专题4.1 平面直角坐标系（知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册同步培优讲练

本初中数学讲义聚焦平面直角坐标系核心知识点，从坐标系构成要素（两条互相垂直且有公共原点的数轴）出发，梳理点的坐标表示、坐标特征（如象限符号、到坐标轴距离）等内容，构建从概念到应用的学习支架。 资料以“知识梳理+考点讲练+中考真题+分层练习”为框架，通过7个考点的典例与变式（如用有序数对表示位置）培养几何直观与推理意识，中考真题链接实战，分层练习兼顾基础与拔高，课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺。

专题4.1 平面直角坐标系 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：平面直角坐标系 1 知识点梳理02：点的坐标表示 2 知识点梳理03：坐标平面内点的坐标特征 3 优选题型 考点讲练 3 考点1 用有序数对表示位置 3 考点2 用有序数对表示路线 4 考点3 写出直角坐标系中点的坐标 6 考点4 求点到坐标轴的距离 7 考点5 判断点所在的象限 8 考点6 已知点所在的象限求参数 8 考点7 坐标系中描点 9 中考真题 实战演练 10 难度分层 拔尖冲刺 12 基础夯实 12 培优拔高 13 知识点梳理01：平面直角坐标系 1.平面直角坐标系 如图所示，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，其中一条叫做x轴(又叫横轴),通常画成水平，另一条叫做y轴(又叫纵轴),画成与x 轴垂直.这样，我们就在平面内建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系. 注意： 一般地，x轴取向右的方向为正方向，y轴取向上的方向为正方向，x轴和y轴通常取相同的单位长度. 2.坐标平面 坐标系所在的平面就叫做坐标平面. 3.象限 如图所示，x轴和y轴把坐标平面分成四个象限，x轴的非负半轴、y轴的非负半轴所夹的部分为第一象限，按逆时针旋转，紧接着依次为第二象限、第三象限、第四象限. 判断平面直角坐标系的方法： 判断一个图形是不是平面直角坐标系，就是看这个图形是不是满足平面直角坐标系的三个要素：(1)两条数轴；(2)互相垂直；(3)有公共点(原点). 知识点梳理02：点的坐标表示 1.平面直角坐标系内点的表示方法 如图所示，对于坐标平面内任意一点M, 作MM1⊥x轴，MM2⊥y轴，设垂足M1,M2在各自数轴上所表示的数分别为x,y,则x叫做点M的横坐标，y叫做点M 的纵坐标，有序实数对(x,y)叫做点M的坐标 注意： 一定要横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，并用小括号括起来. 2.平面上的点与有序实数对的关系 在平面直角坐标系中，对于平面内的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面内唯一的一 点与它对应.也就是说，平面直角坐标系内的任意一点与有序实数对是一一对应关系. 知识点梳理03：坐标平面内点的坐标特征 点的位置 点(x,y)的横、纵坐标的符号 图象 第一象限 x＞0,y＞0 第二象限 x＜0,y＞0 第三象限 x＜0,y＜0 第四象限 x＞0,y＜0 x轴上 正半轴：x＞0,y＝0 负半轴：x＜0,y＝0 y轴上 正半轴：x＝0,y＞0 负半轴：x＝0,y＜0 原点 x＝0,y＝0 归纳： 1.点到轴的距离为,到轴的距离为,到原点的距离为. 2.第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等，表示为; 第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数，表示为. 3.平行于轴的直线上两点的纵坐标相等；平行于轴的直线上两点的横坐标相等. 考点1 用有序数对表示位置 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）下列描述能确定具体位置的是（    ） A．某教室第二排 B．合肥市长江中路 C．某电影院第排号座 D．北偏东 【变式训练1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）“苏超”联赛刚刚落下帷幕，赛事期间众多观众涌入现场观看比赛，且需凭票对号入座．表示看台上第1列第2排的球迷座位位置，那么看台上第5列第4排的球迷座位位置可以表示为 ． 【变式训练2】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）下列表述中，能确定位置的是（   ） A．北偏东 B．东经，北纬 C．北京路路口 D．万达电影院第排 考点2 用有序数对表示路线 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行的规律是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从点到点的爬行路线记为，从点到点的爬行路线记为，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)填空：（（__________，________），_______（，________）． (2)若甲虫从点开始，爬行路线依次为，，，最终到达点处．请在图中标出甲虫的爬行路线示意图及最终点P的位置． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是某市地图的一部分，根据该图回答问题． (1)若小明家位于区，则光明中学、市民广场、购物中心、电视台、体育馆分别位于哪个区域？ (2)某路公交车从小明家门口的车站出发，途经区、区、区、区、区、区、区、区，到达光明中学，请你在图中描出它的行车路线． 【变式训练2】（23-24八年级上·浙江台州·期末）某数学兴趣小组成员为探究关于的不等式组解的情况，设计任务如下，请你帮助他们解决相关问题． 任务一：当不等式①，②均取等号时，即，求的值． 任务二：（1）当不等式①取等号时，即，求的取值范围； （2）将满足条件的的值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形是___________（填“直线”、“射线”或“线段”）． 任务三：计算机将满足不等式组的的值分别作为横、纵坐标在平面直角坐标系上描点如图．小明结合图象和以上两个任务解决的过程，猜想：的取值范围是．该猜想是否正确，并说明理由． 考点3 写出直角坐标系中点的坐标 【典例精讲】（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)请画出与关于轴对称的（点，，的对应点分别为点，，）； (2)请画出与关于轴对称的（点，，的对应点分别为点，，），并写出点的坐标． 【变式训练1】（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）如图，在直角坐标系中，是等边三角形，若B点的坐标是，则A点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)画出关于x轴对称的，并直接写出点，，的坐标； (2)在x轴上画出点P，使最小． 考点4 求点到坐标轴的距离 【典例精讲】（25-26八年级上·山东济南·期中）点在第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，且轴，则点M的坐标为 ． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，点，均在轴上，点在第一象限内，且点到轴的距离是3，到轴的距离是4，连接，交轴于点，连接，且点的坐标是，． (1)分别求出点，的坐标； (2)若线段上存在一点，使得，求点的纵坐标； (3)若在轴上存在一点，使得，求点的坐标． 考点5 判断点所在的象限 【典例精讲】（25-26八年级上·江西九江·月考）如图，将“感恩祖国”四个字放在平面直角坐标系中，其中位于第三象限的是（   ） A．感 B．恩 C．祖 D．国 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·期中）在坐标平面内，有一点，若，那么点P的位置在（ ） A．第二象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【变式训练2】（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）如图，小手盖住的点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 考点6 已知点所在的象限求参数 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点在第一象限的角平分线上，则a的值为 ． 【变式训练1】（2025八年级上·上海·专题练习）下列说法不正确的是（   ） A．若，则点到轴、轴的距离相等 B．已知点，，则轴 C．若满足，则点在轴上 D．点一定在第二象限 【变式训练2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点的长距为4，且点C在第三象限内，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 考点7 坐标系中描点 【典例精讲】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，，． (1)在图中画出； (2)作出关于轴对称的图形； (3)请直接写出中边上的高为 ． 【变式训练1】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，点，且、满足． (1)________，________； (2)以为边作，点在直线的右侧且，求点的坐标； (3)若（2）的点在第四象限（如图2），与交于点，与轴交于点，连接，过点作交轴于点． ①求证：； ②直接写出点到的距离． 【变式训练2】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在坐标系中，描出； (2)在图中作出关于y轴对称的； (3)如果要使以B、C、D为顶点的三角形与关于直线对称，直接写出点D的坐标． 1．（2024·广东深圳·中考真题）某机器人的视觉系统在平面直角坐标系中，将其探测范围标记为一个三角形区域．已知该三角形的三个顶点坐标分别为，那么这个三角形探测区域的面积是 ． 2．（2024·上海·中考真题）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点与轴上表示的点重合，点坐标为，则点的坐标为 ．      3．（2024·河南郑州·中考真题）点A在第二、四象限的角平分线上，且到原点的距离等于，则点A的坐标可能是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（2024·全国·中考真题）点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江西九江·中考真题）如图，在小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知点，点． (1)作关于y轴对称的； (2)在y轴上找一点C，使得的值最小，并直接写出点C的坐标． 基础夯实 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）在平面直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26八年级上·浙江金华·月考）如果点在轴上，那么点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东佛山·期末）在平面直角坐标系中，点 到y轴的距离为（ ） A．3 B．4 C． D． 4．（25-26八年级上·广东清远·月考）已知点在 x 轴上， 则 5．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）点到x轴的距离为 ． 6．（25-26八年级上·安徽·期中）已知点到两坐标轴的距离相等，则a的值为 7．（25-26八年级上·广东茂名·期中）在平面直角坐标系中，点在第 象限． 8．（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知点位于平面直角坐标系中，且满足． (1)若点A在x轴上，求点A的坐标； (2)已知点，若轴，求m的值． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点P在y轴上，求x的值； (2)若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点P的坐标． 10．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知的三个顶点的坐标分别是，点，点． (1)在所给的平面直角坐标系中画出． (2)直接写出点到轴，轴的距离分别是多少？ (3)画出关于轴的对称图形． 培优拔高 11．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知在平面直角坐标系中的点，若点的纵坐标比横坐标大6，则点在(        ) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 12．（25-26八年级上·安徽·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（   ） A．1 B．2 C．6 D．3 13．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点A的坐标为，点B的坐标为，在坐标轴上找一点C，使与全等，那么点C的坐标是 ． 15．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知等腰， ，斜边交轴正半轴于点，若，则点的坐标为 ． 16．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，，且，若点的坐标分别为，则点的坐标是 ． 17．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则B点的坐标是 ． 18．（25-26八年级上·安徽·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点在轴上时，求出点的坐标； (2)当直线平行于轴，且，求出点的坐标． 19．（25-26八年级上·山东淄博·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；较大值称为点P的“长距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． (1)点到x轴的距离为　　，到y轴的距离为　　，点A的“短距”为　　． (2)若点是“完美点”，求a的值． (3)若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 20．（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”例如，点的“级关联点”为，即． (1)已知点的“级关联点”是点，求点的坐标． (2)已知点的“级关联点”位于轴上，求点的坐标． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 平面直角坐标系 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：平面直角坐标系 1 知识点梳理02：点的坐标表示 2 知识点梳理03：坐标平面内点的坐标特征 3 优选题型 考点讲练 3 考点1 用有序数对表示位置 3 考点2 用有序数对表示路线 4 考点3 写出直角坐标系中点的坐标 8 考点4 求点到坐标轴的距离 12 考点5 判断点所在的象限 14 考点6 已知点所在的象限求参数 16 考点7 坐标系中描点 18 中考真题 实战演练 24 难度分层 拔尖冲刺 28 基础夯实 28 培优拔高 32 知识点梳理01：平面直角坐标系 1.平面直角坐标系 如图所示，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，其中一条叫做x轴(又叫横轴),通常画成水平，另一条叫做y轴(又叫纵轴),画成与x 轴垂直.这样，我们就在平面内建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系. 注意： 一般地，x轴取向右的方向为正方向，y轴取向上的方向为正方向，x轴和y轴通常取相同的单位长度. 2.坐标平面 坐标系所在的平面就叫做坐标平面. 3.象限 如图所示，x轴和y轴把坐标平面分成四个象限，x轴的非负半轴、y轴的非负半轴所夹的部分为第一象限，按逆时针旋转，紧接着依次为第二象限、第三象限、第四象限. 判断平面直角坐标系的方法： 判断一个图形是不是平面直角坐标系，就是看这个图形是不是满足平面直角坐标系的三个要素：(1)两条数轴；(2)互相垂直；(3)有公共点(原点). 知识点梳理02：点的坐标表示 1.平面直角坐标系内点的表示方法 如图所示，对于坐标平面内任意一点M, 作MM1⊥x轴，MM2⊥y轴，设垂足M1,M2在各自数轴上所表示的数分别为x,y,则x叫做点M的横坐标，y叫做点M 的纵坐标，有序实数对(x,y)叫做点M的坐标 注意： 一定要横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，并用小括号括起来. 2.平面上的点与有序实数对的关系 在平面直角坐标系中，对于平面内的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面内唯一的一 点与它对应.也就是说，平面直角坐标系内的任意一点与有序实数对是一一对应关系. 知识点梳理03：坐标平面内点的坐标特征 点的位置 点(x,y)的横、纵坐标的符号 图象 第一象限 x＞0,y＞0 第二象限 x＜0,y＞0 第三象限 x＜0,y＜0 第四象限 x＞0,y＜0 x轴上 正半轴：x＞0,y＝0 负半轴：x＜0,y＝0 y轴上 正半轴：x＝0,y＞0 负半轴：x＝0,y＜0 原点 x＝0,y＝0 归纳： 1.点到轴的距离为,到轴的距离为,到原点的距离为. 2.第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等，表示为; 第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数，表示为. 3.平行于轴的直线上两点的纵坐标相等；平行于轴的直线上两点的横坐标相等. 考点1 用有序数对表示位置 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）下列描述能确定具体位置的是（    ） A．某教室第二排 B．合肥市长江中路 C．某电影院第排号座 D．北偏东 【答案】C 【思路点拨】本题考查了坐标确定位置，根据坐标的定义，确定位置需要两个数据，据此对各选项分析判断利用排除法求解，理解确定坐标的两个数是解题的关键． 【规范解答】解：、某教室第二排，不能确定具体位置，原选项不符合题意； 、合肥市长江中路，不能确定具体位置，原选项不符合题意； 、某电影院第排号座，能确定具体位置，原选项符合题意； 、北偏东，不能确定具体位置，原选项不符合题意； 故选：． 【变式训练1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）“苏超”联赛刚刚落下帷幕，赛事期间众多观众涌入现场观看比赛，且需凭票对号入座．表示看台上第1列第2排的球迷座位位置，那么看台上第5列第4排的球迷座位位置可以表示为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了用有序数对确定位置，一对有顺序的数叫做有序数对，理解有序数对是两个有顺序的数是解题的关键． 根据题干中“”表示第1列第2排，可知座位位置用有序数对(列，排)表示，据此求解即可． 【规范解答】解：∵表示看台上第1列第2排的球迷座位位置， ∴看台上第5列第4排的球迷座位位置可以表示为． 故答案为． 【变式训练2】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）下列表述中，能确定位置的是（   ） A．北偏东 B．东经，北纬 C．北京路路口 D．万达电影院第排 【答案】B 【思路点拨】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个条件是解题的关键．根据确定位置需要一组有序实数对，单独一个数据无法确定位置，然后对各选项分析逐项判断即可． 【规范解答】解：A、北偏东只有方向，无距离，不能确定位置； B、经纬度坐标（东经，北纬）能唯一确定地球上的一个点，能确定位置； C、北京路路口为区域，不精确，不能确定位置； D、万达电影院第排有多个座位，不唯一，不能确定位置； 故选：B． 考点2 用有序数对表示路线 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行的规律是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从点到点的爬行路线记为，从点到点的爬行路线记为，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)填空：（（__________，________），_______（，________）． (2)若甲虫从点开始，爬行路线依次为，，，最终到达点处．请在图中标出甲虫的爬行路线示意图及最终点P的位置． 【答案】(1)，，D， (2)见解析 【思路点拨】（1）根据方格中两点的位置关系，确定左右和上下移动的格数，从而得到相应的表示数. （2）根据给定的一系列数，在方格中描出爬行路线并确定最终位置.. 【规范解答】（1）解：：先向右移动3个单位，所以左右方向的数是+3， 再向下移动2个单位，所以上下方向的数是 ：先向右移动1个单位，所以左右方向的数是+1 再向下移动个单位，所以上下方向的数是 故答案为：，，D，. （2）解：甲虫从点开始，第一个爬行路线为：先向右1个单位，再向上3个单位； 接着(−1,+1)：先向左1个单位，再向上1个单位； 然后(+3,−5)：先向右移动3个单位，再向下移动5个单位； 最后：先向左4个单位，再向上2个单位，从而确定点P的位置. 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是某市地图的一部分，根据该图回答问题． (1)若小明家位于区，则光明中学、市民广场、购物中心、电视台、体育馆分别位于哪个区域？ (2)某路公交车从小明家门口的车站出发，途经区、区、区、区、区、区、区、区，到达光明中学，请你在图中描出它的行车路线． 【答案】(1)光明中学位于区，市民广场位于区，购物中心位于区，电视台位于区，体育馆位于区 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了区域定位法在生活中的运用； （1）根据题意找到位置即可； （2）利用区域定位法描出公交路线. 【规范解答】（1）解：光明中学位于区，市民广场位于区，购物中心位于区，电视台位于区，体育馆位于区． （2）如图所示，图中黑粗线即为所求． 【变式训练2】（23-24八年级上·浙江台州·期末）某数学兴趣小组成员为探究关于的不等式组解的情况，设计任务如下，请你帮助他们解决相关问题． 任务一：当不等式①，②均取等号时，即，求的值． 任务二：（1）当不等式①取等号时，即，求的取值范围； （2）将满足条件的的值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形是___________（填“直线”、“射线”或“线段”）． 任务三：计算机将满足不等式组的的值分别作为横、纵坐标在平面直角坐标系上描点如图．小明结合图象和以上两个任务解决的过程，猜想：的取值范围是．该猜想是否正确，并说明理由． 【答案】任务一：；任务二： （1）；（2）射线；任务三：猜想正确，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式等知识，掌握以上知识点是解题的关键． 任务一：即可得出y的值，代入即可求出x； 任务二：（1）由⑤可得，将其代入⑥中，即可求得x的取值范围； （2）因为有一个端点已经固定，所以坐标平面内由这些点组成的图形是射线； 任务三：不等式①取等号时，由⑤可得，将其代入⑥中，即可求得y的取值范围． 【规范解答】解：任务一：， 由可得， 解得：， 把代入③，， 解得：， ； 任务二：（1）， 由⑤可得，将其代入⑥中， 可得， 解得； （2）因为有一个端点已经固定，所以坐标平面内由这些点组成的图形是射线， 故答案为：射线； 任务三：猜想正确，理由如下： ， 当不等式①取等号时，， 由⑤可得，将其代入⑥中， 可得， 解得， 故猜想正确． 考点3 写出直角坐标系中点的坐标 【典例精讲】（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)请画出与关于轴对称的（点，，的对应点分别为点，，）； (2)请画出与关于轴对称的（点，，的对应点分别为点，，），并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【思路点拨】本题主要考查图形与坐标及轴对称，熟练掌握图形与坐标及轴对称是解题的关键． （1）分别描出点，，关于轴对称的点，然后依次连接即可； （2）分别作出点，，关于轴对称的点，然后依次连接，最后由图形得到点的坐标即可． 【规范解答】（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求 【变式训练1】（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）如图，在直角坐标系中，是等边三角形，若B点的坐标是，则A点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．过点作轴于点，根据等边三角形的性质，得到，，再结合勾股定理得出，即可得到A点的坐标． 【规范解答】解：如图，过点作轴于点， B点的坐标是， ， 是等边三角形， ，， ， A点的坐标是， 故选：C． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)画出关于x轴对称的，并直接写出点，，的坐标； (2)在x轴上画出点P，使最小． 【答案】(1)见解析，，， (2)见解析 【思路点拨】本题考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路径，解题关键是根据轴对称变换正确画出图形，利用轴对称性质求解． （1）根据关于x轴对称点的性质得出各对应点位置进而画出图形，再利用所画图形得出各个点的坐标； （2）连接，，此时与x轴的交点即为点P，连接，此时最小． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求， 由图可得，，，； （2）解：如图，点P即为所求． 考点4 求点到坐标轴的距离 【典例精讲】（25-26八年级上·山东济南·期中）点在第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征和点到坐标轴的距离． 点在第二象限，其横坐标为负，纵坐标为正，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值． 【规范解答】设点的坐标为， 点距离轴个单位长度， ，即， 点距离轴个单位长度， ，即， 又点在第二象限， ，， ，， 点的坐标为． 故选． 【变式训练1】（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，且轴，则点M的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查坐标系中与y轴平行的直线上点的坐标特点：根据轴，可知点M与点N的横坐标相等，从而建立方程求解． 【规范解答】解：因为轴，点N的横坐标为， 所以点M的横坐标， 解得， 代入点M的纵坐标， 故点M的坐标为， 故答案为：． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，点，均在轴上，点在第一象限内，且点到轴的距离是3，到轴的距离是4，连接，交轴于点，连接，且点的坐标是，． (1)分别求出点，的坐标； (2)若线段上存在一点，使得，求点的纵坐标； (3)若在轴上存在一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点D的纵坐标为2 (3)或 【思路点拨】本题主要考查了坐标与图形、点到坐标轴的距离、绝对值方程等知识，运用数形结合的思想分析问题． （1）首先确定，结合点A在x轴负半轴上，可知点坐标；再根据点B在第一象限，B点到x轴，y轴的距离，可确定点坐标； （2）首先计算的面积，得出，进而计算点D的纵坐标即可； （3）设，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵点A，C均在x轴上，C点坐标为， ∴， ∵线段， ∴， 又∵点A在x轴负半轴上， ∴， ∵点B在第一象限，B点到y轴的距离是3，到x轴的距离为4， ∴． （2）∵， 又∵， ∴，即，解得， ∵点D在第一象限， ∴，即点D的纵坐标为2； （3）设， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 解得：或， ∴点的坐标是或． 考点5 判断点所在的象限 【典例精讲】（25-26八年级上·江西九江·月考）如图，将“感恩祖国”四个字放在平面直角坐标系中，其中位于第三象限的是（   ） A．感 B．恩 C．祖 D．国 【答案】C 【思路点拨】本题考查点所在的象限， x轴和y轴把坐标平面分成四个部分，每个部分称为象限，x轴和y轴的正半轴所夹的象限是第一象限，按逆时针顺序依次叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限．正确理解坐标象限的划分是解题的关键． 根据点所在的象限进行解答即可． 【规范解答】解：根据图形， “祖”位于第三象限， 故选：C． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·期中）在坐标平面内，有一点，若，那么点P的位置在（ ） A．第二象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征，解题关键是根据得出异号，再结合象限坐标符号判断点的位置 由可知a与b异号，结合各象限点的坐标符号特征判断即可． 【规范解答】解：∵ ，∴ a与b异号． 当且时，点P在第二象限， 当且时，点P在第四象限， ∴ 点P在第二象限或第四象限． 故选：D． 【变式训练2】（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）如图，小手盖住的点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可得解． 【规范解答】解：由图可知，小手盖住的点在第二象限， A、在第一象限，故该选项不符合题意； B、在第四象限，故该选项不符合题意； C、在第三象限，故该选项不符合题意； D、在第二象限．故该选项符合题意； 故选D． 考点6 已知点所在的象限求参数 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点在第一象限的角平分线上，则a的值为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标， 点在第一象限的角平分线上，则横坐标与纵坐标相等． 【规范解答】解：由题意，得， 移项得， 解得． 故答案为：3． 【变式训练1】（2025八年级上·上海·专题练习）下列说法不正确的是（   ） A．若，则点到轴、轴的距离相等 B．已知点，，则轴 C．若满足，则点在轴上 D．点一定在第二象限 【答案】C 【思路点拨】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，包括点到坐标轴的距离、点与点的位置关系、坐标轴上点的特征以及象限内点的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到轴的距离等于横坐标的长度对各选项分析判断即可得解． 【规范解答】解： A、∵点到轴的距离为，到轴的距离为， 若，则， ∴，即距离相等，此选项正确，故不符合题意； B、∴点，的纵坐标相同， ∴轴，此选项正确，故不符合题意； C、∵若，则或，点在轴或轴上， ∴不一定在轴上，此选项不正确，故符合题意； D、∵，， ∴点A在第二象限，此选项正确，故不符合题意； 故选：C． 【变式训练2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点的长距为4，且点C在第三象限内，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)5 (2)点D是“角平分线点”，理由见解析 【思路点拨】本题考查点到坐标轴的距离，象限内点的符号特征，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）求出点到两个坐标轴的距离，根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义，结合第三象限内点的符号特征，求出的值，进而确定点的坐标，再根据新定义进行判断即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴点到轴的距离为5，到轴的距离为3， ∵， ∴点的“长距”为5； （2）是，理由如下： ∵点的长距为4， ，解得或， 点C在第三象限内， 当时，点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴点D是“角平分线点”． 考点7 坐标系中描点 【典例精讲】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，，． (1)在图中画出； (2)作出关于轴对称的图形； (3)请直接写出中边上的高为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了直角坐标系下点的特征，轴对称图形的性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质． （1）根据直角坐标系下点的坐标画出三角形即可； （2）根据轴对称图形的性质即可画出； （3）先求解出边的长度，再根据的面积相等求解高即可． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：，边的高为， 又， ∴， 即，解得， ∴中边上的高为． 故答案为：． 【变式训练1】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，点，且、满足． (1)________，________； (2)以为边作，点在直线的右侧且，求点的坐标； (3)若（2）的点在第四象限（如图2），与交于点，与轴交于点，连接，过点作交轴于点． ①求证：； ②直接写出点到的距离． 【答案】(1) (2)或 (3)①见详解，②1 【思路点拨】（1）通过解方程组求解即可； （2）分类讨论直角位置：若 ，通过构造全等三角形求解；若，利用求解； （3）①先证明得到, 再结合推导出, 最终利用完成证明；②构造垂线和, 并证明, 得到对应高相等，即. 【规范解答】（1）解：， 得，， 把代入得，， 故答案为：； （2）由（1)知， ， ， 是直角三角形，且， 或， 当时，如图1， ， ， 过点作于, ， ， ， 在和中， ， ， ， ， Ⅱ、当时，如图2， 轴于，则， ， ， ， ， ， ， 综上，点或， （3）①如图3，由（2）知点, 过点作轴于点,, 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ②点到的距离为1，理由如下： 如图4，过点作于点, 过 点作于点, 由①知, ， ， ， ， ， ， ， ． 点到的距离为1． 【变式训练2】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在坐标系中，描出； (2)在图中作出关于y轴对称的； (3)如果要使以B、C、D为顶点的三角形与关于直线对称，直接写出点D的坐标． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3) 【思路点拨】本题考查了作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）根据A，B，C的坐标作出三角形即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （3）利用轴对称变换的性质作出即可解决问题． 【规范解答】（1）解：如图所示，为所求． （2）解：如图所示，为所求． （3）解：如果要使以B、C、D为顶点的三角形与关于直线对称，则点D坐标为． 1．（2024·广东深圳·中考真题）某机器人的视觉系统在平面直角坐标系中，将其探测范围标记为一个三角形区域．已知该三角形的三个顶点坐标分别为，那么这个三角形探测区域的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了根据点的坐标求面积． 通过观察坐标，点A和点B的纵坐标相同，因此线段是水平线段，可作为三角形的底边；点C到的垂直距离即为高，利用三角形面积公式求解． 【规范解答】解：由点的纵坐标均为4， 得底边的长度为． 点到直线即的垂直距离为， 因此三角形面积为． 故答案为：6． 2．（2024·上海·中考真题）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点与轴上表示的点重合，点坐标为，则点的坐标为 ．      【答案】 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质、图形与坐标等知识点，灵活运用全等三角形解决坐标问题是解题的关键． 过点A、点B分别作、垂直于x轴，先证明得到、，进而求得点A的坐标即可解答． 【规范解答】解：如图：过点A、点B分别作、垂直于x轴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，即：， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 3．（2024·河南郑州·中考真题）点A在第二、四象限的角平分线上，且到原点的距离等于，则点A的坐标可能是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了坐标与图形性质和勾股定理，熟知第二、四象限的角平分线上点的坐标特征是解题的关键．根据第二、四象限的角平分线上点的坐标特征即可解决问题． 【规范解答】解：由题知， 因为点在第二、四象限的角平分线上， 所以点的横纵坐标互为相反数． 又因为点到原点的距离等于， 所以， 则时，；时，， 所以点坐标为或． 故选：． 4．（2024·全国·中考真题）点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了已知点所在象限求参数，根据点P在第四象限，则其横坐标为正，纵坐标为负，据此列出不等式组求解即可． 【规范解答】解：∵点在第四象限， ∴横坐标，纵坐标, 解得：, 解得：，即, ∴a的取值范围是, 故选B． 5．（2024·江西九江·中考真题）如图，在小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知点，点． (1)作关于y轴对称的； (2)在y轴上找一点C，使得的值最小，并直接写出点C的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)图见解析，点C坐标为 【思路点拨】本题考查了平面直角坐标系中的轴对称图形，将军饮马问题，熟知轴对称的性质是解题关键，注意坐标系中两个点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变． （1）根据轴对称性质得到对应点的位置，进而顺次连接即可； （2）连接交y轴于点C，则点C为所求，根据图形可得点C坐标． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，点C即为所求，点C坐标为． 基础夯实 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）在平面直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【思路点拨】本题考查象限内点的坐标符号，牢记符号特征是解题关键． 根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征判断：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【规范解答】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴符号特征为， ∴点A位于第四象限． 故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江金华·月考）如果点在轴上，那么点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了点的坐标特征，根据点在轴上，则其纵坐标为0，由此求出的值，再代入得到点的坐标，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键． 【规范解答】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴点的坐标为 故选：A． 3．（25-26八年级上·广东佛山·期末）在平面直角坐标系中，点 到y轴的距离为（ ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了点到坐标轴的距离． 点到y轴的距离是该点横坐标的绝对值． 【规范解答】解：∵点的横坐标为， ∴点P到y轴的距离为． 故选：A． 4．（25-26八年级上·广东清远·月考）已知点在 x 轴上， 则 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了坐标轴上点的特点，熟练掌握坐标轴上点的特点，是解题的关键．根据x轴上点的纵坐标为0的特征，建立方程求解即可． 【规范解答】解：∵点在x轴上， ∴其纵坐标， 解得． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）点到x轴的距离为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值求解即可． 【规范解答】点到x轴的距离为． 故答案为：6． 6．（25-26八年级上·安徽·期中）已知点到两坐标轴的距离相等，则a的值为 【答案】或3 【思路点拨】此题主要考查了平面直角坐标系各象限内点的坐标的符号以及点的坐标的几何意义，注意：横坐标的绝对值就是点到轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到轴的距离. 根据平面直角坐标系内点的坐标的几何意义即可求得. 【规范解答】解：由点到两坐标轴的距离相等， 解得：或 故答案是：或3 7．（25-26八年级上·广东茂名·期中）在平面直角坐标系中，点在第 象限． 【答案】四/4 【思路点拨】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据各象限内点的坐标特征解答． 【规范解答】解：点的横坐标为正，纵坐标为负，因此位于第四象限． 故答案为：四． 8．（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知点位于平面直角坐标系中，且满足． (1)若点A在x轴上，求点A的坐标； (2)已知点，若轴，求m的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了点的坐标，已知点所在的象限求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据在x轴上的点的纵坐标为0，进行列式计算，即可作答． （2）根据轴，得出它们的横坐标相等，据此进行列式计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵点在x轴上， ∴， 则， 解得， ∴； （2）解：∵点，点，轴， ∴． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点P在y轴上，求x的值； (2)若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，点到坐标轴的距离，第一象限内点的坐标特点， （1）在y轴上的点横坐标为，据此列出方程求解即可； （2）根据第一象限内的点横纵坐标都为正，且点P到两坐标轴的距离和为9建立方程求出解即可得到答案． 【规范解答】（1）解：点在y轴上， ∴， 解得； （2）解：∵点在第一象限， 点P到x轴的距离为，到y轴的距离为， 点P到两坐标轴的距离之和为9， ∴， 解得， ∴， 点P的坐标为． 10．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知的三个顶点的坐标分别是，点，点． (1)在所给的平面直角坐标系中画出． (2)直接写出点到轴，轴的距离分别是多少？ (3)画出关于轴的对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)点A到x轴，y轴的距离分别是3和2 (3)见解析 【思路点拨】本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，画轴对称图形，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）在直角坐标系中找出三点，然后依次连接即可； （2）直接写出点A到x轴，y轴的距离即可； （3）根据轴对称图形的画法画图即可． 【规范解答】（1）解：如图所示， （2）解：点A到x轴，y轴的距离分别是3和2； （3）如图所示，即为所求． 培优拔高 11．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知在平面直角坐标系中的点，若点的纵坐标比横坐标大6，则点在(        ) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】C 【思路点拨】本题考查了判断点所在的象限；根据点的纵坐标比横坐标大，列出方程求解的值，再代入坐标表达式得到点的具体坐标，最后根据坐标符号判断所在象限． 【规范解答】解：点的纵坐标比横坐标大， ， 化简得：， ． 代入坐标表达式： 横坐标：， 纵坐标：， 点的坐标为，． 横坐标为负，纵坐标为正， 点在第二象限． 故选：C． 12．（25-26八年级上·安徽·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（   ） A．1 B．2 C．6 D．3 【答案】C 【思路点拨】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握以上知识点是关键．根据角平分线的性质定理可得关于的方程，解方程即可求得点的坐标，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，证明即可． 【规范解答】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，如图所示： ∵点在第一象限角平分线上，， ∴， ∴， 解得：， 则点的坐标为， ∵， ， ∵， ， 由点的坐标知，， ∴， ， ． 故选：C． 13．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查全等三角形的性质和判定、坐标与图形，分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，利用已知条件可证明，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【规范解答】解：如图所示，分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵点C的坐标为，点A的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴B点的坐标是． 故选：B． 14．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点A的坐标为，点B的坐标为，在坐标轴上找一点C，使与全等，那么点C的坐标是 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等判定，解题的关键是结合三角形全等的性质写出点的坐标． 根据题意画出图形，如图所示，分两种情况，结合三角形全等的判定和坐标与图形性质求解即可． 【规范解答】解：如图，连接，， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴轴，，，且在y轴上， ∴， 要在坐标轴上找一点C，使与全等，则点C在x轴上， 分两种情况： 当点C在x轴负半轴时，，连接， ∵，，， ∴，此时； 当点C在x轴正半轴时，，连接， ∵，，， ∴，此时； 综上，满足条件的点C坐标为或． 故答案为：或． 15．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知等腰， ，斜边交轴正半轴于点，若，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题关键是利用全等得出点坐标． 过作轴于，过作轴于，根据全等三角形的性质得到． 【规范解答】解：过作轴于，过作轴于，如图所示： ， ， ， ， ， ， ∵等腰， ， ， ， ， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，，且，若点的坐标分别为，则点的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】此题重点考查图形与坐标、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由，，可得，，再由，可得，从而得出，可根据全等三角形的判定定理“”证明，则，，，所以，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则B点的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，解题的关键是证明． 过A和B分别作于D，于E，利用已知条件可证明，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【规范解答】解：如下图，过A和B分别作于D，于E， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点C的坐标为，点A的坐标为， ， ， ， 点的坐标是， 故答案为： 18．（25-26八年级上·安徽·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点在轴上时，求出点的坐标； (2)当直线平行于轴，且，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了各个象限以及坐标轴上点的坐标特点，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可； （2）根据平行于x轴上的直线上的点的纵坐标相等列方程求解m的值，再求解即可． 【规范解答】（1）当点在轴上时，得， 解得：， ， 点的坐标为． （2）平行于轴，且， ， 解得：， ， 点的坐标为． 19．（25-26八年级上·山东淄博·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；较大值称为点P的“长距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． (1)点到x轴的距离为　　，到y轴的距离为　　，点A的“短距”为　　． (2)若点是“完美点”，求a的值． (3)若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】(1)2，3，2 (2)或 (3)见解析 【思路点拨】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键； （1）根据“短距”的定义解答即可； （2）根据完美点的定义可得，即可求出答案； （3）先根据“长距”是5求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【规范解答】（1）解：点到x轴的距离为2，到y轴的距离为3． ∵点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”， 又∵，， ∴点的“短距”为2， 故答案为：2，3，2； （2）解：由条件可知， ∴或， 解得或． （3）解：点的长距为5，且点在第三象限内， ， 解得：， ， 点的坐标为， 点到轴、轴的距离都是8， 是“完美点”． 20．（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”例如，点的“级关联点”为，即． (1)已知点的“级关联点”是点，求点的坐标． (2)已知点的“级关联点”位于轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了点的坐标，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论． （2）根据关联点的定义和点的“级关联点”位于轴上，即可求出的坐标． 【规范解答】（1）解：点的“级关联点”是点， ． （2）点的“级关联点”为， ， 位于轴上， ，解得 ， ． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $