精品解析：辽宁省锦州市某校2025-2026学年高三上学期第二次阶段性考试数学试题

2026届高三第一学期第二次阶段性考试参考答案 一、单选题 1. 双曲线的焦点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化双曲线的方程为，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由双曲线，可化为，可得，， 则，所以焦点为. 故选：B. 2. 已知条件，条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得、，再由充分、必要性定义确定条件间的关系. 【详解】由，得，即， 由，得，即. 推不出，但能推出， 是的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知复数，，为虚数单位，若z为纯虚数，则（ ） A. B. 6 C. 12 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算计算，由为纯虚数求得，进而得及. 【详解】， 为纯虚数，且，， ，，. 故选：D. 4. 已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，借助圆台轴截面等腰梯形的性质求出圆台的高，再利用圆台的表面积公式求解. 【详解】依题意，圆台轴截面等腰梯形的上下底边长分别为，底角的正切值为2， 因此圆台的高，即该等腰梯形的高，则母线， 所以圆台的表面积. 故选：D 5. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则下列结论错误的是（   ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为6 C. 椭圆上存在点，使得 D. 若，则的面积为 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆上的点到焦点距离的最值列式计算得出，计算判断A，应用椭圆定义计算判断B，结合数量积坐标公式结合椭圆方程计算求解判断C，应用焦点三角形面积公式计算判断D. 【详解】由题意得，的最大值为3，最小值为1，，解得， 椭圆的离心率为，正确. 点在上，根据椭圆的定义有，又两焦点间距离为，故的周长为，正确 设，椭圆的左，右焦点分别为，，， 若，则，即， 点在上，，联立得，即，无实数解，因此椭圆上不存在这样的点，不正确. 设，因为，所以在中， 而，所以， 正确. 故选：C. 6. 甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分12次还清所有的欠款，从2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比乙将多还多少元（精确到个位，参考数据：，，）（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先求出学生甲在第5个月的还款额，再利用等比数列的性质，求和公式得到学生乙每个月的还款额均为元，从而得到10月初甲比乙将多还元. 【详解】学生甲从5月初到9月初已经还了4个月， 在第5个月的还款额为元， 设学生乙每个月的还款额均为元，第个月还款后还剩余元未还， 显然，，， ……，， 显然，故， 所以，故， 依次类推，可得， 即， 所以， 由等比数列求和公式可得 ， 故元， 学生乙每个月的还款额均为元， 所以甲比乙将多还元． 故选：A 7. 已知球是三棱锥的外接球，，，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断出为直角三角形，从而确定斜边的中点就是其外接圆的圆心，进而确定使得三棱锥体积取得最大值的点的位置，利用锥体的体积公式求出的值，再根据球的性质求出球的半径为，即可求出球的体积. 【详解】 ，，由余弦定理可得： ， ，因，则有， 的外接圆的圆心是斜边的中点， 过且垂直于平面的直线一定过球心. 连接并延长与球相交的点即使得三棱锥的体积取得最大值的点. ，，， 三棱锥体积的最大值为， ，解得. 设球的半径为，，， ，即，解得， 球的体积为. 故选：D 8. 已知正方形的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立直角坐标系，取点，探讨满足条件的点的轨迹，再结合已知，求出两条线段长度和的最小值作答. 【详解】依题意，以点原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，则，如图， 取点，设，当时，， 化简整理得，即点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 而点在以为圆心，1为半径的圆上，因此，显然点在圆：外， 则，当且仅当为线段与圆的交点时取等号， 而，所以的最小值为. 故选：D 【点睛】关键点睛：建立坐标系，取点并求出满足条件的点的轨迹是解题的关键. 二、多选题 9. 下列命题正确的有（　） A. B. 函数与是同一个函数 C. 若函数的定义域为，则 D. 命题“，”的否定为“，有” 【答案】BC 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系可判断A选项；利用函数相等的概念可判断B选项；分析可知在上恒成立，分、两种情况讨论，结合二次不等式恒成立可得出关于的不等式组，求出的范围，可判断C选项；利用全称量词命题的否定可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，函数的定义域为， 函数的定义域为，且，故函数与是同一个函数，B对； 对于C选项，若函数的定义域为，则在上恒成立， 当时，得到，符合题意， 当时，可得，解得，综上可得，C对； 对于D选项，命题“，”为全称量词命题，该命题的否定为“，有”，D错. 故选：BC. 10. 已知点P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N，则下列说法正确的是（ ） A. 若P的坐标为，则PM，PN的方程为和 B. 线段PM的长度的最小值为 C. 四边形PMCN的面积的最小值为 D. 直线MN过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，求出圆心和半径，分别讨论过的直线无斜率和有斜率，利用圆心到直线的距离等于半径求解；选项B，求出，求的最小值转化为求的最小值，由点P是直线l：上一动点，转化为的最小值为圆心到直线的距离，求解即可；选项C，四边形PMCN由两个全等的直角三角形和组成，则四边形PMCN的面积，利用最小时最小，求解即可；选项D，设，得到直线MN的方程为， 求出直线MN过定点即可. 【详解】选项A，圆C：的圆心为，半径为， 当过的直线无斜率时，此直线方程为，圆心到的距离为2， 故直线与圆相切； 当过的直线有斜率时，设此直线方程为， ，圆心到的距离为， 直线方程为与圆相切，， ，，过的切线方程为， 即， 综上可知，若P的坐标为，则PM，PN的方程为和， 故选项A正确； 选项B，，求的最小值转化为求的最小值， 点P是直线l：上一动点， 的最小值为圆心到直线的距离， ，故选项B错误； 选项C，四边形PMCN由两个全等的直角三角形和组成， 则四边形PMCN的面积， 当最小时，最小，由选项B中可知，， 即则四边形PMCN的面积的最小值为，故选项C正确； 选项D，点P是直线l：上一动点，设， 过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N， 直线MN的方程为， 即， 整理得， ，解得，则直线MN过定点，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 设函数，则下列说法正确的有（ ） A. 的定义域为 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小值为 D. 方程在上所有根的和为8π 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦函数和余弦函数的性质，结合导数的性质逐一判断即可. 【详解】A：由 ，故A正确； B：， 故的图象不关于对称，故B错误； C：， 故的一个周期为， 又， 故关于对称，由A知，定义域， 故只需研究时的最小值即可， 此时， 则 ， 其中恒成立， 故令得，此时单调递增， 令得，此时单调递减， 故在时，取得最小值，此时， 故的最小值为，故C正确； D：画出在上的图象，如下： 其中，则与共有8个交点， 由对称性可知，， 则方程在上所有根的和为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 已知直线经过、两点，直线的倾斜角为，若与平行，则____ 【答案】6 【解析】 【分析】首先表示出直线的斜率，直线的斜率，依题意，从而得到方程，解得即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 因为直线经过、两点，所以直线的斜率， 又与平行，，即，解得． 故答案为： 13. 已知向量在向量方向上的投影向量为，则______ 【答案】4 【解析】 【分析】先应用投影向量公式计算得出，再结合平面向量数量积运算律计算模长即可. 【详解】因向量在向量上的投影向量为， 则，即， 又，则有， 故. 故答案为：4. 14. 已知函数，若实数，满足，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用奇偶性定义和单调性的性质可得的奇偶性和单调性，由已知等式可得，利用基本不等式可求得的最大值，由此可得结果. 【详解】 ，易知， 令，而， 为定义在上的奇函数； 与均在上单调递增，在上单调递增； 由得：， 由为定义在上的奇函数可得：， ，故 （当且仅当，即，时取等号）， ，即的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 如图所示四棱锥，底面是边长为的正方形，、分别为、的中点. （1）证明：平面； （2）若，平面平面，求平面与平面夹角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作出对应辅助线后结合中位线及平行四边形性质可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）由题意结合面面垂直性质定理可得、、两两垂直，则可建立适当空间直角坐标系，再求出平面与平面法向量后，利用空间向量夹角公式与同角三角函数基本关系计算即可得解. 【小问1详解】 取中点，连接、， 由、分别为、中点，故且， 又为中点，底面是正方形，故且， 则且，则四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，故平面； 【小问2详解】 取中点，中点，连接、， 由，则，又平面平面， 平面平面，平面，故平面， 又平面，故， 由底面是正方形，故， 则、、两两垂直， 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 由，则，即， 则，则，， 设平面的法向量为， 则有， 取，则，，即， 由轴平面，故平面的法向量可为， 设平面与平面夹角为， 则， 则. 16. 已知. （1）求的值域； （2）若，，求； （3）已知中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，求的边的中线AD的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换将变形为，即可得的值域； （2）由求出及值，即可利用两角差的余弦公式求 ； （3）由求出角，在中，由余弦定理求出，将边的中线表示成，利用向量的数量积求出，即可得解. 【小问1详解】 因为 ， 所以的值域为； 【小问2详解】 因为，即. 又，则，所以， 所以； 【小问3详解】 因为，所以， 又，所以，所以，则. 在中，，，由余弦定理，可得. 设的边上的中线为，则， 所以， 所以，所以的边上的中线长为. 17. 已知函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）设，，求的单调区间； （3）若对于任意的都成立，求的最大值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由题设可得，求导，分，，三种情况讨论求解即可； （3）设，，转化问题为，利用导数分析函数的单调性，可得对于任意的都成立，令，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【小问1详解】 当时，，得， 则，， 所以在处的切线方程为. 【小问2详解】 由， 则， 令，得或， 当，即时，， 则函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当，即时，令，得，令，得或， 则函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当，即时，令，得，令，得或， 则函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 小问3详解】 由，，， 则，即，而，， 设，，则， 而， 所以函数上单调递增， 则对于任意的都成立，即对于任意的都成立， 令，，则， 令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故，则， 所以的最大值为. 18. 已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为，是线段的中点，其中． （1）求椭圆方程． （2）过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上存在点使得．求点的纵坐标的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由离心率得到，即可得到，从而表示出、、，再由面积公式求出，即可得解； （2）当直线斜率存在设该直线方程为，设，联立直线与椭圆方程、消元、列出韦达定理，根据数量积的坐标表示及求出的取值范围，再求出斜率不存在时的范围，即可得解. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，故，则，其中为半焦距， 所以， 故，解得（负值已舍去）， 所以，，故椭圆方程为. 【小问2详解】 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为， 设， 由， 可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，，使得恒成立. 19. 在数列中，对于任意的，都有（，为非零常数），则称数列为“－数列”．已知数列是“－数列”，且，． （1）证明：数列是常数列． （2）若数列是“－数列”，且，． （i）求数列的前项的和． （ii）若，是否存在非零常数，，使得数列为“－数列”？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）；（ii）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用给定的定义列式，再变形推理得证. （2）（i）由定义列式，再利用构造法求出，再利用并项求和法求解；（ii）利用错位相减法求出，假定存在，并由定义列式，借助恒成立推理判断. 【小问1详解】 由数列是“－数列”，得当时，， 整理得在，而，，即， 因此，所以数列是常数列. 【小问2详解】 （i）由数列是“－数列”，得当时，， 即，又，因此是首项为1，公差为2的等差数列， 则，令， 于是， 所以. （ii）由（1）知，而，则数列是首项为1，公比为3的等比数列，， ，即， 则， 两式相减，得 ，因此， 假设存在非零常数，使得数列为“－数列”，即当时，， 即，恒成立， 则，且对恒成立， 即，恒成立，于是，而此方程组无解， 所以不存在非零常数，使得数列为“－数列”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三第一学期第二次阶段性考试参考答案 一、单选题 1. 双曲线的焦点为（ ） A. B. C. D. 2. 已知条件，条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数，，为虚数单位，若z为纯虚数，则（ ） A. B. 6 C. 12 D. 20 4. 已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积为（ ） A B. C. D. 5. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则下列结论错误的是（   ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为6 C. 椭圆上存在点，使得 D. 若，则的面积为 6. 甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分12次还清所有的欠款，从2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比乙将多还多少元（精确到个位，参考数据：，，）（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知球是三棱锥外接球，，，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为（   ） A. B. C. D. 8. 已知正方形的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（ ） A B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题正确的有（　） A. B. 函数与是同一个函数 C. 若函数的定义域为，则 D. 命题“，”的否定为“，有” 10. 已知点P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N，则下列说法正确的是（ ） A. 若P的坐标为，则PM，PN的方程为和 B. 线段PM的长度的最小值为 C. 四边形PMCN的面积的最小值为 D. 直线MN过定点 11. 设函数，则下列说法正确的有（ ） A. 的定义域为 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小值为 D. 方程在上所有根的和为8π 三、填空题 12. 已知直线经过、两点，直线的倾斜角为，若与平行，则____ 13. 已知向量在向量方向上的投影向量为，则______ 14. 已知函数，若实数，满足，则的最大值为______. 四、解答题 15. 如图所示四棱锥，底面是边长为的正方形，、分别为、的中点. （1）证明：平面； （2）若，平面平面，求平面与平面夹角的正切值. 16. 已知. （1）求的值域； （2）若，，求； （3）已知中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，，，求的边的中线AD的长. 17. 已知函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）设，，求的单调区间； （3）若对于任意的都成立，求的最大值. 18. 已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为，是线段的中点，其中． （1）求椭圆方程． （2）过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上存在点使得．求点的纵坐标的取值范围． 19. 在数列中，对于任意的，都有（，为非零常数），则称数列为“－数列”．已知数列是“－数列”，且，． （1）证明：数列是常数列． （2）若数列是“－数列”，且，． （i）求数列的前项的和． （ii）若，是否存在非零常数，，使得数列为“－数列”？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $