山西晋城市高平市部分学校2025-2026学年高二第二学期6月月考数学试题

2025-2026学年第二学期高二年级6月月考试题 数学 (满分：150分；考试时间：120分钟) 第一部分（选择题共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1. 研究线性回归模型时，若成对数据(x,y)(i=1,2,…,n)所对应的点均在直线y=-2x+3上， 则线性相关系数为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.已知空间向量ā=(2，-1,2)，b=(1,2,2),则向量ā在向量6上的投影向量为() 488 A. (488 9'9’9 B.g9'9) 488 (212 C. 333 D. 333 3.某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对通义千问、DeepSeek、豆包这 3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选 择1种模型.若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为() A.144 B.114 C.94 D.78 4.2026年是丙午马年，某平台推出数字马年互动抽奖活动，每次抽奖抽中“6点幸运码”的 概率为卫(0<p<1).小明参与活动累计抽奖k次，最终恰好抽中6次6点幸运码”，但 未记录总抽奖次数.设随机变量Y表示抽奖n次时抽中“6点幸运码”的次数，现以使得 P(Y=6)最大的n值估计总抽奖次数（若有多个n使概率最大，则取其中最小值），并计 算E().下列说法正确的是（) A.E(Y)<6 B.E(Y)>6 C.E()=6 D.E()与6的大小关系不确定 5.正整数1,2,3，，n的倒数的和1++++上已经被研究了几百年，但是迄今为 23 n 止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时， 高二数学试题 (第 士++…+*1n+7,其中Y称为欧拉.马歇罗尼常数，7≈057215664901，至 n 今为止都不确定”是有理数还是无理数.设[x]表示不超过x的最大整数，用上式计算 的值为（参考数据：n2≈0.69，ln3≈1.10，lnl0≈2.30)（) 23 2027 A.10 B.9 C.8 D.7 9,bs1 6.己知a=n ,c=In 4 ,其中e为自然常数（e≈2.71828)，则a,b,c的大小 关系是() A.a>6>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a 7.已知点M(-1,0),N(0,1),在直线1：x-y+b=0上存在点P,满足PM=2PW,则实 数b的取值范围为() 「177 A.3 （ B. 「717 C.33 o.（[m 8.不等式e*-n(x+1)+x-lna≥a(x+1)恒成立，则a的取值范围为() A.(0,] B.(0,1) c.(0,e-1] D.(0,e-1) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列结论正确的是（) A.样本数据15,21,12,27,19,24,23,13,26,18的第75百分位数为23 B.若一组样本数据x,书，…，2026的方差2= 22s6-2y°+g-2+…+ks-2j]. 则这组样本数据的总和为4052 C,若随机变量x服从二项分布86》r=2x-1,则E们)=5 D.若随机变量X服从正态分布N5,o2),且P(3<X<5)=0.3,P(7<X<9)=0.15,则 P(X<1)=0.1 10.定义在0，上的函数f),已知了()是它的导函数，且恒有osxf)+sinx)<0 成立，g)=f四，则有() cOSx (第1页共2页) A8}周 B.ss c.()) D. 1.已知双曲线C: y2 a2- 左京=1(a>0,b>0)的右焦点为F,左、右顶点分别为4,4，双曲 线C上的点B满足IBF=√5且BF与x轴垂直.直线BA的斜率是直线BA的斜率的3 倍，点P0,2),点Q在C的左支上，则() A.双曲线C的方程为3x2-y2=1 B.双曲线C的渐近线方程为y=±√x C.|P2I+1OFI的最小值为2√5 D.IP2I的最小值为√ 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线l:x+2y+3=0与l2:2x-my+m=0互相平行，则m= 4与42之 间的距离为 13.若2√+ 的展开式的各项系数和为1，二项式系数和为128，则展开式中x2的系数 为 14.已知数列{an}的前n项和为Sn,若2n,Sn,4an成等差数列，则an= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15,（13分)现有两种脑机接口技术(A和B),用于完成某项意念控制任务.研究人员从我市 随机抽取了120名志愿者参与试验，得到如下列联表： 任务结果 技术类型 合计 成功 失败 技术A 50 10 60 技术B 30 30 60 合计 80 40 120 (1)根据小概率值心=0.001的独立性检验，分析任务结果是否与技术类型有关： 高二数学试题 (第 (2)己知市民甲使用脑机接口技术体验该项意念控制任务，其使用技术A和B的概率分 别为0.6,0.4.将上述试验中使用技术A,B时任务结果为成功的频率视为概率，求 甲体验的任务结果为成功的概率， n(ad -be)? 附：x2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(xzx) 0.05 0.010 0.001 0 3.841 6.635 10.828 16.(15分)已知数列{a}的前n项和为Sn,且3Sn+an=4 (1)求数列{a}的通项公式：(2)设b。=nan,且数列{bn}的前n项和为T,求T 17.(15分)已知直三棱柱ABC-AB'C中，∠BAC=90,AB=1,AC=2,AA=√5，点M、 A N分别为AB,B'C的中点. (I)求证：MN//平面AACC; (2)求A'N与平面BCN夹角的正弦值； (3)求三棱锥C-MNB的体积. 18.(17分)已知函数f(x)=2a(x-1)e-x2(a>0). (1)当0<a<1时，求f(x)的极值点； (2)若不等式f(x)>x-4a对x∈(-1，+∞)恒成立，求a的取值范围， ,y2 7分)已知点F是桶圆c:名+31a>b>0的石焦点，0为坐标原点，若C上 点与点F距离的最大值为3，最小值为1，过点F作C的两条互相垂直的弦AB,DE. (1)求C的方程： 1 1 (2)求证： AgDg的值为定值： (3)设AB,DE的中点分别为P,2,求证：直线P?过定点. (第2页共2页) 2025-2026学年第二学期高二年级6月月考数学试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B A C D A A BC CD 题号 11 答案 ABC 1.B 【详解】所有样本点都在直线y=-2x+3上，是完全线性相关. 斜率为负，属于完全负相关，所以线性相关系数r=-1. 2.A 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量a、6的夹角为B,因为à在6上的投影向量 又因为0=(2，-1,2)，6=(1,2,2)， 所以à-6=(2-1,2)(122)=4,6=9， 简看a 488 所以向量ā在向量6上的投影向量： 488 9'9’9 故A选项正确. 3.B 【分析】使用先分组后分配，间接法求解。 【详解】将5位同学分为三组并分配到三种模型共有： Cg+S)A9=25×6=150种方 A? 法，若小李和小赵调研同一种模型共有：CCA+CgA=36种方法， 所以若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为：150-36=114种方法. 4.A 【分析】先求得P(Y=6)的表达式，由此列不等式，结合数学期望的知识确定正确答案. 【详解】由题意，Y服从二项分布B(n,P), 则P(Y=6)=Cp(1-p)-6,要使P(Y=6)最大， 则C%p(1-p)-6≥Cp(1-p)-7且 Cp(1-p)≥Cp(1-p)m5,解得6-1sns名 p p 又neN,所以当名为整数时，n=合-1，E)-(合-1]p<6: 01 p 当合不为整数时，n<合E-p<6,放E门<6 6 5.c 【详解】设a,=1+2+3 ,neN,则an≈lnn+y, 可知数列{a,}为递增数列，则C0o<0227<C248 当n=1800时， c8o≈ln1800+y=ln(2×32×102)+y=ln2+2n3+2ln10+y ≈0.69+2×1.10+2×2.30+0.58=8.07 a248≈ln2048+y=ln21+y=11ln2+y≈11x0.69+0.58=8.17, 可知8.07<a2027<8.17, 所以1+2*3…+ 1,1， 1 2027 =[a]=8. 6.D 【分析】构造函数)=？，将问题转化为比较西数值大小即可 【详据】设f树-0.可得a=g-f旧，6=日-2=f1e.c=竖-f@, 9 4 对fx)求导得fW=X ×-lnx2x1-21nx,令f)=0,解得X=E: 当x>√e时，1-2Inx<0,即f'(x)<0,f(x)在(V,+∞上单调递减。 因为ē<2<e<3,由单调性得f(2)>f()>f(3),即c>b>a. 7.A 答案第2页，共12页 【分析】设P(xy),由PM=2PN,可得点P的轨迹方程，结合题意，由弦心距小于等于 半径，列不等式计算即可求解。 【详解】设P(xy).PM=2PN, y-240-可.化指理得-到（到-号 ~点P在以Q行兮)为圆心，2号为半径的圆上，。 由题意可知，直线/与圆Q有公共点， 2迎3 +(-1) 3 D 8.A 【分析】令ft)=t+lnt,根据f(e)≥f(a(x+1),结合f(t)的单调性，可得e≥a(x+1), 进而得a名在(-1+网上恒皮立，求得名的最小值即可 【详解】由题意可得，e+x≥a(x+1)+ln[a(x+]. 令f(t)=t+lnt,则f(t)在(0，+o)上单调递增， f(e*)=e*+Ine"=e*+x,f(a(x+1))=a(x+1)+In[a(x+1)], 所以fe)户fox4川，所以eeax4,甲a4在1+o侧上恒政立 令h号m=品 当×∈(-1,0)时，(x)<0,所以h(x)在(-1,0)上单调递减， 当×∈(0，+o∞)时，(x)>0,所以h(x)在(0，+∞)上单调递增， 答案第3页，共12页 所以h(x)≥h(0)=1,所以a∈(0,1]： 9.BC 【详解】选项A,样本12,13,15,18,19,21,23,24,26,27共n=10个数据， 10×75%=7.5,第75百分位数为第8项数据24，A错误； 选项B,方差$=1之(x-, n 因为2=2026[x-22+(%-22++(w-2], 故样本均值x=2,样本总和为2026·=2026×2=4052，B正确： 根据期望性质E(aX+b)=aE(X)+b, 得E(Y)=E(2X-1）=2×3-1=5,C正确； 选项D,正态分布N(5,o2)的对称轴为×=5， 由对称性得P(1<X<3)=P(7<X<9)=0.15, 则P(X<1)=P(X<5)-P(3<X<5)-P(1<X<3)=0.5-0.3-0.15= 0.05,D错误. 10.CD 【分析】研究题中所给函数g(×-凶的性质，利用导数除法法则求出9(×，由题得 COSX g)<0推出9冈在(Q引单润递减，再根据自变量大小比较9》、9（日》、9）的大 小，代人余弦值化简整理，进而判断选项正误 【详解】已知g幻=f凶 根据商的求导法则求导得： COS X g(xfx-f((cxf)sinx.fx COS2X COS2 X 由题知9Wc0,因此9W-在(0上单调蓬减 因为骨骨君结合单调递减性得：9)99)9 由8即园個 、r 整理得f>f) COS- b 答案第4页，共12页 卧啁圓圆 整理得f(f) COS- 3 6 综上，选项A、B错误，选项C、D正确， 11.ABC 【分析】根据给定条件，结合斜率坐标公式列式求出双曲线方程，再借助双曲线定义逐项求 解判断 【详解】令双曲线C的半焦距为c,则A(-a,0),A(a,0),F(c,0), 由点B在双鱼线C上.且8F1×轴.1BF上3，不妨设B6G同，则人。点k3 c+a c-a 则3-33 解得c=20,于是6=3好，双曲线C的方程为2=1， c-a c+a 而点B(2o则4c3=1,解得a=。,b=1,双田线C的方程为3x-y=1,A正 3 确； 双曲线C的渐近线方程为y=±√3x,B正确； 2W C=- ， 3 段双曲线的左焦点为正30.由双曲线的定义得QFQ2 3 QFQ+2y3.因IPQ1+10FHo1+Qe+2P听+2g-25. 2W3 当且仅当Q是线段PF与双曲线C的左支交点时取等号，C正确： y 设点Qx》,×≤-3 则x-y-1,1Q-0+y-刀-3r-4y 13 有兮，当且仅当y=时取等号，D错误 12 -4 √5 【分析】根据直线平行的充要条件和平行直线的距离公式可得. 【详解】因为直线1：×+2y+3=0与l2:2x-my+m=0互相平行， 所以子罗产号解得m4。 答案第5页，共12页 则12：×+2y-2=0, 所以4与1，之间的距离d-3--2到-N5.」 V72+22 故答案为：-4；5. 13.-448 【分析】令x=1,和2”=128联立求解可得a和n的值，化简通项，由×的指数等于2可解. 【详解】由题意得 81.所似 n=7 2”=128 a=-1’ 所以2+ X 的展开式的通项为7=c(2网(（日)=-12cx受。 令7-3-2，解得r=1. 2 所以x2的系数为-1×2C)=-448.】 故答案为：-448 14.-2”+1 【详解】因为2n,Sn,40n成等差数列，所以2S,=2n+40n, 当n=1时，可得2a=2+4g,解得q=-1, 当n≥2时，可得2Sn1=2(n-1)+40n-1, 则2Sn-2Sn1=2n+4an-[2(n-1)+4an-1], 得到2a,=40n+2-40n-1,化简得0n=20n-1-1, 设an+A=2(an1+A),则0n=2an1+A,得到A=-1, 则a。-1=2(a。1-1),即数列{an-1}是公比为2的等比数列， 得到0n-1=-2×2-1=-2”,故0=-2”+1. 15.(1)有关 Qi 【分析】（1)计算出卡方即可得解； (2)根据全概率公式求解即可. 答案第6页，共12页 【详解】（1)零假设H。:任务结果与技术类型无关， 根据列联表中数据，得X_120x50x30-30x10=15>10.828, 80×40×60×60 依据小概率值α=0.001的独立性检验，推断假设不成立， 即任务结果与技术类型有关，此推断犯错误的概率不超过0.001. (2)设试验中使用技术A时任务结果为成功为事件A,试验中使用技术B时任务结果为成 功为事件B, 甲体验的任务结果为成功为事件C, 由题意，PcA-8Pep)-83P列-06-号P(=04=号 则PG-PPc+PePC-8f2石 ar-台n+ 【分析】(1)利用n=1求出数列首项，再通过S,与S1作差得到递推关系，判定{a}为等比数列， 进而求出通项公式并验证首项符合， (2)由Q,得出，利用错位相减求和即可、 【详解】（1)因为3Sn+a,=4①， 当n=1时，可得3a+q=4,即a=1≠0， 当n≥2时，3S-1+0n-1=4② 由①-②得40，-01=0(n≥2》，即9=1n≥2)】 On-1 即{a}是以1为首项， 为公比的等比数列，所以a=1x公-（图， 当n=1时a=1-() 满足上式。所以g,=()。 (2)因为b=na,=n 1 答案第7页，共12页 全文·2615 所u=周+2图+3+n图 -周+2×周++n-周nm 两武相碱得-（召++++（召-n心 咏矿调 微-台n 17.(1)证明见解析. @号 3)5 6 【分析】(1)根据线面平行的判定定理求解； (2)以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，由sin8=cos A'N,n= AN.方 N例 (3)先求点M到平面BCN的距离为d,再由三棱锥体积公式求解 【详解】(1) A' B 连接AB,AC, :四边形ABBA为矩形，M为AB的中点， .AB与AB交于点M,M为AB的中点， 又N为BC的中点，MN/IAC, 又MNE平面AACC',且AC'c平面A'ACC', 答案第8页，共12页 全文：2615 .MN/I平面A'ACC. (2) A B B 由已知，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),A'(0,0V⑤)，B1,0,5),C'(0,2,V⑤)， N1v⑤. 设平面BCN的一个法向量为n=(Xy,Z) 因为平面BCN即平面BCC'B,CC=(O,0,V5),BC=(-1,2,0), BC.n=0[-x+2y=0 cCi.n=05z=0 取x=2,则y=1,z=0,从而n=(2,1,0), 设所求线面角为B, AN=(210 sine =cos A'N,n= AN.n 4 AN· 所以A'N与平面BCN夹角的正弦值为 5 (3) A 答案第9页，共12页 全文：2615 设点M到平面eCN的距离为d,B丽05)、 d= BM.5 同5 已知∠BAC=90°，AB=1,AC=2,AA'=√5，则BC=V5, 所以saw=75x5=号 Maov-3 Snow×d=5×5-5 1 3256 18.(1)极小值点为-na,极大值点为0 a( 【分析】(1)对f(x)求导，得到f'(x)=2xae*-1,令f'(x)=0,得到x=-lna>0或x=0, 进而得到函数∫(x)的单调性，再求解极值点即可； (2)根据条件，将问题转化成2a> 构造函数9（冈=芒K>-0,利用导数与函数 单调性间的关系，求出9(×)-之(x>-)的最大值，即可求解。 【详解】(1)由题意得f'(x)=2oe+2a(x-1)e-2x=2x(e-1), 当0<a<1时，令f'(x)=0,得x=-Ina>0或x=0, 当x<0时，f'(x)>0,f(x)在(-o,0)上单调递增， 当0<x<-lna时，f'(x)<0,f(x)在(0，-lna)上单调递减， 当x>-lna时，f'(x)>0,f(x)在(-lna,+o)上单调递增， 则函数于(x)的极小值点为-lna,极大值点为0： (2)由f(x)>x-4ae*,得到(x+1)(2ae*-x>0, 因为x2-1,所以x10.则2如>（色） 令9=x>-0,则g=1g, 当-1<×<1时，g(x)>0,即g(x)在区间(1，)上单调递增， 当x31时，g(×)<0,即g(×在区间1，+)上单调递减，所以g(x)sg()=】 答案第10页，共12页 得到20>。，所以>名，故o的取值范围为 e 19. 0+苦-1 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1)根据条件列式求a,c,再根据a,b,c的关系求b,可得椭圆的标准方程. 11 (2)分直线有无斜率，利用弦长公式表示A8十D,化简即可。 （3)利用直线AB的斜率k表示出点P,Q的坐标，进而得到直线AB的方程，化成点斜式， 可得定点坐标！ a+C=3 a=2 【详解】（1)设椭圆C的焦距为2c,则由题意得 a-c=1' 解得 c=1 所以b2=a2-c2=4-1=3, 所以C的方程为父+上 4+3=1. (2)由(1)得F(1,0),若直线AB与直线DE的斜率一个为0，另一个不存在时， A8=4,1DE=2沙=3（或lAg=3.1D=4),此时AB+DE2 1 17 若直线AB与直线DE的斜率都存在时，如图： B 设直线AB的方程为y=k(x-1),A(X,),B(,y), y=k(x-1) 由 =1得3+4k2)×-82x+4k-12=0. 父+ 043 8k2 4k2-12 所以×+×=3+4级，%=3+4敏 所以AB=V+k2x-x=V1+k2Vx+x)2-4xx 答案第11页，共12页 全文：2615 12 =V1+k2 8k2 -4× 42-1212(1+k2） 3+42 3+4k23+4k2 图为A81DE,将k换成得0E'1( 12(k2+1 4+3k2, 113+4k2,4+3k27k2+1）7 所以Ag*D121+网2K+可2K+可2 1 1 综上所述， A8DE的值为定值. 8k2 《3)由(2)得x+名二3+=kKX+%-2到=3一 因为P是AB的中点，所以P 4k2-3k 3+42’3+42 将k换成 F, 3k 得Q 即Q4+304+3歌 3k 3k 若直线Q的斜率存在，则直线PQ的斜率为k。-歌+3+ 7k 4 42 41-k2)' 4+3k23+42 3k 7k 42 7k 所以直线PQ的方程为y+3+4级41仁KX-3+4级 所以直线PQ过定点 若直线PQ的斜率不存在，则 42 4 +4=4+3k2, 解得k2=1, 此时直线PQ的方程为x-今，直线PQ也过定点（台0 综上，直线PQ过定点 全文：2615