很大时，落下后正面朝上的频率最有可能接近的数值为（   ） A．0.83 B．0.52 C．0.15 D．1 5．明明和亮亮两人用如图所示的正四面体（每个面上分别刻有数字0，1，2，）做游戏，两人各掷两次四面体，四面体与地面接触的数字之和为奇数，则明明胜；和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（   ） A．公平 B．对明明有利 C．对亮亮有利 D．无法判断 二、填空题 6．在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为 次． 7．甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为1，2，3的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 8．某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，则作出决策为 （填“出海”、“不出海”）． 9．在，，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为关于x的一元二次方程中的a的值，则这个一元二次方程没有实数解的概率为 ． 10．某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是 ． 三、解答题 11．2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． A．潍坊风筝     B．东明粮画 C．青神竹编      D．延安剪纸 (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是___________． (2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅；请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 12．一张长方形桌旁设有6个座位，甲、乙到达时，发现丙和丁已经先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人只能等可能性地坐到①②③④中的2个座位上． (1)甲坐在①号座位的概率是______； (2)用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．（如丙和丁，丙和①均称相邻而坐）． 13．某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000 落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 298 604 落在“可乐”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 (1)完成上述表格；（结果全部精确到0.1） (2)请估计当n很大时，频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是 ；（结果全部精确到0.1） (3)转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 14．如图，有，两个转盘，其中转盘被分成4等份，转盘被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将转盘指针指向的数字记为，转盘指针指向的数字记为，从而确定点的坐标为． (1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点的坐标． (2)在（1）的基础上，求点落在反比例函数图象上的概率． (3)记，李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当时甲获胜，否则乙获胜，若这个游戏是公平的，求的值．（取整数） 15．将所有可能的取值与其对应的概率相乘，再将这些结果相加，称为这个事件的数学期望，它与随机事件的平均值密切相关．一个随机事件可能出现的值为、…，对应的概率为、…，则数学期望为．例如，抛掷一个骰子，出现的概率都为，则点数的数学期望为，也可以说投骰子出现的平均点数为． (1)海猫超市推出的返现活动如下：顾客在超市中消费一定金额后，可参加抽奖，返现金额与概率如下表所示，计算返现金额的数学期望； 金额 3元 4元 5元 6元 概率 (2)某六面骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，，（n为正整数），n为何值时，点数的数学期望最小？请说明理由． 能力提升进阶练 一、单选题 1．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球，4个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中红球的个数为（    ） A．4 B．10 C．20 D．8 2．在一个不透明的袋子里有红球、白球若干个，其中白球12个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子里红球的个数估计是（   ） A．8 B．12 C．14 D．16 3．下列命题中真命题是（   ） A．一组数据的方差越大，说明该组数据越具有稳定性 B．某抽奖活动中奖的概率是，参与次抽奖一定会中奖 C．在一个随机事件过程中某种结果的出现概率是由实验的次数决定的 D．将、、、、依次重复写遍，得到这个数的平均数是 4．如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小李帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为（   ） A． B． C． D． 5．有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（    ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜 B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜 C．取出的两个数乘积小于20时甲得3分，否则乙得5分，游戏结束后，累计得分高的人获胜 D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜 二、填空题 6．在两个不透明的袋子中分别装有一些除颜色外完全相同的球．甲袋中装有个白球、个黄球，乙袋中装有个白球、个黄球，这些球除颜色外无其他差别，在看不到球的情况下，从两个袋子中各随机摸出一个球，摸出的两个球的颜色都是白色的概率是 ． 7．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得 元；乙得 元． 8．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有 棵． 9．在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为 粒． 10．从，，，，，这个数中任意选一个数作为的值，则使关于的方程的解是负数，且关于的一次函数的图象不经过第一象限的概率为 ． 三、解答题 11．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次． (1)转动A盘，指针指向的数字大于3的概率是________，转动B盘，指针指向的数字小于5的概率是________； (2)若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，请判断该游戏是否公平？并说明理由． 12．华山，古称“西岳”，雅称“太华山”，为中国著名的五岳之一，位于陕西省渭南市华阴市，有着“奇险天下第一山”的美誉．小宇和小辰做游戏：小宇将他去华山游玩时拍的两张风景照片打印出来，如图所示的甲、乙图片，然后把这两张图片从中间剪断，分成4张形状相同的小图片，将其混合在一起洗匀，背面朝上放置在桌面上．小宇先从这4张图片中随机抽取一张（不放回），小辰接着再随机抽取一张．（设4张小图片分别用表示） (1)小宇抽取的图片是甲图片上半部分的概率是_________； (2)若规定：抽取的两张小图片中，能拼成一张完整的图片，则小宇获胜；否则小辰获胜．你认为这个游戏公平吗？请你用列表或画树状图的方法计算说明理由． 13．如图，某景区停车场有，两个停车区域，其中，区剩余1个空车位，区剩余2个空车位，．将甲、乙两辆车随机停入这3个空车位中，每个车位只能停一辆车．    (1)甲车停在区的概率是__________； (2)请通过列表法或树状图法，求甲、乙两辆车停在相同区域的概率． 14．在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： 根据以上信息解答问题： (1)本次调查的学生总人数有 人； (2)已知全校共1200名学生，请估计全校C档的人数； (3)学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到2名学生都来自九年级的概率． 15．如图，放在平面直角坐标系中的正方形ABCD的边长为4，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子（如图，它有四个顶点，各顶点数分别是1、2、3、4），每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P的坐标（第一次的点数为横坐标，第二次的点数为纵坐标）． （1）求点P落在正方形面上（含边界，下同）的概率； （2）将正方形ABCD平移数个单位，是否存在一种平移，使点P落在正方形面上的概率为？若存在，指出其中的一种平移方式；若不存在，说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 概率的求法与应用（复习讲义） 1.理掌握概率的基本概念和计算公式。 通过案例分析培养概率思维。 2.理解古典概型与几何概型的区别与应用。 学会用树状图、列表法等工具求解复杂概率问题。 3.能够运用概率知识解决实际问题。 发展数学建模能力。 知识点01 概率的意义 1.一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． 2.概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． 3.概率取值范围：0≤p≤1． 4.必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． 知识点02 概率公式 1 随机事件A的概率P（A）＝． 2 P（必然事件）＝1． 3. P（不可能事件）＝0． 知识点03几何概率 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 知识点04 列表法与树状图法 1.当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． 2.列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． 3.列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． 4.树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． 5.当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 知识点05 游戏公平性 1.判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． 2.概率＝． 知识点06 利用频率估计概率 1.大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 2.用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 3.当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 题型一 求频率 【例1】．调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求频率，根据频率之和为1，进行求解即可． 【详解】解：在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ， 则达到或超过 米的数出现的频率是： 故选B． 【变式1-1】“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求频率，直接利用频率公式进行计算即可． 【详解】解：一共40个字母，字母“i”出现了4次， ∴； 故选C． 【变式1-2】在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用频率频数总次数，进行计算即可解答．本题考查了频数与频率，熟练掌握频率频数总次数是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， “偶数朝上”的频率为， 故选：C． 【变式1-3】．在一个样本中，个数据分别落在个小组内，第小组的频数分别是，则第小组的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各组的频数可求出第小组的频数，再根据频率的计算方法即可求解． 【详解】解：个数据分别落在个小组内，第小组的频数分别是， ∴第小组的频数为， ∴第小组频率为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查频率的计算方法，掌握频率的计算公式是解题的关键． 题型二 用频率估计概率 【例2】．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（    ） 累计抽测的学生数 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 A．0.400 B．0.410 C．0.413 D．0.423 【答案】B 【分析】本题考查了频率估计概率，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在概率附近， 根据表中数据显示，随着抽测学生数增加，近视学生数与n的比值在0.410附近波动，且多数值接近0.410，因此最合理的估计是0.410． 【详解】解;∵ 随着累计抽测学生数n增大，近视学生数与n的比值逐渐稳定在0.410附近， ∴ 该区初中生近视的概率的估计最合理的是0.410． 故选：B． 【变式2-1】体育，让生活更精彩；运动，让身体更健康．某校为了解九年级学生的排球垫球水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，其中有35人连续垫球超过40个．已知该年级共有450名学生，据此估计，从该年级任意抽取一名学生，这名学生连续垫球超过40个的概率约为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用样本估计总体概率，灵活运用样本估计总体概率的方法解决实际问题是解题的关键． 先用样本频率估计总体概率，样本中垫球超过40个的频率即为概率的估计值． 【详解】解：∵ 样本容量为50，其中垫球超过40个的人数为35， ∴ 样本频率为， ∴ 估计从总体中任意抽取一名学生垫球超过40个的概率约为． 故选C． 【变式2-2】在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“8个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 50 100 150 200 250 … “有2个人同月过生日”的次数 47 95 143 191 238 … “有2个人同月过生日”的频率 … 通过试验，该小组估计“8个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了用频率估计概率，当试验次数大量增加时，频率稳定在概率附近，从表格数据看，频率在附近波动，因此估计概率为． 【详解】解：根据题意得：试验次数增加时，“有2个人同月过生日”的频率稳定在附近， ∴估计该概率为， 故选：B． 【变式2-3】某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　） A．0.52 B．0.55 C．0.58 D．0.63 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在0.55附近，即可得出答案． 【详解】解：当抛掷次数较小时，频率波动较大，当次数增加到160次及以上时，频率稳定在0.55，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55． 故选：B． 题型三 几何概率 【例3】．小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率，计算方法是长度比，面积比，体积比等． 首先确定阴影的面积在整个圆形瓷砖中所占的比例，根据这个比例即可求出飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：因为在两个同心圆中，两条直径把大圆分成4等份，利用整体思想，可知：阴影部分的面积是大圆面积的一半，因此若在这个大圆区域内随机地掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是． 故选：D． 【变式3-1】假如小蚂蚁在如下图所示的地砖上自由爬行，它最终停在黑色方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率，熟记概率公式是解此题的关键．用黑色区域面积除以全面积即可求解， 【详解】解：把小正方形边长设为， 则黑色区域面积为，大正方形面积， ∴它最终停在黑色方砖上的概率为， 故选：C． 【变式3-2】．王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率，几何概率．根据该二维码的面积为，点落在黑色区域的频率稳定在左右，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵该二维码的面积为，点落在黑色区域的频率稳定在0.6左右， ∴， 故选：C． 【变式3-3】如图，将一个飞镖随机投掷到方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率，用阴影方块个数除以方块总数即可得出答案，解题的关键是掌握几何概率的求法． 【详解】解：根据题意得：方格纸中一共有9个小正方形，其中阴影部分有4个， ∴飞镖落在阴影部分的概率为． 故选：B 题型四 利用概率求个数 【例4】一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共30个，这些球除颜色外都相同．小红通过多次重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定于，则布袋中白球可能有（    ） A．20个 B．21个 C．22个 D．23个 【答案】B 【分析】本题考查概率的意义，掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． 根据频率估计概率的原理，摸到黄球的频率稳定于0.3，即黄球的概率约为0.3，由此可求出黄球数量，再求白球数量． 【详解】解：设黄球有x个， ∵ 总球数为30，且摸到黄球的频率稳定于， ∴ ， 解得， ∴ 白球数量为（个）。 故选：B． 【变式4-1】．在一个不透明的口袋里装有3个黑球和若干白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，充分摇匀后，再随机摸出一球，记下颜色……不断重复上述过程，小明共摸球次，其中次摸到黑球，则估计口袋中白球大约有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了频率估计概率，分式方程的应用，熟练掌握频率估计概率，解分式方程是解题的关键．利用频率估计概率，摸到黑球的频率为，设白球有个，则摸到黑球的概率为，建立方程求解． 【详解】小明共摸球次，其中次摸到黑球， 摸到黑球的频率为， 设白球有个，则总球数为个， 摸到黑球的概率为， 根据频率估计概率，有：， 解得， 故选：B． 【变式4-2】．一个不透明的袋中有120个除颜色外完全相同的小球，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现，从中随机摸出一个红球的频率稳定在0.35，则估计袋中红球的个数为（   ） A．32个 B．35个 C．40个 D．42个 【答案】D 【分析】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比． 大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此得到从中摸出一个红球的概率约为，再用球的总数乘以摸出红球的概率即可得到答案． 【详解】解：随机从中摸出一个球，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在0.35， 从中摸出一个红球的概率为， 估计袋中红球的个数为（个． 故选：D． 【变式4-3】一个不透明的盒子里有“中秋”主题和“国庆”主题的贺卡共30张，这些贺卡的外观、大小、质地完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“国庆”主题贺卡的频率稳定在，则估计盒子中“中秋”主题贺卡有（   ） A．18张 B．12张 C．10张 D．8张 【答案】A 【分析】本题主要考查已知概率求数量．根据频率估计概率的原理，抽到“国庆”主题贺卡的频率稳定在，即其概率约为，由此可计算“国庆”贺卡的数量，进而求得“中秋”贺卡的数量． 【详解】解：∵抽到“国庆”主题贺卡的频率稳定在， ∴“国庆”主题贺卡的数量约为张， ∴“中秋”主题贺卡的数量约为张． 故选：A． 题型五 列举法求概率 【例5】．某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，先后摸出两个小球（每次只摸出一个球，第一次摸出后放回），摸出的两球上金额的和为50元的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查简单的概率计算．需先确定所有可能的结果数及符合条件的结果数，根据，再求概率． 【详解】解：因为是第一次摸出后放回， 所以先后摸出两个小球的所有可能结果有种，分别是，， 其中，两球上金额的和为50元的结果有和两种， 根据概率公式，可得所求概率． 故答案为：． 【变式5-1】．从由1，2，3，4，5，6组成的三位渐升数（如123，145）中任取一个数，则这个三位渐升数能被9整除的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查求解概率，常用方法有：树状图法、列表法和列举法，本题即为列举法．掌握求解概率的方法是解本题的关键． 列出所有的三位渐升数，然后找出能被9整除的数，从而得出概率． 【详解】解：所有的渐升数为123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20个， 其中126，135，234能被9整除， 故所求概率为． 故答案为：． 【变式5-2】．将数字1，2，3随机填入到右面的方格中，摆出的三位数是4的倍数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查求概率，列举法求出概率即可． 【详解】解：摆出的三位数共有，共6种情况，其中摆出的三位数是4的倍数的结果有共2种， ∴； 故答案为：． 【变式5-3】．小侯和爸爸、妈妈、姐姐暑假乘坐高铁来十堰旅游，如图，买了同车同排四张高铁票，上车后随机坐到这四个位置（深色B，C，D，F），乘务员验票时发现是一家四口的座位，但四个人都没有坐到车票上名字所对应的位置，请问四人都没坐到车票上名字所对应位置的概率是 ． 【答案】 【详解】解：设小侯，姐姐，妈妈，爸爸原本对应的位置分别为B、C、D、F， 假设小侯先选择座位，那么小侯有4种选择，接着姐姐选择座位，那么姐姐有3种选择，接着妈妈选择座位，那么妈妈有2种选择，最后爸爸选择座位，那么爸爸有1种选择， ∴一共有种选择； 当小侯选择C时，则有以下三种情况符合题意，姐姐选择B，爸爸选择D，妈妈选择C；姐姐选择D，爸爸选择F，妈妈选择B；姐姐选择D，爸爸选择B，妈妈选择D； 同理当小侯选择D或者F时，都有三种情况符合题意， ∴一共有种情况符合题意， ∴问四人都没坐到车票上名字所对应位置的概率是， 故答案为：． 题型六 列表法求概率 【例6】．小明和小刚各有一枚硬币，小明在硬币的正面贴上黄色标签，反面贴上红色标签；小刚在硬币的正面贴上蓝色标签，反面贴上红色标签，两人分别抛掷各自的硬币．求硬币落地后出现颜色相同的概率． 解：列表如下（请补充下表）． 小明 小刚 篮 红 黄 红 总共有 种可能的结果，每种结果出现的可能性 ．其中硬币落地后出现颜色相同的结果有 种，其概率为 ． 【答案】 黄，蓝 黄，红 红，蓝 红，红 4 相等 1 /0.25 【分析】此题考查列表法求事件的概率，熟练掌握列表法与树状图法求概率是解题的关键， 根据题意补充列表即可，由表格可知，总共有4种可能的结果，每种结果出现的可能性相等．其中硬币落地后出现颜色相同的结果有1种，其概率为． 【详解】解：列表如下， 小明 小刚 蓝 红 黄 黄，蓝 黄，红 红 红，蓝 红，红 总共有4种可能的结果，每种结果出现的可能性相等．其中硬币落地后出现颜色相同的结果有1种，其概率为， 故答案为：黄，蓝；黄，红；红，蓝；红，红；4，相等，1，． 【变式6-1】．随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则能让灯泡发光的概率是（    ） A.  　B．   C.  　D． 列表如下： S1 S2 S3 S1 (S2，S1) (S3，S1) S2 (S1，S2) (S3，S2) S3 (S1，S3) (S2，S3) 共有 种等可能的情况，必须闭合开关S3灯泡才亮，即能让灯泡发光的概率是 ＝． 【答案】 6 【解析】略 【变式6-2】．甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，第二次由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人．我们可以用下面的列表来分析第二次传球所有可能出现的结果．则第二次传球后球回到甲手里的概率为 ． 第2次第1次 甲 乙 丙 丁 乙 乙甲 / 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 / 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 / 【答案】 【详解】分析：由表知共有9种等可能结果，其中第二次传球后球回到甲手里的有3种结果，再根据概率公式计算可得． 详解：由表格可知，共有9种等可能结果，其中第二次传球后球回到甲手里的有3种结果， 所以第二次传球后球回到甲手里的概率为， 故答案为． 点睛：本题考查了列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 【变式6-3】．随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，求能让灯泡发光的概率 列表如下： S1 S2 S3 S1 (S2，S1) (S3，S1) S2 (S1，S2) (S3，S2) S3 (S1，S3) (S2，S3) 共有 种等可能的情况，必须闭合开关S3灯泡才亮，即能让灯泡发光的概率是 ． 【答案】 6 【分析】（1）根据表格中列出的可能的情况求解即可； （2）根据表格中列出的能让灯泡发光的有4种情况，总共有6种等可能的情况，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：由表格可得，所有等可能的情况分别为：(S2，S1) ，(S3，S1) ，(S1，S2) ，(S3，S2) ，(S1，S3) ，(S2，S3) ， 所以共有6种等可能的情况， 故答案为：6． 由表格可得，其中能让灯泡发光的情况有：(S3，S1) ，(S3，S2) ，(S1，S3) ，(S2，S3) ， ∴能让灯泡发光的情况有4种， ∴能让灯泡发光的概率是， 故答案为：． 题型七 树状图法求概率 【例7】．为解决“在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球”的问题，小明画出图2所示的树状图.已知这些球除颜色外无其他差别，根据树状图，小明从两个口袋中各随机取出的1个球恰好是1个白球和1个黑球的结果共有 种．              【答案】1 【分析】根据树状图展示的所有结果，找出恰好1个白球和1个黑球所占结果． 【详解】解：由树状图得，从两个口袋中各随机取出一个球共有6种等可能结果， 其中恰好1个白球和1个黑球只有1种结果． 故答案是1． 【点睛】此题考查的是树状图的知识点，根据树状图展示的所有结果，找到符合条件的结果数是解题的关键． 【变式7-1】．掷--枚硬币两次，可能出现的结果有四种.我们可以利用如图所示的树状图来分析所有可能出现的结果.那么掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的概率是 . 【答案】 【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有4种等可能的结果数，其中掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的结果数为3， 所以掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的概率=． 故答案为． 【变式7-2】．将三张除了正面所标数字不同外 （分别写有数字3、4、5）其余均相同的扑克牌倒扣在桌面上，嘉淇根据抽牌结果画出了如图所示正确的树状图，对于抽牌规则，有下列说法： ①随机抽出一张牌放回，再随机抽出一张牌； ②随机抽出一张牌不放回，再随机抽出一张牌； ③同时随机抽出两张牌． 其中符合树状图抽牌规则的是 （       ） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据树状图分析，属于不放回抽取，即可求解． 【详解】解：由树状图可得抽牌规则为不放回抽取， 故选：D． 【变式7-3】．有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（　　） A．随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球 B．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球 C．随机摸出一个球后放回，再随机摸出2个球 D．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出2个球 【答案】B 【分析】根据树形图，可得此次摸球的游戏规则是：随机摸出一个球后不放回，再随机摸出个球． 【详解】解：观察树形图可得：袋子中共有红，黄，蓝三个小球， 此次摸球的游戏规则为：随机摸出一个球后不放回，再随机摸出个球． 故选：B． 【点睛】此题考查了用树状图法求概率的知识．注意掌握试验是放回实验还是不放回实验． 题型八 游戏的公平性 【例8】．小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 【答案】(1)这个游戏不公平，详见解析 (2)拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了． 【详解】（1）解：游戏方案不公平，理由如下： 由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一白一红”有4种，摸到“一红一蓝”的情况有2种， 故小颖获胜的概率为 ，小亮获胜的概率为，所以这个游戏不公平． （2）解：当拿出一个白球时，其他不变，同理可求摸到“一白一红”和摸到“一红一蓝”的概率均是； 或放进一个蓝球，其他不变，则同理可求摸到“一白一红”和摸到“一红一蓝”的概率均是； ∴游戏就公平了． 【变式8-1】．某班在选拔人员参加年级数学竞赛过程中，有A，B两同学分数相同，由于参赛名额所限，这两人中只能一个参赛，经商议决定采取摸球方式解决，将2个红球、1个绿球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出2个球． (1)“摸出的2个球，都是红球”是________事件；（填“随机”或“不可能”或“必然”） (2)若两同学以摸球方式决定代表参加数学竞赛，摸出的2个球，若颜色相同，则同学去参赛；若颜色不同，则同学去参赛，这游戏方案设计公平吗？说明理由． 【答案】(1)随机 (2)不公平，理由见解析 【详解】（1）解：∵一个不透明的袋子中放有2个红球、1个绿球， ∴摸出的2个球都是红球”是随机事件， 故答案为：随机； （2）解：不公平．理由如下： 列表如下：      球1 球2 红1 红2 绿 红1 （红2，红1） （绿，红1） 红2 （红1，红2） （绿，红2） 绿 （红1，绿） （红2，绿） ∴共有6种结果，每种结果出现的可能性相等，且摸出的2个球颜色相同的结果有2种． ∴P（摸出的2个球颜色相同）， P（摸出的2个球颜色不同）． 故该游戏方案对双方不公平． 【变式8-2】．电影《志愿军：浴血和平》于2025年9月30日上映，小明和小刚都想去看，但只有一张电影票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则如下： 将四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，记下数字后放回，另一人再从袋中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字之和大于5，则小明获胜；否则小刚获胜． (1)请利用画树状图或列表的方法，求小明获胜的概率； (2)这个游戏规则是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【详解】（1）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有16种等可能性的结果数，其中摸出的两个球上的数字之和大于5的结果数有6种， ∴小明获胜的概率为； （2）解：这个游戏规则不公平，理由如下： 由（1）可得摸出的两个球上的数字之和不大于5的结果数有10种， ∴小刚获胜的概率为， ∵， ∴小刚获胜的概率比小明的大， ∴这个游戏规则不公平． 【变式8-3】．为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表． 垃圾分类知识测试成绩统计表 测试等级 百分比 人数 A．优秀 5% 10 B．良好 30 C．及格 45% m D．不及格 n 请结合统计表，回答下列问题： (1)求本次参与调查的学生人数及m，n的值； (2)如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为3600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数； (3)为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平． 【答案】(1)200人，， (2)720人 (3)不公平，说明见详解 【详解】（1）解：本次参加调查的学生人数为（人）， ，． （2）解：（人）， 即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为720人． （3）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种， ∴，， ∵， ∴这个游戏规则不公平． 基础巩固通关测 一、单选题 1．不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是绿球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查概率的简单计算，掌握知识点是解题的关键． 直接应用概率公式计算，绿球个数除以总球数即可． 【详解】解：∵袋子中装有1个红球和3个绿球，总球数为个， ∴从中随机摸出一个球，恰好是绿球的概率为． 故选D． 2．为了培养学生的劳动能力，学校将一块正方形实验地分成A，B，C，D四部分给学生种白菜、茄子、辣椒、毛豆四种蔬菜（如图所示），每块实验田只能种一种农作物，则白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用枚举法求概率，解题关键是枚举出所有可能结果． 先枚举出所有可能结果，并求出所有可能结果种数与符合条件的结果数，再利用概率公式求解． 【详解】根据题意，如果A部分种植白菜，则A，B，C，D四部分种植蔬菜的方式如下： 白菜、茄子，辣椒、毛豆； 白菜、茄子、毛豆、辣椒； 白菜、辣椒、茄子、毛豆； 白菜、辣椒、毛豆、茄子； 白菜、毛豆、茄子、辣椒； 白菜、毛豆、辣椒、茄子． 共有6种等可能的结果，其中白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的结果有2种． 类似的，如果部分种植茄子，辣椒或毛豆结果均一样， （白菜与辣椒两种蔬菜不相邻）． 故选：A． 3．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（    ）种不同的可能？ A．12 B．6 C．5 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了概率的知识，解题的关键是通过列举法列出所有可能性的路径．分析两道门各自的可能性情况，再进行组合即可求解． 【详解】解：∵第一道门有A，B，C三个出口， ∴出第一道门有三种选择， 又∵第二道门有D、E两个出口， ∴出第二道门有两种选择， ∴松鼠走出笼子的路线有6种选择，分别为：、、、、、． 故选：B． 4．从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币，当次数很大时，落下后正面朝上的频率最有可能接近的数值为（   ） A．0.83 B．0.52 C．0.15 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握频率在大量重复试验下趋近于概率是解题的关键．根据频率估计概率的知识，质地均匀的硬币抛大量次时，正面朝上频率接近概率，而硬币正面朝上概率为，据此分析选项即可． 【详解】解：因为抛掷质地均匀的硬币，正面朝上的概率． 当试验次数很大时，频率趋近于概率． 各选项中只有最接近． 故选：B． 5．明明和亮亮两人用如图所示的正四面体（每个面上分别刻有数字0，1，2，）做游戏，两人各掷两次四面体，四面体与地面接触的数字之和为奇数，则明明胜；和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（   ） A．公平 B．对明明有利 C．对亮亮有利 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图可得： 由数轴图可得，共有种等可能出现的结果，其中四面体与地面接触的数字之和为奇数的情况有种，和为偶数的情况有， ∴明明胜的概率为，亮亮胜的概率为， ∵， ∴对亮亮有利， 故选：C． 二、填空题 6．在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为 次． 【答案】 【分析】本题考查了概率的意义，解题的关键是明确概率的意义，在大量重复试验下，事件发生的频率会趋近于某个数附近，这个数即概率． 根据概率的意义，事件发生的可能次数等于概率乘以实验次数，求解即可． 【详解】解：事件发生的概率为，进行1000次独立重复实验， 事件发生的次数约为， 故答案为：． 7．甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为1，2，3的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查了列表法求概率，游戏公平性问题；先根据题意列出表格，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 共有9种情况，和为奇数有4种情况，和为偶数有5种情况， ∴甲获胜的概率是，乙获胜的概率是 所以这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 8．某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，则作出决策为 （填“出海”、“不出海”）． 【答案】出海 【分析】利用概率算出获得收益的平均值比较即可． 【详解】解：预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，， 下月是好天气的可能性坏天气的可能性； 又若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费， 出海的话，获得平均收益（获得收益的数学期望）（元， 不出海：（元， ， 船队队长作出决策为：出海． 故答案为：出海． 【点睛】本题主要考查概率的实际应用，能够通过概率算出平均收获是解题关键． 9．在，，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为关于x的一元二次方程中的a的值，则这个一元二次方程没有实数解的概率为 ． 【答案】 【分析】考查了概率公式及根的判别式的知识，解题的关键是确定能使得方程无解的未知数的值．首先根据根的判别式确定方程无实数解时a的值，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：当一元二次方程无实数解时，， 解得：， ∴在，，1，2，3，4这6个数中随机选取一个数作为一元二次方程中的a的值，使得一元二次方程没有实数解的a的值为3和4，一共2个， ∴在，，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为一元二次方程中的a的值，则这个一元二次方程没有实数解的概率为， 故答案为：． 10．某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了用频率估计概率以及概率的计算，解题的关键是分别计算不同正整数对应的概率，再与折线图中稳定的频率对比． 先确定从1到9中不同正整数的倍数个数，计算对应的概率，再结合折线图中频率稳定的范围（约0.33），找出最符合的． 【详解】解：从1到9的连续整数共有9个．根据“用频率估计概率”，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，折线图中事件发生的频率稳定在0.33左右，因此需计算不同正整数时，“选到的倍数”的概率： 若，到9中2的倍数有，共4个，概率为，与0.33不符． 若，到9中3的倍数有，共3个，概率为，与折线图中稳定的频率（约0.33）接近． 若，到9中4的倍数有，共2个，概率为，与0.33不符． 其他更大的（如），1到9中的倍数更少，概率更小，均不符合． 因此，正整数的值最可能是3． 故答案为：3． 三、解答题 11．2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． A．潍坊风筝     B．东明粮画 C．青神竹编      D．延安剪纸 (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是___________． (2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅；请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了随机事件的概率计算，包括一步随机事件的概率和两步随机事件的概率．解题的关键是明确概率的计算公式（概率所求情况数与总情况数之比），并通过列表或树状图清晰呈现两步随机事件的所有可能结果． （1）确定总情况数为4，选中“青神竹编”的情况数为1，根据概率公式计算即可； （2）通过列表或树状图列出所有可能的选择结果，找出两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的结果数，再结合概率公式求解． 【详解】（1）解：总共有4幅图，随机选择一幅，选中“C．青神竹编”的情况只有1种．根据概率公式，所求概率为． 故答案为：． （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的结果数为2． 所以两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 12．一张长方形桌旁设有6个座位，甲、乙到达时，发现丙和丁已经先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人只能等可能性地坐到①②③④中的2个座位上． (1)甲坐在①号座位的概率是______； (2)用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．（如丙和丁，丙和①均称相邻而坐）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查概率的计算，包括单个事件的概率和复合事件的概率．概率计算公式为：概率＝所求情况数÷总情况数． （1）甲有4个座位可以选择，其中只有1种情况是甲坐在①号座位上，据此即可求解； （2）画出树状图，求得所有可能出现的结果数，以及甲与乙恰好相邻而坐的结果数，然后利用概率计算公式求解即可． 【详解】（1）甲有4个座位可以选择，其中只有1种情况是甲坐在①号座位上， 因此，甲坐在①号座位的概率是； 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，甲与乙恰好相邻而坐的结果有6种， ∴甲与乙相邻而坐的概率为． 13．某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000 落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 298 604 落在“可乐”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 (1)完成上述表格；（结果全部精确到0.1） (2)请估计当n很大时，频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是 ；（结果全部精确到0.1） (3)转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 【答案】(1)472；0.6 (2)0.6，0.6 (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率的定义计算时的频率和频率为0.59时的频数． （2）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近0.6，然后根据利用频率估计概率得“可乐”的概率约是0.6． （3）可根据获得“洗衣粉”的概率为，然后根据扇形统计图的意义，用乘以0.4即可得到表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角． 【详解】（1）解：； ． （2）解：估计当n很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是0.6； 故答案为：0.6；0.6． （3）解：， 所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是． 14．如图，有，两个转盘，其中转盘被分成4等份，转盘被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将转盘指针指向的数字记为，转盘指针指向的数字记为，从而确定点的坐标为． (1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点的坐标． (2)在（1）的基础上，求点落在反比例函数图象上的概率． (3)记，李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当时甲获胜，否则乙获胜，若这个游戏是公平的，求的值．（取整数） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，反比例函数的性质和游戏公平性，准确分析计算是解题的关键． （1）利用树状图或列表法求解即可； （2）由（1）得到符合条件的点的个数，利用概率公式计算即可； （3）根据游戏公平性分析判断即可； 【详解】（1）列表如下： 1 2 3 4 2 4 6 由表格可得点的坐标共种． （2）当点坐标为或时，点在反比例函数上， 点落在反比例函数图象上的概率为． （3）由（1）中的表格可得：的值分别为3，4，5，6，5，6，7，8，7，8，9，10，共12个， 游戏是公平的， 甲乙获胜的概率都是，即的可能性有6个（的取值为3，4，5，5，6，6）． 又为整数， ． 15．将所有可能的取值与其对应的概率相乘，再将这些结果相加，称为这个事件的数学期望，它与随机事件的平均值密切相关．一个随机事件可能出现的值为、…，对应的概率为、…，则数学期望为．例如，抛掷一个骰子，出现的概率都为，则点数的数学期望为，也可以说投骰子出现的平均点数为． (1)海猫超市推出的返现活动如下：顾客在超市中消费一定金额后，可参加抽奖，返现金额与概率如下表所示，计算返现金额的数学期望； 金额 3元 4元 5元 6元 概率 (2)某六面骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，，（n为正整数），n为何值时，点数的数学期望最小？请说明理由． 【答案】(1)元 (2)当时，数学期望最小，理由见解析 【分析】本题考查了的最值，利用概率计算随机事件发生的数学期望，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据表中数据，利用定义法求解； （2）先根据题意，列出点数的数学期望的算式，再配方后求出最值即可． 【详解】（1）解：返现金额的数学期望为 （元）； （2）解：点数的数学期望为 ， 当时，数学期望最小，最小值为． 能力提升进阶练 一、单选题 1．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球，4个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中红球的个数为（    ） A．4 B．10 C．20 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了频率估计概率，概率的计算，熟练掌握概率的计算是解题的关键．根据频率估计概率，摸到红球的概率为，设红球个数为x，利用概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设红球有x个，则总球数为（个）， 摸到红球的频率稳定于， 其概率为， ， 解得， 袋中红球有8个． 故选：D． 2．在一个不透明的袋子里有红球、白球若干个，其中白球12个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子里红球的个数估计是（   ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了频率估计概率．根据频率估计概率，摸到红球的概率约为，利用概率公式可得袋子里红球、白球的总数，即可求解． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在， ∴摸到红球的概率为， ∴袋子里红球、白球的总数为， ∴袋子里红球的个数估计是． 故选：A． 3．下列命题中真命题是（   ） A．一组数据的方差越大，说明该组数据越具有稳定性 B．某抽奖活动中奖的概率是，参与次抽奖一定会中奖 C．在一个随机事件过程中某种结果的出现概率是由实验的次数决定的 D．将、、、、依次重复写遍，得到这个数的平均数是 【答案】D 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及方差的性质、概率的意义、概率的定义及平均数的计算等知识，熟记方差的性质、概率的意义、概率的定义及平均数的计算是解决问题的关键．根据相关知识点逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即数据波动越大，也就意味着数据越不稳定；方差越小，数据越稳定．所以“一组数据的方差越大，说明该组数据越具有稳定性”是错误的．故A是假命题，不符合题意； B.某抽奖活动中奖的概率是，表示在大量重复抽奖的情况下，平均每次抽奖中奖的可能性是，参与次抽奖，只是有可能中奖，但不是一定会中奖，因为每次抽奖的结果都是独立的，具有随机性．所以“参与次抽奖一定会中奖”是错误的．故B是假命题，不符合题意； C.在一个随机事件中，某种结果出现的概率是由事件本身的性质决定的，而不是由实验的次数决定的．实验次数只是用来估计概率，当实验次数足够多时，频率会逐渐稳定在概率附近．所以“某种结果的出现概率是由实验的次数决定的”是错误的．故C是假命题，不符合题意． D.已知、、、、依次重复写遍，可得这个数据的总和为，所以这个数据的平均数为，该命题是真命题，符合题意． 故选：D． 4．如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小李帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用频率估计概率，掌握概率公式是解题的关键．先计算出点落在黑色区域的频率稳定值，再用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可求解． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右， 点落在黑色区域的频率稳定在左右， 估计此二维码中黑色区域的面积为． 故选：A． 5．有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（    ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜 B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜 C．取出的两个数乘积小于20时甲得3分，否则乙得5分，游戏结束后，累计得分高的人获胜 D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜 【答案】A 【分析】利用列表法分别求出各选项中各自情况情况数即可得出答案． 【详解】解：在上的点有，，，四点；在上的点有，，三点，因此该游戏不公平，故A符合题意； 取出两个数的乘积不大于15的有5、6、7、8、10、12、14、15共8种情况，取出两个数的乘积大于15的有16、18、20、21、24、24、28、32共8种情况，因此该游戏公平，故B项不符合题意； 取出的两个数乘积小于20的情况数为10种，可得分，取出的两个数乘积不小于小于20的情况数为6种，可得分，因此该游戏公平，故C项不符合题意； 取出的两个数相加和为奇数有8种，和不为奇数的有8种，因此该游戏公平，故D项不符合题意 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查了游戏的公平性，求出各选项中对应情况数是解题的关键． 二、填空题 6．在两个不透明的袋子中分别装有一些除颜色外完全相同的球．甲袋中装有个白球、个黄球，乙袋中装有个白球、个黄球，这些球除颜色外无其他差别，在看不到球的情况下，从两个袋子中各随机摸出一个球，摸出的两个球的颜色都是白色的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查概率的知识。解题的关键是掌握列举法求概率，根据题意，列出所有等结果的可能性，即可． 【详解】解：树状图如下：    ∴两个袋子中各随机摸出一个球的概率为：（白，白）；（白，黄）；（白，黄）；（白，白）；（白，黄）；（白，黄）；（黄，白）；（黄，黄）；（黄，黄）共中结果，其中两个球的颜色都是白色的结果为； ∴摸出的两个球的颜色都是白色的概率为：． 故答案为：． 7．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得 元；乙得 元． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 8．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有 棵． 【答案】1600 【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率约为0.8， ∴这种树苗成活的概率为0.8， ∴这种树苗移植2000棵，成活的大约有：（棵）， 故答案为：1600． 9．在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为 粒． 【答案】120 【分析】本题主要考查了概率的应用，根据概率的意义正确列出算式是解题的关键． 由题意可知标上记号豆子的概率为，然后再用标记豆子的数量除以概率即可解答． 【详解】解：由题意可知：瓶子中被标记豆子的概率为， 所以瓶子中豆子的总数为粒． 故答案为：120． 10．从，，，，，这个数中任意选一个数作为的值，则使关于的方程的解是负数，且关于的一次函数的图象不经过第一象限的概率为 ． 【答案】． 【分析】先求出分式方程的解，再根据解为负数求出此时m的取值范围，再根据一次函数图像不经过第一象限求出m的取值范围，最终确定m可以选取的数值，最后计算概率． 【详解】解分式方程得： 方程的解为负数， 且， 解得：且， 一次函数图象不经过第一象限， ， 且， 在，，，，，这个数中符合且的有，这个数， 使分式方程的解为负数且一次函数图象不经过第一象限的概率为 故答案为：． 【点睛】本题考查概率公式，分式方程的解，一次函数图象与系数的关系等知识点，综合性较强。注意求分式方程的解时分母不能为零． 三、解答题 11．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次． (1)转动A盘，指针指向的数字大于3的概率是________，转动B盘，指针指向的数字小于5的概率是________； (2)若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，请判断该游戏是否公平？并说明理由． 【答案】(1) ， (2)该游戏不公平，理由见答案 【分析】（1）根据概率的概念进行求值即可； （2）先计算所有可能的结果，然后根据概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，通过比较概率相等与否判断游戏是否公平即可. 【详解】（1）解：； . （2）解： 由树状图可知共有25种情况，其中为奇数的情况个数为13种，偶数的情况12种， ∴小亮胜的概率为：； 小明胜的概率为：； 两人获胜概率不相等 ∴该游戏不公平. 【点睛】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键. 12．华山，古称“西岳”，雅称“太华山”，为中国著名的五岳之一，位于陕西省渭南市华阴市，有着“奇险天下第一山”的美誉．小宇和小辰做游戏：小宇将他去华山游玩时拍的两张风景照片打印出来，如图所示的甲、乙图片，然后把这两张图片从中间剪断，分成4张形状相同的小图片，将其混合在一起洗匀，背面朝上放置在桌面上．小宇先从这4张图片中随机抽取一张（不放回），小辰接着再随机抽取一张．（设4张小图片分别用表示） (1)小宇抽取的图片是甲图片上半部分的概率是_________； (2)若规定：抽取的两张小图片中，能拼成一张完整的图片，则小宇获胜；否则小辰获胜．你认为这个游戏公平吗？请你用列表或画树状图的方法计算说明理由． 【答案】(1) (2)游戏不公平 【详解】（1）解：小宇抽取一张共有种结果，是等可能性的，抽到甲图片上半部分图片有种结果， ∴小宇抽到甲图片上半部分图片的概率是； （2）设四张小图片分别用A，a，B，b表示，（同一个字母的大小写表示同一图片的两张小图，）画树状图得：    ∵共有种等可能的结果，其中摸取的两张小图片恰好合成一张完整图片的有种， ∴小宇获胜的概率为； 摸取的两张小图片不能合成一张完整图片的有种， ∴小辰获胜的概率为； ∵， ∴游戏不公平． 13．如图，某景区停车场有，两个停车区域，其中，区剩余1个空车位，区剩余2个空车位，．将甲、乙两辆车随机停入这3个空车位中，每个车位只能停一辆车．    (1)甲车停在区的概率是__________； (2)请通过列表法或树状图法，求甲、乙两辆车停在相同区域的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵甲车停放的所有可能结果有3种，停在A区的只有1种， ∴甲能够停放在A区的概率是； （2）解：依题意，、两个停车区域的空车位即为“”，“”，“”，    一共有6种等可能的结果，满足“甲、乙两车停在相同区域”的结果有2种，即， ∴甲、乙两辆车停在相同区域的概率为． 14．在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： 根据以上信息解答问题： (1)本次调查的学生总人数有 人； (2)已知全校共1200名学生，请估计全校C档的人数； (3)学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到2名学生都来自九年级的概率． 【答案】(1)40 (2)360人 (3) 【详解】（1）解：（人）， ∴本次调查人数是40人， 故答案为：； （2）解：C档人数是：（人）， （人）， 答：全校C档的人数为360人； （3）解：用甲表示七年级学生，用乙表示八年级学生，用丙和丁分别表示九年级学生，画树状图如下， 因为共有12种等可能的情况数，其中抽到2名学生都来自九年级的2种， 所以抽到2名学生都来自九年级的概率为：． 15．如图，放在平面直角坐标系中的正方形ABCD的边长为4，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子（如图，它有四个顶点，各顶点数分别是1、2、3、4），每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P的坐标（第一次的点数为横坐标，第二次的点数为纵坐标）． （1）求点P落在正方形面上（含边界，下同）的概率； （2）将正方形ABCD平移数个单位，是否存在一种平移，使点P落在正方形面上的概率为？若存在，指出其中的一种平移方式；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）． 【试题分析】（1）列表格把每种情况都列举出来，看看满足条件的有几种，然后作比即可. （2）将正方形向左平移1个单位，向下平移1个单位就能够满足条件. 【试题解析】（1）由图可知，点P落在正方形面上（含边界，下同）的情况是：（1，1），（2，1），（3，1），（1，2），（2，2），（3，2），（1，3），（2，3），（3，3）；概率是：9÷16=． x y 1 2 3 4 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （2）如图所示， 平移后第一象限内的点有：（1，1），（2，1），（1，2），（2，2）， 点P落在正方形面上的概率为4÷16=． 【方法点睛】本题目是一道简单事件的概率问题，往往用列举法来求解. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $